Алгоритмы программного позиционного и позиционно-силового управления электромеханическими системами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ р|-£ фд УНИВЕРСИТЕТ

0 9' : :

На правах рукописи

ПАНТЕЛЕЙ Елена Вячеславовна

АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММНОГО ПОЗИЦИОННОГО И ПОЗШШОННО-СИЛОВОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете и в Институте проблем машиноведения РАН

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент Гусев C.B.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Первозванский A.A., кандидат технических наук, доцент Андриевский Б.Р.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет).

Защита диссертации состоится _ 1997 г.

в 4/ часов на заседании диссертационного совета К 063.57.49 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь 2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу:

Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "_"_ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

А.И. Шепелявый

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория управления механическими и электромеханическими системами является одной из центральных в современной теории управления и привлекает значительный интерес исследователей как в нашей стране, так и за рубежом. Разработка алгоритмов управления такими системами и, в частности роботами-манипуляторами, является важной практической задачей, актуальность которой обусловлена, в первую очередь, их широким применением в различных областях человеческой деятельности.

Цель работы. Цель работы состоит в разработке и исследовании алгоритмов стабилизации программных движений нелинейных механических систем, управляемых асинхронными двигателями и алгоритмов позиционно-силового управления механических систем, взаимодействующих с абсолютно твердой недеформируемой поверхностью (механических систем с дополнительными голономными связями).

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, метод систем сравнения, второй метод Ляпунова и исследование устойчивости систем с помощью нескольких функций Ляпунова.

Научная новизна.

- Разработана методика сведения задачи стабилизации программных траекторий робота-манипулятора, управляемого асинхронными двигателями, к задаче стабилизации тривиального решения каскадной системы.

- Получены достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости для специального класса неавтономных нелинейных каскадных систем.

- Предложены алгоритмы управления асинхронными двигателями, обеспечивающие стабилизацию программных траекторий робота-манипулятора. Доказано утверждение об асим-

и и и

птотическои устойчивости в целом замкнутой системы упра-

вления.

- Предложена математическая модель описания динамики управляемой механической системы, взаимодействующей с абсолютно твердой поверхностью, ориентированная на решение задач позипионно-силового управления.

- Для ранее не исследованного случая, когда алгебраические уравнения связей разрешимы лишь в некоторой области пространства обобщенных координат робота, разработаны алгоритмы позиционно-силового управления при условии, что либо массо-инерционные параметры манипулятора неизвестны либо обобщенные скорости манипулятора неизмеримы.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при практической разработке алгоритмов стабилизации программных траекторий манипуляторов, управляемых асинхронными двигателями (которые имеют целый ряд преимуществ по сравнению с другими типами двигателей) и при разработке алгоритмов позиционно-силового управления манипуляторами взаимодействующими с внешней средой.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры теоретической кибернетики СПбГУ, на семинарах Института Проблем Машиноведения РАН (С. Петербург), Университета г. Линчопинг (Швеция, 1993), Технологического Университета г. Компьень (Франция, 1995), Университетов Твенте и Дельфта (Нидерланды, 1997), на Балтийской олимпиаде по автоматическому управлению - ВОАС (С. Петербург, 1992), на 7 ЛатиноАмериканском конгрессе по автоматическому управлению (Буэнос-Айрес, 1996).

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 114 страницах текста, подготовленного в издательской системе Список литературы насчитывает 96 наименований.

Содержание работы

В первой главе диссертации описана математическая модель робота-манипулятора, а также рассмотрены два алгоритма стабилизации программных траекторий такого манипулятора, обеспечивающие асимптотическую устойчивость в целом замкнутой системы управления в предположении что управления суть моменты сил в шарнирах манипулятора. Эта глава служит базой для второй главы, в которой предложенные алгоритмы управления манипулятором используются при решении задачи стабилизации программных траекторий манипулятора, управляемого асинхронными электродвигателями.

Математическая модель робота-манипулятора, описываемая уравнениями Лагража II рода, может быть представлена в виде

М{д)дЛ-С{д,д)д + д{д) = т (1)

где q е Жп - вектор обобщенных координат, М(д) = Мт{д) > О - матрица кинетической инерции, д) -вектор моментов ко-риолисовых и центробежных сил, д{д) - вектор потенциальных сил, т - вектор обобщенных управляющих сил.

В параграфе 1.2 приводится формальная постановка задачи стабилизации программных траекторий манипулятора (<&(£)) и рассмотрен алгоритм управления вида 'программный момент + линейная обратная связь по положению и скорости', однако в формуле программного момента вместо программных используются реальные положения.

