Аналитические исследования динамики спинирующего релятивистского электрона в электромагнитных полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Козориз, Виктор Иванович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Московский государственный авиационный институт (государственный технический университет) (МАИ)
На правах рукописи
Козориз Виктор Иванович
Аналитические исследования динамики спинирующего релятивистского электрона в электромагнитных полях
Специальность 01.04.02 -теоретическая физика
Автореферат Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва-2006
Работа выполнена на кафедре «Прикладной физики» в Московском государственном авиационном институте (государственном техническом университете) (МАИ) имени Ссрго Орджоникидзе.
Научный руководитель — кандидат физико-математических наук доцент
Мусин Юрат Рапгитович.
Официальные оппоненты;
- доктор физико-математических наук профессор Борисов Анатолий Викторович
— кандидат физико-математических наук доцент Самсоненко Николай Владимирович
Ведущая организация - Российский научный центр Курчатовский институт.
Защита состоится Л/ . /Ш&Х .2006 г, в /£ ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 212.203.01 в Российском университете дружбы народов (115419, Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал № 1).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов.
Автореферат разослан // . схтЭ^х .2006 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Чехлова Т.К.
Общая характеристика работы
Изучение движения вращающихся объектов - одна из старейших задач физики, возникшая еще в механике Ньютона. Она интенсивно исследуется на протяжении нескольких веков в рамках различных физических теорий: общая теория относительности (уравнения Папапетру), квантовая механика (спин-орбитальное взаимодействие), квазиклассическая теория, суперсимметричная механика и др.
С 80-х годов XX в. стало развиваться направление, согласно которому квантовая теория спина (включая уравнение Дирака) получается в результате обобщения классической механики на алгебру с антикоммутирующими переменными (алгебру Грассмана) с ее последующим квантованием.
Классические механические системы с антикоммутирующими переменными не являются классическими в прямом смысле. Их обычно относят к псевдоклассической шш до квантовой механике. Термин «псевдомеханика» или «псевдоклассическая механика» введен Р.Касалбуони в 1976 г.
Мы будем использовать следующие понятия. Модели, включающие только стандартные координаты, будут называться классическими моделями. Они обычно имеют векторный или тензорный тип. Модели, включающие антикоммутирующие координаты, называются здесь псевдоклассическими. Псевдоклассические модели с векторными антикоммутирующими степенями свободы, которые исследуются в данной диссертации, называются спиновыми (или сп ип ирующ ими) частицами, а модели со спинорными антикоммутирующими степенями свободы, описывающие частицу в суперпространстве Минковского, называют суперчастицами.
Спиновые частицы являются, в некотором смысле, классическим пределом дираковской частицы. После первого квантования антикоммутирующие переменные отображаются в матрицы Дирака. Это общая особенность моделей спиновых частиц.
Расширение фазового пространства релятивистских' частиц с помощью коммутирующих или антикоммутирующих координат определяет симметрию и поведение модели во внешнем поле и ее свойства после "квантования.
Актуальность работы
Движение шинирующих частиц во внешних полях представляет интерес и с практической точки зрения (циклические электронные ускорители и накопители, прецессия гироскопов, рассеяние поляризованных пучков, тонкая структура атомных спектров и т.п.) и с точки зрения проверки предсказаний таких фундаментальных теорий, как ОТО (отклонения фотона в гравитационном поле Солнца и поле черных дыр) и теория суперсимметрии (движение суперсимметричных частиц).
Диапазон исследований, проводимых в этой области, необычайно широк:
— рассматриваются основные аспекты N=1, Т\Г=2-суперсимметрич1шх калибровочных теорий,
— исследуются проблемы нарушения суперсимметрии,
— рассматривается описание взаимодействующих частиц со спином,
— создается множество моделей спинирующих частиц — классифицировать их можно по таким атрибутам как масса, алгебраические (стандартные или антикоммутируюшие) и геометрические характеристики внутренних степеней свободы (вектор, спинор, кручение),
— рассматривается квантование псевдоклассической модели вейлевской частицы,
— обсуждается проблема квантования классических постоянных,
— исследуется поведение частиц во внешних полях и многое др. Псевдоклассическая механика (механика над алгеброй Грассмана)
позволяет не только получать принципиально новые результаты, но и по-новому подойти к решению старых задач. В частности, стало возможным более наглядное и простое исследование вклада в уравнения движения спина элементарных частиц и точное решение ряда задач. Цель работы:
Используя методы псевдоклассической механики, получить точные решения для уравнений движения и эволюции спина электрона во внешних электромагнитных полях с учетом спин-орбитального взаимодействия и исследование этих движений.
Достоверность результатов обеспечена тем, что они опираются на хорошо разработанные понятия псевдоклассической механики и в предельных случаях совпадают с ранее полученными результатами исследования движения частиц во внешних полях в рамках классической и квантовой механик.
Научная новизна состоит в том, что в отличии от работ Пао Jly, Д.М.Фрадкина и Р.Х.Гуда1, А.Е.Лобанова2 предложенный в данной диссертации подход позволяет учесть спин-орбитальное взаимодействие в системе уравнений, описывающих движение релятивистского электрона в пространстве и эволюцию его спина, или строго доказать его отсутствие и получить точные решения для ряда задач более простым и наглядным образом.
К новым результатам можно отнести также то, что в отличие от работы Ф.А.Березина и М.С.Маринова3 в данном диссертационном исследовании удалось получить точное решение на траекторию релятивистского электрона в кулоновском поле и достаточно подробно исследовать задачу рассеяния.
Научная и практическая ценность диссертации заключается в том, что полученные результаты могут непосредственно использоваться в дальнейшем при исследовании частиц со спином. В первую очередь, это обусловлено их возможным использованием для контроля численных расчетов в задачах о движении электрона в полях одиночных атомных ядер, в периодических полях ядер кристаллов, в полях ускорителей и накопителей.
Развитые в диссертации подходы и полученные с их использованием результаты могут быть полезны в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, ФИ РАН, РНЦ "Курчатовский институт", Томский ГУ ИМ.В.В .Куйбышева и др.
Апробация работы и публикации
По материалам диссертации опубликовано б работ. Основные результаты диссертационной работы были изложены на X Российской гравитационной
1 Pao Lu, D.M. Fradkin, R.H.Good, Classical approximation for the change of polarization in potential scattering. Nuovo Cimento, Vol 34, N3,1964, 581-590
A.E. Лобанов, Ковариантное описание спина электрона в электромагнитном поде. Препринт физ. фак. МГУ. N24/1988, 5 стр.
