Принцип умеренно больших уклонений для решений стохастических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

д ^ ^ ^ На пРавах рукописи

Логачёв Артём Васильевич А -. п

Принцип умеренно больших уклонений для решений стохастических уравнений

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2015

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования "Сибирский государственный университет геосистем и технологий".

Научный руководитель:

Махно Сергей Яковлевич, доктор физико-математических наук. Официальные оппоненты:

Веретенников Александр Юрьевич, доктор физико-математических наук, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", ведущий н.с. международной лаборатории стохастического анализа и его приложений, профессор.

Лркашов Николай Сергеевич, кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Новосибирский государственный технический университет", кафедра высшей математики, заведующий кафедрой, доцент.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук.

Защита состоится 23 сентября 2015 г. в 16.30 на заседании диссертационного совета Д 003.015.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, пр. акад. Когтога, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук и на сайте matli.ii.sc.ru.

Автореферат разослан « ^ »_О б>_2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук /С&о^-^у^г^^ Ю.В. Шамардин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Во многих интересных экономических и физических задачах приходится рассматривать семейства очень маловероятных событий. Оказывается, в некоторых случаях удается идентифицировать показатель экспоненты, задающий скорость убывания (по некоторому параметру) изучаемой вероятности, то есть обосновать принцип больших уклонений для последовательности вероятностных мер.

Теория больших уклонений зародилась в 30-е годы 20 века. У ее истоков стоит работа Г. Крамера1, посвященная принципу больших уклонений для сумм независимых случайных величин.

Оценки различных типов уклонений - малых, умеренных, больших, сверх больших для сумм случайных величин и последовательностей случайных процессов находятся в центре внимания исследователей. Так как именно они позволяют качественно применять на практике теоретические разработки для оценки параметров наблюдаемых процессов, построений доверительных интервалов для их параметров, оценок областей пребывания случайных процессов, времени пребывания случайных процессов в заданных областях и т. д. Основы теории больших уклонений для решений стохастических уравнений были заложены в работах А.Д. Вентцеля и М.И. Фрейдлина2.

Основными направлениями развития этой теории в современной математике являются обоснование принципа больших уклонений для специальных типов случайных процессов, применяемых в современной экономике и теории передачи информации, а также для стохастических дифференциальных уравнений с все более и более слабыми условиями на коэффициенты, которые находят широкое применение в электротехнике, физике и астрономии.

Математической моделью таких процессов являются решения дифференциальных уравнений с малыми случайными возмущениями. Теория стохастических уравнений является большим и активно изучаемым классом в теории случайных процессов. В диссертационной работе рассматриваются умеренно большие уклонения для решений стохастических уравнений. Для многих типов рассматриваемых в диссертации уравнений не предполагается обычная для многих работ невырожденность диффузионной компоненты и наличие поточечных пределов у коэффициентов. Устанавливается асимптотика пребывания решений в окрестности неслучайной кривой, доказывается функци-

1Ci-ttuicii II. Sur un nouveau theoreine-liniire du la t.lieorie des probabilités //Actualités Scientifiques et. Industrielles. Hermann, Paris, 1938. - p. 5-23.

аВептцель А.Д. Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. - М.: Наука, 1979. - 424 с.

ональный закон повторного логарифма, в частности, для такого физического объекта, как телеграфная волна. Все это говорит об актуальности работы.

Цель и задачи исследования. Объектом исследования данной диссертации являются случайные процессы. Предметом исследования являются последовательности случайных процессов, содержащих пуассоновский шум и последовательности решений стохастических дифференциальных уравнений Ито. Основная цель диссертации - обосновать принцип умеренно больших уклонений для вышеописанных последовательностей. Другой целью диссертации является доказательство закона типа повторного логарифма для интегралов Ито.

Научная новизна. В диссертации получены легко проверяемые условия на коэффициенты стохастических уравнений, содержащих интеграл по пуас-соновской мере и не содержащих диффузии, при которых выполнен принцип умеренно больших уклонений, получен принцип умеренно больших уклонений для стохастических уравнений Ито при условии существования интегральных средних у коэффициентов, доказан функциональный закон повторного логарифма для интегралов Ито со случайной подинтегральной функцией. Указанные результаты являются новыми или обобщают известные ранее.