Целью управления является обеспечение асимптотической устойчивости в целом программного движения замкнутой системы управления т.е. выполнения предельных соотношений

Иш = 0 Нт = 0 (2)

4—ЮО ¡—ЮС

где д = - qd(t), каковы бы ни были начальные значения ?(0), д(0).

Для уравнения (1) рассмотрим регулятор вида

т = M(q)qd + C{qd, qd)<jd + g(q) - Kdq - Kpq (3)

где Kd, Kv E mnxri диагональные матрицы с положительными коэффициентами на диагонали.

Теорема 1.2.1 Пусть существуют /¿i, fi2, кс = const > 0, такие что для всех q,q Е Шп выполнены неравенства ii\In < M(q) < H2ln и ||C(g,g)|| < &с||<?||- Тогда, при всех значениях матрицы удовлетворяющих условию bmin(Kd) > 3kcBd и при произвольных значениях матрицы Кр, для решений системы выполнена цель управления (2) и замкнутая система (1), (3) равномерно (по времени) экспоненциально устойчива в целом по отношению к переменным q, q. ООО

В параграфе 1.3 предложена модификация алгоритма (3), которая вместо обратной связи по скорости использует обратную связь по оценке скорости, доставляемой вспомогательным дифференциальным уравнением, где измерения скоростей используются. Этот алгоритм управления имеет вид

г = M{q)qd + C(q, qd)qd + g(q) - Kd(q - qd) ~ Kpq (4) ?=-(<*! + a2\\'q ~ ¿11 + аз||?||) (?-?)+ 'id (5)

где ai, a2, Q3 = const > 0, Kd, Kp - диагональные матрицы с положительными коэффициентами на диагонали.

Эта модификация используется далее для стабилизации программных траекторий манипулятора, управляемого асинхронными двигателями.

В теореме 1.3.2 представлены условия на коэффициенты алгоритма управления обеспечивающие асимптотическую устойчивость в целом замкнутой системы управления и выполнение цели управления (2).

Во второй главе рассматривается задача асимптотической стабилизации программных траекторий манипулятора

управляемого асинхронными двигателями, нри этом синтез алгоритма управления проводится в несколько этапов.

Динамика двигателя, управляющего г'-ой степенью подвижности манипулятора (д,) описывается системой уравнений вида:

Di(qi)ii + Wi(qi)qiXi + = Мщ i € {1,.. ., тг} при этом Х{ = со1(х8{,хг{) = со1(хц,... ,хц) - мгновенные значения токов обмоток статора и ротора а?™ £ К-2), Щ = со1(щ\,Щ2) - вектор напряжения, подводимого к статору, В =

, А(дг) > О, Д, > 0 и = Динамика манипулято-

ра описывается уравнением (1), где г = со1{т\,..., тп) - вектор электромагнитных моментов, вырабатываемых асинхронными двигателями = \xJWi(qi)xi Динамику всей системы можно записать в векторной форме следующим образом

V(q)x + ф + Пх = Би (6)

М{Ч)я + С(<ь д)? + д{4) = ^хтУУги)х (7)

где V(д), И^д), Н'С?,?), - блочно-диагональные матрицы.

В параграфе 2.2 ставится задача управления и формулируется общая схема ее решения. В этой главе рассматривается процедура синтеза состоящая из двух этапов: синтез верхнего и нижнего контуров управления. В предположении что алгоритм верхнего контура управления тд = ту(2,д,д) выбран, для решения задачи достаточно найти алгоритм управления нижнего уровня и = и(1,,х3, д, обеспечивающий выполнение условия Нт^оо (г(<) — = О ПРИ * ~~* 00•

В« ч о ч

дальнейшем введение вспомогательной программной траектории для асинхронных двигателей позволяет свести задачу стабилизации программных траекторий манипулятора к задаче стабилизации нелинейной неавтономной каскадной системы вида

я = + д(Ъ х,у)у (8)

У = Ш,х,у,и) (9)

где х € IRn, у € IRm, и € Ж' - вектор управляющих воздействий, вектор-функции /i(-), /2(•), #(•) - непрерывны по времени и непрерывно дифференцируемы по остальным переменным.

В параграфе 2.3 представлены результаты по анализу устойчивости каскадных систем вида (8), (9) в предположении что А1 Существует закон управления и = u(t,x,y), такой что на всем интервале [to,T) существования решений системы (8), (9) решение подсистемы (9) удовлетворяет оценке ||y(i)|| < к ||уо|| где к, ¡3 — const > 0, не зависящие от начально-

го состояния Xq.