3 F.A. Beresin, M.S. Marinov, Particle spin dynamics as the Grassman variant of classical mechanics, Ann.Phys. 1977,104, N2,336-362
конференции (июнь 1999 г.). Автор выносит на защиту
- методику исследования частиц со спином, которая строится на объединении понятия супервремени, модели Ди Векъя-Равндала, решения методом кильпотентного возмущения (Ф.А.Березин) и процедуры усреднения Ю.Р.Мусина;
- математическое доказательство равенства нулю члена, учитывающего спин-орбитальное взаимодействие в уравнениях движения релятивистского спинового электрона в постояином и однородном магнитном или электрическом полях;
- математическое доказательство того, что спин-орбитальное взаимодействие при движении электрона в поле плоской циклической электромагнитной волны, равно нулю, что полностью согласуется с результатами квантовой механики;
- аналитическое выражение для траектории релятивистского электрона в кулоновском поле с учетом его спина. Показано, что спин-орбитальное взаимодействие не равно нулю, а его учет приводит к трехмерному пространственному движению;
- аналитические выражения для угла и сечения рассеяния релятивистского электрона в кулоновском поле с учетом его спина. Показано совпадение результатов, в случае малых углов рассеяния, с известной квантовомеханической формулой Мотта, а для произвольных углов проведено численное сравнение, показывающее хорошее совпадение до угла рассеяния я/2.
Объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 169 источников. Работа изложена на 149 страницах, включая 86 рисунков.
В первой главе дается обзор всевозможных моделей и методов описания спина частицы в классической и псевдоклассической механике, рассматриваются их преимущества и недостатки, показывается актуальность
темы исследования и предлагается обобщенная методика исследования спинового релятивистского электрона.
Базовой моделью исследования является векторная модель с внутренними степенями свободы, описанными с помощью антикоммутирующих координат — грассмановых чисел, образующих алгебру Грассмана. Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассманау если в ней существует система образующих, состоящая из элементов со свойствами 1)
= частности, С,,2 ~ 0 (свойство нильпотентности). (1) 2) Любое другое соотношение между является следствием (1).
Логически завершенную псевдоклассическую модель можно построить, отталкиваясь от категории «супервремени», когда вместо обычного времени в рассматривается обобщенное супервремя с координатами (у, г), где г - новая антикоммутирующая переменная и модели Ди Векья-Равндала (1979), представляющей собой последовательно развитую механику на пространстве супервремени ($, г) и суперкоординат
дХм(з Л
где — пространственные координаты, £"($)=-/ *
— спиновые
г-0
дт
координаты частицы (грассмановы числа) (//= 0,1,2,3).
Результирующие уравнения движения, описывающие спинирующий релятивистский электрон, (для простоты положим с— 1, те~ 1) имеют следующий вид
.1 2
(2)
где --¡вува — тензор спина, ~ дмАа -даАм — тензор электромагнитного поля; А - 4-потенцнал электромагнитного поля; ¿г, V— 0,1,2,3 (что отвечает
дг, у, г, соответственно); д = -е- заряд электрона. Точкой обозначается производная по собственному времени частицы
Отличие этих уравнений от уравнений Пао Лу, Д.М. Фрадкина и А.Е.Лобанова2, состоит в наличии дополнительного слагаемого в пространственных уравнениях - силы Кельвина3, обусловленной взаимодействием спина с градиентом электромагнитного поля.
Если перейти от уравнений для спиновых координат к уравнениям для 4-тензора спина, то будем иметь
Ц^=- • С3)
дз
В векторном виде, полагая 8му (где — 4-скоростъ электрона),
получим
(4)
йг
Уравнения (3), (4) совпадают с традиционными уравнениями Баргмана-Мишеля-Телегди (БМТ) для частицы с гиромагнитным отношением £ = 2.
Одним из методов решения полученной системы уравнений может служить метод, предложенный в статье Ф.А.Березина и М.С.Маринова4, где авторами рассмотрена задача движения нерелятивистского электрона в кулоновском поле и были получены уравнения движения, в которых слагаемое со спином они рассматривают как нильпотентное возмущение. Решение задач методом теории возмущения, в силу нильпотентности грассмановых чисел, дает не приближенное, а точное решение.
В данной главе также приводится подробное описание процедуры перехода
1 Pao Lu, D.M. Fradkin, R.H.Good, Classical approximation for the change of polarization in potential scattering. Nuovo Cimento, Vol. 34, Ю, 1964, 581-590
A.E. Лобанов, Ковариантное описание спина электрона в электромагнитном поле. Препринт физ. фак. МГУ. N24/1988, 5 стр.
3 С.Р. де Гроот, Л.Г. Сатгорп, Электродинамика, Москва, Наука, 1982.
4 F.A, Beresin, M.S. Marinov, Particle spin dynamics as the Grassman variant of classical mechanics, Ann.Phys. 1977,104, N2,336-362
от грассмановых чисел к действительным — процедура усреднения1. Согласно этой процедуре, усредненное значение {/) любой величины / алгебры Грассмана равно
где 6 = (&9гв\&2,&3), р{х,д) - функция плотности:
Здесь - классический 4-спин. Фактически, в результате усреднения нечетные величины обнуляются, а четные становятся действительными числами.
Во второй главе проведено исследование в рамках предложенной методики простейших случаев движения. Таковыми являются: движение спинового электрона в постоянном и однородном магнитном поле, в таком же электрическом поле, и движение электрона в поле плоской циклической электромагнитной волны.
Самым серьезным преимуществом этой методики является здесь то, что с ее помощью очень легко доказать, что спин орбитальное взаимодействие в этих полях равно нулю. Таким образом, нет необходимости постулировать этот факт, известный из квантовой механики, а запись уравнений для спина (2) через спиновые координаты делает решение намного проще и понятней, чем запись в тензорном или векторном виде.
