Конфликтно управляемые процессы при взаимодействии групп управляемых объектов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Благодатских, Александр Иванович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ижевск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи УДК 517.934
БЛАГОДАТСКИХ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ
КОНФЛИКТНО УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ГРУПП УПРАВЛЯЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
%
Ижевск 2005 г.
Работа выполнена в Ижевском государственном техническом университете.
Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,
доцент Н. Н. Петров
Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,
профессор В. И. Ухоботов кандидат физико-математических наук, доцент С. В. Лутманов
Ведущая организация - Институт математики и механики УрО РАН
Защита состоится на заседании диссертационного совета К 212.275.04 при Удмуртском государственном университете по адресу: г. Ижевск, ул. Университетская 1(корп. 4), Математический факультет. E-mail: imi@uni.udm.ru
".......".......................... 2005 г. в 14 часов в ауд. 216.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.
Автореферат разослал ".......".......................... 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
к.ф.-м.н., доцент Н. Н. Петров
Актуальность темы. Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики. В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух или более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями. Динамические процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют также дифференциальными играми.
Развитие теории дифференциальных игр стимулировалось наличием реальных прикладных задач, имеющих важное значение для механики, экономики, военного дела, радиоэлектроники, биологии и некоторых других областей.
Становление этой теории связано с исследованиями Р. Айзекса,
A. Брайсона, У. Флеминга, Ю. Хо, Б. Н. Пшеничного, Л. А. Петросяна.
В Советском Союзе активная разработка теории дифференциальных игр началась после фундаментальных работ Н. Н. Красовского и Л. С. Понтрягина. Существенный вклад в эту разработку внесли
B. Д. Батухтин, Р. В. Гамкрелидзе, Н. Л. Григоренко, П. Б. Гусятников, В. И. Жуковский, М. И. Зеликин, А. Ф. Клейменов, А. В. Кряжим-ский, А. Б. Куржанский. В. Н. Лагунов, А. А. Меликян, Е. Ф. Мищенко, М. С. Никольский, Ю. С. Осипов, А. Г. Пашков, Н. Н. Петров, Г. К. Пожарицкий, Е. С. Половинкин, Н. Ю. Сатимов, А. И. Субботин, Н. Н. Субботина, В. Е. Третьяков, Н. Т. Тынянский, В. И. Ухоботов, В. Н. Ушаков, А. Г. Ченцов, Ф. Л. Черноусько, А. А. Чикрий и многие другие авторы.
Из зарубежных авторов можно в первую очередь отметить работы Л. Берковича, Д. Брейквелла, Н. Калтона, А. Фридмана, Р. Эллиота, Дж. Лейтмана, Р. П. Иванова и других авторов.
Одним из важных разделов теории дифференциальных игр являются задачи преследования-убегания с участием группы управляемых объектов, хотя бы с одной из противоборствующих сторон. При этом ситуация может быть осложнена наличием ограничений на состояния объектов.
Одна из первых задач, линейная глобальная задача уклонения, была поставлена Л. С. Понтрягиным и Е. Ф. Мищенко1.
1 Понтря1 ин Л. С , Мищенко Е. Ф. Задача об убегании одного управляемого объект от друюго// ДАН СССР, 1969, Т. 189, 791^3
I НАЦИОНАЛЬНАЯ I
I КНММв ПЩЛ
В этом направлении следует отметить также работы А. Азамова, М. С. Габриэляна, В. Л. Зака, А. В. Мезенцева, В. В. Остапенко, В. С. Пацко. И. С. Раппопорта, Б. Б. Рихсиева, С. И. Тарлинского и других авторов.
Наибольшую трудность для исследований представляет задача конфликтного взаимодействия между двумя группами управляемых объектов23,1. Специфика этих задач требует создания новых методов их исследования.
Цель данной работы - изучение задач преследования-убегания с участием группы управляемых объектов, хотя бы с одной из противоборствующих сторон, и нахождение условий разрешимости в этих задачах.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами:
1. Для примера Л. С. Понтрягина и колебательного конфликтно управляемого процесса с равными возможностями участников получены достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего при дискриминации последнего.
2. Для примера Л. С. Понтрягина и колебательного конфликтно управляемого процесса с равными возможностями участников получены достаточные условия поимки группой преследователей заданного числа убегающих, при условии, что первоначально убегающие выбирают свои управления на [0, оо), а каждый преследователь ловит не более одного убегающего.
3. Построено позиционное управление, обеспечивающее мягкое убегание всех убегающих, использующих одинаковое управление, от группы преследователей, обладающих меньшей маневренностью
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Все результаты могут быть использованы для дальнейших исследований по теории дифференциальных игр со многими участниками.
2Чикрий Л А Конфликтно управляемые процессы Киев: Наук, думка, 1992 3Петров Н Н , Петров Н Никандр. О дифференциальной игре "казаки-разбойники"// Дифф. уравнения, 1983, Т. 19, №8, С. 1366-1374
4Григоренко Н. Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами М : МГУ, 1990
4 «ГАЧ; /»»«.«.»» " ' " \
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:
- на Российской научной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Ижевск, 2002)
- на Шестой Российской университетско-академической научно-практической конференции (Ижевск, 2004)
- на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004)
на Третьей Всероссийской научной конференции "Проблемы современного математического образования в ВУЗах и школах России" (Киров, 2004)
- на Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики" (Узбекистан, Ташкент, 2004)
- на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (Ижевск, 2004)
Работа поддержана Федеральным агентством по образованию (грант А04-2.8-60) и программой "Университеты России" (грант 34126).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 2 глав, 8 параграфов, 7 рисунков и списка литературы. Объем работы 105 страниц. Список литературы включает 175 наименований.
Краткое содержание работы
Во введении сделан обзор исследований других авторов и излагается краткое содержание диссертации по параграфам.
Первая глава содержит 6 параграфов и посвящена задачам группового преследования одного и нескольких убегающих.
Первый параграф носит вспомогательный характер, здесь доказаны некоторые свойства почти периодических функций специального вида и приведена теорема Холла о существовании системы различных представителей.
Все приведенные ниже дифференциальные игры рассматриваются в пространстве Rv{v ^ 2).
Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц: п преследователей Pi, ■.., Р„ и убегающего Е. Движение каждого преследователя Р, описывается уравнением
х[1)+а1х[1 1)+a2x[l 2)+ ---+alxt=ul, ut e V, (1)
закон движения убегающего Е имеет вид
У{1) +а1у{1-1} +а-2у{1-2) + ■■■ + aly = v, veV. (2)
При t = 0 заданы начальные условия
®|')(0) = X*, у{я){0) = Y4, причем X0 ф У0 для всех i, Z0 = (Хчг,Уч).
Здесь и далее хг,у,щ,ь € R", eti, ... G R1, V - строго выпуклый компакт R" такой, что IntV i G / = {1,2,..., п}, q — 0,1,..., l - 1. Вместо (1), (2) рассмотрим уравнение с начальными условиями
2<г) + а1*1(г-1) + a2z{^2) + ■ • • + atz, = ut-v, 2^(0) = Z] = X\ - Yq.
Определение 1. В игре Г возможна поимка, если существует момент То = Tq(Zo), что для любого допустимого управления v(t) найдутся допустимые управления
Ui(t) = ut(t, Z0, v(s), 0 ^ s ^ t)
такие, что для некоторых т € [0, Го], а Е I выполнено za(r) = 0. Через ipq обозначим решение уравнения с начальными условиями
w(i) + aiw('~l) + <W~2) Н----+ щш = 0
ы(0) = 0,... .^"^(О) = 0, w(9)(0) = 1, w{?+1)(0) = 0,... ,w(|-1}(0) = 0. Предположение 1. Все корни характеристического уравнения
X1 + aiA'-1 4- а2Х1'2 + • • • + аг = 0
являются простыми и чисто мнимыми. Пусть далее,
т = mt)z?+mvzi + • • - +w-iW^-1.
Считаем, что £,(t) ф 0 для всех i,t > 0, ибо если (г) = 0 при некоторых а € 1,т > 0, то преследователь Ра ловит убегающего Е к моменту т, полагая ua(t) = v(t), t € [0,т].
