Нестационарная задача группового преследования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

005009198

Банников Александр Сергеевич

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

01.01.02 —дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 ФЕВ Ж\1

Екатеринбург — 2012

005009198

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Н.Н.Петров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Захаров В. В., Санкт-Петербургский государственный университет

доктор физико-математических наук,

профессор Клеймёнов А. Ф.,

Институт математики и механики УрО РАН

Ведущая организация: Челябинский государственный университет

Защита состоится 22 февраля 2012 г. в 11:00 часов на заседании диссертационного совета Д004.006.01. в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620990, Россия, г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан « $$ » ^^й^Л 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

доктор физ. -мят. няук . Н. Ю. Лукоянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики. В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух или более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями. Динамические процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют также дифференциальными играми.

Развитие теории дифференциальных игр стимулировалось наличием реальных прикладных задач, имеющих значение для механики, экономики, военного дела, радиоэлектроники, биологии и других областей.

Становление этой теории связано с исследованиями Р. Айзекса,

A. Брайсона, Б. Н. Пшеничного, У. Флеминга, Л. А. Петросяна.

В Советском Союзе активная разработка теории дифференциальных игр началась после фундаментальных работ академиков Н. Н. Красов-ского и Л. С. Понтрягина. Существенный вклад в эту разработку внесли В. Д. Батухтин, Р. В. Гамкрелидзе, Н. Л. Григоренко, П. Б. Гусятников,

B.И.Жуковский, В.В.Захаров, М. И.Зеликин, А.Ф.Клейменов, А. В. Кряжимский, А. Б. Куржанский, В.Н.Лагунов, A.A. Меликян, Е. Ф. Мищенко, М. С. Никольский, Ю. С. Осипов, Н. Н. Петров, Е. С. Поло-винкин, Н. Ю. Сатимов, А. И. Субботин, Н. Н. Субботина, В. Е. Третьяков, Н. Т. Тынянский, В. И. Ухоботов, В. Н. Ушаков, А. Г. Ченцов, Ф. Л. Черно-усько, А. А. Чикрий и многие другие авторы.

Из зарубежных авторов можно в первую очередь отметить работы Л.Берковича, Д.Брейквелла, А.Фридмана, Р.Эллиота, Дж.Лейтмана, Р. П. Иванова и других авторов.

Одним из важнейших разделов теории дифференциальных игр являются задачи преследования-убегания с участием группы управляемых объектов, хотя бы с одной из противоборствующих сторон. При этом ситуация может быть осложнена наличием ограничений на состояния объектов.

Одна из первых задач, линейная глобальная задача уклонения, была поставлена Л. С. Понтрягиным и Е. Ф. Мищенко1.

В этом направлении следует отметить также работы А.Азамова, М.С.Габриэляна, В.Л.Зака, А.В.Мезенцева, В.В.Остапенко, И.С.Раппопорта, В. С. Пацко, Б. Б. Рихсеева, С. И. Тарлинского и других авторов.

Наибольшую трудность для исследований представляет задача уклонения с участием нескольких лиц с терминальным множеством сложной

'Понтрягин Л. С., Мищенко Е. Ф. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого / / ДАН СССР, 1969, Т. 189, № 4, с. 721-723

структуры234. Специфика этих задач требует создания новых методов их исследования. Весьма актуальной представляются проблемы выяснения возможности уклонения группы убегающих от многих преследователей и переноса критериев разрешимости задач преследования-убегания на нестационарный случай. Решению этих вопросов и посвящена настоящая диссертация.

Цель работы. Работа посвящена изучению задач преследования-убегания с участием групп управляемых объектов, хотя бы с одной из противоборствующих сторон, и нахождение условий разрешимости в этих задачах.

Основной метод исследования. В диссертации используются методы теории дифференциальных игр и выпуклого анализа, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами:

1. Получены достаточные условия разрешимости локальной задачи уклонения группы убегающих от группы преследователей в линейной нестационарной задаче.

2. Приведены достаточные условия разрешимости глобальной задачи уклонения группы убегающих от группы преследователей в случае, когда движение описывается скалярными матрицами.

3. Получена двусторонняя оценка числа убегающих, достаточного для разрешимости задачи уклонения из любой начальной позиции при фиксированном числе преследователей в играх с простой матрицей.

4. Предложена позиционная процедура управления с поводырём, гарантирующая попадание преследователей в сколь угодно малую окрестность терминального множества в дифференциальной игре с простыми движениями при условии, убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества.

5. Получены достаточные условия уклонения одного убегающего от группы преследователей в дифференциальных играх второго порядка.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы для

2Чикрий A.A. Конфликтно управляемые процессы. Киев: наук, думка, 1992.

3Петров H.H., Петров Н.Никандр. О дифференциальной игре «казаки-разбойники» // Дифференциальные уравнения, 1983, Т. 19, №8. С. 1366-1374.

4Григоренко Н. Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: МГУ, 1990.

дальнейших исследований по теории дифференциальных игр со многими участниками.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на международных (39-й, 41-й и 42-й всероссийских) молодёжных школах-конференциях (г.Екатеринбург, 2008, 2010, 2011), международной научной конференции «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (г.Екатеринбург, 2009), конференции «Регулярная и хаотическая динамика» (г.Ижевск, 2010), конференции «Динамические системы, управление и наномеханика» (г. Ижевск, 2009), Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теория управления, конференции «Лобачевские чтения 2006» (Казань, 20Об) и других.

