Конфликтно управляемые процессы со многими участниками и дополнительными ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи ПЕТРОВ НИКОЛАЙ НИКАНДРОВИЧ

КОНФЛИКТНО УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ

СО МНОГИМИ УЧАСТНИКАМИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

01 01 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

□ОЗ158548

Екатеринбург - 2007

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ГОУ ВПО "Удмуртский государственный университет "

Официальные оппоненты — член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Ушаков Владимир Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор Жуковский Владислав Иосифович,

Ведущая организация — ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный университет"

Защита состоится "24" октября 2007 г в 1330 на заседании диссертационного совета Д 004 006 01 при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу 620219, г Екатеринбург, ГСП-384, ул С Ковалевской, 16

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Автореферат разослан " " 2007 г

Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор Ухоботов Виктор Иванович

диссертационного совета доктор физ -мат наук

Н Ю Лукоянов

Актуальность темы. Объектами исследования диссертационной работы являются задачи преследования и уклонения с участием групп преследователей и одного или нескольких убегающих.

Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики. В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух и более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями и оптимизировать заданные функционалы качества процесса.

Динамические процессы могут описываться дифференциальными, интегральными, разностными, гибридными и другими уравнениями. Конфликтно управляемые процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют дифференциальными играми1, термин был введен Р Айзексом — одним из основоположников теории дифференциальных игр

Одной из первых работ в этой области, по всей видимости, следует считать работу Г. Штейнгауза, опубликованную в 1925 году, в которой он формулирует задачу преследования

Теория конфликтно управляемых процессов имеет в своем основании общую теорию игр, математическую теорию управления и теорию дифференциальных уравнений

Фундаментальными результатами математической теории управления являются принцип максимума JI. С Понтрягина2 и метод динамического программирования Р. Беллмана1.

Становление теории дифференциальных игр относится к началу 60-х годов XX века и связано с именами советских и зарубежных математиков Н Н Красовского, JI С. Понтрягина, J1 А Петросяна, Б Н. Пшеничного, Р Айзекса, У. Флеминга Крупный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли А. А Азамов, А Я. Азимов, Э.Г. Альбрехт, М.Барди, В.Д Ватухтин, Т Башар, Ю И. Бер-дышев, А Брайсон, A.C. Безикович, М.С. Габриэлян, H.JI Григорен-ко, Р. В. Гамкрелидзе, П. Б Гусятников, М И Гусев, В Г Гусейнов,

1 Айзеке Р Дифференциальные игры М Мир 1967

2Понтрягин Л С , Болтянский В Г, Гамкрелидзе Р В , Мищенко Е Ф , Математическая теория оптимальных процессов М Наука 1983

В И Жуковский, А. Земба, В В Захаров, М И Зеликин, Д. Зонне-венд, Р П Иванов, А. Ф Клейменов, А В Кряжимский, А. Б Кур-жанский, А Н Красовский, Дж Лейтман, В Н. Лагунов, Ю С Ле-дяев, Н Ю Лукоянов, А А. Меликян, А В Мезенцев, Е Ф. Мищенко, М С. Никольский, В. В. Остапенко, Ю С Осипов, А Г Пашков, В С Пацко, Н.Н Петров, Г. К Пожарицкий, Е С Половинкин, Б. Б Рихсиев, И С. Раппопорт, Н Ю Сатимов, А. И Субботин, Н Н Субботина, В Е Третьяков, Н.Т Тынянский, В Н Ушаков, В. И Ухоботов, У Флеминг, А Фридман, Хо-Ю-Ши, А Г Ченцов, Ф Л. Черноусько, А. А Чикрий, С В. Чистяков, Р Эллиот, Л П. Югай и многие другие математики.

Красовским Н Н W и представителями его научной школы создана теория позиционных игр, в основе которой лежат понятие стабильного моста и правило экстремального прицеливания Для широких классов дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе. Обоснованы методы детерминированных и стохастических программных конструкций. Решение игровой задачи сводится к последовательному выбору экстремальных управлений, сохраняющих траекторию конфликтно управляемого процесса на стабильном мосту и приводящих траекторию по нему на терминальное множество.

Принятая схема позиционной игры такова5 Пусть движение конфликтно управляемого вектора z описывается системой вида

z = f(z,u,v), (1)

где z е Rn, и G U, v е V, U С Rm, V С Rk, / — непрерывная функция В пространстве Rn задано непустое целевое множество М

Формулируются две задачи позиционного управления Первая задача (стоящая перед первым игроком) — задача о сближении с целевым множеством М внутри заданных фазовых ограничений N, вторая задача (стоящая перед вторым игроком) — задача об уклонении вектора z от М Совокупность этих (противоположных) задач есть дифференциальная игра сближения-уклонения

Связь между задачами раскрывается центральным результатом теории позиционных дифференциальных игр — теоремой об альтернативе, которая утверждает, что в рамках принятой формализации всегда, при

3Красовский Н Н Игровые задачи о встрече движений М Наука 1970

4Красовский Н Н Управление динамической системой задача о минимуме гарантированного результата М Наука 1985

8 Красовский Н Н , Субботин А И Позиционные дифференциальные игры М Наука 1974

подходящем выборе классов стратегий игроков, разрешима одна и только одна из указанных задач

Таким образом, задачи сближения-уклонения являются взаимоисключающими и взаимодополняющими Отсюда следует важный вывод о принципиальной неулучшаемости позиционного способа управления Кроме того, теоремы об альтернативе позволяют рассматривать каждую из задач сближения или уклонения как критерий разрешимости противоположной задачи

Большое внимание в работах данной школы уделяется вопросам практической реализации процедур управления и численного решения прикладных задач теории дифференциальных игр.

В работах А И Субботина6 условия стабильности сформулированы при помощи производных по направлению В результате получены дифференциальные неравенства, обобщающие основное уравнение дифференциальных игр, записанное Р Айзексом Данный подход был применен к построению теории обобщенных решений уравнений Гами-льтона-Якоби

Наилучшее решение позиционной дифференциальной игры сближения-уклонения доставляют максимальные стабильные мосты в фазовом пространстве Однако эффективное построение таких мостов для исследования реальных конфликтно управляемых процессов весьма затруднительно или даже певозможно. Удобнее строить мосты, не являющиеся максимальными, но обладающие свойством стабильности и дающие эффективно реализуемые процедуры управления. Одним из способов построения таких мостов связан с программным или первым поглощением Условие регулярности и обеспечивает окончание игры за время первого поглощения. При этом обосновывается преследование по кривой погони Программные конструкции положены в основу метода программных итераций

Другим способом построения стабильных мостов являются попятные процедуры, позволяющие вскрыть структуру дифференциальной игры Начальные идеи в этом направлении принадлежат Л С. Понтря-гину и реализованы им в методе альтернированного интеграла7

В линейном случае этот метод дает эффективные достаточные условия разрешимости задачи преследования Попятные процедуры с фиксированным и нефиксированным временем и дискриминацией убегаю-

6 Субботин А И Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби М Наука 1991

7 Понтрягшг Л С Линейные дифференциальные игры преследования //Математический сборник 1980 Т. 112 № 3

щего распространены на нелинейные системы в работе Б Н. Пшеничного8

Идею рассматривать дифференциальную игру с двух точек зрения предложил и развил Л. С Понтрягин9

При таком подходе выдвигается на первый план один из игроков, которому предоставляется право строить управление на основе определенной информационной дискриминации противника

Приведем более подробное описание формализации дифференциальных игр, предложенных Л С. Понтрягиным10.

Пусть движение конфликтно управляемого объекта 2 описывается системой (1) Л С Понтрягин подчеркивает « мы связываем с дифференциальной игрой две разные задачи

1. Нашей целью является завершение игры, т е приведение точки 2 на множество М; при этом для осуществления этой цели в нашем распоряжении находится управляющий параметр и, так что в каждый момент времени £ мы выбираем значение и(Ь) этого параметра, используя г (в) и у(з) на отрезке 4 — 1? ^ й ^ 4, где <? — подходящим образом выбранное положительное число Таковы правила преследования

2. Нашей целью является предотвращение конца игры, т е предотвращение прихода точки г на множество М. При этом для достижения этой цели в нашем распоряжении находится управляющий параметр V, так что в каждый момент времени £ мы выбираем значение г; (в) этого параметра, используя ь(з) на отрезке 4 — ^ в ^ 4 Таковы правила игры убегания.»

Основополагающие результаты по решению дифференциальных игр преследования и убегания получили Л С Понтрягин и Е Ф Мищенко В работе11 сформулированы достаточные условия разрешимости задачи преследования в нелинейных дифференциальных играх В ней использован формализм принципа максимума — одного из центральных методов теории управления

Основные результаты заключаются в описании множества начальных позиций, из которых гарантируется возможность завершения преследования, а также в вычислении времени преследования, и способе

8ПшеничныйБ Н Структура дифференциальных игр// ДАН СССР 1969 Т 184 К« 2 С 285-287

9Понтрягин Л С Избранные научные труды Т 2 М Наука 1988

10Понтрягин Л С Линейная дифференциальная игра убегания// Труды математического института АН СССР 1971 Т 112 С 30-63

11 Понтрягин Л. С , Мищенко Е Ф Задача об уклонении от встречи в линейяых дифференциальных играх// Дифференциальные уравнения 1971 Т 7 № 3 С 436445

формирования управления преследователя, реализующего процесс преследования

Естественным обобщением дифференциальных игр двух лиц являются дифференциальные игры с участием группы преследователей и одного или группы убегающих Новые способы решения дифференциальных игр с участием группы преследователей были предложены в работах Е Ф. Мищенко, Ф.Л. Черноусько 12, Б Н. Пшеничного 13, А А Чихрия 14, Н. Л Григоренко15, М С Никольского, Н Ю Сатимо-ва, И С Раппопорта, П Б Гусятникова, Л. А Петросяна 16, Б. Б Рих-сиева 17, В.И. Жуковского, A.A. Азамова, Р П. Иванова, В Л Зака и многих других математиков.

Отметим, что толчком к появлению большого числа работ по указанной тематике послужила статья Б.Н Пшеничного18, в которой рассматривался случай простого преследования группой преследователей одного убегающего при одинаковых возможностях всех участников Было показано, что поимка происходит тогда и только тогда, когда начальная позиция убегающего принадлежит внутренности выпуклой оболочки начальных позиций преследователей

Следует отметить, что абсолютное большинство работ, посвященных как задаче преследования, так и задаче убегания, рассматривались при определенном преимуществе одной из сторон Работ, посвященных задачам преследования и уклонения при равных динамических и инерционных возможностях игроков достаточно мало Основная часть работ указанного типа относится к задаче простого преследования Также практически неизученными являются дифференциальные игры с участием нескольких лиц и при наличии дополнительных ограничений на состояния одной из сторон

Цель данной работы состоит в получении условий разрешимости новых классов игровых задач группового преследования-убегания при

12 Черноусько Ф Л , Меликян А А Игровые задачи управления и поиска М Наг ука 1978.

13Пшеничный Б Н ,Остапенко В В Дифференциальные игры Киев Наукова думка 1992

14Чикрий А А Конфликтно управляемые процессы Киев Наукова думка 1992

15Григоренко Н Л Математические методы управления несколькими динамическими процессами М Изд-во Московского ун-та 1990

16Петросян JI А Дифференциальные игры преследования JI Изд-во ЛГУ 1977

17Рихсиев Б Б Дифференциальные игры с простым движением Ташкент • Фан. 1989

18Пшеничный Б Н Простое преследование несколькими объектами// Кибернетика 1976 № 3 С 145-146

дополнительных, типа «фазовых», ограничениях на состояния убегающих

Методы исследования. Для исследования указанных задач применяется аппарат математической теории оптимального управления, дифференциальных игр, теории многозначных отображений, выпуклого анализа

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Среди них отметим следующие

1 Предложен метод решения задач группового преследования с дополнительными ограничениями

2 Получены новые достаточные условия разрешимости новых классов задач группового преследования для обобщенного примера JI С Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков

3 Получены новые достаточные условия разрешимости задач преследования и убегания с участием групп преследователей и убегающих

4 Доказано существование цены игры в дифференциальных играх преследования со многими участниками в классе обобщенных кусочно программных стратегий

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Все результаты могут быть использованы для дальнейших исследований по теории дифференциальных игр со многими участниками

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

на Всесоюзной конференции по оптимальному управлению, геометрии и анализу (Кемерово, 1986, 1990); международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости процессов» (Киев, 1992, 1994, 1996, 1997); весенних Воронежских школах «Понтрягинские чтения» (Воронеж, 1993,1995), международной конференции по теории игр (Орехово-Зуево, 1994); на III международном семинаре «Негладкие и разрывные задачи управления Оптимизация и ее приложения» (Санкт-Петербург, 1995); международной конференции «Multiple criteria and game problems» (Москва, 1996); International IFAC Conference «Nons-mooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization» (Челябинск, 1998), международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения JI С Понтрягина (Москва, 1998), международной кон-

ференции «Control Applications of Optimization 11th IFAC International workshop» (Санкт-Петербург, 2000); международной конференции по логике, теории игр и социальному выбору (Санкт-Петербург, 2001); на международной конференции, посвященной 65-летию со дня рождения Б.Н Пшеничного (Киев, 2002), X International Symposium «Dynamic Games and Applications» (Санкт-Петербург, 2002), международном семинаре, посвященном 60-летию со дня рождения А. И Субботина (Екатеринбург, 2005); международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В И. Зубова (Санкт-Петербург, 2005), семинаре, посвященном 60-летию со дня рождения В И. Благодатских (Москва, 2006), Ижевском городском математическом семинаре по теории управления и дифференциальным уравнениям (Ижевск, 1987-2006), семинаре отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2003) и др.