Методы исследований. В работе использованы методы теории мартингалов, теории стохастических дифференциальных уравнений, а также разнообразные методы функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Изложенные в ней результаты могут быть использованы при изучении прикладных проблем с целью оценки вероятностей маловероятных событий.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах.

1. Международная конференция "Modern problem and new trends in probability theory"(19-26 июня 2005 г., г. Черновцы, Украина).

2. Международная конференция "Skorokhod space. 50 years on" (17-23 июня 2007 г., г. Киев, Украина).

3. Всеукраинская конференция "Современные проблемы теории вероятностей и смежные вопросы" в честь 90-летия со дня рождения И.И. Гихмана (24-26 мая 2008 г., г. Умань, Украина).

4. Международная конференция "Conference on Stochastic Models and their Applications"(22-24 августа 2011 г., г. Дебрецен, Венгрия).

5. Международная конференция посвященной 120-летию со дня рождения Стефана Банаха (17-21 сентября 2012 г., г. Львов, Украина).

6. Научный семинар "Исчисление Маллявена и его приложения" Института математики HAH Украины, г. Киев (руководитель семинара - доктор физ.-мат. наук, проф. A.A. Дороговцев).

7. Научный семинар кафедры математического анализа и теории вероятностей Национального технического университета Украины (КПИ), г. Киев (руководитель семинара - доктор физ.-мат. наук, проф. В.В. Булдыгин) в 2009 г.

8. Научный семинар "Теория вероятностей и математическая статистика" кафедры теории вероятностей и математической статистики Киевского национального университета им. Т. Шевченко, г. Киев (руководители семинара - доктор физ.-мат. наук, проф. Ю.С. Мишура, доктор физ.-мат. наук, проф. Ю.В. Козаченко).

9. Научный семинар отдела теории вероятностей и математической статистики Института прикладной математики и механики HAH Украины, г. Донецк (руководитель семинара - доктор физ.-мат. наук С.Я. Махно).

10. Научный семинар лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики им. C.J1. Соболева ,СО РАН, г. Новосибирск (руководитель семинара - академик РАН A.A. Боровков).

Связь работы с научными программами, планами, темами. Результаты диссертации получены при исследованиях, проводимых в отделе теории вероятностей и математической статистики ИПММ HAH Украины в г. Донецке по темам: "Асимптотический анализ в теории случайных процессов, теории стохастических уравнений, задачах математической статистики" (шифр темы - III-4-04, номер государственной регистрации №010411000861), "Стохастические уравнения. Качественные и асимптотические свойства"(шифр темы - III-4-09, номер государственной регистрации №0109U002772) и "Асимптотические свойства решений стохастических уравнений" (шифр темы - III-4-14, номер государственной регистрации №0114U002023).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [6]. Работы [4] и [6] входят в базу данных Scopus. Работы [1], [2], [3], [5] входят в перечень ВАК Украины.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы в 6 работах. Работа [4] написана в соавторстве с С.Я. Махно Ь данной работе С.Я. Махно принадлежат постановка задач и выбор метода исследования. Соискателю принадлежат доказательства основных результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из оглавления,

списка основных обозначений, введения, четырёх глав, заключения и списка используемой литературы. Объем диссертации 108 страниц. Основные результаты диссертации.

1. Получен принцип умеренно больших уклонений для семимартингалов, содержащих пуассоновский шум.

2. Получен принцип умеренно больших уклонений для решений стохастических дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, содержащих интеграл по пуассоновской мере и вырожденным коэффициентом диффузии.

3. Получен принцип умеренно больших уклонений для нормированных интегралов от процессов типа телеграфного сигнала.

4. Получен принцип умеренно больших уклонений для решений стохастических дифференциальных уравнений Ито при условии существования интегральных средних у коэффициентов.

5. Получен функциональный закон повторного логарифма для интегралов Ито при условии сходимости по вероятности его квадратической характеристики к линейной функции. В частности, доказан закон повторного логарифма для решений стохастических уравнений Ито в случайной среде.

Краткое содержание работы

Во введении дается обзор работ по теме исследований, обсуждается содержание диссертации по главам, а также приводятся основные известные результаты, которые будут использоваться. Перед тем, как переходить к обзору основных результатов диссертации, приведем определение принципа больших уклонений (п.б.у.), которое используется в основных разделах работы.

