Алгебры связностей полугрупп преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КИКВСЬКИЙ УН1ВЕРСИТЕТ 1МЕН1 ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Ой

I ?» ■;

На правах рукопису УДК 512.538

Д1ЯШ ФУРТАДУ НАТАЛХЯ . АЛГЕБРИ ЗВ'ЯЗНОСТЕЙ НАП1ВГРУП ПЕРЕТВОРЕНЬ

01.01.06 - алгебра 1 теор1я чисел

Авто ре ф е р а т

дисертацП на здобуття наунового ступени кандидата ф1згасо-математичних наук

К и I з - 1995

Дисертап1сю е рукопис

Робота виконана в КиКвському ун!верситет1 1мен1 Тараса Шевченка.

Науковий кер!вник : - доктор ф1зико-математичних наук, професор СУЩАНСЬКИЙ В.1.

0ф1ц!йн1 опоненти : - доктор ф1зико-татематичних наук,

професор кафедри математичних основ к1бернетики Ки'1вського ун1верситету ПРОТАСОВ 1.В. - кандидат ф!зико-математичнгос на; ч, доцент Слов'яйського державного пед-1нституту УСЕНКО В.М.

Пров1дна.установа • - Льв1вський державний-ун1верситет -)м. 1ваяа Франка

Захист в!д(5удеться "_" 1995 р. о год.

на зас1данн1 СпеШал1зовано1' Ради Д 01.01.01 при Швському университет! 1м. Тараса Шевченка за адресов :

252127 м.Ки'(в-127, пр.Академ!ка Глушкова 6, механ1ко-мате-матичний факультет.

3 дисертаы1ею можна ознайомитися в еЯсШотец! Ки'/вського ун1-верситету }м.Тараса Шевченка /вул.Володимирська 62/.

Автореферат роз!слано _"__ 1995 р.

Вчений секретер Спеп1ал1зовано!" Ради,

канд. ф!з.-мат. наук С.А.0во1енко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалънгсть теми. Одним з найб гльш вживаних способ¡в завдан-ня груп чи нап1вгруп перетворень е зображення IX у вигляд1 авто-морф{зм1в чи, в1дпов!дно, ендоморф1зм1в ргзних систем в1дношенъ над основною множиною. Характеризац1я родин всгх вгдношень, як! е 1нва-р}анташ щодо дп групи чи нап1вгрупи перетворень, здП^снюеться в рамках розвинуто'1 М.Краснером абстрактно I теорН Галуа^. А саме, родина вгдношень б уде множиною вс!х релншйних 1нваргант1в деяко'1 на-П1вгрупи чи груш перетворень, коли вона е замкненою щодо певного набору операгпй, тобто утворюе так звану алгебру Краснера /в ¡нш(й терм1нолог!'1 - клон Красиера/ першого, чи в1дп0в1дн0, другого роду. У повн!й загальност!, абстрактна теор}я Галуа встаювлюс в1дпов!д-!псть м1ж клонами функнШ над данов множиною 1 реляшйниш клонами на Н1Й^. Завдяки ньому, теорп функн1ональних I реляигйних клон¡в розвиваються у певному розуштп паралельно. Першу спробу розгор-нугого викладу пих теор!й I взаемозв'язк1в М1ж ними здИснено у мо-ногра^1 гг Л.Калужн!на I Р.Пьошеля3. 3 того часу, завдяки роботам 1.Розенберга,.Р.Пьошеля, Р.Вьорнера, АЛендрей, БЛакань, П.Палф! та ¡н. теор1я функп!ональних { реля1Нйних клон!в збагатилася нови-ми п!кавими результатами та розширила коло свогх застосувань. Важ-ливу роль при ггьому з1грало виокремлення абстрактних понять функ-Шонального та реляп Иного клон1В, з'д1Йсненв АЛендрей4 1 В.Тейлором5, що дас змогу застосувати до них методи теорН ун!версальних алгебр.