Публикации. Основные результаты опубликованы в четырнадцати работах, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, шести параграфов, двух рисунков и списка литературы. Объём диссертации составляет 101 страницу и содержит 123 библиографические ссылки.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работа состоит из двух глав и шести параграфов. В первой главе рассматриваются задачи конфликтного взаимодействия групп преследователей и убегающих. Цель преследователей — переловить всех убегающих, цель убегающих — хотя бы одному избежать поимки. Для однотипных линейных систем даны условия взаимного расположения преследователей и убегающих, достаточные для убегания на бесконечном полуинтервале. В случае простых матриц рассмотрен вопрос о соотношении числа преследователей и убегающих, при котором разрешима глобальная задача уклонения. Все дифференциальные игры рассматриваются в пространстве К* (к 2 2).

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит описание некоторых свойств границы множества управляемости, связанных с условиями максимума и трансверсальности.

Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п преследователей и т убегающих. Закон движения каждого из преследователей Рг, г = 1,... ,п, имеет вид:

ач(г) = А{ь)х&) + Щ е и. (1)

Закон движения каждого из убегающих Е^, 3 — 1,... ,т, имеет вид:

= + у5еи. (2)

В момент времени Ь = заданы начальные условия .гг(/.о) = у3(10) = причём х° ф у0- для всех г, Здесь (/ С К1 — выпуклый

компакт, А(Ь) — действительная квадратная матрица порядка к, измеримая на всей оси I, норма |(Л(г)|| интегрируема на любом компактном подмножестве оси Управлениями игроков являются измеримые функции -1^(1), принимающие при í > <0 значения из множества и.

Определение 1 Будем говорить, что в дифференциальной игре Г из начального состояния г0 = (х?,... ,... ) разрешима на полубесконечном интервале [¿о, + оо) локальная задача уклонения, если существуют такие управления VI ... ,г>т(£) убегающих, что при любых управлениях 1X1 (¿),. • ■ )мп(0 преследователей найдется номер

« е {1,...,т}, такой, что ф х{(г) для всех г € {1,...,тг} при всех « ^ «о-

Пусть в — некоторое непустое подмножество пространства К*1. Полагаем х(Ь) = (х1(4),... ,х„(£)), 1/(0 = (з/1(<), • • • ,Ут(<)) и определим множества индексов

причем, если существуют индексы j[ е J(y(t),дG), I = 1,... з > 1, к <32 <■■■< За, такие, что уп (¿) = у^ (£) = ■•• = уи (¿), то считаем, что 31 & для 1 = 2,... Обозначим через |/| количество элементов

конечного множества /.

Предположим, что С — выпуклый компакт. Обозначим через ^(Ь) решение сопряженной системы

ф(1) = -А'{1)Ш (3)

соответствующее начальному условию ф^о) = р^, где р^ — единичный опорный вектор к множеству О в граничной точке у®, з € 3(у(1о),дС).

Теорема 1 Пусть существует выпуклый компакт в, что

^(у(к),дС)\ > Ща^сОД^С)!,

и для любого j 6 ./(?/(<о),3(?) опорная функция дифференцируема

по вдоль траектории системы (3) для почти всех t > тогда в дифференциальной игре Г из начального состояния г0 разрешима локальная задача уклонения.

Теорема 2 Пусть и — строго выпуклый компакт с гладкой границей. Если существуют выпуклые компакты С2, такие, что х? е и 6'2 для любого г 6 {1,... и

|/(®(<о),С1\Са)| < |и С2))| + | Ду(10),дС2)\, (4)

то в дифференциальной игре Г из начального состояния г° разрешима локальная задача уклонения.

В третьем параграфе рассматривается дифференциальная игра Г, описываемая (1), (2), в которой у1(4) = ~а(Ь)Ек, где а(€) — действительная измеримая функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве оси а и — строго выпуклый компакт.

Обозначим

«о

Пусть а некоторое разбиение t0 = т0 < Ti < • ■ • < промежутка [¿0,+оо), не имеющее конечных точек сгущения.

Определение 2 Кусочно-программной стратегией Vj убегающего Ej, отвечающей разбиению а, называется семейство отображений ставящих в соответствие величинам

(n,xi(ti), ... ,хп(п),у1 (п),.. - ,ут(п), min min ||xj(r) - j/i(r)||,..., min min ЦжДт) - ym(r)||)

i=l..nre[ro,r,] 1=1..n r6[r0,Ti]

измеримую функцию v' (£), определенную на [r;,ri+1) и такую что vfa) € U для всех t G [ti,ti+i).

Определение 3 В дифференциальной игре Г(п,m,z°) разрешима глобальная задача уклонения, если из любого начального состояния z° разрешима локальная задача уклонения.

Получены достаточные условия разрешимости локальной задачи уклонения и оценки для числа убегающих, уклоняющихся от заданного числа преследователей из любых начальных позиций.

