Некоторые задачи уклонения от многих преследователей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Чиркова, Любовь Сергеевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ижевск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи УДК 517 934
ЧИРКОВА ЛЮБОВЬ СЕРГЕЕВНА
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УКЛОНЕНИЯ ОТ МНОГИХ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЕЙ
01 01 02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Ижевск 2007 г
003064868
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»
Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,
доцент Н Н Петров
Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,
профессор Захаров Виктор Васильевич, (Санкт-Петербургский государственный университет)
кандидат физико-математических наук, доцент Лутманов Сергей Викторович, (Пермский государственный университет)
Ведущая организация - Институт математики и механики УрО РАН
Защита состоится ". . " .... 2007 г в 14 часов в ауд 216
на заседании диссертационного совета К 212 275 04 при Удмуртском государственном университете по адресу г Ижевск, ул Университетская 1 (корп. 4), Математический факультет E-mail imi@umudmru
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета
Автореферат разослан ".. " .. 2007 г
Ученый секретарь диссертационного совета к.ф -м н , доцент
Актуальность темы. Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух или более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями Динамические процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют также дифференциальными играми
Развитие теории дифференциальных игр стимулировалось наличием реальных прикладных задач, имеющих значение для механики, экономики, военного дела, радиоэлектроники, биологии и других областей Становление этой теории связано с исследованиями Р Айзекса, Л. А Петросяна, Б Н Пшеничного, А Брайсона, У Флеминга
В Советском Союзе активная разработка теории дифференциальных игр началась после фундаментальных работ Н Н Красовского и Л С Понтрягина Существенный вклад в эту разработку внесли В. Д Батухтин, Р В Гамкрелидзе, Н Л. Григоренко, П Б Гусятников, В И Жуковский, В В Захаров, М И Зеликин, А Ф Клейменов, А. В Кряжимский, А Б Куржанский, В Н Лагунов, А. А Меликян, Е Ф Мищенко, М С Никольский, Ю С Осипов, А Г Пашков, Н Н Петров, Г К Пожарицкий, Е С Половинкин, Н Ю Сатимов, А И Субботин, Н Н Субботина, В Е Третьяков, Н Т Тынянский, В й У хоботов, В Н Ушаков, А Г Ченцов, Ф Л Черноусько, А А Чикрий и многие другие авторы
Из зарубежных авторов можно в первую очередь отметить работы Л Берковича, Д Брейквелла, А Фридмана, Р Эллиота, Дж Лейтмана, Р П Иванова и других авторов
Одним из важных разделов теории дифференциальных игр являются задачи преследования-убегания с участием группы управляемых объектов, хотя бы с одной из противоборствующих сторон. При этом ситуация может быть осложнена наличием ограничений на состояния объектов
Одна из первых задач, линейная глобальная задача уклонения, была поставлена Л С Понтрягиным и Е Ф Мищенко1 В этом направлении следует отметить также работы А Азамова. М С Габриэляна, В Л Зака, А В Мезенцева, В В Остапенко, И С Раппопорта, В С Пацко, Б. Б Рихсиева, С И Тарлинского и других авторов
1 Понтрягин Л С , Мищенко Е Ф Задача об убегании одного управляемого объекта от другого// ДАН СССР, 1969, Т 189, №4, С 721-723
Наибольшую трудность для исследований представляет задача уклонения с участием нескольких лиц (с терминальным множеством сложной структуры)2А4 Специфика этих задач требует создания новых методов их исследования Весьма актуальной представляется проблема выяснения возможности уклонения группы убегающих от многих преследователей Этой проблеме и посвящена диссертационная работа
Цель данной работы - изучение задач убегания с участием группы управляемых объектов, хотя бы с одной из противоборствующих сторон, и нахождение условий разрешимости в этих задачах
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами
1 Получены достаточные условия уклонения от встречи одного убегающего от группы преследователей в дифференциальной игре третьего порядка с равными динамическими и инерционными возможностями всех участников
2 Доказана возможность уклонения от встречи одного инерционного объекта от группы инерционных преследователей при условии, что количество преследователей меньше размерности фазового пространства, а убегающий не покидает пределы выпуклого конуса
3 Получены достаточные условия уклонения от встречи в нестационарной задаче группового преследования со многими убегающими и многими преследователями
4 Получены достаточные условия уклонения от «мягкой поимки» одного убегающего от группы преследователей в дифференциальных играх второго и третьего порядка
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Все результаты могут быть использованы для дальнейших исследований по теории дифференциальных игр со многими участниками
2Чикрий А А Конфликтно управляемые процессы Киев Наук думка, 1992
3Петров Н Н, Петров Н Никандр О дифференциальной игре "казаки-разбойники"// Дифф уравнения, 1983, Т 19, №8, С 1366-1374
4Григоренко Н Л Математические методы управления несколькими динамическими процессами М МГУ, 1990
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались
- на Международной конференции «Control Applications of Optimization 11th IFAC INTERNATIONAL WORKSHOP» (Санкт-Петербург, 2000),
- на Пятой Российской университетско-академической научно-практической конференции (Ижевск, 2004),
- на Шестой Российской университетско-академической научно-практической конференции (Ижевск, 2004),
- на Научной конференции «Теория управления и математическое моделирование», посвяшенная 50-летию ИжГТУ и 30-летию кафедры ПМИ ИжГТУ (Ижевск, 2006),
- на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (Ижевск, 2006),
- на Международной научной конференции «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2006)
Работа поддержана программой «Университеты России» (грант 34126)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, 6 параграфов, 11 рисунков и списка литературы Объем работы 132 страницы Список литературы включает 209 наименований
Краткое содержание работы
Работа состоит из трех глав и шести параграфов Все представленные в ней задачи — задачи уклонения от встречи со многими участниками, имеющими равные динамические возможности Все дифференциальные игры рассматриваются в пространстве Ж"(п ^ 2)
Первая глава содержит два параграфа и посвящена нестационарной задаче простого преследования.
Первый параграф носит вспомогательный характер, в нем приведены леммы и определения из выпуклого анализа, которые используются для доказательства теорем и следствий второго параграфа
Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра v+¡л лиц v преследователей Pi, . , Р„ и /х убегающих Е\, Закон
движения преследователя Рг и убегающего Е} имеет вид'
xt = B(t)ut, |Ы| ^ 1, xt{t0)=x°, 1 = 1, ,1/, ..
щ = B(t)vj, || < 1, y3(t0) = y*, J = 1, K )
Здесь B(t) — непрерывная для почти всех t ^ to матричная функция такая, что |jß(i)|j ^ С для почти всех t ^ to
Определение 1. Для конфликтно управляемого процесса (1) из начального состояния z° = , ,где 6 Кп, на
интервале [io, +оо) разрешима задача убегания, если существуют такие измеримые функции v3(t), |]wj(i)ll ^ 1, J = 1, ,ß, t ^ t0, что при любых измеримых функциях иг (t), ||u2(i)[| ^ 1, г = 1, .,u,t^to, найдется номер j, при котором выполнены неравенства хг(1) ф y-,(t) для всех t^to и. всех г — 1, ., v
При этом в момент t ^ io управления убегающих формируются на основе уже реализовавшейся позиции (xi(i), . ,xv(t),yi(t),. , yß{t)), где xt(t), уj(t) £ Ж", а управления преследователей — на основе любой мыслимой информации
Пусть G — некоторое непустое подмножество пространства Жп Обозначим х = (®i, ,х„), у = (г/i, ,yß), где хг,у3 € Еп, и определим множества индексов
I{x,G) = {i ,г/},жг € G},
J(.y,G) = {3 J6{1,
причем, если существуют индексы л е J(y(t),dG), 1 = 1, ,s,s> 1, 3i < 32 < < 3s, такие, что yn(t) = yn(t) = = y3e(t), то полагаем Л J(y(t),8G) для 1 = 2, ,s
Теорема!. Пусть задан конфликтно управляемый процесс (1) Если существует непустое выпуклое множество G такое, что справедливо неравенство | J{y(to),dG)\ > \I(x(to),M.n \G)|, то для конфликтно управляемого процесса (1) из начального состояния z° возможно убегание
Следствие 1. Пусть для конфликтно управляемего процесса (1) существуют единичный вектор р и индекс j € {1, , ¡л], такие, что
max (р, х1 — ^ 0 Тогда из начального состояния za возможно г€{1, ,и}
убегание
Следствие2. Пусть законы движения преследователя Рг и убегающего Е3 имеют вид
хг = Ахг + щ, Циг|1 < 1, xt(t0) = xг = 1, ,v, .
Уз = М3 + 1Ы < 1. Уз(*о) = Уг 3 = 1, • К J
где А — матрица порядка п, и пусть существует такое непустое выпуклое множество G, что \J(y(t0), 8G) | > \I(x(t0), Е"- \ G) | Тогда из началь-
ного состояния z° в дифференциальной игре (2) для любого Т > io на отрезке [ío, Т] происходит уклонение от встречи
Теорема 2. Пусть для конфликтно управляемого процесса (1) существуют выпуклые компакты G\, G2 такие, что х°г € G\ U G2 для любого i е {1, . ,v}, и
\J(y(to), Rn \ (Gi U G2))\ + \J(yfo), 9G2)! > |I(®(t0), Gi \ G2)\ (3)
Тогда из начального состояния z° возможно убегание
СледствиеЗ. Пусть задан конфликтно управляемый процесс (1) Существуют гиперплоскости
Ях = {х е Ж1 I (р,х) = а},
Я2 = {х е Ж" I (р,х) - а + е, е > 0}, р € Жп, а€ Ж, и множества Ii С {1, , v}, J С {1, ,¡i}, такие, что
(р,х°г)^ а + е, г€ I2 = { 1, ,v}\h,
2 а < (р,у®) < а + е, j € J,
3 И>|/1|
Тогда из начального состояния z° возможно убегание Следствие 4. Пусть существуют выпуклые компакты G\, G2 такие, что х® е G\ UG2 для всех i € {1,. , v}, и выполнено неравенство (3) Тогда для дифференциальной игры (2) из начального состояния z° для любого Т > ío на отрезке [¿о, Г] происходит уклонение от встречи
Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена задачам уклонения от группы инерционных объектов В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра второго порядка в которой участвуют к преследователей , Pj¡ и убегающий Е Закон движе-
ния каждого из преследователей имеет вид
хг - щ, |H| < 1, . л
sf(0) = х°г, хг(0) = х°г. W
Закон движения убегающего имеет вид.
