Преследование жестко скоординированных убегающих тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Простое преследование жестко скоординированных убегающих

§ 1.1. Вспомогательные результаты

§ 1.2. Простое преследование жестко скоординированных убегающих

§ 1.3. Простое преследование жестко скоординированных убегающих с фазовыми ограничениями

§ 1.4. Простое преследование двух жестко скоординированных убегающих

Глава 2. Преследование жестко скоординированных убегающих в примере Понтрягина

§ 2.1. Вспомогательные результаты

§ 2.2. Преследование жестко скоординированных убегающих в примере Понтрягина

§ 2.3. Преследование жестко скоординированных убегающих с фазовыми ограничениями в примере Понтрягина

В предлагаемой работе рассматриваются дифференциальные игры преследования нескольких управляемых объектов группой управляемых объектов. Потребность изучения таких задач возникает, например, при • решении ряда прикладных задач из механики, экономики, военного дела и некоторых других областей.

Одной из первых работ в этой области, по всей видимости, следует считать работу Г. Штейнгауза, опубликованную в 1925 году, в которой он формулирует задачу преследования как дифференциальную игру преследования. Становление теории дифференциальных игр связано с исследованиями Р. Айзекса, А. Брайсона, У. Флеминга, Ю. То, Б. Н. Пшеничного, Л. А. Матроска.

Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли академики Н. Н. Красовский и Л. С. Понтрягин.

К настоящему времени теория дифференциальных игр получила существенное развитие.

В первой главе диссертации рассматривается задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, использующих одно и то же управление, при условии, что скорости убегающих и преследователей по норме не превосходят единицы.

В работе [115] Б. Н. Пшеничного рассматривалась задача простого преследования группой преследователей одного убегающего, при условии, что скорости убегающего и преследователей по норме не превосходят единицы. Были получены необходимые и достаточные условия поимки.

В работе [144] Ф. Л. Черноусько рассматривалась задача уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследующих точек, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Был построен такой способ управления, который обеспечивает уклонение от всех преследователей на конечное расстояние, причем движение уклоняющейся точки остается в фиксированной окрестности заданного движения.

Указанные работы были, по существу, первыми работами, посвящен-иыми задаче группового преследования группой преследователей одного убегающего.

В работе [20] Н. Л. Григоренко получены необходимые и достаточные условия уклонения от встречи одного убегающего от нескольких преследователей при условии, что убегающий и преследователи обладают простым движением, и множество управлений каждого из игроков - один и тот же выпуклый компакт.

Работа [17] обобщает результат Б. Н. Пшеничного на случай I - поимки.

В работе [165] Б. К. Хайдаров рассмотрел задачу позиционной I -поимки одного убегающего группой преследователей при условии, что каждый из игроков обладает простым движением.

В работах [44, 126] получены условия оптимальности времени преследования в дифференциальной игре одного убегающего и нескольких преследователей, движение которых является простым.

В работе [22] Н. Л. Григоренко получены необходимые и достаточные условия г - кратной поимки одного убегающего группой преследователей при условии, что все игроки обладают простым движением с максимальной по норме скоростью, равной единице.

В работе [42] Р. П. Иванов рассмотрел задачу простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что убегающий не покидает пределы выпуклого компакта с непустой внутренностью. Было доказано, что если число преследователей меньше размерности множества, то будет уклонение, иначе - поимка и получена оценка времени поимки.

Работа [82] Н. Н. Петрова обобщает результат Р. П. Иванова на случай, когда убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью.

Задачи простого преследования с "линией жизни" рассмотрены в [100].

А. М. Ковшов [46] рассмотрел задачу простого преследования одного убегающего группой преследователей на сфере.

По всей видимости, первой работой, посвященной задаче преследования группой преследователей группы убегающих была работа [81]. В данной работе рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы и целью преследователей является поимка всех убегающих. Были получены достаточные условия уклонения от встречи и получены оценки сверху и снизу минимального числа убегающих, уклоняющихся от заданного числа преследователей из любых начальных позиций.

Работа [158] обобщает результаты предыдущей работы на линейные дифференциальные игры.

Хотя с момента первой публикации, посвященной задаче преследования группой преследователей группы убегающих прошло уже 20 лет, число публикаций посвященных данной задаче невелико.

В работе [80] рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы, каждый преследователь ловит не более одного убегающего, а убегающие в начальный момент времени выбирают свое управление на интервал [0, оо). Были получены необходимые и достаточные условия поимки.

В работах [55, 160] рассматривалась задача преследования четырьмя преследователями на плоскости двух убегающих.

В работе [131] Н. Ю. Сатимов и М. Ш. Маматов рассмотрели задачу преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что преследователи и убегающие обладают простым движением с единичной по норме максимальной скоростью и, убегающие, кроме того, используют одно и то же управление (жестко скоординированные убегающие). Цель группы преследователей - поймать хотя бы одного убегающего. Были приведены достаточные условия поимки.