г

2

Krasner M. Une generalization de la notion dé corpa U J.de Math, pures et eppl. 1938.- V.XVII.- n.4- PP. 367 - 385.

B.Г.Боднарчук,Л.А.Калужнин,В.Н.Котов,Б.А.Ромов. Теория Галуа для - алгебр Поста I, II -//Кибернетика.- 1969, № 3, С. 1-10, № 5,

C. 1-9.

3

B.Posohel, L.A.Kaluznin. Funktionen - und Relationen algebren // Berlin.-Deuth.Verlag der Wissenschaften.- 1979.- 289 p.

Agnes Szendrei. Clones in universal algebra // Les "presses de 1«université de Montreal.- 1986.- 166 p.

Walter Taylor. Abstract Clone Theory // Algebras and Orders. Edited by Ivo G.Rosenberg and Gert-SPbidussi. NATO ASI Series. Vol. 389. Kluwer Acad.Publ. 1993.- PP. 263 - 280.

Нти теоргя функшоналыгах 1 реляцШних клонIв е розгорнутою математичною дисциплиною з своею власною проблематикою, методами досл1джень та шкавими застосуваннями. Однгею з природних проблем, як} тут виникають е пошук I досшдження ргзних модифгканШ основ-но'1 вгдпов!дност1 Галуа. Так з нап1вгрупами перетворень природнш чином можна пов'язувати й шш алгебри вшюшень, як1 несуть гсто-тну 1нформац1ю про будову ! властивост нагпвгруп. Досл1дженню од-н!е1 з таких нових в1дпов1дностей 1 присвячено дану дисертацШну роботу. Якщо в класичному випадку алгебр Краснера основну роль в(-дгграе поняття жвар!антност г вгдношення, то в нашому випадку воно зашнвсться не мент природаим поняттям його зв'язност4 щодо дано'* нашвгрупи перетворень.

Мета робота. розглянути нов: класи реляншних алгебр - $ -алгебри та РК -алгебри, досл1дити основнх властивост! алгебр зв'язностей нап1вгруп перетворень. Описати алгебри зв'язностей на-гй вгрупових конструкшй. Побудувати в1Дповшисть Галуа м1ж Я -алгебрами чи Рй -алгебрами I нап1вгрупами перетворень, вивчити властивост! Шех в1Дпов!Дност1 для 1нверсних нагпвгруп часткових п1дстановок.

Методи лослгддення. Використовуються методи теор1'1 клон!в, ун!версальних алгебр та нап1вгруп перетворень.

Наукова новизна. 0сновн1 результата дисертапШно'1 роботи е новими. Розглянуто нов! класи реляшйних алгебр - й -^алгебри та РЯ -алгебри. Введено поняття зв'язност! нап!вгруп перетворень та алгебр зв'язностей, досл1джено 1х основн! властивост!. Описано . алгебри зв'язностей нативгрупових конструкиШ : прямо"! суш, прямого } в^иевого добутк!в напхвгруд перетворень, операо1й п!днесен-ня до степеня. Побудовано в!дпов!дн1сть Галуа м1ж реляшйними алгебрами та нап1вгрупами перетворень над даною множиною, вивчено властивостг В1ДП0ВЛДН0СТ1 Галуа м1ж рй -алгебрами та 1нверони-ми нап1вгрупами часткових постановок над скшченною множиною.

Теоретичне 1 прикладне значения. Одержан! результати мають теоретичний характер. Вони можуть бути використан1 при вивченн1 будови реляцШних алгебр та нап!вгруп перетворень.

АпробшПя роботи. Основа результати дисерташйног роботи до-пов!дались на заеданиях сем!кару з теорП труп та напгвгруп при кафедр! алгебри та математично! логИш Кихвського ушверситету ¡м.Тараса Шевченка /1992 - 1994 рр./, на Реепу*Шканськ!й науково-методичн!й конферетп I, присвяченШ 200-р1ччю в!д дня народження

МЛ.Лобачевського /Одеса, 1992 р./, конференпН молодих учених Ки1вського ун!верситету /1993 р./, Всеукра'шськ1й конференцП молодих учених /Ки1в, 1994 р./. а також були представлен! на Трет1й м1жнародн1й конференцП з алгебри пам'ят! М. I .Каргаполова /Крас-ноярськ, 1993 р./.