y-v, (MI < 1, , ,
3/(0) = Vo, 2/(0) = У0 {Ь)
Дополнительно предполагается, что убегающий в процессе игры не покидает пределы множества X) вида
Определение 2. Из начального состояния = (г®, . в дифференциальной игре (6) возможно убегание, если по любым измеримым функциям щ(£), ||«г(£)|) ^ 1, 0 ^ £ < -Изо, г € Н^, можно построить такую измеримую функцию ||«(£)|| ^ 1, 0 ^ Ь < +оо, что ф 0 для всех г € I ^ 0 и у(1) € Б для всех t ^ 0 (Здесь
При этом в момент £ ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации о состоянии (^(й), ^(й), (в)) при 5 ^ £
и о значениях иг(4), г € в тот же момент времени Управление преследователей в момент £ ^ 0 формируется на основе информации о состоянии г(Ь) дифференциальной игры (6)
Теорема 3. Если к ^ п — 1, у0 6 В, то в игре (6) из начального состояния = г®, , возможно убегание
Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра третьего порядка, в которой участвуют к преследователей ,Рк и убегающий Е Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид
где qJ — единичные векторы такие, что Ъй£> ф 0 Вместо систем (4), (5) рассмотрим систему
г,=иг- V,
*(0 ) = =
(6)
Я* = {1,2, ,*})
М < 1,
(7)
Закон движения убегающего Е имеет вид
(8)
хг-иг-ю, *е(0) = -у0,
£г(0) = ^ = х°г- у°, £г(0) = z? = х°г~ у°.
.0
'г
Определение 3. Говорят, из начального состояния
в дифференциальной игре (9) возможно убегание, если по любым измеримым функциям иг(Ь), || «г(£)|| ^ 1, 0 ^ £ < +оо, г € М*, можно построить такую измеримую функцию г;(£), ||г>(£)|| ^ 1, 0 ^ < < +оо, что ¡|-гг(^)|| ф 0 для любого г € Nk, t ^ 0 При этом в момент времени 0 управление убегающего формируется на основе информации о состоянии (гх (в), (в), (в), , г* (в), г* (в), я*, (в)) при в ^ £ и о значениях иг(Ъ), г € Н*, в тот же момент времени Управление преследователей в момент I ^ а формируется на основе информации о состоянии г{1) дифференциальной игры (9)
к
Теорема 4. Если 0 ф со{ и }, то в игре (9) из начального
г—1
состояния — , возможно убегание
Третья глава состоит из двух параграфов и посвящена задачам уклонения от «мягкой поимки» В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра второго порядка, в которой участвуют к преследователей Р\. ,Рк и убегающий Е
Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид
хг + ахг + Ьхг = щ, ||«г|| ^ 1,
*.(0) - Х°г, (Ю)
*.(0) =
Закон движения убегающего Е имеет вид
у + ау + Ъу = ь, |И < 1,
3/(0) — У°! у(0)=у° 1}
Функции иг, V — кусочно-постоянные В уравнениях (10), (11) константы а, Ь такие, что А1 ф Лг, А1, Лг — отрицательные вещественные корни характеристического уравнения А2 + аХ + Ь = 0
Определение 4. Говорят, что в дифференциальной игре (10), (11) возможно убегание, если существует такая кусочно-постоянная функция у(к), ¡|г>(£)|| ^ 1, Ь ^ 0, что при любых кусочно-постоянных функциях иг{€), ||иг(£)|| ^ 1,1 € Щ, Ь ^ 0 справедливо неравенство
\\Хг(Ъ-уШ\+\\хгф-у(1)\\>0
При этом в момент £ ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации (у(з),у(з),х°, х°, ., х\,х°к), з < и о значениях иг({),г 6 Мй в тот же момент времени Управление преследователей формируется на основе информации о состоянии
(У (*). У (*)> Ж1 №»ж 1 (*)» , ® * (*), а* (*))
дифференциальной игры (10), (11)
Теорема 5. В дифференциальной игре (10), (11) возможно убегание
Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра третьего порядка, в которой участвуют три преследователя Р\,Р2,Рэ и два убегающих Е%, Е2
Закон движения преследователя Рг имеет вид
хг—иг, ||«,|| ^ 1, хг(0)=х°, хг(0)=х°, хг(0) = х°
Закон движения убегающего Е3 имеет вид
Уз = *з> 1ЫК1> Уз(0)=У°> Уз(0)=У°, Уз (0) = Уз°
Вместо систем (12), (13) рассмотрим систему
ггз=иг-ю}, 2^(0) =2°
^ (0) = = - (0) = 4 = а? - у»
Определение 5. Говорят, из начального состояния ~о _ / о о о о _о о \
г — г11' г11> • > ^321 232> ^32^
в дифференциальной игре (14) возможно убегание, если по любым измеримым функциям иг{1), ||«,(£)|| ^ 1, 0 < I < + оо, г = 1,2,3, можно построить такие измеримые функции ||г^(£)|| ^ 1, 0 ^ Ь < +оо,
3 = 1,2, что найдется номер 5 6 {1,2} такой, что для всех г 6 {1,2,3}, справедливо неравенство ||гм(4)|| + Цг1в(*)|| > 0 При этом в момент £ ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации о состоянии дифференциальной игры
0*11 (г), ¿и (т),2и (г), , г32(т),г32(т),г32(т))
(12)
(13)
(14)
при г ^ t и о значениях uz(t), г 6 {1,2,3}, в тот же момент времени Управление преследователей в момент t ^ 0 формируется на основе информации о состоянии дифференциальной игры (14)
Теорема 6. В дифференциальной игре (14) из начального состояния z° возможно убегание
Публикации по теме диссертации
1 Чиркова Л С Уклонение от группы инерционных объектов// Известия РАН Теория и системы управления 2007 №3 с 45-53
2 Чиркова Л С Уклонение от группы инерционных объектов в конусе// Известия ИМИ №2(19) 2000 Ижевск Изд-во УдГУ с 59-72
3 Vagm D А , Chtrkova L S, Petrov N N About some problems of group pursuit// Control Applications of Optimization 11th IFAC INTERNATIONAL WORKSHOP 3-6 July 2000 Abstracts S-P. 2000 p 197-198
4. Чиркова Л, С Нестационарная задача простого преследования со многими убегающими// Пятая Российская университетско-академичес-кая научно-практическая конференция Тезисы докладов Часть 10. Ижевск Изд-во УдГУ 2001 с 39
5 Чиркова Л С Убегание в одной задаче о «мягкой поимке»// Известия ИМИ №2(30) 2004 Ижевск Изд-во УдГУ с 97-106
6 Чиркова Л С Уклонение в задаче о «мягкой поимке»// Шестая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция. Материалы конференции. Часть 2 Ижевск. УдГУ 2004
7. Чиркова Л С Уклонение от группы инерционных объектов// Известия ИМИ №4(34) 2005 Ижевск. Изд-во УдГУ с 11-40
8 Чиркова Л С Некоторые задачи уклонения от многих преследователей// Известия ИМИ. 2(36) 2006 Ижевск Изд-во УдГУ с. 105-108
9 Чиркова Л С Уклонение от группы инерционных объектов// Известия ИМИ 3(37) 2006 Ижевск Изд-во УдГУ. с 167-168
Отпечатано с оригинал-макета заказчика
Подписано в печать 27 06 2007 Формат 60x84 1/16 Тираж 100 экз Заказ № 1063
Типография ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул Университетская, 1, корп 4
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Нестационарная задача простого преследования
§1.1. Вспомогательные рассуждения
§1.2. Нестационарная задача простого преследования
Глава 2. Уклонение от группы инерционных объектов
§2.1. Уклонение от группы инерционных объектов в конусе
§2.2. Уклонение от группы инерционных объектов в дифференциальной игре третьего порядка
Глава 3. Задачи о «мягкой поимке»
§3.1. Убегание в дифференциальной игре второго порядка
§3.2. Убегание в дифференциальной игре третьего порядка
Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики.
В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух или более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями. Динамические процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют также дифференциальными играми.
Предлагаемая работа посвящена дифференциальным шрам убегания с участием двух групп: преследователей и убегающих.
Потребность изучения таких задач возникает при решении ряда прикладных задач механики, экономики, военного дела, радиоэлектроники, биологии и некоторых других областей.
Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли академики Н. Н. Красовский и JI. С. Понтрягин. К настоящему времени теория дифференциальных игр получила существенное развитие.
В работе [108] Б. Н. Пшеничного рассматривалась задача простого преследования группой преследователей одного убегающего, при условии, что скорости убегающего и преследователей по норме не превосходят единицы. Выли получены необходимые и достаточные условия поимки.
Ф. JI. Черноусько в работе [138] рассматривал задачу уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым корючным числом преследующих точек, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Был иостроен способ управления, который обеспечивает уклонение от всех преследователей на конечное расстояние, причем движение уклоняющейся точки остается в фиксированной окрестности заданного движения.
Указанные работы были, по существу, первыми, посвященными задаче группового преследования группой преследователей одного убегающего.
Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх из любых начальных положений на полубесконечном интервале времени впервые была поставлена и решена в линейном случае JI.C. Понтрягипым и Е.Ф. Мищенко [100, 101, 104,105]. Если проводить параллель с задачей Калмана о полной управляемости, то для конфликтно управляемых процессов ее разрешимость означает, что траектория процесса может быть приведена на терминальное множество из любых начальных положений за конечное время при любых заранее оговоренных противодействиях или помехах. В традиционных терминах дифференциальных игр качества это означает, что все фазовое пространство есть область предпочтения преследователя, то есть он выигрывает игру при любых начальных положениях. Существуют достаточные условия [139, 158] разрешимости этой задачи, так называемой глобальной задачи преследования. Обзор результатов, относящихся к задаче уклонения, хорошо представлен в работе [140J.
