Построение функции цены в задачах сближения уклонения нескольких преследователей с одним убегающим тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

г г з с

- В ШОН 'Й!ЬсКЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

Синицын Александр Владимирович

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ЦЕНЫ 3 ЗАДАЧАХ СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЕЙ С ОДНИМ УБЕГАЮЩИМ

удк 532.546

01.0-02.02 - ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕР ГАЦИ.И НА СОИСКАНИЕ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

МОСКВА -1998

Работа выполнена в институте проблем механики РЛН Научный руководитель д. ф.-м.н., проф. л.г.пашков[

Официальныеецноненты :

д.ф. м. н. , проф. А. А. Меликхн

д. ф. м. н. , проф. К. л. Григоренко

ведущая организация: Институт математики и механики УРо РАН.

защита состоится 18 нюня 1998 года в 1бч. зо.на заседании диссертационного совета Д.oo2.87.oi при Институте проблем механики ран по адресу: )17526, Москва, пр-кт Вернадского, 101

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики ран.

Автореферат разослан мая 1998 года

Ученый секретарь диссертационного совета

к. ф. -м. н.

Сысоева Е.я.

актуальность темы

теория дифференциальный игр получила развитие применительно к процессам, встречающимся в технике, военном деле, экономике, биологии, медицине.

Задачи оптимального управления, осложненного различного рода помехами также составляют предмет исследования теории дифференциальных игр. Задачи сближения-уклонения считаются решенными полностью, если найдена функция цены игры. Как показывают исследования последних лет особую трудность и интерес представляет обнаружение и исследование сингулярных многообразий, на которых функция цены игры недифференцируема. В связи с этим строгая разработка численных и приближенных методов решения игровых задач должна основываться на учете новейших достижений теории дифференциальных игр .

Одно из последних направлений развития теории дифференциальных игр охватывает игровые задачи с участием нескольких управляемых объектов. Наличие многих игроков вносит определенные особенности, такие, например, как неодчосвязность терминального многообразия, различие в динамике объектов, невыпуклость функционала и другие, в связи с этим решение этих задач требует разработки новых подходов и методик.

Наряду с прикладным значением, решение подобных задач помогает развитию актуальных проблем самой теории дифференциальных игр.

целью настоящей работы является исследование конкретных дифференциальных игр сближения - уклонения и построение функции цены игры.

основные задачи и цели исследования

Развитие метода построения функции гарантированного результата в задачах сближения-уклонения нескольких преследователей с одним убегающим;

Постановка и исследование игровой задачи сближения п преследователей с одним убегающим в п-мерном пространстве;

Постановка и исследование задачи сближения двух

преследователей с одним убегающим при наличии фазового ограничения типа полуплоскости;

Постановка и исследование дифференциальной игры сближения трех преследователей с одним убегающим на

плоскости;

Численное моделирование процесса сближения-уклонения, построение оптимальных траекторий всех объектов, построение линий уровня функции цены игры.

научная новизна

Поставлены и рассмотрены конкретные задач теории дифференциальных игр. показана эффективность методики построения функции цены игры через определение функции гарантированного результата и доказательства ее свойств стабильности.

для каждой из рассмотренных задач множество начальных позиций игры строго классифицировано.

В каждой из областей начальных позиций предложены строгие алгоритмы, реализованные также и численно, построения функции гарантированного результата. Доказаны ее свойства стабильности.

Выявлены качественные особенности сингулярных многообразий. В результате исследования получено, что сингулярности являются рассеивающими поверхностями.

Построены оптимальные траектории преследующих и убегающего объектов.

Рассмотрена возможность применения метода

математической индукции в задачах сближения-уклонения многих объектов.

достоверность полученных результатов

обуславливается строгостью постановок задач, корректностью применяемых математических методов теории дифференциальных игр, а также контролем строгих решений моделированием в реальном времени процесса сближения - уклонения, построением линий уровня цены игры и численной проверкой свойств

стабильности функции гарантированного результата.

научная и практическая ценность работы В настоящее время известно весьма небольшое количество задач, даже с простой динамикой, где удалось построить функцию цены игры при наличии нескольких управляемых объектов. Результаты проведенного исследования могут применятся в реальных процессах сближения-уклонения многих участников, а также служить модельными примерами для проверки теоретических положений.

публикаций

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1], [2], [3], а также в [4-10]. Все работы выполнены под научным руководством А.Г.Пашкова. Работа [3] отмечена премией издательства Pergamon Presa в 1996г.

апробация работы Результаты диссертационной работы докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях и семинарах:

- 1-ая Украинская конференция по автоматическому управлению "Автоматика-94" (Украина, г.Киев, 1994);

VI International Symposium on Dynamic Games and Applications (St. Jovite, Quebec, Canada, 1994);

- The III International Congress on Industrial and Applied Mathematics ( Hamburg, Germany, 1995) ;

The 17th IFIP Conference on System Modeling and Optimization (Prague, Chech Republic, 1995) ;

семинар отдела динамических систем под руководством А.И.Субботина (ИМИ Уро РАН, г.Свердловск, 1991-1992);

- И Международный семинар ИФАК "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Россия, г. Челябинск, 1993);

-III International Workshop "Multiplay Criteria Problems under Uncertaintly" ( Russia, Orekhovo-Zuevo, 1995);

- III Международный семинар ИФАК "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации"(Россия, г.Санкт-Петербург,1995) ;

В целом диссертационная работа докладывалась в Институте проблем механики Российской академии наук на заседании семинара "Оптимизация конструкций и механических систем",

структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 99 наименования и 18 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается обзор методов и результатов теории дифференциальных игр, краткое описание содержания диссертационной работы по главам. Обосновывается актуальность и практическая значимость работы. Приводятся сведения о публикация и аппробации работы.

Первая глава посвящена проблеме сближения п динамических объектов с одним. Рассмотрены случаи игры как с однотипными произвольными преследователями, так и

разнотипными, превосходящими по скорости убегающего.

Платой считается минимальное расстояние между убегающим и ближайшим к нему преследователем в момент завершенияигры.

Требуется построить функцию цены игры.

Вводится функция программного максимина, пространство начальных позиции разбивается на области и доказывается и-стабильность функции во всем пространстве с применением метода математической индукции. Подход для решения задач сближения двух преследователей с одним убегающим на плоскости развивается для решения задачи сближения п преследователей с одним убегающим в пространстве кп.

Построена функция цены игры не только в регулярной области , но и на выделенных сингулярных многообразиях.