Публ(кац1;. Основн! результата дисертац1йног роботи опубл!ко-вано в роботах [1] - [ 6 ] .

- Структура ( обсяг дисертанП'. Робота складаеться з вступу, 11 параграфе, розбитих на 3 розд!ли, списку використано! 1 цитовано'1 л1тератури з 30 назв. Обсяг роботи 111 стор!нок машинописного тексту.

. ЗМ1СТ РОБОТИ

У вступ! обгрунтовано актуальнЮть проблематики дисертаи!I, наводиться короткий огляд роб!т за темою дисертацН, характеризуемся зм!ст роботи.

У першому роздЩ наводиться необх1дн1 допом!жя1 в!домост1, вводиться £ -алгебри 1 Рй -алгебри в!дношень, алгебри зв'яз-•ностей нап1вгрут1 /часткових/ перетворень, розглядаються Кх найпро-ст!ш1 властиност}, наводятвся приклада таких алгебр.

•У § 1 з!брано необх1дн! вtдoмocтi з теорП ун!версальних алгебр, теорП клон1в та абстрактно! теарН Галуа, ф!ксуються основ-н! позначення.

У § 2 дано визначення Р -алгебр та РЯ -алгебр над за-даною множилого. СщНзь /частково/ визначеними к -точками над множиною М називатимемо торт еж I задовжки к (к ^ {) над Ж /в{дпов(дно, над М1) {*) ; символ -к на I -тому м!сп1 кортежа означае, що його I -та координата не визна-чена/. Множину вс!х скр1зь /частково/ визначених к -точок над

позначатимемо ' М*0 / МС 2 /. Символами ке^ та (К) позначаються множили вс!х скр!зь чи, в!дпов1дно,

частково визначених в{дношень арност! И над М . Покла-демо

ОО оО

Ш(М) = иЦ(М), РМ(М)-у РМк(М).

1с-0 К ЬО

На множинах M (Ai) га Piài(M) вводиться так!

ДЙ.

1. Булев! onepamt'f U , А , — яад в!дношеннями однако во ï арност!. Для в!даошення t| е Pe^(jli) /чи (f €_

£ PRai СJH) / покладемо (f=JUl\tf> /в!дпов!дно if =

= JU \ q /.

2. OnepauiH 7 проектування за останньою координатою. Проекц!ею JL -арного в!дношення (jp ( к > 4) за останньою координатою називаеться в!дношення

Vf = С С^х.....<4-i)\(*i.....«¡U.**)6^.

Для в!дношення Lf арност! é i покладемо Vif =ф

3. Операц!я ^ перестановки двох останн!х координат bcîx к -точок в!дношеиня if . Результатом эастосування utcï

операдП до в!дношення if арност! ■к е в!дношення

^ » [(*!...., «i.^-i) — 6 fi.

Для в!дношення . арност! И покладемо .

4. Цикл!чний зсув ÇJU координат pctx fe -точок в!дношен-ня. Цикл!чним зсувом k -арного в!лношення • if (Jt >1) називаеться в1дношення

ЭДМ^.....

Для в i л. ношвння арност! ^ I покладемо CTijP =

5. Цил!ндри$!каи1я X /в{дпов!дно X / в!дношення. Цил!ндриф!кав!ев в!дногаення JM^(Jli) , ф 4 ф /в!д-повШю (| е PReifc (-М) / називаеться в!дтошення

Ttf = if х Jl! (tip = q x (JWU{*3))

арност! . Кр!м того,

ф (хф=ф) .