На сегодняшний день разработано достаточно много идейно различных методов и маневров уклонения от встречи: например, метод маневра обхода [100, 101, 104, 105] и его модификации [26-29, 67, 68, 110, 111), методы постоянных и переменных направлений [63, 114, 124, 141-146, 152, 155, 156], метод инвариантных подпространств [115, 125, 155], рекурсивные методы [25, 35, 137, 160, 185, 190-192, 202-204], методы, использующие исчисление
Минусинского [64, 65, 195], и так далее. Между этими методами, безусловно, существуют глубокие связи, многие из которых до сих пор не выяснены.
В работе [20] Н. Л. Григоренко получены необходимые и достаточные условия уклонения от встречи одного убегающего от нескольких преследователей при условии, что убегающий и преследователи обладают простым движением, и множество управлений каждого из игроков - один и тот же выпуклый компакт.
В работе [44] Р. П. Иванов рассмотрел задачу простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что убегающий не покидает пределы выпуклого компакта с непустой внутренностью. Было доказано, что если число преследователей меньше размерности множества, то будет уклонение, иначе - поимка и получена оценка времени поимки.
Работа [82] Н. Н. Петрова обобщает результат Р. П. Иванова на случай, когда убегающий ие покидает пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью.
Мягкая» поимка одного убегающего группой преследователей для инерционных объектов рассматривалась Р. П. Ивановым в работе [42].
Задачи уклонения одного убегающего, обладающего большей маневренностью, от группы преследователей в примере Понтрягина рассматривались ранее Н. Ю. Сатимовым и Б. Б. Рихсиевым в [130]. При условии дискриминации преследователей были получены достаточные условия убегания.
В предлагаемой диссертационной работе рассматриваются, в основном, игры с участием инерционных объектов, за исключением нестационарной задачи простого преследования. Решены задачи как для стандартного определения поимки, так и для так называемой «мягкой поимки».
29-33,40, 74, 75,108,109,112,113,119,122,145,168,185,190-192, 202-204] использовали следующие определения стратегий и контрстратегий.
Рассмотрим нелинейную конфликтно управляемую систему z = f{z,u,v), гег, и eU, ve V, (l) где f(z, и, v) - непрерывная по совокупности аргументов вектор-функция, и, V - управления преследователя и убегающего, множества U, V - компакты пространства Rn.
Вектор скоростей удовлетворяет условию роста f(z,u,v)\\^C(l + \\z\\), zeW\
С > 0 ири любых и 6 U, v G V. Терминальное множество M - линейное подпространство.
Определение 1. Будем считать, что е-стратегия убегающего задана, если для каждой точки z, z Е R", определено число e(z), e(z) > 0, и функция v(t,z), t G [0,e(z)]} удовлетворяющая условию v(t) = v(t,z).
Определение 2. Функция v(t,z,u), t € [0,e(z)}, и G U удовлетворяет условию суперпозиционной измеримости, если справедливо следующее: при измеримой u(t) функция v(t) = v(t,z,u(t)) также измерима.
Определение 3. Будем считать, что задана е-контрстратегия убегающего, если для каждой точки z, z Е M", задано число e(z), e(z) > 0, и функция v(t,z,u), t G [0,б(2)], и е U, удовлетворяющая условию суперпозиционной измеримости.
Убегающий может выбрать функцию е(z) такой, что для любого компакта Z из М" существует константа ez такая, что e(z) ^ ez для всех z в Z, что обеспечивает отсутствие конечных точек сгущения, то есть lim £,• = 4-00, г—»00 где t{ = ti-1 + (-{zi-1), i = 1,2,., a z.L — z(U), ¿0 = 0. Тогда любая стратегия убегающего в паре с произвольной измеримой функцией преследователя определяют траекторию z(t), z(0) = zq, или лучок траекторий системы (1) на интервале [0, +оо).
Цель преследователя — привести траекторию системы (1) на множество М за конечное время, цель убегающего — прямо противоположна.
Определение 4. Для конфликтно-управляемого процесса (1) возможно уклонения от встречи, если существует стратегия убегающего такая, что при любом управлении преследователя соответствующие траектории z(t), 2(0) = zq, не пересекают множество М на полуоси [0, оо) при любых начальных состояниях Zq, Zq м.
Достаточные условия уклонения от встречи, когда есть преимущество убегающего на некотором двумерном подпространстве, а поимка понимается как точное совпадение координат преследователя и убегающего в пространстве, получены в [160, 204].
Пусть L - ортогональное дополнение к линейному подпространству М в Жп, W - подпространство из L, щу - оператор ортогонального проектирования из К" на W. Символом Ф^ обозначим единичную сферу в W : w = {p\pe W, jbll = !}•
Введем последовательность функций с помощью рекуррентного соотношения фЩг, и, v) = v), f(z, и, t/)), ¿ = 1,2,., где VгфМ(г,и,у) — матрица первых производных функции но 2, тогда <f>^(z, U, V) — это объединение по всем допустимым управлениям: ф®(г,и,У)= [J Ф{Ч*,и,у). ueu, veV
Пусть dim W ^ 2, существуют натуральное число к и непрерывная функция l(z) : Кп —> W такие, что справедливы условия 1-3.
При дополнительных предположениях, связывающих размерность подпространства W и число к, достаточные условия уклонения от встречи в классе кусочно-постоянных е-стратегий получены в [G3, 124, 141, 156].
Условие 1. Множества cj)^(z,U,V), i = — 1, состоят из единственных точек ф('1\г) при всех г 6 М". Функции непрерывно дифференцируемы по z.
Выполнение условия 1 влечет следующее: до некоторого порядка производные от 7TZ не зависят от параметров управления. Условие 2. Для всех z & М справедливо неравенство min max min(p, u, v) + l(z)) > 0. (3)
Несколько более жесткий вариант условия 2 рассмотрен в работах [68, 110]. Условие 3. Для всех z Е М справедливо неравенство
7(z) = min min max(p, ф^к\г, u, v) + l(z)) > 0. (4) p&^w veV Условие 3 эквивалентно следующему включению: l(z) + 7(г)соФц' С р| соф{к\г,и, V),
U&U где соV) — овыпукление множества ф№(г,и, V).
Теорема 1. Если для конфликтно управляемого процесса (1) выполнены условия 1 и 2, то задача об уклонении от встречи разрешима в классе е-стратегий.
В работах [29, 64, 05, 67,104,105,110,144] были получены доказательства следующей теоремы.
Теорема 2. Если для конфликтно управляемого процесса (1) выполнены условия 1 и 3, то задача об уклонении от встречи разрешима в классе е-стратегий.
Сформулируем общие достаточные условия уклонения от встречи первого порядка в «тонком» случае [140]. «Тонкому» случаю соответствует уклонение от совпадения и геометрических координат, и скоростей. В данной ди-сертационной работе для «тонкого» случая используется термин «мягкая» поимка.
Так же в работах [68, 110] приводятся теоремы 3,4.
Пусть И^ и И^ - одномерные пространства, Цг\ С Ь, И^ С Ь, 1¥\ Ф И^-Введем последовательность функций аналогично (2): % = 1,2,., ] = 1,2.
И пусть существуют натуральные числа к\, /с2, к\ ф /с2 и непрерывные функции : М" такие, что выполнены условия 4-6.
Условие 4. Множества г — 1,., % - 1, ^ = 1,2, состоят из единственных точек ф^\г) при всех 2 е М". Функции непрерывно дифференцируемы по г.
Условие 5. Для всех г£ М справедливы неравенства min maxmin(р,ф^(г,и,у) + L(z)) > 0, j = 1,2. p&^Wj v€Y veil J
Данные неравенства эквивалентны следующим: maxmin ф^\г,и,у) > min maхф^\г,и,у), j = 1,2. veV ueU J veV ueU J
Условие 6. Для всех z € M справедливы неравенства min mmmax(pjfj){z,u,v) + lj(z)) > 0, j = 1,2, pe^Wj ueU veV J эквивалентные следующим неравенствам: min maхф^\г,и,у) > итхттф^\г,и,у), j = 1,2. u&U veV J ueU v&v J
Теорема 3. Если для системы (1) выполнены условия 4 и 5, то возможно уклонение от встречи в классе е-стратегий.
Теорема 4. Если для системы (1) выполнены условия 4 и б, то возможно уклонение от встречи в классе е-контрстратегий.
Пусть eAt - фундаментальная матрица системы z = Az, А — квадратная матрица порядка п, и пусть ф(г,и,у) = f(z,u,v) — Az.
Используя понятие позиционных стратегий и контрстратегий из [50], в [140] приведены следующие теоремы.
Теорема 5. Пусть существуют квадратная матрица Л, подпространство W С L, dimW = 1, функция a(z) : К" —> М1 - непрерывная строго положительная, и число S > 0 такие, что справедливо тг\уА = Ащу. Если для z Е М + 5соФ^ и г Е (0,<т(,г)] выполнено неравенство min maxmin(р,е~тЛф(г,и,у)) > 0, iwetfv vev neu при этом максимум по v достигается на единственных элементах, то возможно уклонение от встречи в классе позиционных стратегий.
Если для z 6 М + $соФ^ и г 6 (0, a(z)] имеет место неравенство либо min minmax(ü, е~тАф(г,и, v)) > О, реФи- ueu veV при этом максимум по v достигается на единственных элементах, то уклонение возможно в классе позиционных контрстратегий.
В [115] рассматривается квазилинейный случай f(z,u,v) = Az + ф{и,у), для группы преследователей - в [155].
Следствие 1. Пусть для квазилинейного конфликтно управляемого процесса (1) существуют подпространство W С L, dim — 1, и положительное число а такие, что 7гwA = Anw, и для г £ (0, а] справедливо одно из следующих условий
1) min maxminip, е~тАф(и,у)) > О, pe^w veV ueu
2) min minmaxfp, е~тАф(и, v)) > 0, p^w ueu veV v тогда, если выполнено первое неравенство, то уклонение от встречи возможно в классе е-стратегий. Если выполнено второе неравенство, то — в классе е-контрстратегий.
Условие щуА = Ащу выполняется автоматически, если М - инвариантное подпространство матрицы А.
Определение 5. Набор Фв векторов (pi,.,ps) из L, s ^ dimL + 1, рг|| = 1, таких, что начало координат принадлежит внутренности выпуклой оболочки, натянутой на Ф8, называют набором Каратеодори или положительным базисом [81, 108].
Приложение понятия положительного базиса к теории дифференциальных игр наглядно показано в [73].
