Стохастические модели неопределенностизадания функциональной зависимости и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ни правах рукописи

Серегии Игорь Анатольевич

Стохастические модели неопределенности задания функциональной зависимости и пя приложения

Специальность: 01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саикт-Петербург 1994

Работа выполнена в Санкт-Петербургской государственной университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Хованов Н.В. .

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Меньшиков Г.Г.

кандидат физико-математических наук, доцент.Рожков H.H.

Ведущая организация: НИН информатики и автоматизации РАН (С.-Петербург)

Защита состоится " " 1994 года в часов на засе-

дании специализированного Совета К-063.57.16 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском университете по адресу: 199004, С.-Петербург, 10-я линия В.О., Д.ЗЗ, ауд.88.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке им.А.М.Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан

1994 г.

Ученый секретарь специализированцрр Совета доктор физико-математических наук

Горьковой В.Ф,

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Одной из актуальных задач ««тематической кибернетики является задача описания и оценивания управляющих и управляемых систем в условиях неопределенности, то есть в условиях, когда имеется дефицит информации о точлоы виде функциональных зависимостей, определяющих работу гистемы и задающих сделки качества и вф-фективности ее функционирования.

К классу такт задач, связанных с неопределенностью задания функциональных зависимостей, относятся, например, и вопроси описания класса допустимых траекторий дипамический системы при неопределенности задания начальных и/или краевых условий решения соответствующих дифференциальных уравнений, и вопросы выбора априорной функции распределения в байесовской статистике, и проблемы определения функций полезности (надежпости, вффективности, качества) по неточной ("интервальной") информации, и т.д.

Цель работы состоит в построении системы математических моделей неопределенности эад&яия функциональной зависимости, основанных на едином подходе к моделированию дефицита информации при помощи стохастических процессов и полей, индуцированных рандомизированными параметрами, и р использовании этих стохастических моделей для решения ряда актуальных задач математической кибернетики, связанных с неточным заданием оценочных функций и функций распределения вероятностей.

Общие методы исследования. В работе использованы методы теории вероятностей, теории аппроксимации, теоретико-групповые И полугрупповые методы, методы математической комбинаторики и теории полезности.

Научная новизна. На основе общей схемы моделирования неопределенности задания функциональной зависимости при помощи стохастиче-

ских процессов, индуцированных рандомизированными параметрами, доказан ряд теорем, формулирующих достаточные условия существования таких процессов. Получено новое доказательство теоремы об аппроксимации функций распределения при помощи простых агрегатов функций распределения, получающихся в результате группы линейных преобразований, примененных к аргументу, что позволило разработать рациональный подход к формированию класса допустимых функций распределения, описывающему неопределенность задании функциональной зависимости. Получен ряд новых конкретных вычислительных формул для оценок стохастических процессов, индуцированпмх рандомизированными параметрами.

Теоретическое и практическое значение. Разработанные стохастические модели неопределенности задания функциональной зависимости могут быть использованы для описания дефицита информации, возникающего цри решении дифференциальных уравнений, при оценивании аффективное.™ и качества функционирования сложных динамических систем, в байесовской статистике, в теории аппроксимации и в других отраслях теоретической и прикладной математики. Полученные вычислительные формулы легко реализуются на ЭВМ и могут найти практическое применение при решении различных задач математической кибернетики, связанных с использованием неточно заданных дискретных и непрерывных функций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались ва семинаре кафедры математической статистики, теории надежности и массового обслуживания факультета прикладной математики -продессов управления (ПМ-ПУ) С115ГУ (1993-1994), на годичных конференциях факультета ПМ-ПУ СНбГУ (1990-1993), на Всесоюзном семинаре "Мобильное программное обеспечение" (Калинин, 1988), на 2-ой Межреспубликанской конференции " Методы и средства управления тех-

нологическими процессами" (Саранск, 1891), па 3-м Международном семинаре по глобальной оптимизации (Иркутск, 1992), на Международной конференции "IntemJ-94" (СПб, 1994).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых содержит по три параграфа, заключения и списка литературы. Обгем работы составляет 111 страниц, из них 103 страницы занимает основной текст. Список литературы включает 65 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Do Введении ставится обшал задача моделирования неопределенности выбора функции д(с) из класса допустимых функций G - (jfr)) п описывается структура диссертации.

В первом параграфе гл. / строится основная модель неопределенности выбора конкретной параметрической фупкции 9) го класса О = Ы^;").* € Z с Е1,в € 9 = С £'') допустимых фупкций. Эта

модель основана на идее "раидомизашш" параметра 6, определяющего функции д(г\в) из класса (7, в результате чего втот параметр превращается в случайную величину в, а неопределенность задания функциональной зависимости моделируется стохастическим процессом g(i) с реализациями из G, индуцированным ранломизироваппым параметром С по формуле д(г) = д(г\в).