Рассмотрен пример игры преследования "трое за одним" в трехмерном евклидовом пространстве, строятся оптимальные траектории и поверхности уровня цены игры, также в примере расматривается возможность иного доказательство и-стабильности функции программного максимина.

Б первом пункте приводится постановка задачи. Динамика преследователей, объединенных в коалицию, и динамика убегающего описываются уравнениями:

Yj_( tJ = u.(t), у.(О) = у°, tfj. s О, i-l,n

z(t) = v(t), z(O) = z? r s v, v г о, t 6 [0,7], T < со здесь y.,z - позиции соответственно преследователей и убегающего в п-мерном пространстве,управление )

формируется в процессе движения позиционной стратегией и,.: т х Rn => В^(О), управление убегающего выбирается как произвольная функция времени из класса v^ измеримых функций v(.):T 0^(0), где В^О) и - n-мерные замкнутые шары

радиуса и и у с центром в начале координат, (•) -евклидова норма. Функцией платы (ФП) является минимальное расстояние между убегающим и преследователями в момент завершения игры:

°(У±, min dfyi fTJ,z(TJJ

где d(yi(T)Jz(T)) - евклидово расстояние между у^(Т) и zfTj.

Цель преследователей - минимизировать , цель убегающего-максимизировать функцию платы.

Требуется построить функцию гарантированного результата.

Во втором пункте вводится функция программного максимина. Определяются области достижимости игроков y^t) и z(t) к моменту Т являются n-мерные шары и Ссрадиусов ¡/(т-с)с центрами соответственно в у^(Ь) и z(t). Определяется функция программного максимина (фпм) как

f(t,yi( t),z(t)) = max min min ä(Y^z) zeGt i y.e öj предлагается способ определения множества {z } точек экстремального прицеливания(тэп) как точки, в которой достигается максимум фпм.

Приводится удобный для вычислений вид ФПМ.

в третьем пункте исследуются возможные случаи взаимного расположения игроков.

В каждый момент времени убегающий может находиться одной из областей (к = 1,2,...,п) относительно

преследователей , где задача вырождается в игру преследования только к игроками.

Признаком 1 и Признаком 2 определяется принадлежность игры регулярной и сингулярной области в , а также

приводятся вспомогательные утверждения в четвертом пункте.

Для каждой области существует сингулярное

многообразие (см), на которой кусочно-гладкая фпм может иметь разрыв.

В пятом пупкте доказываются свойетвя стабильности ФПМ.

Принимая во внимание проверенный факт совпадения фпм с функцией цены игры для 1-2, предполагается , что для игры преследования п-1 (п^-3) фпм совпадает с функцией цены игры, тогда в утверждениях 1 и 2 доказывается, что фпм - цена игры преследования "л за одним". Утверждение 1. ФПМ и-стабильна на СМ.

Доказывает утверждение выполнение покрытия для любого С

Утверждение 2. ФПМ и-стабильна во всем пространстве игры.

Этот случай сводится к утверждению 1 путем введения определенным образом фиктивного убегающего.

Доказано совпададение фпм функцией цены игры во всем пространстве так как фпм обладает также свойством и г-стабильности в силу линейности исходной системы.

в шестом пункте полученные результаты иллюстрируются дифференциальной игрой группового преследования "три за Одним" в трехмерном евклидовом пространстве, функционал платы примет вид;

8

Ф (у.) = min ( (y*-zx)2 +(yY-z*)2 + {у*-г?)г)/\=1,2,3

здесь у1=(у*уУуГ)(1=1,2,3), z—(z f z f zz).

Область I>3 в момент времени t ограничена вращением около оси аппликат внутренней конхоиды никомеда радиуса ( Фиг. 1.2) .

часть области о2 ограничена вращением около стороны [у^ у,] двух внутренних конхоид Никомеда Подобно получаем всю область d2 (Фиг.1.3).

Часть пространства не принадлежащая к d3 и dотносится к ог (Фиг.i.D. см в области D^ характеризуется равенством аппликат всех игроков, см области d^ - принадлежностью убегающего к произвольной стороне треугольника у1 у2 у , см в области Т>1 - совпадением координат убегающего и преследователя.

Здесь фпм можно записать как

l(t,xi)=min((zz-y.z+(v2(T-t)2-(zx)2-(zY)2)1/2)2+ +(YiX)2+(^C)2)1/Z-^i(T-t), ( i—1,2, 3 )

Для исходной системы нетрудно непосредственно проверить выполнение в регулярной области D^ уравнение Беллмана-Айз екса.

Оптимальными стратегиями всех игроков являются

зкстремалытаеприцеливапия всех игроков в одну из точек *

множества {z } с максимальными и постоянными управлениями, а все см являются рассеивающими поверхностями.

Вид поверхности уровня цены игры показан на Фиг.1.4.

Во второй главе "построение функции цеш в игре сближения двух преследующих объектов с одним убегающим при наличии фазового ограничения" рассматривается

дифференциальная игра сближения двух преследующих объектов с одним убегающим при наличии фазового ограничения типа

"полуплоскость", предполагается, что все объекты обладают простыми движениями, а игра происходит на плоскости, на векторы управляющих воздействий наложены геометрические ограничения, причем убегающий обладает превосходством в ресурсе управления. Время игры фиксировано. Функционалом платы является расстояние между убегающим и ближайшим к нему преследователем в момент окончания игры, Поставлена и решена задача об определении значения функции цены игры для любой возможной позиции.

созданы программы на языке Си,позволяющие строить сингулярные области, линии уровня функции цены, оптимальные ответы преследователей на произвольное управление убегающего.

В первом пункте приводится постановка задачи, уравнения движения и ФП.

Рассматривается задача сближения двух однотипных преследующих объектов р^, 1=1,2 с одним убегающим Е на плоскости при наличиифазового ограничения типа полуплоскость

х > О

в декартовой системе координат.

Динамика преследователей у^) и убегающего Е(г) задается уравнениями :

Уга) = ^}'Уга) = < х-*-1-2

2 2 1 /2

г1 = г1' 22 = Г2' + "2 < * . * > И

где и1,и-векторы управления. Время окончания игры -фиксировано.

ФП а является расстояние между убегающим иближайшим к нему преследователем в момент й

ю

О- - min ((z (t) - +(z.(^)-yJx)('ä))2-)1/Z

i.—l ,2 1 г ^

Преследователи стремятся минимизировать, а убегающий -максимизировать фп.