Работа [94] дополняет предыдущую работу.

Среди других работ, посвященных задаче простого преследования, отметим работы [1, 2, 8, 18, 31, 57, 63, 64, 103, 133, 135, 155, 167, 168, 172].

Остановимся коротко на содержании первой главы диссертации.

§1 носит вспомогательный характер и посвящен понятию положительного базиса.

Определение 1. [74]. Векторы а^ а2,.-.,щ Е Як образуют положительный базис Як, если для любого х Е Як существуют положительные вещественные числа а\,а2, . ,оц такие, что х = а\а\ + «202 Н-----Ь свд.

Приводятся некоторые новые свойства положительного базиса. В §2 данной главы рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц.

В пространстве Як(к > 2) рассматривается дифференциальная игра п + т лиц: п преследователей Р\, Р2,.,Рп и т убегающих Е\, Е2,., Ет. Закон движения каждого из преследователей Р{ имеет вид: щ = щ, || щ || < 1. (1)

Закон движения каждого из убегающих Е) имеет вид: = \\у\\<1. (2)

Здесь Хг, уу, щ, V Е Як. При £ = 0 заданы начальные условия

0) = х1 у,{ 0) = у% причем Ф

Здесь и всюду далее, если не оговорено специально г = 1,2 3 = 1,2,., т. Пусть Т > 0 и а - некоторое конечное разбиение

0 = £0 < ¿1 < <2 < • •' < < ¿д+1 = Т отрезка [0, Т].

Определение 2. Кусочно-программной стратегией V убегающих Ej, соответствующей разбиению а, будем называть семейство отобрао/сений é, I = 0,1,. ,q, ставящих в соответствие величинам

U, Xi{ti), yj(ti), min min || Xi{t) - yj(t) ||) (3) i6[0,ii] г измеримую функцию v(t), определенную для t е [ti, и такую, что Il v(t) ||<i, te [th ti+l).

Отметим, что действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который по величинам (3) для всех убегающих Ej выбирает одно и то же управление v(t), te ¿г+i).

ОпределениеЗ. Кусочно-программной контрстратегией U{ преследователя Pi, соответствующей разбиению а, будем называть семейство отображений с\, I = 0,1,., q, ставящих в соответствие величинам (3) и управлению v{t), te [ti, ti+1) измеримую функцию определенную для t g [ti, ti+1) и такую, что || ||< 1, t g [U, ti+i).

Обозначим данную игру Г.

Определение 4. В игре Г происходит уклонение от встречи, если для любого Т > 0 существуют разбиение о интервала [О, Т], стратегия V убегающих Ej такие, что для любых траекторий Xi(t) преследователей Pi имеет место

Xi(t)^yj(t), ¿<Е[0,Т].

Определениеб. В игре Г происходит поимка, если существует Т > 0 и для любой стратегии V убегающих Ej существуют кусочно-программные контрстратегии Ui преследователей Pi, момент т е [О,Т] и номера s е {1,2,.,m}, г е {1,2,. ,п} такие, что хг(т) - у3{т). 8

Вместо систем (1), (2) рассмотрим систему и — щ — V, 2^(0) = г^ = х°{- у]. (4)

Будем предполагать в дальнейшем, что начальные позиции х®, у® таковы, что а) если п > к, то для любого набора индексов I С {1,.,п}, |/| > к + 1 справедливо 1п1со{ж®, I € 1} Ф 0; б) любые к векторов из совокупности {х9 — уу°8 — у®, в ф г} линейно независимы или, что равнозначно, любые к + 1 точек из совокупности аффинно независимы.

Теорема 1. Пусть

1п1;со{2Й П со{у?} ф 0.

Тогда в игре Г происходит поимка.

В §3 данной главы дополнительно (по отношению к задаче §2) предполагается, что убегающие в процессе игры не покидают пределы выпуклого многогранного множества

В = {у\у е (Р„ у) ^ Не, в = 1, . . . , Г}, где р1,.,р3 - единичные векторы В,к, //х,., /хг - вещественные числа, такие, что ф 0.

Теорема 2. Пусть

0 (£ 1п1;со{^ - .,рг].

Тогда в игре Г происходит уклонение от встречи.

Теорема 3. Пусть п ^ к и

0 6 Ысо^ - у?,ри . ,рг}.

Тогда в игре Г происходит поимка.

В §4 рассматривается задача простого преследования группой преследователей двух жестко скоординированных убегающих. Цель группы преследователей - поймать двух убегающих.

Получены достаточные условия поимки, которые дополняют результаты работы [21].

Глава 2 диссертации посвящена задаче преследования группой управляемых объектов группы жестко скоординированных убегающих в примере Понтрягина.