Лемма 1 Пусть в игре Г(п,т,г°) \0 = 0, существуют гиперплоскости Hi, #2, ..., Н21, множества Ii, h,---, h, ^ь J2,---> ^ь такие, что выполнены следующие условия:

1. Hi || Я2 || • • • || Я2ь Hj~ С Ht_1,j — 2,... ,21, р — единичный вектор нормали гиперплоскости Н\, направленный в Нj",

2. Ia С {1,... ,п}, Jq С {1,... ,т), s,q = 1,... ,1, Is П Ig = 0, s ф q, Js П Jq = 0, s ф q,

t

3. e Щ-, i i U /,

S 1

4- xf e H¿ n я2"+1> i e /s, s = i, 1,

G #+, г G h,

5■ y°j e Г) я2-, j e S = i,...Л

б- 1Л1 + [|J2| - |/i|]+ + • • • + pt| - (\h\ + \h\ + • • • + Ih-Ж >

>\h\ + \h\ + --- + |/j|, где a+ = max(a,0),

i

7. для любой пары индексов i, j G (J Js, i ф j, выполнено

S = 1

У?

Тогда в игре Г(n,m,z°) разрешима локальная задача уклонения. Доказана

Теорема 3 Пусть Л0 = О, U — строго выпуклый компакт с гладкой границей. Тогда для любых натуральных р, т, таких, что m > р2р + 2 в игре Г(2Р + 1,т,г0) разрешима глобальная задача уклонения.

Определим функцию /: N -> N следующим образом: f(n) = min {т| в T(n,m,z0) происходит уклонение от встречи для любого z0 }.

Теорема 4 Существуют константы Ci > О, С2 > 0 такие, что для всех натуральных п > 2 справедливы следующие неравенства

Cjnlgn sC f(n) < C2n\gn.

Вторая глава состоит из трёх параграфов, в ней рассматриваются задачи группового преследования одного убегающего.

В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра п + 1 лиц: п преследователей Рь ..., Рп и убегающего Е.

Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид

±i{t) = a(t)ui(t), Xi(t0) = х°, щ e Q. (5)

Закон движения убегающего Е имеет вид

Vit) = a(t)v(t), v(t0)=y°, veQ, (6)

причем z° = z° - у0 £ Ми г = 1,... ,п, Мг - заданные выпуклые компакты; a(t) — измеримая по Лебегу функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве оси t, /t*°°|a(s)| = +оо; Q— выпуклый строго выпуклый компакт с гладкой границей, О G Q.

Предполагается, что убегающий Е в процессе игры не покидает пределы множества Б вида

£>={у|3/еК*: ¿ = 1,...,г}, (7)

где р\,... ,рг — единичные векторы, ц\,.. ■ ,щ — вещественные числа такие, что 1п1/) ф 0.

Пусть Т > £о — произвольное число и сг — некоторое конечное разбиение отрезка [¿о,Г]: ¿о = то < < ... < т3 < т3+г = Т.

Определение 4 Кусочно-программной стратегией V убегающего Е, заданной на [¿о,Т], соответствующей разбиению а, называется семейство отображений Ь1, I = ОД,... гч, ставящих в соответствие величинам

("П,£1(тг), ■ • • ,хп(т1),у(п)) (8)

измеримую функцию определенную для £ е [т(,Т|+1), и такую, что

М*) еЯ, еДге [т},г,+1).

Определение 5 Кусочно-программной контрстратегией преследователя Р,, соответствующей разбиению и, называется семейство отображений с1, I — 0,1,... ставящих в соответствие величинам (8) и управлению г>;(£) измеримую функцию «{(£), определенную для 4 £ [ть^-и) и такую, что и\(Ь) € £ е [г:,т";+1).

Пусть = ... Обозначим данную игру Г = Г(п,г0,О).

Определение 6 В игре Г возможно уклонение от встречи, если для любого числа Т > Ьо существует разбиение а интервала [¿о,Т], стратегия V убегающего Е, соответствующая разбиению сг, такие, что для любых траекторий игроков Pi имеет место

- У® 4 Ми *еМ1, г = 1,...,п,

где у(£) — реализовавшаяся в данной ситуации траектория убегающего Е.

Определение 7 В игре Г происходит поимка, если существует момент времени Т > £0 и для любого разбиения а интервала любой траек-

тории у{£) игрока Е существуют кусочно-программные контрстратегии игроков Р{, соответствующие разбиению а, существует момент г £ [¿о,Т] и номер т 6 {1,2,... такие, что

Ят(-г) - у (г) € Мт,

где хт(1) — реализовавшаяся в данной ситуации траектория преследователя Рт.

Вместо систем (5) и (6) будем рассматривать систему

¿i(t)=a(t)(Mt)-v(t)), ¿¿(to) = z° = х° - у0. (9)

Введем функции Л, следующим образом:

Лi{v,rrii) = max{A | v - A(z? - т4) 6 <3, v e £?}, \(v) = max Х{(у,тА, i-l,...,n,

miSMi

\~{w,mi) = max{A | w - А (г? - m,) б -Q, ш € -Q}, max A,~(го,гп4), г = l,...,n.

nueMi

Так как Q — выпуклый строго выпуклый компакт с гладкой границей, то функции Ai непрерывны на Q, АГ непрерывны на -Q, и существуют

¿(z°) = min max XAv), S (z°) = min max A- (w), veQi=i,...,n ,v " v ' we-Qi=l.....n 1 v h

причем

n

6{z°) = 0 0 e Intconv [J (г? - Mi)yS(z°) = 0 (T(z0) = 0.

i=l

Теорема 5 Пусть D = Rk. В игре T(n,z°,D) происходит поимка тогда и только тогда, когда 5(z°) > 0.