Точные решения уравнений для электрона в постоянном магнитном поле Н, направленном вдоль оси Ог, будут следующими t(0)*+т,
X = 1 (и* (0) + и ' (0) СО 305) + О(0) - 1 с/ ' (0)), Ф о
а ф
г = V'(О)-? + 2(0),
1 Ю.Р. Мусин, К теории суперчастицы Ди Векчи-Равндала, Изв. вуз. СССР. Физика, 1991, N7, с.5-7
вх =0\О)со$ам~02(О)$тт,
в2 = (9'(0)5111 +
где т=еН\[С/'(0),гу'(0),(0),С/'(0)], ['(0),-г(0),у(0),г(0)], [0в(О),0ЧО),0ЧО),0Ч<>)] -компоненты 4-скорости, пространственных и спиновых координат в начальный момент времени, соответственно.
Движение электрона происходит по спирали с постоянным радиусом и шагом, закрученной вдоль направления поля. Этот результат совпадает с результатом движения бесспинового электрона.
Для случая плоской круговой орбиты поведение 4-вектора спина будет выглядеть так
о о _ Л сое«*, ^-^¡апПг, (5)
\2 2
где п = , у=\/^1-ф2г2 .
Таким образом, 4-спин электрона прецессирует с угловой скоростью П относительно направления поля.
В постоянном и однородном электрическом поле направленном вдоль оси Ох, будем иметь следующие решения уравнений движения
СО <й
* = —([/' (0)сЬй«г + и " (0)б11йю) + (х(0) -—и'фУ),. ео Ф
у = и'(0)5+у(0),
вь = в" (0)сЫм + в1 (О)зЬйм-,
где а> = еЕ\ [1/'(0),1/ЧО)^ЧО)(Е/ЧО>], [/(0),х(0),>'(0),г(0) ], [0ЧО),0ЧО),0Ч<>),6>ЧО)] -компоненты 4-скорости, пространственных и спиновых координат в начальный момент времени, соответственно.
Таким образом, электрон движется с ускорением по направлению поля.
10
'1г
Поведение 4-векгора спина выглядит следующим образом
ft h S^ =—**shfiw, S1 = —j=* chfijí, St = 0,
- — *
В своем движении 4-спин электрона ложится в пределе s —» ад на световой конус, совершая гиперболический поворот.
Для плоской циклической электромагнитной волны
Н = (0,-Ея(П,Е,(П)\
t=t - xt Еу (С ) = £■(, eos 0t', £,(*') = E0 sin mf,
где & — частота электромагнитной волны, размерный множитель полагаем равным единице; уравнения (2) будут иметь следующее решение
е2Е? ,2
О
1 . ^
X =-~{S--Sin С»),
ф
I .
-
&
t=—^(.г——sin 05)—Sf
z =
o eE, m
eE0
y = —f (l-COSíüs),
a
(ws ~ sin m),
0° = m _ t3 cosos),
<D СО
вг =Т2,
e3=r\
где 7°, Т2, 73 — нечегаые константы интегрирования.
Поведение 4-вектора спина будет описываться выражением
¿р
S0=0, St=Ay S2 = -А——sincas,
&
S, - —^-cosdxr ,
G>
где A=-iT2T3 - четная величина.
В третьей главе найдено точное аналитическое выражение для траектории спинового электрона в кулоновском поле.
Исходные уравнения для траектории имеют вид
sin / V sin V 8Ш7 J
y'-Zctg/if)7 =|sin 2 y
где R = Mr, r — радиус-вектор, y— полярный угол, e — заряд электрона, Q — заряд центра, Л = —S01 — компонента тензора спина, Kj=K — 2-я компонента 4-
импульса электрона, К\-Е — полная энергия электрона, считаем те= 1, с — 1;
штрихом обозначается производная по углу а (азимутальный угол).
Решение тцем в виде разложения по Л
Л(а,Л) = Лй(л)+Л1(а)Л1 у(а,А)-у0(в) + г1(йг)Л /
где Яо, уо - решение уравнения дня частицы без спина, Ни У\ ~ возмущенное решение. Решение (6), в силу нильпотентности Л, будет не приближенным, а точным.
Возможны три варианта траекторий
г(а ) = Р ЛР((М+Я)со5^0-Я)
° 1 + СО в ста и О + ДсОХйХГо)1
у(а0)=^+ЛЛсоза0>
(7)
а =аг0(1-Л5/й)),
где А - константа интегрирования, р=~, в> -р1;
К
Ер Кт1 Ко' е>Д, рЧ Е
Решение получено над алгеброй Грассмана, переход от грассмановых чисел к действительным осуществляется стандартным способом с помощью «процедуры усреднения».
Возможна финитная А) < 1 (см. рис.1) и инфинитная £>о > I (см. рис.2) траектории движения.
Финитная траектория (Ра < 1):
Траектория, вообще говоря, имеет вид незамкнутой трехмерной розетки, заключенной в области изображенной на рисунке 1, где
Р Л РМ г Р [АР(М+2Н)
1+с0 (1+А)1' г™ 1-^0+ с-*>.)а '
Т'шп = Я-/2-ЛЛ, ут =яг/2+ЛА.
Иифинитиая траектория (Ра > 1):
Траектория - трехмерная гипербола (рис.2). Углы а*, при которых траектория уходит на бесконечность
а* ~ ±(1 - Л—)—агссоя ——].
< . 2
2) —>1 ' К
Рис.1
Рис.2
-\+Оас\\<шй
—Л
рдМ+Н)Оиаап-Н)
(-1 + О0сЬйизг0)
у(сс0) = —+ААсо*сс(>>
а = аг0(1 + ЛВ/й>),
где А — константа интегрирования, р = ~-, <а = 7р2 -1;
Л
Ер Ко Ко аВй рч Е
Траектории имеют вид трехмерных спиралей, закручивающихся вокруг начала координат (рис.3).
Есяи2>о < 1, то траектория имеет две ветви уходящие на бесконечность при
а* = ±(1+Л
1 / О
—)—агсп| — . Ф о )
Рис.З
Если Ий> 1, то траектория имеет вид изображенный на рисунке 4.
Рис.4
r(or) = —----Л
—аг + С,сг + С,
jт
у(а)=—+Ancosa,
± JL хчш:
где Сь С2, Сз, С4, Л - константы интегрирования.
Траектории имеют вид спиралей закручивающихся вокруг центра, но более
медленно, чем в случае ~> 1. Общий характер траекторий такой же, как в
tí
случаях изображенных на рисунках 3,4.
Для 4-спина электрона в кулоновском поле можно получить аналитическое выражение в случае простейшей круговой траектории. Решение будет таким же, как и для случая с магнитным полем (5).