В первом параграфе данной главы доказаны некоторые полезные свойства линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами которые используются в параграфах 2 и 3 главы.

В §2 данной главы рассматривается дифференциальная игра Гп + т лиц.

В пространстве Як рассматривается дифференциальная игра п + т лиц: п преследователей Р\,., Рп и т убегающих ., Ет. Закон движения каждого из преследователей Р{ имеет вид: х^Р + Ч-----Ь сцхг = щ, || щ х{еЯк. (5)

Закон движения каждого из убегающих имеет вид: ад?-4 + • ■ • + ед = V, |М|<1, го-ея*. (6)

Здесь Х{, щ, V Е Як, а\,., щ е Я1.

При £ = О заданы начальные условия

4а)(0) = <а, у\"\0) = у1а, а = 0,., 1-1, (7) причем — у^о Ф 0 для всех ( и

Здесь и всюду далее, если не оговорено специально i = 1,. ,п, j = 1,., т.

Отметим, что действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который для всех убегающих Ej выбирает одно и то же управление v.

Вместо систем (5), (6) рассмотрим систему щ\\ ^ 1, IHK 1, (8) zi,j(Q) = zi,j,0 = Xto ~ 2/?,0> • • • I ziJ = zi,j,l-1 = ~ уЪ- 1*

Обозначим через ipq(t), q = 0,1,., / — 1 решения уравнения ш{1) + aiü/z1) + • • • + щи) = 0 (9) с начальными условиями: w(0) = 0,., w^O) = 0, w^(0) = 1,о/9+1)(0) = 0,., w(/-1J(0) = 0.

Предположение!. Все корни характеристического уравнения

X1 + aiAi1 + • • • + щ = 0 (10) имеют неположительные вещественные части. Предположение 2. (pi-i(t) ^ 0 для всех £ ^ 0.

Отметим, что предположение 2 выполнено, если уравнение (10) имеет только вещественные корни. Обозначим через Ai,., As (Ai < А2 < • • • < As) - вещественные корни, //1 ± iv\%., ¡лр ± ii/p ^ ¡12 ^ * • • ^ Цр) -комплексные корни уравнения (10), ks - кратность As, та - кратность корня р,а ± iva. Отметим, что в силу предположения 2 ¡хр ^ А5. Пусть далее

Ci(T, t) = Ifo(T)Xi(t) + • • • + cpi-^xf-V^), Vj(T,t) = cpo(T)yj(t) + . + w-i(T)yj/1)(i), Zij(T,t) = (po(T)zij(t) + ■ •. + ^(Т^Щ.

11

Так как s р

4>q{t) = J2 eX0tp«At) + X) W C0SЫ) + RqA*)

3—1 Q=1 то Çi(T,0), r]j(T,0), ^jj(T,0) представимы в виде

T, 0) = ¿e^(T) + £ ^°T(Qla(T) œs(^T) + д!а(т) вт(^Т)),

3=1 a=l

4!i(r. 0) = É ^TPh{T) + £ e"»î'(Q?ia(T) cos(^T) + Д?а(Т) sin^T)),

3=1 a=l

T, 0) = ]Г e^r(g?Jie(T) cos(^QT)+^.a(T) sin(i/0T)),

3=1 Q=1

Считаем, что 0) ф 0 для всех г, j и Т > 0, ибо если Çp,q(T, 0) = 0 при некоторых p,quT, то преследователь Рр ловит убегающего Eq к моменту Т, полагая = v(t). Считаем также, что тождественно не равен 0 для всех i и j, ибо в противном случае преследователи первоначально добиваются выполнения указанного условия.

Обозначим через 7,-j - степень многочлена P?j)S{t), 7 - степень многочлена P/-i,s. Можно считать, что 7¿j = 7 для всех г и j, ибо в противном случае преследователи Pj первоначально добиваются выполнения данного условия. Обозначим

1 t->00 Î7 ' J i-400 ¿7 l,J OO fr

Обозначим данную игру Г.

Определеннее. 5 игре Г происходит поимка, если существуют Т > 0 и измеримые функции щ({) = Ui(t, zfj,v(t)) такие, что для любой измеримой функции v(t) существуют момент т G [0, Т] и номера s, q, для которых xs(r) = Уч{т).

Доказано следующее. Теорема 4. Пусть п ^ к 4- 1 и о g intcoí^.}.

Тогда в игре Г происходит поимка.

В третьем параграфе данной главы рассматривается дифференциальная игра Г при дополнительном предположении, что убегающие в процессе игры не покидают пределы выпуклого многогранного множества D вида

D = {у\у е Rk,{ps,y) < = 1,.,г}, где pi,.,ps - единичные векторы Rk, вещественные числа такие, что IntD ф 0. Доказана

Теорема 5. Пусть n ^ к и

О € Intco{Z{j,pi,. ,рг}.