Обозначим через Нг кривые
Нг = {Ш, *€[0,оо)}. Условие 1. Существуют € Я» такие, что
О е ЬЛсо
Теорема1. Пусть выполнены предположение 1 и условие 1. Тогда в игре Г возможна поимка.
Условие 2. Начальные позиции участников таковы, что
О е Ысо{^0}.
Следствие 1. Пустр выполнены предположение 1 и условие 2. Тогда в игре Г возможна поимка.
Теорема 2. Пусть выполнено предположение 1, V — 2 и п = 2. Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных позиций.
В третьем параграфе рассматривается игра Г п + т лиц: п преследователей Рг, Рг, • • •, Рп и т убегающих Е\, Е%,..., Ет. Движение каждого преследователя Рг описывается уравнением (1), закон движения каждого убегающего Е3 имеет вид
(О I С-1) . (¿—2) . _ /0ч
у) +а-\у) +а2у) +--- + а1у} € V. (3)
При £ = 0 заданы начальные условия
.'/^(О) = Х.'.у^О) = У/, причем X? ф У/ для всех = (Х«,У/).
Здесь и далее у3,У3 € В?, € «/ = {1,2,...,т).
Цель группы преследователей - "поймать" не менее г (1 ^ г ^ т) убегающих, при условии, что сначала убегающие выбираюх свои управления сразу на [0, сх>), а затем преследователи, на основе информации о выборе убегающих, выбирают свои управления, и, кроме того, каждый преследователь может "поймать" не более одного убегающего. Считаем, что п ^ г.
Вместо (1), (3) рассмотрим уравнение с начальными условиями $ + а^;-1' + а2^"2) + • • ■ + а|*ч =иг-У3, 4?(0) = ^ = X« - У/.
Определение 2. В игре Г возможна поимка, если существует момент То =То^о), что для любой совокупности допустимых управлений и3 найдутся допустимые управления
«»(*) = г0, в € [0,оо))
обладающие следующим свойством: существуют множества
N С I, М С 3, |ЛГ| = \М\ = г
такие, что каждый убегающий £ М ловится не позднее То
некоторым преследователем Ра,а € Ы, причем если преследователь Рп ловит убегающего Ер, то остальные убегающие считаются им не пойманными. Выражение "преследователь Ра ловит убегающего Ер " означает, что для некоторого тав е [0,То] выполнено гар(тар) = 0.
Пусть
м*) = ++ ■■■+^т1-1 .
Считаем, что ф 0 для всех г, > 0.
Обозначим через Нг] кривые
#., = {&(*), «е[0,оо)}.
Условие 3. Для каждого к € {0,1,... ,г — 1} верно следующее: для любого множества N С -Г, |ЛН — п — к найдется такое множество М С 3, |М| — г — к, что для всех /3 € М
0 е Ысо{Нар, а € IV}.
ТеоремаЗ. Пусть выполнены предположение 1 и условие 3. Тогда в игре Г возможна поимка.
Следствие 2. Пусть т ~ г = 1, выполнено предположение 1, ■
и = 2 и п = 1. Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных »
позиций.
Условие 4. Для каждого к 6 {0,1,... ,г - 1} верно следующее, для любого множества N С /, = п — к найдется такое множество М С 3, \М\ — г — к, что для всех ¡3 6 М
0 € Шсо{г°а0, а € ЛГ}.
Следствие 3. Пусть выполнены предположение 1 и условие 4-Тогда в игре Г возможна поимка
В четвертом параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц: п преследователей Р\,Р-г,- -,Рп и убегающего Е. Движение каждого преследователя Рг описывается уравнением
х, = Ах, + иг, щ € V, (4)
закон движения убегающего Е имеет вид
у - Ay + v, v G V. (5)
При t = О заданы начальные условия
1,(0) = у(0) = F0, причем Х° ф Y0 для всех i, Z0 = (X?,Y°).
Здесь и далее А постоянная квадратная порядка v матрица. Вместо (4), (5) рассмотрим уравнение с начальными условиями
zt = Azt + ui-v, z»(0) = Z° = Х° - Y0.
Определение 3. В игре Г возможна поимка, если существует момент Т0 = To{Zo), что для любого допустимого управления v(t) найдутся допустимые управления
«»(*) = ut(t, Z0, v(t))
такие, что для некоторых г € [0, То], a G I выполнено га(т) = 0. Пусть Ф - фундаментальная матрица системы
ы = Aui
такая, что Ф(0) = I. Считаем, что Ф(£)2,° ф- 0 для всех i,t > 0.
Предположение 2. Все корни характеристического уравнения
det(4 - AI) = 0
являются простыми и чисто мнимыми.
Теорема 4. Пусть выполнены предположение 2 и условие 2 Тогда в игре Г возможна поимка.
В пятом параграфе рассматривается игра Гп+m лиц: п преследователей Pi, Р2,..., Рп и m убегающих Е\, £2, • • •, Ет. Движение каждого преследователя Рг описывается уравнением (4), закон движения каждого убегающего Е3 имеет вид
Уз=Ау]+и1, Vj&V. (6)
При t = 0 заданы начальные условия
хг(0) = ХЧ, у3{0) = У°, причем Х° ф У° для всех м, г0 = (Х?7У?).
Цель группы преследователей - "поймать" не менее г (1 <; г ^ тп) убегающих, при условии указанном в третьем параграфе. Вместо (4), (6) рассмотрим уравнение
¿ч = Агк +иг-1>3, гч (0) = г° = Хг° - У3°.
Возможность поимки в игре Г понимаем в смысле определения 2. Считаем, что ф 0 для всех г, > 0.
Теорема 5. Пусть выполнены предположение 2 и условие 4-Тогда в игре Г возможна поимка.
В последнем параграфе первой главы рассматривается дифференциальная игра Г п + тп лиц: п преследователей Рх, Р2, • • •, Рп и тп убегающих Е],Е2 ■.., Ет. Движение каждого преследователя Рг описывается уравнением
хг = ии |М| ^ 1, (7)
закон движения каждого убегающего Е} имеет вид
У3~у3' 7>1- (8)
При < = 0 заданы начальные условия
.Тг(0) = Х°, Уз(0) = У°, причем X? ф Уу° для всех м, = (Х?,У?).
Цель группы преследователей - "поймать" не менее г (1 ^ г ^ т) убегающих, при условии указанном в третьем параграфе.
Возможность поимки в игре Г понимаем в смысле определения 2, где выражение "преследователь Ра ловит убегающего Ер" означает, что для некоторого тав е [0,Го] выполнено ха{тац) = у${та$).
Обозначим через Аг] множество точек пространства Я.". которые преследователем Рг могут достигаться не позже, чем убегающим ЕГ Отметим, что каждое из множеств Аг] - замкнутый тар. Далее, А](М) — У Аа] - множество точек пространства Я.", которые хотя
бы одним из преследователей Ра,а € N достигаются не позже, чем убегающим Е3.
Пусть Р} - луч с началом в точке У3°, р3 - непрерывная кривая с началом в точке У° такая, что для любого положительного числа Ь найдется точка р € для которой ||р — У^Ц ^ Ь.
Предположение 3. Если для некоторых N с I и ß € J существует кривая Piз, для которой Aß{N) П pß =0, то существует луч iß такой, что Aß(N) Л = 0.
Условие 5. Для каждого к € {0,1,. . ,г — 1} верно следующее: для любого множества N С I,\N\ = п — fc найдется такое множество M С J, \М\ = г — к, что для всех ß б M и Iß
Aß(N)n£0^9.
Теоремаб. Пусть выполнено предположение 3. В игре Г возможна поимка тогда и только тогда, когда выполнено условие 5.
Вторая глава состоит из двух параграфов, в ней рассматриваются задачи уклонения всей группы жестко скоординированных убегающих от группы преследователей.
В первом параграфе рассматривается игра Т п + т лиц: п преследователей Pi, Р2,..., Рп и m убегающих Е\, Еъ,..., Ет. Движение каждого преследователя Рг описывается уравнением
х^'^щ, (9)
закон движения каждого убегающего Е3 имеет вид
vlmi)=v, IHK7, те (0,1), (10)
где пг > т.] ^ 1 для всех i,j. При t = 0 заданы начальные условия
^(0) - yf'\0) = Yf>, причем Xtß' ф Y*> для всех i,jj3,.