Работа поддержана грантами РФФИ (94-01-00843, 97-01-00413, 99-01-00454, 03-01-0014, 06-01-00258), Конкурсного центра Министерства образования РФ (97-0-1.9, Е02-1 0-100), Федерального агентства по образованию (А04-2 8-60) и программой «Университеты России» (1-5-22, 34126)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах Список основных публикаций приводится в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, 16 параграфов Объем работы — 271 страница Список литературы включает 256 наименований.

Краткое содержание работы

Первая глава диссертации посвящена квазилинейным дифференциальным играм со многими участниками и дополнительными ограничениями на состояния убегающих

В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра п + 1 лиц, описываемая системой вида

г, = AtZt + (рг(иг,у) (2)

Zi € Яп>, иг е иг, v € У, zt{0) = zi

Здесь Аг — квадратная матрица порядка щ,U%,V ----- непустые компакты соответственно пространств Rm*, Rm, функции ipz IhxV Rn' непрерывны по совокупности переменных Здесь и всюду далее г = 1, . ,тг.

Терминальное множество M состоит из множеств Мг, каждое из которых представимо в виде

Мг = м} + м1 (3)

где М] — линейное подпространство Rn\ Ml — вьшуклый компакт, принадлежащий L\, ортогональному дополнению к М\ в ИПг.

Дополнительно предполагается, что в пространстве Rk заданы система вида

y = Ay + Cv, v G V, 7/(0) = (4)

и множество

D ~ {у у € Rk, j = l, -,r}, (5)

где А, С — заданные матрицы, у0 € D — заданный вектор, pi, ,рГ — единичные векторы Rk, fii,. . ,/ir — вещественные числа такие, что IntD ф 0

Назовем предисторией управления убегающего в момент t, t ^ vt(-) = (w(s) v(s) € V, se [0,i], v(s)— измерима}

Определение 1 Будем говорить, что задана квазистратегия преследователя Рг, если определено отображение Ut(t, z°, )), ставящее в соответствие начальному состоянию z° = (г®,. мо-

менту t, и произвольной предыстории управления убегающего vt() измеримую функцию иг(£) = ¿ft(t, z°, vt( )) со значениями в 17г

При этом предполагается, что должно быть выполнено условие «физической осуществимости», то есть, если v1, г>2 —два допустимых управления убегающего Е, причем v1(t) = v2(t) для почти всех t, то соответствующие им при отображении Ыг{1, z°1vt( )) функции ад1, и2 также равны почти всюду при t ^ 0.

Определение 2 Будем говорить, что в игре Г из начального состояния z° = (zf, ., z^) происходит поимка в момент T(z°), если существуют квазистратегии Ui(t,z°,vt{ )), ,Un{t, z°,Vt( )) преследователей Pi, ,Pn, номер q такие, что для любой измеримой функции v(-),v(t) € V,y(t) € D,t е [0,T(z°)j справедливо zq{T{z0)) G Mq Предполагается, что предыстория vt{-) обладает свойством y(s) € D для всех s £ [0, f]

Перейдем к описанию схемы преследования Обозначим через 7гг оператор ортогонального проектирования из RUt на L)

Предположение 1. Точка г° такова, что ж%еА'*г® М? при

и

для всех 0 ^ т ^ £ < оо, V € V

Пусть для точки 2° выполнено предположение 1 и введем функции

А »(*,г, = вир {А >0|- \(ъгеы'2? - М?) Л тгге^Ачрг(и^ь) ф 0}, 0 < -г < * < оо, V € V

Пусть далее

= {»(): * [0,*}-> V, »(т)€1?, т € [0,4]},

ь

Т{г°) = шф ^ 0 : т£ тах / А8(£, г, г;(г))¿г > 1}.

1)( )€П(4) г У О

Предположение 2. 0 < Т(г°) < оо Теорема 1. Пусть

точка — (-^11 ) ^п) какова, что выполнены предположения 1, 2. Тогда в игре Г происходит поимка в момент Т(г°).

Замечание. К сожалению, проверка выполнения предположения 2 возможна в очень редких случаях

Предположение 3. Существуют р € 11к, Я1 такие, что для множества

£>1 = {уу€Лк,(р,у)^1*}

справедливо включение Х> С £>х Обозначим через

Нч) = {1, ," + ?}, Лп+1(г,т,г)) = (ВЦ-т)ь,р), где В — непрерьшная матричная функция

Предположение 4. Существуют непрерывная функция ß(t,v), неотрицательные непрерывные функции Al(t,v), т), g(t,т), матричная функция B(t), константа с > 0 такие, что

K{t,T,v) > g,(t,T)X\(t,v), An+i (i, r, v) = g{t, r)ß(t, v),

t

J IIeA^C - B{t - r)\\dr ^ с

о

для всех 0 ^t ^t < oo, v GV Пусть

t

f{t)= J g(t,T)d,T, \1n±1(t,v)=ß(t,v) + aß, о

6(t) = inf max A,1 (t, v) w «evie/(i)

Предположение 5. Существуют константы а, с\, С2, сз, с4 такие, что Cj ^ 0 и

1. ||eAi2/o|| ^ С\ для всех t ^ О,

2. aß ^ 0, ß(t,v) > —С2 для всех t ^ 0, v € V,

3. для каждого t > 0 существует множество E(t) С [0,i] такое, что

ß(E(t))^c3, j g(t,r)dT ^ с4, minftftr) ^ g(t,r)

т

для всех i>0,re[0,i]\ E(t),

4 f,g — непрерывные функции,

5 Ö — ограниченная на [0, оо) функция, и выполнено одно из следующих двух условий

а) lim f(t)8(t) = 00 при aß < О,

t—ь 00

б) lim f(t)S2(t) = 00 при aß = О

i—>00

Теорема 2. Пусть для игры Г выполнены предположения 1, 3, 4, 5 Тогда в игре Г ив состояния z° = происходит поимка в

момент T(z°)

Во втором параграфе первой главы рассматривается дифференциальная игра Г, описанная в первом параграфе Получены достаточные условия разрешимости задачи преследования в нефиксированный момент времени

Определение 3 Будем говорить, что в игре Г из начального состояния = . происходит поимка, если существуют моментТ(га), квазистратегииЫ\(Ь,vt(•)), пресле-

дователей Р\,...,Рп такие, что для любой измеримой функции у(-), у{Ь) € V, у(Ь) [0, Г(г0)] найдутся номер д € {1, . ,п} и мо-

мент Т ^ Т(г°) такие, что гд(Т) е Мд.

Предположение 6. Для точки такой, что -кгеА%1г° £ М? для всех г, 4 справедливы соотношения

соп(М2 - 7ггеЛ'Ч°) ПтггеА^-г)<рг{иг,у) ф 0 для всех г, 0 ^ г ^ £ < оо, V £ V.

Пусть для точки г° выполнено предположение 6 Определим функции

Л2(г,г. V) =

= зир{А : А ^ О, -А(М2 - тгееА'Ч°) П ще^^у^ь) Ф Щ Пусть далее

п(«) = {«(•) «• [о,«] V, у(т) едге [о,*]},

t

Т{г°) = тш{Ь ш{ тах / А 1(<,г,«(т))йг ^ 1}

г J

о

Теорема 3. Пусть М2 = {0}, 7тгЛг = Л,7Г, для всех г, выполнено предположение 6 и Т(г°) < оо. Тогда в игре Г происходит поимка

Предположение 7. Существует р € Як, р ф 0, д € Я1 такие, что для множества

= {У • (р, у) < (А

справедливо Б С 1?1

Полагаем An+1(i, t,v) = (p, B(t — t)v(t)), где B(t) — непрерывная матричная функция

Предположение 8. Аi(t,t,v), I € 1(1) не зависят от t, т е

Аi(t,r,v) =Хi(r,v) для всех т ^ 0,v€V

Пусть

5(т) = rnf max Air, v) ' «evie/(i) '

Предположение 9. Существуют положительные числа с,сх,сг, непрерывная матричная функция B(t) такие, что

1 lleAi^o|| ^ ci, / ||еА(*"г) - B(t - т)\\йт ^ с2 для всех t ^ О,

о

2 A„+i(r,t;) ^ —с6(т) для всех т 0, v € V,

t

3 lun fS(r)dT = оо

t-*+оо 5

Теорема 4. Пусть выполнены предположения 6-9 Тогда в игре Г происходит поимка

Дополнительно рассмотрен конфликтно управляемый процесс (2), (3), (4) в случае, когда Аг,А — нулевые матрицы, С — единичная матрица Итак, конфликтно управляемый процесс типа простого движения с перемешанными управлениями игроков описывается системой дифференциальных уравнений

2, = (рг(иг, v). zt е rn\ иг е иг, v е v, z%(0) = z°

Здесь u„ v — непустые компакты соответственно пространств r"1' и rm соответственно, функции ipt непрерывны по совокупности переменных Терминальное множество М состоит из множеств Mt, каждое из которых представимо в виде (3)

Ограничения для убегающего имеют вид

y = v, v е V, у(0) = з/о, D = {у y€Rm, (р3,у) ^ßj, з = 1, ,г},

где рх,. ,рГ — единичные векторы i?m, , цг — вещественные чис-

ла такие что IntD ф 0

Определим многозначные отображения

Wt(z°,v) = -сбп(7гг2г° - М?) П v),

И^Л^г0)и) = -соп(7ггг° ~ Мг2) П С07Гt^(i7„ w), llfF

Предположение 10. ф 0 для всех г, у € V

Предположение 11. у) ф 0 для всех г, V 6 У.

Пусть предположение 10 (11) выполнено Введем функции

А,(») = зир{А > 0 . -А(тг^г° - Мг2) П тгг¥Рг(С/г, у) ф 0}, Х](у) = эир{А ^ 0 . -\(ттг2° - М?) П сажг1рг(рг, у) ф 0}, Хп+1{у) = = (р„у), и е У

Пусть далее

6 = М тах А ¡(у), ¿1 = т£ тах А} (и), Ух = {о :у е У, хг{у) = 0, г = 1, ,п}

Теорема 5. Пусть выполнено предположение 10, 5 > 0, и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий

а)г = 1;

б) тш тах(^, и) > 0 1)600^1 }

Тогда в игре Г происходит поимка

Теорема 6. Пусть выполнено предположение 11, ё\ ^ 0, причем существует уо 6 У такой, что

дл = тах Х/(уо) /е/(г)

Тогда в игре Г происходит уклонение от встречи.

Вторая глава диссертации посвящена задаче преследования группой преследователей одного или нескольких убегающих в примере Л. С. По-нтрягина при одинаковых динамических и инерционных возможностях игроков

В четвертом параграфе диссертации изучаются свойства положительного базиса, необходимые в дальнейшем.

Пятый параграф диссертации посвящен задаче преследования группой преследователей одного убегающего в примере Л С. Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях всех игроков.

В пространстве В,к (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц п преследователей Рх, . , Рп и убегающий Е.

Закон движения каждого из преследователей Рг (г — 1, , п) имеет вид

хг(0 + ац?_1) + • + сцхг = щ, щ € V. (6)

Закон движения убегающего Е имеет вид

у(0 + + + сцу = V, V 6 V (7)

Здесь хг,у,иг,у € Як, аг, , аг € В,1, V — вьшуклый компакт Вк При 4 = 0 заданы начальные условия

4а\0) = х°га, у{а)(0)=у1 а = 0,...,1-1, (8)

причем - у° £ Мг для всех г, где Мг — вьшуклые компакты Вк Дополнительно предполагается, что убегающий Е не покидает пределы выпуклого множества Б вида (5)

Вместо систем (6), (7) рассмотрим систему

гр + + + щгг = иг - V, иг, V (9)

*(о) = 4 -- х°г0 - уд, , ^1}(о) = 4-1 = 4-1 - у1 1

Пусть г° = а = 0, ,/-1}

Определение 4 Будем говорить,что в игре Г происходит поимка, если существуют момент Т и квазистратегии

Ыг{г,х°М)), О)

преследователей Р\, , Рп, что хч(т) — у(т) € Мя при некоторых д, Т е [0,Г] для любой измеримой функции и(г), £ V, у(Ь) € О, ¿е[о,т]

Обозначим через р = 0,1 ,1 — 1 решения уравнения

+ ах«/*-1) + 4- агго = 0 с начальными условиями

= 0,. , г/А"1* (0) = 0, (0) = 1,

ги

<Р+1>(0) = 0, .,^г-х)(о) = о

Предположение 12. Все корни характеристического уравнения

А1 + aiA'"1 + • + at = 0 (10)

имеют неположительные вещественные части.

