Алгоритмы построения разрешающих процедур в игровых задачах управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

п-ч /т 1

с Уральское Отделение Российской Академии Цаук Институт Математики и Механики ^

На правах рукописи

Григорьева Светлана Валерьевна

Алгоритмы построения разрешающих процедур в игровых задачах управления

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1998

Работа выполнена в Институте Математики и Механики Уральского отделения Российской Академии наук

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Ушаков;

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Э.Г. Альбрехт, кандидат физико-математических наук, доцент В.А. Вахрушев;

Ведущая организация - Челябинский Государственный университет

Защита состоится " " ^¡гмхЬ^ш, 1998 г. в " /У " час. на заседании специализированного совета Д 002.07.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Институте Математики и Механики Уральского Отделения РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики и Механики Уральского Отделения РАН.

Автореферат разослан" 20 " НГлЬ^Л 199.? г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ. - мат. наук, с.н.с.

М.И.Гусев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Работа посвящена исследованию задач теории дифференциальных :р (д.и.). Становление теории д.и. восходит к началу 60-х годов. Оно ;сно связано с развитием математической теории управления и обновлено потребностями практики. К настоящему времени теория и. сформировалась как самостоятельная математическая дисци-пина, имеющая свою историю и прочные связи со многими разде-ами математики.

Развитие теории д.и. связано с именами отечественных и зарубеж-ых математиков H.H. Красовского, JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищен-э, А.И. Субботина, Б.Н. Пшеничного, R. Isaacs, W.H. Fleming.

Кратко охарактеризуем основные направления, к которым примы-ает диссертационная работа. H.H. Красовским, А.И. Субботиным1'2'3'4 их сотрудниками была создана теория позиционных дифференци-гсьных игр. В рамках этой теории был рассмотрен широкий круг здач. Эта теория объединила в себе подходы, направленные на гшение целого ряда проблем, включающих в себя как вопросы существования ситуаций равновесия, так и вопросы, связанные с разра-jTKoü алгоритмов и методов вычисления решений в д.и.5'6-7'8'9'10'11.12

'Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

*Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game - theoretical control problems. Springer. New York. 1988.

3Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information. Birkhauser. 1995.

4Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

5 Альбрехт Э.Г. Метод Ляпунова-Пуанкаре в задачах оптимального управления, Дисс... д-ра яз.-мат. наук. Свердловск: 1986. 280 с.

6 Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., Ушаков В.Н. Производные многозначных отображений к их вменение в игровых задачах управления // Проблемы упр. и теории информации. 1985. Т. 14. N С. 1-14

7Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург. 1аука". Уральское отделение. 1993. 184 с.

8Красовсхий А.Н., Красовский H.H., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для терминированной позиционной дифференциальной игрьг // Прикл. матем. и мех. 1981. Т.45, N 4. 579-586.

®Кряжимсхий A.B., Осипов Ю.С. Дифференциально-разностная игра сближения с функцио-льным целевым множеством // ПММ. 1973. Т. 37. Вып 1.

10Пацко B.C. Дифференциальная игра качества второго порядка // Прикл. математика и меха-ixa. 1982. Т. 46. Вып. 4. С. 596-604

пСубботин А.И., Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой :НЫ дифференциальной игры// Докл. АН СССР. 1978. Т. 243. N 4. С.862-865

12Тарасьев A.M., Ушаков В.Н., Хрипунов А.Л. Об одном вычислительном алгоритме решения ровых задач управления // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51. Вып. 2. С.216-222

В том числе был разработан метод экстремального прицеливани предложена формализация позиционных д.и. и доказаны теоремы с альтернативе в игровых задачах сближения-уклонения. Были такя; развиты методы синтеза позиционных стратегий на базе программ ных конструкций, изучены проблемы устойчивости и стабилизаци процедур управления; развита теория обобщенных решений уравн< ния Айзекса-Беллмана; проведены исследования по разработке мет( дов и алгоритмов приближенного вычисления решений д.и. на ЭВ1 на основе попятных конструкций.

Л.С. Понтрягин сформулировал для линейных д.и. эффективны условия завершения игры преследования в форме первого прямог метода13; для решения линейных д.и., не укладывающихся в рамк первого прямого метода, им был предложен второй метод14, основан ный на конструкции альтернированного интеграла. Л.С. Понтряги ным и Е.Ф. Мищенко15'16.

Исследования Л.С. Понтрягина в области теории дифференциаль ных игр были успешно продолжены его учениками17,18,19,2°.

Б.Н. Пшеничным21'22 были предложены операторные конструкцш для определения множеств в пространстве позиций, на которых воз можно успешное завершение процесса наведения нелинейной упра вляемой системы на замкнутое целевое множество. Важные результаты получены Б.Н. Пшеничным и его учениками при решении зада* убегания и группового преследования.

"Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх, I // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. Г 6. С. 1278 - 1280

"Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх, II // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175. Г 4. С. 764 - 766

"Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача об убегании одного управляемого объекта от другоп // Докл. АН СССР. 1969. X 189. N 4. С. 721-723

16Понтрягнн Л.С. Линейная дифференциальная игра убегания // Докл. АН СССР. 1970. Т. 191 N 2. С. 283-285

1ТАэамов А. О втором методе Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследована // Мат. сб. 1982. Т. 118. Вып. 3. С. 422-430

18Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л.С. Понтрягина // Мат. сб. 1981. Т. 116. N 1.С. 136-144

''Гусятников П.Б., Никольский М.С. Об оптимальности времени преследования // Докл. АН СССР. 1969. X 184. N 3. С. 518-521

'"Иванов Г.Е., Половинкин Е.С. О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 10. С. 1641-1648

"Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.й. О дифференциальных играх с фиксированным временем // Кибернетика. 1970. N 2. С. 54-63

"Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. N 2. С.

Тематика данной диссертации непосредственно связана с тематикой работ, посвященных доказательству существования ситуаций равновесия в д.и. на основе аппроксимации д.и. многошаговыми мажорантными и минорантными играми. Здесь отметим работы W.H.Fleming23, P.Varaija, J.Lin24, Н.Н.Петрова25, Л.А.Петросяна26, А.Фридмана27.

В теории позиционных д.и.с одной стороны активно используются результаты и методы различных математических дисциплин: теории дифференциальных уравнений, теории игр, выпуклого и негладкого анализа. С другой стороны, конструкции, разработанные в рамках этой теории, нашли применение в других разделах математики. Так, например, первые результаты, относящиеся к построению обобщенных решений, были получены А.й. Субботиным, совместно с H.H. Субботиной при изучении основного уравнения теории д.и. - уравнения Айзекса-Беллмана6,28. Позже они были распространены А.И. Субботиным на уравнения в частных производных первого порядка типа Гамильтона-Якоби29. Им было введено понятие обобщенного (минимаксного) решения уравнения Гаильтона-Якоби, установлены достаточные условия существования и единственности.

Проблеме построения решений уравнений в частных производных первого порядка посвящены работы И.М. Гельфанда, С.Н. Кружко-ва, O.A. Олейник, А.Н. Тихонова, A.A. Самарского и других авторов. Численные аспекты решения уравнений в частных производных первого порядка изучены в работах таких авторов, как С.К. Годунов30,

285-287

"Fleming W.H. The convergence problem for differential games // J. Math. Anal, and Appl. 1961. Vol. 3. No 1. P. 102-116

24Varaija P., Lin J. Existence of Saddle Points in Differential Games // SIAM J. Control. 1969. Vol. 7. No. 1. P. 141-157

25Петров H.H. Доказательство существования значения игры преследования с ограниченным временем // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6. Вып. 5. С.784-797

28Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Л.: ЛГУ. 1977. 222 с.

27Friedman A. Existence of Value and of Saddle Points for Differential Games of Pursuit and Evasion // J. Different. Equat. 1971. Vol.9. No.l. P.141-154

28Субботин А.И., Субботина H.H. Свойства потенциала дифференциальной игры // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46. N 2. С. 204-211

29Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М:, Наука. 1991. 215 С.

E. Hopf31, P.D.Lax32. ,

В последние годы опубликована ^серия работ, посвященных исследованию вязкостных решений уравнений в частных производных первого порядка. Понятие вязкостного решения ввели в начале 80-х M.G. Crandall и P.-L. Lions33'34. Следует отметить, что хотя по происхождению и по форме определения минимаксного и вязкостного решений различны, они эквивалентны по существу. Аппрокси-мационные схемы в рамках теории вязкостных решений уравнений в частных производных первого порядка разрабатывались M. Bardi, M. Falcone35, S. Osher36, P.E. Souganidis37.