Здесь и далее а, = 0,1,..., пг — 1, ß} — 0,1,..., т3 — 1.
Определение 4. В игре Г возможно мягкое убегание, если для любых допустимых управлений ut(t) найдется допустимое управление
v(t)=v(t, x^\t), yf>\t))
такое, что x\ß'\t) ф y^f'\t) для всех t е [0, оо).
Действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который в каждый момент времени t по величинам {x[a'\t). l/f'Ut)} для всех убегающих Е} выбирает одно и тоже управление v(t).
Теорема 7 .В игре Г возможно мягкое убегание из любых начальных позиций.
В последнем параграфе рассматривается игра Г п + т лиц: п преследователей Pi, Р2, ■ . ■, Рп и m убегающих Е\, Е2, ■ ■ ■, Ет. Движение каждого преследователя Рг описывается уравнением (9), где пг îï 2 для всех г, закон движения каждого убегающего Е} имеет вид (10), 1де т3 = 1 для всех j. При t = 0 заданы начальные условия
«ie°(0) = 0) = Y?, причем X? ф Y? для всех i,j.
Дополнительно предполагается, что убегающий Ej не покидает пределы шара го), где г о положительное число.
Определение 5. В игре Г возможно уклонение от встречи в шаре, если для любых допустимых управлений ux{t) найдется допустимое управление
v(t)=v(t, x[a'\t), y,{t))
такое, что xt(t) ф y:(t) и y3(t) £ 33(У^°,Го) для всех t ё [0,оо).
Теорема 8. В игре Г возможно уклонение от встречи в шаре из любых начальных позиций.
Публикации по теме диссертации
1. Благодатских А.И. Уклонение жестко скоординированных убегающих от группы инерционных объектов// Известия РАН. Теория и системы управления, 2004, №6, с. 143-149.
2. Благодатских А.И. Об одном колебательном конфликтно управляемом процессе со многими участниками// Известия РАН. Теория и системы управления, 2005, №2, с. 43-45.
3. Благодатских А.И. Две задачи группового преследования// Известия ИМИ, №1(21), 2001, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 3-14.
4. Благодатских А.И. Пример Понтрягина со многими убегающими// Известия ИМИ, №2(25), 2002, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 23-26.
5. Благодатских А И. Уклонение от группы инерционных объектов// Шестая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция: Материалы конференции. Часть 2, Ижевск: УдГУ, 2004, с. 77.
6. Благодатских А.И. Уклонение жестко скоординированных убегающих в одной задаче группового преследования// Известия ИМИ, №2(30), 2004, Ижевск- Изд-во УдГУ, с. 3-24.
7. Благодатских А.И. Одна задача уклонения жестко скоординированных убегающих// Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов, Екатеринбург: УрО РАН, 2004, с. 147-148.
8 Благодатских А.И. Об одной задаче уклонения от многих преследователей/ / Проблемы современного математического образования в ВУЗах и школах России: Тезисы докладов, Киров: ВятГГУ, 2004, с. 137138.
9. Благодатских А.И. О некоторых задачах группового преследования/ / Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики: Труды международной конференции. Т.2, Узбекистан, Ташкент, 2004, с. 33-36.
10. Благодатских А.И. О двух колебательных конфликтно управляемых процессах со многими участниками// Известия ИМИ, №2(32), 2005, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 3-22.
Отпечатано с оригинал-макета заказчика
Подписано в печать 08.06.2005. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Заказ № 936.
Типография ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4.
«
к
S
л
S'i ,■<
4 16
РНБ Русский фонд
2006-4 8941
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Групповое преследование одного и нескольких убегающих
§1.1. Вспомогательные результаты
§1.2. Групповое преследование одного убегающего в примере
Понтрягина
§1.3. Поимка заданного числа убегающих в примерю Понтрягина
§1.4. Колебательный конфликтно управляемый процесс с одним убегающим
§1.5. Поимка заданного числа убегающих в колебательном конфликтно управляемом процессе
§1.6. Простое групповое преследование заданного числа убегающих, имеющих преимущество в скорости
Глава 2. Уклонение жестко скоординированных убегающих от группы преследователей
§2.1. Мягкое убегание жестко скоординированных убегающих от объектов с меньшей маневренностью
§2.2. Уклонение жестко скоординированных убегающих в шаре от группы инерционных преследователей
Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики. В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух или более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями. Динамические процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют также дифференциальными играми.
Предлагаемая работа посвящена дифференциальным играм преследования-убегания с участием двух групп (преследователей и убегающих). Потребность изучения таких задач возникает при решении ряда прикладных задач из механики, экономики, военного дела, радиоэлектроники, биологии и некоторых других областей.
Одной из первых работ в этой области, по всей видимости, следует считать работу Г. Штейнгауза, опубликованную в 1925 году, в которой он формулирует задачу преследования как дифференциальную игру преследования. Становление теории дифференциальных игр связано с исследованиями Р. Айзекса, А. Брайсона, У. Флеминга, Ю. То, Б. Н. Пшеничного, J1. А. Матроска.
Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли академики Н. Н. Красовский и JI. С. Понтрягин.
К настоящему времени теория дифференциальных игр получила существенное развитие.
В работе [105] Б. Н. Пшеничного рассматривалась задача простого преследования группой преследователей одного убегающего, при условии, что скорости убегающего и преследователей по норме не превосходят единицы.
Были получены необходимые и достаточные условия поимки.
Ф. JI. Черноусько в работе [130] рассматривалась задача уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследующих точек, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Был построен такой способ управления, который обеспечивает уклонение от всех преследователей на конечное расстояние, причем движение уклоняющейся точки остается в фиксированной окрестности заданного движения.
Указанные работы были, по существу, первыми, посвященными задаче группового преследования группой преследователей одного убегающего.
В работе [24] Н. JI. Григоренко получены необходимые и достаточные условия уклонения от встречи одного убегающего от нескольких преследователей при условии, что убегающий и преследователи обладают простым движением, и множество управлений каждого из игроков - один и тот же выпуклый компакт.
Работа [21] обобщает результат Б. Н. Пшеничного на случай /-поимки.
В работе [151] Б. К. Хайдаров рассмотрел задачу позиционной /-поимки одного убегающего группой преследователей при условии, что каждый из игроков обладает простым движением.
В работах [47, 114] получены условия оптимальности времени преследования в дифференциальной игре одного убегающего и нескольких преследователей, движение которых является простым.
В работе [26] Н. J1. Григоренко получены необходимые и достаточные условия r-кратной поимки одного убегающего группой преследователей при условии, что все игроки обладают простым движением с максимальной по норме скоростью, равной единице.
В работе [45] Р. П. Иванов рассмотрел задачу простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что убегающий не покидает пределы выпуклого компакта с непустой внутренностью. Было доказано, что если число преследователей меньше размерности множества, то будет уклонение, иначе - поимка и получена оценка времени поимки.
Работа [80] Н. Н. Петрова обобщает результат Р. П. Иванова на случай, когда убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью.
Задачи простого преследования с "линией жизни" рассмотрены JI. А. Петросяном в [92].
А. М. Ковшов в [49] рассмотрел задачу простого преследования одного убегающего группой преследователей на сфере.
По всей видимости, первой работой, посвященной задаче преследования группой преследователей группы убегающих была работа [79]. В данной работе рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы и целью преследователей является поимка всех убегающих. Были получены достаточные условия уклонения от встречи и получены оценки сверху и снизу минимального числа убегающих, уклоняющихся от заданного числа преследователей из любых начальных позиций.
Работа [144] обобщает результаты предыдущей работы на линейные дифференциальные игры.
Хотя с момента первой публикации, посвященной задаче преследования группой преследователей группы убегающих прошло более 20 лет, число публикаций посвященных данной задаче невелико.
В работе [78] рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы, каждый преследователь ловит не более одного убегающего, а убегающие в начальный момент времени выбирают свое управление на интервал [0, оо). Были получены необходимые и достаточные условия поимки.
В работах [56, 146] рассматривалась задача преследования четырьмя преследователями на плоскости двух убегающих.