Предположение 13. <pi-i(t) ^ 0 для всех t ^ 0.

Обозначим через Ai, . ,AS (Ai <, ,< Ag) — вещественные корни, Hi ± iv\, . ,/Хр ± гг/р, (hi fi2 ^ . < /ip) — комплексные корни уравнения (10), kg — кратность Xs,ma — кратность корня ца ± iva В силу предположения 13 цр ^ As Пусть далее

ф) = М*)Уо + ЫЫ + • • +

Так как

S Р

¥>»(*) = ]£eA,t-P»(f) + £ etlat(Qqa{t) COS z/ai + i?9Q(i) sin vat),

3=1 a=l

то (t),rj(t) представимы в виде

Ш = iZe^P^t) + ¿e^t(gie(i)coefe< + RL(t)smvat),

j-l a=l

T,(t) = еА>'Р?(*) + e^iQKt) cos uat + R2a(t) sm uat)

j=l a=l

Считаем, что £г(<) 4- для всех г и t > 0, ибо, если £a(t) € Ma при некоторых а и i, то преследователь Ра ловит убегающего Е, полагая ua(i) = u(i).

Считаем также, что Ps\ {€) ф 0 для всех г, ибо в противном случае преследователи первоначально добиваются вьшолнения указанного условия.

Обозначим через 7, — степень многочлена P}%{t), 70 — степень многочлена Pg(t), 7 — степень многочлена Psi-i{t) Можно считать, что 7г = 7 для всех г, ибо в противном случае преследователи Рг первоначально добиваются вьшолнения данного условия

Предположение 14. та < ks для всех a G I = {а . fia = As}.

Определим функцию Л comp(Äfc) х V R1,

ЦА, v) = sup{A 1 Л > О, -ЛА П (V - v) ф 0}

Здесь сотр(Д^) — пространство выпуклых компактных подмножеств Rk с метрикой Хаусдорфа Пусть далее

t

z? = lim PlJf, a= hm f ^{t - r)dr (As < 0),

t—toо t—>oo J

0

—I/o, если As < 0, _ f zf — M», если As = 0, ks — 1, — ^ 0, если As = 0, 1 _ \ в противном случае,

f A3(M», je 7(0)

J \ (Pj-n,«) + J =n + l, ,n + r

(io = mf max ß?(v), vevjei(r) 3

Vi = {v vGV, A(M* ,v) = 0, г = 1, ,nj

Предположение 15. 0 ^ M}, функции Хг непрерывны во всех точках (Ml, v) таких, что А г(М^,у) > 0

Теорема 7. Пусть для игры Г выполнены предположения 12-15, Xs < 0, ¿о > О, D = Rk, Мг — {0} Тогда в игре Г происходит поимка

Теорема 8. Пусть для игры Г выполнены предположения 12-15, As < 0, ¿о > 0, 0 € D, Мг = {0}, и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий

а) r = 1,

б) min тах((р,,г>) + Ьр3) > 0 vecoVi з

Тогда в игре Г происходит поимка

Теорема 9. Пусть для игры Г выполнены предположения 12-15, А* = 0, ¿о > 0, D = Rk Тогда в игре Г происходит поимка

Теорема 10. Пусть для игры Г выполнены предположения 12-15, Xs = 0, 8о > 0, и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий в; г = 1,

б) шш max(pj,v) > 0

v€coVi з

Тогда в игре Г происходит поимка

Следствие 1. Пусть выполнены предположения 12-14, Мг = {0}, А« = 0, V = £>1(0), п ^ к, £> — многогранник Тогда в игре Г происходит поимка

Пусть система (9) имеет вид

^ = АЛ + щ - V, *,(0) = |Н| «С 1, |М| ^ 1, (11)

где г, 6 Л', А, £ Д1, терминальные множества Мг = {0}, фазовые ограничения отсутствуют

Обозначим А^ = тах{0, Аг},

Л1А > V) — Л^оЦг •

Теорема 11. В игре Г, описываемой (11), происходит уклонение от встречи тогда и только тогда, когда

min max(A(z®, v) - А+) < 0

В шестом параграфе диссертации рассматривается задача о ш-кратной поимке убегающего в дифференциальной игре Г, описываемой (5), (6), (7) Приводятся достаточные условия разрешимости задачи преследования

Седьмой параграф диссертации посвящен нестационарной задаче преследования группой преследователей одного убегающего в примере JI С Понтрягина при одинаковых динамических и инерционных возможностях игроков.

В пространстве Rk (k ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц п преследователей P¡_, . Р„ и убегающий Е.

Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид

х[1) + 01(4)®,(,_1) + • + ai{t)x, = иг, иг 6 V. (12)

Закон движения убегающего Е имеет вид

У{1) + oi(í)t/(i_1) + + ai(t)y = v, v £ V (13)

Здесь хг, у, иг, v,£ Rn, ai, -,a¡ — непрерывные на [¿о,оо) функции, г = 1, . п. При t — to заданы начальные условия

®»(*о) = x(to) - х°Л, ,x{t1]{to) =

vito) = yl vito) = уЬ , y{l-1]{t0) = У?-!,

причем хг0 ф уд.

Дополнительно предполагается, что убегающий в процессе игры не покидает пределы выпуклого многогранного множества О вида (5)

Вместо систем (12), (13) рассмотрим систему

+ ах (гК(г_1) + • • + щ{€)гг = щ-у, щ,V € У, (14)

^(¿о) = 4> = «л ~ Уо> , (*>) = 4-1 = 4-1 ~ 2/г°-1-

Определение 5. Говорят, что в игре Г происходит поимка, если существуют момент Т{го), квазистратегии {7г(£,;г°, г>4( )) ггре-следователей Рг такие, что гя(Т) = 0 при некоторых д € {1, . ,п}, Т € [0,Т(2о)] для любой допустимой функции и(£) € V, t € [0, Т(гь)], где — решение системы (14), соответствующее набору управлений гц(£),и(4)

Обозначим через в), <? = 0,. .,I — 1, (£ ^ й ^ ¿о) решения уравнения

гу

(О

+ ai (t)w(í-:l) + • + ai (t)w = О

с начальными условиями

и>«(а)=0, j = 0, ..,q-l,q + l, ,1-1, «/<«>(«) = 1. Предположение 16. <pi-i (t, s) ^ 0, йлл есеж i ^ to, ío ^ s ^ t Пусть далее

Ш = <Po(t, t0)z% + ух (í, í0)4 + + Vi-i (í, ío)4-i>

í?(í) = v?0(í, t0)yo + <pi (t, t0)vi + ' ' + Vi-1 (*> ío)«/í°-i •

Предположение 17. Существуют функции ¡3t £ С [to, oo), векторы z® ф 0 такие, что

1 Pi(t) > 0 для всеж t > to,

2 Kmft(%(i)=Zf

t—J-OO

Пусть далее

0(t) = min ft (í), Аг(и) = = sup{A : А ^ 0, -As" êV-d}

г

^H-nfa) = (Pj>v), J = h ■ >Г>

¿o = inf max Xa (v),

v€VgeI(r) "w

i

Ух = . t; 6 У, Xt{v) = 0, г = 1, . ,n>, /(t) = J w-i(í, s)ds

to

Предположение 18. Функции АZ(z,v) непрерывны во всех точках таких, что Xt(zjv) > О

Предположение 19. lim ß(t)f(t) = оо

t-* оо

Предположение 20. Для каждого т > to выполнены следующие условия.

1 ||ß(i)?7(i)|| ограничена на [г,оо),

т

2. ß(t) J <pi-i (i, s)ds ограничена на [г, оо) *о

Теорема 12. Пусть для игры Г выполнены предположения 16-20, $о > 0, — 0, j — 1, . ,г, и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий

1 г = 1,

2 mm тах(р,, v) > О

ü€cöVi 3

Тогда в игре Г происходит поимка

Предположение 21. Функции ßl ограничены на [£о, оо)

Теорема 13. Пусть для игры Г выполнены предположения 16-21, ¿о > 0, 0 6 1пШ, и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий

1 г=1,

2 min тазс(р,,г;) > 0 v€cöVi з

Тогда в игре Г происходит поимка

В восьмом параграфе диссертации рассматривается задача уклонения одного убегающего от группы преследователи в конусе, где закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид

хг = ахг + иъ, lju.ll <1, а е R1

Закон движения убегающего Е имеет вид

у = ау + v, ||v|| < 1

При t = 0 заданы начальные положения преследователей х°, , и начальное положение убегающего упричем, =4 у0, г = 1, , п

Предполагается, что убегающий Е в процессе игры не покидает выпуклый конус

D = {y y&Rk, (р5,у)<0, з = 1, ,r},

где pi,. ,pr — единичные векторы Rk такие, что IntD ф 0

Пусть <7 — некоторое разбиение 0 = to < ti <, - , < tg,. ., интервала [0,оо), не имеющее конечных точек сгущения

Определение 6. Кусочно-программной стратегией V игрока Е, заданной на [0, оо), соответствующей разбиению о, называется семейство отображений {6'}g0, ставящих в соответствие величинам

{tl,Xl{tl), ,Xn(ti),y(tl))

измеримую функцию v = V[(t), определенную для t G [ti,ti+i] и такую, что ||t*(i)|| ^ 1, y{t) eD,te [thti+1)

Обозначим данную игру через Г

Определение 7. Будем говорить, что в игре Г происходит уклонение от встречи, если существуют разбиение а интервала [О, оо), стратегия V игрока Е, соответствующая разбиению сг, такие, что для любых траекторий Х\ (t), , xn(t) преследователей Р\, , Рп имеет место

4 2*0, 1 = 1,. ,п, где y(i) — реализовавшаяся в данной ситуации траектория игрока Е

Теорема 14. Если о < 0, п < к, то в игре Г происходит уклонение от встречи

Девятый параграф диссертации посвящен задаче преследования группой преследователей группы убегающих в примере Л С Понтряшна при равных динамических и инерционных возможностях игроков при условии, что каждый преследователь ловит не более одного убегающего, а убегающие используют программные стратегии

Предполагается, что закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид (б), а закон движения каждого из убегающих Е3, j = 1,...,тп имеет вид (7), причем V = £>i(0). При t = 0 заданы начальные условия

а.(0) = х°л, хМ = х°л, ., ^-^(О) -

%(0) = УМ = У%- -, у?~1)(0) = уу1,

причем х®0 ф у®0 для всех г, j. Дополнительно предполагается, что каждый из убегающих Е3 не покидает пределы выпуклого многогранного множества D вида (5),

В дальнейшем предполагается, что сначала все убегающие выбирают свои программные управления для Ь € [0, оо), а затем преследователи определяют свои движения на основе информации о выборе убегающих и, кроме того, каждый преследователь ловит не более одного убегающего

Определение 8 Будем говорить, что в игре Г возможна поимка, если существует момент Т > 0 такой, что для любой совокупности траекторий убегающих

{»,(«) у1аЧо) = у°а, а = 0,1, ,1-1, ге[0,оо)}

найдутся траектории преследователей

{хг(1) . х[а\Щ =

обладающие следующим свойством' существуют множества индексов N С {1,2, ,п}, М С {1,2, . ,т} мощности д (т е = |М| = д) такие, что каждый убегающий Е3, ] € М «ловится» не позднее момента Т некоторым преследователем Рг> г € N, причем, если преследователь Рг словит» убегающего Е3, то остальные убегающие считаются им не пойманными Выражение Рг словит» Е} означает, что существует момент Тг] € (0,Т], что хг(Тч) — у3(Тг]) Считаем, что п^д.

Предположение 22. Корни уравнения (10) вещест-венны и неположительны

Условие в. Для каждого р € {0,1, , д — 1} верно следующее для всякого множества N С {1,2, ,п}, |2\Г| = п —р найдется такое множество М С {1,2, ., т}, |М| = д-р, что для всех ¡3 £ М выполнено

0 € Ысо{ж° -у% а <Е И, рх, ,рг}

Теорема 15. Пусть выполнено предположение 22, Ая < 0, ца = 0, а = 1, .., г. Для того,чтобы в игре Г имела место поимка, достаточно выполнения условия б При I = 1,01 > 0 условие в является и необходимым

Теорема 16. Пусть выполнено предположение 22, Ая = 0 Для того, чтобы в игре Г имела место поимка, достаточно выполнения условия О. При 1 — 1,<ц — 0 условие С? является и необходимым

Третья глава диссертации посвящена задаче преследования группой преследователей группы убегающих в примере JI С Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях игроков и при условии, что все убегающие используют одно и тоже управление (жестко скоординированы)

В десятом параграфе диссертации рассматривается задача простого преследования группой преследователей группы жестко скоординированных убегающих. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости указанной задачи в предположении, что множество допустимых управлений — строго выпуклый компакт с гладкой границей

В пространстве Rk (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра п + m лиц- п преследователей и m убегающих. Законы движения каждого из преследователей Рг (с управлением иг) и каждого из убегающих Е3 (с управлением v) имеют вид

х% = щ, щ € V; у3 — v, v £ V; хг, у}, щ, v 6 Rk При t = 0 заданы начальные условия

xt(0) = ху}{0) = 2/°, причем ф у°

Дополнительно предполагается, что убегающие в процессе игры не покидают пределы выпуклого многогранного множества D вида (5).