Тогда в игре Г происходит поимка.

Примеру Понтрягина посвящена обширная литература, так как данный пример является модельным для анализа полученных различных условий поимки. Следует правда отметить, что большая часть литературы относится к примеру Понтрягина с различными инерционными и динамическими возможностями участников [34, 35, 36, 37, 60, 68, 105, 108, 132].

В работе [120] Б. Н. Пшеничный и И. С. Раппопорт рассмотрели задачу преследования группой преследователей одного убегающего в дифференциальной игре, закон движения каждого из участников в которой имеет вид z + clz = w, ||u|| ^ 1, а < 0.

13

Были получены необходимые и достаточные условия поимки.

В работе [159] А. А. Чикрий и П. В. Прокопович рассмотрели задачу уклонения одного убегающего от группы преследователей в дифференциальной игре, закон движения каждого из участников в которой имеет вид z = u, IMI^l.

При условии дискриминации преследователей были получены достаточные условия убегания.

В работе [89] Н. Н. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей одного убегающего в примере Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков. Были получены достаточные условия поимки.

В работе [93] рассмотрена задача о многократной поимке одного убегающего группой преследователей в примере Понтрягина с фазовыми ограничениями.

В работе [90] Н. Н. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей группы убегающих в примере Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков, при условии, что каждый преследователь ловит не более одного убегающего и убегающие выбирают свои управления при t = 0 сразу на [0, оо) и не покидают пределы множества D. Были получены достаточные условия поимки.

Мягкая" поимка одного убегающего группой преследователей для инерционных объектов рассматривалась в [40].

Публикации автора по теме диссертации

1. Vagin D.A., Chirkova L.S., Petrov N.N. About some problems of group pursuit.//Control Applications of Optimization 11th IFAC INTERNATIONAL WORKSHOP, 3-6 July, 2000. Abstracts, S-P. 2000, p.

• 197-198.

2. Вагин Д.А., Петров H.H. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями.//Известия ИМИ, 2(19), 2000, Ижевск: Издательство УдГУ, 16-27.

3. Вагин Д.А., Петров Н.Н. О преследовании группы убе-гающих.//Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 32-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2001, 188-193.

4. Vagin D.A., Petrov N.N. On One Problem of Pursuit of a Group of Evaders.//International Conference Logic, Game Theory and Social Choice, S-P. 2001, p. 204-205.

5. Вагин Д.А., Петров H.H. Простое преследование жестко скоординированных убегающих.//Известия РАН. Теория и системы управления, 5, 2001, 75-79.

6. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Преследование группы жестко-соединенных убегающих в примере Понтрягина.//Известия ИМИ, 3(23), 2001, Ижевск: Издательство УдГУ, 55-68.

7. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями.//ПММ 2002, т. 66, №2, 238-245.

8. Vagin D.A., Petrov N.N. The Two Problems of Group Pursuit//The Tenth International Symposium of Dynamic Games and Applications. Proceedings, V2, S-P. 2002, p. 691-695.

9. Вагин Д.А. Одна задача группового преследования жесткосоеди-неииых убегающих.//Известия ИМИ, 2(25), 2002, Ижевск: Издательство УдГУ, 31-34

1. Вагин Д.А., Петров H.H. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями.//Известия ИМИ, 2(19), 2000, Ижевск: Издательство УдГУ, 16-27.

2. Вагин Д.А., Петров H.H. О преследовании группы убегающих.//Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 32-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2001, 188-193.

3. Вагин Д.А., Петров H.H. Преследование группы жестко-соединенных убегающих в примере Понтрягина.//Известия ИМИ, 3(23), 2001, Ижевск: Издательство УдГУ, 55-68.

4. Вагин Д.А., Петров H.H. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями//Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. вып. 2. С. 234-241.

5. Вагин Д.А. Одна задача группового преследования жесткосоеди-ненных убегающих.//Известия ИМИ, 2(25), 2002, Ижевск: Издательство УдГУ, 31-34

6. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. М.: Сов. радио. 1980.

7. Васильева Л.Г. Об одной дифференциальной игре убегания// Дифференциальные, бескоалиционные, кооперативные и статистические игры. Калинин.: Изд-во Калининск. ун-та. 1979. С. 26-33.

8. Вшиневицкий Л.С., Меликян A.A. Оптимальное преследование на плоскости при наличии препятствия// Прикладная математика и механика. 1982. вып. 4. С. 613-621.

9. Габриэлян М.С., Субботин А.И. Игровые задачи о встречи с т целевыми множествами// Прикладная математика и механика. 1979. вып. 2. С. 204-208.

10. Григоренко H.JI. Игра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего// Вестник МГУ. Серия вы-числ. математика и кибернетика. 1983. № 1. С. 41-47.