Значительное продвижение в конструировании аппроксимацион-ных схем в рамках теории минимаксных решений достигнуто в работах В.Н. Ушакова, A.M. Тарасьева, A.A. Успенского38,39 на базе подхода, основу которого составляет построение локально-выпуклых и локально-вогнутых оболочек функций, аппроксимирующих решение.

В последнее время интенсивно разрабатываются алгоритмы и численные методы решения д.и., ведутся работы по приближенному построению стабильных мостов, альтернированого интеграла, функций цены и разрешающих стратегий ведутся в Екатеринбурге, Москве, Долгопрудном.

Данная работа примыкает по своей тематике к кругу упомянутых выше исследований.

30Годунов С.К. Разностный метод вычисления разрывных решений уравнений гидродинамики // Мах. сборник. 1959. Т. 47. N 3. С. 271-306

31Hopf Е. Generalized Solutions of Non-linear Equations of First Order // J. Math. Mech. 1956. Vol. 14. No. 6. P. 951-973

32Lax P.D. Weak Solutions of Nonlinear Hyperbolic Equations and their Numerical Computation // Comm. Pure Appl. Math. 1954. Vol. 7. No. 1. P. 159-193

33Crandall M.G., Lions P.-L. Viscosity Solutions of Hamilton-jacobi Equations // trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 277. No. 4. P. 1-42

34CrandaIl M.G., Lions P.-L. Two Approximations of Solutions of hamilton-jacobi Equations. // Math. Comput. 1984. Vol. 43. No. 167. P. 1-19

35Bardi M., Falcone M. An Approximation Scheme for Minimax Time Function // SIAM J. Control Optimiz. 1990. Vol. 28. No. 4. P. 950-965

350sher S. Shu C.-W. High-Order Essentially Nonoscillatory Schemes for Hamilton-jacobi Equations // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. No. 4. P. 907-922

37Souganidis I^.E. Approximation Schemes for Viscosity Solutions of Hamilton-jacobi Equations // J. Different. Equat. 1985. Vol. 59. No. 1. P. 1-43

38Тарасьев A.M., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гмильтона-Якоби // Изв. Акад. Наук., Техн. кибернетика. 1994. N 3. С. 173-185

39Tarasyev A.M. Approximation Schemes for Constructing Minimax Solutions of Hamilton-jacobi Equations // J. Appl. Maths. Mechs. 1994. Vol. 58. No. 2. P. 207-221

Цель работы состоит в изучении задач позиционных д.и., исследовании свойства стабильности, в разработке алгоритмов приближенного решения нелинейных д.и. с ^геометрическими ограничениями на управления игроков.

Методы исследования. В основе разрабатываемых в диссертации методов лежат концепции теории позиционных д.и. Активно используются понятия и результаты классичесхсой теории игр, выпуклого и негладкого анализа, теории дифференциальных уравнений и дифференциальных включений.

Научная новизна

1. Изучены свойства оператора стабильного поглощения в дифференциальных играх сближения-уклонения. Установлены условия, при которых оператор стабильного поглощения может быт выражен через конечное семейство многозначных отображений.

2. Проведено вычисление конечной системы отображений, определяющей оператор стабильного поглощения для ряда конфликтно-управляемых систем в пространствах R2 и R3.

3. Изучена задача приближенного вычисления функции цены в дифференциальных играх с терминальной платой. Разработаны сеточные параллельные алгоритмы вычисления функции цены для задач размерности п > 2, в основе которых лежит идея локального овыпукления функций.

4. Разработана программа приближенного вычисления функции цены игры.

Теоретическая и практическая ценность диссертации заключается в том, что изложенные в ней методы являются конструктивными. Они создают теоретическую основу для разработки численных методов.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

- на IV Международной конференции "Multiple criteria and game problems under uncertainty" (Орехово-Зуево, 1996 г.)

- на II Всероссийской студенческой конференции "Информационные технологии и электроника" (Екатеринбург, УГТУ-УПИ, 1997 г.)

- на Международной конференции IFAC " Nonsmooth and discontinuous problems of control and optimization" (Челябинск, 1998)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в И работах.

Состав и объем диссертации Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации страниц. Библиография {% наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы. Дается обзор литературы по исследуемой тематике, приводятся основные ссылки на используемые результаты, кратко изложено содержание работы.

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена изучению антагонистических дифференциальных игр с геометрическими ограничениями на управления игроков. В этой главе исследуется свойство стабильности в задаче сближения-уклонения с терминальным множеством для конфликтно-управляемой системы.

Первый параграф носит вводный характер. В нем дается постановка задачи сближения-уклонения с целевым множеством М € R™ на фиксированном промежутке времени для системы, описываемой дифференциальным уравнением

^ = /(í, х, ti, v), ж[г0] = х0 (1)

Здесь t G [t0,tf] - время, х £ R" - фазовый вектор системы, и, v

- вектры управляющих воздействий первого и второго игроков соответственно, стесненные ограничениями и 6 Р, v € <5, Р € Rp, Q € R?

- компакты в ссответствующих Евклидовых пространствах.

На систему накладываются следующие условия:

A. Игра происходит в ограниченной, замкнутой области D переменных (t,x) 6 [¿о, Щ х Rn;

B. Вектор-функция f(t,x,u,v) непрерывна по совокупности переменных (i, х, и, и) 6 D X Р х Q и удовлетворяет условию Липшица по переменной х. ;

C. Область D и система (1) таковы, что для любых (í„, х») G D и измеримых по Лебегу и(-) : [í»,i9] —► Р, v(-) : [í», ú] —» Q решение уравнения dx/dt = f(t,x,u(t),v(t)), = x, удовлетворяет включению 6 D при t G [í„

Кроме того, в первом параграфе обсуждается метод решения позиционной задачи сближения-уклонения. Для решения э^ой задачи требуется построить стабильный мост, причем для сложных управляемых систем, когда аналитическое описание стабильного моста невозможно, необходимы эффективные численные алгоритмы приближенного построения стабильного моста. При разработке таких алгоритмов необходимо хорошее описание свойства стабильности, с помощью которого определяется стабильный мост. Тогда попятное построение системы множеств, аппроксимирующей стабильный мост, может быть сведено к построению на каждом шаге попятной процедуры пересечения некоторой конечной системы множеств в фазовом пространстве.

Во втором параграфе обсуждаются различные формы представления свойства стабильности в терминах оператора стабильного поглощения, в частности, унификационная схема, в которой векторы единичной сферы играют роль обобщенных управлений второго игрока. Приведем определение, которое можно назвать универсальным определением стабильности в том смысле, что оно обобщает традиционную и унификационную схемы.

Пусть D £ [¿о, Щ -множество позиций игры. Пусть задано некоторое множество Ф, элементы которого обозначаются ф, а также

р т

семейство многозначных отображений {F,p : D —► 2 }, ф S Ф, удовлетворяющее условиям:

А.1. Для любых (t,2:,ф) € D х Ф множество F^(t,x) выпукло, замкнуто и удовлетворяет включению F^, С G.

Здесь G - шар в R" конечного радиуса с центром в начале координат, такой, что F(t,x) = со{ f(t,x,u,v) : и G Р, v & Q} С G для любых (t, х) G D\

А.2. Для любых (t,x,l) € D х S выполняется

Здесь hp(l) = max(Z, 2) - опорная функция множества F, h(t,x,l) =

z£F i

max„6p mint.6Q {/, f(t,x,u,v)) - гамильтониан управляемой системы;

А.З. Существует функция o>*(¿>) (w*(i5) | 0 при «5 | 0) такая, что для любых (í,, xt) и (í% х*) из D, любых ф 6 Ф имеет место

d(F^(t*,x*),F^U,xt)) < w*(|f* - Ц + Цат* - а,||). (2)

Символом (¿о < t* < t* < д) обозначим множество

всех точек х* £ R", в которые приходят в момент t* решения (t £ [i*,i*]) дифференциального включения

ie Fi(t,x) (3)

с начальным условием = х*. Таким образом, X^(t*] t,, х») - множество достижимости дифференциального включения (3) с начальным условием = х,, вычисленное в момент Г.

Пусть Z* - множество в R". Обозначим

t*, Z*) = {х, 6 R" : хф{?) и, X,) П Г Ф 0}

Определение 1 Оператором стабильного поглощения it t*, Z*) (tQ < t, < t* < ■в, Z* € Rn) в задаче сближения с целью М в момент д назовем отображение, заданное соотношением

f\x;\u,t%z*). (4)

Элементы множества Ф, определяющего семейство многозначных

р т

отображений {jF^ : D —* 2 } можно рассматривать как обобщенные управления второго игрока.