Пусть Г > 0 и а — некоторое конечное разбиение

0 = t0 < il < h < • • <tq< tg+1 = T

отрезка [0, Т].

Определение 9. Кусочно-программной стратегией W убегающих Е}, соответствующей разбиению сг, будем называть семейство отображений é (I = 0,1,. , q), ставящих в соответствие величинам

{tu Xx(ti), уJ (il), mm mm j|a;t(i) - y, (i)||) (15)

t€[0,<i] t

измеримую функцию v(t), определенную для t G [ti, îj-h), и такую, что v(t) eV,y3{t) £ D, t G [U, tl+1)

Отметим, что действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который по величинам (15) для всех убегающих Е} выбирает одно и то же управление v(t), t Е [ti,ti+i).

Определение 10 Кусочно-программной контрстратегией Uг преследователя Рг, соответствующей разбиению а, будем называть семейство отображений Ь\ fl — 0,1, . , q), ставящих в соответствие величинам (15) и управлению v(t), t £ [¿ь^г+г) измеримую функцию иг{€), определенную для t € [ti,ti+i) и такую, что

u.(t)€V, t е Mm)

Определение 11 В игре Г происходит уклонение от встречи, если для любого Т > 0 существуют разбиение а отрезка [О, Т] и стратегия V убегающих Е3 такие, что для любых траекторий xz(t) преследователей Рг

ъЮ^уЛ*), te[o,T]

Определение 12 В игре Г происходит поимка, если существует Т > 0, и для любой стратегии V убегающих Е} существуют кусочно-программные контрстратегии Ь7г преследователей Рг, момент г € [0, Г] и номера s € {1,2, . , rn}, г 6 {1,2, ,п} такие, что

хг(т) = у5(т)

Будем предполагать в дальнейшем, что выполнено следующее условие любые к векторов из совокупности

{ж? - -У^лФ »*, Ръ ,Рг} линейно независимы, и у® £ Int D

Теорема 17. Пусть V — строго выпуклый компакт с гладкой границей, D = Rk,

Intco{z?} П со{у°} = 0 Тогда в игре Г происходит уклонение от встречи

Теорема 18. Пусть V — строго выпуклый компакт с гладкой границей, D = Rk,

Intco{z?} П со{у°} ф 0 Тогда в игре Г происходит поимка

Теорема 19. Пусть V = Di(Q),

0 Intco{x° -y°,pi, .,Pr} Тогда в игре Г происходит уклонение от встречи

Теорема 20. Пусть V = Di(0). п ^ к — 1 Тогда в игре Г происходит уклонение от встречи

Теорема 21. Пусть V = Z?i(0), п ^ к и

О е Intco{a;° - y°,pi, . ,pr} Тогда в игре Г происходит поимка

Определение 13 В игре Г происходит поимка двух убегающих, если существует Т > 0, и для любого разбиения а отрезка [0,Т], для любой стратегии V убегающих Е1, . , Ет существуют контрстратегии Ui,...,Un преследователей Pi, , Рп, моменты времени т\,Т2, номера l,s 6 {1,. . ,m}, h,Si € {1, . ,п} такие, что

Xh (n) = yi(n), xSl (r2) = í/s(t2)

Теорема 22. Пусть m = 2, £> = Rk, V — строго выпуклый компакт с гладкой границей и выполнены следующие условия

1- со{|/°, у%} С Intco{a;?, ., х°п},

2 существуют множества Ji, J2 С {1, , п}, I\, I2 С lo \ (Л U J2), h П h — 0, такие, что наборы векторов

6 Л, -с}, {z%,i е J2, с}, {4. 4г> *2i, ' € Л \ (Л П J2), s € J2 \ (Л П J2), aelu/3e h}

образуют положительный базис, причем ¡Jo \ (Л П J^)! ^ k + 1, (10 =

Тогда в игре Г происходит поимка

В параграфе 11 диссертации рассматривается задача о преследовании группой преследователей группы жестко скоординированных убегающих при условии, что законы движения участников конфликта имеют вид (12), (13), и цель группы преследователей состоит в поимке хотя бы одного убегающего.

Теорема 23. Пусть выполнены предположения 12-14, D — Rk, п ^ к + 1,V = D^O) и

О € Intco{2° }

Тогда в игре Г происходит поимка

Теорема 24. Пусть выполнены предположения 12-14, п ^ к, Г = А(0) и

о е ьлсо{г° ,Ръ

Тогда в игре Г происходит поимка

Кроме того, в данном параграфе рассматривается задача о поимке двух жестко скоординированных убегающих при условии, что законы движения участников имеют вид

хг + агхг — щ, иг е V, Уз + <ЧУз = « е V, Узу Иг, V € Як, й1,€ П},ох > О ®.(0)=®?, »,(<>)=

причем ф у^ для всех г,;/, У — строго выпуклый компакт с гладкой границей

Теорема 25. Пусть т, = 2,1> = Л6, У — строго выпуклый компакт с гладкой границей, и выполнены следующие условия

1 со{у?,у§} С Ьйсо^?,. ,х°п};

2 существуют множества Л, Л С {1, ,п}, Д, /2 С /о \ (Л и </2), 1\Г\ 1-1 = 0, такие, что наборы векторов

€ Л, -с}, {4«е4 с},

(4» 4, * е Л \ (Л п Л), « € \ (Л П ае^/Зе 1-2}

образуют положительный базис, причем |1о \ (Л П ^ & + 1, (/о = {1,- ,я})

Тогда в игре Г происходит поимка.

Четвертая глава диссертации посвящена задаче о «мягкой» поимке группой преследователей одного или нескольких убегающих в примере Л С Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях игроков

В параграфе 12 диссертации получены досточные условия «мягкой» поимки группой преследователей одного убегающего в примере Л С Понтрягина

Предполагается, что закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид (6), а закон движения убегающего имеет вид (7) При 4 = 0

заданы начальные условия

4а)(0) = х°ю, 2/^(0) =у°а, а —0,.. ,1 — 1, причем Ф у$, х°г1 ф уЧ

Определение 14 5 игре Г происходит «мягкая» поимка, если существуют Т > 0 и квазистратегии U\(t,z°,vt{)), , Un(t, z°,vt()) преследователей . ,Рп, такие, что

хч (т) =у(т), xq (г) = у(т) при некоторых q и т € [0, Т\ для любой допустимой функции v(t)

Предполагается, что все корни уравнения (10) вещественны, неположительны и I ^ 2

Пусть далее

Ш = ¿^(i)4 = ¿е^Р», £,(t) = ¿eA^Qjt(i),

3=1 3~ 1 i=l

<5 = inf тахА(гг?,г/), ¿i = inf maxmm{Ä(z°,v), A(zl,v)}. vSV г v€V г

Предположение 23. Функции \(z® ,v) непрерывны во всех точках вида (z°,v), для которых \(z®,v) > 0

Теорема 26. Пусть выполнено предположение 23, As = 0, ks ^ 2, 5 > 0 Тогда в игре Г происходит «мягкая» поимка

Предположение 24. Функции \(z®,v), \»(г*,г>) непрерывны во всех точках (z®, у), (zj,v) таких, что А(z®,v) > 0, \{z},v) > 0

Теорема 27. Пусть выполнено предположение 24, As = 0, ks — 1, ¿1 > 0 Тогда в игре Г происходит смягкая» поимка.

Теорема 28. Пусть выполнено предположение 23, As < 0, S > 0 Тогда в игре Г происходит «мягкая» поимка

В параграфе 13 диссертации рассматривается задача о «мягкой» поимке группой инерционных объектов группы инерционных объектов в игре Г(п, т, z°), где п — число преследователей, т — число убегающих,

г0 — вектор начальных позиций, законы движения каждого из преследователей Рг и каждого из убегающих Е3 имеют вид

аг, = иг, хг(0) = х°г, ®,(0) = х], \\иг\\ ^ 1, (16)

У, =Щ, У:(0) - У°, Уз(0) = у), !КII ^ 1 (17)

Вводится функция / N -)■ N вида ${п) = шп{т в игре Г(7г, т, г°) происходит уклонение при любых г0}

В данном параграфе получены некоторые достаточные условия разрешимости задачи уклонения в игре Г(п, т, и доказана

Теорема 29. Существуют константы Сх,С2 > 0 такие, что для всех п £ Ы,п ф 1 справедливо неравенство

с^пЫп < /(п) <С1гг1пп

В параграфе 14 диссертации рассматривается задача о «мягкой» поимке группой инерционных объектов группы инерционных жестко скоординированных объектов с законами движения (16), (17)

Теорема 30 Пусть

Ьйсо-К1} П со{^} Ф 0 Тогда в игре Г происходит «мягкая» поимка

Теорема 31. Пусть

Ьйсо-^1} П со {у)} = 0 Тогда в игре Г происходит уклонение от «мягкой» поимки

Пятая глава диссертации посвящена доказательству существования цены игры в классе обобщенных кусочно программных стратегий в дифференциальной игре п + т лиц, в которой закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид

хг = Мхг,иг), х,(0) =х°, игеиг (18)

Закон движения каждого из убегающих Е} имеет вид

У} = зауз^з)^ Узф) = у л уз е уз (19)

Здесь хг,у3 6 Rk, Uг € Vj € i?,1™3, Ut,V3 — компакты Пусть

Х0 = (х°,. У0 = («?,- ,у2.)

Обозначим через Г(Хо,Уо,«/т) игру, начинающуюся в момент t = 0 из начальных позиций (Х0,Уо), с функцией выигрыша

т

Jr(xt(t),ffj(t)) = У) nun min||a;t(i)-y3{t)\\ teio,T\ •

Отметим, что в случае т = 1 существование цены игры в классе кусочно-программных стретегий доказано Н.Н Петровым 19

Будем предполагать, что для систем (18), (19) выполнены следующие условия

1°. функции ii{g3) определены и непрерывны на Rk х 17г(Як х V,), 2°. функции fi(g3) удовлетворяют по хг(у3) локальному условию Липшица с константой, не зависящей от мг(иг);

3°. для всех (жг,иг) € х Ut, (y3,v3) € Rk х V3 справедливы неравенства

|(®„,«.))! ^ + INI2).

Определение 15 Кусочно программной стратегией Ql преследователя Рг называется пара {er, Qa}, где а € Е

О = t0 < ti < ■ <tr < tr+1 = Г,

aQir — семейство отображений Ц, I = 0, ,г, ставящих в соответствие величинам

{ti>xi{ti), ■■,xn{ti),yi(ti),.. ym{ti), min minUs^i)-yi(i)||,. , mm min ||a;t(i) - ym(i)||) (20)

i6[0,ii] г i£[0,ii] г

измеримую функцию и, = ut(t) е 1/,, определенную для t € [tj, fy+i)

19Петров Н Н О существовании значения игры преследования// ДАН СССР 1970 Т 190 № 6 С 1289-1291

Определение 16 Кусочно программной стратегией S3 убегающего Е3 называется пара {a, Sa}, где а £ £

О = ío < h < ■ < U < ír+i = Т,

a Sa — семейство отображений é},l — 0, , г ставящих в соответствие величинам (20) измеримую функцию v3 — v3(t) 6 V3, определенную для t € [ti,t¡+i)

Совокупность (Qi, . , Оп, S±, . ,Sm) называется ситуацией В силу наших предположений в каждой ситуации (Qi, ,On,S\, ,Sm) определены траектории хг = x%(t),yj = у3 (í) для t £ [0, Т], и определено значение функции выигрыша

m

K(Qi, ,Qn,S!, , Sm) — У2 min min ||a;,(t) — y3(í)||

* Í6I0,T1 г 3=1

Игрок P стремится минимизировать величину K(Qi, ,Qn, Si, , Sm), игрок E — максимизировать данную величину

Игру из начальных позиций (Xo,ló) с функцией выигрыша К при условии, что игроки используют кусочно программные стратегии, обозначим Г(Хо,1о), а ее цену — V(Xo,lo)

В работе доказывается существование цены игры в игре Г(Хо,3/о)

Публикации по теме диссертации

1. Петров Н Н Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика 1988 Т 52. Вып 6 С 1030-1033

2. Петров Н.Н. Одна задача простого преследования с фазовыми ограничениями//Автоматика и телемеханика 1992 №5 С 22-26

3 Петров Н.Н Квазилинейные конфликтно-управляемые процессы с дополнительными ограничениями// Прикладная математика и механика 1993. Т 57. Вып 6 С 61-68

4. Петров Н.Н Об одном классе задач группового преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика 1994 № 3 С 42-49.

5. Петров Н Н. Существование значения игры преследования со многими участниками// Прикладная математика и механика. 1994. Т 58. Вып. 4. С 22-29.

б Петров Н.Н Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями//Изв. вузов. Математика 1994 № 4(383) С. 24-29

7. Петров Н Н. Об одной задаче преследования группы убегающих// Автоматика и телемеханика. 1996. № 6. С 48-54

8. Петров Н Н Многократная поимка в примере Л С Понтрягина с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика 1997 Т. 61 Вып 5. С 747-754.