В работе [119] Н. Ю. Сатимов и М. Ш. Маматов рассмотрели задачу преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что преследователи и убегающие обладают простым движением с единичной по норме максимальной скоростью и, убегающие, кроме того, используют одно и то же управление (жестко скоординированные убегающие) . Цель группы преследователей - поймать хотя бы одного убегающего. Были приведены достаточные условия поимки.
Работы Д. А. Вагина и Н. Н. Петрова [18, 90] дополняют предыдущую работу.
Среди других работ, посвященных задаче простого преследования, отметим работы [1, 6, 22, 35, 57, 63, 64, 94, 121, 123, 141, 153, 154].
Обобщением задачи простого преследования является пример Понтрягина [98]. Данному примеру посвящена обширная литература, так как он является модельным для анализа полученных различных условий поимки и убегания.
В работе [109] Б. Н. Пшеничный и И. С. Раппопорт рассмотрели задачу преследования группой преследователей одного убегающего в дифференциальной игре, закон движения каждого из участников в которой имеет вид z + az = и, |И| < 1, а < 0.
Были получены необходимые и достаточные условия поимки.
В работе [87] Н. Н. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей одного убегающего в примере Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков. Были получены достаточные условия поимки.
В работе [89] рассмотрена задача о многократной поимке одного убегающего группой преследователей в примере Понтрягина с фазовыми ограничениями.
Задача преследования жестко скоординированных убегающих группой преследователей в примере Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях участников рассмотрена в [19]. Получены достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего.
В работе [88] Н. Н. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей группы убегающих в примере Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков, при условии, что каждый преследователь ловит не более одного убегающего и убегающие выбирают свои управления при t = 0 сразу на [0, оо) и не покидают пределы множества D. Были получены достаточные условия поимки.
Мягкая" поимка одного убегающего группой преследователей для инерционных объектов рассматривалась Р. П. Ивановым в работе [43].
В работе [145] А. А. Чикрий и П. В. Прокопович рассмотрели задачу уклонения одного убегающего от группы преследователей в дифференциальной игре, закон движения каждого из участников в которой имеет вид г = и, |М| ^ 1.
При условии дискриминации преследователей были получены достаточные условия убегания.
Задачи уклонения одного убегающего, обладающего большей маневренностью, от группы преследователей в примере Понтрягина рассматривались ранее Н. Ю. Сатимовым и Б. Б. Рихсиевым в [122]. При условии дискриминации преследователей были получены достаточные условия убегания.
Пример Понтрягина с различными инерционными и динамическими возможностями участников рассматривался также в работах [28, 38, 39, 40, 41, 60, 67, 95, 98, 120, 142].
Квазилинейные динамические процессы представляют собой естественное обобщение рассмотренных выше задач.
При условии дискриминации убегающего в работах Н. Л. Григоренко [28], А. А. Чикрия [142] рассмотрены различные методы группового преследования одного убегающего в квазилинейных динамических процессах. Получены достаточные условия поимки и r-кратной поимки.
В работе [95] Ю. В. Пилипенко и А. А. Чикрий рассматривали квазилинейные процессы, для которых условие J1. С. Понтрягина [98] выполнено лишь на некоторых интервалах числовой полуоси, последнее обстоятельство может иметь место, например, если однородная система осуществляет периодические колебательные движения. При дискриминации убегающего получены достаточные условия поимки группой преследователей.
Среди других работ посвященных задачам преследования и убегания в квазилинейных процессах со многими участниками отметим [27, 31, 50, 71, 84, 118, 122, 134, 135, 136].
Ниже приведены краткий обзор данной работы и список публикаций автора по теме диссертации.
Краткий обзор работы
Работа состоит из двух глав и восьми параграфов. Первая глава содержит шесть параграфов и посвящена задачам группового преследования одного и нескольких убегающих.
Первый параграф носит вспомогательный характер, здесь доказаны некоторые свойства почти периодических функций специального вида и приведена теорема Холла о существовании системы различных представителей.
Определение 1. Для множеств Jp,(3 6 М = {1,2,. ,г} существует система различных представителей, если можно выбрать попарно различные элементы а\, • • • > аг такие, что ар Е Jp, (3 G М.
Все дифференциальные игры рассматриваются в пространстве Rv{v ^ 2).
Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра Гп+1 лиц: п преследователей Pi, ., Рп и убегающего Е. Движение каждого преследователя Р* описывается уравнением xf 4- aix\l~1] + a2x\l~2) + • • • + щх{ = щ, щ € V, (1) закон движения убегающего Е имеет вид y(i) + aiy{l~l) + а2/"2) + • • • + щу = v, v е V. (2)
При t — О заданы начальные условия
2^(0) = XI 0) = Y4, причем X? ± У0 для всех i, Z0 =
Здесь и далее хi,y,Ui,v € Ru, ai,a2,. ,ai € R1, V - строго выпуклый компакт Rv такой, что IntF ф 0, г 6 / = {1,2,., n}, q — 0,1,. ,1 — 1.
Вместо (1), (2) рассмотрим уравнение с начальными условиями zf + + a2zf~2) + • • • + ад = щ - v, z<?\0) = Z? = X? - Y«.
Определение 2. В игре Г возможна поимка, если существует момент Tq = Tq(Zq), что для любого допустимого управления v(t) найдутся допустимые управления = ui(t, Z0, v(s), 0 < s < t) такие, что для некоторых т € [0, То], а€ / выполнено za{f) = 0.
Всюду под допустимыми понимаются управления из класса измеримых функций, удовлетворяющие указанным ограничениям.
Через ifq обозначим решение уравнения с начальными условиями и{1) + aiw(z-1) + a2(J^l~2) + • • • + щи = 0 w(0) = 0,. = 0, u/M(0) = 1, <>+1)(0) = 0,. ,Jl~l)(0) = 0.
Предположение 1. Все корни характеристического уравнения
X1 + aiA'"1 + а2Аг"2 4- • • • + щ = 0 являются простыми и чисто мнимыми. Пусть далее, т = <Р0 (t)Z? + y>!(t)Z,? + • • • + n-iWZ}-1.
Считаем, что&(t) Ф 0 для всех г, t > 0, ибо если £q(t) = 0 при некоторых а € /, т > 0, то преследователь Ра ловит убегающего Е к моменту т, полагая Ua(t)=v(t), t€[0,T].
Обозначим через Щ кривые
Я4 = Й(4), te[0,оо)}.
Условие 1. Существуют h® G Hi такие, что
О G Intco{^}.
Теорема 1. Пусть выполнены предположение 1 и условие 1. Тогда в игре Г возможна поимка.
Условие 2. Начальные позиции участников таковы, что
О е Intco{Z?}.
Следствие 1. Пусть выполнены предположение 1 и условие 2. Тогда в игре Г возможна поимка.
Теорема 2. Пусть выполнено предположение 1, v = 2 и п — 2. Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных позиций.
В третьем параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей Pi, Рг,., Рп и га убегающих Е\, Е2,., Ет. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением (1), закон движения каждого убегающего Ej имеет вид yf + aiyf~1] + a2yf~2) + • • • + aiyj = vj, v3- e V. (3) v
При t = О заданы начальные условия х\Ч\0) = XI yf( 0) = Yf, причем X^Yf для всех i,j, Z0 = (X?, Yf).
Здесь и далее yj, Vj € R", j € J = {1,2,., m}.
Цель группы преследователей - "поймать" не менее г (1 ^ г ^ т) убегающих, при условии, что сначала убегающие выбирают свои управления сразу на [0, оо), а затем преследователи, на основе информации о выборе убегающих, выбирают свои управления, и, кроме того, каждый преследователь может "поймать" не более одного убегающего. Считаем, что п ^ г.
Вместо (1), (3) рассмотрим уравнение с начальными условиями аг^ + a2z<t2) + • • • + alZij = u, - Vj, zf (0) = Z% = Xf - Yf.