А2 При всех х, у и t £ IR+, для функции g(t,x, у) справедлива оценка

\\g{t,x,y)\\ <60 + 611И + ЫЫ1

В леммах 2.3.1 и 2.3.2 показано что если предположения А1, А2 выполнены и если изолированная подсистема

i = Mt,x) (10)

глобально (асимптотически) устойчива равномерно по времени, то каскадная система (8), (8) также глобально (асимптотически) устойчива равномерно по времени, если функция Ляпунова для изолированной подсистемы (10) удовлетворяет оценкам

П«,а0>а1|М1 и дУ

< С*4 \\х\

дх

где аг и 0:4 - некоторые положительные постоянные.

Случай, когда изолированная подсистема (10) экспоненциально устойчива, рассмотрен в лемме 2.3.3.

Параграф 2.4 посвящен синтезу алгоритмов управления асинхронным двигателем, при этом задача отслеживания момента г¿(¿) переформулируется как задача отслеживания вспомогательных программных траекторий для токов ротора и статора x¿(t). Программная траектория (г = 1 ,...,п)

выбирается в виде

Х<и =

я ¡¿1

2ГсИ

Д2 ''"¿¿«^^гЛ"

(П)

где

К а =

А

О

зЫ(р{)

Рг = -р2Т<Н

/3; = СОТЫ > О И Р:(0) = О.

Определенные таким образом программные траектории удовлетворяют дифференциальному уравнению

Д-(д«)яж- + Wi(qi)q¡xdi + =

(12)

где

V,- = + ьзгге1^хг<ц + + Ив{Х5ц (13)

и для каждой компоненты вектора г — г^ выполнено соотношение

г,- - т = г + 2гд) (14)

где хг = х,- - и А",- = ¿(И7,- + И7/).

Во второй части этого параграфа представлены два алгоритма стабилизации программных траекторий при этом вопросы продолжимости и ограниченности программных траекторий пока не рассматриваются.

Первый алгоритм управления имеет вид

Щ - Кц{41, (ц)хзг (г = 1, • ■ •, п)

(15)

ь2

где VI определяется соотношением (13), К<ц(.<И,&) = "ЦрчЦЬ и 6,- -произвольная постоянная, удовлетворяющая условию 0 < Ь{ <

Второй алгоритм управления имеет вид

щ = и,- + - хтц), г = 1,..., п

где Х{ = со!(хв,, хГ1) определяется как решение вспомогательного дифференциального уравнения

Как показано в леммах 2.4.1 и 2.4.2 оба представленных алгоритма управления асинхронными двигателями обеспечивают стремление ошибки ¿(¿) к нулю с экспоненциальной оценкой сверху, равномерной по д и д.

Параграф 2.5 посвящен непосредственно решению задачи асимптотической стабилизации программных траекторий манипулятора, управляемого асинхронными двигателями в предположении что

У2 Алгоритм управления верхнего уровня т^,д,д) обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом системы (1) замкнутой управлением т = т^ и удовлетворяет оценке

И^С, 9,9)11 < Сто + Ст 1при всех * > ¿0 (1В)

При выполнении этого предположения и выборе программных траекторий хлф в виде (11) уравнения динамики системы представимы в следующей форме

-УУ^а^^ + И;^; = В (ь; — —а;Х-гЛ;)— - Б^аАх*;--х„¿Л

где у = со1(д, д).

Щч)ч + ч)ч + з(д) -ч = д, х)х

V(q)'x + д)х -\-Ш = В(и - V)

(19)

(20)

и CtQ,Cti,Ct2 > 0. Таким образом эта система является частным случаем каскадной системы (8), (9) рассмотренной в параграфе 2.3.

Однако алгоритмы управления (15) и (16), (17) (а именно слагаемое V{, определяемое формулой (13)) зависят не только от Td(t,q,q) но и от fd(t,q, q), и если обобщенные скорости q входят в основной контур алгоритма управления rd, то в алгоритмы (15) и (16), (17) будут входить обобщенные ускорения q. Для того чтобы исключить измерения ускорений в параграфе 2.5 приводятся модификации алгоритмов (15) и (16), (17), которые также обеспечивают экспоненциальное (равномерное по q, q) стремление x{t) к нулю, оценку для x(t) . Основная идея модификации заключается в представлении вектора V = fo(t, q, q, Td) + /х(г, q, q, Td)fd (v = col(vx,..., vn)) в виде

v = /г(*, q, q) + /з(*> q, я, xs)xr

что достигается последовательной подстановкой выражений

для rd и г в исходное выражение, при этом /г(-) € Ш.2п и /з(-) € j^2rax2n

Основанная на этом представлении вектора v(t) модификация алгоритма управления (15) имеет вид