Определение 1. Семейство вероятностных мер Р„ на некотором метрическом пространстве (Y ,d) удовлетворяет принципу больших уклонений с функционалом действия S(y) и нормирующей функцией ф(п), если ф(п) —» оо при п —> оо и выполнены следующие условия:

1) функционал S(y) полунепрерывен снизу;

2) для любого с > 0 множество Ф (у) = {у : S(y) < с} компактно;

3) lim lnP„(F) < —S(F) для любого замкнутого множества

Feb(Y,d);

4) Ит -T¡LylnPn(G) > —S(G) для любого открытого множества

п-> оо 1

G € B(Y,d). где S{A) = inf S{y).

ye А

Везде далее будем использовать обозначения: (С[а,6],р) - пространство

непрерывных на [a,i] функций с заданной на нем равномерной метрикой; (Ю[а, Ь], р) - пространство непрерывных справа и имеющих пределы слева на отрезке [а,Ь] функций с заданной на нем равномерной метрикой; Ь2[а,Ь] -пространство суммируемых с квадратом на отрезке [а, 6] функций.

Первая глава диссертации посвящена принципу умеренно больших уклонений (п.у.б.у.) для случайных процессов, содержащих пуас-соновский шум.

Рассмотрена последовательность случайных процессов Tjn(i), tl € М, t fE [0,1], которая определена на стохастическом базисе (fi,^, i?t, Р) и допускает представление

t i V*i(t)=x0 + J an(s,u)ds + 1 J J fn(u,s,u))i>n(du,ds), (1)

о о

где vn(du, dt) - "St согласованная мартингальная пуассоновская мера с параметром nY[{du)dt, и S [/; процесс an(t, ш) является прогрессивно измеримым; процесс fn(uyt,ui) - 'St— предсказуем; <р(п) положительная монотонно возрастающая функция, стремящаяся к +оо.

Будем считать, что существует константа А > 1 такая, что для всех п € К,

t е [о, 1]

/

ехр{|/и(иЛ")|}1(|/п(«,*,ы)| > 1)П(^и) < А п.н., (2)

I < А п.н. (3)

Заметим, что в частном случае процесс (1) может быть решением стохастического уравнения со случайными коэффициентами, то есть

Если (1) представляет собой стохастическое уравнение, коэффициенты которого неслучайны и не зависят от п, то принцип умеренно больших уклонений обоснован в монографии А.Д. Вентцеля3. Принцип умеренно больших уклонений для стохастических уравнений, содержащих как интеграл по пуас-соновской мере, так и интеграл по винеровскому процессу, получен в работе

3Вентцель А.Д. Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов -М.: Наука, 1980.

С.Я. Махно4 при условии невырожденности коэффициента диффузии. Стохастические уравнения, содержащие интеграл по пуассоновской мере, при других условиях и с использованием другой техники рассмотрены в работе A.A. Пухальского 5.

Сформулируем основную теорему первой главы.

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1) Иш ^ = 0;

2) существует такая неслучайная функция f(t) 6 Ьг[0,1], что для любого е > 0

t i

lim -i—lnP( sup / [ f*(u,s,u)n{du)ds- f f2(s)ds n-юо tp*{n) \t€[0,l]|v J J

> e = —oo;

3) существует такая неслучайная функция а(£) е Ьг[0,1], что для любого е > 0

lim } In Р f sup

7.-Ю0 If (п) Vi6[0,l]

J an(s,u)ds - J a(s)di

> e = -oo;

4) fn(u, t) удовлетворяет неравенствам (2) и (3).

Тогда семейство мер Р„(Л) = Р{i]n{-) € А), А 6 ©(Ю>[0,1],р) удовлетворяет принципу больших уклонений на пространстве (D[0,1], р) с функцией ip{n) = <р2(п) и функционалом действия

S(x) = ( 3 } *(') 6 ACIO[0,1],

+оо, в противном случае.