Определение 3. В игре Г возможна поимка, если существует момент Tq = Tq(Zq), что для любой совокупности допустимых управлений Vj(t) найдутся допустимые управления m(t) = Ui(t, Z0, Vj(s), s € [0,oo)) обладающие следующим свойством: существуют множества
N С I, М С J, \N\ = \М\ = г такие, что каждый убегающий Ер, (5 G М ловится не позднее момента Tq некоторым преследователем Ра, а € N, причем если преследователь Ра ловит убегающего Ер, то остальные убегающие считаются им не пойманными. Выражение "преследователь Ра ловит убегающего Ер" означает, что для некоторого тар € [0, То] выполнено zap(rap) = 0. Пусть
Ш = Mt)zfj + <рЛЩ + ■•• + <ti-iWltj-\
Считаем, что &j(t) ф 0 для всех i,j,t > 0. Обозначим через Нц кривые
Яу = {&;(*)> *е[0,оо)}.
Условие 3. Для каждого k G {0,1,. ,г — 1} верно следующее: для любого множества N С I, |iVj = п — к найдется такое множество М С J, \М\ = г — к, что для всех (3 G М
0 е Intco{Нар, а € ЛГ}. 12
Теорема 3. Пусть выполнены предположение 1 и условие 3. Тогда в игре Г возможна поимка.
Следствие 2. Пусть т = г = 1, выполнено предположение 1, и = 2 и п = 1. Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных позиций.
Условие 4. Для каждого к € {0,1,. ,г — 1} верно следующее: для любого множества N С I, |iV| = п — к найдется такое множество М С J, \М\ = г — к, что для всех j3 G М
СледствиеЗ. Пусть выполнены предположение 1 и условие 4-Тогда в игре Г возможна поимка.
В четвертом параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п 4-1 лиц: п преследователей Pi,P2,.,Pn и убегающего Е. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением
О € Intco{2%», a G N}. i = Axi + щ, щ G V,
4) закон движения убегающего Е имеет вид у = Ay + v, v е V.
5)
При t = 0 заданы начальные условия а?<(0) = X?, у(0) = У0, причем X9 ф У0 для всех г, Z0 = (X?, У0).
Определение 4. В игре Г возможна поимка, если существует момент То = To(Zo), что для любого допустимого управления v(t) найдутся допустимые управления m{t) = Ui(t, Z0, v(t)) такие, что для некоторых г € [0, То], а £ I выполнено za(r) = 0. Пусть Ф - фундаментальная матрица системы и> = Aw такая, что Ф(0) = X. Считаем, что ^ 0 для всех г, t > 0.
Предположение 2. Все корни характеристического уравнения det(A — AI) = 0 являются простыми и чисто мнимыми.
Теорема 4. Пусть выполнены предположение 2 и условие 2. Тогда в игре Г возможна поимка.
В пятом параграфе рассматривается дифференциальная игра Г n + m лиц: п преследователей Pi,P2,., Рп и т убегающих Е\, Е2,., Ет. Движение каждого преследователя Р{ описывается уравнением (4), закон движения каждого убегающего Ej имеет вид
Уз = Mi + v3 € v- (6)
При t = 0 заданы начальные условия Xl yj(0) = if, причем X? ± для всех i,j, Z0 = (Xf, Yf).
Цель группы преследователей - "поймать" не менее г (1 < г ^ т) убегающих, при условии указанном в третьем параграфе. Вместо (4), (6) рассмотрим уравнение
Zij = Azij + Щ- Vj, Zij(0) = Z% V?.
Возможность поимки в игре Г понимаем в смысле определения 3. Считаем, что Ф(t)Zfj ф 0 для всех i,j, t > 0.
Теорема 5. Пусть выполнены предположение 2 и условие 4■ Тогда в игре Г возможна поимка.
В последнем параграфе первой главы рассматривается дифференциальная игра Г n + m лиц: п преследователей Pi,P2,.,Pn и т убегающих Е\, Е2,., Ет. Движение каждого преследователя Р{ описывается уравнением х{ = щ, ||< 1, (7) закон движения каждого убегающего Ej имеет вид yj = Vj, Ы<7»7>1- (8)
При t = 0 заданы начальные условия а?<(0) = X?, уДО) = Y°, причем Х?фГР для всех г,j, Z0 = (X?, Vf).
Цель группы преследователей - "поймать" не менее г (1 ^ г ^ т) убегающих, при условии указанном в третьем параграфе.
Возможность поимки в игре Г понимаем в смысле определения 3, где выражение "преследователь Ра ловит убегающего Ер" означает, что для некоторого та/з £ [0,То] выполнено ха(тар) = ур(тар).
Обозначим через Ац множество точек пространства R", которые преследователем Pi могут достигаться не позже, чем убегающим Ej. Отметим, что каждое из множеств Ац — замкнутый шар. Далее, Aj(N) = U Aaj - мноaen жество точек пространства Rv, которые хотя бы одним из преследователей Ра, а Е N достигаются не позже, чем убегающим Ej.
Пусть £j - луч с началом в точке Y®, pj - непрерывная кривая с началом в точке Yj* такая, что для любого положительного числа L найдется точка р G pj, для которой ||р — ^ L.
Предположение 3. Если для некоторых N С I и /3 G J существует кривая рр, для которой Ap(N) П рр = 0, то существует луч такой, что
Условие 5. Для каждого к € {0,1,.,г — 1} верно следующее: для любого множества N С I, |iV| = п — к найдется такое множество М С J, \М\ = г — к, что для всех (3 € М и £р
Теорема 6. Пусть выполнено предположение 3. В игре Г возможна поимка тогда и только тогда, когда выполнено условие 5.
Вторая глава состоит из двух параграфов, в ней рассматриваются задачи уклонения всей группы жестко скоординированных убегающих от группы преследователей.
В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра Т п + т лиц: п преследователей Pi, Р2,., Рп и т убегающих Ei, Е2,., Ет. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением
IKIK1, (9) закон движения каждого убегающего Ej имеет вид ylmi)=v, |Н|<7| 7 €(0,1), (10) где щ > rrij ^ 1 для всех г, j. При t — 0 заданы начальные условия x\ai)(0) = Х*\ yf\ 0) = if, причем X* ф if для всех i, Здесь и далее а, = 0,1,., щ — 1, Pj = 0,1,., rrij — 1.
Определение 5. В игре Г возможно мягкое убегание, если для любых допустимых управлений ) найдется допустимое управление v(t)=v{t, yfi\t)) такое, что df'\t) ^ yf3\t) для всех t € [0,оо).
Действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который в каждый момент времени t по величинам {^"^(i), для всех убегающих Ej выбирает одно и тоже управление v(t).
Теорема 7. В игре Г возможно мягкое убегание из любых начальных позиций.
В последнем параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п+т лиц: п преследователей Pi,p2,.,PnKm убегающих Е\, Е2,., Ет. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением (9), где щ ^ 2 для всех г, закон движения каждого убегающего Ej имеет вид (10), где mj = 1 для всех j. При t = 0 заданы начальные условия х^(0) = Х«\ yj(0) = У/, причем X? ± Y? для всех i,j.
Дополнительно предполагается, что убегающий Ej не покидает пределы шара £>(УДго), где го положительное число.
Определение 6. В игре Г возможно уклонение от встречи в шаре, если для любых допустимых управлений U{(t) найдется допустимое управление v(t) = v(t, X<*\t)t yj(t)) такое, что Xi(t) ф yj(t) и yj(t) € 2)(Y^,ro) для всех t G [0,оо).
Теоремав. 5 игре Г возможно уклонение от встречи в шаре из любых начальных позиций.
Публикации автора по теме диссертации
1. Благодатских А.И. Две задачи группового преследования// Известия ИМИ, №1(21), 2001, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 3-14.
2. Благодатских А.И. Пример Понтрягина со многими убегающими// Известия ИМИ, №2(25), 2002, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 23-26.
3. Благодатских А.И. Уклонение от группы инерционных объектов// Шестая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция: Материалы конференции. Часть 2, Ижевск: УдГУ, 2004, с. 77.
4. Благодатских А.И. Уклонение жестко скоординированных убегающих в одной задаче группового преследования// Известия ИМИ, №2(30), 2004, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 3-24.
5. Благодатских А.И. Одна задача уклонения жестко скоординированных убегающих// Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов, Екатеринбург: УрО РАН, 2004, с. 147-148.