11. Григоренко H.JI. Преследование несколькими управляемыми объектами двух убегающих// ДАН СССР. 1985. Т. 282. № 5. С. 10511054.

12. Григоренко H.JI. Задача преследования несколькими объектами// Труды математического ин-та АН СССР. 1984. Т. 166. С. 61-75.

13. Григоренко H.JI. О квазилинейной задаче преследования несколькими объектами// ДАН СССР. 1977. Т. 259. № 5. С. 1040-1043.

14. Григоренко H.JI. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Московского ун-та. 1990.

15. Гусятников П.Б. Дифференциальная игра убегания т лиц// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. № 6. С. 22-32.

16. Гусятников П.Б. Теория дифференциальных игр. М.: МФТИ. 1982.

17. Гусятников П.Б., Половинкин Е.С. Простая квазилинейная задача преследования// Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44. вып. 5. С. 771-782.

18. Демидов К. В. Об одной задаче группового преследования с г -кратной поимкой// Вопросы вычислительной математики и программирования. М.: МГУ. 1984. С. 73-75.

19. Демидов К. В. Дифференциальные игры с переменной структурой группы преследующих и одного убегающего// Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50. вып. 1. С. 155-159.

20. Железное B.C., Иванов М.Н., Маслов Е.П. Об одной задаче уклонения в пространстве// Автоматика и телемеханика. 1992. 5. С. 11-22.

21. Жимовский В. Два следствия решения одной задачи уклонения от многих преследователей//Ви11. Acad. Sei. Ser. math. 1980. Т. 28. J№ 3-4. С. 155-159.

22. Жуковский В.И., Чикрий A.A. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев.: Наук, думка. 1994.

23. Зак B.JI. Задача уклонения от многих преследователей// ДАН СССР. 1982. Т. 265. № 5. С. 1051-1053.

24. Зак В.J1. Кусочно-программная стратегия уклонения от многих преследователей// Ин-т проблем механики АН СССР. Препринт. 1982. №199.

25. Зак B.JI. Построение стратегии уклонения от нескольких преследователей для динамических систем// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. № 4. С. 143-147.

26. Зонневенд Д. Об одном методе преследования// ДАН СССР. 1972. Т. 204. № 6. С. 1296-1299.

27. Зонневенд Д. Об одном типе превосходства игрока// ДАН СССР. 1973. Т. 208. № 3. С. 520-523.

28. Ибрагимов Г. И. Об одной задаче оптимального преследования несколькими объектами одного// Прикладная математика и механика. 1998. Т.62. вып. 2. С. 199-205.

29. Иванов Г.Е., Половинкин Е.С. О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх// Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 10. С. 1641-1648.

30. Куржапский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. 1977.

31. Кучкаров А.Ш., Рихсиев Б. Б. О решении одной задачи преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 2001. № 8. С. 41-45.

32. Лагунов В.Н. Введение в дифференциальные игры. Вильнюс. 1979.

33. Лагунова Н.В. Задача убегания от четырех преследователей// Вестник МГУ. Серия 15. 1992. № 3. С. 57-63.

34. Левченков А.Ю. Об одной задаче сближения двух различных преследователей с одним убегающим// Прикладная математика и механика. 1998. Т. 52. вып. 1. С.

35. Малофеев O.A., Петросян Л.А. Игра простого преследования на плоскости с препятствием// Сб. трудов ин-та математики Сиб. отд. АН СССР. 1971. вып. 9. С. 31-42.

36. Малофеев O.A. Дифференциальные игры простого преследования на многообразиях// Математические методы организации и управления в сложных системах. Калинин.: Изд-во Калинин, ун-та. 1982. С. 69-74.

37. Маслов Е.П., Рубинович Е.Я. Дифференциальные игры преследования-уклонения с групповой целью// Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. М: ВИНИТИ. 1991. Т. 32. С. 32-59.

38. Мезенцев A.B. О некоторых классах дифференциальных игр// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971. № 6. С. 3-7.

39. Пашков А.Г., Терехов С. Д. Дифференциальные игры сближения двух динамических объектов с третьим// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 3. С. 66-71.

40. Петров H.H. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1997.

41. Петров H.H. Об управляемости автономных систем //Дифф.урав. 1968. Т. 4. № 4. С. 606-617.

42. Петров H.H. Доказательство существования значения игры преследования с ограниченным временем// Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 5. С. 784-797.

43. Петров H.H. Существование значения игры преследования// Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7. № 5. С. 827-839.

44. Петров H.H. О существовании значения игры преследования// ДАН СССР. 1970. Т. 190. № 6. С. 1289-1291.

45. Петров H.H. Некоторые экстремальные задачи поиска на графах// Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 5. С. 821-827.

46. Петров H.H. Преследование невидимого подвижного объекта// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N2 И. С. .