Теорема 1 дает возможность получать теоремы об умеренно больших уклонениях, если абсолютно непрерывная составляющая и характеристика мар-тингальной составляющей семейства семимартингалов (1) сходятся с определенной скоростью к интегралам от детерминированных функций. Такой подход иллюстрируется обоснованием п.у.б.у. для уравнений и процессов, когда:

1) есть эффект усреднения (уклонения для нормированного интеграла от

4Махно С.Я. Большие уклоиеиия для решений стохастических уравнений //Теория вероятностей и ее применения. - 1995. - Т. 40. - № 4. - с. 764-785.

BPuhalskii A.A. On some degenerate large deviation problems // Electronic journal of probability. - 2004. -v. 9. - p. 8G2-88G.

процесса телеграфного сигнала, уклонения для решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами);

2) процесс является процессом с независимыми приращениями без непрерывной мартингальной компоненты;

3) уравнение решается в явном виде (п.у.б.у. для обобщенного процесса Орнш-тейна-Уленбека).

С помощью теоремы 1 в первой главе получены следующие результаты. Принцип умеренно больших уклонений для решений стохастических дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим последовательность случайных процессов т}„(1), п е К, £ 6 [0,1] определенную на стохастическом базисе (Л, 5, Р) и являющуюся решениями стохастических уравнений

е (

лЛ*) = хо + У а(7(п)т?„(5))с/5 +У ! $ {и,-у{п)т}п{в))йп{<1и,й5),

о о

где йп(с1и, (И) - согласованная мартингальная пуассоновская мера с параметром пЩс1и)(И, и 6 и, неслучайные функции а(х), /(а.) = / }'2(и,х)Щйи) непрерывно дифференцируемые и периодические с периодом 1.

Существование и единственность сильного решения у приведенного выше уравнения следуют из теоремы 9.1 монографии С. Ватанабэ, Н. Икэда6. Введем следующие обозначения

v=°

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1.1) lim = 1.2) lim -Ä = 0;

n-»oo Vn n-»oo у 7(n)

найдется А > 1 такое, что для всех и, х выполнены неравенства

2.1) |/2(и,.т)| + |/»| + |/»| + \а(х)\ + |а'(х)| < Л;

2.2){<Jf2(u,x)U(du).

Тогда семейство мер Рп(>1) = Р('7п(-) € А), А € Q5(D[0,1],р) удовлетворяет принципу больших уклонений на пространстве (В[0,1],р) с функцией

бВат&набэ С. Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. -М.: Наука, 1ÜBG. - Ш с.

ф(п) = ip2(n) и функционалом действия

i

S(x) = J 5 ~ v^dt' если e [ +00, в противном случае.

Отметим, что аналогичный результат для уравнений с интегралом по вине-ровекому процессу следует из работы M.I. Preidlin, R.B. Sowers7.

Принцип умеренно больших уклонений для некоторых процессов с независимыми приращениями.

Рассмотрим последовательность случайных процессов 77n(i), п € М, i е [0,1], определенную на стохастическом базисе У, Г3) и допускающую представление

t t 4n.it) = .-со + J an(s)ds + J J fn(u, s)i>n(du, ds), о 0

где vn(du, dt) - 3t согласованная мартингальная пуассоновская мера с параметром nll(du)dt, и & U, an(t) и fn{u,t) - неслучайные функции, <р{п) -положительная монотонно возрастающая функция, стремящаяся к +оо.

Заметим, что п.у.б.у. для однородных процессов с независимыми приращениями получен в гораздо более общем случае в работе A.A. Могульского8.

Будем считать, что существует константа Л > 1 такая, что для всех и 6 U, t € [0,1]

/ехр{|/„(М)|}1(|/п(М)1 > l)n(du) < А,

(4)

Теорема 3. Пусть выполнены условия

1) lim ^ =0;

' »->00 V"

2) существует такая функция f(t.) € Ьг[0,1], что для любого е > О

lim sup 7l_>0° te [0,1]

t г.

I j f2(uts)U(du)ds- I f2{s)ds

< e;

'Freidlin M I. Sowers H.B. A comparison of homogenization and large deviations, with applications to wavefront propagation //Stochastic processes and their applications. - 1999. - v. 82. - № 1. - p. 23-52.

"Mogulskii A.A. Large deviations for processes with independent increments //The annals of probability. -1993.-p. 202-215.