Предполагая , что убегающий Е в процессе игры не покидает пределы множества D вида (7), Q— шар радиуса R > 0 с центром в начале координат, получаем необходимые и достаточные условия поимки. Пусть

A n+j(v) = (v,pj), j=l..r <M-z°) = min max As(w), ¿r(z°) = min max XJ-v).

Величина ij (г°) = 0 в том и только том случае,

0 i Int conv{z° - Мь ... ,z°n - Mn,pu ... ,pr}.

Учитывая, что по определению ¿^(z0) ^ 0, получаем, что

ö^z0) > 0 0 е Intconv {л? - Ми • • • Л - Мп,Ри... ,рг} 51(z°)>0<=>S^{z°)>0.

п

Теорема 6 Пусть число элементов множества (J (zf - Mi) не меньше

¿=1

к. Тогда для того, чтобы в игре Г происходила поимка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ¿i(.z0) > 0.

Во втором параграфе рассматривается задача позиционной поимки одного убегающего. Показывается, что если преследование может быть завершено за конечное время в классе позиционных контрстратегий, то при информированности преследователей только о позиции игры, оно может быть закончено за то же самое время в сколь угодно малой окрестности терминального множества.

Для каждой из систем (9) рассмотрим систему-поводыря

«М*) = в(*)Ы0-»(*)). = г е ЛГ„. (ю)

Определение 8 Будем говорить, что в игре Г происходит поимка из заданной начальной позиции г° = г(10), если существуют момент времени Т0 — Т(г°), позиционные стратегии управления с поводырём Ыъ — (иг,1р{,Хг) преследователей Рг, г е УУ„ такие, что для любой измеримой функции «(•), Ь'(г) в Q, t е {10,Т0\ существуют момент времени т е [¿сь^о] и номер 5 6 такие, что имеет место включение г3(т) в М3.

Здесь — функция, которая будет формировать управление преследователя в исходной системе (9)

и г: [¿о,Т0] х х К* -> С}, функция ^ есть переходная функция г-го поводыря

А: Т% х К"* х К«* Шк (т* = { {1и12) € [г0,т0]2| Ь < 12

Значение переходной функции т/чОь^^ги) есть положение = ги^2), в котором 1-й поводырь окажется в заданный момент времени 12 при условии, что в момент £ = ^ управляемая система и поводыри находились в точках г = г^х) и ш = ги(р1) соответственно.

Третья функция Хг ставит в соответствие позиции (Ь,г) положение поводыря х«(М) - и}{ -

Введём функции Л^ следующим образом:

Л<(г/,т£) = тах{А|г/- А^0 - 6 <?, «€<?}, = шах А^г/.т,-), АГ(и,т4) = тах{А|и-А(г1;?-т{) 6-<3, АГ(1;)= тах

rn.iZ.Mi

Так как ф— строго выпуклый компакт с гладкой границей, то существуют

5{уР) = тштахАДи) > 0, = тш тахАГ(и) > О,

О-

и

причём (J(w°))2 + (ö~(w0))2 > 0 0 G Int conv (J (w? - Mi).

i£Nn

Введём обозначения:

A+(t) = {r 6 [i0)i]|a(r) > 0}, A~(t) = {t 6 [i0,i]|a(r) < 0},

C'(Q\h)— градиент опорной функции, ßk — единичный шар в Rfc с центром в начале координат.

Теорема 7 Пусть начальная позиция z° и функция а(-) таковы, что

Т = f(z°) = min {i 2to\S(z°) [ a(s) ds + S~(z°) j |a(s)|ds = n) < +oo.

1 Ja+( t) •'^-(t) '

Тогда для любого e > 0 в игре Г происходит поимка с терминальными множествами Mf — М; + еВк.

В третьем параграфе рассматривается задача уклонения убегающего от группы преследователей в случае, когда игроки распоряжаются ускорениями (инерционные объекты).

Закон движения каждого из преследователей Pi, i — 1,... ,п, имеет вид:

Xi{t) = a{t)ui(t), щ е U. Закон движения убегающего Е имеет вид:

ij(t) =a(t)v(t), veU, причем, в начальный момент Xi(to) = х¿¿(¿о) =

у{к) = у°> y{to) = y°, i?7t = l,...,n.

Здесь С/ с Rfc — выпуклый компакт, 0 € Int U\ a(t) — ограниченная измеримая функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве оси t, a(t) ф 0 почти всюду на [¿о, + оо). Управлениями игроков являются измеримые функции щ(Ь), v(t), принимающие при t ^ ¿о значения из множества U.

Обозначим данную игру через T(n,z(t0)), где

Z(t) = (Z\ (t),Z\(t), . . . ,Zn(t) ,Zn{t)), Zi(t) =Xi(t) - y(t), i = 1 ,...,n.