В четвертой гдаве рассмотрена задача рассеяния релятивистского электрона со спином в кулоновском поле в рамках псевдоклассической механики. Получено аналитическое выражение для угла и сечения рассеяния и даны предельные оценки для бесспинового и нерелятивистского случаев.
Для случая малых углов, рассматриваемая псевдоклассическая модель приводит к известной квантовомеханической формуле Мотта. Для произвольных углов проведено численное исследование.
Выражения для угла рассеяния в будут следующими: Притягивающий центр
(10)
Отталкивающий центр
<П)
Определения констант а„ D0, в такие же, как и для формул (7).
Асимметрия угла рассеяния при этом учитывается знаком величины Л, которая может принимать как отрицательные, так и положительные значения.
При Л=0 данные формулы совпадают с углами рассеяния для бесспиновых частиц.
Исследование формул (10) и (11) при больших прицельных параметрах, которым, как известно, отвечают малые углы рассеяния, позволяет получить дифференциальное сечение рассеяния для малых углов (с точностью до в во втором множителе)
где s s+eVc, Е - энергия электрона, р — импульс налетающего электрона на бесконечности. Первое слагаемое есть не что иное, как резерфордовское сечение рассеяния, второе - представляет собой поправку к сечению, обусловленную спином электрона.
Значение константы Л легко найти, сопоставляя (12) с формулой Мотта. Окончательное выражение для дифференциального сечения рассеяния на малые углы будет иметь вид
где а=е1 /(Не).
Получить формулу сечения рассеяния для произвольного угла в> как функцию от угла в аналитическом виде невозможно, но можно получить зависимость огг прицельного параметра 5:
(12)
áa_ с/П
[wSM^y
\
1
л -arceos
f
i
dGpvn f t-i _
/ctg1(-8FgMJ <Af 2 -1) tf +AFgM2{Мг -l)JVcos—+
™: I . — 1,мт т-н гш у.'*1 */■« -
ГМЫ\—М М м
+ -/ГА/4 -2+ 4g^|l-Mг(M* - 1)Л0яп —
М
где - сечение рассеяния в модели Ди Векья-Равндала, <тл - сечение рассеяния Резерфорда и введены вспомогательные величины £=-безразмерный прицельный параметр,
и вспомогательные функции
N = jr-arccos ■, ■ ч М =
2/(-1 + М1) 2(1 -MynN М\ 1 + (-\ + /2)Мг)~ м1
Некоторые из графиков, полученных для этих формул, представлены на рисунках с (5) по (8). В рассмотрение приняты четыре значения энергии электрона Е = 1.0000005 Ео, 1.005 Е0, 1.15 £о, 7.1 Е0 (Е0 - тс2) и три значения величины заряда ядра Z = 13, 50, 83. Графики очень хорошо демонстрируют совпадение результатов для модели Ди Векья-Равндала (DVR) и Мотта (Motta) при малых углах рассеяния (или, что то же самое, при больших прицельных параметрах). Достаточно хорошее совпадение наблюдается до угла я72, а при малых энергиях до Зл72. Погрешность растет с увеличением энергии электрона и заряда ядра.
1.0000005 Ео
Jla.
d CTR
Рис. 5.
E= 1.15 Eo
daR
is
Е= 1.0000005 Ео
dcrMott __ dqpvR \
daR d oR i
Рис. 7.
E= 1.15 E0
doMott „ d^vR
d oR daR
Рис. 8.
Основные выводы:
Псевдоклассическая модель электрона и предложенная в наших исследованиях методика позволяет наиболее полно исследовать спин электрона на классическом уровне. Эта модель лишена недостатков классических моделей: она учитывает спин-орбитальное взаимодействие, дает правильное гиромагнитное отношение, при квантовании переходит в модель Дирака, «квантовому дрожанию» в ней отвечают нечетные грассмановы переменные, которые исчезают при усреднении. Поэтому все, что отличает предсказание этой модели от квантовой модели Дирака, представляет собой «чисто квантовый» вклад природы спина. Как всякая классическая модель, она содержит множество подробностей, отсутствующих в квантовой модели (траектории, прицельные параметры и т.п.).
Расчеты простейших модельных случаев просто и наглядно показывают характер поведения электрона и его спина и позволяют получить точные решения. Для более сложных полей, представление спин-орбитального взаимодействия нильпотентным возмущением дает возможность получить не приближенное, а точное решение, как для траектории частицы, так и для угла и сечения рассеяния.
Основные результаты диссертации отражены в работах:
1. Козориз В .И., Мусин Ю.Р. Суперсимметричный электрон в кулоновском поле: Тез- Док. Десятая российская грав. конф. - Владимир, 1999. - 212 с.
2. Козориз В.И., Мусин Ю.Р. Суперсимметричный электрон в кулоновском поле//Теор. и мат. физ. - Т123. - N1. - 2000. - С.75-80
3. Козориз В.И. Анализ движения суперсимметричного электрона в кулоновском поле/Лруды МАИ. - N1. - 2000.
4. Козориз В.И. Суперсимметричный электрон в постоянном и однородном магнитном и электрическом полях/Яруды МАИ. - N1. - 2000.
5. Козориз В.И. Электрон со спином в поле плоской электромагнитной волны/Яруды MAR - N2. - 2000.
6. Козориз В.И., Мусин Ю.Р. К задаче рассеяния электрона со спином в кулоновском поле/Яеор. и мат, физ. - Т138. - N2. - 2004. - С.338-348
Принято к исполнению 13/10/2006 Исполнено 16/10/2006
Заказ № 751 Тираж: ЮОэкз.
Типографий «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 www.auioreferat.ru
Введение
1 Описание спина частицы в классической и псевдоклассической механике
1.1 Классические модели спина.
1.1.1 Векторные модели.
1.1.2 Спинорные модели.
1.2 Псевдоклассические модели спина.
1.2.1 Модели спиновых частиц.
1.2.2 Модели суперчастиц.
2 Модель Ди Векъя-Равндала. Простейшие случаи движения.
2.1 Движение спинового электрона в постоянном и однородном магнитном поле.
2.2 Спиновый электрон в постоянном и однородном электрическом поле.
2.3 Спиновый электрон в поле плоской циклической электромагнитной волны.
3 Спиновый релятивистский электрон в кулоновском поле
3.1 Постановка задачи.
3.2 Лагранжиан и уравнения движения.