6. Благодатских А.И. Об одной задаче уклонения от многих преследователей// Проблемы современного математического образования в ВУЗах и школах России: Тезисы докладов, Киров: ВятГГУ, 2004, с. 137-138.
7. Благодатских А.И. Уклонение жестко скоординированных убегающих от группы инерционных объектов// Известия РАН. Теория и системы управления, 2004, №6, с. 143-149.
8. Благодатских А.И. О некоторых задачах группового преследования// Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики: Труды международной конференции. Т.2, Узбекистан, Ташкент, 2004, с. 33-36.
9. Благодатских А.И. О двух колебательных конфликтно управляемых процессах со многими участниками// Известия ИМИ, №2(32), 2005, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 3-22.
10. Благодатских А.И. Об одном колебательном конфликтно управляемом процессе со многими участниками// Известия РАН. Теория и системы управления, 2005, №2, с. 43-45.
1. Азамов А. О. О задаче убегания по заданной кривой// Прикладная математика и механика. 1982. вып. 4. С. 694-697.
2. Азамов А.О. Об альтернативе для игр преследования на бесконечном интервале времени// Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50. вып. 4. С. 561-570.
3. Азамов А.О. О существовании стратегии с кусочно-постоянными реализациями// Математические заметки. 1987. Т. 41. № 5. С. 718-723.
4. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967.
5. Альбус Дж., Мейстел А., Чикрий А.А., Белоусов А.А., Козлов А.И. Об игровой задаче «мягкой посадки» для движущихся объектов// Искусственный интеллект. 2000. № 3. С. 404-411.
6. Бардадым Т.А. Задача преследования с простым движением и разнотипными ограничениями на управления// Кибернетика. 1982. № 2. С. 80-84.
7. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. М.: ИФМЛ. 1961.
8. Благодатских А.И. Две задачи группового преследования// Известия ИМИ, №1(21), 2001, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 3-14.
9. Благодатских А.И. Пример Понтрягина со многими убегающими// Известия ИМИ, №2(25), 2002, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 23-26.
10. Благодатских А.И. Уклонение от группы инерционных объектов// Шестая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция: Материалы конференции. Ч. 2, Ижевск: УдГУ, 2004, с. 77.
11. Благодатских А.И. Уклонение жестко скоординированных убегающих в одной задаче группового преследования// Известия ИМИ, №2(30), 2004, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 3-24.
12. Благодатских А.И. Одна задача уклонения жестко скоординированных убегающих// Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов, Екатеринбург: УрО РАН, 2004, с. 147-148.
13. Благодатских А.И. Об одной задаче уклонения от многих преследователей/ / Проблемы современного математического образования в ВУЗах и школах России: Тезисы докладов, Киров: ВятГГУ, 2004, с. 137-138.
14. Благодатских А.И. Уклонение жестко скоординированных убегающих от группы инерционных объектов// Известия РАН. Теория и системы управления, 2004, №6, с. 143-149.
15. Благодатских А.И. О некоторых задачах группового преследования// Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики: Труды международной конференции. Т.2, Узбекистан, Ташкент, 2004, с. 33-36.
16. Благодатских А.И. О двух колебательных конфликтно управляемых процессах со многими участниками// Известия ИМИ, №2(32), 2005, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 3-22.
17. Благодатских А.И. Об одном колебательном конфликтно управляемом процессе со многими участниками// Известия РАН. Теория и системы управления, 2005, №2, с. 43-45.
18. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Задача преследования группы жестко скоординированных убегающих// Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. С. 75-79.
19. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. вып. 2. С. 234-241.
20. Вайсборд Э.М., Жуковский В. И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. М.: Сов. радио. 1980.
21. Васильева Л.Г. Об одной дифференциальной игре убегания// Дифференциальные, бескоалиционные, кооперативные и статистические игры. Калинин.: Изд-во Калининск. ун-та. 1979. С. 26-33.
22. Вшиневицкий Л.С., Меликян А. А. Оптимальное преследование на плоскости при наличии препятствия// Прикладная математика и механика, 1982. вып. 4. С. 613-621.
23. Габриэлян М.С., Субботин А.И. Игровые задачи о встречи с т целевыми множествами// Прикладная математика и механика. 1979. вып. 2. С. 204-208.
24. Григоренко И.Л. Игра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего// Вестник МГУ. Серия вычисл. математика и кибернетика. 1983. № 1. С. 41-47.
25. Григоренко Н.Л. Преследование несколькими управляемыми объектами двух убегающих// ДАН СССР. 1985. Т. 282. № 5. С. 1051-1054.
26. Григоренко Н.Л. Задача преследования несколькими объектами// Труды математического ин-та АН СССР. 1984. Т. 166. С. 61-75.
27. Григоренко Н.Л. О квазилинейной задаче преследования несколькими объектами// ДАН СССР. 1977. Т. 259. № 5. С. 1040-1043.
28. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Московского ун-та. 1990.
29. Гусятников П.Б. Дифференциальная игра убегания га лиц// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. № 6. С. 22-32.
30. Гусятников П.Б. Теория дифференциальных игр. М.: МФТИ. 1982.
31. Гусятников П.Б., Половинкин Е.С. Простая квазилинейная задача преследования// Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44. вып. 5. С. 771-782.
32. Демидов К. В. Об одной задаче группового преследования с г-кратной поимкой// Вопросы вычислительной математики и программирования. М.: МГУ. 1984. С. 73-75.
33. Демидов К. В. Дифференциальные игры с переменной структурой группы преследующих и одного убегающего// Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50. вып. 1. С. 155-159.
34. Железное В. С., Иванов М.Н., Маслов Е.П. Об одной задаче уклонения в пространстве// Автоматика и телемеханика. 1992. № 5. С. 11-22.
35. Жимовский В. Два следствия решения одной задачи уклонения от многих преследователей// Bull. Acad. Sci. Ser. math. 1980. Т. 28. № 3-4. С. 155-159.
36. Жуковский В.И., Чикрий А. А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наук, думка, 1994.
37. Зак B.JI. Задача уклонения от многих преследователей// ДАН СССР. 1982. Т. 265. № 5. С. 1051-1053.
38. Зак B.JI. Кусочно-программная стратегия уклонения от многих преследователей// Ин-т проблем механики АН СССР. Препринт. 1982. №199.
39. Зак B.JI. Построение стратегии уклонения от нескольких преследователей для динамических систем// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. № 4. С. 143-147.
40. Зонневенд Д. Об одном методе преследования// ДАН СССР. 1972. Т. 204. № 6. С. 1296-1299.
41. Зонневенд Д. Об одном типе превосходства игрока// ДАН СССР. 1973. Т. 208. № 3. С. 520-523.
42. Ибрагимов Г.И. Об одной задаче оптимального преследования несколькими объектами одного// Прикладная математика и механика. 1998. Т.62. вып. 2. С. 199-205.
43. Иванов Р. П. К вопросу о мягкой поимке в дифференциальных играх со многими догоняющими и одним уклоняющимся игроком// Труды Математического института АН СССР. 1988. Т. 185. С. 74-83.
44. Иванов Р.П., Маслов Е.П. О сравнении двух методов преследования в задаче о поочередной встрече// Автоматика и телемеханика. 1983. № 7. С. 38-43.
45. Иванов Р.П. Простое преследование-убегание на компакте// ДАН СССР. 1980. Т. 254. № 6. С. 1318-1321.
46. Иванов Р.П. Измеримые стратегии в дифференциальных играх// Математический сборник. 1989. Т. 180. № 1. С. 119-135.
47. Иванов Р.П., Ледяев Ю.С. Оптимальность времени преследования в диффернциальной игре многих объектов с простым движением// Труды ма-тематическ. ин-та АН СССР. 1981. Т. 158. С. 87-97.
48. Исаичкина Л.Ю. Об одном классе дифференциальных игр многих лиц// Некоторые вопросы прикл. мат. и программ, обесп. ЭВМ. М.: МГУ. 1982. С. 52-55.
49. Ковшов A.M. Параллельные стратегии в играх преследования на сфере// Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. канд. наук. СПб. 1996. 12с.