В третьем параграфе устанавливаются условия, при которых оператор стабильного поглощения может быть выражен через конечное семейство многозначных отображений. Предлагается метод свертки унифицированной системы множеств для построения семейств многозначных отображений с конечным числом элементов. Суть этого метода состоит в том, что сначала выделяются участки выпуклости гамильтониана h{t,x,l) системы в пространстве сопряженной переменной I, а затем осуществляется построение пересечений соответствующих полупространств с вектограммой системы. Отметим, что впервые идея разделения пространства сопряженных переменных I применялась при построении решений дифференциальных игр в работах B.C. Пацко и его сотрудников 40. Опишем подробнее условия,

40Исакова Е.А., Логунова Г.В., Пацко B.C. Построение стабильных мостов в линейной дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания // Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр (Материалы по математическому обеспечению ЭВМ). Свердловск: УНЦ АН СССР. 1984.

и

при которых оператор стабильного поглощения может быть выра-

Р ™

жен через семейство : 23 —> 2 } многозначных отображений с конечным числом элементов, и способ построения таких семейств.

Пусть множество Ф элементов ф конечно. Рассмотрим разбиение единичной сферы 5 для каждого (£, х) € -О на замкнутые подмножества ф £ Ф, такое, что

В.1. К(Ьф^, х)) -выпуклое множество;

В.2. - выпуклая по I на К(Ьф^,х)) функция при любых

(*,*) € 23;

В.З. Существует функция ш(6), (¿'((5) 1 0 при 8 I 0) такая, что для любых (£*, £„) и (Г, г*) из £), любых ф £ Ф имеет место

(Г, х*), £*(<„*,)) ^ "(1** ~ + И®* ~ ®*Н)-

Здесь К(£ф^,х)) = {1:1 = АГ, А > 0,Г € Ьф^, х)} -конус, натянутый на множество ж). Обозначим

(5)

ПК«,®) = { / € Я" : <!,/> <Ь(*,*.0Ь

Кроме того, предположим, что выполняется условие {п1Гф(Л, х) ф % при любых (<, х, ф) 6 £> х Ф.

Далее в третьем параграфе формулируется основной результат первой главы:

Теорема 1 Семейство отображений {¿^ : .0 —*■ 2я™}, отвечающее множеству Ф и заданное равенством (5), удовлетворяет условиям АЛ, А.2, А.З.

В четвертом параграфе доказана вспомогательная теорема, используемая при доказательстве теоремы (1), - теорема об отделимости выпуклых множеств, ограниченных третьим множеством. Введем несколько определений

/еМм) = дАф(Ь,х)С]МГ^,х),

Ll(t,x) = cl{l 6 5: {l,z) = ,)(/), г € A&i,*)}

Здесь с?Л и CÍA - соответственно граница и замыкание множества А. Зафиксируем произвольную пару (f, х) £ D, ф € "Ф-

Теорема 2 Пусть в множестве F(t, х), наряду с множеством х) содержится выпуклый компакт Ф такой, что F$(t,x) ПФ = 0. Тогда существует опорная к F^,{i,x) гиперплоскость = {z £ R" : = а;0}, а0 £ (—оо,+оо), сильно разделяющая множества F$(t,x) и Ф и такая, что 10 £ L$(t, х).

В пятом параграфе в качестве примеров рассматриваются конфликтно-управляемые системы с динамикой

dx/dt = и + V

где х £ R2 и х £ R3 и конфликтно-управляемая система с динамикой

dx/dt = f(t, х) + a(t, х)и + b(t, x)v

где х £ R2. Для этих систем построены конечные семейства многозначных отображений, определяющие оператор стабильного поглощения.

Вторая глава диссертации посвящена вычислению приближенных решений антагонистических дифференциальных игр с терминальной платой. Здесь предложены сеточные методы приближенного вычисления функции цены игры для задач размерности тг > 2.

В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра, в которой динамика управляемой системы описывается уравнением

§ = /(*, х, u,v) = fl(t, х, и) + f2(t, х, v), , ,

sr[t0] = *o, t £ [0, и £ P v £ Q, { 1

а терминальный функционал имеет вид

= (7)

Приводятся условия, накладываемые на управляемую систему, даются определения стабильности и функции цены дифференциальной игры. Указывается подход к решению задачи построения функции

цены дифференциальной игры. Он заключается в повышении размерности динамической системы и построении системы множеств, аппроксимирующей максимальный стабильный мост в соответствующей дифференциальной игре сближения-уклонения для расширенной системы размерности п + 1

[х- f(t,x,u,v)

\ х = о

Максимальный стабильный мост в задаче сближения с ерг а ( hypo а ) для расширенной динамической системы (8) совпадает с надграфи-ком (подграфиком) функции цены.

Задача построения надграфика функции цены обозначается как задача I, задача построения подграфика функции цены обозначается как задача II.

Во втором параграфе определяются операторы стабильного поглощения, доставляющие решение задачам I и II. Для этого строятся два семейства многозначных отображений

{(«,а)-*Г(<,ф l€Rn}, , .

{(t,x)->J?(t,x): le R"},

следующим образом:

Fr(t,x) = {у 6 Rn : ||У|| < K{t,x), {I,у) > h(t,x,l)} Ff{t,x) = {у €Rn : |M|<A'(i,x), {l,y) < h(t,x,l)}

где K(t, x) - функция Липшица гамильтониана. Эти семейства сформированы унификационной схемой, при этом унификационная схема имеет некоторые особенности, вызванные сведением исходной дифференциальной игры к игре сближения-уклонения в пространстве большей размерности. В связи с тем, что области достижимости расширенной динамической системы должны иметь топологическую размерность расширенного пространства, возникает необходимость рассматривать семейства многозначных отображений, значениями которых являются множества, имеющие непустую внутренность в расширенном пространстве. Для этого, при решении задач I и И, вводятся параметры а и /5, играющие роль толщины соответствующих множеств в направлении добавленной координаты, и рассматриваются совокупности семейств многозначных отображений, зависящие от этих параметров.

8

Унификационные множества

{(t,x)-»F-,(i,a:): l € Sn+1} {(t,x)-+Ffo{t,x): iE Sn+i}

l G Sn+1, строятся как пересечения соответствующих полупространств {У ■ {y,l) > h(t,x,pr /)} ({у : (y,l) < h(t,x,pr i)}) с цилиндрами Fa(t,x) (Fß(t, x)) в пространстве R"+1, ориентированными вдоль оси, отвечающей добавленной переменной. Эти цилиндры Fa(t, х) и Fß(t, х) подменяют собой вектограмму расширенной управляемой системы в пространстве R*+1.

Далее, на основе построенных семейств отображений, определяются операторы стабильного поглощения и л^" для задач I и II. С помощью этих опрераторов строится функция цены дифференциальной игры.

В третьем параграфе рассматривается разбиение Г = {0 = Ц, ¿дг = 1?} отрезка [0,т9] с диаметром Л и описываются разностные операторы стабильного поглощения и операторы шага, позволяющие приближенно вычислять приращения по времени функции ui(-) в некоторой точке х. Указываются некоторые свойства операторов шага, позволяющие перейти непосредственно к численной реализации. Эти свойства переводят описание действия операторов с теоретико-множественного языка на язык аналитических формул. Существенными в конструкции разностных операторов стабильного поглощения являются такие важные понятия, как локально-выпуклая оболочка, субдифференциал и супердифференциал функции.

Далее с помощью операторов шага определяются функции w~(-) и отвечающие разбиению отрезка времени и обосновывается,

что разностная схема, индуцируемая разностными операторами, дает результат, близкий к цене игры. При этом указана зависимость скорости сходимости этого результата к функции цены от шага Д разбиения отрезка [¿о, игры.

Теорема 3 41 Пусть сужение функции платы дифференциальной игры (б), (7) сг(-) : D*(d) —► R удовлетворяет условию Липшица с

41 Успенский A.A. Оценка схорости сходимости разностных операторов при решении задачи Коши для уравнения Гамильтова-Якобн / Екатеринбург. 1998. Деп. в ВИНИТИ 06.03.98. N 623-В98. 38 с.

константой \в, гамильтониан Л(-) : D* х R" —► R удовлетворяет условиям (Н1)-(Н4).

Тогда существуют такие константы С\ и что при любом разбиении Г = {¿о, ti, • - ■, tN = 1?} с шагом Д = тах{До = ij — Ц,..., Длг-1 = ijv — tx-i}, для любой точки (i,-,x), х £ D*{ti) имеют место оценки

\w(ti, х) - w~(th х)| < Сх Д1/2 + С2ш((1 + А")Д)

х) - w+(ti, х)\ < Ci&112 + C2w(( 1 + К)А) где ш(ё) : w(6) j. О при 6 J. О - функция из условия (F3).