47. Петров H.H., Прокопенко В.А. Об одной задаче преследования группы убегающих // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 4. С. 724-726.

48. Петров H.H., Петров Н. Никандр. О дифференциальной игре «казаки-разбойники» // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 8. С. 1366-1374.

49. Петров H.H. Простое преследование при наличии фазовых ограничений// Деп. в ВИНИТИ 20 марта 1984г. № 1684. 14с.

50. Петров H.H. Простое преследование жесткосоединенных убегающих// Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. С. 89-95.

51. Петров H.H. Групповое преследование с дополнительными ограничениями// Кибернетика и вычислительная техника. 1997. вып. 115. С. 1-12.

52. Петров H.H. Нестационарный пример Понтрягина с фазовыми ограничениями// Проблемы управления и информатики. 2000. № 4. С. 18-24.

53. Петров H.H. Об одной задаче преследования со многими убегающими// Вестник Удмурт, ун-та. 2000. № 1. С. 131-136.

54. Петров H.H. Одна задача уклонения от многих преследователей// Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. № 1. С. 41-43.

55. Петров H.H. «Мягкая» поимка в примере Понтрягина// Известия ИМИ. Ижевск. Изд-во Удм. ун-та. 2001. № 1(21). С. 47-66.

56. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. JL: Изд-во ЛГУ. 1977.

57. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа. 1998.

58. Петросян Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования. Новосибирск.: Наука. 1983.

59. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Л.: ЛГУ. 1982.

60. Петросян Л.А., Гарнаев А.Ю. Игры поиска. СПб.: Изд-до Санкт-Петерб. ун-та. 1992.

61. Пилипенко Ю.В., Чикрий A.A. Колебательные конфликтно-управляемые процессы// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. вып. 3. С. 3-14.

62. Питцык М.В., Чикрий A.A. О задаче группового преследования// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. вып. 5. С. 730-736.

63. Питцык М.В. О методе группового преследования// Математические методы исследования оптимизационных задач. Киев.: Изд-во ин-та Кибернетики АН УССР. 1984.

64. Понтрягин JI.C. Избранные научные труды. Т.2. М.: Наука, 1988.

65. Понтрягин JI.C. Линейная дифференциальная игра убегания// Труды математического ин-та АН СССР. 1971. Т. 112. С. 30-63.

66. Понтрягин JI.C. О линейных дифференциальных играх I. // ДАН СССР. 1967. Т. 174. № 6. С. 1278-1280.

67. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх II. // ДАН СССР. 1967. Т. 175. № 4. С. 764-766.

68. Понтрягин JI.C., Мищенкое Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх// Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7. № 3. С. 436-445.

69. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1969.

70. Прокопоеич П.В., Чикрий A.A. Одна дифференциальная игра убегания// ДАН УССР. Серия А. 1989. № 1. С. 71-74.

71. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. № 3. С. 145-146.

72. Пшеничный Б.Н. О линейных дифференциальных играх// Кибернетика. 1968. № 1. С. 47-53.

73. Пшеничный Б.Н. Об одной специальной задаче преследования при неполной информации// Кибернетика и системный анализ. 1995. № 2. С. 106-112.

74. Пшеничный Б.Н., Остапенко B.B. Дифференциальные игры. Киев.: Наук, думка. 1992.

75. Пшеничный Б.Н., Раппопорт И.С. К решению задачи простого преследования несколькими управляемыми объектами// Ин-т Кибернетики АН УССР. Препринт 79-47. 1979. С. 3-6.

76. Пшеничный Б.Н., Раппопорт И.С. Об одной задаче группового преследования// Кибернетика. 1979. № б. С. 145-146.

77. Пшеничный Б.Н., Чикрий A.A., Раппопорт И.С. Преследование несколькими управляемыми объектами при наличии ограничений// ДАН СССР. 1981. Т. 259. № 4. С. 785-789.

78. Пшеничный Б.Н., Чикрий A.A., Раппопорт И.С. Групповое преследование в дифференциальных играх// Wiss. Z. Jechn. Hochsch. Leipzig. 1982. Т. 6. № 1. С. 13-27.

79. Пшеничный Б.Н., Чикрий A.A., Раппопорт И.С. Эффективный метод решения дифференциальных игр со многими участниками// ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 3. С. 530-535.

80. Рихсиев Б.Б. Об оптимальности времени преследования в дифференциальных играх многих лиц с простым движением// Известия АН УзбССР. Серия физ-мат наук. 1984. № 4. С. 37-39.

81. Рихсиев Б. Б. К теории дифференциальных игр многих лиц// Краевые задачи для уравнений математической физики и их приложения. Ташкент. Изд-во Ташкент, ун-та. 1983. С. 139-146.

82. Рихсиев Б.Б. Дифференциальные игры с простым движением. Ташкент.: Фан. 1989.