50. Константинов Р.В. О квазилинейной дифференциальной игре преследования с простой динамиков при наличии фазового ограничения// Математические заметки. 2001. Т. 69. вып. 4. С. 581-590.
51. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встречи движений. М.: Наука.1970.
52. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974.
53. Красовский Н.Н. Управление динамической системой: задаче о минимуме гарантированного результата. М.: Наука. 1985.
54. Кучкаров А.Ш., Рихсиев Б.Б. О решении одной задачи преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 2001. JN*a 8. С. 41-45.
55. Лагунов В.Н. Введение в дифференциальные игры. Вильнюс. 1979.
56. Лагунова Н.В. Задача убегания от четырех преследователей// Вестник МГУ. Серия 15. 1992. № 3. С. 57-63.
57. Малофеев О.А., Петросян Л.А. Игра простого преследования на плоскости с препятствием// Сб. трудов ин-та математики Сиб. отд. АН СССР.1971. вып. 9. С. 31-42.
58. Малофеев О.А. Дифференциальные игры простого преследования на многообразиях// Математические методы организации и управления в сложных системах. Калинин: Изд-во Калинин, ун-та. 1982. С. 69-74.
59. Маслов Е.П., Рубинович Е.Я. Дифференциальные игры преследования-уклонения с групповой целью// Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ. 1991. Т. 32. С. 32-59.
60. Мезенцев А.В. О некоторых классах дифференциальных игр// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971. № 6. С. 3-7.
61. Мезенцев А.В. Дифференциальные игры с интегральными ограничениями. М.: МГУ. 1988.
62. Меликян А.А. Оптимальное взаимодействие двух преследователей в игровой задаче// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1981. №2. С. 49-56.
63. Меликян А.А., Овакимян Н.В. Игровая задача простого преследования на многообразиях// Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. вып. 1. С. 54-62.
64. Меликян А.А., Овакимян Н.В. Игровая задача простого преследования на двумерном конусе// Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. вып. 5. С. 741-750.
65. Мищенко Е.Ф., Никольский М.С., Сатимов Н.Ю. Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц// Труды математич. инта АН СССР. 1977. Т. 143. С. 105-128.
66. Никольский М.С. Первый прямой метод Л.С.Понтрягина в дифференциальных играх. М.: МГУ. 1984.
67. Патланжоглу О.М. О потенциале игрока в обобщенном контрольном примере Л.С.Понтрягина// Автоматика. 1992. № 6. С. 17-26.
68. Пацко B.C. Дифференциальная игра уклонения на плоскости// Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. вып. 4. С. 604-608.
69. Пацко B.C. Дифференциальная игра качества второго порядка// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. вып. 4. С. 596-605.
70. Пашков А.Г., Терехов С.Д. Дифференциальные игры сближения двух динамических объектов с третьим// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. ДО 3. С. 66-71.
71. Петров Н.Н. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1997.
72. Петров Н.Н. Об управляемости автономных систем// Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. ДО 4. С. 606-617.
73. Петров Н.Н. Доказательство существования значения игры преследования с ограниченным временем// Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 5. С. 784-797.
74. Петров Н.Н. Существование значения игры преследования// Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7. № 5. С. 827-839.
75. Петров Н.Н. О существовании значения игры преследования// ДАН СССР. 1970. Т. 190. № 6. С. 1289-1291.
76. Петров Н.Н. Некоторые экстремальные задачи поиска на графах// Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 5. С. 821-827.
77. Петров Н.Н. Преследование невидимого подвижного объекта// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. 11. С. 1563-1565.
78. Петров Н.Н., Прокопенко В.А. Об одной задаче преследования группы убегающих// Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 4. С. 724-726.
79. Петров Н.Н., Петров Н.Никандр. О дифференциальной игре «казаки-разбойники»// Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. 8. С. 1366-1374.
80. Петров Н.Н. Простое преследование при наличии фазовых ограничений// Деп. в ВИНИТИ 20 марта 1984г. № 1684. 14с.
81. Петров Н.Н. Одна оценка в дифференциальной игре со многими убегающими// Вестник Лениград. ун-та. 1985. № 22. С. 107-109.
82. Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. вып. 6. С. 1030-1033.
83. Петров Н.Н. Одна задача простого преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 1992. № 5. С. 22-26.
84. Петров Н.Н. Квазилинейные конфликтно-управляемые процессы с дополнительными ограничениями// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. вып. 6. С. 61-68.
85. Петров Н.Н. Об одном классе задач группового преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 1994. № 3. С. 42-49.
86. Петров Н.Н. Существование значения игры преследования со многими участниками// Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. вып. 4. С. 22-29.
87. Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Математика. Изв. вузов. 1994. № 4(383). С. 24-29.
88. Петров Н.Н. Об одной задаче преследования группы убегающих// Автоматика и телемеханика. 1996. N* 6. С. 48-54.
89. Петров Н.Н. Многократная поимка в примере Л.С.Понтрягина с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. вып. 5. С. 747-754.
90. Петров Н.Н. Простое преследование жесткосоединенных убегающих // Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. С. 89-95.
91. Петров Н.Н. Одна задача уклонения от многих преследователей// Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. № 1. С. 41-43.
92. Петросян JI.A. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во'' ЛГУ. 1977.
93. Петросян Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования. Новосибирск: Наука. 1983.
94. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Л.: ЛГУ. 1982.
95. Пилипенко Ю.В., Чикрий А.А. Колебательные конфликтно-управляемые процессы// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. вып. 3. С. 3-14.
96. Питцык М.В., Чикрий А.А. О задаче группового преследования// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. вып. 5. С. 730-736.
97. Питцык М.В. О методе группового преследования// Математические методы исследования оптимизационных задач. Киев: Изд-во ин-та Кибернетики АН УССР. 1984.
98. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т.2. М.: Наука. 1988.
99. Понтрягин Л. С. Линейная дифференциальная игра убегания// Труды математического ин-та АН СССР. 1971. Т. 112. С. 30-63.
100. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх I// ДАН СССР. 1967. Т. 174. № 6. С. 1278-1280.
101. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх II// ДАН СССР. 1967. Т. 175. № 4. С. 764-766.
102. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх// Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7. ДО 3. С. 436-445.
103. Понтрягин Л.С.,Болтянский В.Г.,Гамкрелидзе Р.В.,Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1969.
104. Прокопоеич П.В., Чикрий А.А. Одна дифференциальная игра убегания// ДАН УССР. Серия А. 1989. № 1. С. 71-74.
105. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами// Кибернетика. 1976. № 3. С. 145-146.
106. Пшеничный Б.Н. О линейных дифференциальных играх// Кибернетика. 1968. № 1. С. 47-53.
107. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев: Наук, думка. 1992.
108. Пшеничный Б.Н., Раппопорт И. С. К решению задачи простого преследования несколькими управляемыми объектами// Ин-т Кибернетики АН УССР. Препринт 79-47. 1979. С. 3-6.
109. Пшеничный Б.П., Раппопорт И.С. Об одной задаче группового преследования// Кибернетика. 1979. 6. С. 145-146.
110. Пшеничный В.П., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Преследование несколькими управляемыми объектами при наличии ограничений// ДАН СССР. 1981. Т. 259. № 4. С. 785-789.
111. Пшеничный Б.П., Чикрий А.А., Раппопорт И. С. Групповое преследование в дифференциальных играх// Wiss. Z. Jechn. Hochsch. Leipzig. 1982. Т. 6. № 1. С. 13-27.
112. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Эффективный метод решения дифференциальных игр со многими участниками// ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 3. С. 530-535.
113. Рихсиев Б.Б. Об оптимальности времени преследования в дифференциальных играх многих лиц с простым движением// Известия АН УзбССР. Серия физ-мат наук. 1984. № 4. С. 37-39.
114. Рихсиев Б.Б. Дифференциальные игры с простым движением. Ташкент: Фан. 1989.
115. Рихсиев Б.Б., Ибрагимов Г.И. Простое преследование в кубе// Изв. АН УзбССР. Серия физ-мат наук. 1990. № 2. С. 42-45.
116. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.
117. Савинов В. Б. Дифференциальная игра преследования одним преследователем нескольких убегающих// Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 1995. Т. 3. С. 147-171.