Алгебру f\iu= <MW,U,A,-,9r, > з операц»я-

ми 1/ - 5/ пазиватимемо повною алгеброю скр!зь визначених вгдношень над мнояиною JW . Шдалгебри АЦ будемо називати $ алгебрами над JU

Алгебру <PM(JW), U,n,-,Ti, ^ , V, г > з операц!я-

ми 1/ - 5/ пазиватимемо повною алгеброю частково визначених в!дно-шень над множиною М . Шдалгебри алгебри Цц будемо називати PR -алгебрами над М

7 § 2 наводиться ряд простих фактis про будову R. -алгебр t PR -алгебр. Зокрема, вид!ляються м1н{мальн! п}далгебри в алгебрах ¡¡Ли ' та ПЛм г вводиться оператор замикання, який здШснюе занурення алгебри в . KptM того, вста-

новлено /теорема 2.1/ , що множила в{дношень утворюе -ал-

гебру тод! й т1лыот тод!, коли вона е фор?,тулья о замкненою в чистому численнt предикат1в. Зазначимо, що алгебри Краснера II роду с формульно замкненими в численн! предикат!в з piBHicTro, а алгебри Краснера I роду - в позитивному численн! предикат{в з piBiiicTio.

У § 3 визначаються основн! об'екти досл!даення - алгебри зв'язностей нап!вгруп перетворень. к -точки &, у е Jli* / сс, Ц б Mzki / назвемо зв'язаними наШвгрупою перетворень (Н,-М) , яйцо !снуе посл!довн1сть k -точок а = X , % , ... , . i3 Mk /чи Мс / t Ha6tp

перетворень Я* , .... , € Н такг, що для дов!льно-го i ■( 1 i U (л) мае Micue одна з р1вностей

— Kt - _Л -= , V =Tc-i .

fc Г*-]

В!дношення (j> с JU /чи ip с Л{ / називатимемо

Н'-зв'язним або . ЭД -зв'язн!стю, яйцо воно разом 1з -кожноп своею Ь -точкою м!стить BCi И -зв'язан! з нею -i -точки. Множкну BCtx скр1зь визначених И -зв'язних в!дношень над М yctx арностей позначатимемэ (Н, Л) , а множину вс!х частково визначених И -зв'язних вхдношень yctx арностей над

М - СсА(И,-И] . Основна властлв!сть них мнржин характеризуется таким тв.ердженнятл.

ТЕОРЕМА 3.1. Для дов!льно¥ нап1вгрупи /часткових/ перетворень Н на множин! JK сукупн1сть" Qofij (Н, -М) /в!дпов!дно Cbfi(H,dU) / утворюв R -алгебру /в1дпов!дно PR -алгебру/.

Алгебру Cofi^H, JK) /чи Gofi(.H,JW) / називатимемо алгеброю зв'язносгей нап!вгрупи/часткових/перетворень (H.JH) .

В ^ 3 також введено поняття И -1зольовано? множини ]Ц, описано будову алгебри зв'язностей обмеження нап!вгрупи перетворень (H.JU) на Н -1зольовану п1дмножину /теорема 3.2/. Наведено достатн! умови трив!ал1зан1'i алгебр зв'язностей /теорема 3.3/.

У другому роздШ дисертацН досл!джуються алгебри зв'язностей наШвгруповиХ констругапй.

У $ 5 вивчаеться операция » повного з'сднання Я -алгебр та PR -алгебр. Дано конструктивну характеризаШю повних з'еднань /теорема 5.1/, показано, що використовуючи повн1 з'едная-ня та. переходи до п!доб'скт1в можна з найпрост!ших РЯ -алгебр над одаоелементними множинами будувати дов1льн1 PR -алгебри /теорема 5.3/. Основними результатами с

ТЕОРЕМА 5,2. Для дов!льних Hanisrpyn /скр!зь визначе-них/перетворень (Q^MJ t (Q^,• = 0

Mas м!сце р!вн!сть

GAC^® Qa) = GcAQ, • CbKQa-.