В четвертом параграфе рассмотрена схема приближенного вычисления функции цены дифференциальной игры с динамикой

х = f(t, х, и, V) = g(t, х) -f B(t, х)и + C(t, x)v,

х € R", t 6 [0, т?], u£P С Rp, v € Q С R?,

(Р и Q -выпуклые многогранники), в основе которой лежат конструкции разностных операторов, предложенные в третьем параграфе.

Выкладки проведены для разностного оператора, основанного на построении локально-выпуклых оболочек. Предлагается аппрокси-мационный разностный оператор

■w~(t;,x) = max max max

' УеО(К(г)А{,х) 3,k pedw-(ti+l,x,y,j,k)

(Д;«р, g(u, x)) + (p,B(ti, x)uM) + (p, C(u, *)«<*>)) (Ю) +{p,x- y}+co w~{ti+i,x,y))

где t{ € Г, Г - разбиение отрезка [0, х е £>(*,-);

dw~(ti+i,x,y,j, k) = дсо w-(ti+i,x,y)nL*(B(ti+i,x)uW)

CiL*(C(ti+l,x)vW), j 6 1,7?, k € 1,7,

со w~(ti+1, x, •) - локально - выпуклая оболочка аппроксимации w~(ti+1,-) : D(t,+1) —► R функции цены дифференциальной игры, рассматриваемой в момент i,+i € Г;

дсо ю {и+ьх,у) = {р 6 Яп : со ю~(^+их,у) > (р,у* - у) Уу* £ , 0(КА{, х)} - субдифференциал локально - выпуклой оболочки функции •), вычисленный в точке у. Здесь у € 0(К(х)А,-, х), константа К(х) выбрана из условия К(х) — тах х, и, и) II < К/2.

Предполагается, что константа К удовлетворяет условию (Н4).

£»(£(¿¿+1, х)и^])) есть конус внутренних нормалей к восстановленный в его граничной точке В{Ъ+\,х)Ф\ а х, х)у(к>)

есть конус внешних нормалей к восстановленный в его

граничной точке \,х)у(-к\

] и к - номера вершин многогранников Р и <3, ] = 1,... ,1Р, к = 1,..., 1г и рассматриваются только непустые множества линейности гамильтониана х, к).

В пятом параграфе приведено описание алгоритма вычисления локальных овыпуклений сеточной функции. Фактически эта процедура представлена как процедура построения выпуклой оболочки некоторого конечного множества точек в пространстве заданной размерности. Сначала даются определения выпуклой оболочки полиэдрального множества, необходимые для описания алгоритма, приводятся теоремы, обосновывающие корректность построений. В алгоритме используется метод "заворачивания подарка", предложенный Чандом и Капуром в 1970 г. Идея метода состоит в том, что для каждой подграни (представляющей собой симплекс, размерность которого на 2 меньше размерности пространства, в котором строится выпуклая оболочка) некоторой уже построенной грани строится смежная грань выпуклой оболочки, имеющая общую подгрань с исходной гранью.

Этот же алгоритм построения выпуклой оболочки конечного множества точек используется в вычислительной схеме при построении пересечения множества субдифференциалов с конусами линейности гамильтониана для построения самого множества субдифференциалов по его известным крайним точкам. При вычислении локальных овыпуклений сеточной функции построение выпуклой оболочки при-изводится в расширенном пространстве, размерность которого К"41. При этом оболочка вычисляется не полностью, то есть функция возвращает только те грани, у которых последняя, добавленная, координата имеет отрицательное значение. При вычислении же множества

субдифференциалов выпуклая оболочка его крайних точек строится в сопрркенном пространстве, размерность которого равна размерности фазового пространства Ып. В этом случае результат включает в себя все грани выпуклой оболочки.

В шестом параграфе изложен алгоритм распараллеливания вычислительной схемы, описанной в четвертом параграфе. Параллельный алгоритм построения функции цены дифференциальной игры реализован для многопроцессорной вычислительной системы МВС-100. Возможность распараллеливания алгоритма основана на том, что на каждом шаге по времени каждый узел сеточной области можно обрабатывать независимо от других. Алгоритм хорошо укладывается в известную схему "процессорной фермы", в которой один процессор выполняет функции мастера, рассылающего задания остальным процессорам-рабочим и собирающего у них результаты счета.

Шаги по времени обрабатываются последовательно. На каждом шаге по времени мастер рассылает рабочим пакеты заданий, представляющие собой два узла сетки - начало и конец пакета. Все пакеты имеют одинаковую, априори заданную длину за исключением последнего, который может быть короче. Рабочий вычисляет значение функции цены в этих узлах и возвращает мастеру номера начального и конечного узлов пакета и массив значений функции цены. Получив все пакеты, мастер рассылает рабочим признак перехода к следующему моменту времени. Закончив счет, мастер рассылает рабочим признак остановки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации

1. Изучены свойства оператора стабильного поглощения в дифференциальных играх сближения-уклонения. Установлены условия, при которых оператор стабильного поглощения может быт выражен через конечное семейство многозначных отображений.

2. Проведено вычисление конечной системы отображений, определяющей оператор стабильного поглощения для ряда конфликтно-управляемых систем в пространствах Л2 и Я3.

3. Изучена задача приближенного вычисления функции цены в дифференциальных играх с терминальной платой. Разработаны се-

точные параллельные алгоритмы вычисления функции цены для задач размерности п > 2, в основе которых лежит идея локального овыпукления функций. '

4. Разработана программа приближенного вычисления функции цены игры.

ПУБЛИКАЦИИ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

[1] Ушаков В.Н., Григорьева С.В. Достаточные условия выпуклости производных множеств многозначных отображений Ин-т математики и механики УрО РАН. - Екатеринбург, 1995. - Деп. в ВИНИТИ 09.03.95 N 638-В95

[2] Григорьева С.В. Метод свертки унифицированной системы множеств в дифференциальных играх Ин-т математики и механики УрО РАН. - Екатеринбург, 1995. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.95 N 2751-В95

[3] Ushakov V.N., Grigor'eva S.V. On a family of maps determining stability in differential games. //The Forth International Workshop "Multiple criteria and game problems under uncertainty": Abstracts. - Moscow 1996. p.125

[4] Григорьева С.В. Построение системы множеств, определяющей стабильность в дифференциальных играх. //"Понтрягинские чтения - VII": Тезисы докладов школы. - Воронеж, ВГУ, 1996 с.58

[5] Grigorjeva S.V., Tarasjev A.M., Ushakov V.N., Uspenskii A.A. Constructions of nonsmooth analysis in numerical methods for solving Hamilton-Jacobi Equations // Nova Journal of mathematics, game theory, and algebra. Nova Science Publishers, Inc., New York, U.S.A. 1996, V 6. N 1. P. 27-43.

[6] Ушаков B.H., Григорьева С.В. Конструирование оператора стабильного поглощения в дифференциальных играх Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996, N4, с.69-76

[7] С.В. Григорьева, В.Н. Ушаков. Один способ построения систем j множеств, определяющих стабильность в дифференциальных играх //Ин-т математики и механики УрО РАН. - Екатеринбург, 1997. - Деп. в ВИНИТИ 18.08.1997. 2707-В97. 17с.

[8] С.В. Григорьева, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков. Сеточный метод построения функции цены игры //Научные школы УГТУ-УПИ. Выл.1. 1997. С. 114-119.

[9] Grigor'eva S.V., Ushakov V.N. Use finite family of multivalued maps for constructing stable absorption operator. Nonsmooth and discontinuous problems of control and optimization. Chelyabinsk, June, 17-20, 1998. Proceedings of the International Workshop / Under general edition V.D. Batukhtin; Chelyabinsk State Universsity. Cheluabinsk, 1998. p 78-81

[10] Grigor'eva S.V., Uspenskii A.A. Degree of convergence of finite-difference operators while solving Cauchy problem for Hamilton-Jacobi Equations. Nonsmooth and discontinuous problems of control and optimization. Chelyabinsk, June, 17-20, 1998. Proceedings of the International Workshop / Under general edition V.D. Batukhtin; Chelyabinsk State Universsity. Cheluabinsk, 1998. p 81-84

[11] S.V.Grigor'eva, V.N.Ushakov, A.A.Uspenskii Constructing solutions of differential games and Hamilton-Jacobi equations. //8th International Symposium on Dynamic Games and Applications, July 5-8, 1998. Chateau, Vaalsbroek, Maastricht, The Neterlands. P. 234

>

oH'

!

0.1 Введение.

1 Построение систем множеств, определяющих стабильность в дифференциальных играх.