Для важного частпого случая, когда траектории д{г; 0) стохастического процесса у(г) удовлетворяют условию полной монотонности по параметру в ((Уг 6 7, 5(2;i,) > g(z;0)) •—> (S, > получены достаточ-

-в -

выв условия существования рандомизированного параметра в, ивлуоиру югцего стохастический процесс £(») = g(z\$) (см. теоремы 1.1.3, 1.1.4).

Введено понятие квазиравномерного распределения параметра 3, индуцирующего процесс Ц[г) — ¡/(г-,в), то есть распределения, обеспечивающего раиноверолтность попадания траекторий етого процесса в любые области вида W(e,,02) = {(*,и) : Vi € Z д(г;вi) < у < g(*;0,)}, имеющие рапную площадь. Доказала теорема 1.1.5, дающая явную формулу для функции распределения F}(9) квазиравномерно распределенного параметра §.

Второй параграф гл. I посвящен вопросам радиопалыюго формирования масса G = \g{i,e)} допустимых параметризованных функциональных зависимостей е(г-,В), в £ 6. Здесь центральной является теорема 1.2.2, являющаяся модификацией известной теоремы В.И.Зубова об аппроксимации непрерывных монотонных функций распределения. Эта теорема утверждает, что любая непрерывная монотонная функция распределения h(z) может быть равномерно аппроксимирована на всей оси нормированной суммой функций распределения у(*; ц,, представляющих собой результат применения группы линейных преобразований ¿о/'. - щ/^и примененных к функции распределения случайной величины я,, имеющей непрерывную монотонную функцию распределения.

Этот результат положен нами в основу подхода к формированию класса функций П — {j(»;0)}, с точностью до которого задается монотонная функциональная зависимость: »тот класс должен состоять из функций g(i;m,<ri) = y0(z/ffi - fi/ct), фигурирующих в теореме 1.2.2. Иными словами, неопределенности задания функции д{г\1м, с,) сопоставляется неопределенность выбора влемента «/"■ — ^/с, из соответствующей группы преобразований. Это сопоставление делает интересным изучение структуры групп и полугрупп преобразований. Некоторые результаты такого изучения структуры конечных полугрупп зафиксированы в теоремах 1.2.3,

&

1.2.4.

В третьем параграфе гл. / результаты предыдущего параграфа используются для формнровапнл классов допустимы! функций распределения о) — дц(г/а - р/о), задаваемы! с точностью до математического ожидалка jí € и стандартного отклонения о 6 [<г-,<ч). В теорема! 1.3.1, 1.3.2 устанавливается, что рандомизированные квазиравномерно распределенные параметры Д,9, индуцирующие стохастические процессы «(*;/»), f(*¡5), имеют раввомерные распределения на отрезках [>1_, соответственно. Этот интересный результат имеет очевидное и прямое приложение в задачах байесовской статистики.

Вторая глава целиком посвящена подробному изучению конкретны« стохастических процессов, индуцированных рандомизированными параметрами и моделирующих неопределенность задания функций распределения. В первом параграфе ьтой славы рассмотрев».! процессы со степенными^*^) = (i-i_)' (i+ — и экспоненциальнымиg(f,в) = 1—erp(-Oí) реализациями. Получены явные формулы длл математического ожидания М$, дисперсии медианы medí н среднею абсолютного отклонения ahS для квазиравномерно распределеиных параметров, индуцирующих указанные процессы, и вычислены аналогичные характеристики для самих втих процессов (Мд(г), Dg(t), medjj(t), atig(i)) для всех i € Z. Во втором и третьем параграфах гл. И изучаются стохастические процессы, реализациями которых служат линейные функции вида j(j¡ í) = (i - а)(в - а)-1, ,(,; (?) = (,-в)(Ь _ 0)~\ „(т; вив,) = ('-"> )(в2 - 0, )'К Лля всех »тих трех процессов проведено полное изучение с вычислением всех статистических характеристик, упомянутых выше.

В третьей главе строится система стохастических процессов, моделирующих неопределенность задания дискретной функциональной зависимости. Иными словами, изучаемые здесь процессы имеют своими реализациями траектории наконечной целочисленной решетке вида [0,m] х[0, и].