ТЕОРЕМА 5.4. Нехай Н -п!дпряма сума нап1вгруп скр{зь визначених перетворень (Hl,JWi) та (Hz, JU^,) , Тод! алгебра зв'язностей (УцСН) е з'еднанням алгебр зв'язностей 0*4 Н, - GbK4H, наШвгруп U, 1 Н2 :

GAjH^iO = (Зд®(адг.

Ця теорема дав змогу охарактеризувати у терм!нах з'еднань алгебри зв'язностей моногенних нап!вгруп перетворень.

У { б описутсться алгебри зв'язностей прямого добутку нап1в-груп перетворень. Дано визначення добутку в!дношень та родин в!д-нотень Л ® Ь t ?х повного добутку flab

ЛЕНА 6.4. Повний добуток PR -алгебр / ft -алгебр/ знов буде PR -алгеброю /чи R -алгеброю, в1дпов!дно/.

ТЕОРЕМА 6.1. Для дов1льних наШвгруп /часткових/ пе-ретворенъ (Q, JU) t (Н,//) мае м!сие сп!вв1дноиення

(U4(G<H) = QA.GaQ^H / Coli (G*H) • СЛО * GAH /.

В § 7 вивчаються алгебри эв'язностей вЬшевого добутку на-п1вгруп скр!эь визначених перетворень, визначаються поняття вИгае-вого добутку в!дношень та родин в1дношень; наведено ряд властивос-тей конструкпН в!нпевого добутку.

В1нпевим добутком двох множин в!дношень X с Rti (М) j У с Rti (Л/) названо множину СХ,У ] yclx в1нневих до-бутк1в в{дношень з X на вс! допустим! набори в{дношень 1з У a fx повним в1нневим добутком X © У с эамикання множили

[Х,УJ щодо об'еднання.

ТЕОРЕМА 7.3. Для дов!льних нап!вгрутт перетворень (Q, JU) t (H,N) Mtcne р!вп1сть

GA(Qi-H) * Co^G ® QoKW .

У <§ 6 розглядаються конструкпН п1днесення нап!вгруп перетворень до,степени 1 описугаться iv алгебри эв'язностей.

ВГниевий добуток <5гН нап1вгруп перетворень (G},JU) i д!в на множилt N yctx в^ображень ta JU

в // таким чшом :

, tyb**11 , я № , «

-ffe) , If3)€jv , e CftJ4.

Зокрема, маемо д!ю прямого добутку G^H

Так визначену нап!вгрупу перетворень (Qt-H,/1/ ) = Hf G називатимемо G -експоненц1гованням наШвгрупи Н . а HantB-групу перетворень (Q«H,//M)= LH]"* - G -степеней HaniB-групи И

Для опису алгебр зв'язностей шх конструтайй у випадку, коли Q в групою впкористовутоться поняття Q -симетризацП в( д-ношення t системи в1дношень, та ix почергового добутку®.

ТЕОРЕМА 8.1. Дов1льна мШмальна зв*язн1сть арност{ I степеня СН]** для нап!вгрупи перетворень (H,N) i груш

(Q, JU) е Q -симетризашею деяган' зв'язност! арност! -fcm нап!вгрупи (И, N)

ТЕОРЕМА 8.2. Для дов1льно'1 м1н!мально1 зв'язност! (р apnocTi fe експоненишвання J-J f Gr нап!вгрупи перетворень

(H,JV) 1 групи (Q,JU) 1снугать так! м1н1мальн1 зв'яз-ностi , ... , if нап1вгрупи Ц , що tf е Q

симетризац!ега почергового добутку в!дношень , ,

Як насл1дки з дтах теорем д1стаемо oirac алгебр зв'язностей Qo<ki LH]4 , GAi(HfG) в термшах Q -симетризаиГг систем в!дношень.

Трет1й розд1л дисертшП присвячено досл1дженшо в1дпов1дност1 Галуа Miж алгебрами зв'язностей 1 нап!вгрупами перетворень.