и = v - Kd(q,q)xa (21)

где Kd - блочно-диагональная матрица с матрицами Кц на диагонали и

v =/2(i,Q,g) +/з (i,<M,zs)£r (22)

Оценка хг вектора хг определяется как решение вспомогательного дифференциального уравнения

Vx + W(q, q)x + Ш = Bv + BJi'd(q, q)(x8 - xds) - BfJ (t, q, q, xs)xs

(23)

где В блочнодиагональная матрица с блоками Bi = г на диагонали.

Теорема 2.5.1 Пусть программные траектории qd(,t) Е С2(Ш

Ш,п) и ограничены, программные траектории нижнего уровня х^)' определяются соотношениями (11) и алгоритм управления верхнего уровня удовлетворяет условию У2. Тогда алгоритм управления (21), (23) обеспечивает выполнение следующих условий

(a) решение системы (7), (6), (21), (23) продолжимо по времени на интервал [¿о, оо) и все траектории ограничены при любых «(¿о), ?(*о), аг(*о)

(b) траектория д^) = 0, <?(£) = 0 и х^) = 0 и е(<) = 0 асимптотически устойчива в целом.

ООО

Аналогичное утверждение для модификации алгоритма (16), (17) представлено в теореме 2.5.2.

Далее в параграфе 2.5 рассмотрены два частных случал алгоритмов управления верхнего уровня. В теореме 2.5.3 доказано что в случае когда т¿^t,q,q) определяется в силу алгоритма (3), замкнутая система управления экспоненциально устойчива в целом.

В заключение этого параграфа рассмотрен случай когда в качестве алгоритма управления верхнего уровня выбран алгоритм (4), (5), где r¿ не зависит явным образом от д, что позволяет использовать в качестве алгоритмов управления нижнего уровня алгоритмы (15) и (16), (17) и получать таким образом децентрализованные схемы управления.

В третьей главе рассматривается задача позиционно-силового управления манипулятором, исполнительный орган которого взаимодействует с абсолютно твердой поверхностью. Динамика манипулятора, находящегося в контакте с такого рода поверхностью описывается системой уравнений с множителями Лагранжа

мт+?)? + а(ч) = + (24)

ф(д) = о (25)

где ф 6 С2(Ш,П Ж""1), Л е Нп_т - вектор множителей Лагран-

Наложение на систему т дополнительных голономных связей (25) приводит к тому, что обобщенные координаты д становятся избыточными и вектор д можно представить в виде д — со1{д1,(р) где вектор д1 6 Жп-т соответствует независимым координатам, а д2 € Шт - зависимым.

В параграфе 3.1 предложена процедура построения декомпозированной модели динамики манипулятора в предположении что существует область £1 С Шп (£1 = 0.IX ^г) и функция к : С2($1 г Жт), такие что ф(д1,к(д1)) = 0 при всех д1 € Это предположение гарантирует разрешимость уравнения связей (25) только в множестве П, а не во всем пространстве, что является существенным отличием по сравнению с другими существующими подходами к задачам позиционно-силового управления. Введение этого предположения вызвано тем, что во многих прикладных задачах уравнения связей не являются разрешимыми во всем пространстве независимых переменных. Пример такой задачи рассмотрен в параграфе 3.2, где также приведены условия, накладываемые на прграммные траектории и силы (условия А1-АЗ).

В области модель пониженной размерности имеет вид

М*{д)дг + С,(д, ц)? + д*{д) = п (26)

А = ад (са(?, д)дг + д(ч) - #+т(д)п) + ^ (27)

где Нг(д) = М*{д) = ЯТМЯ, Сх(д,д) =

МЛ + С(д,д)Н, С*(Ъд) = ЯТСЛ(?,?), дМ = ЛГ9, ¿(д) =

7+ (д)(1п — МНМ*НТ) и вектор управления г в выбран в виде г = Я+Тп + «7тТ2.

Разрешимость уравнений связей лишь в некоторой области приводит к тому что в этом случае целью управления является не только выполнение некоторых предельных соотношений при I оо, но и выполнение ограничений € П при всех

t>tQ.