Определение 9 Позиционной контрстратегией V убегающего Е назовем измеримое отображение

[¿0, + оо) х R2"* xUn^U.

Тогда при заданных управлениях «¿(¿) преследователей Рг, г = 1,...,гг стратегия V определяет управление ь(1) = У(1,г(1),щ(1),... ,«„(£)), которое будет измеримой функцией. Считаем, что управления преследователей формируются на основе информации о состоянии г{Ь) дифференциальной игры.

Теорема 8 Если 0 со , тогда в игре r(n,z(t0)) из начального

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ

1. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2009. — №4. — С. 29-34.

2. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Известия вузов. Математика. — 2009. — №5. — С. 3-12.

3. Банников А. С. Об одной задаче простого преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.

2009. — Вып. 3. — С. 3-11.

4. Банников А. С., Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования // Труды Института математики и механики УрО РАН. —

2010.- Т. 16, №1. - С. 40-51.

5. Банников А. С. Уклонение от группы нестационарных инерционных объектов // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2010. — Вып. 1. — С. 3-10.

6. Банников А. С. О задаче позиционной поимки одного убегающего группой преследователей // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. — Вып. 1. — С. 3-7.

Публикации в других изданиях и сборниках материалов конференций

7. Bannikov A., PetrovN. About Some Non-Stationary Problem of Group Pursuit with the Simple Matrix // Contributions to game theory and management = Успехи теории игр и менеджмента: collected papers presented on the Fourth International Conference Game Theory and Management. — SPb, 2011. — Vol IV. - P. 47-62.

8. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, математ. о-во, 2006. Т. 34. С. 26-28.

состояния z(to) разрешима локальная задача уклонения.

Публикации автора по теме диссертации

9. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Проблемы теоретической и прикладной математики: тр. 39-й Всерос. моло-деж. конф., 28 янв. - 1 фев. 2008 г. Екатеринбург: УрО РАН, 2008. С. 221-223.

10. Ванников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Итоговая студенческая научная конференция (36; Апрель, 2008) XXXVI итоговая студенческая научная конференция, посвященная 450-летию добровольного вхождения Удмуртии в состав Российского государства: материалы конф., Ижевск, апр. 2008 г. / Удмурт, гос. ун-т ; отв. ред. Н. И. Леонов. - Ижевск, 2008. - С. 4-5.

11. Ванников A.C., Петров H.H., Сахаров Д.В. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов // Актуальные проблемы теории устойчивости и управления: тез. докл. междунар. конф., 21-26 сент. 2009 г., Екатеринбург

12. Банников А. С. Об одной задаче группового преследования // Динамические системы, управление и наномеханика: тез. докл. Всерос. конф., г. Ижевск, 24-28 июня 2009 г. / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН, Ин-т математики и механики УрО Рос. акад. наук, Междунар. науч. журн. «Регуляр. и хаот. динамика». - Ижевск: РХД, 2009. с. 31.

13. Банников А. С. Групповое преследование одного убегающего с фазовыми ограничениями // Проблемы теоретической и прикладной математики: тез. 41-й Всерос. молодеж. конф., 31 янв. - 5 февр. 2010 г.

14. Банников А. С. К задаче позиционной поимки убегающего группой преследователей // Современные проблемы математики: тез. 42-й Всерос. молодеж. шк.-конф., 30 янв. - 6 февр. 2011 г. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. - С. 6-7.

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 18.01.2012. Формат 60x84 '/16. Тираж 100 экз. Заказ № 77.

Типография ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4.

61 12-1/523

УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Банников Александр Сергеевич

Нестационарная задача группового преследования

01.01.02 —дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Петров Н. Н.

На правах рукописи

Ижевск —2012

Оглавление

Основные обозначения 3

Введение 4

1. Уклонение группы убегающих 24

§ 1.1. Геометрические свойства множества достижимости......................24

§ 1.2. Достаточные условия разрешимости локальной задачи уклонения . . 30 § 1.3. Достаточные условия разрешимости глобальной задачи .уклонения в

нестационарной задаче с простой матрицей ..............................42

2. Групповое преследование одного убегающего 58 §2.1. Нестационарная задача простого преследования одного убегающего с

фазовыми ограничениями ..................................................58

§ 2.2. Позиционная поимка одного убегающего группой преследователей . . 69

§ 2.3.Уклонение от группы нестационарных инерционных объектов .... 77

Список литературы 89

Основные обозначения

— пространство /с-мерных вектор-столбцов с евклидовой нормой. ||ж|| — евклидова норма вектора х 6 К*5 (■, •) — скалярное произведение векторов в С{У\ф) — опорная функция компакта V С Еь — единичная к х к -матрица

Введение

Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики. В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, которой предполагает наличие двух или более сторон с противоположными или несовпадающими целями, способных воздействовать на процесс. Динамические процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют также дифференциальными играми.

Предлагаемая работа посвящена дифференциальным играм преследования-убегания двух сторон, представленных группой преследователей с одной стороны, и как одного убегающего, так и группы убегающих, с другой. Потребность изучения таких задач возникает при решении ряда прикладных задач из механики, экономики, военного дела, радиоэлектроники, биологии и некоторых других областей.