В первом параграфе втой главы рассматриваются в качестве допустимых любые дискретные функции j = j(i) дискротиот арг умента i, отображающие множество А(т) = {0,1,...,т} во множество В(п) = {0,1,...,п}. Полагая равновероятным выбор любого элемента ;o''(i) = Jo''(i, m, п) из класса Л(т,п) = : е tf(rt), i € Л(т), I = 1.....iV0}, полу-

чаем стохастический процесс ]o(i\m, ti), свойства которого устанавливаются теоремой 3.1.1. Аналогично вводится и изучается (см. теорему 3.1.2) стохастический процесс j(r,m, n, /*), траектории которого удовлетворяют системе неравенств I-(i) < п) < /+(i). Обобщением этих двух процессов служит процесс ;0(ч m, n, 1) с равновероятными траекто риями, попадающими в каждый момент времени t в выделенные множества /(i)Ci(n) (см. теорему 3.1.3). Во втором параграфе гл. Ill рассматриваются стохастические процессы, моделирующие неопределенность задания монотонной дискретной зависимости, в частности процесс J>(i;m, п) с равновероятными строго монотонными реализациями, проходящими через точки (0,0) и (ш,п). Лля втого процесса, который оказывается не-стапиояарным и марковским, находятся конечномерпые распределения и все статистические характеристики (см. теорему 3.2.2). Аналогичное Изучение проводится для модификаций указанного процесса (см. теоремы 3.2.3 - 3.2.6). Последний параграф диссертации посвящен изучению асимптотических процессов с реализациями на целочисленной решетке. Теоремы 3.3.1, 3.3.2 описывают асимптотическое поведение процессов J0(«;m,n), Jc(i; т,п,1+), введеввых в §1 гл. III. Лля процесса J>'(i;m, п) с равновероятными монотонными траекториями на целочислен-пой решетке [0, tri] х [0, п] доказывается сходимость его одномерных сечений по функции распределения к случайным величинам, распределенным по бета-закону (см. теорему 3.3.3). Получепный результат позволяет использовать соответствующий предельный процесс для моделирования неопределенности выбора мопотопной функции дискретного аргумента,

принимающей любые значения из отрезка [0,1].

В Заключении приведен список основных результатов диссертации, выносимых на защиту:

1. Разработана общая схема построения стохастических процессов, индуцируемых рандомизированными параметрами и предназначенных для моделирования неопределенности выбора функциональной зависимости. Доказаны теоремы 1.1.3, 1.1.4 о достаточных услсниях существования рандомизированного параметра, индуцирующего стохастический процесс, и теорема 1.1.5, дающая алгоритм построении квазиравномерного распределения рандомизированного параметра ($), гл./).

2. Доказана модификация (теорема 1.2.2) теоремы В И.Зубова о равномерной аппроксимации неарерывных монотонных функций распределения с использованием более простого аппроксимирующего ai peí ата. Этот результат, вместе с теоретико-групповой аргументацией, использован для обоснования формирования класса допустимых траекторий из всех элементов группы "сдвигов" и "растяжений" исходной непрерывной мово-топпой функции распределения (52, гл.1).

3. Доказаны теоремы l.'j.l 1.3.2 о равномерности квазиравномерных распределений рандомизированных математических ожиданий и стандартных отклонений, индуцирующих стохастические процессы, имеющие соответствующие функции распределения в качестве реализаций (J3, гл./).

4. Изучены стохастические процессы, моделирующие неопределенность задания степенных, вкспонеициалышг и линейных функциональных зависимостей. Получепы явные формулы для математических ожиданий, дисперсий, медиан и средних абсолютных отклонений втих иропессов ($51,2,3, гл.//).

5. Изучены стохастические процессы, моделирующие неопределенность выбора дискретных функций дискретного аргумента из конечного

множества и имеющие в качестве своих реализаций траектории иа конечной целочисленной решетке. Доказаны теоремы об асимптотическом поведении таких процессов ($$1,2,3, гл.///).

1. Серегин И.А. Некоторые числовые характеристики полной полугруппы преобразований. Л., 1888. - 17 с. Лен. в ВИНИТИ 15.06.88, N 4706-В88.

2. Серегип И.А. Библиотека научных подпрограмм "АВТОМАТ" // Всесоюзный иаучно-техпический семинар "Мобильное программное обеспечение". Тезисы докладов. Калннип, 1988. - С.103-106.

3. Серегин И.А. (с соавт.). Теория построения контрольно-обучающих программ (учебное пособие). СПб, 1991. - 132 с.

4. Серегин И.А. (с соавт.). Система математических методов для поддержки принятия решений при планировании стратегии развития в условиях дефицита информации // 3-й Международный семинар по глобальной оптимизации. Тезисы докладов. Иркутск, 1992. - С.20-21.

6. Серегин И.А. Стохастические модели неопределенности задания функциональных зависимостей. СПб., 1994. - 18 с. Деп. в ВИНИТИ 20.02.94, N 449-В94.

Публикации автора по теме диссертации