В параграфе 3.3 рассмотрена задача стабилизации программных траекторий и сил манипулятора в предположении что измеряемыми величинами являются обобщенные координаты и скорости манипулятора, обобщенные силы реакции связей, а массо-инерционные параметры манипулятора неизвестны.

Рассмотрим алгоритм позиционно-силового управления вида

т-1 = Ух (?, й, ч1, '4})в - К аз - й1 (28)

Т2 = у^) - Хл{г) (29)

где Кл = К] > = - щх, = к>0и^ опре-

деляется как решение вспомогательного дифференциального уравнения

Ту = -у + Л + г2 (30)

где у € Ит и Т > 0 - постоянная времени.

Для оценки параметров используем следующий алгоритм самонастройки

0 = -тхг?{м,ч1Л)* (31)

где Г = Гт > 0.

Теорема 3.3.1 Рассмотрим систему (26),(27), (28),(29),(30) с алгоритмом самонастройки (31). Пусть все программные траектории &£(*)>-М^) ограничены при всех £ > 0 и выполнены условия А1-А4. Тогда, для любых е, А > 0 и чисел 0 < <€,¿1,^2 > 0 существуют постоянные к,Т > 0 и матрицы Г, Кл, такие что, при выполнении условий ||<?(0)||2 < <$о < И^О)!!1 < <$ь ||0(О)||2 < ¿2) справедливы следующие утверждения:

1) Шп^оо ?(*) = 0, ит<_оо 5(0 = 0,Ит4_юо ||/|| < Л

2) все траектории системы (26), (27), (28), (31), (29), (30) ограничены,

3) q(t) 6 П при всех t > 0 и справедлива следующая оценка

ИёЧОН2 < М1 + С/2 + С**/2 + +

где т) - оценка сверху для вектора ||0„|| , <т - положительная постоянная, такая что М*(д(0)) < а1п-т, £ = ^^ + к^ ~ ^ =

Атт№), 70 = Атаж(Г-х) ООО

В параграфе 3.4 рассмотрена задача позиционно-силового управления в случае когда массо-инерционные параметры робота известны, а измеримы только обобщенные координаты робота и обобщенные силы реакции связей. Алгоритм управления имеет вид

п = + (32)

г2 = г(Я)К+Т(д)М^Я)д} + ^-к1Х (33)

где

£ = (дс + в?)

А, В и Ид - диагональные, положительно-определенные матрицы, Кр, > 0 и А = А - А^.

Теорема 3.3.2 Рассмотрим замкнутую систему управления

(26), (27), (32)- (34). Пусть х(£) = соЦд1^), (*),£(*)], тогда существуют постоянные 0 < а^ < а^ < <5, где 6 определено в АЗ, такие что при всех начальных условиях (¿о,ж0) б (I х П^)

(где Пх й {$1, ?л, £ €Ея-и : ||? ШИ < ««}) независи-

мые координаты € при всех í > to. Кроме того, существуют достаточно большие матрицы А и В, такие что замкнутая система управления (26) - (27), (32)- (34) равномерно асимптотически устойчива. ООО

Работы автора по теме диссертации

1. Гусев С.В., Пантелей Е.В., Уравнения динамики и стабилизация программных движений голономных механических систем с дополнительными связями. Депонир. в ВИНИТИ N 9819-В-88 от 20.07.1988

2. Panteley E.V. Force and trajectory tracking problem for constrained robot manipulators, Proc. International symposium on engineering

mathematics and applications, China, 1992.

3. Panteley E.V., and A. A. Stotsky ^Adaptive trajectory-force control scheme for constrained robot motion, International Journal

"Adaptive Control and Signal Processing, vol.7 p. 489-496, 1993.

4. E. Panteley and A. Stotsky, Adaptive control of constrained robot manipulators, Preprint of IPME RAS N 117, 1994, 54p.

5. Panteley E.V., Adaptive Sliding Mode Control of Manipulator Tracking an Unknown surface, Proc 3rd IEEE Conf. on Contr.

Appl., Glasgow, Engl., 1994.

6. E. Panteley, A. Loria, R. Ortega, Output feedback force/position regulation of rigid joint robots, Proc. World Automation Congress, Montpellier, 1996.

7. Panteley E. and R. Ortega , Cascaded Control of Feedback Interconnected Systems: Application to Robots with AC Drives, Proc. 7th Congreso Latinoamericano de Control Automatico, 9-11 September 1996, Buenos Aires, Argentina.

8. E. Panteley, Global asymptotic stability of cascade nonlinear systems: case study, in Proc. 35th. IEEE Conf. Decision Contr., Kobe, Japan, 1996.