3) существует такая функция a(t) g l2[0,1], что для любого е > о

4) функция /Т1(и, £) удовлетворяет условию (4).

Тогда семейство мер Рп(>1) = Р(»/п(-) 6 А), А € ®(В[0,1],р) удовлетворяет принципу больших уклонений на пространстве (0[0,1],р) с функцией 1р(п) = <р2(п) и функционалом действия

Принцип умеренно больших уклонений для обобщенного процесса Орнштейна - Уленбека.

Рассмотрим последовательность случайных процессов /х,,^), п € К. 1 € [0,1], определенную на стохастическом базисе (О, У, Зч, Р) и являющуюся решением линейного уравнения

где йп{<1и, ¿1) - & согласованная мартингальная пуассоновская мера с параметром пЛ.{йи)<И, и € и, ап - числорая последовательность, /„(и) - последовательность неслучайных функций, <р(п) - положительная монотонно возрастающая функция, стремящаяся к +оо.

Будем считать, что существует константа А > 1 такая, что для всех и £ и,

[ 1 j ИО-у)^ если x(f) е ACro[0] ^

+оо, в противном случае.

о о

l/n(u)| < А,

Справедлива следующая теорема. Теорема 4. Пусть выполнены условия

2) существует такая константа /2, что

3) существует такая константа к, что

lim а„ = к\

п-юо

4) последовательность f2(v) удовлетворяет неравенствам (5).

Тогда семейство мер РП(А) = Р(м«(') G A), A G 93(D[0,1],/э) удовлетворяет принципу больших уклонений на пространстве (Ю>[0,1], р) с функцией ф(п) = iр2(п) и функционалом действия

S(x) = / 271 /(*(') ~ kx{t))2dt, если х(í) G ACIO[0,1], ( -boo, в противном случае.

Отметим, что в работе M. Rockner, Т. Zhang 9 доказывается подобная теорема для случая, когда lim = k > 0, то есть получен п.б.у.

п—юо VI

Результаты первой главы содержатся в работе [5].

Во второй главе работы получен принцип умеренно больших уклонений для случайных процессов типа телеграфного сигнала.

Рассмотрена последовательность случайных процессов T¡n(t), п G R, t G [0,1], определенная на стохастическом базисе (0,5, вида

Vn(t) = / cos(ai/(ns) + ß)ds. (6)

ip{n) J 0

Здесь i>{t) - согласованный процесс Пуассона с параметром A t, ip(n) — это монотонно возрастающая функция, стремящаяся к +оо, параметры а, ß G (0, 27г].

Теорема 5. Пусть lim ^ = 0, a,ß G (0,2тг].

Справедливы следующие утверждения. 1) Если a G (О,7г) U (я-, 2п), то семейство мер Р„(Л) = Р(т]п(-) G А) удовлетворяет принципу больших уклонений на пространстве (С[0,1],р) с функцией ф{п) = <р2(п) и функционалом действия

п / \ _ í f x2(t)dí, если x(t) G AC0[0,1], ùiW — \ о

оо, в противном случае.

eRockner M. Zhang T. Stochastic evolution equations of jump type: ,existence, uniqueness and large deviation principles //Potential Analysis. - 2007. - v. 2G. - № 3. - p. 255-273.

2) Если а = 7г, /3 ф §, /3 ф то семейство мер Р„(Л) = P(7/n(-) е Л) удовлетворяет принципу больших уклонений на пространстве (С[0,1], р) с функцией "ф{п) = <р2(п) и функционалом действия

s2(x) = J ïïàm /±2(')л> есуш *(') 6 АСо[°. Ч.

оо, в противном случае.

Техника, которая использовалась во второй главе, заключается в приведении процессов типа (6) к неразличимым с точки зрения п.у.б.у. процессам типа (1). При этом, вообще говоря, условие невырожденности (3) будет нарушаться.

Результаты второй главы содержатся в работах [2], [4].

Третья глава диссертации посвящена принципу умеренно больших уклонений для решений одномерных уравнений Ито.