Теорема 6. Пусть существуют квадратная матрица А, набор Каратео-дори Ф5, функция a(z) : Rn —> R1, непрерывная строго положительная, и число 5 > 0 такие, что выполнено тгьА = Attl
Если для z £ М + Sco^i и г £ (0, a(z)] выполнено условие min maxmm(pi,e~TA(f)(z,u,v)) > О i=i,.,s,(pb.,pa)€\i" vev neu при этом максимум по v достигается на единственных элементах, то возможно уклонение от встречив классе позиционных стратегий. Если для z £ М + ÖcoxVl и г € (0, о(z)] имеет место неравенство min min max(pj, е~тАф(г, и, г;)) > О, i=i,.,s,(pi,.,pa)e^3 ueU veV при этом максимум по v достигается на единственных элементах, то уклонение возможно в классе позиционных контрстратегий.
Следствие 2. Пусть для квазилинейного конфликтно управляемого процесса (1) существуют набор Каратеодори Ф4' и положительное число а такие, что справедливо равенство txlA — Ahl и для т £ [0, а) выполнено одно из следующих условий:
1) min тахтт(р;,е~тАф(и,ь)) > О, г=\,.,фи.,Рз)еъ> v&v иеикг
2) min тттах(р;,е~тЛф(и, v)) > О, i=l,.,в,ueU тогда, если выполнено первое неравенство, возможно уклонение от встречи в классе б-стратегий, если выполнено второе условие, то — в классе б-контрстратегий.
В работах [144, 156] имеются условия уклонения от встречи высших порядков. На основе рекурсивного маневра обхода условия уклонения от встречи высших порядков приведены в [1G0].
Пусть существуют натуральное число к и подпространство W, W С L, вектора k, i = 1,. ,к — 1, из W и непрерывная функция l(z) : W1 —> W такие, что выполнены следующие условия.
Условие 7. Существуют непрерывно дифференцируемые функции g^(z) : Rn —» W и непрерывные по совокупности переменных функции v): U х V -* W, i = 1,., к - 1, такие, что z9{i-%)f{z,u,v) = g®(z) + h®{u,v), g{0)(z) = тги-z.
Условие 8. Система линейных неравенств р, z) > О, {p,g®{z)-li)2 0, « = 1,-.,Л; — 1,
-(рА*))> о, разрешима относительно р G Фи/ при любых z е Rn.
Введем многозначные отображения Ц(р), Ve(p, и), Ц(р) : Фц/ —> K(Rn), Vj(p,u) : Фw х U К(Жп), i — 1,.,к - 1, с помощью рекуррентных соотношений:
Vi(p) = {ve V5-i(p) : mill(p, h®{u, v) + k) > 0}, V&(p) = V, u&j
Vi(p,u) = {ve Vi-i{p,u) : (p,hM(u,v) + k) > 0}, Vo(p,u) = V.
Под непрерывностью многозначных отображений будем понимать непрерывность в метрике Хаусдорфа [52].
Условие 9. Многозначное отображение Vk~i(p) непрерывно на множестве tyj^ и для всех z G M выполнено min шах inin(p, Vzg^k~^(z)f(z, и, v) + l{z)) > 0. pe^w veVk-i(p) ueU
Условие 10. Многозначное отображение Vk-\(p,u) непрерывно на множестве 4>w х U и для всех z £ M выполнено min min max (p, и, v) + l(z)) > 0. pe$w ueU veVk~i(p,u)
Теорема 7. Пусть для конфликтно управляемого процесса (1) выполнены условия 7 и 8, тогда, если выполнено условие 9, то глобальная задача уклонения разрешима в классе кусочно-постояпных б-стратегий, если выполнено условие 10 — то в классе е-контрстратегий.
Предположим, что для конфликтно управляемого процесса (1) терминальное множество M представляет собой объединение конечного числа линейных подпространств Mi,., М^ из R", тогда в дифференциальной игре участвуют несколько управляемых объектов в качестве преследователей и один управляемый объект в качестве убегающего.
В [25, 26, 28, 35, 63, 143, 145, 155, 156, 160, 185, 190-192, 202-204] сформулированы условия уклонения от группы преследователей.
Пусть Lj — ортогональное дополнение к Mj в1", И пусть Wj — некоторое подпространство из Lj, а 7Tj — ортопроектор, действующий из R71 в Wj. Построим при помощи рекуррентных соотношений последовательность функций (fJj\z,u,v) : „ л л y7
4>f{z,u,v) - v20jl >(z,u,v)f(z,u,v), г = 1,2,., j = f\z,U,v) = 7TjZ.
Пусть существуют натуральные числа kj, подпространства Wj, Wj С Lj, dim Wj ^ 2, и непрерывные функции lj(z) : R" —» Wj, j = 1,., v, такие, что выполнены следующие условия.
Условие 11. Множества (j)f{z, U,V), i = 1,., kj - 1, j = состоят из единственных точек г 6 R". Функции непрерывно дифференцируемы но г.
Условие 12. Для всех z е М справедливы неравенства к Л min maxmin(ü,ф\ 3>(z,u,v) + L(z)) > 0, 7 = 1,.,и. veV ueu 3 JX "
Условие 13. Для всех z е М справедливы неравенства min min max(p, dfj\z, и, v) + L(z)) >0, j = 1,., v. p^wjueu vevx J ' JK "
Теорема 8. Если для конфликтно управляемого процесса (1) выполнены условия 11 и 12, то задача уклонения от встречи с группой преследователей разрешима в классе е-стратегий. Если выполнены условия 11 и 13 — то в классе е-контрстратегий.
Введем понятия строго выпуклого компакта и компакта с гладкой границей [166, 169, 189].
Определение 7. Пусть X — компакт из К". Назовем функцию С(Х,р)
С{Х,р) = тах{х,р) опорной функцией к множеству X.
Определение 8. Пусть X е К" — компакт, р Е R" — вектор, рф 0. Множество U(X,p) = {х е X | (р,х) = С (Х,р)}, рф 0. называется опорным к множеству X в направлении р.
Определение 9. Множество X называется строго выпуклым в направлении р, р Ф 0, если множество и(Х,р) состоит из единственного элемента.
Определение 10. Множество X называется строго выпуклым, если X строго выпукло в любом направлении р, р Ф 0.
Определение 11. Компакт X — компакт с гладкой границей, если
1/{Х,р1) пи(Х,р2) = 0 для любых рир2, р1 ф Р2, \\PiW = Ш\ = 1.
Если X — строго выпуклый компакт с гладкой границей, то ф 0.
В [21, 81,158,161,163,189] сформулированы условия уклонения от встречи в случае взаимодействия групп управляемых объектов (теоремы 9-11).
В пространстве М" рассмотрим игру, в которой участвуют V преследователей и 11 убегающих. Задача группы убегающих состоит в том, что хотя бы один из них должен избежать поимки на [0, оо) при любых начальных положениях.
Закон движения преследователя Р\ имеет вид: щ = Ах1 + щ, щ е = 1,.,г/, (5) закон движения убегающего Еу.
Уз = АУ] + V], V} <5 V,2 = 1, • • •, где А — квадратная матрица порядка щ II.и V - компакты пространства Мп,
С соУ для любого i = I,., и.
Под поимкой понимается точное совпадение координат. Управления игроков — измеримые функции времени. Убегающие используют информацию о текущем состоянии дифференциальной игры {х\>. . ,у(1).
Определение 12. В дифференциальной игре (5) возможно уклонение от встречи, если существует такая стратегия убегающих т^-, з — 1,.,/х, что для каждого начального состояния ., ж®, у\,., у®) существует хотя бы один индекс 5 € {1,.,рс} такой, что справедливо неравенство ф- ув^), г = 1, • • •, V, на полубесконечном интервале времени £ е [0, оо), при любых управлениях преследователей.
Теорема 9. Пусть в дифференциальной игре (5) множество V - строго выпуклый компакт. Тогда если выполнено хотя бы одно из условий:
1) V < п+1, ^ ^ 2,
2) V ^ 2п - 1, ¡1 ^ п, то разрешима глобальная задача уклонения.
Теорема 10. Пусть в дифференциальной игре (5) множество V — строго выпуклый компакт с гладкой границей. Тогда если выполнено хотя бы одно из условий:
1) V ^ 72 + 2, ¡1 ^ 2,
2) V ^ 2п, ¡1 ^ п, то разрешима глобальная задача уклонения.
Теорема 11. Если в дифференциальной игре (5) множество V — строго выпуклый компакт с гладкой границей, то при
V > 2, /Л > (я + 1)29+1 + 2, ч = - 1)], где [ • ] - целая часть числа, то разрешима глобальная задача уклонения.
Теорема И дает грубую оценку сверху минимального количества убегающих, при котором в игре с и преследователями разрешима глобальная задача убегания независимо от размерности пространства.
В [140] необходимые и достаточные условия разрешимости глобальной задачи уклонения приведены в наиболее простом случае: матрица А равна нулю, области управления участников игры — единичные шары с центром в нуле 11г = У — в.
Теорема 12. Если в дифференциальной игре (5) А = 0, Щ = V = в, г = 1,. то при ¡1 — 2 для разрешимости глобальной задачи уклонения необходимо и достаточно, чтобы V < 2п.
Теорема 13. Пусть в дифференциальной игре (5) А = 0, {У* = V = Я, г = 1,., V. Тогда если при ц = 3 выполнено хотя бы одно из условий:
1) и ^ б, ц > 2,
2) */ < 7, (л > 3, то разрешима глобальная задача уклонения.
В [158] были получены достаточные условия уклонения от встречи в игре XI = АХг + Щ, Щ е Х{(Ьо) = х°1, 1=1,., и,
У] = АУ] + Щ е = у1 3 = 1,. • •, /X, где V] Е К(Шп). Определение поимки - точное совпадение координат преследователя и убегающего.
Пусть (7 — некоторое непустое подмножество пространства М". Обозначим ж = (#1,., хи), у = {у\,., Уц), где я*, € и определим множества индексов
J{y,G) = {j:je{l,.,|l},yjeG}, причем, если существуют индексы з\ е 3{у{1),дО), I = 1,.,5, й > 1, Л < 32 < • • • < За, такие, что уф) = уф) = ■•■ = уф), то д £ J(y(t),дв) для I = 2,., е.