118. Сатимов Н.Ю. Задача преследования и убегания для одного класса линейных дифференциальных игр многих лиц// Прикл. мат. и механика. Ташкент: Изд-во Ташкент, ун-та. 1981. № 670. С. 64-75.
119. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. О задачах преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх между группами преследователей и убегающих// ДАН Узб.ССР. 1983. № 4. С. 3-6.
120. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. Об одном классе линейных дифференциальных и дискретных игр между группами преследователей и убегающих// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. J0 7. С. 1208-1214.
121. Сатимов Н.Ю., Азамов А. О., Хайдаров Б.К. Простое преследование многими объектами одного убегающего// ДАН Узб.ССР. 1981. JV® 12. С. 3-5.
122. Сатимов Н.Ю., Рихсиев Б.Б. Методы решения задачи уклонения от встречи в математической теории управления. Ташкент: Фан. 2000.
123. Сатимов Н.Ю. О задачах избежания взаимных столкновений// ДАН Узб.ССР. 1981. № 2. С. 3-5.
124. Синицын А.В. Построение функции цены в игре преследования несколькими объектами// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. вып. 1. С. 52-57.
125. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981.
126. Тарасьев A.M., Ушаков В.Н. Алгоритм построения стабильного моста в линейной задаче сближения с выпуклой целью// Исследования задач минимаксного управления. Свердловск: Изд УНЦ АН СССР. 1985. С. 82-90.
127. Ухоботов В.Н. Метод одномерного проектирования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями общего вида. Челябинск: Изд-во Челябинск, ун-та. 1998.
128. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. ДО 4. С. 29-36.
129. Черноусъко Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука. 1978.
130. Черноусъко Ф.Л. Одна задача уклонения от многих преследователей// Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. вып. 1. С. 14-24.
131. Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Линейная задача преследования несколькими объектами// Кибернетика. 1978. ДО 3. С. 86-92.
132. Чикрий А. А. Линейная задача убегания от многих преследователей// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1976. ДО 4. С. 46-50.
133. Чикрий А.А. Групповое преследование при ограниченных координатах убегающего// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. вып. 6. С. 906-913.
134. Чикрий А.А. Квазилинейные дифференциальные игры со многими участниками// ДАН СССР. 1979. Т. 246. ДО 6. С. 1306-1309.
135. Чикрий А.А. Квазилинейная задача сближения с участием нескольких лиц// Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. вып. 3. С. 451-455.
136. Чикрий А.А., Матичин И.И. Квазилинейные конфликтно управляемые процессы с переменной структурой// Проблемы управления и информатики. 1998. ДО 6. С. 31-41.
137. Чикрий А.А., Питцык М.В. Сочетание усилий преследователей с различными динамическими возможностями// ДАН УССР. 1984. А. № 1. С. 73-76.
138. Чикрий А.А. О задаче уклонения в линейной дифференциальной игре// Автоматика и телемеханика. 1977. № 9. С. 24-29.
139. Чикрий А.А. О задачах убегания при ограниченных фазовых координатах// Кибернетика. 1977. № 4. С. 40-45.
140. Чикрий А.А. Дифференциальные игры нескольких лиц// Кибернетика. 1976. № 4. С. 99-101.
141. Чикрий А.А., Шишкина Н.Б. О задаче группового преследования при наличии фазовых ограничений// Автоматика и телемеханика. 1985. № 2. С. 59-69.
142. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наук, думка. 1992.
143. Чикрий А.А. Дифференциальные игры с несколькими преследователями// Mathematical Control Theory. Banach Center Publications. 1985. V.14. C. 81-107.
144. Чикрий A.A., Прокопович П.В. Линейная задача убегания при взаимодействии групп управляемых объектов// Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. вып. 4. С. 12-21.
145. Чикрий А.А., Прокопович П.В. Задача убегания от группы для однотипных инерционных объектов// Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 6. С. 998-1004.
146. Чикрий А.А., Прокопович П.В. О задаче убегания при взаимодействии групп движущихся объектов// Кибернетика. 1989. № 5. С. 59-63,78.
147. Чикрий А.А. Задача убегания при взаимодействии групп линейных объектов// ДАН СССР. 1993. Т. 333. ДО 5. С. 591-593.
148. Чикрий А.А., Калашникова С.Ф. Преследование управляемым объектом группы убегающих// Кибернетика. 1987. ДО 4. С. 1-8.
149. Чхартишвили А.Г. Об одном геометрическом свойстве следящей области в задаче поиска// Вестник МГУ. Серия 1. 1992. ДО 3. С. 7-10.
150. Чхартишвили А.Г., Шикин Е.В. О простых играх поиска на бесконечном круглом цилиндре// Математические заметки. 1995. Т. 58. ДО 5. С. 762-772.
151. Хайдаров Б.К. Позиционная /-поимка в игре одного убегающего и нескольких преследователей// Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48. вып. 4. С. 574-579.
152. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир. 1970.
153. Шевченко И.И. Простейшая модель поочередного преследования// Автоматика и телемеханика. 1982. ДО 4. С. 38-42.
154. Шевченко И.И. Поочередное преследование трех убегающих// Автоматика и телемеханика. 1983. ДО 7. С. 70-75.
155. Шевченко И.И. О сближении с коалицией// Автоматика и телемеханика, 1986. ДО 1. С. 47-55.
156. Фазылов А.З. К задаче избежания столкновений// Изв. АН УзбССР. Серия физ-мат наук. 1987. ДО 3. С. 30-36.
157. Югай Л.П. Об /-уклонении в линейной дифференциальной игре многих лиц// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. ДО 5. С. 840-845.
158. Югай Л.П. Об одном достаточном условии уклонения по направлению// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. ДО 9. С. 1291-1292.
159. Berkovitz L.D. Differential game of generalized pursuit and evasion// SIAM J. Contr. and Optimiz. 1986. V. 24. № 3. p. 361-373.
160. Borowko P., Rzymowski W., Stachura A. Evasion from many pursuers in the simple case// J. Math. Anal, and Appl. 1988. V. 135. Л* 1. p. 75-80.
161. Chikrii A.A. On a method of pursuit in «trachs». Доп. Нац. АН Укр. 2000. № 6. p. 109-113.
162. Chikrii A.A. The problem of avoidance for controlled dynamic objects// Game Theory and Appl. 1997. V. III. p. 7-20.
163. Chodun W. Differential games of evasion with many pursuers// J. Math. Anal, and Appl. 1989. V. 142. № 2. p.370-389.
164. Flynn 3.0. Lion and Mann: the boundary constraint// SIAM. J. Control. 1971. V 11. JO 3. p.397-411.
165. Friedman A. Differential Games. New York: Wiley Intersci. 1971.
166. Hajek O. Pursuit Games. New York: Acad. Press. 1975.
167. Leitman G., Lin H.S. Evasion in the plane// Lect. Notes Contr. Inform. Sri. 1978. № 6. p. 255-263.
168. Melikyan A.A. Structure of the value function in pursuit-evasion games on the surfaces of revolution// Кибернетика и системный анализ. 2002. № 3. С. 155-162.
169. Petrov N.N. Group pursuit with phase restrictions// International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. 1998. V 7. № 2/3. p.179-187.
170. Petrov N.N. About one Pursuit Problem with many Evaders// Game Theory and Applications. 2001. V. VI. p. 82-88.
171. Rzymowski W. Method of construction of the evasion strategy for differential game with many evaders// Roszpr. mat. 1986. Ns 247. 48p.
172. Vagin D.A., Chirkova L.S., Petrov N.N. About some problems of group pursuit// Control Applications of Optimization 11th IFAC INTERNATIONAL WORKSHOP, 3-6 July, 2000. Abstracts, S-P. 2000, p. 197-198.
173. Vagin D.A., Petrov N.N. On One Problem of Pursuit of a Group of Evaders// International Conference Logic, Game Theory and Social Choice, S-P. 2001, p. 204-205.
174. Vagin D.A., Petrov N.N. The Two Problems of Group Pursuit// The Tenth International Symposium of Dynamic Games and Applications. Proceedings, V2, S-P. 2002, p. 691-695.
175. Yong J. On differential evasion games// SIAM J. Contr. and Optimiz. 1988. V. 26. № 1. p. 1-22.