3.2.1 Первые интегралы.
3.3 Уравнение траектории.
3.4 Решение уравнения для траектории.
3.4.1 Решение в случае р < 1.
3.4.2 Решение в случае р >
3.4.3 Решение в случае р = 1.
3.5 Спин электрона в кулоновском поле.
4 Рассеяние спинового релятивистского электрона в кулоновском поле
4.1 Вычисление угла рассеяния.
4.2 Вычисление сечения рассеяния.
4.2.1 Сечение рассеяния для малых углов.
4.2.2 Сечение рассеяния как функция от прицельного параметра.
4.3 Выводы.
На протяжении длительного времени в физике и технике не только не ослабевает, но и продолжает расти интерес к явлениям и процессам, протекающим в мире элементарных частиц. Ставятся эксперименты с применением пучков поляризованных электронов и позитронов высокой энергии, строятся циклические электронные ускорители и накопители, развивается технология наноструктур, проводятся обширные теоретические исследования по изучению вопросов отклонения фотона в гравитационном поле Солнца и черных дыр, тонкой структуры в спектрах атома и т.п., включая популярные в современной теоретической физике объекты типа струи и мембран.
Неотъемлемой и важной характеристикой элементарной частицы, определяющей ее свойства и поведение во внешних полях, является спин. Существуют два класса теорий, два основных способа описания спина частицы — квантовый [1] и классический [2]-[9]. Обе эти теории развиваются довольно интенсивно, взаимно обогащая друг друга и позволяя взглянуть на это явление с различных точек зрения. Приведем краткий обзор этих двух направлений.
Первая попытка квантового описания спина была сделана В.Паули [10] в 1927 г. Его идея заключалась в двухкомпонентном обобщении уравнения Шредингера для электрона с учетом двух степеней свободы. Однако наличие спина в этой теории по-прежнему оставалось дополнительным постулатом, а значение собственного магнитного момента вводилось эмпирически.
Первая простейшая форма описания поляризации релятивистских частиц была предложена К.Дарвином [11], согласно которому спин в системе покоя определяется средним значением вектора р h <С>=2 <ст>' где <т — вектор, составленный из матриц Паули. Переход в лабораторную систему можно осуществить с помощью преобразований Лоренца [12].
Существенный шаг в развитии релятивисткой квантовой теории был сделан в 1928 г., когда П.А.М.Дирак [13] предложил четырехкомпонент-ное релятивистски-инвариантное уравнение, из которого базовые свойства электрона вытекают автоматически без каких-либо дополнительных предположений.
Однако, систематическое исследование спиновых свойств элементарных частиц в квантовой теории началось значительно позже с развитием теоретико-групповых методов. Решающий вклад в развитие этого направления был сделан в работах Е.П.Вигнера, В.Баргмана [14], (см. также [15]) и Ю.М.Широкова [16] (см. также [17]). В результате этих исследований было обнаружено, что спин и его кинематические свойства являются простым следствием релятивистской инвариантности квантовой теории относительно преобразований, представляющих собой пространственно-временные повороты в плоскости перпендикулярной четырехмерному вектору импульса р11. Для рассмотрения проекций спина на произвольное направление особенно удобен метод, предложенный в работах Ф.И.Федорова с сотрудниками [18], [19], где спиновые свойства элементарных частиц рассматриваются в рамках векторной параметризации группы Лоренца.
Общая теория релятивистских волновых уравнений последовательно развитая на теоретико-групповой основе позволила построить теорию элементарных частиц с любыми возможными значениями спина и массы. Библиография работ, посвященных произвольному спину весьма обширна. Наиболее полный перечень основной литературы можно найти в монографиях Ю.В.Новожилова [20], Ф.И.Федорова [18], А.А.Богуша [19], а также в [21].
Новый этап в развитии квантовой теории спина начался после открытия аномального магнитного момента электрона. Еще в 1941 г. В.Паули [22] показал, что в уравнение Дирака с внешним полем можно добавить релятивистски-инвариантный член, описывающий дополнительный к магнетону Бора (аномальный) магнитный момент. В начале казалось, что это абстрактное чисто теоретическое построение. Но в 1947 г. Г.Брейт [23], анализируя эксперименты Дж.Е.Найфе, Е.В.Нельсона и И.И.Раби [24] по измерению сверх тонкой структуры спектров водорода и дейтерия, высказал предположение, что магнитный момент электрона обладает аномальной частью:
Д = Мо + /V
Аномальный магнитный момент /1а можно связать с отличием g-фактора электрона от значения, равного двум:
9-2 Ма = -у- Мо
В 1948 г. Ю.Швингер [25] методами квантовой электродинамики вычислил значение аномального магнитного момента, оно оказалось равным а
А. = где а — постоянная тонкой структуры.
Наличие аномального магнитного момента существенно влияет на спиновые свойства электрона в магнитном поле. Сначала Г.Менделович и К.М.Ксйз [26], затем и другие авторы [27], [28] заметили, что некоторые спиновые операторы, например оператор продольного спина {BP), с учетом аномального магнитного момента перестают быть интегралами движения. Позднее И.М.Тернов и В.С.Туманов [29] с применением последовательных методов квантовой теории вычислили частоту прецессии спина. Оказалось, что продольный спин прецессирует вокруг направления импульса с частотой, пропорциональной аномальной части магнитного момента. Для движения в плоскости круговой орбиты было получено д-2еН 2цаН Ша = ^--=
I то с п
В дальнейшем эти результаты легли в основу первых прецизионных экспериментов по определению g-фактора электрона [30] и других легких частиц [31].
Таковы основные этапы в развитии квантовой теории спина. Очевидно, что хронология и важность событий может быть выбрана иначе, в зависимости от целей конкретной работы, но мы ограничимся информацией более отвечающей теме диссертации, и перейдем теперь к рассмотрению основных этапов в развитии классической теории спина.
Первая модель, первая гипотеза спина была гипотеза вращающегося волчка, предложеная Г.Уленбеком и С.Гаудсмитом [321, [33] в 1925 г. как удобная классическая модель четвертого квантового числа, введенного В.Паули [34], [35] для объяснения свойств оптического электрона.