1.1 Постановка задачи сближения-уклонения.

1.2 Оператор стабильного поглощения.

1.3 Метод свертки унифицированной системы множеств.

1.4 Теорема об отделимости выпуклых множеств, ограниченных третьим множеством.

1.5 Примеры.

2 Разностные апроксимапии решений дифференциальных игр.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Оператор стабильного поглощения

2.3 Разностные операторы.

2.4 Вычислительная схема для кусочно-линейного по импульсной переменной гамильтониана.

2.5 Алгоритм построения выпуклой оболочки.

2.6 Параллельный алгоритм построения функции цены дифференциальной игры на многопроцессорной вычислительной системе МВС-100.

2.7 Примеры.

В диссертации рассматриваются задачи теории дифференциальных игр при наличии геометрических ограничений на управления игроков. Предполагается, что первый и второй игроки имеют противоположные интересы.

Теория дифференциальных игр бурно развивается с начала 60-х годов, и это развитие связано с именами отечественных и зарубежных математиков H.H. Красовского, JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, А.И. Субботина, Б.Н. Пшеничного, Р. Айзекса, В. Флеминга.

Кратко перечислим основные результаты, к которым примыкает диссертационная работа.

H.H. Красовским и его сотрудниками была создана теорий позиционных дифференциальных игр. Основу концепции позиционной дифференциальной игры [42, 88, 129, 131] составляет принцип экс-« ^тремального прицеливания на стабильные мосты. В теории позиции онных дифференциальных игр был рассмотрен широкий круг задач. Эта теория объединила в себе подходы, направленные на решение целого ряда проблем, включающих в себя как вопросы существования, так и проблемы вычисления решений в дифференциальных играх [3, б, 16, 28, 48, 65, 83, 99]. Так, для решения регулярных задач теории позиционных дифференциальных игр был разработан метод программных конструкций [21, 32, 35, 42, 88, 131]. Конструкции позиционных дифференциальных игр были распространены на конфликтно-управляемые системы с запаздывающим аргументом [48, 49, 64]. А.Г. Ченцовым в ряде работ [ИЗ, 114, 115, 116] был предложен для построения решений дифференциальных игр метод программных итераций. Параллельно с этим развивались попятные процедуры и вычислительные методы решения различных классов позиционных дифференциальных игр, включая и нелинейные дифференциальные игры [8, 9, 10, 22, 23, 24, 29, 102]. Наиболее существенные из этих результатов, полученных H.H. Красовским, А.И. Субботиным и их сотрудниками, представлены в монографии "Позиционные дифференциальные игры", вышедшей в 1974 г. Несколько позже для решения нерегулярных задач теории позиционных дифференциальных игр H.H. Красовским и его учениками разработан метод стохастического программного синтеза [30, 31, 39, 40, 46, 53, 54]. Установлено, что для многих дифференциальных игр функция цены игры может быть вычислена как стохастический программный максимин в некоторой вспомогательной игре управления.

Следует отметить, что в теории позиционных дифференциальных игр с одной стороны активно используются результаты и методы различных математических дисциплин: теории дифференциальных уравнений, теории игр, выпуклого и негладкого анализа (см., например, [3, 10, 16, 17, 85]), а с другой стороны, конструкции, разработанные в рамках этой теории, нашли применение в других разделах математики. Так например, первые результаты, относящиеся к построению обобщенных решений были получены А.И. Субботиным совместно с H.H. Субботиной при изучении основного уравнения теории дифференциальных игр - уравнения Айзекса-Беллмана[84]. Позже они были распространены А.И. Субботиным на уравнения уравнения в частных производных первого порядка типа Гамильтона-Якоби. Им было введено понятие обобщенного (минимаксного) решения уравнения Гамильтона-Якоби, установлены достаточные условия существования и единственности минимаксного решения и доказано его совпадение с вязкостным решением в смысле определения М. Крэндалла-П.Л. Лионса [82].

Основополагающие результаты в теории дифференциальных игр были получены Л.С. Понтрягиным и его сотрудниками. Л.С. Пон-трягиным для линейных дифференциальных игр были сформулированы и обоснованы эффективные условия завершения игры преследования в форме первого прямого метода[69]. Для решения линейных дифференциальных игр, не укладывающихся в рамки первого прямого метода, Л.С. Понтрягин предложил второй метод, который основан на конструкции альтернированного интеграла [70]. Результаты Л.С. Понтрягина были развиты в работах [1, 19, 56, 57, 58, 59] его учеников и сотрудников. В настоящее время продолжают развиваться вычислительные методы построения решений линейных дифференциальных игр, основу которых составляет конструкция альтернированного интеграла [25].

В исследованиях Б.Н. Пшеничного и его учеников [75, 76, 77] предложены операторные конструкции решения игровых задач наведе

Тематика данной диссертации непосредственно связана с тематикой теории уравнений в частных производных первого порядка. В связи с этим несколько подробнее остановимся на исследованиях, посвященных проблеме построения решений уравнений в частных производных первого порядка. Эту проблему исследовали многие отечественные и зарубежные математики. Важные результаты здесь получены в работах И.М.Гельфанда [13], С.Н.Кружкова [47], H.H. Кузнецова [50], O.A. Олейник [61], А.Н. Тихонова, A.A. Самарского [100] и других. Численным аспектам решения уравнений в частных производных первого порядка посвящены работы таких авторов как С.К. Годунов [14], Е. Hopf [128], P.D. Lax [132]. В последнее время значительное продвижение в конструировании ап-проксимационных схем в рамках теории минимаксных решений достигнуто в работах В.Н. Ушакова, A.M. Тарасьева, A.A. Успенского [90-99],[103, 104, 105, 106, 111, 112, 135, 136] на базе подхода, основу которого составляет построение локально-выпуклых и локально-вогнутых оболочек функций, аппроксимирующих решение, а также вычисление субдифференциалов локально-выпуклых и супердифференциалов локально-вогнутых оболочек этих функций. Как развитие **этого подхода, основанного на локальных овыпуклениях, сформировался подход, представленный в работах [55], основу которого составляет локальная линейная аппроксимация функций, участвующих в построении решения. Этот подход отличает прежде всего простота; отпадает необходимость проводить многократные и сложные процедуры вычисления локально-выпуклых, локально-вогнутых оболочек функций, а также суб- и супердифференциалов этих функций.

Другое направление по конструированию обобщенных решений развивается в рамках теории вязкостных решений. Важные результаты здесь в последнее время получены в работах [118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 134].

Кратко остановимся на содержании диссертации. Диссертация состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению определяющего в теории позиционных дифференциальных игр свойства стабильности в задаче сближения-уклонения конфликтно-управляемой системы с терм.инальным множеством. В этой главе обсуждаются различные формы представления свойства стабильности в терминах оператора стабильного поглощения. Устанавливаются условия, при которых оператор стабильного поглощения может быть выражен через конечное семейство многозначных отображений. При этих условиях (попятное) построение системы множеств, аппроксимирующей стабильный мост, может быть сведено к построению на каждом шаге попятной процедуры пересечения некоторой конечной системы множеств в фазовом пространстве.

Несколько подробнее опишем результаты, полученные в первой главе.

В §1 первой главы формулируется постановка задачи сближения-уклонения с целевым множеством M 6 R" на фиксированном промежутке времени для системы dx = f(t, x,u,v), x[to] = x0, X g rn (0.1.1) с геометрическими ограничениями и G Р, v G Q на управления игроков. Кроме того, обсуждается метод решения позиционной задачи сближения-уклонения.

Предполагается, что выполнены условия: <* А. Игра происходит в ограниченной, замкнутой области D переменных (t,x) g [¿о, Щ х Rn;

B. Вектор-функция f(t,x,u,v) непрерывна по совокупности переменных (t,x,u,v) G D х Р х Q и удовлетворяет условию Липшица по переменной х.

C. Область D и система (0.1.1) таковы, что для любых (¿*,ж*) G D и измеримых по Лебегу «(•) : [£*,$] Р, f(-) : [tj=,$] q решение уравнения dx/dt = f(t, ж, u(t), vit)), x[t*] = ж* удовлетворяет включению (t., a;[i]) G D при i G [t*,^].

В §2 первой главы приводятся различные определения стабильности, в частности, унификационная схема и определение, использующее оператор стабильного поглощения, построенный на основе некоп» торого семейства многозначных отображений {Fф : D —> 2 }, ф G Ф, удовлетворяющее условиям:

А.1. Для любых (t,x,il>) G D х Ф множество х) выпукло, замкнуто и удовлетворяет включению F^ С G.