Требуется определить значение функции цены игры для любой возможной начальной позиции.

Во втором пункте разбираются все типичные случаи взаимного расположения игроков.

Выделены 5 основных случаев взаимного расположения: -игра "одии-за-одним" (Фиг.2.1а)-игра "один-за-одним с фазовым ограничением" (Фиг.2.зб), -игра

"двое-за-однпм"(Фиг.2. 2в)-игра "двое-за-одним с фазовым ограничением в центр"(Фиг.2.1 г) -игра"двое-за-одним с фазовым ограничением "(Фиг.2.1д) при фиксированных

позициях Pj,]=i,2 плоскость начальных позиций Е в момент t является объединением областей в1 - область ттгры "один-за-одним", d2 -область игр "один-за-однпм с фазовым ограничением" и "двое-за-одним", Х>0~область игры "один-за-одним в центр ", D^-область игры "один-за-одним с фазовым ограничением ".

Полагаем, что область D2 объединяет второй и третий случаи.

В третьем пупктс объясняется основная идея построения ФГР в наиболее сложном случае игры путем рассмотрения специальным образом выбранных управлений игроков. Показывается необходимость введения программной конструкции с переключением (фиг.2.2)

В четвертом пункте излагается алоритм построения функция гарантированного результата (ФГР).

Для каждого из случаев взаимного расположения игроков построена функция гарантированного результата (ФГР). в первых четырех случаях выражение ФГР находится аналитически.Для пятого случая предлагается

кусочно-программная конструкция с одним переключением , на основе которой численно определяется значение ФГР.

В первых четырех случаях возможно аналитическое доказательво и-стабильности ФГР, в пятом это вызывает непреодолимые трудности, связанные с решением алгебраических уравнений высоких степеней.

Область игры "двое-за-одним с фазовым

ограничением"разбивается на регулярную область(меры 2) и сингулярные (размерности 1 и О) . Проводится геометрическое доказательство и-стабильности фгр врегулярной области. Численно проверяется и-стабильность фгр в узлах специально выбранной сетки для различных позиций игры,лежащих на сингулярном многообразии.

Приводится вид фгр во всех типичных случаях игры.

для областей сл, о , л0 фгр можно записать в общем У I й

виде:

it(t,x) = max min min d(z,y) zsG(t) i ysGi(t)

Для области 2)^

H(t,x)~ max max min min d(z,y),j-1,2,3, i=l,2 j zsG(Vj) i yeG^r.)

Заметим, что вычисление ФГР в момент £ опирается на определение некоторого момента переключения т, зависящего от величины а, которое находится для j=l,2 и для j=3 сответственно из различных трансцендетных уравнений.

Из последнего выражения можно получить границы областей Dq, D1, D2, dv показанных на (Фиг.2.3).

Линия,разделяюшая области и т>2 задается внутренними конхоидами Никомеда радиусов R(t) с центрами в р. j=i,2; окружность радиуса R(t) с центром в о (точке, равноудаленной от преследователей) разделяет области l>0, dj и dq, d2 ; прямые, перпендикулярные границе фазового ограничения и проходящие через Р., j=l,2 и прямая (р^р^) отделяют £>2 от D3

12

; линия, разделяющая области в^ и О0 находится численно.

Сингулярные линиии Я размерности 1 и о находятся числено из условий:

Г ¿(г) = 1*3,1,]=1,2 ; тг^ь )=Г2(Ь)=Г3(Ь)

В пятом пункте рассмотрены свойства и-стабильность фгр. ['-стабильность фгр в областях и В2 была доказана ранее,остается проверить и-стабильность в областях оо и Утверждение 1 (и-стабильность в В0) .

пусть при 1=ь0,х=х0 имеет место равенство тг(10,х0)= у тогда для любого Е с и любого постоянного управления , у ^сопэС наинтервале [Ь0,Ь] найдутся управления и^ } и^1 ^ )такие, что будет справедливо неравенство

у(1,х(п)) = г0.

Утверждение 2 (ц-стабильность в С^) ( см. Фиг. 2. 4) . пусть при х=хо значение ФГР(2.4.19) определяется

равенством у.(г0,х0) = 70, тогда для любого Е е £>3,( Е £ 3 ) и любого постоянного управления (т2) на интервале С 7 найдутся управления и^ ^) такие, что значение фгр

в момент ъ удовлетворяет неравенству у(Ь,х(1)) = у 1 < ?0.

Сингулярный случай в Х)^ выделяется тем, что аналитическое вычисление ФГР опирается на нахождение корней уравнения высоких степеней.

доказательство и-стабильности в сингулярном случае для О ^ проводилось численно с помощью программы, реализующей алгоритм построения ФГР, минимизирующей ФГР по I и у , генерирующей позицию х(Ь) и значение ФГР по вычисленным и1=1,2. Результаты работы программы отображены на Фиг. 2. 5.

На фиг.2.5а изображен график зависимости фгр ц(ь,х)) от различных управлений V для фиксированной позиции, как видно из Фиг. 2.5а у(Ь,х)<г(Ь0,х0), причем равенствоимеет место только для экстремальных управлений. На Фиг,2.5б изображены линии уровня цены игры во всех 1=0,1,2,3. На

В третьей главе "ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ЦЕНЫ В ИГРЕ

сближения -уклонения трех преследующих объектов с одним убегающим" рассматривается на плоскости дифференциальная игра сближения-уклонения трех преследующих объектов с одним убегающим, причем все объекты (игроки) обладают простыми движениями, векторы управляющих воздействий всех объектов подвержены геометрическим ограничениям и убегающий обладает превосходством в ресурсе управления, предполагается, что время игры фиксировано. Функционалом платы является минимум расстояния между убегающим и преследователями в момент окончания игры, поставлена и решена задача об определении значения функции цены игры для любой возможной позиции.

Создан комплекс программ на языке си, позволяющие строить см , оптимальные ответы преследователей на произвольные управления убегающего и линии уровня фгр. Рисунки данной главы получены с применении этого комлпекса программ.

Первый пункт посвящен постановке задачи.

на фиксированном интервале времени [Ь0,&] рассматриваетсязад&ча сближения трех однотипных преследующих объектовР^(у^1 ^1 ^ ), 1-1,2,3 с одним , превосходящим по скоростиубегающим Е(г1,г2) на плоскости.

Динамика преследователей и убегающего задается уравнениями :

2 2 1/2

г1 " Г1 ' ' V (Г1 * " ' " > "

где двумерные векторы управления.