Согласно гипотезе Уленбека и Гаудсмита а) Собственный механический момент электрона равен /г/2, где h — постоянная Планка. б) Электрон должен также обладать магнитным моментом, равным магнетону Бора eh где е = — во — заряд электрона, то — масса покоя электрона. Иногда магнитный момент записывают в виде = g/J'QS, где у — g-фактор Ланде, s — спиновое число. При s = 1/2, д = 2.
Гипотеза Уленбека и Гаудсмита смогла объяснить ряд экспериментальных фактов по спектрам щелочных металлов и аномальному эффекту Зссмана.
Основы классической теории спина были заложены Я.И.Френкелем в том же 1925 г. [36], [37]. Я.И.Френкель заметил, что для полной характеристики магнитных свойств электрона, задания трехмерного вектора магнитного момента принципиально недостаточно. Он построил классическую теорию спина на основе антисимметричного тензора (опираясь на математический аппарат специальной теории относительности). таР = (d,m), где d — электрический дипольный, т — магнитный моменты.
С помощью вариационного принципа им было получено тензорное уравнение движения спина точечной частицы в виде
-та13 = ma"'FP + (хат^ - .^mQ7)a7, к, г к = —, aT = —AkF^xp - х1') « im^, гщс Zee где Fl13 — тензор электромагнитного поля, точка обозначает производную по собственному времени.
Уравнение силы, действующей на частицу, учитывало влияние спина на траекторию движения и представлялось в виде
Аха - maf5ap) = -F^xp + ^daFPl) где Л = ?77,о — ^"^apF^i т ~ собственное время.
В 1929 г. И.Е.Тамм [38] предложил использовать для описания спина пространственноподобный четырехмерный вектор спина Sa.
Впоследствии, классической теории спина было посвящено множество работ. Мы затронем лишь некоторые направления исследований, актуальные для данной диссертационной работы.
Большое число работ посвящено разнообразным структурно-кинематическим моделям спина. Сюда относятся классические модели точечной частицы, совершающей сложное "внутреннее" движение вокруг некоторого центра инерции. Собственный момент количества движения возникает в этих моделях вследствие неколлинеарности векторов скорости и импульса. Представителями этого направления кроме Я.И.Френкеля [36], [37] являются Х.Дж.Бхабха и Г.Ч.Корбен [39], [40].
Широкое распространение получила также выдвинутая Г.Хёльном и А.Папапетру [41] билокальная модель в виде двух точечных масс, вращающихся вокруг общего центра тяжести — Pol-Dipol-Teilchen. К различным вариантам кинематических моделей спина обращались многие авторы [42], [43].
Близкое по идейному содержанию направление составляют работы по структурной кинематике частиц с непрерывным распределением масс, совершающих "внутреннее" движение. Это гидродинамические теории спина Дж.Вейссенхоффа и А.Рабе [44], Т.Такабаяси [45] и др.
В рамках общей теории относительности классическая теория спина получила свое развитие в работах А.Папапетру [46], К.Мёллера [47], Л.Шиффа [48], Ю.Швингера [49], [50], Я.И.Смородинского [51] и др. Работы в этом направлении продолжаются и в нынешнее время [52], [53[.
Общей чертой большинства из перечисленных выше исследований является отсутствие каких-либо явных связей классической теории с квантовой теорией спина, поэтому часть из них имеет лишь исторический интерес.
На протяжении многих лет классическая и квантовая теории спина развивались, по-существу, независимо. По этой причине проблема соответствия этих теорий долгое время была открытой. Положение изменилось после появления в 1959 году классического спинового уравнения Баргмана-Мишеля-Телегди [54](БМТ). В этом уравнении учитывался аномальный магнитный момент электрона. Последующие исследования в 1963-1965 гг. С.И.Рубинова и Дж.В.Келлера [55], К.Рафанелли и Р.Шиллера [56], М.Кольсруда [57] и др. показали, что уравнение Ба/ргмана,-Мишеля-Телегди в классическом пределе h —»■ 0 следует из обобщенного уравнения Дирака с аномальным взаимодействием Паули (подобно тому как уравнения Ныотона следуют из уравнения Шредингера). Сложилась принципиально новая ситуация: классическая и квантовая теории спина стали развиваться параллельно, взаимно обогащая друг друга. Стало ясно, что многие, казалось бы, чисто квантовые эффекты поддаются простой интерпретации в рамках классической электродинамики частиц со спином (см. ниже).
В это же время складывается, так называемая, квазиклассическая теория спина. Квазиклассическим приближением уравнения Дирака, начиная с В.Паули [58] занимались многие авторы [7], [55]-[61].
Последовательные приближения квантовой теории к классической на разных уровнях квазиклассичности дает метод ВКБ [62], [59].
Развитая в работах И.М.Тернова и В.А.Бордовицина [7], [59] ква-зиклассичсская теория построена на собственновременном представлении уравнения Дирака. Большим преимуществом такого подхода является то. что все соотношения квазиклассической теории спина, включая уравнение БМТ, при h —0 получаются сразу в релятивистски-инвариантной форме. Аналогичное рассмотрение можно провести, используя собствснновремсн-ное уравнение Фока [63].
С 70-х годов XX в. стали появляться работы [64], [65], в которых намечается по существу классическое описание спина в исабслевой теории Янга-Милса. Этот метод не требует решения квантовых уравнений движения и оперирует лишь с классическими переменными частицы, являющимися решениями классических динамических уравнений в заданном внешнем поле. Частица в этом рассмотрении кроме пространственных и спиновых переменных характеризуется еще и изоспиновыми степенями свободы.
Развитие получили также классические методы описания спина на языке теории случайных процессов [66]. Ранее было установлено, что методы классических стахостических возмущений могут быть использованы для получения некоторых конкретных результатов квантовой электродинамики, например, для расчетов лэмбовского сдвига [67] и аномального магнитного момента [68].
Отметим также метод интеграла по путям для спина [69] и метод спиновых когерентных состояний [70].
Особый интерес представляют направления, связанные с радикальной модернизацией математического аппарата классической теории спина. Характерным примером является обобщенный П.А.М.Дираком [71] формализм классических скобок Пуассона.
С 80-х годов XX в. в рамках подхода, получившего название "псевдоклассическая механика", стало развиваться направление, согласно которому квантовая теория спина (включая уравнение Дирака) получается в результате обобщения классической механики на алгебру Грассмана [72]-[80] с ее последующим квантованием. Этот подход есть следствие развития такого фундаментального понятия физических систем как "суперсиммст-рия" [81]-[84].