9 Петров Н.Н Простое преследование жесткосоединенных убегающих// Автоматика и телемеханика. 1997 № 12 С 89-95

10. Петров Н Н. Одна задача уклонения от многих преследователей// Известия РАН Теория и системы управления 1998 1 С 41-43

11. Петров Н Н «Мягкая» поимка в примере Л С Понтрягина со многими участниками//Прикладная математика и механика. 2003

Т. 67 Вып. 5. С. 759-770

12. Вагин Д А., Петров Н.Н Задача преследования группы жестко скоординированных убегающих //Известия РАН. Теория и системы управления 2001 № 5. С 75-79.

13 Вагин Д А , Петров Н.Н Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 2002 Т 66 Вып 2 С. 234г-241

14. Петров H.H. О некоторых задачах группового преследования// Ш международ, семинар « Негладкие и разрывные задачи управления Оптимизация и их приложения». Часть I 1995 СПб С 111-112

15. Петров Н Н. Групповое преследование с дополнительными ограничениями// Кибернетика и вычислительная техника 1997 Вып 115 С. 1-12.

16 Петров H.H. Нестационарный пример Понтрягина с фазовыми ограничениями// Проблемы управления и информатики. 2000. JV« 4 С 18-24

17. Петров H.H. Об одной задаче преследования со многими убегающими// Вестник Удмурт, ун-та. 2000 № 1. С. 131-136

18. Петров Н. Н. Теория игр Ижевск Изд-во Удмуртского ун-та, 1997 197 с.

19. Petrov N N. Group pursuit with phase restrictions// International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. 1998 V 7 №2/3

p. 179-187

20. Petrov N N About one Pursuit Problem with many Evaders// Game Theory and Applications 2001. V VI p. 82-88

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 16 08 2007 Формат 60x84 1/16 Тираж 100 экз Заказ № 1330

Типография ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул Университетская, 1, корп 4

Введение.

Глава 1. Квазилинейные конфликтно управляемые процессы с дополнительными ограничениями.

§ 1. Групповое преследование одного убегающего.

§ 2. Конфликтно управляемые процессы с нефиксированным временем.

Глава 2. Пример Л.С.Понтрягина со многими участниками.

§ 3. Вспомогательные результаты.

§ 4. Положительный базис.

§ 5. Поимка одного убегающего в примере JI. С. Понтрягина со многими участниками.

§ 6. Многократная поимка одного убегающего в примере JI. С. Понтрягина.

§ 7. Нестационарный пример JI. С. Понтрягина.

§ 8. Линейная задача уклонения от многих преследователей в конусе.

§ 9. Преследование группы убегающих.

Глава 3. Преследование группы жестко скоординированных убегающих.

§ 10. Простое преследование группы жестко скоординированных убегающих.

§ 11. Преследование группы жестко скоординированных убегающих в примере Л.С.Понтрягина.

Глава 4. "Мягкая" поимка в примере Л. С. Понтрягина.

§ 12. "Мягкая" поимка одного убегающего.

§ 13. "Мягкая" поимка группы инерционных объектов.

§14. " Мягкая" поимка группы жестко скоординированных инерционных объектов.

Глава 5. Существование значения игры преследования со многими участниками.

§15. Постановка задачи, определения, предположения.

§ 16. Существование цены игры

Объектом исследования диссертации являются конфликтно управляемые процессы со многими участниками.

Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики. В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух или более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями и оптимизировать заданные функционалы качества процесса. Динамические процессы могут описываться дифференциальными, интегральными, разностными, гибридными и другими уравнениями. Конфликтно управляемые процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют дифференциальными играми ([7]), термин был введен Р.Айзексом — одним из основоположников теории дифференциальных игр.

Одной из первых работ в этой области, по всей видимости, следует считать работу Г. Штейнгауза, опубликованную в 1925 году, в которой он формулирует задачу преследования.

Становление теории дифференциальных игр относится к началу 60-х годов XX века и связано с именами советских и зарубежных математиков Н.Н. Красовского, JI. С. Понтрягина, J1. А. Петросяна, Б. Н. Пшеничного, Р.Айзекса, У.Флеминга. Крупный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли А. А. Азамов, А. Я. Азимов, Э. Г. Альбрехт, М. Барди, В. Д. Батухтин, Т. Башар, Ю. И. Бердышев, А. Брайсон, М. С. Габриэлян, Н. JI. Григоренко, Р. В. Гамкрелидзе, П. Б. Гусятников, М. И. Гусев, В. Г. Гусейнов, В. И. Жуковский,

В. В. Захаров, М. И. Зеликин, Д. Зонневенд, Р. П. Иванов, А. Ф. Клейменов, А. В. Кряжимский, А. Б. Куржанский, А. Н. Кра-совский, Дж. Лейтман, В. Н. Лагунов, Ю. С. Ледяев, Н. Ю. Лукоянов,

A. А. Меликян, А. В. Мезенцев, Е. Ф. Мищенко, М. С. Никольский,

B. В. Остапенко, Ю. С. Осипов, А. Г. Пашков, В. С. Пацко, Н. Н. Петров, Г. К. Пожарицкий, Е. С. Половинкин, Б. Б. Рихсиев, И. С. Раппопорт, Н. Ю. Сатимов, А. И. Субботин, Н. Н. Субботина, В. Е. Третьяков, В. Н. Ушаков, В. И. Ухоботов, У. Флеминг, А. Фридман, Хо-Ю-Ши, А. Г. Ченцов, Ф. Л. Черноусько, А. А. Чикрий, С. В. Чистяков, Р. Эллиот, Л. П. Югай и многие другие математики.

Красовским Н.Н. и представителями его научной школы ([66], [68], [69],[8], [10], [65], [70], [71], [187], [186]) создана теория позиционных игр, в основе которой лежит понятие стабильного моста и правило экстремального прицеливания. Для широких классов дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе ([66], [68], [69], [186]). Обоснованы методы детерминированных и стохастических программных конструкций. Решение игровой задачи сводится к последовательному выбору экстремальных управлений, сохраняющих траекторию конфликтно управляемого процесса на стабильном мосту и приводящих траекторию по нему на терминальное множество.

Принятая схема позиционной игры такова ([68]). Пусть движение конфликтно управляемого вектора z описывается системой вида z = f(z,u,v), (0.1) где z 6 Rn,u Е U,v Е V,U С Rm,V С Rk,f — непрерывная функция. В пространстве Rn задано непустое целевое множество М. Формулируются две задачи о позиционном подходе (т.е. управлении по принципу обратной связи). Первая задача (стоящая перед первым игроком) — задача о сближении с целевым множеством М внутри заданных фазовых ограничений iV; вторая задача (стоящая перед вторым игроком) — задача об уклонении вектора 2 от М. Совокупность этих (противоположных) задач есть дифференциальная игра сближения-уклонения.

Связь между задачами раскрывается центральным результатом теории позиционных дифференциальных игр — теоремой об альтернативе, которая утверждает, что в рамках принятой формализации всегда, при подходящем выборе классов стратегий игроков, разрешима одна и только одна из указанных задач.

Таким образом, задачи сближения-уклонения являются взаимоисключающими и взаимодополняющими. Отсюда следует важный вывод о принципиальной неулучшаемости позиционного способа управления. Кроме того, теоремы об альтернативе позволяют рассматривать каждую из задач сближения или уклонения как критерий разрешимости противоположной задачи.

Большое внимание в работах данной школы уделяется вопросам практической реализации процедур управления и численного решения прикладных задач теории дифференциальных игр ([192], [198], [102]).

В работах А. И. Субботина ([189], [190]) условия стабильности сформулированы при помощи производных по направлению. В результате получены дифференциальные неравенства, обобщающие основное уравнение дифференциальных игр, записанное Р. Айзексом. Данный подход был применен к построению теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби.

Наилучшее решение позиционной дифференциальной игры сближения-уклонения доставляют максимальные стабильные мосты в фазовом пространстве. Однако эффективное построение таких мостов для исследования реальных конфликтно управляемых процессов весьма затруднительно или даже невозможно. Удобнее строить мосты, не являющиеся максимальными, но обладающие свойством стабильности и дающие эффективно реализуемые процедуры управления. Одним из способов построения таких мостов связан с программным или первым поглощением ([8], [66], [163], [202], [213], [219]). Условие регулярности и обеспечивает окончание игры за время первого поглощения ([66],[213]). При этом обосновывается преследование по кривой погони. Программные конструкции положены в основу метода программных итераций ([201]).

Одним из способов построения стабильных мостов являются попятные процедуры, позволяющие вскрыть структуру дифференциальной игры. Начальные идеи в этом направлении принадлежат Л.С.Понтря-гину и реализованы им в методе альтернированного интеграла ([151], [152]). В линейном случае этот метод дает эффективные достаточные условия разрешимости задачи преследования. Попятные процедуры с дискриминацией убегающего распространены на нелиненйые системы в работе Б. Н. Пшеничного ([160]). При этом рассмотрены случаи фиксированного и нефиксированного времени.

Идею рассматривать дифференциальную игру с двух точек зрения предложил и развил Л. С. Понтрягин ([147]). При таком подходе выдвигается на первый план один из игроков, которому предоставляется право строить управление на основе определенной информационной дискриминации противника.

Приведем более подробное описание формализации дифференциальных игр, предложенных Л. С. Понтрягиным ([148]). Пусть движение конфликтно управляемого объекта г описывается системой (0.1). Л. С. Понтрягин подчеркивает: ". мы связываем с дифференциальной игрой две разные задачи.

1. Нашей целью является завершение игры , т.е. приведение точки z на множество М; при этом для осуществления этой цели в нашем распоряжении находится управляющий параметр и, так что в каждый момент времени t мы выбираем значение u(t) этого параметра, используя z(s) и v(s) на отрезке t—fi ^ s ^ t, где подходящим образом выбранное положительное число. Таковы привила преследования.

2. Нашей целью является предотвращение конца игры, т.е. предотвращение прихода точки z на множество М. При этом для достижения этой цели в нашем распоряжении находится управляющий параметр v, так что в каждый момент времени t мы выбираем значение v(s) этого параметра, используя z(s), v(s) на отрезке t — Таковы правила игры убегания."

Основопологающие результаты по решению дифференциальных игр преследования и убегания получили Л. С. Понтрягин и Е. Ф. Мищенко. В работе ([151]) сформулированы достаточные условия разрешимости задачи преследования в нелинейных дифференциальных играх. В ней использован формализм принципа максимума - одного из центральных методов теории управления. Основной результат заключается в описании множества начальных позиций, из которых гарантируется возможность завершения преследования, а также в вычислении времени преследования, и способ формирования управления преследователя, реализующего процесс преследования.

Упрощение результатов работы ([151]) привело к созданию J1. С. Пон-трягиным первого и второго методов решения задачи преследования для линейных дифференциальных игр ([147]). Наиболее простым и достаточно эффективным для решения конкретных задач преследования является первый метод Л.С.Понтрягина. Данный метод дает удобно проверяемые достаточные условия разрешимости задачи преследования в классе контрстратегий. Первый метод Л.С.Понтрягина послужил основой для многих обобщений, в частности, ([62],[92], [94],[89], [83], [217], [146]). Данный метод имеет тесную связь с методом разрешающих функций.

Основополагающие результаты по решению линейных дифференциальных игр убегания принадлежат Понтрягину Л. С. и Мищенко Е. Ф. ([153]) Они получили условия на параметры процесса, достаточные для разрешимости задачи уклонения на всем бесконечном полуинтервале времени. Условия убегания в работах Понтрягина Л. С. и Мищенко Е. Ф. формулируются в геометрической форме, а при решении конкретных задач убегания доказаны новые геометрические свойства решений дифференциальных уравнений. Метод Л.С.Понтрягина-Е.Ф.Мищенко получил название метод маневра обхода. Нелинейная задача уклонения рассматривалась в ([210], [91]), где был предложен другой метод решения задачи уклонения, получивший название метода уклонения по направлению. Достаточно тонкие условия убегания дает метод инвариантных подпространств. Плодотворным оказался метод Ф. Л. Черноусько ([204]), дополненный в работах ([255], [47]). Новый метод исследования квазилинейных дифференциальных игр убегания предложили Р. В. Гамкрелидзе и Г. Л. Харатишвили.

Естественным обобщением дифференциальных игр двух лиц являются дифференциальные игры с участием группы преследователей и одного или группы убегающих. Новые способы решения дифференциальных игр с участием группы преследователей были предложены в работах Е. Ф. Мищенко, Л. А. Петросяна, Б. Н. Пшеничного, А. А. Чикрия,

H. JI. Григоренко, М. С. Никольского, Н. Ю. Сатимова, И. С. Раппопорта, П. Б. Гусятникова, Б. Б. Рихсиева, В. И. Жуковского, А. А. Азамова, Р. П. Иванова, В. JI. Зака и многих других математиков ([137], [164], [218], [182], [172], [91], [39], [32], [22]).