Одной из первых работ в этой области, по всей видимости, следует считать работу Г. Штейнгауза, опубликованную в 1925 году, в которой он формулирует задачу преследования как дифференциальную игру преследования. Становление теории дифференциальных игр связано с исследованиями Р. Айзекса, А. Брайсона, У. Флеминга, Б. Н. Пшеничного.

Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли академики H.H. Красовский и Л. С. Поитрягин.

К настоящему времени теория дифференциальных игр получила существенное развитие.

В работе [77] Б. Н. Пшеничного рассматривалась задача простого преследования группой преследователей одного убегающего, при условии, что скорость убегающего и преследователей по норме не превосходят единицы. Были получены необходимые и достаточные условия поимки.

Ф.Л. Черноусько в работе [94] рассматривалась задача уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследующих точек, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Был построен такой способ управления, который обеспечивает уклонение от всех преследователей на конечное расстояние, причём движение уклоняющейся точки остаётся в фиксированной окрестности заданного движения.

Указанные работы, по существу, были первыми, посвящёнными задаче группового преследования группой преследователей одного убегающего.

Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх из любых начальных положений на полубесконечном интервале времени впервые была поставлена и решена в линейном случае Л. С. Понтрягиным и Е. Ф. Мищенко [71-74].

В работе [23] Н. Л. Григоренко получены необходимые и достаточные условия уклонения от встречи одного убегающего от нескольких преследователей при условии, что убегающий и преследователи обладают простым движением, и множество управлений каждого из игроков — один и тот же выпуклый компакт.

Работа [20] обобщает результат Б. Н. Пшеничного на случай I-поимки. В работе [113] Б. К. Хайдаров рассмотрел задачу позиционной I-поимки одного убегающего группой преследователей при условии, что каждый из игроков обладает простым движением.

В работах [38,80] получены условия оптимальности времени преследования в дифференциальной игре одного убегающего и нескольких преследователей, движение которых является простым.

В работе [37] Р. П. Иванов рассмотрел задачу простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что убегающий не покидает пределы выпуклого компакта с непустой внутрен-

ностыо. Было доказано, что если число преследователей меньше размерности множества, то будет уклонение, иначе — поимка и получена оценка времени поимки.

Работа [59] Н.Н. Петрова обобщает результат Р. П. Иванова на случай, когда убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью.

Задачи простого преследования с «линией жизни» рассмотрены Л. А. Петросяном в [68].

А. М. Ковшов в [40] рассмотрел задачу простого преследования одного убегающего группой преследователей на сфере.

По всей видимости, первой работой, посвящённой задаче преследования группой преследователей группы убегающих была работа [58]. В данной работе рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы и целью преследователей является поимка всех убегающих. Были получены достаточные условия уклонения от встречи и получены оценки сверху и снизу минимального числа убегающих, уклоняющихся от заданного числа преследователей из любых начальных позиций.

Работа [111] обобщает результаты предыдущей работы на линейные дифференциальные игры.

В работе [60] рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы, каждый преследователь ловит не более одного убегающего, а убегающие в начальный момент времени выбирают своё управление на интервал [0, +оо). Были получены необходимые и достаточные условия поимки.

В работе [89] Н.Ю. Сатимов и М.Ш. Маматов рассмотрели задачу преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что преследователи и убегающие обладают простым движением с

единичной по норме максимальной скоростью и, убегающие, кроме того, используют одно и то же управление (жёстко скоординированные убегающие). Цель группы преследователей — поймать хотя бы одного убегающего. Были приведены достаточные условия поимки.

Работы Д. А. Вагина и Н. Н. Петрова [18,67] дополняют предыдущую работу.

На сегодняшний день разработано достаточно много идейно различных методов и маневров уклонения от встречи: например, метод маневра обхода [71-74] и его модификации [26-28,30,52,53,76,79], методы постоянных и переменных направлений [48,75,84,96-103,106], метод инвариантных подпространств [78,83,100], методы, использующие исчисление Микусинского [49,51,120], рекурсивные методы [25,32,95,109, 117-119,121-123] и так далее. Между этими методами, безусловно, существуют глубокие связи, многие из которых до сих пор не выяснены.

Среди других работ, посвящённых задаче простого преследования, отметим работы [1,15,21,31,44,46,47,69,86,87,107,114,115].

Обобщением задачи простого преследования является пример Понт-рягина [71]. Данному примеру посвящена обширная литература, так как он является модельным для анализа полученных различных условий поимки и убегания.

В работе [63] H.H. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей одного убегающего в примере Понтрягииа с равными динамическими возможностями игроков. Были получены достаточные условия поимки.

В работе [66] рассмотрена задача о многократной поимке одного убегающего группой преследователей в примере Понтрягина с фазовыми ограничениями.

Задача преследования жестко скоординированных убегающих группой преследователей в примере Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях участников рассмотрена в [19]. Получены

достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего.

В работе [64] H.H. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей группы убегающих в примере Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков, прир условии, что каждый преследователь ловит не более одного убегающего и убегающие выбирают свои управления при t — 0 сразу на [0, оо) и не покидают пределы многогранного множества D. Были получены достаточные условия поимки.

«Мягкая» поимка одного убегающего группой преследователей для инерционных объектов рассматривалась Р. П. Ивановым в работе [39].