ФП <х является минимум расстояния между убегающим и преследователями в момент окончания процесса

сближения-уклонения

О- = min ((z,(i>)-Y1(i)(V))2+(z:}(-0)-y:,(i)(*))2)1/2 i—1,2,3 11 ¿г

Преследователи стремятся минимизировать, а убегающий -максимизировать фп.

Постановка задачи: требуется определить все возможные случаи взаимного расположения игроков и построить алгоритм для вычисления значения ФЦ игры для любой начальной позиции игры .

Основные случаи взаимного расположения рассматриваются во втором пупкте.

Можно выделить четыре основных типичиых случая взаимногорасположения (Фиг.3.1) : игра "один-за-одним" игра "двое-за-одним", игра "трое-за-одним в центр", игра "трое-за-одним".

в третьем пункте излагается основная идея построения фгр с помощью программной конструкции с одним переключением, связанная с тем простым фактом, что в некоторый момент времени г игра из области "трое-за-одним" при определенных значениях параметров обязательно переходит в область игры "один-за-одним" или "двое-за-одним". на (Фиг.3.2) изображен способ построения этой конструкции, а также оптимальные траекторшш всех игроков для области игры "трое-за-одним"(?ИГ.З,Э),

В четвертом пункте подробно изложен способ построения

ФГР.

дли каждого из случаев взаимного расположения игроков построена функция гарантированного результата (фгр). в первых трех случаях возможно нахождение значения фгр аналитически. Для последнего случая предлагается кусочнно-программная конструкция с одним переключением , на основе которой численно определяется значение фгр.

Для всех возможных фиксированных позиций преследователей плоскость начальных позиций убегающего в момент времени t состоит из - область игры "один - за -одним", D2 -область игры "двое-за-одним", DQ -область игры "трое-за-одним в центр ", О3-область игры "трое-за-одним ". данные области представлены на Фиг. 3.4 для различных

соотношений ц и V при фиксированном 1?=1-)На фиг. 3.4а ¡1=12, 1^=24, на ФИГ. 3 . 4б Д=10,У=20 И На ФИГ.3.4В Д=6,1>=12.

Надо сказать, что на Фиг,3.4б сингулярные линии проходят через точки пересечения границ двух соседних областей а на Фиг.з. 4а они соединяют точки р^, 1=1,2,3 с некоторой точкой внутри треугольника которая

находится численно, также численно находятся и границы областей на Фиг.3.4б.

Для областей о0, г>2 фгр можно записать в общем

виде:

■¡(t ,z,y) = min так min d(z,y), i=l,2,3

i zeG(t) yeG.(t) Экстремальное движение E(t) в A.(t) определяется углом ß a Pj(tj - углом <Xj. Произвольное управление Р. определяется углом а.

Чтобы определить ФГР у . для j=l,2,3 необходимо вычислить значение а. и х . (момент совпадения ординат Р. и ЕJ из уравнения

fj(Tj(aj))=y[j)(Tj(aJ))-[a(j2)(t)+o2(xj(aj))]/2=0 где oíj и Tj связаны соотношением zj(aj)=(y2(j)(t)-z2(t))/(v sin ß*-u sin ocj) а величина о^ определена как

°j2(<Xj)=y (2H)(t)+[(RJ(Tj(ocJ))+nT(aj))Z(y <kit)) ñ 1/2

здесь R, находится как J

RJ(Xj (oíj))="

d(PJ(xJ(aj)),A.(t))i если yyj(Xj^z^Xj)

Idf E(x j(oij) ),Aj(t) если y^^xj^z^xj)

16

где

а .= J

# х

a j , когда f а.. )) s. о

a:fj(a) ■ 0,1 a j- al -> min, иначе

таким образом, определим ФГР как

y(t,x) = пах ( Rj (v( <Xj )) - г j (х ( a j )) ), j=l,2,3

в общем виде фгр n(t,x) запишется как

Tt(t,х)^тах min max win d(Z,yJ, ¡=1,2,3, 1=1,2,3 j i zeG(Tj) yeGi(Tj)

где ~j=Tj(t,x)-момент переключения.

выражение фгр позволяет определить все границы областей!)j, j=o, 1,2,3.

Линия, разделяющая области D^ и D^ задается внутренними конхоидами Никомеда радиусов R(t) с центрами в Pj j-i, 2;окружность радиуса R(t) с центром в о разделяет области Dq, Р1 hDqi Л2 ; прямые, соединяющие позиции преследователей отделяют d^ot D3 -, линия, разделяющая области £>3 и Dq находится численно изусловия, что для объекта S, лежащего на границе выполняетсяравенстпо а . =■ aQ,

СМ размерности î и О находятся численно из условий: n^t) = ij(t),i*j,i,j = 1,2,3; 71(t) = V2(t) = r3(t) соответстенно.

в последнем пункте рассматривается г-стабильность фгр. принимая во внимание доказанную в работах других авторов u-стабильность ФГР в областях D^ и D^ проверяем н-стабильность в областях dq и Dy Утверждение 1 (и-стабилыгость в DQ!

Пусть при t=tQ,x=xQ имеет место равенство n(t0,xQ)= Тогда длялюбой позиции Е е. DQ и любого постоянного управлениям^,vz)=const на интервале найдутся

управленияи^^-(и^1} и^^) такие, что будет справедливо неравенствor(t,x(t)) = s 7Q.

Можно показанть, что такими управлениями Р^ будут управления, направленные в тп 0(равноудаленную от преследователей.

Утверждение 2 (u-стабильность в D^, регулярный случай), пусть при t=£0» х=хо значсние фгр(" 3.4. 12) определяется равенствомгС10/хо; = ц 1(tQ,x0) - 7Q, тогда для любой позиции Е е D3, ( Ей S )н любого постоянного управления v=(v^.v2) на интервале [tQ,t^найдутся управления и^1^=(и^1} такие,

что значение фгр вмомент t удовлетворяет неравенству z(t,x(t)) = ?г < и0.

Утверждение з (^стабильность в D 5сингулярный случай).

Пусть при t=tQ, x=xQ выполястся равенство i(tQ,xQ) =

71(tQJx0) = =n3(tQJx0) > n2(tQ,x0)) и также «I= «1 ,ос3 =ос3.