Отметим, что одной из первых работ, посвященных задаче группового преследования была работа Л.А.Петросяна ([136]), где было введено понятие стратегии параллельного преследования.

Толчком к появлению большого числа работ по указанной тематике послужила статья Б. Н. Пшеничного ([159]), в которой рассматривался случай простого преследования несколькими объектами одного преследуемого объекта при одинаковых возможностях всех участников. Было показано, что поимка происходит тогда и только тогда, когда начальная позиция убегающего принадлежит внутренности выпуклой оболочки начальных позиций преследователей.

Задачи преследования и убегания с участием групп преследователей и убегающих в литературе представлены достаточно слабо. Это объясняется в первую очередь сложностью данного класса задач.

Задача о поимке двух убегающих группой преследователей в квазилинейных дифференциальных играх рассматривалась в [29]. Были получены достаточные условия поимки.

В работе [220] А.А. Чикрием и Прокоповичем П.В. рассматривалась задача уклонения группы из т убегающих от группы из п преследователей, в которой закон движения каждого из участников имел вид z = Az + w, w ev, z eRk, где А- квадратная матрица, V- выпуклый компакт, к ^ 2. В терминах начальных позиций и параметров игры были получены достаточные условия уклонения хотя бы одного убегающего от группы преследователей из заданных начальных позиций и из любых начальных позиций (в последнем случае предполагается, что величины п, т фиксированы.

В работе [179] Сатимовым Н.Ю. и Маматовым М.Ш. была рассмотрена линейная задача преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что все убегающие используют одно и тоже управление. Были приведены достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего.

В работе [112] Петровым Н.Н. и Прокопенко В. А. была рассмотрена задача простого преследования группой преследователей группы убегающих при равных возможностях всех участников и при условии, что убегающие в момент t = О выбирают свои управления на весь интервал [О, оо), сообщают о своем выборе преследователям, а каждый преследователь ловит не более одного убегающего. Были получены необходиыме и достаточные условия поимки.

В работе [204] Ф.Л. Черноусько рассматривалась задача уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследующих точек, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Был построен такой способ управления, котороый обеспечивает уклонение от всех преследователей на конечное расстояние, причем движение уклоняющейся точки остается в фиксированной окрестности заданного движения.

Обобщением данной работы являются работы В. JL Зака ([47], [48], [49]). В работе [47] B.JI. Зак рассмотрел динамические объекты первого порядка щ = щ, щ G Ui(t, х) С Rk, i = 1,., n, у = A(t)y + v,ve V{t) С R\ (0.2) где A(t)— квадратная матрица, измеримо зависящая от t, V(t) — выпуклый компакт, кусочно-непрерывно зависящий от а каждое из множеств Ui(t,x) полунепрерывно сверху по х относительно включения. Предполагается, что y°(t) — экстремальная траектория уравненения (0.2) и включения

Ui{t,x) Clnt(A(t)x + V(t)) выполняются для всех t ^ 0 и всех х из некоторой окрестности траектории y°(t). Предложен конструктивный способ построения кусочно-программных стратегий, гарантирующих уклонение от встречи.

В работе ([28] H.JI. Григоренко получены необходиые и достаточные условия уклонения от встречи одного убегающего от нескольких преследователей, при условии, что убегающий и преследователи обладают простым движением, и множество допустимых управлений каждого из игроков - один и тот же выпуклый компакт.

В работе [232] Хайдаров Б.К. рассмотрел задачу позиционной I- поимки в случае простого группового преследования.

В работах ([60], [170]) получены условия оптимальности времени преследования в дифференциальной игре одного убегающего и нескольких преследователей, движением которых является простым.

В работе [30] Григоренко H.JI. получены необходимые и достаточные условия r-кратной поимки убегающего в задаче простого преследования.

Следует отметить, что абсолютное большинство работ посвященных как задаче преследования, так и задаче убегания рассматривались при определенном преимуществе одной из сторон. Работ, посвященных задачам преследования и уклонения при равных динамических и инерционных возможностях игроков достаточно мало. Основная часть работ указанного типа относится к задаче простого преследования. Также практически неизученными являются дифференциальные игры с участием нескольких лиц и при наличии дополнительных ограничений на состояния одной из сторон.

Данная работа посвящена исследованию некоторых классов дифференциальных игр преследования и убегания, а также решению ряда конкретных игровых задач.

Кратко остановимся на содержании диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, шестнадцати параграфов и списка литературы.

1. Абрамянц Т.Г., М а с л о в Е.П., Рубинович Е.Я. Простейшая дифференциальная игра поочередного преследования// Автоматика и телемеханика. 1980. N 8. С. 5-15.

2. Абрамянц Т.Г., Иванов М.Н., М а с л о в Е.П.,Я х н о В.П. Об одной задаче уклонения от обнаружения// Автоматика и телемеханика. 2004. N 10. С. 3-12.

3. АзамовА.О задаче убегания по заданной кривой// Прикладная математика и механика. 1982. Вып. 4. С. 694-697.

4. А з а м о в А. Двойственность линейных дифференциальных игр преследования// ДАН СССР. 1982. Т. 263. N 4. С. 777-780.

5. А з а м о в А. Об альтернативе для игр преследования на бесконечном интервале времени// Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50. Вып. 4. С. 561-570.

6. АзамовА. О существовании стратегии с кусочно-постоянными реализациями// Математические заметки. 1987. Т. 41. N 5.С. 718-723.

7. А й з е к с Р. Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967.

8. Альбрехт Э.Г. О сближении квазилинейных объектов в регулярном случае// Дифференциальные уравнения. 1971. Т.7. N 7.

9. А л ь б у с Дж., МейстелА., Чикрий А.А., Белоусов А. А., Козлов А.И. Об игровой задаче "мягкойпосадки" для движущихся объектов// Искусственный интеллект. 2000. N 3. С. 404-411.

10. Батухтин В. Д. Экстремальное прицеливание в нелинейной игре// ДАН СССР. 1972. Т. 207. N 1. С. 11-14.

11. Б е р ж К. Общая теория игр нескольких лиц. М.: ИФМЛ. 1961.

12. БлагодатскихА.И. Уклонение жестко скоординированных убегающих от группы инерционных объектов// Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. N 6. С. 142-148.

13. Блаженова-МикуличЛ. Ю. Некоторые задачи геометрической теории игр//Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т.П. N 8. С. 131-137.

14. Б о т к и н Н.Д., П а ц к о B.C. Универсальная стратегия в дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания// Problems of Control and Information Theory. 1992. V. 11. N 6. P. 419-432.

15. Б p ы к а л о в С. А. Две дифференциальные игры с невыпуклыми целевыми множествами// Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. N 3. С. 94-101.

16. БрыкаловС. А. Непрерывная обратная связь в задачах конфликтного управления// Докл. РАН. 2001. Т. 376. N 4.

17. Б р ы к а л о в С. А. Конфликтно управляемая система с нефиксированным моментом окончания// Труды Ин-та Математики и Механики УрО РАН. 2000. Т. 6. N 2. С. 313-319.

18. В а г и н Д.А., Петров Н.Н. Задача преследования группы жестко скоординированных убегающих //Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. N 5. С. 75-79.

19. В а г и н Д.А., Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 234-241.

20. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в диффере-ницальные игры нескольких лиц и их приложения. М.: Сов. радио. 1980.

21. Васильева Л.Г. Об одной дифференциальной игре убегания// Дифференциальные, бескоалиционные, кооперативные и статистические игры. Калинин.: Изд-во Калининск. ун-та. 1979. С. 26-33.

22. Вишневицкий Л.С., М е л и к я н А.А. Оптимальное преследование на плоскости при наличии препятствия// Прикладная математика и механика. 1982. Вып. 4. С. 613-621.

23. Габриэлян М.С., Субботин А.И. Игровые задачи о встречи с т целевыми множествами// Прикладная математика и механика. 1979. Вып. 2. С. 204-208.

24. Габриэлян М.С., Кряжимский А.В. Дифференциальная игра сближения-уклонения с т целевыми множествами// ДАН СССР. 1983. Т. 283. N 3.

25. Габриэлян М.С. Программные конструкции для игровых задач при пг целевых множествах//Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1985. Т. 38. N 1.С. 55-66.

26. Григоренко H.JI. Игра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего// Вестник МГУ. Серия вычисл. математика и кибернетика. 1983. N 1. С. 41-47. •

27. Григоренко H.J1. Преследование несколькими управляемыми объектами двух убегающих// ДАН СССР. 1985. Т. 282. N 5. С. 10511054.

28. Григоренко H.J1. Задача преследования несколькими объектами// Труды математического ин-та АН СССР. 1984. Т. 166. С. 61-75.

29. Григоренко H.JI. О квазилинейной задаче преследования несколькими объектами// ДАН СССР. 1977. Т. 259. N 5. С. 10401043.

30. Григоренко H.JI. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Московского унта. 1990.

31. Григоренко H.JI. К теории дифференциальных игр трех лиц// Труды Ин-та Математики и Механики УрО РАН. 2006. Т. 12. N 1. С. 78-87.

32. Григоренко H.J1. Игровые задачи управления с переменной структурой// Вестник МГУ. Серия 15. 1991. N 4. С. 5-16.

33. Григоренко H.JI. К теории дифференциальных игр нескольких лиц//Труды МИАН. 1999. Т. 224. С. 130-138.

34. Гусятников П.Б. Убегание и /-убегание в дифференциальной игре многих лиц//ДАН СССР. 1977. Т. 232. N 3. С. 517-520.

35. Гусятников П.Б. Дифференциальная игра убегания т лиц// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. N 6. С. 22-32.

36. Гусятников П.Б. Теория дифференциальных игр. М.: МФТИ. 1982.

37. Гусятников П.Б., Половинкин Е.С. Простая квазилинейная задача преследования// Прикладная математика и механика. 1980. •Т. 44. Вып. 5. С. 771-782.

38. Д е м и д о в К.В. Об одной задаче группового преследования с г кратной поимкой// Вопросы вычислительной математики и программирования. М.: МГУ. 1984. С. 73-75.

39. Д е м и д о в К.В. Дифференциальные игры с переменной структурой группы преследующих и одного убегающего// Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50. Вып. 1. С. 155-159.

40. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967.

41. Железнов B.C., Иванов М.Н., М а с л о в Е.П. Об одной задаче уклонения в пространстве// Автоматика и телемеханика. 1992. N 5. С. 11-22.

42. ЖимовскийВ. Два следствия решения одной задачи уклонения от многих преследователей//Ви11. Acad. Sci. Ser. math. 1980. Т. 28. N 3-4. С. 155-159.

43. Ибрагимов Г.И. Об одной задаче оптимального преследования несколькими объектами одного// Прикладная математика и механика. 1998. Т.62. Вып. 2. С. 199-205.

44. Ибрагимов Г.И. Об одной задаче группового преследования// Автоматика и телемеханика. 2005. N 8. С. 24-35.

45. Ибрагимов Г.И., РихсиевБ. Б.О некоторых достаточных условиях оптимальности времени преследования в дифференциальных играх со многими участниками// Автоматика и телемеханика. 2006. N 4. С. 16-24.

46. ИвановГ.Е.,ПоловинкинЕ.С. О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх// Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 10. С. 1641-1648.

47. Иванов Р. П. К вопросу о мягкой поимке в дифференциальных играх со многими догоняющими и одним уклоняющимся игроком// Труды Математического института АН СССР. 1988. Т. 185. С. 74-83.

48. Иванов М.Н., М а с л о в Е.П. О сравнении двух методов преследования в задаче о поочередной встрече// Автоматика и телемеханика. 1983. N 7. С. 38-43.

49. Иванов Р.П. Простое преследование на компакте// ДАН СССР. 1980. Т. 254. N 6. С. 1318-1321.

50. Иванов Р.П. Измеримые стратегии в дифференциальных играх// Математический сборник. 1989. Т. 180. N 1. С. 119-135.

51. И в а н о в Р.П., JI е д я е в Ю.С. Оптимальность времени преследования в дифференциальной игре многих объектов с простымдвижением// Труды математическ. ин-та АН СССР. 1981. Т. 158. С. 87-97.

52. Исаичкина Л.Ю. Об одном классе дифференциальных игр многих лиц// Некоторые вопросы прикл. мат. и программ, обесп. ЭВМ. М.: МГУ. 1982. С. 52-55.

53. КеримовА.К. К задаче преследования для одного класса линейных дифференциальных игр//Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1976. N 2. С. 8-12.

54. КовшовА.М. Параллельные стратегии в играх преследования на сфере// Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. канд. наук. СПб. 1996. 12с.

55. Константинов Р. В.О квазилинейной дифференциальной игре преследования с простой динамиков при наличии фазового ограничения// Математические заметки. 2001. Т. 69. Вып. 4. С. 581-590.

56. Красовский А.Н. Синтез смешанных стратегий управления. Свердловск. Изд-во Уральского ун-та. 1988.

57. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встречи движений. М.: Наука. 1970.

58. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Альтернатива для игровой задачи сближения// Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34. Вып. 6. С. 1005-1022.

59. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974.

60. Красовский Н.Н. Управление динамической системой: задаче о минимуме гарантированного результата. М.: Наука. 1985.