В § 9 наводиться визначення серневини та хзолятора нап!вгру-пи часткових перетворень, дано i'x основн! властивост! /теорема 9.1, теорема 9.2/.

У $ 10 будуеться в!дшв1дн1сть Галуа mik реляшйними-алгесг-рами та нап1вгрупами перетворень над даною множиною. Bei тверджен-ня i побудови пього параграфу розглядаються паралельно для ендо-мор<Мзм!в i для часткових ендоморф1зм!в / р -ендоморф1зм!в/ систем в1дношень з одного боку та R -алгебр t PR -алгебр з in-шого. При побудов1 BijjnoBtflHocTi Галуа вважатимемо, що фасовано леякий композишйно замкнений клас напхвгруп 2Z

Найб1лъшу за включениям напгвгрупу Ц - , щодо якох вс! в!дношення 1з R -алгебри Ol е Н -зв'язаними називати-

Сущанский В.И., Вайдеман A.A. Алгебры инвариантных отношений подстановочных конструкций // Вопросы теории групп и гомологической алгебри. Ярославль.- ЯроГУ.- 1983.- С. 3 - 19.

мемо зв'язкою ц1е'1 алгебри 1 лозначатимемо ^ (УЦ

ТЕОРЕМА 10.1. Для дов!льно¥ £ -алгебри мае

м1сце р!вн}сгь

3 (ни) - Ема <\Л .

ТЕОРЕМА 10.1*. Для дов!льно* Рй -алгебри 11 мае м1сие р1вн1сть

- рЕа<£ 11.

Нехай (■И) /чи рТе^ (Л) / - мнохина на(!можлив1ших

нап1вгруп /часткоЕтс/^ перетворенъ на -М 1з класу 22

#Р (М) /чи / - множина вс1х Я -алгебр

/ РР. -алгебр/ на Д{ . Ц1 множили впорядкован 1 в!дношенням включения & . Задаю воображения ^ I ^г(^г)

таким чином :.

а/ — ; ^ (Н. АС) = Л1)

б/ ^ :. ЛЕ(Л1) — Те^М ; <^(11) ^('И, -К) ' / М(Ы) — РТес(.М) ; ^(Щ - $ (и,М) /.

ТЕОРЕМА 10.2. Для дов(льного композииНШо эамкненого класу натйвгруп скр1эь визначених перетворень 2Г ' будь-яко? множитш М пара в!добракень завдае п!дпов1д-

н!сть Галуа г»!ж впорядковагшми мно.жинямп Ш) с.) 1

(ЛЕМ.б) ж '''

ТЕОРЕМА 10.2 . Для довольного композип!йно эамкненого класу яап1вгруп часткових перетворень ( буць-якот множили

М пара гНдображень С^х.^з:) завдае п{лпо-1дн!сть Галуа м!ж впорядкопшшми множима».™ (рТ?х (Д')> -) < ( Л(И),

В<диов!дн1сть Галуа м}к РК -алгебрами та 1нвбрснимг на-

чооткотшх подстановок кпд ск1кченното множимою розглядя— еться в оо'ггшньону 11 параграф!.

ТЕОРЕМА 11.1. РР -алгебра е алгеброю зв'язностей ' деякот 1нверсно'1 нап1вгрупи на ск!нченн!й множин! в тому 1 лише в тому раз!, коли вона розкладаеться на повне з'еднання деяко? ал-гебри Краснера /другого роду/ ! трив1ально1 алгебри.

Ця теорема дае змэгу охарактеризувати основн1 властивост! введено'1 в иопередньому параграф! в!дпов!дност! Галуа , ) де 5И клас 1нверсних нап!вгруп.

Наводиться критер1й трив1ал1зацП алгебри зв'язностей, вста-новлено умови зб!жност! алгебр зв'язностей р1зних 1нверсних нап!в-груп /теорема 11.2/. Охарактеризовано Галуа-замкнен1 об'екти роз-глядуванот в!дпов!дност! Галуа /теореми 11.3 та 11.4/.