Теорема 14. Пусть задан конфликтно управляемый процесс (6). Тогда, если существует такое множество G, G G соК(Жп), что
J(y(t0),dG)\>\I(x(t0),Rn\G)l (7) то для конфликтно управляемого процесса (6) из начального состояния z° возможно убегание.
Следствие 3. Пусть задан конфликтно управляемый процесс (6). Если существует вектор р G dS и индекс j G {1,., (j,}, такие, что max (p^y-yj) ^0.
Тогда из начального состояния z° возможно убегание.
Теорема 15. Пусть задан конфликтно управляемый процесс (6). И пусть существуют множества Gi, G2 G coK"(Rn) такие, что G G1UG2 для любого • е{1,.i/}, и
J(y(i0),RB \ (Gi U G2))j + №(f0),öG2)| > \ G2)|, (8) тогда из начального состояния z° возможно убегание.
Следствие 4. Пусть задан конфликтно управляемый процесс (б). Существуют гиперплоскости
Н\ = {х е R" | (р,х) = а}, Я2 = {ж G R" | (р,х) = а + б, е > 0}, р G R", а G R, и множества /1 С {1,., u}, J С {1,., /2}, такие, что (р,х°{)^а, геД; р,х°)>а + е, 2G/2 = {1,.,^}\/I; (Ю) (Р,У?) <а + е, j G J; И > |Д|
19
Тогда из начального состояния г° возможно убегание.
В статье [162] рассматривается задача уклонения одного убегающего от группы преследователей в дифференциальной игре второго порядка. Закон движения убегающего Е имеет вид: у = 1/, у(0) = уу(0) - у0, ||г||| ^ 1.
Закон движения преследователя Рг имеет вид: щ = ||«,-|| < 1,г = 1
Д*(0) = х1 ¿¿(0) = Х°{.
Определение поимки - точное совпадение координат преследователя и убегающего. При условии у $ ., х°к} и дискриминации преследователей были получены достаточные условия убегания.
Краткий обзор работы
Представленные в данной диссертационной работе задачи — задачи уклонения от встречи со многими участниками, имеющими равные динамические возможности. В игре участвуют инерционные объекты (исключение - первая задача).
Дифференциальные игры рассматриваются в пространстве М"(п ^ 2).
Работа состоит из трех глав и шести параграфов. Первая глава содержит два параграфа и посвящена нестационарной задаче простого преследования.
Первый параграф носит вспомогательный характер, в нем приведены леммы и определения из выпуклого анализа, которые используются для доказательства теорем и следствий второго параграфа.
Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра и+ц лиц: и преследователей Р\,., Ри и /х убегающих ., Е^. Закон движения преследователя Р* и убегающего Е) имеет вид: щ = В(1)щ, М ^ 1, = г = 1 Уз = 1Ы1 < 1» о) = Ур j = V
Здесь В(Ь) — непрерывная для почти всех Ь ^ ¿о матричная функция такая, что ||< С для почти всех £ ^ ¿о
Определение 13. Для конфликтно управляемого процесса (И) из начального состояния = ., гЦ,., у®), где х*-, у® е Мп, на интервале [¿о, +оо) разрешима задача убегания, если существуют такие измеримые функции \\у^)\\ ^ 1, 2 — 1,. ,/х, £ ^ ¿о» что при любых измеримых функциях ЖСОИ ^ 1, г = 1, • ■ ■, < ^ ¿о» найдется номер ], при котором выполнены неравенства ггг-(£) ф у^Ь) для всех £ ^ ¿о и всех г = 1,., и.
При этом в момент í ^ ¿о управления убегающих формируются на основе уже реализовавшейся позиции = (а;^),. ,г„(£),у1 (£),. ,у^(£)), где х¿(¿), Е Мп, ауправления преследователей — на основе любой мыслимой информации.
Теорема 16. Пусть задан конфликтно управляемый процесс (11). Если существует непустое выпуклое множество (9 такое, что справедливо (7), то для конфликтно управляемого процесса (11) из начального состояния г° возможно убегание.
Следствие 5. Пусть задан конфликтно управляемый процесс (11). Если существует вектор р 6 дБ и индекс 3 6 {1,., /х}, такие, что тах (р,хЧ-у°Л ^ 0.
Тогда из начального состояния возможно убегание.
Следствие 6. Пусть законы движения преследователя Рг и убегающего Е] имеют вид:
Х1 = Ах{ + щ, |И| ^ 1, г=1,.,1/, ^ щ = Ауз + Ы ^ 1, у;(¿о) = Ур = 1,., /х, где А — матрица порядка п, и пусть существует такое непустое выпуклое множество что \3{у{Ьй),дСг)\ > |/(а;(^о),Кп \ (т)|. Тогда из начального состояния в дифференциальной игре (12) для любого Т > £ о на отрезке [¿о,Т] происходит уклонение от встречи.
Теорема 17. Пусть задан конфликтно управляемый процесс (11). И пусть существуют множества 6ч,(?2 € соК(Шп) такие, что х^ £ Сп и С2 для любого г е {1,., г^}, и выполнено (8), тогда из начального состояния г° возможно убегание.
Следствие 7. Пусть задан конфликтно управляемый процесс (11). Существуют гиперплоскости (9) и множества /1 С {1,., и}, 3 С {1,., такие, что (10). Тогда из начального состояния г° возможно убегание.
Следствие 8. Пусть существуют множества Сп, 6?2 € со К {Ж71) такие, что х® £ и(?2, для любого г € {1,., г/}, и выполнено неравенство (8). Тогда для дифференциальной игры (12) из начального состояния г° для любого Т > £ о на отрезке [£о, Т] происходит уклонение от встречи.
Факты, полученные в первой главе, доказаны в [158] в случае движения игроков, заданного системой с постоянной матрицей.
Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена задачам уклонения от группы инерционных объектов. В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра второго порядка в которой участвуют к преследователей ., Рк и убегающий Е. Закон движения каждого из преследователей имеет вид:
Дополнительно предполагается, что убегающий в процессе игры не покидает пределы множества В вида Б = {у | у е Мп, {Я],у) ^ 0,э = 1,. ,тп}, где д] — единичные векторы, такого что 1пШ Ф 0.
Хг=Щ, \\щ\\ ^ 1,
Закон движения убегающего имеет вид:
13) у = ь, 1МЮ, у(о)=л т=у°
14)
Ъ = щ- V,
0) = г? = гс? - у0,
0) = ^ = *?-у°.
Определение 14. Из начального состояния = (г®, ,., 2°, ¿°) в дифференциальной игре (15) возможно убегание, если по любым измеримым функциям «¿(¿), 0 ^ £ ^ +оо, щ{£) 6 1?, г 6 можно построить такую измеримую функцию V(¿), 0 < I ^ +оо, € Я, что ||^(£)|| Ф 0 для всех г € Щ, ¿ ^ 0, и у(Ь) € В для всех £ ^ 0.
При этом в момент £ ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации о состоянии (^(з), ¿^(й), ., г^в), ¿а,(й)) при в ^ £ и о значениях щ({), % е М/с, в тот же момент времени. Управление преследователей в момент $ формируется на основе информации о состоянии г(Ь) дифференциальной игры (15).
Теорема 18. Если к < п - 1, у0 е О, то в игре (15) из начального состояния г° = (г®, ,., г®, ¿1) возможно убегание.
Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра третьего порядка, в которой участвуют к преследователей Р\,., Рк и убегающий Е. Закон движения каждого из преследователей имеет Р* вид: х\ = щ, М ^ 1,
Закон движения убегающего имеет Е вид:
У=у, 1МК1,
У(0) = Л 2/(0) = 2/°, у(0) = У°
16)
Z'i = Ui-V, Zi(0) = z? = x\~ y
ДО) = ¿? = ¿? - y0, Ш = '¿i y0.
Определение 15. Говорят, из начального состояния в дифференциальной игре (18) возможно убегание, если по любым измеримым функциям 0 ^ t < +оо, Ui(t) £ S, i G Nk, можно построить такую измеримую функцию v(t), 0 ^ t < +оо, v(t) G S, что ||zi(£)|| ф 0 для любого i G Njt, t ^ 0. При этом в момент времени t ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации о состоянии (2i(s),ii(s),2i(s),.,2;fc(s),ijb(s),5jt(s)) при s ^ t и означениях i G Njt, в тот же момент времени. Управление преследователей в момент t ^ 0 формируется на основе информации о состоянии z(t) дифференциальной игры (18).
Теорема 19. Если 0 ф со{ U ¿г0}, то в игре (18) из начального состояния г° = (2°, ¿1, ¿1,., возможно убегание.
Третья глава состоит из двух параграфов и посвящена задачам уклонения от «мягкой поимки». В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра второго порядка, в которой участвуют к преследователей Р\,., и убегающий Е.
Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид: к i=i
Xi + aài + bx.i = uh || и,-1| ^ 1 i(0) = af, ¿,(0) = il
Закон движения убегающего Е имеет вид: у + ау + by = v, \\v\\^ 1, у{ 0) = У°, т = У0.
Ai, Аг, Ai ф Лг — отрицательные характеристические числа. Определение 16. Говорят, что в дифференциальной игре (19), (20) возможно убегание, если существует такая кусочно-постоянная функция v(t), v(i)|| ^ 1, t ^ 0, ЧТО При любых КуСОЧНО-НОСТОЯННЫХ фуНКЦИЯХ Ui(t), г(£)|| ^ 1, i = 1,.,к, t ^ 0, пара (Xi(t),y(t)) для t ^ 0 не попадает на терминальное множество М = {Xi(t) = y(t),Xi(t) = y(t),t ^ 0}.
При этом в момент t ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации (y(s), y(s), я®, ., х°к, х®), s ^ t, и о значениях г = 1,. ,k, в тот же момент времени. Управление преследователей формируется на основе информации о состоянии дифференциальной игры (19), (20).
Теорема 20. В дифференциальной игре (19), (20) возможно убегание. Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра третьего порядка, в которой участвуют три преследователя Р2, Рз и два убегающих Е\,Е2.