Рассмотрена заданная на стохастическом базисе (П,^, foiP) последовательность решений стохастических уравнений

t t Vn(t) = + J b(nr]n(s))ds + —r^y J a(nrj„(s))dw(s), (7)

о о

где w(t) - винеровский процесс, b(x) и a(x) - неслучайные функции, удовлетворяющие условиям 3 А > 1 :

\ < 02{х) < А, |Ь(*)| < Л, (8)

п е R, t 6 [0.1], <р(п) - положительная монотонно возрастающая функция, стремящаяся к +оо.

Заметим, что если выполнено условие (8), то из работы Н.В. Крылова10 следует, что у уравнения (7) существует единственное слабое решение.

Известны результаты об умеренно больших уклонениях для случая, когда коэффициенты Ь(х) и а(х) являются дважды непрерывно дифференцируемыми периодическими функциями11 или выполнено условие (M) работы

10Krylov N.V. Oil Ito's stochastic differcntinJ equations // Theory of Proh- ability and Its Applications. -1969. - v. 14. - № 2. - p. 330-336.

"Freidlin M.I. Sowers R.B. A comparison of homogenization and large deviations, with applications to wavefront propagation //Stochastic processes and their applications. - 1999. - v. 82. - № 1. - p. 23-52.

С.Я. Махно12. В диссертационной работе от функций Ь(х) и а(х) не требуется ни гладкости, ни периодичности и показано, что при предположении (8) для обоснования принципа больших уклонений достаточно существования у них интегральных средних. При этом оказывается, что порядок роста функции <р(п) при п оо будет зависеть от поведения интегралов от коэффициентов уравнения. Отметим, что при доказательстве основного результата третьей главы используется теорема, аналогичная теореме 1 главы 1, полученная для диффузионных процессов. Такая теорема следует из работы A.A. Пухальско-го 13, где результат сформулирован и получен в терминах теории максингалов и идемпотентных мер, и из работы Р.Ш. Липцера, П. Чиганского14, где она получена с помощью классической техники.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Пусть выполнены условия

1)

hm f о, \dx = lim — f „. ,dx = 1/a, Г-юоТУ (T (x) T^ooTj ct (X) 1 '

0 -T

1 } b(x) J 1 } b(x) J

I m - / -^A-dx = lim - / -^r dx = В; T->ooTj a2(x) t^ooTJ a2(x)

0 -T

2) для любого о О

lim sup —7=-

n_>0° |u|<c V" '

U7i

J ^(s^sj + ly e2(s)ds

= 0,

где

(Ь(Д)-Да) а

Тогда семейство мер РП(Л) = Р(7?п(-) € Л), Л 6 23(С[0,1],р) удовлетворяет принципу больших уклонений на пространстве (С[0,1], р) с нормиру-

12Махно С. Я. Большие уклонения для решений стохастических уравнений //Теория вероятностей и ее применения. - 1995. - Т. 40. - № 4. - с. 764-785.

13Пухольский A.A. Большие уклонения стохастических динамических систем. - М.: Фиэматлит, 2005.

"Липцер Р.Ш. Чнгапский П. Умеренные уклонения для процесса диффузионного типа d случайной среде //Теория вероятностей и ее применения. - 2009. - №1. т. 54 - с. 39-62.

ющей функцией ф{п) = (/з2(п) и функционалом действия

S(x) = | Е " Ba)2dil eCÄU 6 AClo[0' [ +00, в противном случае.

Результаты третьей главы содержатся в работе [1].

В четвертой главе работы получен функциональный закон повторного логарифма для стохастических интегралов Ито.

В диссертации доказан функциональный закон повторного логарифма для последовательности заданных на стохастическом базисе (0,5, З^Р) случайных процессов

л (

/ /n(w, s)dw(s) 9n(t) = 5--, (9)

где w(t) это St - согласованный винеровский процесс, такой, что приращения w(u)—w(t) не зависят от St при и > t; случайные процессы fn(ui, t) являются St ~ прогрессивно измеримыми.

Будем предполагать, что существует неслучайная постоянная А > 1 такая, что почти наверное

i < < А, п е N.