Значение ФГР определено равенством tj(t0,x0) = 7r0J Тогда для

любойпозиции Е(х) е D3(x е S) и произвольного управления

(v.,r-) =carist можно найти такие управления (i)

') , что в момент t выполняется неравенстви y(t,x(t ))<yQ. Аналогично рассматриваются утверждения в предположении, что максимум ФГР достигается на к2 и t3 или на ъ1 и

в заключении, разберем случай, когда СМ определяются *

соотношением а^ * аi=°l,2,3,

в связи с тем, что трансцендентное уравнение

f .(а)-О, j=l, 2, 3 имеет более, чем четвертую степень

относительно sínfa), товычисление значения фгр не всегда

возможно без применения численных методов.

Определим в области В^ ортогональную сетку с узлами

s. Обозначим четырехугольник,образованный узлами как

s^ ., Очевидно, для любого Ees найдется S^ . такой, что

Ees^ .. Пусть на интервале [tQ,t] убегающий выбирает

постоянное управление.

Предположение. Если для узлов, определяющих S. .не

^ j J

нарушается свойство н-стабильности ФГР, то и для любой позиции, определенной включением Е € . выполняется

свойствои-стабильности.

Доказательство и-стабильности в узлах у проводилось численно, с помощью программы, реализующей алгоритм построения ФГР, минимизирующей ФГР и генерирующей позицию х(С )и значение ФГР по вычисленным 1=1,2,3 для

произволыюгоуправления убегающего, при этом шаг разбиения выбирался в зависимости от желаемой точности.

Было проререно , что для любой требуемой точности свойство ц-стабильности в узлах я, . выполняется.

на фиг.3.5 изображена диаграмма зависимости ФГР у(г,х)) от различных управлений V для позиции, определенной вторым из условий(3.4.Ю). Как видно из фиг, 3.5 г(Ь,х) ц(Ь0,х0), причем равенство имеет место только для экстремальных управлений v, определяемых из(3.4.3).

на Фиг.3.б изображены линии уровня ФЦ игры во всех 0^,1=0,1,2, 3 для фиксированых позиций преследователей Р1(Ю0/з1//20), р?(-100/31/20), Р3(0,-100) при VI. на Фиг.з.ба ц=12,и=24, наФяг.З. 65 ц-10,и=20, на Фиг.З.бв ц=б,1>=12. Линии уровня ФЦ наФиг.З.б соответствуют областям начальных позиций убегающего на Фиг.3.4.

Фиг.1.3

яр h а) ( б) 4 ч * в)

ь г) ( д) Ri —' »

Фнг.2.1

Фиг.2.4 Фиг.2.5

Фиг.2.2

Фиг.3.1

Фиг.3.2

ч

'l 'г

а)

V4

'г

7f

б)

* V

14

в) г,/}

Фиг.3.4

Фиг.3.6

SUM?)

sf'JyiïJ

б)

<r(i)=/íe) Ees

Фнг-3.3

Фиг.3.5

ЛИТЕГАТУРЛ

но теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Сшшцип Л. н. Построение функции цены в игре преследования несколькими объектами, ПММ, 1993 , т.57 , вып.Х , с. 52 - 57

2. Пашков Л. г., Синицын А., в. Построение функции цены в игре сближения-уклонения двух преследователей с одним убегающим с фазовым ограничением.-Изв. РАН, техн.кибернетика, 1994, N3, с. 152-162

3. Пашков А.Г, , Синицын А.в. построение функции цени в игре сближения-уклонения трех преследующих объектов с одним убегающим. -ПММ, 1995, Т. 59, ВЫИ. 6, С. 985 - 994

4. Пашков а.Г., синицын л.в. Построение функции цены в игре сближения трех преследователей с одним убегающим на плоскости.- II Международный семинар ифак "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации". Тезисы докладов, Челябинск, 24-30 мая 1993, с. ill

5. Pashkov А.О., Sinitsyn A.V. The Value Function of a Pursuer-Evasion Differential Game with Three Pursuers and One Evader. VI Intern.Symposium on Dynamic Games and Applications. St.-Jovite, Quebec.Canada, July 33-15, 1994, Preprint Volume, p.501-510

6. Пашков А.Г., синицын Л.в. Построение функции цены в игре сближения двух преследующих объектов с одним убегающим. i-украинская конференция по автоматическому управлению "Автоматика-94", 1994, Киев. Тезисы докладов, часть 1, с. 69

7. Pashkov Л.G. , Sinitsyn A.V. A Construction the Value Function o£ Pursuer-Evasion Differential Game with Three Pursuers and One Evader.Ill Intern. Workshop "Multiplay Criteria Problems under Uncertaintly", Orekhovo-Zuevo, Russia, September 5-9. Abstracts, p.70, 1995

а. Пашков Л.Г. , Синицын а.в. построение функции цены в игре сближения-уклонения нескольких преследователей с одним убегающим. Ill международный семинар ифак "Негладкие и разрывныг задачи управления и оптимизации", 26 июня - 2 июля 1995г., С.-Петербург, Тезисы докладов, с.104

9. Pashkov A.G. , Sinitsyn A.V., 2emskov К.A. Solution cf Game Problems of Dynamics- The III International Congress on Industrial and Applied Mathematics, July 3-7, 1995, Hamburg, Germany. Absfcracts,p.393

10. Pashkov A.G., Sinitsyn A.V., Zemskov K.A. Construction of optimal solution in Some Pursuit-Evasion Differential Games of Several Players The 17th IFIP Conference on Systtem Modelling and Optimization, July 9-15, 1995, Prague, Chech Republic. Abstracts, vol.1, p.129-131

23

£

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ РАН

/

На правах рукописи

Синицын Александр Владимирович

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ЦЕНЫ В ЗАДАЧАХ СБЛИЖЕНИЯ УКЛОНЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЕЙ С ОДНИМ

УБЕГАЮЩИМ

01.02.01 Теоретическая механика

ДИССЕРТАЦИЯ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Научный консультант (руководитель)

д.ф.-м.н., профессор

А.Г.Пашков

Москва 1998

Ввведение

СОДЕРЖАНИЕ

2

Глава 1. Построение Функции цены в И1 ре преследования несколькими объектами..........................................................16

1. Постановка задачи...............................................17

2. Функция программного максимина..................................18

3. Возможные случаи взаимного расположения игроков.................20

4. Вспомогательные утверждения.....................................22

Свойства и - стабильности Функции программого максимина.........20

6. Пример..........................................................28

Глава 2. Построение Функци цены в игре сближения двух преследующих обьек'шв с одним убегающим при наличии Фазово1 о ограничения........33