ПУШКАЦ1Г, ПОКЛАДЕН1 В ОСНОВУ ДИСЕРТАЦ11

1. Кормишева Н.В., Сущанський БД. РелянШи 1нвар1анти нап1вгруп часткових постановок // Республ1каясъка науково-метод. конференция, присвячена 200-р{ччю з дня народження МД.Лобачевського. Тези доповтдей.- Одеса, 1992.- Ч.1.- с. 21.

2. Ганотк1н О.Г., Кормишева Н.В., Сущанський В.1. Клони зв'язностей нагппгруп часткових перетворень // В1сник КУ.- № 2,- 1993.-С. 47 - 60. '

3. Кормшева Н.В., Сущанский В.И. Клоны связностей инверсных полугрупп частичных подстановок // Третья международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова. Тезисы докладов.- Красноярвк: "ИНОПРОФ", 1993.- С. 163 - 164.

4. Кормишева Н.В. Алгебри зв'язностей нап1вгрупових конструкций // "Праи{ студент! в I ас гарант г в КиУвського ун!верситету" 36.статей.- Деп. в ДНТБ Укра'1'ни в!д 01.03.94 р.- Я 418- Ук - 94.- С. 23 - 30.

5. Кормишева Н.В. Опера!п п1днесення до степеня нап!вгруп перетворень 1 в{дпов!дн1 конструкпП над алгебрами зв'язностей // "Прат Всеукрахксько! конференпГт молодих вчених /математика/" 36.статей.- Деп. в ДНТБ Украт ни в1д 20.07.94 р.- № 1302 - Ук -94.- С. 211 - 218.

6. Сущанський В.1., Кормишева Н.В. В1дпов1дн1сть Галуа м!ж алгебрами зв'язностей та !нверсними нап}вгрупами часткових п!дстано-вок на ск1нченн1й множин! // ДоповШ АН Украгни,- 1994, № 12.-С. 7 - 10.

Дияш Оуртаду H.B. Алгебры связностей полугрупп преобразований. Диссертация /рукопись/ на соисканиэ учоноИ степени кандидата tfu-• зико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел, Киевский университет им.Тараса Шевченко, г.Киев, 1995 год.

Рассмотрены новые классы реляционных алгебр - ft -алгебры и PR -алгебры, введены понятия связности полугрупп преобразований и алгебр связностей, исследованы их основные свойства. Описаны алгебры связностей полугрупповых конструкций : прямой суммы , прямого произведения и сплетения полугрупп преобразований, oriej/: -пий возведения в степень. Построено соответствие Галуа между реляционными алгебрами и полугруппами преобразовании над данным множеством, изучены свойства соответствия Галуа меэду PR -алгебрами и инверсными полугруппами частичных подстановок над конечным множеством. Основные результаты опубликованы в 6 работах.

Dias Furtado N. The coherence algebras of transformation semigroups. A dissertation (a manuscript) represented for talcing я degree of speciality 01.01.06 - algebra und number theory, Tarns Shevchenlco Kiev University, Kiev, 1995.

It ia considered the new classis of relational algebras - R-algebraa and PR-algebras; it is introduced the notions coherence of transformation eeraigroups and coherence nlgebraa, it is considered the basic propertea their. It is discribed the coherence nlgebras of semigroups constructions » the direct sum, the direct product and wreath product of transformation semigroups, the operation of power. It is constructed Galois connection between the relational algebras and the transformation semigroups over the given set, it is studied the propertes Galois connection between PR-algebrna and the inverse semigroups of partial permutations over the finite set. The basic results published in 6 works.

Юшчов! слова : алгебри /клони/ в!дношень, алгебри з^'язностей nantBrpyim перетворень, В1дпов1дн1сть Галуа, !нверсна нап1вгру-па.