Закон движения преследователя Р-1 имеет вид: y(t), y(t),xi(t), ¿1 (£),., xk{t),xk{t))
Xi = щ, |Ы| ^ 1,
21)
Закон движения убегающего Е^ имеет вид: у№ = У1 УА0) = т = у"
Вместо систем (21), (22) рассмотрим систему: у = щ - V], %(о) = 4 = ~ у%
23)
Определение 17. Говорят, из начального состояния в дифференциальной игре (23) возможно убегание, если по любым измеримым функциям 0 ^ £ < +оо, е г = 1,2,3, можно построить такие измеримые функции е 5, 0 ^ £ < +оо, з = 1,2, что найдется номер й £ {1,2} такой, что для всех г 6 {1,2,3}, £ ^ 0, справедливо неравенство ||^-8(£)|| + рг5(£)|| > 0.
При этом в момент £ ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации о состоянии дифференциальной игры при т ^ £ и о значениях г е {1,2,3}, в тот же момент времени. Управление преследователей в момент £ ^ О формируется на основе информации о состоянии г(£) дифференциальной игры (23).
Теорема 21. В дифференциальной игре (23) из начального состояния г° возможно убегание.
11 (г), ¿11 (г), ¿11 (г), . . . , ¿32(т), ¿32(г), ¿32(г))
Публикации автора по теме диссертации
1. Чиркова Л.С. Уклонение от группы инерционных объектов// Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. №3. с. 45-53.
2. Чиркова Л.С. Уклонение от группы инерционных объектов в конусе// Известия ИМИ. №2(19). 2000. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 59-72.
3. Vagin D.A., Chirkova L.S., Petrov N.N. About some problems of group pursuit// Control Applications of Optimization 11th IFAC INTERNATIONAL WORKSHOP. 3-6 July. 2000. Abstracts. S-P. 2000. p. 197-198.
4. Чиркова JI. С. Нестационарная задача простого преследования со многими убегающими// Пятая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция: Тезисы докладов. Часть 10. Изд-во Ижевск: УдГУ. 2001. с. 39.
5. Чиркова Л.С. Убегание в одной задаче о «мягкой поимке»// Известия ИМИ. №2(30). 2004. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 97-106.
6. Чиркова Л.С. Уклонение в задаче о «мягкой поимке»// Шестая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция: Материалы конференции. Часть 2. Ижевск: УдГУ. 2004.
7. Чиркова Л.С. Уклонение от группы инерционных объектов// Известия ИМИ. №4(34). 2005. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 11-40.
8. Чиркова Л. С. Некоторые задачи уклонения от многих преследователей// Известия ИМИ. 2(36). 2006. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 105-108.
9. Чиркова Л.С. Уклонение от группы инерционных объектов// Известия ИМИ. 3(37). 2006. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 167-168.
1. Азамов А. О. О задаче убегания по заданной кривой// Прикладная математика и механика. 1982. выи. 4. С. 694-697.
2. Азамов А.О. Об альтернативе для игр преследования на бесконечном интервале времени// Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50. вып. 4. С. 561-570.
3. Азамов А.О. О существовании стратегии с кусочно-постоянными реализациями// Математические заметки. 1987. Т. 41. № 5. С. 718-723.
4. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967.
5. Альбус Дж., Мейстел А., Чикрий A.A., Белоусов A.A., Козлов А.И. Об игровой задаче «мягкой посадки» для движущихся объектов// Искусственный интеллект. 2000. № 3. С. 404-411.
6. Бардадым Т.А. Задача преследования с простым движением и разнотипными ограничениями на управления// Кибернетика. 1982. № 2. С. 80-84.
7. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. М.: ИФМЛ. 1961.
8. Благодатпских А.И. Две задачи группового преследования// Известия ИМИ. №1(21). 2001. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 3-14.
9. Благодатпских А.И. Пример Понтрягииа со многими убегающими// Известия ИМИ. №2(25). 2002. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 23-26.
10. Благодатских А.И. О некоторых задачах группового преследования// Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики: Труды международной конференции. Т.2. Узбекистан. Ташкент. 2004. с. 33-36.
11. Благодатских А.И. О двух колебательных конфликтно управляемых процессах со многими участниками// Известия ИМИ. №2(32). 2005. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 3-22.
12. Благодатских А.И. Об одном колебательном конфликтно управляемом процессе со многими участниками// Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. №2. с. 43-45.
13. Вагин Д.А., Петров H.H. Задача преследования группы жестко скоординированных убегающих// Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. С. 75-79.
14. Вагин Д.А., Петров H.H. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. вып. 2. С. 234-241.
15. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. М.: Сов. радио. 1980.
16. Васильева Л.Г. Об одной дифференциальной игре убегания// Дифференциальные, бескоалиционные, кооперативные и статистические игры. Калинин.: Изд-во Калининск. ун-та. 1979. С. 26-33.
17. Габриэлян М.С., Субботин А.И. Игровые задачи о встречи с т целевыми множествами// Прикладная математика и механика. 1979. вып. 2. С. 204-208.
18. Григоренко H.JI. Игра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего// Вестник МГУ. Серия вычисл. математика и кибернетика. 1983. № 1. С. 41-47.
19. Григоренко H.JI. Преследование несколькими управляемыми объектами двух убегающих// ДАН СССР. 1985. Т. 282. № 5. С. 1051-1054.
20. Григоренко H.JI. Задача преследования несколькими объектами// Труды математического ин-та АН СССР. 1984. Т. 166. С. 61-75.
21. Григоренко H.JI. О квазилинейной задаче преследования несколькими объектами// ДАН СССР. 1977. Т. 259. № 5. С. 1040-1043.
22. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Московского ун-та. 1990.
23. Губарев Е.В. Убегание от группы преследователей// Автоматика. 1992. № 5. С. 66-70.
24. Гусятников П.Б. Дифферепциальиая игра убегания т лиц// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. № 6. С. 22-32.
25. Гусятников П.Б. Теория дифференциальных игр. М.: МФТИ. 1982.
26. Гусятников П.Б. Убегание одного нелинейного объекта от нескольких более инертных преследователей// Дифференциальные уравнения. 1976. Т.12. № 2. С. 1316-1324.
27. Гусятников П.Б. Дифференциальная игра убегания// Кибернетика. 1978. № 4. С. 72-77.
28. Гусятников П.Б., Половинкин Е.С. Простая квазилинейная задача преследования// Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44. выи. 5. С. 771-782.
29. Демидов K.B. Дифференциальные игры с переменной структурой группы преследующих и одного убегающего// Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50. вып. 1. С. 155-159.
30. Железное B.C., Иванов М.Н., Маслов Е.П. Об одной задаче уклонения в пространстве// Автоматика и телемеханика. 1992. № 5. С. 11-22.
31. Жимовский В. Два следствия решения одной задачи уклонения от многих преследователей// Bull. Acad. Sei. Ser. math. 1980. Т. 28. № 3-4. С. 155-159.
32. Жуковский В.И., Чикрий A.A. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наук, думка, 1994.
33. Зак В.Л. Об одной задаче уклонения от многих преследователей // Прикладная математика и механика. 1979. 43. № 3. С. 57-71.
34. Зак В.Л. Задача уклонения от многих преследователей// ДАН СССР. 1982. Т. 265. № 5. С. 1051-1053.
35. Зак В.Л. Кусочно-программная стратегия уклонения от многих преследователей// Ин-т проблем механики АН СССР. Препринт. 1982. №199.
36. Зак В.Л. Построение стратегии уклонения от нескольких преследователей для динамических систем// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. № 4. С. 143-147.
37. Зонневенд Д. Об одном методе преследования// ДАН СССР. 1972. Т. 204. № 6. С. 1296-1299.
38. Зонневенд Д. Об одном типе превосходства игрока// ДАН СССР. 1973. Т. 208. № 3. С. 520-523.
39. Ибрагимов Г.И. Об одной задаче оптимального преследования несколькими объектами одного// Прикладная математика и механика. 1998.Т.62. вып. 2. С. 199-205.
40. Иванов Р.П. К вопросу о мягкой поимке в дифференциальных играх со многими догоняющими и одним уклоняющимся игроком// Труды Математического института АН СССР. 1988. Т. 185. С. 74-83.
41. Иванов Р.П., Маслов Е.П. О сравнении двух методов преследования в задаче о поочередной встрече// Автоматика и телемеханика. 1983. № 7. С. 38-43.
42. Иванов Р.П. Простое преследование-убегание на компакте// ДАН СССР. 1980. Т. 254. № б. С. 1318-1321.
43. Иванов Р.П. Измеримые стратегии в дифференциальных играх// Математический сборник. 1989. Т. 180. № 1. С. 119-135.
44. Иванов Р.П., Ледяев Ю.С. Оптимальность времени преследования в диффернциальной игре многих объектов с простым движением// Труды ма-тематическ. ии-та АН СССР. 1981. Т. 158. С. 87-97.
45. Ковшов A.M. Параллельные стратегии в играх преследования на сфере// Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. канд. наук. СПб. 1996. 12с.
46. Константинов Р.В. О квазилинейной дифференциальной игре преследования с простой динамиков при наличии фазового ограничения// Математические заметки. 2001. Т. 69. выи. 4. С. 581-590.
47. Красовский H.H. Игровые задачи о встречи движений. М.: Наука. 1970.
48. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974.
49. Красовский H.H. Управление динамической системой: задаче о минимуме гарантированного результата. М.: Наука. 1985.
50. Курагповский К. Топология. М.: Мир. 1966.
51. Кучкаров А.Ш., Рихсиев Б. Б. О решении одной задачи преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 2001. № 8. С. 41-45.
52. Лагунов В.Н. Введение в дифференциальные игры. Вильнюс. 1979.
53. Лагунова Н.В. Задача убегания от четырех преследователей// Вестник МГУ. Серия 15. 1992. № 3. С. 57-63.
54. Малофеев O.A. Дифференциальные игры простого преследования на многообразиях// Математические методы организации и управления в сложных системах. Калинин: Изд-во Калинин, ун-та. 1982. С. 69-74.
55. Маслов Е.П., Рубинович Е.Я. Дифференциальные игры преследования-уклонения с групповой целыо// Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ. 1991. Т. 32. С. 32-59.
56. Мезенцев A.B. О некоторых классах дифференциальных игр// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971. № 6. С. 3-7.
57. Мезенцев A.B. Дифференциальные игры с интегральными ограничениями. М.: МГУ. 1988.