Здесь G - шар в Rn конечного радиуса с центром в начале координат, такой, что F(t,x) = со{ f(t,x,u,v) : и £ Р, v Е Q} С G для любых (t, х) £ D;

А.2. Для любых (t,x,l) £ D х S выполняется о = h{t,x,l);

Здесь hp(l) = max(l,z) - опорная функция множества F, h(t,x,l) = maxuep minveg (/, f(t, ж, м, г>)) - гамильтониан управляемой системы;

А.З. Существует функция и>*(6) (и>*(6) I 0 при 6 I 0) такая, что для любых и (t*,x*) из D, любых ф Е Ф имеет место d(Fi){f)x*),F^(U,x,)) < ш*(\f - Ц + \\х* - х*\\). (0.1.2)

Элементы множества Ф, определяющего семейство многозначных т>т отображений {F'ф : D —► 2 } можно рассматривать как обобщенные управления второго игрока.

В §3 первой главы предлагается метод свертки унифицированной системы множеств для построения семейств многозначных отображений с конечным числом элементов. Суть этого метода состоит в том, что сначала выделяются участки выпуклости гамильтониана h(t,x,l) системы в пространстве сопряженной переменной /, а затем осуществляется построение пересечений соответствующих полупространств с вектограммой системы. Отметим, что впервые идея разделения пространства сопряженных переменных I применялась при построении решений дифференциальных игр в работах B.C. Пацко и его сотрудников [26]. Можно указать классы дифференциальных игр, для которых удается выделить конечное семейство {рф : d —»■ 2 } отображений, что значительно упрощает процедуру построения стабильных мостов, делает ее вполне обозримой. Указываются условия, при которых оператор стабильного поглощения может быть выражен через эти семейства многозначных, отображений с конечным числом элементов. Опишем подробнее эти условия и способ построения семейств многозначных отображений

Рассмотрим конечное множество Ф элементов ф и разбиение единичной сферы S для каждого (t, х) Е D на замкнутые подмножества Ьф(1;,х), ф Е Ф, такие, что

В.1. К(Ьф(1,х)) -выпуклое множество;

В.2. - выпуклая по I на К(Ьф^,х)) функция при любых

В.З. Существует функция ш(6), (й(6) | 0 при 6 I 0) такая, что для любых (¿*,ж*) и из любых ф 6 Ф имеет место й{Ьф(1*, X*), ж*)) < -и>(\? - + ||ж* - ж^Ц).

Здесь К(Ьф(г,х)) = {1:1 = А/*, Л > 0,1* 6 Ьф{Ь,х)} -конус, натянутый на множество х). Обозначим П П^аОП^С*,®)

1еь^,х) (0.1.3) :('»/><

Кроме того, предположим, что выполняется условие ^ 0 при любых (¿,ж,?/>) 6 I) х Ф.

Основной результат первой главы:

Теорема 0.1.1 Семейство отображений : И —> 2ят}, отвечающее множеству Ф и заданное равенством (0.1.3), удовлетворяет условиям АЛ, А.2, А.З.

В §4 первой главы доказана вспомогательная теорема, используемая при доказательстве основного результата, - теорема об отделимости выпуклых множеств ограниченных третьим множеством. Суть ее состоит в том, что наличие ограничения - третьего множества -позволяет получить дополнительную информацию о структуре некоторых из разделяющих их гиперплоскостей.

В §5 первой главы в качестве примеров рассматриваются конфликтно-управляемые системы с динамикой с1х/сИ = и + v

О ' о где ж € В. и ж Н и конфликтно-управляемая система с динамикой х/сИ = /(£,- х) + х)и + х)у где х 6 К2. Для этих систем построены конечные семейства многозначных отображений, определяющие оператор стабильного поглощения.

Вторая глава диссертации посвящена вычислению приближенных решений антагонистических дифференциальных игр с терминальной платой. Здесь предложены сеточные' Методы приближенного вычисления функции цены игры для задач размерности п > 2.

Опишем подробнее результаты, полученные во второй главе.

В §1 второй главы формулируется постановка задачи дифференциальной игры

§ = f(t,X,U,v) = f\t,x,u) + f2(t,x,v), ж[*о] = жо, t е [о, tf], uePveQ.

0.1.4) с терминальным функционалом

7 (*(•)) = *(*(<?)) (0.1.5) приводятся условия, накладываемые на управляемую систему, даются определения стабильности и функции цены дифференциальной игры. Кроме того, указывается подход к решению задачи построения функции цены дифференциальной игры. Эта задача может быть известными приемами [90] сведена к задаче построения системы множеств, аппроксимирующей максимальный стабильный мост в соответствующей дифференциальной игре сближения-уклонения размерности п + 1 = Ж> U1V) /Q ^

X = 0

Максимальный стабильный мост в задаче сближения с epi а ( hypo а ) для расширенной динамической системы (0.1.6) совпадает с над-графиком (подграфиком) функции цены. Задача построения надгра-фика функции цены обозначается как задача I, задача построения подграфика функции цены обозначается как задача II.

В §2 второй главы определяются операторы стабильного поглощения, доставляющие решение задачам I и II. В качестве таких операторов выбраны операторы t,x)^Fr(t,x): le R»}, . ' t,x)^Ff(t,x): I G Rn}, ^^ построенные в соответствии с правилами

Fr(t,x) = {ye Rn: \\y\\<K(t,x), (l,y) >h(t,x,l)} Ff{t, x) = {у e Rn : \\y\\ < Щ x), (J, y) < k(t, x,l)} где К(1,, х) - функция Липшица гамильтониана. Эти операторы сформированы унификационной схемой [34, 36, 4], при этом унификаци-онная схема имеет некоторые особенности, вызванные сведением исходной дифференциальной игры к игре сближения-уклонения в пространстве большей размерности. В связи с тем, что области достижимости расширенной динамической системы должны иметь топологическую размерность расширенного пространства, возникает необходимость для решения каждой из задач I и II рассматривать совокупности семейств многозначных отображений, зависящие от параметров а и /3. Унификационные множества я)/€5п+1}

I 6 5п+1, строятся как пересечения соответствующих полупространств {У (У,1) > /)} ({у: (у,1) < х,рг /)}) с цилиндрами в пространстве К,п+1, ориентированными вдоль оси, отвечающей добавленной переменной. Эти цилиндры и х) подменяют собой вектограмму расширенной управляемой системы в пространстве Кп+1.

В §3 второй главы на основе построенных совокупностей семейств многозначных отображений определяются разностные операторы стабильного поглощения и операторы шага и указываются некоторые свойства операторов шага, позволяющие перейти непосредственно к численной реализации. Существенными в конструкции разностных операторов стабильного поглощения являются такие важные понятия, как локально-выпуклая оболочка, субдифференциал и супердифференциал функции. Далее с помощью операторов шага определяются функции ад"(•) и ги^(-), отвечающие разбиению отрезка времени. Обосновывается (см теорему 2.3.2), что разностная схема, , индуцируемая разностными операторами, дает результат, близкий к цене игры. При этом указана зависимость скорости сходимости этого результата к функции цены от шага А разбиения отрезка [¿о,^] игры.

В §4 рассмотрена схема приближенного вычисления функции цены игры описываемой дифференциальным уравнением х =/(;£, х,щь) = <?(£, х) + В^,х)и + С(£,ж)г>,.

10 ж е вл г е М, и е р с^, « е д с ш,~

Р и ф -выпуклые многогранники), в основе которой лежат конструкции разностных операторов, предложенные в §3.

В этой схеме значительное кхесто занимает процедура вычисления локальных овыпуклений сеточной функции/Фактически эта процедура представлена здесь как процедура вычисления выпуклой оболочки некоторого полиэдрального множества. Подробно алгоритм вычисления выпуклой оболочки полиэдрального множества представлен в §5. В основе алгоритма лежит метод "заворачивания подарка", предложенный Чандом и Капуром [120] в 1970 г.

В §6 главы II изложен параллельный алгоритм построения функции цены дифференциальной игры на многопроцессорной вычислительной системе МВС-100. При распараллеливании задачи реализована схема "процессорной фермы", в которой один процессор выполняет функции мастера, рассылающего задания остальным процессорам рабочим и собирающего у них результаты счета.

1. Азамов А. О втором методе Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования // Мат. сб. 1982. Т. 118. Вып. 3. С. 422-430.

2. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479с.

3. Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр / Под ред. А.И.Субботина и В.С.Пацко. Свердловск: ИММ УрО АН СССР, 1984. 295с.

4. Алексейчик М.И. Дальнейшая формализация основных элементов антагонистической дифференциальной игры // Мат.анализ и его прил./ Ростов.ун.-т. Ростов-на-Дону, 1975. Т.7. С.191-199.