61. КряжимскийА.В.К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения// ДАН СССР. 1978. Т. 239. N 4. С. 779782.

62. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. 1977.

63. Куржанский А.В., Осипов Ю.С. К задаче управления с ограниченными фазовыми координатами// Прикладная математика и механика. 1968. Т. 32. Вып. 2. С. 194-202.

64. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К задаче программного преследования в линейных системах// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1970. N 3. С. 18-29.

65. Кучкаров А.Ш., Р и х с и е в Б.Б. О решении одной задачи преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 2001. N 8. С. 41-45.

66. JI а г у н о в В.Н. Введение в дифференциальные игры. Вильнюс. 1979.

67. Лагунова Н.В. Задача убегания от четырех преследователей// Вестник МГУ Серия 15. 1992. N 3. С. 57-63.

68. Л е д я е в Ю.С., Мищенко Е.Ф. Об оптимальных стратегиях в дифференциальных играх фиксированной продолжительности// ДАН СССР. 1986. Т. 286. N 2. С. 284-287.

69. Левченков А.Ю. Об одной задаче сближения двух различных преследователей с одним убегающим// Прикладная математика и механика. 1998. Т. 52. Вып. 1.

70. Малофеев О.А., П.етросян Л.А. Игра простого преследования на плоскости с препятствием// Сб. трудов ин-та математики Сиб. отд. АН СССР. 1971. Вып. 9. С. 31-42.

71. МалофеевО.А. Дифференциальные игры простого преследования на многообразиях// Математические методы организации и управления в сложных системах. Калинин.: Изд-во Калинин, ун-та. 1982. С. 69-74.

72. М а с л о в Е.П., Рубинович Е.Я. Дифференциальные игры преследования-уклонения с групповой целью// Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. М: ВИНИТИ. 1991. Т. 32. С. 32-59.

73. Мезенцев А.В. О некоторых классах дифференциальных игр// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971. N 6. С. 3-7.

74. Мезенцев А.В. Дифференциальные игры с интегральными ограничениями. М.: МГУ. 1988.

75. М е л и к я н А.А. Оптимальное взаимодействие двух преследователей в игровой задаче// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1981. N 2. С. 49-56.

76. М е л и к я н А.А., Овакимян Н.В. Игровая задача простого преследования на многообразиях// Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 1. С. 54-62.

77. М е л и к я н А. А., Овакимян Н.В. Игровая задача простого преследования на двумерном конусе// Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 5. С. 741-750.

78. М е л и к я н А.А. Первичные стратегии простого преследования в дифференциальных играх на двухсторонних плоских фигу-рах^Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. Ввып. 4. С. 611-622.

79. М и х е е в а С.Е. Зоны безопасности в играх с линией жизни// Вестник СПбГУ. Серия 1. 2003. N 1. С. 69-78.

80. М и щ е н к о Е.Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц//Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1971. N 5.

81. Мищенко Е.Ф., СатимовН. Ю. Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц// ДАН СССР. 1975. Т. 224. N 2. С. 285-288.

82. М и щ е н к о Е.Ф., Никольский М.С., СатимовН. Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц// Труды математич. ин-та АН СССР. 1977. Т. 143. С. 105-128.

83. Никольский М.С. Первый прямой метод JI.C.Понтрягина в дифференциальных играх. М.: МГУ. 1984.

84. НикольскийМ.С.,Пэн Чж. Дифференциальная игра преследования с нарушениями в динамике// Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. N 11. С. 1923-1927.

85. Никольский М.С. Линейные дифференциальные игры с переменной структурой//ДАН СССР. 1984. Т.276. N 4.

86. Никольский М.С. О некоторых актуальных задачах теории дифференциальных игр// Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. N И. С. 1557-1558.

87. Остапенко В.В., Колесник Д.В. Оптимальные области управления в дифференциальных играх с нефиксированным временем/ / Кибернетика и системный анализ. 2002. N 2. С. 168-172, 189.

88. О у э н Г. Теория игр. М.: Мир. 1971.

89. ПартхасаратхиТ., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц. М.: Мир. 1974.

90. Патланжоглу О.М.О потенциале игрока в обобщенном контрольном примере Л.С.Понтрягина// Автоматика. 1992. N 6. С. 1726.

91. П а ц к о B.C. Дифференциальная игра уклонения на плоскости// Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. Вып. 4. С. 604-608.

92. П а ц к о B.C. Дифференциальная игра качества второго порядка// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. Вып. 4. С. 596-605.

93. П а ц к о B.C., Т у р о в а В.Л. Численное решение дифференциальных игр на плоскости. Препринт. Екатеринбург. УрО РАН. 1995.

94. Пашков А.Г., Терехов С.Д. Об одной игре оптимального преследования двумя объектами одного// Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 6. С. 898-903.

95. Пашков А.Г., Терехов С.Д. Дифференциальные игры сближения двух динамических объектов с третьим// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. N 3. С. 66-71.

96. Перекатов А.Е., Ч и к р и й А. А. Поочередное преследование по позиции//Автоматика и телемеханика. 1993. N 10. С. 86-95.

97. ПетровН.Н. Об управляемости автономных систем / /Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. N 4. С. 606-617.

98. Петров Н.Н. Доказательство существования значения игры преследования с ограниченным временем// Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. N 5. С. 784-797.

99. Петров Н.Н. Существование значения игры преследования// Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7. N 5. С. 827-839.

100. Петров Н.Н. О существовании значения игры преследования// ДАН СССР. 1970. Т. 190. N 6. С. 1289-1291.

101. ПетровН.Н. Некоторые экстремальные задачи поиска на графах/ / Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. N 5. С. 821-827.

102. Петров Н.Н. Преследование невидимого подвижного объекта// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N 11. С. 1563-1565.

103. Петров Н.Н., Прокопенко В.А. Об одной задаче преследования группы убегающих // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. N 4. С. 724-726.

104. Петров Н.Н., П е т р о в Н. Никандр. О дифференциальной игре "казаки-разбойники" // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. N 8. С. 1366-1374.

105. П е т р о в Н. Н. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1997.

106. Петров Н.Н. Простое преследование при наличии фазовых ограничений// Деп. в ВИНИТИ 20 марта 1984г. N 1684. 14с.

107. Петров Н.Н. Одна оценка в дифференциальной игре со многими убегающими// Вестник Лениград. ун-та. 1985. N 22. С. 107-109.

108. Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. Вып. 6. С. 1030-1033.

109. Петров Н.Н. Одна задача простого преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 1992. N 5. С. 22-26.

110. Петров Н.Н. Квазилинейные конфликтно-управляемые процессы с дополнительными ограничениями// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 6. С. 61-68.

111. Петров Н.Н. Об одном классе задач группового преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 1994. N 3. С. 42-49.

112. Петров Н.Н. Существование значения игры преследования со многими участниками// Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 22-29.

113. Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Математика. Изв. вузов. 1994. N 4(383). С. 24-29.

114. Петров Н.Н. О некоторых задачах группового преследования// III международ, семинар "Негладкие и разрывные задачи управления. Оптимизация и их приложения". Часть 1.1995. СПб. С. 111-112.

115. Петров Н.Н. Об одной задаче преследования группы убегающих/ / Автоматика и телемеханика. 1996. N 6. С. 48-54.

116. Петров Н.Н. Математические игры. Учебное пособие. Ижевск.: Изд-во Удмуртск. ун-та. 1995.

117. Петров Н.Н. Многократная поимка в примере Л.С.Понтрягина с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 747-754.

118. ПетровН.Н. Простое преследование жесткосоединенных убегающих/ / Автоматика и телемеханика. 1997. N 12. С. 89-95.

119. Петров Н.Н. Групповое преследование с дополнительными ограничениями// Кибернетика и вычислительная техника. 1997. Вып. 115. С. 1-12.

120. Петров Н.Н. Нестационарный пример Понтрягина с фазовыми ограничениями// Проблемы управления и информатики. 2000. N 4. С. 18-24.

121. Петров Н.Н. Об одной задаче преследования со многими убегающими// Вестник Удмурт, ун-та. 2000. N 1. С. 131-136.

122. Петров Н.Н. Одна задача уклонения от многих преследователей// Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. N 1. С. 41-43.

123. Петров Н.Н. "Мягкая" поимка в примере Понтрягина// Известия ИМИ. Ижевск. Изд-во Удм. ун-та. 2001. N 1(21). С. 47-66.

124. Петров Н.Н. "Мягкая" поимка в примере J1. С. Понтрягина со многими участниками//Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. Вып. 5. С. 759-770.

125. Петросян JI.A. Дифференциальные игры на выживание со многими участниками// ДАН СССР. 1965. Т. 161. N 2. С.285-287.

126. Петросян J1.A. Игры преследования с "линией жизни"// Вестник Ленинградск. ун-та. 1967. N 3. С.76-85.

127. Петросян Л. А. Об одном классе игр преследования// Автореферат диссертации на соиск. степени канд. физ. мат. наук. Вильнюс. 1965.

128. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во ЛГУ 1977

129. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа. 1998.

130. Петросян Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования. Новосибирск.: Наука. 1983.

131. Петросян Л. А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Л.: Изд-во ЛГУ. 1982.

132. Петросян Л. А., Г а р н а е в А.Ю. Игры поиска. СПб.: Изд-во Санкт-Петерб. ун-та. 1992.

133. Петросян JI.A., РихсиевБ. Б. Геометрия простого преследования. М.: Наука. 1991.

134. Пилипенко Ю.В., Ч и к р и й А.А. Колебательные конфликтно-управляемые процессы// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 3. С. 3-14.

135. П и т ц ы к М.В., Ч и к р и й А.А. О задаче группового преследования/ / Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. Вып. 5. С. 730-736.

136. Питцык М.В. О методе группового преследования// Математические методы исследования оптимизационных задач. Киев.: Изд-во мн-те Кибернетики АН УССР. 1984.

137. Половинкин Е.С. Стабильность терминального множества и оптимальность времени преследования в дифференциальных играх// Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20. N 3. С. 433-446.

138. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т.2. М.:Наука. 1988.

139. Понтрягин Л.С. Линейная дифференциальная игра убегания// Труды математического института АН СССР. 1971. Т.112. С 30-63.

140. Понтрягин Л.С.О линейных дифференциальных играх I// ДАН СССР. 1967. Т. 174. N 6. С. 1278-1280.

141. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх II// ДАН СССР. 1967. Т. 175. N 4. С. 764-766.

142. Понтрягин Л.С. К теории дифференциальных игр//Успехи математических наук. 1966. Т.21. Вып. 4. С. 219-274.

143. Понтрягин JI.C. Линейные дифференциальные игры пресле-дования//Математический сборник. 1980. Т.112. N 3. С. 307-330.

144. Понтрягин Л. С., Мищенко Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх// Дифференциальные уравнения. 1971. Т.7. N 3. С. 436-445.

145. Понтрягин Л.С., Мищенко А.С. Линейная дифференциальная игра преследования: аналитическая теория// Математический сборник. 1986. Т.131. N 2. С. 131-158.

146. Понтрягин Л.С., Мищенко А.С. Решение линейной дифференциальной игры преследования без дикриминации убегающего объекта// ДАН СССР. 1984. Т. 277. N 6. С. 1063-1066.

147. Понтрягин Л.С., Мищенко А.С. Решение линейной дифференциальной игры преследования на основе альтернированного интегрирования без дикриминации управления убегания. ДАН СССР. 1984. Т. 278. N 1. С. 1330-1334.

148. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелид зе Р. В.,Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных' процессов. М.:Наука. 1969.

149. Прокопович П.В., Ч и к р и й А.А. Одна дифференциальная игра убегания// ДАН УССР. Серия А. 1989. N 1. С. 71-74.

150. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами// Кибернетика. 1976. N 3. С. 145-146.

151. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр// ДАН СССР. 1969. Т. 184. N 2. С.285-287.

152. Пшеничный Б.Н. О линейных дифференциальных играх// Кибернетика. 1968. N 1. С. 47-53.

153. Пшеничный Б.Н. Об одной специальной задаче преследования при неполной информации// Кибернетика и системный анализ. 1995. N 2. С. 106-112.

154. Пшеничный Б.Н. Линейные дифференциальные игры//Автоматика и телемеханика. 1968. N 1.

155. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев.: Наукова думка. 1992.

156. Пшеничный Б.Н., Раппопорт И.С. К решению задачи простого преследования несколькими управляемыми объектами// Институт Кибернетики АН УССР. Препринт 79-47. 1979. С. 3-6.

157. Пшеничный Б.Н., Раппопорт И.С. Об одной задаче группового преследования// Кибернетика. 1979. N 6. С. 145-146.

158. Пшеничный Б.Н., Ч и к р и й А.А., Раппопорт И.С. Преследование несколькими управляемыми объектами при наличии ограничений// ДАН СССР. 1981. Т. 259. N 4. С. 785-789.

159. Пшеничный Б.Н., Ч и к р и й А.А., Раппопорт И.С. Групповое преследование в дифференциальных играх// Wiss. Z. Jechn. Hochsch. Leipzig. 1982. Т. 6. N 1. С. 13-27.