58. Меликян A.A. Оптимальное взаимодействие двух преследователей в игровой задаче// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1981. №2. С. 49-56.
59. Меликян A.A., Овакимян Н.В. Игровая задача простого преследования на многообразиях// Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. выи. 1. С. 54-62.
60. Меликян A.A., Овакимян Н.В. Игровая задача простого преследования на двумерном конусе// Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55.вып. 5. С. 741-750.
61. Мищенко Е.Ф., Никольский М.С., Сатимов Н.Ю. Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц// Труды математич. инта АН СССР. 1977. Т. 143. С. 105-128.
62. Никольский М.С. О линейной задаче убегания// ДАН СССР. 1974. Т. 218. № 5. С. 1024-1027.
63. Никольский М.С. О квазилинейной задаче убегания// ДАН СССР. 1975. Т. 221. № 3. С. 539-542.
64. Никольский М.С. Первый прямой метод Л.С.Понтрягина в дифференциальных играх. М.: МГУ. 1984.
65. Остапенко В.В. О нелинейной задаче убегания// Кибернетика. 1978. № 3. С. 106-112.
66. Остапенко В.В. Задача уклонения от встречи// Автоматика и телемеханика. 1980. № 4. С. 16-23.
67. Патланэюоглу О.М. О потенциале игрока в обобщенном контрольном примере Л.С.Понтрягина// Автоматика. 1992. Ш 6. С. 17-26.
68. Пацко B.C. Дифференциальная игра уклонения на плоскости// Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. вып. 4. С. 604-608.
69. Пацко B.C. Дифференциальная игра качества второго порядка// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. вып. 4. С. 596-605.
70. Пашков А.Г., Терехов С.Д. Дифференциальные игры сближения двух динамических объектов с третьим// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 3. С. 66-71.
71. Петров H.H. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1997.
72. Петров H.H. Об управляемости автономных систем// Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 4. С. 606-617.
73. Петрив H.H. Доказательство существования значения игры преследования с ограниченным временем// Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 5. С. 784-797.
74. Петрив H.H. Существование значения игры преследования// Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7. № 5. С. 827-839.
75. Петров H.H. О существовании значения игры преследования// ДАН СССР. 1970. Т. 190. № 6. С. 1289-1291.
76. Петров H.H. Некоторые экстремальные задачи поиска на графах// Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 5. С. 821-827.
77. Петров H.H. Преследование невидимого подвижного объекта// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 11. С. 1563-1565.
78. Петров H.H., Прокопенко В.А. Об одной задаче преследования группы убегающих// Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 4. С. 724-726.
79. Петров H.H., Петров Н.Никандр. О дифференциальной игре «казаки-разбойники»// Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 8. С. 1366-1374.
80. Петров H.H. Простое преследование при наличии фазовых ограничений// Дел. в ВИНИТИ 20 марта 1984г. № 1684. 14с.
81. Петров H.H. Одна оценка в дифференциальной игре со многими убегающими// Вестник Лениград. ун-та. 1985. № 22. С. 107-109.
82. Петров H.H. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. вып. 6. С. 1030-1033.
83. Петров H.H. Одна задача простого преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 1992. № 5. С. 22-26.
84. Петров H.H. Квазилинейные конфликтно-управляемые процессы с дополнительными ограничениями// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. вып. 6. С. 61-68.
85. Петров H.H. Об одном классе задач группового преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 1994. № 3. С. 42-49.
86. Петров H.H. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Математика. Изв. вузов. 1994. № 4(383). С. 24-29.
87. Петров H.H. Об одной задаче преследования группы убегающих// Автоматика и телемеханика. 1996. № 6. С. 48-54.
88. Петров H.H. Многократная поимка в примере Л.С.Понтрягина с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. вып. 5. С. 747-754.
89. Петров H.H. Простое преследование жесткоеоединенных убегающих // Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. С. 89-95.
90. Петров H.H. Нестационарный пример Понтрягина с фазовыми ограничениями/ / Проблемы управления и информатики. 2000. № 4. С. 18-24.
91. Петров H.H. Одна задача уклонения от многих преследователей// Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. № 1. С. 41-43.
92. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во ЛГУ. 1977.
93. Петросян Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования. Новосибирск: Наука. 1983.
94. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения.Л.: ЛГУ. 1982.
95. Пилипепко Ю.В., Чикрий A.A. Колебательные конфликтно-управляемые процессы// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. вып. 3. С. 3-14.
96. Питцык М.В., Чикрий A.A. О задаче группового преследования// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. вып. 5. С. 730-736.
97. Питцык М.В. О методе группового преследования// Математические методы исследования оптимизационных задач. Киев: Изд-во ин-та Кибернетики АН УССР. 1984.
98. Понтрягин JI.C. Избранные научные труды. Т.2. М.: Наука. 1988.
99. Понтрягин JI.C. Линейная дифференциальная игра убегания// Труды математического ин-та АН СССР. 1971. Т. 112. С. 30-63.
100. Понтрягин JI.C. О линейных дифференциальных играх I// ДАН СССР. 1967. Т. 174. № 6. С. 1278-1280.
101. Понтрягин JI.C, О линейных дифференциальных играх II// ДАН СССР. 1967. Т. 175. № 4. С. 764-766.
102. Понтрягин JI.C., Мищенко Е.Ф. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого// ДАН СССР. 1969. Т. 189. № 4. С. 721-723.
103. Понтрягин JI.C., Мищенко Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх// Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7. № 3. С. 436-445.
104. Понтрягин JI.C.,Болтянский В.Г.,Гамкрелидзе Р.В.,Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1969.
105. Прокопович П.В., Чикрий A.A. Одна дифференциальная игра убегания// ДАН УССР. Серия А. 1989. № 1. С. 71-74.
106. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами// Кибернетика. 1976. № 3. С. 145-146.
107. Пшеничный Б.Н. О линейных дифференциальных играх// Кибернетика. 1968. № 1. С. 47-53.
108. Пшеничный Б.Н. О задаче убегания// Кибернетика. 1975. № 4. С. 120-127.
109. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев: Наук, думка. 1992.
110. Пшеничный Б.Н., Раппопорт И. С. К решению задачи простого преследования несколькими управляемыми объектами// Ин-т Кибернетики АН УССР. Препринт 79-47. 1979. С. 3-6.
111. Пшеничный Б.Н., Раппопорт И. С. Об одной задаче группового преследования// Кибернетика. 1979. № 6. С. 145-146.
112. Пшеничный Б.Н., Чикрий A.A. Задача об уклонении от встречи в дифференциальных играх// ЖВМ И МФ. 1974. Т. 14. № 6. С. 416-427.
113. Пшеничный Б.Н., Чикрий A.A. Дифференциальная игра уклонения// Известия АН СССР. Техническая кибернентика. 1977. № 1. С. 3-9.
114. Пшеничный Б.Н., Чикрий A.A., Раппопорт И.С. Преследование несколькими управляемыми объектами при наличии ограничений// ДАН СССР. 1981. Т. 259. № 4. С. 785-789.
115. Пшеничный Б.Н., Чикрий A.A., Раппопорт И.С. Групповое преследование в дифференциальных играх// Wiss. Z. Jechii. Hoclisch. Leipzig. 1982. Т. 6. № 1. С. 13-27.
116. Пшеничный Б.Н., Чикрий A.A., Раппопорт И.С. Эффективный метод решения дифференциальных игр со многими участниками// ДАН СССР.1981. Т. 256. № 3. С. 530-535.
117. Рихсиев Б. Б. Об оптимальности времени преследования в дифференциальных играх многих лиц с простым движением// Известия АН УзбССР. Серия физ-мат наук. 1084. № 4. С. 37-39.
118. Рихсиев Б.Б. Дифференциальные игры с простым движением. Ташкент: Фан. 1989.
119. Рихсиев Б.Б., Ибрагимов Г.И. Простое преследование в кубе// Изв. АН УзбССР. Серия физ-мат наук. 1990. № 2. С. 42-45.
120. Рокафелпар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.
121. Савинов В.Б. Дифференциальная игра преследования одним преследователем нескольких убегающих// Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 1995. Т. 3. С. 147-171.
122. Сатимов Н.Ю. Об одном способе уклонения в дифференциальных играх// Мат. сб. 1976. 99(141). № 3. С. 432-444.
123. Сатимов Н.Ю. Задача убегания в дифференциальных играх с нелинейными управлениями// Автоматика и телемеханика. 1974. № 5. С. 26-33.
124. Сатимов Н.Ю. Задача преследования и убегания для одного класса линейных дифференциальных игр многих лиц// Прикл. мат. и механика. Ташкент: Изд-во Ташкент, ун-та. 1981. № 670. С. 64-75.
125. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. О задачах преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх между группами преследователей и убегающих// ДАН Узб.ССР. 1983. № 4. С. 3-6.
126. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. Об одном классе линейных дифференциальных и дискретных игр между группами преследователей и убегающих// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 7. С. 1208-1214.
127. Сатимов Н.Ю., Азимов А. О., Хайдаров Б.К. Простое преследование многими объектами одного убегающего// ДАН Узб.ССР. 1981. № 12. С. 3-5.
128. Сатимов Н.Ю., Рихсиев Б. Б. Методы решения задачи уклонения от встречи в математической теории управления. Ташкент: Фан. 2000.
129. Сатимов Н.Ю. О задачах избежания взаимных столкновений// ДАН Узб.ССР. 1981. № 2. С. 3-5.
130. Синицын A.B. Построение функции цены в игре преследования несколькими объектами// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. вып. 1. С. 52-57.
131. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981.
132. Тарасьев A.M., Ушаков D.H. Алгоритм построения стабильного моста в линейной задаче сближения с выпуклой целью// Исследования задач минимаксного управления. Свердловск: Изд УНЦ АН СССР. 1985. С. 82-90.
133. Ухоботов В.Н. Метод одномерного проектирования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями общего вида. Челябинск: Изд-во Челябинск, ун-та. 1998.
134. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. № 4. С. 29-36.
135. Черноусько Ф.Л., Меликяи A.A. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука. 1978.
136. Черноусько Ф.Л. Одна задача уклонения от многих преследователей// Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. вып. 1. С. 14-24.
137. Чикрий A.A., Белоусов A.B. Проблема управляемости для конфликтно управляемых процессов// ДАН СССР. 1990. Т. 321. № б. С. 1330-1335.