83. Рихсиев Б.Б., Ибрагимов Г.И. Простое преследование в кубе// Изв. АН УзбССР. Серия физ-мат наук. 1990. № 2. С. 42-45.

84. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

85. Савинов В.Б. Дифференциальная игра преследования одним преследователем нескольких убегающих// Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 1995. Т. 3. С. 147-171.

86. Сатимов Н.Ю. Задача преследования и убегания для одного класса линейных дифференциальных игр многих лиц// Прикл. мат. и механика. Ташкент. Изд-во Ташк. ун-та. 1981. № 670. С. 64-75.

87. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. О задачах преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх между группами преследователей и убегающих// ДАН Узб.ССР. 1983. № 4. С. 3-6.

88. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. Об одном классе линейных дифференциальных и дискретных игр между группами преследователей и убегающих// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 7. С. 1208-1214.

89. Сатимов Н.Ю., Азамов А., Хайдаров Б.К. Простое преследование многими объектами одного убегающего// ДАН Узб.ССР. 1981. № 12. С. 3-5.

90. Сатимов Н.Ю., Рихсиев Б. Б. Методы решения задачи уклонения от встречи в математической теории управления. Ташкент.: Фан. 2000.

91. Сатимов Н.Ю. О задачах избежания взаимных столкновений// ДАН Узб.ССР. 1981. № 2. С. 3-5.

92. Синицын A.B. Построение функции цены в игре преследования несколькими объектами// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. вып. 1. С. 52-57.

93. Смолъяков Э.Г. Теория антагонизмов и дифференциальные игры. М.: Эдиториал УРРС. 2000.

94. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981.

95. Тарасъев A.M., Ушаков В.Н. Алгоритм построения стабильного моста в линейной задаче сближения с выпуклой целью// Исследования задач минимаксного управления. Свердловск. Изд-во УНЦ АН СССР. 1985. С. 82-90.

96. Тухтасинов М. О некоторых задачах теории дифференциальных игр преследования в системах с распределенными параметрами// Прикладная математика и механика. 1995. Т.59. вып. 6. С.979-984.

97. Ухоботпов В.И. Метод одномерного проектирования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями общего вида. Челябинск. Изд-во Челябинск, ун-та. 1998.

98. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. № 4. С. 29-36.

99. Черноусько Ф.Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука. 1978.

100. Черноусько Ф.Л. Одна задача уклонения от многих преследователей// Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. вып. 1. С. 14-24.

101. Чикрий A.A., Раппопорт И.С. Линейная задача преследования несколькими объектами// Кибернетика. 1978. № 3. С. 86-92.

102. Чикрий A.A. Линейная задача убегания от многих преследователей// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1976. № 4. С. 46-50.

103. Чикрий A.A. Групповое преследование при ограниченных координатах убегающего// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. вып. 6. С. 906-913.

104. Чикрий A.A. Квазилинейные дифференциальные игры со многими участниками// ДАН СССР. 1979. Т. 246. № 6. С. 1306-1309.

105. Чикрий A.A. Квазилинейная задача сближения с участием нескольких лиц// Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. вып. 3. С. 451-455.

106. Чикрий A.A., Матичин И.И. Квазилинейные конфликтно управляемые процессы с переменной структурой// Проблемы управления и информатики. 1998. N2 6. С. 31-41.

107. Чикрий A.A., Питцык М.В. Сочетание усилий преследователей с различными динамическими возможностями// ДАН УССР. 1984. А. № 1. С. 73-76.

108. Чикрий A.A. О задаче уклонения в линейной дифференциальной игре// Автоматика и телемеханика. 1977. N2 9. С. 24-29.

109. Чикрий A.A. О задачах убегания при ограниченных фазовых координатах// Кибернетика. 1977. № 4. С. 40-45.

110. Чикрий A.A. Дифференциальные игры нескольких лиц// Кибернетика. 1976. № 4. С. 99-101.

111. Чикрий A.A., Шишкина Н.Б. О задаче группового преследования при наличии фазовых ограничений// Автоматика и телемеханика. 1985. № 2. С. 59-69.

112. Чикрий A.A. Конфликтно управляемые процессы. Киев: На-ук.думка. 1992.

113. Чикрий A.A. Дифференциальные игры с несколькими преследователями// Mathematical Control Theory. Banach Center Publications. 1985. V.14. C. 81-107.

114. Чикрий A.A., Прокопович П.В. Линейная задача убегания при взаимодействии групп управляемых объектов// Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. вып. 4. С. 12-21.

115. Чикрий A.A., Прокотгович П.В. Задача убегания от группы для однотипных инерционных объектов// Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 6. С7 998-1004.

116. Чикрий A.A., Прокотгович П.В. О задаче убегания при взаимодействии групп движущихся объектов// Кибернетика. 1989. № 5. С. 5963,78.