1. Постановка задачи. У (равнения движения и Функционал платы........37

2. Типичные случаи взаимного расположения..........................38

3. Особенности задачи. Алгоритм определения значения Функции гарантированного результата в наиболее характерном случае игры.....40

4. Алгоритм построения Функции гарантированного результата........48

5. и - стабильность Функции гарантированного результата...........57

Глава 3. Построение Функци цены в игре сближения - уклонения трех преследующих обьектов с одним убегающим...........................04

1. Уравнения движения и Функционал платы. Постановка задачи.........66

2. Основные случаи взаимного расположения..........................68

3. Особенности задачи. Алгоритм определения значения Функции гарантированного результата в наиболее характерном случае.........70

4. Алгоритм построения Функции гарантированного результата ........ 79

3. и - стабильность Функции I араншрованного результата...........86

Литература.........................................................93

Приложение........................................................100

введение

Теория дифференциальных игр является важной составной частью теории автоматического управления - науки о методах определения законов управления объектами, допускающих реализацию с помощью технических средств автоматики. Первое развитие теория получила применительно к процессам, встречающимся в технике: управление автомобилем, самолетом и др. Задолго до развития теории дифференциальных игр существовал хорошо развитый аппарат дифференциальных уравнений, что наложило определенный отпечаток на ее проблематику.

Постановка задач в теории дифференциальных игр предполагает наличие противоборствующих сторон - игроков, имеющих в своем распоряжении определеный ресурс управляющих воздействий на движение системы, описывающей процесс, определенный на некотором множестве. При этом каждая из играющих сторон может иметь различную степень информированности. Нахождение способа способа формирования управляющих воздействий игрока, которые при любом допустимом поведении партнера обеспечивают ему некоторые гарантированные, в частности, наименьшее или наибольшее значения заданного функционала, характеризующего процесс, и составляет задачёг'теории дифференциальных V. игр.

Задачи оптимального управления, осложненного различного рода помехами также составляют предмет исследования теории дифференциальных игр.

Интенсивное развитие теории дифференциальных игр обусловлено важностью этих задач и большим теоретическим интересом, который они представляют.

Теория дифференциальных игр развивает на новом, более высоком уровне идеи и методы математической теории оптимальных процессов. Вместе с тем дифференциальные игры как математическая наука являются разделом теории игр. Это находит определенное отражениев ее терминологии и проблематике. Специфика теории дифференциальных игр по сравнению с другими направлениями общей теории игр состоит в широком использовании аппарата дифференциальных уравнений. Это обстоятельство' порождает ряд принципиальных проблем, которые нехарактерны для других разделов теории игр.

Одной из первых работ в этой области можно считать опубликованную в 1925 году работу Г. Штейнгауза г971, в которой он впервые формулирует задачу преследования как дифференциальную игру. После почти двадцатилетнего перерыва, в середине 50-ых годов, теория дифференциальных игр начинает развиваться.

Б первых работах, относящихся к теории дифференциальных игр, использовался метод динамического программирования. Этот подход описан в монографии Р.Айзекса "Дифференциальных игры" ш, где предложены к рассмотрению некоторые примеры игровых задач динамики. Другое направление в теории дифференциальных игр, которое разрабатывалось американскими математиками, составляет исследование вопроса о существовании седловой точки дифференциальной игры. У.Флеминг ввел в рассмотрение специальные последовательности

многошаговых игр , предельный переход в которых позволил доказать для некоторых типов дифференциальных игр существование ситуации равновесия г75-701 .

Интенсивное развитие теории дифференциальных игр в нашей стране связан с именами Н.ЕКрасовского и Л.С.Понтрягина. Основополагающие результаты теории получены Ю.С.Осиповым, Б.Н.Пшеничным, А.И.Суботиным. Значительный вклад в теорию дифференциальных игр внесли многие советские и зарубежные ученые НЛ.Григоренко, А.Б.Куржанский, Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольский, А.А.Меликян, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян, Г.К.Пожарицкого, Н.Ю.Сатимова, А.Г.Ченцова, А.А.Чикрия,

Bernhard В., Breakwell J.V., Crandall M.G., Flieming W. , Shinar J.

Фундаментальный вклад в развитие теории дифференциальных игр принадлежит школам академика Л.С.Понтрягина и Н.Н.Красовского.

Работы Л.С.Понтрягина и его сотрудников посвящены раздельному изучению задач преследования и убегания. В работах Л.С.Понтрягина дифференциальная игра рассматривается как игра преследования и игра

v

убегания, в каждой из которых может выдвигаться требование различной информированности игроков. Например, в игре преследования преследователь имеет полное знание технических возможностей системы (уравнения движений и ограничения на управляющие воздействия) и информацию о поведении системы и убегающего вплоть до данного момента

\ W V

времени, в которой он выбирает свое управление; в игре убегания -наоборот, полное знание системы и информацию о поведении противника имеет убегающий. В работах Л.С.Понтрягина г48i, г491, г501 разработаны достаточные условия завершения задачи преследования. Эти работы

явились основой для ряда существенных обобщенийгл/, гз21. В работах Л.С.Понтрягина и Е.Ф.Мищенко г51 /,г521 рассматривалась задача об уклонении от встречи. В этих работах были не только сформулированы условия существования стратегии уклонения, но и проведены оценки гарантируемого расстояния между преследующим и преследуемыми объектами. Основные конструкции этих работ получили применение во многих работах.

Условия, при которых преследование можно завершить за конечное время исследовались Б. Н. Пшеничным. В /56 / рассматривалась дифференциальная игра общего вида, для которых была предложена операторная теория преследования, определяющая необходимые и достаточные условия разрешимости задача преследования.

Н.ЕКрасовскйм предложен г 141 следующий подход. Вводится в рассмотрение вспомогательная конструкция, основанная на программных движениях игроков.

Эта конструкция определяет некоторый способ формирования управления, называемый экстремальным прицеливанием.

Ввиду того,что при этом допускается использование информации лишь о текущей позиции игрока, то построенное управление вполне может оказаться разрывной функцией позиций игрока. Для формализации скользящих режимов, порождаемых разрывными управлениями, вводятся понятия обобщенных управлений игроков и используется аппарат теории дифференциальных уравнений в контингенциях. Данный подход позволяет охватить весьма широкий класс разрывных управлений и порождаемых ими скользящих режимов. При этом оказалось, что построенные экстремальные

управления допускают- удобную аппроксимацию дискретными схемами Формирования управления, а доказательство соответствующих теорем о сходимости может быть выведено из существования решения системы дифференциальных уравнений в контингенциях.