Самое главное свойство супсрсимметрии состоит в том, что она весьма нетривиальным образом объединяет непрерывные преобразования (например, трансляции) с дискретными преобразованиями особого вида (типа отражения). При этом сохраняется формальная аналогия между этими двумя типами преобразований, имеющих существенно различную природу. Именно наличие этой аналогии и является отличительной чертой суперсимметрии.
В квантовой теории поля такая аналогия была подмечена уже давно — это аналогия между бозонными и фермионными операторами. Бозон-ные операторы соответствуют непрерывным преобразованиям, а фермиои-ные — дискретным. Формальная аналогия состоит в том, что для бозон-иых полей имеют место коммутационные отношения, а для фермиош-тых — антикоммутационные. С учетом этого различия многие формулы для бо-зонных и фермионных теорий поля обнаруживали удивительное сходство. Это сходство было отмечено еще при рождении квантовой механики (например, Дираком [71]), однако прошло почти полвека, пока в 70-х годах Ю.А.Гольфанд и Е.П.Лихтман [81], Д.В.Волков и В.П.Акулов [82], [83] и Ю.Весс и Б.Зумино [84] не заметили, что это сходство позволяет объединить в одну группу (названную "супергруппой") преобразования, соответствующие бозониым и фермионным операторам. Таким образом, появились первые теории поля, в которых бозоны и фермионы стали равноправными. Первый обзор на эту тему был выполнен Л.Корвиным, И.Нссманом, С.Штернбергом [85].
В 90-х годах XX в. наблюдается рост интереса к математическим аспектам суперсимметрии [86]-[88]. В работах О.Ахарони, А.Ханани и др. [86| и П.Рамонда [87] рассматриваются основные аспекты N=1, N=2-cynepcnM-метричных калибровочных теорий в трех измерениях, включая их муль-типлеты, аномалии и теоремы перенормировки. В статье А.В.Аминовой и С.В.Мочалова [88] авторы, рассматривая суперсимметрию как инфините-зимальное суперпреобразование, оставляющее инвариантной метрику суперпространства, определяют саму метрику как инвариант соответствующей супергруппы преобразований.
Исследуются проблемы нарушения суперсимметрии [89]-[91], в работе П.Фре, Л.Джирарделло и др. [90] приводятся примеры нарушения локальной суперсимметрии 1\!=2-супергравитации с нулевой вакуумной энергией.
Квантовое релятивистское описание взаимодействующих частиц со спином на основе суперсимметрии рассматривается в [92].
Чем же так привлекательно оказалось свойство суперсимметрии, давшее толчок к бурному развитию суперсимметричной механики? До появления суперсимметричных теорий бозоны (например, фотоны) и фермионы (например, электроны) рассматривались как частицы, имеющие принципиально различную природу. Бозоны считались носителями "взаимодействий", а фермионы — носителями "материи". Это разделение особенно укрепилось с появлением калибровочных теорий [93]-[95], потому что в этих теориях бозонные поля являлись калибровочными полями, непосредственно связанными с группой симметрии теории, а фермионные поля вводились "руками". Вследствие этого свойства бозонные поля однозначно определялись симметрией теории, а фермионные поля могли принадлежать произвольным представлениям группы симметрии.
Только в суперсимметричных теориях впервые удалось объединить "материю" и "взаимодействие", точнее, убрать различие между ними. В этих теориях бозоны и фермионы объединяются в единые (супер)мультиплсты. Это свойство суперсимметричных теорий, конечно, вызвало большой интерес [96], [97].
Вторым важнейшим свойством супсрсимметричных теорий оказалось резкое сокращение расходимостей, которые до сих пор являются одной из нерешенных принципиальных проблем в квантовой теории поля. Более того, появились, наконец, первые теории поля вообще свободные от расходимостей в четырехмерном пространстве-времени.
Изучение суперсимметрии, представляет интерес и еще по двум причинам, которые будут достаточно полно раскрыты в данной диссертации: во-первых, суперсимметрия позволяет взглянуть по-новому на общеизвестные задачи квантовой и классической механики, широко использующиеся в различных областях, а, во-вторых, такой подход полезен и для развития самих суперсимметричных теорий, поскольку вводит в эти теории круг представлений, возникших благодаря большому опыту, накопленному при исследовании задач квантовой и классической механики.
Одним из базовых моментов суперсиммстричной механики является введение антикоммутирующих переменных. Классические механические системы с антикоммутирующими переменными не являются классическими в прямом смысле. Их обычно относят к псевдоклассической или до-квантовой механике (Р.Касалбуони 1976 [98], Ф.А.Бсрсзин и М.С.Маринов 1977 [74], П.Г.О.Фройнд 1986 [79]). Термин "псевдомеханика" или "псевдоклассическая механика" введен Р.Касалбуони [98] в 1976 г.
Идея антикоммутирующих координат появляется и развивается в пятидесятые годы в работах Дж.Л.Мартина [72], П.Т.Мэтыоса и А.Салама [99), и В.Тобокмана [100]. В шестидесятые годы наблюдается некий застой, здесь можно отметить, только работу А.О.Барута [101], но в начале семидесятых рост интереса к этой теме виден в работах А.Дж.Хансона и Т.Реггс [102], П.Грассбсргсра [103], Р.Касалбуони [98], Ф.А.Березина, М.С.Маринова [74]. Дальнейший рост интереса стимулировался динамическими исследованиями в супер симметрии [104] и супергравитации [105], (см. также [106]) и затем теорией суперструн [107], [108] с широким использованием 2"2-градуированных структур. Этот период продолжается и в восьмидесятые годы рождением новых моделей: Бринк-Шварц [109], Бринк-Ди Векъя-Хаве [75], де Азкарада-Лукирски [110],
Зигель [111], [112], Волков-Сорока-Ткач [113]. Упомянутые модели относятся к разным категориям. Классифицировать их можно по таким атрибутам как масса, алгебраические (стандартные или антикоммутиру-ющис) и геометрические характеристики внутренних степеней свободы (вектор, спинор, кручение).
Расширение фазового пространства релятивистских частиц с помощью коммутирующих или антикоммутирующих координат определяет симметрию и поведение модели во внешнем поле, а также ее свойства после квантования.