5. Альбрехт Э.Г. О сближении квазилинейных об]ектов в регулярном случае // Диф. уравнения. 1971. Т.7. С.1171-1178.

6. Альбрехт Э.Г. Метод Ляпунова-Пуанкаре в задачах оптимал-ного управления. Дисс. д.-ра физ.-мат.наук. Свердловск: 1986. 280с.

7. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. 400с.

8. Боткин Н.Д. Численное построение сечений множества позиционного поглощения в линейной дифференциальной игре// Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр // УНЦ АН СССР. Свердловск: 1984. С.5-38.

9. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управлениям.: Мир, 544 с.

10. Вахрушев В.А., Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О численном решении задач оптимального управления нелинейными системами. В кн.: 7 Всесоюзный с]езд по теоретической и прикладной механике. Тезисы докладов. Москва. 1991. С.17.

11. Гельфанд И.М.Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи мат. наук. 1959. Т.14, вып. 2 (86). С.87-158.

12. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Мат. сб. 1959. Т. 47 (89), N 3. С.271-306.

13. Гурман В.И., Константинов Г.Н. Описание и оценка множеств достижимости управляемых систем // Диф. уравнения. 1987. Т.23, N 3.С.416-423.

14. Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., Ушаков В.Н. Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления // Проблемы упр. и теории информации. 1985. Т. 14. N 3. С. 1-14.

15. Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., Ушаков В.Н. Производные стабильных мостов в дифференциальной игре сближения. Свердловск. 1985. 62 с. Деп. в ВИНИТИ 29.01.85. N 840-85.

16. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1988. Т.ЗОЗ, N 4. С.794-796.

17. Гусятников П.Б., Никольский М.С. Об оптимальности времени преследования // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. N 3. С. 518-521

18. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление // М.: Наука. 1990. 432 с.

19. Джафаров В.Я., Субботин А.И. Программный максимин и цена позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257. N 6. С. 1305-1309.

20. Зарх М. А. Универсальная стратегия второго игрока в линейной дифференциальной игре // Прикл. матем. и мех. 1990. Т. 54. Вып. 3. С. 395-400.

21. Зарх М.А., Пацко B.C. Построение максимальных стабильных мостов в линейной дифференциальной игре // Синтез оптимального управления в игровых системах / Свердловск. УНЦ АН СССР. 1986. С.46-61.

22. Зарх М.А., Пацко B.C. Стратегия второго игрока в линейной дифференциальной игре // Прик. матем. и мех. 1987. Т.51, вып.2. С. 199-200.

23. Иванов Г.Е., Половинкин Е.С. О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 10. С. 1641-1648

24. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

25. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург. "Наука". Уральское отделение. 1993. 184 с.

26. Клейменов А.Ф., Пацко B.C., Ушаков В.Н. Приближенное решение дифференциальных игр в смешанных стратегиях // Труды межд. конф. по стохастической оптимизации. Киев, 1984. Берлин. Шпрингер, 1986. С.669-674.

27. Красовский А.Н. Синтез смешанных стратегий управления. Свердловск: Изд-во Урал, ун.-та, 1988. 151 с.

28. Красовский А.Н., Красовский H.H., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры // Прикл. матем. и мех. 1981. Т.45, N 4. С.579-586.

29. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений // М.: Наука, 1970, 420 с.

30. Красовский H.H. К задаче преследования в случае линейных однотипных объектов // Прикл. матем. и мех. 1966.T.30, вып.2. С.209-225

31. Красовский H.H. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т.226, N 5. С.1260-1263.

32. Красовский H.H. Минимаксное поглощение в игре сближения // Прикл. матем. и мех. 1971. Т.З, вып.6, С.945-951.

33. Красовский H.H. Построение смешанных стратегий на основе стохастических программ // Прикл. матем. и мех. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 186-192.

34. Красовский H.H. Унификация дифференциальных игр // Игровые задачи управления / Свердловск. 1977. С.32-34.

35. Красовский H.H. Управление динамической системой // М.: Наука, 1985, 520 с.

36. Красовский H.H., Репин Ю.М., Третьяков В.Е. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем.// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1965. N 4. С.3-13.

37. Красовский H.H., Решетова Т.Н. О программном синтезе гарантирующего управления // Проблемы упр. и теории информации. 1988. Т. 17, N 6. С.1-11.

38. Красовский H.H., Субботин А.И. Аппроксимация в дифференциальной игре // Прикл. матем. и мех. 1973. Т.37, вып. 2. С. 197-204.

39. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974, 456 с.

40. Красовский H.H., Субботин А.И. О структуре дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1970. Т.190, N 3. С.523-526.

41. Красовский H.H., Субботин А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх // Докл. АН СССР. 1971. Т.196, N 2. С.278-281.

42. Красовский H.H., Субботин А.И., Ушаков В.Н. Минимаксная дифференциальная игра. Докл. АН СССР. 1972. Т. 206, N 2. С.277-280.

43. Красовский H.H., Третьяков В.Е. К задаче преследования в случае ограничений на импульсы управляющих сил // Диф. уравнения. 1986. Т.2, N 5. С.587-599.

44. Кружков С.Н. К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядк // Успехи мат. наук. 1965. Т.20, вып.6 (126). С.112-118.

45. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Дифференциально-разностная игра сближения с функциональным целевым множеством // ПММ. 1973. Т. 37. Вып 1.

46. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в линейной динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. N 2. С.51-60

47. Кузнецов H.H. О некоторых асимптотических свойствах обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, вып. 2 (86). С.203-209.

48. Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр // Труды МИАН СССР. 1988. Т.85. С.147-170.

49. Логинов М.И., Соломатин A.M. Условия регулярности гарантированного результата для квазилинейных конфликтно-управляемых объектов //Тез.докл., Всес. конф. "Управление в механических системах". Львов, 1988.

50. Лукоянов Н.Ю. К задаче конфликтного управления при смешанных ограничениях // Прикл. матем. и мех. 1995. Т. 5. Вып. б, С. 955- 964.

51. Лукоянов Н.Ю. Об одной дифференциальной игре с интегральным критерием качества // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. N 11. С. 1905-1913.

52. Мельникова Н.В., Тарасьев A.M. Градиенты локально линейных оболочек в конечно - разностных операторах для уравнений Гамильтона-Якоби // Прикл. матем. и мех. 1997 Т. 61. N 3. С. 422-431.

53. Мищенко Е.Ф. Задачи преследования и уклонения,от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1971. N 5. С.3-9.

54. Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого // Докл. АН СССР. 1969. Т. 189. N 4. С. 721-723

55. Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л.С.Понтрягина // Мат. сборник. 1981. Т. 158. С.121-124.

56. Никольский М.С. О нижнем альтернированном интеграле Пон-трягина в линейных дифференциальных играх преследования // Мат.сборник. 1985. Т.128, N 1. С.35-49.

57. Овсеевич А.И., Черноусько Ф.Л. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем // Прикл. матем. и мех. 1982. Т.46, вып.5. С.737-744.

58. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи // М.: Наука, 1980. 320 с.

59. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т.184, N 2. С.285-287.

60. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры // Киев, Наукова Думка. 1991. 264 с.

61. Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.И. О дифференциальных играх с фиксированным временем // Кибернетика. 1970. N 2. С.54-63.

62. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

63. Соколов В.Н., Турова B.JT. Оптимальное управление маятником в условиях неопределенности помех. М., 1988. 38 с. (Пре-пр./ИПМ АН СССР; N 336)

64. Субботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1980. Т.254. N 2. С.293-297.

65. Субботин А.И. Кусочно-линейная функция цены дифференциальной игры с простыми движениями // Труды МИАН СССР. 1988. Т. 185. С.242-245.

66. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991. 288 с.

67. Субботин А.И., Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1978. Т.243, N 4. С.862-865.

68. Субботин А.И., Субботина H.H. Свойства потенциала дифференциальной игры // Прикл. матем. и мех. 1982. Т.46, вып.2. С.204-211.

69. Субботин А.И., Тарасьев A.M. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры// Докл. АН СССР. 1985. Т.283, N 3. С.559-564.

70. Субботин А.И., Тарасьев A.M. Свойства стабильности функции цены дифференциальной игры и вязкие решения уравнений Гамильтона-Якоби / / Проблемы управления и теории информации. 1986. Т.15, N 6. С.451-463.

71. Субботин А.И., Тарасьев A.M., Ушаков В.Н. Обобщенные характеристики уравнений Гамильтона-Якоби // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1993. N 1. С.190-197.

72. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1978, 288 с.