Задача сближения и задача уклонения стали рассматриваться как одна дифференциальная игра сближения-уклонения в монографии nsi и в ее переработанном и дополненном издании Н.Н.Красовским и А.И.Субботиным, на основе разработанного позиционного подхода к решению игровых задач динамики, /стержнем которого является строгая Формализация позиционной дифференциальной игры, позволяющая при определенных предположениях соединять в пары так называемые чистые стратегии, смешанные стратегии и контрстратегии.

Для задач теории дифференциальных игр в nsursei доказаны принципиально важные теоремы об альтернативе, из которых следует, что для всякой начальной позиции игры справедливо одно и только одно из следующих утверждений: либо разрешима задача о сближении, либо разрешима задача об уклонении.

Этот подход дает концепцию строго формализованной дифференциальной игры, определяются стратегии игроков, порождаемые ими идеальные движения и цена игр ы. Вместе с тем формируются аппроксимационные утверждения, позволяющие осуществить переход от формальных конструкций к реализуемым на практике процедурам управления. Основу подхода составляет построение специальных множеств позиций-стабильных мостов, оканчивающихся на заданных целевых

4

(терминальных) множествах и содержащихся в Фазовых ограничений введение " 6

задачи. Движение по мосту гарантирует успешное завершение игры. Решение игровой задачи сводится таким образом, к последовательному выбору экстремальных управлений, сохраняющих движение исходно конфликтно-управляв мой системы на этом мосту. При этом следует заметить, что экстремальные управления упреждают неблагоприятное поведение противника, выбор этих управлений основан на информации о реализовавшемся: движении и не зависит от управления, которое выбирается или будет выбрано противником.

Наилучшее решение позиционной дифференциальной игры доставляют стабильные предельно широкие мосты в фазовом пространстве идущие на терминалное множество в случае задачи сближения и минующие цель в случае задачи уклонения. Существование этих мостов определяется теоремой' об альтернативе. Однако эффективное построение таких предельно широких систем стабильных мостов для исследования реальных конфликтно-управляемых систем весьма затруднительно. В связи с этим важной задачей является выделение классов игр, в которых возможно эффективное построение максимальных стабильных мостов.

Иным путем решения проблемы является эффективное построение систем множеств., которые, не являясь предельно широкими, обладали бы тем не менее подходящими свойствами стабильности для нахождения стратегий, разрешающих ту или иную задачу по принципу обратной связи

Г201-Г217.

Построение этих множеств должно обеспечивать выход к эффективно реализуемым процедурам управлений. Метод программных конструкций Г151,г 191,г211,[231,Г241,Г611, Г631 являвтся одним из мвтодов решения

этой проблемы. Его - суть состоит во введении подходящих вспомогательных программных задач для решения исходной проблемы по принципу обратной связи. Эффективное построение стабильных систем

* tri

множеств - важных аспект решения общей проблемы описания макимально стабильных мостов.

Субботиным А.И. и Ченцовым А.Г.в работе Гби развивается метод вспомогательных программных конструкций для решения дифференциальной игры в общем случае.

При этом процедура построения основных элементов, обеспечивающих эффективное решение дифференциальной игры, имеет вид итерационных процессов, в которых каждая итерация сводится к решению подходящей, универсальной для всех шагов, итераций программной задачи. Эти итерационные процессы являются способами решения соответствующих операторных уравнений программного поглощения ген

Полученное Н.Н.Красовским и его сотрудниками результаты имеют Фундаментальное значение в теории дифференциальных игр. Ими созданы позиционные методы для решения игровых задач для дифференциально -разностных уравнений в частных производных, задач с распределенными парамерами. Разработаны методы управления и наблюдения в условиях неопределенности f141, fisi, гi9i,r2i иг2зи гззь

Работы автора Г44 1, г 451, г571 примыкают к этому направлению. В них на основе формализации дифференциальной игры, предлагаемых в г и-isi, [ei построены Функции программного максимина и доказано их совпадение с функцией цены в игровых задачах динамики.. Результаты этих исследований легли в основу глав 1, 2 и 3 диссертациии.

В работах АЖубботина, Н.Н.Субботиной и А.М.Тарасьева [58 ], [ 591, [ во 1, г б 1 ], [ зб ], Г98 ], г 991 предложены важные обобщения основного уравнения теории дифференциальных игр (уравнения Беллмана-Айзекса), сформулированы необходмые и достаточные условия для функции цены дифференциальной игры. Доказана эквивалентность этих необходмых и достаточных условий и неравенств, определяющих "вязкое" решение уравнения Гамильтона-Якоби, полученных в последние годы в ряде работ зарубежных авторов гвб1, г?л, Г83]. Заметим, что обобщенное основное уравнение можно использовать для проверки важных свойств заданной Функции ( например, свойства "-стабильности ) Г861. в качестве необходимого условия его применяют для построения функций, претендующих на роль Функции цены. Именнно в этом состоит основное содержание попятной процедуры, сформулированной Р.Айзексом.

Достаточные условия разрешимости и уравнение для оценки решения нелинейной дифференциальной игры сближения получены в работе г4п. При построениям этих результатов используется теорема о необходмых и достаточных условий Функции цены игры, сформулированное в терминах основного уравнения Беллмана-Айзекса . На основе предлагаемых подходов дано решения некоторых конкретных игровых задач динамики.

В последние годы интенсивно разрабатываются численные и приближенные мктоды решения задач теории дифференциальных игр. Первые работы по численному исследованию игровых задач основывались на уравнении Беллмана-Айзекса, обоснованность которого еще не была проверена г1 и г821.

Как показывают исследования последних лет особый интерес-

• I ! It-; ii i ; i И К ¿í Ян 'Т i lúkri !i ■•,/ ;+;'Н н hit-; i/i i;ii :Г; Кй Mi ¡Kki H i/Ím; г': iíi m i ■■■„< лм i ! i-i hi X mi hi II :i II ü'iiin -, -/i Й

................. IV" - ' i ' i - ...........i.- ' ' ¿ ' "

!M l'¡ I. ¡i ¡bM ¡i)''./ H rí i I i/i ri Mi-! H h! Wik Ib.l l-lh (¡ HílíO')!- ¡II-! H ii iíi i i v>- kiki . ii t " Й > I >; Iii I 4i4/iKíi I i ' i'4 i I I i У "i V ■

-i ' ■ J. Il" j. ■ X. 'J'"' " J.'