Пример Понтрягина с различными инерционными и динамическими возможностями участников рассматривался также в работах [24,33-36, 56,70,71,85,108].

Квазилинейные динамические процессы представляют естественное обобщение разссмотренных выше задач.

При условии дискриминации убегающего в работах Н. JI. Григорен-ко [24], A.A. Чикрия [108] рассмотрены различные различные методы группового преследования одного убегающего в квазилинейных динамических процессах. Получены достаточные условия поимки и г-поимки.

В работе [70] Ю. В. Пилипенко и А. А. Чикрий рассматривали квазилинейные процессы, для которых условие JI. С. Понтрягина. [71] выполнено лишь на некоторых интервалах числовой полуоси, последнее обстоятельство может иметь место, например, если однородная система осуществляет периодические колебательные движения. При дискриминации убегающего получены достаточные условия поимки группой преследователей.

Среди других работ, посвященных задачам преследования и убегания в квазилинейных процессах со многими участниками отметим [22,29,41, 62,65,88,90,104,105,112].

Ниже приведены краткий обзор данной работы и список публикаций автора по теме диссертации.

Краткий обзор работы

Работа состоит из двух глав и шести параграфов. В первой главе рассматриваются задачи конфликтного взаимодействия групп преследователей и убегающих. Цель преследователей — переловить всех убегающих, цель убегающих — хотя бы одному избежать поимки. Для однотипных линейных систем даны условия взаимного расположения преследователей и убегающих, достаточные для убегания на бесконечном полуинтервале. В случае простых матриц рассмотрен вопрос о соотношении числа преследователей и убегающих, при котором разрешима глобальная задача уклонения. Все дифференциальные игры рассматриваются в пространстве (к ^ 2).

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит описание некоторых свойств границы множества управляемости, связанных с условием максимума. Рассматривается управляемый объект, поведение которого описывается уравнением вида

= + и{г), и е и. (1)

Пусть х(£) — решение уравнения (1), соответствующее управлению и начальному условию х(¿о) € Мо, где Мо — выпуклый компакт. Обозначим через Х{Ь] ¿о, Мо, и) множество достижимости управляемого

объекта в момент £ ^ ¿о из множества Мо.

Определение 1. Говорят, что пара х({}} удовлетворяет усло-

вию максимума на отрезке [¿о, ¿1] и условию трансверсальности на множестве Мо, если существует такое решение сопряженной си-

стемы ф({) = — А*(Ь)ф({) с начальным условием ф(¿о) £ дБ, что выполнены следующие условия:

• (/и(£),ф{£)) = С(11 для почти всех £ е [¿о,^],

Лемма 1. Пусть пара (й(£), £(£)} удовлетворяет условию максимума па отрезке [¿о, ¿1] и условию трансверсальности па множестве М0

(й(£), ф(£)) = С (и; ф(£)) для почти всех £ € [£о, ¿1], (2)

(х(10),ф(г0)) = С(М0;ф(к)). (3)

ТЫа £(¿1) €дХ(Ь]Ъ,М0,и).

Лемма 2. Пусть Мо — выпуклый компакт. Точка х{Ь\) принадлежит множеству дХ(1,\\£о, Мо, £7) при £1 > ¿о тогда, когда пара |г/(£), ж(£)} удовлетворяет условию максимума па отрезке [£0,^1] и условию трансверсальности на множестве Мо ;

(и(1),ф(Ь)) = С (и; для почти всех £ € [¿о, ¿1],

Лемма 3. Пусть Мо—выпуклый компакт. Если ^(¿о) ф ^(¿о), каэ/с-(?ая из пар ^глг(^), г = 1,2. удовлетворяет условию максимума

на отрезке [¿о^Ь Ь > Ьо, и условию трансверсальности па множестве Мо . а кроме того, опорная функция С(и; ф\) дифференцируема, по ф\ вдоль фг^) для почти всех £ £ [¿0,^1] - то х^х) ф £2(^1) •

Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей и т убегающих. Закон движения каждого из преследователей Д , г — 1,..., п, имеет вид:

хг(г) = + щеи.

Закон движения каждого из убегающих Ец, ] = 1,..., т, имеет вид:

Ш = + ^)> щ е и.

ю

В момент времени £ = £о заданы начальные условия х^о) = х®, = У°, причём х® ф у® для всех г, Здесь С/ С М^ — выпуклый компакт, ~ действительная квадратная матрица порядка к, измеримая на всей оси норма ||А(£)|| интегрируема на любом компактном подмножестве оси I. Управлениями игроков являются измеримые функции Мг(^), у^Ь) , принимающие при £ ^ ¿о значения из множества и.

Определение 2. Будем говорить, что в дифференциальной игре Г из начального состояния = (х^,..., , у®..... у^) разрешима на полубесконечном интервале [¿о, +оо) локальная задача уклонения, если существуют такие управления ..., Ут{£) убегающих, что при любых управлениях щ{Ь),...,ип{Ь) преследователей найдется номер 5 6 {1,...,ш}, такой, что у8{1) ф для всех % € {1,...,п} при всех £ ^ ¿о •

Пусть (2 — некоторое непустое подмножество пространства . Полагаем х{£) = ..., хп(Ь)), у($) = (шМ, • ■ •, УтМ) и определим множества индексов

1(х{г), С) = {¿I г € {1,. • •, п}, е С}, = %■(*)€ С},

причем, если существуют индексы ^ 6 J(y(t)1 дй), I = 1,..., й , Л < < • • • < ¿з, такие, что = уь(г) = • • • = , то считаем,

что ^ ^ J(y(t),дG) для / = 2,..., 5. Обозначим через |/| количество элементов конечного множества /.