73. Субботина H.H. Принцип максимума и субдифференциал функции цены // Проблемы управления и теории информации. 1989. Т. 18, N 3. С.1-10.

74. Тарасьев A.M. О построении функции цены в одной нерегулярной дифференциальной игре с фиксированным моментом окон• чания. Свердловск: 1983, 43 с. Деп. В ВИНИТИ 21.04.83 N 245583.

75. Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н. Аппроксимацион-ные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гмильтона-Якоби // Изв. Акад. Наук., Техн. кибернетика. 1994. N 3. С. 173-185. .

76. Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н. Построение разрешающих процедур управления в трехмерной линейной игровой задаче с терминальной платой. Свердловск: 1990. 92 с. Деп. в ВИНИТИ 07.08.90, N 4485-В90.

77. Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н. Алгоритмы приближенного построения множества позиционного поглощения в линейной задаче сближения с выпуклой целью // Сборник " Расчет потенциальных и программных управлений", Свердловск, УПИ, 1989, С.22-30.

78. Тарасьев A.M., Ушаков В.Н. О построении стабильных мостов в минимаксной игре сближения-уклонения. Свердловск: 1983. 61 с. Деп. в ВИНИТИ 19.04.83, N 2454-83.

79. Тарасьев A.M., Ушаков В.Н. Построение системы множеств, аппроксимирующей максимальный минимаксно u-стабильны мост // Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр / УНЦ АН СССР. Свердлоск, 1984. С.191-248.

80. Тарасьев A.M., Ушаков В.Н. Алгоритмы построения стабильных мостов в линейной задаче сближения с выпуклой целью // Исследование задач минимаксного управления / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985. С.91-116.

81. Тарасьев A.M., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // Прикл. матем. и мех. 1987. Т.51, вып.2. С.216:222.

82. Тихонов А.Н., Самарский A.A. О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка // Докл. АН СССР. 1954. Т.99. С.27-30.

83. Третьяков В.Е. Регуляризация одной задачи о преследовании // Диф. уравнения. 1967. Т.З, N 12. С.2108-2121.

84. Турова B.J1. Линейная дифференциальная игра качества // Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1984. С.191-248.

85. Успенский A.A. Алгоритм построения множеств разрешимости в многомерных линейных дифференциальных играх // Проблемы теоретической и прикладной математики. УрО АН СССР. Свердловск, 1989. С.15.

86. Успенский A.A. Вычислительные процедуры для построения обобщенных решений уравнений Беллмана-Айзкса. Дисс. канд. физ.-мат.наук. Екатеринбург: 1993. 165с.

87. Успенский A.A. Построение множеств разрешимости в линейной дифференциальной игре сближения в трехмерном пространстве // Тез.докл. Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации, Москва, 1988. М.: С.219.

88. Успенский A.A. Оценка скорости сходимости разностных операторов при решении задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби / Екатеринбург. 1998. Деп; в ВИНИТИ 06.03.98. N 623-В98. 38 с.

89. Ухоботов В.И. Об одной дифференциальной игре с импульсными управлениями // Тр. Ин-та механики мех.-мат. фак. МГУ.

90. Ухоботов В.И. Об одном классе дифференциальных игр с интегральными ограничениями // Прикл. матем. и мех. 1977. Т.41, вып.5. С.810-824.

91. Ушаков В.Н. Минимаксная дифференциальная игра сближения-уклонения и условия разрешимости задачи сближения-уклонения // Дифференциальные системы управления / УНЦ АН СССР. Свердловск. 1979. С.191-248.

92. Ушаков В.Н. К теории минимаксных дифференциальных игр. Часть I. Свердловск: 1980, 187 с. Деп. В ВИНИТИ 16.10.80.// N 4425-80.

93. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. N 4. С. 29-36.

94. Ушаков В.Н. Процедуры построения стабильных мостов в дифференциальных играх. Дисс. д.-ра физ.-мат.наук. Свердловск: 1991. 308с.

95. Ченцов А.Г. О структуре игровой задачи сближения // Докл.АН СССР. 1975. Т.224, N 6. С.1272-1275.1 »

96. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сборник. 1976. Т.99, N 3, С.394-420.

97. Ченцов А.Г. К игровой задаче наведения // Докл. АН СССР. 1977. Т.226, N 1. С.73-76.

98. Ченцов А.Г. Цена дифференциальной игры с обобщенной платой // Докл. АН СССР. 1977. Т.237, N 1. С.41-43.

99. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988, 319 с.

100. Bardi M., Falcone M. An Approximation Scheme for Minimax Time Function // SIAM J. Control Optimiz. 1990. Vol. 28. No. 4. P. 950965

101. Bardi M., Osher S. The nonconvex multi-dimensional Riemann problem for Hamilton-Jacobi equations // SIAM J. Math. Anal. 1991. V. 22, No 2. P. 344-351.

102. Chand D.R., Kapur S.S. An algorithm for convex polytopes, Journal of the ACM. 1970. Vol. 17. No. 1. P. 78-86.

103. Crandall M.G., Lions P.L. Condition d unicité pour les generalisees des eguations Hamilton-Jacobi du 1-er ordre. C.R.Acad. Sri. Paris Ser. A-B, vol. 292, pp. 183-186 (1981)

104. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton-jacobi equations in infinite dimensions. VII. the HJB equation is not always satisfied // J. Funct. Anal. 1994. Vol. 125. No. 1. P. 111-148.

105. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 277. No. 1. P.l-42.

106. Crandall M.G., Lions P.L. Two approximations of solutions of Hamilton-Jacobi equations // Math. Comput. 1984. V. 43. P. 1-19.

107. Fleming W.H. The convergence problem for differentiale games // J. Math. Anal. 1961. Vol. 3, N 1. P.102-116.

108. Friedman A. Existence of Value and of Saddle Points for Differential Games of Pursuit and Evasion // J. Different. Equat. 1971. Vol.9. No.l. P.141-154.

109. Hopf E. Generalised solutions of non-linear equations of first order // J.Math, and Mech. 1965. V.14, No.6. P.951-973.

110. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information. Birkhauser. 1995.

111. Krasovskii N.N., Reshetova T.N. // Problem of Control and Information Theory. 1988. Vol. 17/ No. 6. P. 333-343.

112. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game theoretical control problems. Springer-Verlag. New York. 1986. 517 p.

113. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Comm. Pure Appl. Math. 1954. V.7, No.l. P.159-193.

114. Osher S., Shu C.W. High-order essentially nonoscillatory schemes for Hamilton-Jacobi equations // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V.28. No.4. P.907-922.

115. Souganidis P.E. Approximation schemes for viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations //J. of Different. Equat. 1985. V. 59. P. 1-43.

116. Tarasyev A.M. Approximation Schemes for Constructing Minimax Solutions of Hamilton-Jacobi Equations //J. Appl. Maths. Mechs. 1994. Vol. 58. No. 2. P. 207-221.

117. Taras'ev A.M., Uspenskii A.A., Ushakov V.N. On construction of solvinq procedures in a linear control problem // The Lyapunov functions method and applications. J.C.Baltzer AG, Scientific Publishing Co. IMACS, 1990. P.ll-115.

118. Varaija P., Lin J. Existence of Saddle Points in Differential Games 11 SIAM J. Control. 1969. Vol. 7. No. 1. P. 141-157

119. Ушаков B.H., Григорьева С.В. Достаточные условия выпуклости производных множеств многозначных отображений Ин-т математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 1995. - Деп. в ВИНИТИ 09.03.95 N 638-В95

120. Григорьева С.В. Метод свертки унифицированной системы множеств в дифференциальных играх Йн-т математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 1995. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.95 N 2751-В95

121. Ushakov V.N., Grigor'eva S.V. On a family of maps determining stability in differential games. //The Forth International Workshop "Multiple criteria and game problems under uncertainty": Abstracts. Moscow 1996. p. 125

122. Григорьева С.В. Построение системы множеств, определяющей стабильность в дифференциальных играх. //"Понтрягин-ские чтения VII": Тезисы докладов школы. - Воронеж, ВГУ, 1996 с.58

123. Ушаков B.H., Григорьева С.В. Конструирование оператора стабильного поглощения в дифференциальных играх Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996, N4, с.69-76в

124. С.В. Григорьева, В.Н. Ушаков. Один способ построения систем множеств, определяющих стабильность в дифференциальных играх //Ин-т математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 1997. - Деп. в ВИНИТИ 18.08.1997. 2707-В97. 17с.

125. С.В. Григорьева, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков. Сеточный метод построения функции цены игры //Научные школы УГТУ-УПИ. Вып.1. 1997. С. 114-119.ЛИТЕРАТУРА 109