!í¡ I if-ii. II I í'Kri MÍ«i ; ¡it-iHjib!» И. i i J-'ÁUJ L':'1 :ÜH H H К! ч lyiM'j I I eil Ih i n- íiím И ■.- > >¡ k м , ,, , ■■,,,

■■i i i, л 'm ¡-i г i i ií ; н ij « h¡ Wc r' i ■ гм. : я. ни \íS.if-¡ ;i >i hi ¡hh i/i mí Ц X ул н " i/kk;--' h in k уу-м ,¡■ ...i y ■ ' - i i j.

ЧЧЧ lÍMili^ l'iH J4 I I ¡,|¿ ;j j! i i-i t-, ! X IÍI 1 4 j L.J-iJ .

i. y híi i k y mi ií ; .ilk /4 H'/i.x i-ir-i 11 jií-i к ..iji-j h i.'i iíi jir-iX к i/i Ч'Ч« H 4'hi h i ¡я ¡л' ?¡ i/i (Míh Гу-: h ! i ЫЧ-; «пи hi x

i/iiiï ¡ i X Hrt'Thi KriH Г ¡/пЧц"!КЦн krtik-iUw Г: \/k:4k44/iM У нй(". K¡ ) ¡i К К i/i х \i i i пн к ;гж-; Цы и ->• -i. i > ..... i

? ,л

i а. 1Г,гч nil IV i. ¡ni tí. Г tri м К i-i Vi HVÏ Hr-1 m Í iri к /ÍH H Ш !Л ÙIHb'H I :M Hi-i/i V;

i ' J.............................I ¡

С 'Ч../ J -, I t I J ^ í. f -J] I •■'..> i 1 , Г 'JuJ TT;- ! л if] »/! M i Si H I ! ! !Л > i,'; ! ! ¡i 'i К í t H, MM! li_,!/¡ !

X

íi^j^íiHí;,^ í iíti ii i-¡ ill It ,i UI I П !< Ш i-i r¡ i ! i мл IWtr^ f i.. h'- ¡ H hH ! i-i! ' К н: -, i-! ; ¡i'; ! Г-. ............. ,

i i-- i 1 iwi \f\ H r-i, ,¡ í n r-i î' ! j { ! IVí H M ! :| tí. )¡ j i ! H >\ |/l W . ; ! r'í ií i.'i i,«! h- H, ti 4>i IV! iVi iV M ! ¡i {'M!-J ' ! I К

o. "' ........' ' x' J." ...........: " 1

H í~; I i y i-'v./ii ii 4 i 4 i H.üj.! i/n НЧ.Я.лЯ i/.i ÍK i y I . i' i;kH4:w i: .-iVi'! im i IH íiíH i-i !■ - .'(Л liflM

Ч I ih- I IV >•" i i i.-iyí I i ri I. j¡ _)Ч '' n j/ï |1lli4h.]S I I l.'l il I ! il I I !S 1Л IVII- III il ш к IHJillillMh.il-; --'.h il Iii

i i ri i i i ' isi; .--i i ' M iii H h i ri /iiiUj h f-i i ií-t i 1иЧ 'п д ¡4.4! Гг ! i/i i :i и ¡и H H'I i i'. V/ Mlii IIIP-: H 4.1 ;

л .....,¡. - • - ~ i ..... ' ¿ j. - ¡

ÏT TT 1.Г-. TT í, 7T ": TT -rr

,■>) M/1 i\i i,,ij iii : r\l 1 ; :I I H..iij , " H . ! i^-: i. i .1!, и ; !! I liiir" H í.m m i i i i i 'i i

л t t . . v - ■>■■■'

/-•.. Í-J ~'i Í,M 14 il iíi У-; í.'i. jjx'jj'r >., i.. .. i' . M'.íiírui'; ÍÍ .I . 1л ¡i

i i i i

"j," <

...Jti.Mi¡H K.: i ' i/! и i4 hin i"iHУ, V ,..ii Ь' |''r-i ' iЧ-.1 i ii. i i U : ÍMH H ifi ii i ¡\ íh (ÍI(I)I-I i iir i-i I I bi r-i ¡i ;Ч t-i i-,i k ü¡ i ■ i

i I I. il— 1, 'i ¿ir-; il i I Hr i H i/l H ( .1 ÍM-Ц 1 '4l, .1 \í i, Д-i i I 1 1 II Mill I M I -I I I I II , 1 i..:; ;.,,

1 '"i . \ '...... V ' i _í. X < í

Г "I г r~ - r i— ". - . - T"l . . .

i. i,-¡l H I i r!. A ¡ i.e.., ,. ¡ :....JKJJ i. К J--+- I...KJJ .. L íí'i i-HIJlhMWji i i И l/i i i i H;; l : i i i-i ! i ( i i n iü

¡ il ; f-i II nri Í-|H KII-;; H/"i ivi:-; i i i i 114 .) ii 11 ' i/i i/i i i) liiiH i/i ' i.'H 1 j i.) И И ¡4 H 'i 'M i !i j í-i id i 4 ! i./'. И ; M4 4 4i •

4 i i i/i kf! il i-i и f.i !-. "!'Íhí_iiím4 i i i if-;i: H i/f.H i 4 ! У il i ii)Ы i i i )H, 4ijk/4 i ! ; !>'i

i i y-, 1 11 'i i i H-: i r"i ii ii in-' i 'i i iii 'VA Kl i j i V-i ii iii i (Л i -i i lií líi-' H i ' |Л k IH i l i ir; ; i i i l i;-- í; i ■; 'i >-í 1 . i . i/i i ;■•; ^ i i i i ; 'I

■ : : ■,--..-■■•••--'■ .......„ ... •• i ......... ± ¡ ■ ■ ••■•■■■ v - . ■....... ' ' i 'i ' ' ' '

.-1 ' г ^— -i ТГ - -..-

< ; • Ü-! i ; .Ml--: il i I ' i. ¡4 .ii 4 . i. ink \!ö íiJ ik4 i i.hi IJCiO1 У /4'. ^ - Ч! i iH H i мл iip k kii-; in i ■/ мл

i ; ii м i 11 ' . m i Ü-: i ' 11 in ; -i -■.:■-.■ i ч V i i.'i i i i '■■/ ¡ ■ i ' hr V i ií-; i 4i i; liii i;'i «, rt i } i i ��