В работе A.B. Булинского15 доказан функциональный закон повторного логарифма для процесса (9) при /п(ш, i) = 1 в равномерной метрике с нормирующей функцией <р(п), более общей, чем классическая у/2 In Inn. Обобщение результата A.B. Булинского на случай решений стохастических уравнений с периодическими коэффициентами, возмущенных скачкообразным случайным процессом, проведено в работе С.Я. Махно16. В диссертационной работе получен функциональный закон повторного логарифма для процессов (9) при иных предположениях, чем в работе С.Я. Махно, и другим методом. Отметим, что подинтегральная функция может быть случайной и не требуется существования ее поточечного предела при п —> оо. Также показана связь между видом функционала действия в п.б.у. и видом предельного множества в законе повторного логарифма.

"Булниский А.В. Новый вариант функционального закона повторного логарифма //Теория вероятностей и ее применения. - 1980. - №3. т. 25 - с. 502-511.

16Makhno S.Yft. Functional iterated logarithmic law for solutions of stochastic equations //Stochastics. -2000. - v. 70 - № 3-4 - p. 221-239.

Обозначим Ф - класс неубывающих функций tp(n), п Е N, таких, что

lim у(п) = оо.

п-Уоо

Рассмотрим функционал

= пк = [с% Ol.

Для <р определим

R2(ip) = inf{r > 0 : 1{<р, г, с) < оо}. (10)

R2(f) = оо, если не существует такого конечного г, что 1(<р,г, с) < оо.

Заметим, что для <р(п) = л/2 In In (п.) (случай, который рассмотрел V.

Strassen в ставшей уже классической работе17) R2(<p) = 1.

Обозначим Кт(а) замыкание по норме ||z( )|| = sup |x(i)| множества таких

fe[o,i]

функций x(t) е АСо[0,1], что f dt < г2, где константа а > 0.

о

Справедлива следующая теорема. Теорема 7. Пусть <р(п) € Ф и выполнено условие

t.

lim In Р ( sup /(f2(ui, ns) - a)ds

n-ico (p\n) \(6[0,ll|j

>£\ =

Тогда мноэ/сество предельных точек последовательности случайных процессов 0n(t) с вероятностью единица совпадает с Кц{а), где В? = R2(<p) определяется формулой (10).

С помощью теоремы 7 в четвертой главе, в частности, получен закон повторного логарифма для решений стохастических уравнений Ито в случайной среде. Результаты четвертой главы содержатся в работах [3], [б].

В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. Махно Сергею Яковлевичу, а также заведующему кафедрой теории вероятностей и математической статистики Донецкого национального университета д.ф.-м.н. Бондареву Борису Владимировичу за внимание к работе. Отдельно автор благодарит д.ф.-м.н. Могульского Анатолия Альфредовича за моральную поддержку и ценные советы.

17Strassen V. An invariance principle of the law of the iterated logarithm // Z. Wahrsch. Verw. Geb. - 1964. № 3. - p. 211-22U.

Публикации по теме диссертации

1] Логачёв А.В. Большие уклонения для решений одномерных уравнений Ито // Теор]я ймов1рностей та математична статистика. - 2014. - т. 90.

- с. 113-122.

2] Логачев А.В. Предельная теорема для интеграла от телеграфного сигнала // Прикладна статистика актуарна та фшансова математика. - 2003.

- № 1-2. - с. 77-86.

3] Логачёв А.В. Функциональный закон повторного логарифма для стохастических интегралов Ито // Укра'шський математичний вюник. - 2014. -т. 11. - №4. - с. 508-523.

4] Logachov A.V. Makhno S.Y. Large deviations for integrals of telegraph processes type // Random Operators and Stochastic Equations. - 2014. -v. 22. - № 1. - p. 43-52.

5] Logachov A. Large deviation principle for processes with Poisson noise term // Theory of Stochastic Processes. - 2012 - v. 18(34). - № 2. - p. 59-76.

6] Logachov A.V. The functional law of iterated logarithm for Ito stochastic integrals // Journal of Mathematical Sciences. - 2015. - v. 207. - № 1. -p. 47-58.

Изд. лиц. №ЛР 020461 от 04.03.1997г. Подписано в печать 18.06.2015. Формат 60x84 1/16 Печать цифровая Печ.л. 1,0 Заказ 71. Тираж 100. Гигиеническое заключение № 54. НЦ. 02.953. П. 133.11.01. от 19.11.2001. Отпечатано в картопечатной лаборатории сгга 630108, Новосибирск, 108, Плахотного 8

2015674228

2015674228