138. Чикрий A.A. Проблема уклонения от встречи для управляемых динамических объектов// Проблемы управления и информатики. 1996. № 1-2. С. 120-131.
139. Чикрий A.A. Задача уклонения в нелинейных дифференциальных играх// Кибернетика. 1975. № 3. С. 65-69.
140. Чикрий A.A. Задача уклонения в нестацонарных дифференциальных играх// Прикладная математика и механика. 1975. № 5. С. 780-787.
141. Чикрий A.A. Линейная задача убегания от многих преследователей// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1976. № 4. С. 46-50.
142. Чикрий A.A. Достаточные условия в нелинейных дифференциальных играх// ДАН СССР. 1978. Т. 241. № 3. С. 547-551.
143. Чикрий A.A. Достаточные условия в нелинейных дифференциальных играх нескольких лиц// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. № 6. С. 14-21.
144. Чикрий A.A. Нелинейные дифференциальные игры убегания// ДАН СССР. 1979. Т. 246. № 5. С. 1051-1055.
145. Чикрий A.A. Групповое преследование при ограниченных координатах убегающего// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. вып. 6. С. 906-913.
146. Чикрий A.A. Квазилинейные дифференциальные игры со многими участниками// ДАН СССР. 1979. Т. 246. № 6. С. 1306-1309.
147. Чикрий A.A. Квазилинейная задача сближения с участием нескольких лиц// Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. вып. 3. С. 451-455.
148. Чикрий А.А., Магпичии И.И. Квазилинейные конфликтно управляемые процессы с переменной структурой// Проблемы управления и информатики. 1998. № 6. С. 31-41.
149. Чикрий А.А., Питцык М.В. Сочетание усилий преследователей с различными динамическими возможностями// ДАН УССР. 1984. А. № 1. С. 73-76.
150. Чикрий А.А. О задаче уклонения в линейной дифференциальной игре// Автоматика и телемеханика. 1977. № 9. С. 24-29.
151. Чикрий А.А. О задачах убегания при ограниченных фазовых координатах// Кибернетика. 1977. К9- 4. С. 40-45.
152. Чикрий А. А. Дифференциальные игры нескольких лиц// Кибернетика. 1976. № 4. С. 99-101.
153. Чикрий А.А. Об одном способе убегания от нескольких преследователей// Автоматика и телемеханика. 1978. Xs 8. С. 33-38.
154. Чикрий А.А. Метод переменных направлений в нелинейных дифференциальных играх нескольких лиц// Кибернетика. 1984. № 1. С. 48-54.
155. Чикрий А.А., Шишкина Н.В. О задаче группового преследования при наличии фазовых ограничений// Автоматика и телемеханика. 1985. № 2. С. 59-69.
156. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наук, думка. 1992.
157. Чикрий А.А. Дифференциальные игры с несколькими преследователями// Mathematical Control Theory. Banach Center Publications. 1985. V.14. C. 81-107.
158. Чикрий А.А., Губарев E.B. Достаточные условия разрешимости глобальной задачи убегания для нелинейных дифференциальных игр// Киев. 1992. 38 с.
159. Чикрий A.A., Прокопович П.В. Линейная задача убегания при взаимодействии групп управляемых объектов// Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. вып. 4. С. 12-21.
160. Чикрий A.A., Прокопович П.В. Задача убегания от группы для однотипных инерционных объектов// Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 6. С. 998-1004.
161. Чикрий A.A., Прокопович П.В. О задаче убегания при взаимодействии групп движущихся объектов// Кибернетика. 1989. № 5. С. 59-63,78.
162. Чикрий A.A. Задача убегания при взаимодействии групп линейных объектов// ДАН СССР. 1993. Т. 333. № 5. С. 591-593.
163. Чикрий A.A., Калашникова С.Ф. Преследование управляемым объектом группы убегающих// Кибернетика. 1987. № 4. С. 1-8.
164. Чиркова JI.C. Уклонение от группы инерционных объектов// Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. №3. с. 45-53.
165. Чиркова Л.С. Уклонение от группы инерционных объектов в конусе// Известия ИМИ. №2(19). 2000. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 59-72.
166. Чиркова Л.С. Нестационарная задача простого преследования со многими убегающими// Пятая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция: Тезисы докладов. Часть 10. Изд-во Ижевск: УдГУ. 2001. с. 39.
167. Чиркова Л. С. Убегание в одной задаче о «мягкой поимке»// Известия ИМИ. №2(30). 2004. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 97-106.
168. Чиркова Л.С. Уклонение в задаче о «мягкой поимке»// Шестая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция: Материалы конференции. Часть 2. Ижевск: УдГУ. 2004.
169. Чиркова JI.C. Уклонение от группы инерционных объектов// Известия ИМИ. №4(34). 2005. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 11-40.
170. Чиркова JI.C. Некоторые задачи уклонения от многих преследователей// Известия ИМИ. 2(36). 200G. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 105-108.
171. Чиркова JI.C. Уклонение от группы инерционных объектов// Известия ИМИ. 3(37). 2006. Ижевск: Изд-во УдГУ. с. 167-168.
172. Чхартишвили А.Г. Об одном геометрическом свойстве следящей области в задаче поиска// Вестник МГУ. Серия 1. 1992. № 3. С. 7-10.
173. Чхартишвили А.Г., Шикин Е.В. О простых играх поиска на бесконечном круглом цилиндре// Математические заметки. 1995. Т. 58. № 5. С. 762-772.
174. Хайдаров Б. К. Позиционная /-поимка в игре одного убегающего и нескольких преследователей// Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48. вып. 4. С. 574-579.
175. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир. 1970.
176. Шевченко И.И. Простейшая модель поочередного преследования// Автоматика и телемеханика. 1982. № 4. С. 38-42.
177. Шевченко И.И. Поочередное преследование трех убегающих// Автоматика и телемеханика. 1983. 7. С. 70-75.
178. Шевченко И.И. О сближении с коалицией// Автоматика и телемеханика, 1986. № 1. С. 47-55.
179. Фазылов А.З. К задаче избежания столкновений// Изв. АН УзбССР. Серия физ-мат наук. 1987. № 3. С. 30-36.
180. Югай Л.П. Об /-уклонении в линейной дифференциальной игре многих лиц// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 5. С. 840-845.
181. Югай Л.П. Об одном достаточном условии уклонения по направлению// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 9. С. 1291-1292.
182. Berkovitz L.D. Differential game of generalized pursuit and evasion// SIAM J. Contr. and Optimiz. 1986. V. 24. № 3. p. 361-373.
183. Borowko P., Rzymowski W. Avoidance of many pursuers in the simple motion case// J. Math. Analys. Appl. 1985. P. 111.
184. Borowko P., Rzymowski W., Stachura A. Evasion from many pursuers in the simple case// J. Math. Anal, and Appl. 1988. V. 135. № 1. p. 75-80.
185. Chikrii A.A. On a method of pursuit in «trachs». Дои. Нац. АН Укр. 2000. № 6. p. 109-113.
186. Chikrii A.A. The problem of avoidance for controlled dynamic objects// Game Theory and Appl. 1997. V. III. p. 7-20.
187. Chikrii A. A., Prvkopovich P. V. Linear Avoidance in the case of interaction of controlled objects groups// Annals of the International Society of Dynamic Games, New Trends in Dynamics Games and Applications, Birkhauser. 1995. № 3. P. 259-269.
188. Chodun W. Differential games of evasion with many pursuers// J. Math. Anal, and Appl. 1989. V. 142. № 2. p.370-389.
189. Chodun W. Avoidance of many pursuers in differential games described by differential inclusions// J. Math. Anal, and Appl. 1988. p.135.
190. Chodun W. Avoidance of many pursuers in differential games described by k-order differential equations// J. Math. Anal, and Appl. 1988. p.76.
191. Flynn J.O. Lion and Mann: the boundary constraint// SIAM. J. Control. 1971. V 11. № 3. p.397-411.
192. Friedman A. Differential Games. New York: Wiley Intersci. 1971.
193. Gamkrelidze R. V., Kharatishvili G.L. A differential game of evasion with nonlinear control// SIAM J. Control. 1974. V 12. № 2. P. 332-349.
194. Hajek 0. Pursuit Games. New York: Acad. Press. 1975.
195. Kaskosz B. On a nonlinear evasion problem// SIAM J. Control. 1977. V 15. № 4. P. 661-673.
196. Leitman G., Lin H.S. Evasion in the plane// Lect. Notes Contr. Inform. Sci. 1978. № 6. p. 255-263.
197. Melikyan A.A. Structure of the value function in pursuit-evasion games on the surfaces of revolution// Кибернетика и системный анализ. 2002. № 3. С. 155-162.
198. Petrov N.N. Group pursuit with phase restrictions// International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. 1998. V 7. № 2/3. p.179-187.
199. Petrov N.N. About one Pursuit Problem with many Evaders// Game Theory and Applications. 2001. V. VI. p. 82-88.
200. Rzymowski W. On the game of n+1 cars// J. Math. Analys. Appl. 1984. P. 99.
201. Rzymowski W. Method of construction of the evasion strategy for differential games with many pursuers// Dissertationes Math. CCXLVII. 1986. P. 3-44.
202. Rzymowski W. Avoidence of one pursuer// J. Math. Analys. Appl. 1986. P. 120.
203. Rzymowski W. Method of construction of the evasion strategy for differential game with many evaders// Roszpr. mat. 1986. № 247. 48p.
204. Vagin D.A., Chirkova L.S., Petrov N.N. About some problems of group pursuit// Control Applications of Optimization lltli IFAC INTERNATIONAL WORKSHOP, 3-6 July, 2000. Abstracts, S-P. 2000, p. 197-198.
205. Vagin D.A., Petrov N.N. On One Problem of Pursuit of a Group of Evaders// International Conference Logic, Game Theory and Social Choice, S-P. 2001, p. 204-205.
206. Vagin D.A., Petrov N.N. The Two Problems of Group Pursuit// The Tenth International Symposium of Dynamic Games and Applications. Proceedings, V2, S-P. 2002, p. 691-695.
207. Yong J. On differential evasion games// SIAM J. Contr. and Optiiniz. 1988. V. 26. № 1. p. 1-22.