Предположим, что С — выпуклый компакт. Обозначим через решение сопряженной системы

= (4)

соответствующее начальному условию 'фj(to) ----- , где ^ - единичный опорный вектор к множеству С в граничной точке у®, у £ J(y(to), дС).

Теорема 1. Пусть существует выпуклый компакт С, что

|7(у(*о),ЗС)|> \1(х(г0),Шк\С)\,

и для любого у £ 7(у(£о),<9С) опорная функция С{и\ф^) дифференцируема по ф^ вдоль траектории ф^) системы (4) для почти всех Ь ^ ¿о ? тогда в дифференциальной игре Г из начального состояния го разрешима локальная задача уклонения.

Теорема 2. Пусть II — строго выпуклый компакт с гладкой границей. Если существуют выпуклые компакты С\, С^, такие, что х® е и С?2 для любого г 6 {1,..., 1у] , и

|7(®(*о),С?1уг2)| < ^(у(10)Лп\(О1^С2))\ + \^у(и),дС2)1 (5)

то в дифференциальной игре Г из начального состояния разрешима локальная задача уклонения.

В третьем параграфе рассматривается случай, когда А{Ь) = —а{{)Еь, где а(Ь) — действительная измеримая функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве оси £, а С/ — строго выпуклый компакт. Тогда закон движения преследователей принимает вид

¿¿(¿) = -а(£)жг(£) + ж»(£0) = и* е С/.

Закон движения каждого из убегающих принимает вид:

¿0

Пусть а некоторое разбиение = < Т\ < • ■ ■ < промежутка [¿о, +оо), не имеющее конечных точек сгущения.

у№) = + Уз{и) = у^ ^ е и.

Пусть далее

г

Определение 3. Назовём кусочно-программной стратегией Vj убегающего Ej, отвечающей разбиению а, семейство отображений {blj}flQ, ставящих в соответствие величинам

Ы Xl{Tl), ..., Xn(Ti), yi(Ti), . . . , ут(Т[), min min \\xi{r) — yi(r)||,..., min min ||ж*(т) - ут{т)\\)

г=1..пте[т0,п] г=1..пгб[г0,г/]

измеримую функцию vlj(t), определенную на [77,77+1) и такую что vlj(t) Е U для всех t Е [77, 77+1).

Определение 4. В дифференциальной игре Г(п, m, z°) разрешима глобальная задача уклонения, если из любого начального состояния z° разрешима локальная задача уклонения.

Сначала рассматриваются три леммы, содержащие достаточные условия разрешимости локальной задачи уклонения

Лемма 4. Пусть в игре Г(п, m, z°) существует гиперплоскость Н, такая, что х\ Е Я~, г = 1,...,п, у® Е Я+, j = 1 Тогда в

игре Г(п, т, z°) разрешима локальная задача уклонения.

Замечание 1. Если начальная позиция хотя бы одного убегающего не принадлежит внутренности выпуклой оболочки начальных позиций преследователей, то в силу леммы 4 разрешима локальная задача уклонения.

Лемма 5. Пусть в игре Г(n, т, существуют гиперплоскости Н\. Я2, множества I С {1,..., n} , J С {1 ,...,т}, такие, что выполнены следуюище условия:

1. Я1ЦЯ2, Щ с я+, \J\>\i\ + i,

3. е Я2+, iE I, ж? 6 яг, у^ЕНг+ПЩ- , j eJ,

4- для любой пары индексов в, I Е 3, 8 / I , выполнено у° — уЦ' у(р) — у(—р), р — единичный вектор нормали Н\, направленный в #!+.

Тогда в игре Г(п, т, г°) разрешима локальная задача уклонения.

Лемма 6. Пусть в игре Г(п, т, Ло = 0, существуют гиперплоскости #1, #2, • множества Д, • • ■, -Л, Л, такие, что выполнены следующие условия:

1. #1 || #2 || ••• || Щ С #/_!,.? = 2, ...,21, р - единичный вектор нормали гиперплоскости Н\, направленный в

2. 18 С {1,...,п}, 7дс{1,...,т}, = 1,... /вП/9 = 0, 33п3д = ф,

__I

3. х*еНГ, г£ и /а,

5=1

6Л£ПЯ2-+1, ¿€/в, 5 = 1, ^е^г, »е/г,

<5- ^еЯ+^ПЯз", ¿ел, 8 = 1,...,/,

|Л1 + [|з2\ - 1ЛЦ+ +... + [щ - (1Л1 +1/2| + • • • +1//_1|)]+ ^

> |Л| + \к\ + ••• + где а+ = тах(а,0),

I

1. для любой пары индексов г, ] £ и З3, 2-, выполнено

5=1

Тогда в игре Г(п, т, 2