117. Чикрий A.A. Задача убегания при взаимодействии групп линейных объектов// ДАН СССР. 1993. Т. 333. № 5. С. 591-593.

118. Чикрий A.A., Калашникова С.Ф. Преследование управляемым объектом группы убегающих// Кибернетика. 1987. № 4. С. 1-8.

119. Чхартишвили А.Г. Об одном геометрическом свойстве следящей области в задаче поиска// Вестник МГУ. Серия 1. 1992. № 3. С. 710.

120. Чхартишвили А.Г., Шикин Е.В. О простых играх поиска на бесконечном круглом цилиндре// Математические заметки. 1995. Т. 58. № 5. С. 762-772.

121. Хайдаров Б. К. Позиционная Z-поимка в игре одного убегающего и нескольких преследователей// Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48. вып. 4. С. 574-579.

122. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир. 1970.

123. Шевченко И.И. Простейшая модель поочередного преследования// Автоматика и телемеханика. 1982. № 4. С. 38-42.

124. Шевченко И.И. Поочередное преследование трех убегающих// Автоматика и телемеханика. 1983. № 7. С. .

125. Шевченко И.И. О сближении с коалицией// Автоматика и телемеханика. 1986. № 1. С. .

126. Шевченко И.И. О минимизации расстояния до одного убегающего в момент захвата другого I. // Препринт КИ99-1. Владивосток. Изд-во Дальневост. ун-та. 1999. 30с.

127. Шевченко И. И. О минимизации расстояния до одного убегающего в момент захвата другого II. // Препринт КИ99-2. Владивосток. Изд-во Дальневост. ун-та. 1999. 31с.

128. Ширяев В.Д. Бескоалиционная игра простого преследования// Управление, надежность, навигация. Саранск. Изд-во Мордовск. ун-та. 1984. С. 33-41.

129. Фазылов А.З. К задаче избежания столкновений// Изв. АН УзбССР. Серия физ-мат наук. 1987. № 3. С. 30-36.

130. Югай Л.П. Об /-уклонении в линейной дифференциальной игре многих лиц// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 5. С. 840-845.

131. Югай Л. П. Об одном достаточном условии уклонения по направлению// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 9. С. 12911292.

132. Berkovitz L.D. Differential game of generalized pursuit and evasion// SIAM J. Contr. and Optimiz. 1986. V. 24. № 3. p. 361-373.

133. BorowkoP., Rzymowski W., Stachura A. Evasion from many pursuers in the simple case// J. Math. Anal, and Appl. 1988. V. 135. № 1. p. 75-80.

134. Chikrii A.A. On a method of pursuit in «trachs» Доп. Нац. АН Украши. 2000. № 6. p. 109-113.

135. Chikrii A.A. The problem of avoidance for controlled dynamic objects// Game Theory and Appl. 1997. V. III. p. 7-20.

136. Chodun W. Differential games of evasion with many pursuers// J. Math. Anal, and Appl. 1989. V. 142. № 2. p.370-389.

137. Flynn J.О. Lion and Mann: the boundary constraint// SIAM. J. Control. 1971. V 11. № 3. p.397-411.

138. Friedman A. Differential Games. New York.: Wiley Intersci. 1971.

139. Hajek 0. Pursuit Games. New. York.: Acad. Press. 1975.

140. Leitman G., Lin H.S. Evasion in the plane// Lect. Notes Contr. Inform. Sci. 1978. № 6. p. 255-263.

141. Melikyan A. A. Structure of the value function in pursuit-evasion games on the surfaces of revolution// Кибернетика и системный анализ. 2002. № 3. С. 155-162.

142. Petrov N.N. Group pursuit with phase restrictions// International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. 1998. V 7. № 2/3. p.179-187.

143. Petrov N.N. About one Pursuit Problem with many Evaders// Game Theory and Applications. 2001. V. VI. p. 82-88.

144. Rzymowski W. Method of construction of the evasion strategy for differential game with many evaders// Roszpr. mat. 1986. № 247. 48p.

145. Vagin D.A., Chirkova L.S., Petrov N.N. About some problems of group pursuit.//Control Applications of Optimization 11th IFAC INTERNATIONAL WORKSHOP, 3-6 July, 2000. Abstracts, S-P. 2000, p. 197-198.

146. Vagin D.A., Petrov N.N. On One Problem of Pursuit of a Group of Evaders.//International Conference Logic, Game Theory and Social Choice, S-P. 2001, p. 204-205.

147. Vagin D.A., Petrov N.N. The Two Problems of Group Pursuit//The Tenth International Symposium of Dynamic Games and Applications. Proceedings, V2, S-P. 2002, p. 691-695.

148. Yong J. On differential evasion games// SIAM J. Contr. and Optimiz. 1988. V. 26. № 1. p. 1-22.i102