160. Пшеничный Б.Н., Ч и к р и й А.А., Раппопорт И.С. Эффективный метод решения дифференциальных игр со многими участниками// ДАН СССР. 1981. Т. 256. N 3. С. 530-535.

161. Р и х с и е в Б.Б. Об оптимальности времени преследования в дифференциальных играх многих лиц с простым движением// Известия АН Узб. ССР. Серия физ-мат наук. 1984. N 4. С. 37-39.

162. Р и х с и е в Б.Б. К теории дифференциальных игр многих лиц// Краевые задачи для уравнений математической физики и их приложения. Ташкент. Изд-во Ташк. ун-та. 1983. С. 139-146.

163. Р и х с и е в Б.Б. Дифференциальные игры с простым движением. Ташкент.: Фан. 1989.

164. Р и х с и е в Б.Б., Ибрагимов Г. И. Простое преследование в кубе// Известия АН Узб. ССР. Серия физ-мат наук. 1990. N 2. С. 42-45.

165. Р и х с и е в Б.Б., Кучкаров А.Ш. Дифференциальные игры сближения-уклонения со многими преследующими в плоскости Лобачевского// Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2003. N 2. С. 23-27.

166. РокафелларР. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

167. Савинов В.Б. Дифференциальная игра преследования одним преследователем нескольких убегающих// Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 1995. Т.З. С. 147-171.

168. Сатимов Н. Задача преследования и убегания для одного класса линейных дифференциальных игр многих лиц// Прикл. математика и механика. Ташкент. Изд-во Ташк. ун-та. 1981. N 670. С. 64-75.

169. Сатимов Н. О задачах избежания взаимных столкновений// ДАН Узб ССР. 1981. N 2. С. 3-5.

170. Сатимов Н., Маматов М. Ш. О задачах преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх между группами преследователей и убегающих// ДАН Узб ССР. 1983. N 4. С. 3-6.

171. Сатимов Н.,Маматов М. Ш. Об одном классе линейных дифференциальных и дискретных игр между группами преследователей и убегающих// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. N 7. С. 1208-1214.

172. Сатимов Н., АзамовА., Хайдаров Б.К. Простое преследование многими объектами одного убегающего// ДАН Узб СССР. 1981. N 12. С. 3-5.

173. Сатимов Н., Р и х с и е в Б. Б. Методы решения задачи уклонения от встречи в математической теории управления. Ташкент.: Фан. 2000.

174. Сатимов Н. Ю., ТухтасиновН. Об уклонении от встречи в одном классе распределенных управляемых систем// Узбекский математический журнал. 2004. N 1. С. 82-87.

175. Сатимов Н. Ю., ТухтасиновН. О некоторых игровых задачах в распределенных управляемых системах//Прикладная математика и механика. 2005. Т. 69. Вып. 6. С. 986-992.

176. С и н и ц ы н А.В. Построение функции цены в игре преследования несколькими объектами// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып.1 С. 52-57.

177. Смольяков Э.Г. Теория антагонизмов и дифференциальные игры. М.: Эдиториал УРРС. 2000.

178. Субботин А.И., Ч е н ц о в А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981.

179. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М. Наука. 1991.

180. Субботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр// ДАН СССР. 1980. Т.254. N 2. С.293-297.

181. Субботин А.И., Субботина Н.Н. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой дифференциальной игры// ДАН СССР. 1978. Т.243. N 4. С. 862-865.

182. Тарасьев A.M., Ушаков В.Н. Алгоритм построения стабильного моста в линейной задаче сближения с выпуклой целью// Исследования задач минимаксного управления. Свердловск. Изд-во УНЦ АН СССР. 1985. С. 82-90.

183. ТухтасиновМ. О некоторых задачах теории дифференциальных игр преследования в системах с распределенными параметрами// Прикладная математика и механика. 1995. Т.59. Вып. 6. С. 979-984.

184. Ухоботов В.И. Дифференциальная игра с простым движением// Известия вузов. Математика. 1991. N 8. С. 69-72.

185. Ухоботов В.И. Метод одномерного проектирования в линенйых дифференциальных играх с интегральными ограничениями общего вида. Челябинск. Изд-во Челябин. ун-та. 1998.

186. Ухоботов В.И., Никитина С. А. Построение гарантированного управления в декомпозиционных задачах// Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби. Труды семинара. Екатеринбург. Изд-во Уральского ун-та. 2006. Т. 2. С. 172181.

187. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. N 4. С. 29-36.

188. Ушаков В.Н., Хрипунов В.Н. О приближенном построении решений в игровых задачах управления//Прикладная математика и механика. 1997. Т.61. Вып. 3. С.413-421.

189. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования//Вестник МГУ. Серия Математика, механика. 1959. N 2. С. 25-32.

190. Ч е н ц о в А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения// ДАН СССР. 1975. Т. 224. N 6. С. 1272-1275.

191. ЧенцовА.Г. Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным временем окончания// ДАН СССР. 1978. Т.240. N 1. С.36-39.

192. Ч е н ц о в А.Г. О некоторых свойствах множеств позиционного поглощения в дифференциальных играх сближения-уклонения// Задачи динамического управления. Свердловск. УНЦ АН СССР. 1981. С. 82-91.

193. Черноусько Ф.Л., М е л и к я н А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука. 1978.

194. Черноусько Ф.Л. Одна задача уклонения от многих преследователей/ / Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. Вып. 1. С. 14-24.

195. Ч и к р и й А.А., Раппопорт И.С. Линейная задача преследования несколькими объектами// Кибернетика. 1978. N 3. С. 86-92.

196. Ч и к р и й А.А. Линейная задача убегания от многих преследователей// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1976. N 4. С. 46-50.

197. Ч и к р и й А.А. Групповое преследование при ограниченных координатах убегающего// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. Вып. 6. С. 906-913.

198. Ч и к р и й А.А. Квазилинейные дифференциальные игры со многими участниками// ДАН СССР. 1979. Т.246. N 6. С. 1306-1309.

199. Ч и к р и й А.А. Квазилинейная задача сближения с участием нескольких лиц// Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. Вып. 3. С. 451-455.

200. Ч и к р и й А.А. Задача уклонения в нелинейных дифференциальных играх// Кибернетика. 1975. N 3.

201. Ч и к р и й А.А., М а ч и х и н И.И. Квазилинейные конфликтно управляемые процессы с переменной структурой// Проблемы управления и информатики. 1998. N 6. С. 31-41.

202. Ч и к р и й А.А., П и т ц ы к М.В. Сочетание усилий преследователей с различными динамическими возможностями// ДАН УССР. 1984. А. N 1.С. 73-76.

203. Ч и к р и й А. А. О задаче уклонения в линейной дифференциальной игре// Автоматика и телемеханика. 1979. N 9. С. 24-29.

204. Ч и к р и й А.А. О задачах убегания при ограниченных фазовых координатах// Кибернетика. 1977. N 4. С. 40-45.

205. Чикрий А.А. Дифференциальные игры нескольких лиц/ / Кибернетика. 1976. N 4. С. 99-101.

206. Чикрий А.А., Шишкина Н.Б. О задаче группового преследования при наличии фазовых ограничений// Автоматика и телемеханика. 1985. N 2. С. 59-69.

207. Чикрий А.А., П и т ц ы к М.В., Шишкина Н.Б. Первый прямой метод J1.С.Понтрягина и некоторые эффективные способы преследования// Кибернетика. 1986. N 5. С. 75-81.

208. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев.: Нау-кова думка. 1992.

209. Ч и к р и й А.А. Дифференциальные игры с несколькими преследователями// Mathematical Control Theory. Banach Center Publications. 1985. V.14. C. 81-107.

210. Ч и к р и й А.А., Прокопович П. В. Линейная задача убегания при взаимодействии групп управляемых объектов// Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 12-21.

211. Ч и к р и й А.А., Прокопович П. В. Задача убегания от группы для однотипных инерционных объектов// Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. N 6. С. 998-1004.

212. Ч и к р и й А.А., Прокопович П. В. О задаче убегания при взаимодействии групп линейных объектов// Кибернетика. 1989. N 5. С. 59-63, 78.

213. Ч и к р и й А.А. Задача убегания при взаимодействии групп линейных объектов// ДАН СССР. 1993. Т. 333. N 5. С. 591-593.

214. Ч и к р и й А.А., Калашникова С.Ф. Преследование управляемым объектом группы убегающих// Кибернетика. 1987. N 4. С. 1-8.

215. Ч и к р и й А.А., Соболенко Л.А., Калашникова С.Ф. Численный метод решения задачи поочередного преследования// Кибернетика. 1988. N 1. С. 44-49.

216. Ч и к р и й А.А., М а ч и х и н И.И. Линейные дифференциальные игры с импульсным управлением убегающего// Док. Нац. АН Украины. 2004. N 10. С. 80-85.

217. Ч и к р и й А.А., М а ч и х и н И.И. Линейные дифференциальные игры с импульсным управлением игроков// Труды Ин-та Математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11. N 1. С. 212-224.

218. Ч и к р и й А.А., М а ч и х и н И.И., Ч и к р и й К. А. Конфликтно управляемые процессы с разрывными траекториями// Кибернетика и системный анализ. 2004. N 5. С. 108-115.

219. ЧистяковС. В. Программные итерации и универсальные е оптимальные стратегии в позиционной дифференциальной игре// ДАН СССР. 1991. Т. 319. N 6. С.1333-1335.

220. Чхартишвили А.Г. Об одном геометрическом свойстве следящей области в задаче поиска// Вестник МГУ. Серия 1. 1992. N 3. С. 1-8.

221. Чхартишвили А.Г., Ш и к и н Е.В. О простых играх поиска на бесконечном круглом цилиндре// Математические заметки. 1995. Т. 58. N 5. С. 762-772.

222. Хайдаров Б.К. Позиционная I- поимка в игре одного убегающего и нескольких преследователей// Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48. Вып. 4. С. 574-579.

223. X о л л М. Комбинаторика. М.: Мир. 1970.

224. Шевченко И. И. Простейшая модель поочередного преследования// Автоматика и телемеханика. 1982. N 4. С. 38-42.

225. Шевченко И.И. Поочередное преследование трех убегающих// Автоматика и телемеханика. 1983. N 7. С. 70-75.

226. Шевченко И. И. О сближении с коалицией// Автоматика и телемеханика. 1986. N 1. С. 47-55.

227. Шевченко И. И. О минимизации расстояния до одного убегающего в момент захвата другого I// Препринт КИ99-1. Владивосток. Изд-во Дальневост. ун-та. 1999.

228. Шевченко И. И. О минимизации расстояния до одного убегающего в момент захвата другого II// Препринт КИ99-2. Владивосток. Изд-во Дальневост. ун-та. 1999.

229. Ширяев В.Д. Бескоалиционная игра простого преследования// Управление, надежность, навигация. Саранск. Изд-во Мордовск. ун-та. 1984. С. 33-41.

230. Ф а з ы л о в А.З. К задаче избежания столкновений// Изв. АН Узб ССР. Серия физ-мат наук. 1987. N 3. С. 30-36.

231. Ю г а й Л.П. Об I уклонении в линейной дифференциальной игре многих лиц// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. N 5. С. 840-845.

232. Ю г а й Л.П. Об одном достаточном условии уклонения по направлению// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N 9. С. 12911292.

233. В а г t о n J. С., Е 1 i е s е г С. J. On pursuit curves// J. Austral. Mat. Soc. B. 2000. V. 41. N 3. P. 358-371.

234. Berkovitz L.D. Differential game of generalized pursuit and evasion// SIAM J. Contr. and Optimiz. 1986. V. 24. N 3. p. 361-373.

235. Borovko P., Rzymowski W., Stachura A. Evasion from many pursuers in the simple case// J. Math. Anal, and Appl. 1988. V.135. N 1. p. 75-80.

236. С h i к r i i A. A. On a method of pursuit in "tranchs"// Доп. Нац. АН Украши. 2000. N 6. p. 109-113.

237. С h i k г i i A. A. The problem of avoidance for controlled dynamic objects// Game Theory and Appl. 1997. V.III. p. 7-20.

238. С h о d и n W. Differential games of evasion with many pursuers// J. Math. Anal, and Appl. 1989. V.142. N 2. p. 370-389.

239. F 1 у n n J. O. Lion and Mann: the boundary constraint// SI AM J. Control. 1971. V. 11. N 3. p. 397-411.

240. Friedman A. Differential Games. New York.: Wiley Intersci. 1971.

241. H a j e k O. Pursuit Games. New. York.: Acad. Press. 1975.

242. L e i t m a n G., L i n H. S. Evasion in the plane// Lect. Notes Contr. Inform. Sci. 1978. N 6. p. 255-263.

243. P e t г о v N. N. Group pursuit with phase restrictions// International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. 1998. V.7. N 2/3. p. 179-187.

244. Petrov N. N About one Pursuit Problem with many Evaders// Game Theory and Applications. 2001. V.VI. p. 82-88.

245. RzymowskiW. Method of construction of the evasion strategy for differential game with many evaders// Roszpr. mat. 1986. N 247.

246. Y о n g J. On differential evasion games// SIAM J. Contr. and Optimiz. 1988. V. 26. N 1. p. 1-22.