В дальнейшем мы будем использовать следующие понятия. Модели, включающие только стандартные координаты, будут называться классическими моделями. Они обычно имеют векторный или тензорный тип. Модели, включающие антикоммутирующие координаты, называются здесь псевдоклассическими. Модели с векторными антикоммутирующими степенями свободы, которые исследуются в данной диссертации, называются спиновыми (или титрующими) частицами, а модели, описывающие частицу в суперпространстве Минковского, называют суперчастицами.
Классические векторные частицы и спиновые частицы правильно согласуются с внешним полем, но только последние, которые являются, по крайней мере, Пуанкаре-инвариантными моделями, могут правильно квантоваться. Спиновые частицы являются, в некотором смысле, классическим пределом дираковской частицы. После первого квантования антикоммутирующие переменные отображаются в матрицы Дирака. Это общая особенность моделей спиновых частиц.
С другой стороны, расширение фазового пространства с помощью спинорных антикоммутирующих переменных приводит к моделям, которые являются супср-Пуанкаре-инвариантными. В отличие от моделей спиновых частиц, их первое квантование дает теорию, которая включает антикоммутирующие переменные. Как результат квантования мы получим не отдельную квантовую частицу со спином 1/2, а минимальный супермуль-типлет.
Согласно сказанному, отметим явное различие между квазиклассической и псевдоклассической теорией спина. Квазиклассичсская теория спина имеет свом первоисточником квантовую механику, переход к классическим моделям осуществляется различными методами и не носит систематического характера. Псевдоклассическая механика, не требует такого ограничения на физическую теорию и дает возможность строить теорию частицы со спином, не прибегая к квантовой механике, а действуя только в рамках классической электродинамики. Обращение к квантовой механике происходит скорее для контроля соответствия с уже имеющимися накопленными ею результатами. Следует отметить, что этот переходный момент от классической теории спина (в рамках псевдоклассической механики) к квантовой на уровне прикладных задач практически не исследован, и проделанное диссертационное исследование поможет не только по новому взглянуть на решение старых задач, но и укажет некоторые возможные точки прикосновения с квантовой механикой и пределы применимости этих двух теорий.
Все вышеизложенное со всей очевидностью говорит о том, что возможности классической теории спина до конца еще не изучены. Эти исследования являются весьма актуальными и в наши дни.
Дадим теперь краткий обзор содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения, списка литературы, включающего 169 источников, и предметного указателя. Работа изложена на 149 страницах, включая 86 рисунков, одну таблицу и одно приложение.
Заключение
Использование псевдоклассического подхода к исследованию спинового электрона в электромагнитных полях позволило по новому взглянуть на решения общеизвестных задач: движение электрона со спином в магнитном и электрическом поле, в поле электромагнитной волны, в кулоновском поле.
Научная новизна работы состоит в том, что впервые применен псевдоклассический подход к описанию конкретных случаев движения релятивистского спинового электрона в электромагнитных полях и предложена методика исследования частиц со спином, которая строится на объединении понятия супервремеии, модели Ди Векъя-Равндала, решения методом нильпотентного возмущения (Ф.А.Березин) и процедуры усреднения (Ю.Р.Мусин).
Применение этой методики к решению ряда модельных задач движения электрона, дало следующие результаты:
- математически доказано равенство нулю члена, учитывающего спин-орбитальное взаимодействие в уравнениях движения релятивистского спинового электрона в постоянном и однородном магнитном или электрическом поле;
- математически доказано, что спин-орбитальное взаимодействие при движении электрона в поле плоской циклической электромагнитной волны, равно нулю, что полностью согласуется с результатами квантовой механики;
- получено аналитическое выражение для траектории релятивистского электрона в кулоновском ноле с учетом его спина. Показано, что спин-орбитальное взаимодействие не равно нулю, а его учет приводит к трехмерному пространственному движению;
- получены аналитические выражения для угла и сечения рассеяния релятивистского электрона в кулоновском иоле с учетом его спина. Показано совпадение результатов, в случае малых углов рассеяния, с известной кван-товомеханической формулой Мотта, а для произвольных углов проведено численное сравнение, показывающее хорошее совпадение до угла рассеяния -к/2.
Достоверность результатов обеспечена тем, что они опираются на хорошо разработанные понятия псевдоклассической механики и в предельных случаях совпадают с ранее полученными результатами исследования движения частиц во внешних полях в рамках классической и квантовой механик.
Научная и практическая ценность диссертации заключается в том, что полученные результаты могут непосредственно использоваться в дальнейшем при исследовании частиц со спином. В первую очередь, это обусловлено их возможным использованием для контроля численных расчетов в задачах о движении электрона в полях одиночных атомных ядер, в периодических полях ядер кристаллов, в полях ускорителей и накопителей.
Развитые в диссертации подходы и полученные с их использованием результаты могут быть полезны в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, ФИ РАН, РНЦ "Курчатовский институт", Томский ГУ им.В.В.Куйбышева и др.
Автор выражает глубокую благодарность профессору МГУ д.ф.-м.н. Гальцову Дмитрию Владимировичу за полезные замечания к диссертации, профессору МГУ д.ф.-м.н. Лобанову Андрею Евгеньевичу за обсуждение рассмотренных в диссертации вопросов, многочисленные консультации и советы.
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Квантовая механика. - М.: Наука, 1989.
2. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1989.
3. Де Гроот С.Р., Сатторп Л.Г. Электродинамика. — М.: Наука, 1982.
4. Rafanelli К., Schiller R. Classical motion of spin -1/2 particles//Phys.Rev. B. 1964. - N1. - P.279-281.
5. Тернов И.М., Халилов В.P., Павлова О.С. Об уравнениях движения спина во внешнем поле//Изв.Вуз.Физика. — 1978. — Вып.12. — С.89-95.
6. Тернов И.М., Халилов В.Р., Павлова О.С. Об уравнениях движения спина во внешнем поле//Изв.Вуз.Физика. — 1979. — Вып.2. — С.39-44.
7. Тернов И.М., Бордовицин В.А. Квазиклассическая теория спина// Вестник МГУ. Физика, астрономия. — 1982. — Т.23. — Вып.6. — С.72-76.
8. Plahte Е. Classical equation of motion for spin 1/2 particles in external inhomogeneous electromagnetic fields//Nuovo cimento. — Suppl. — 1966.— v. 4. - N1. - P.246-275.
9. Plahte E. A correspondence between the Dirac theory and classical theories fore particles with spin//Nuovo cimento. — Suppl. —1966. — v.4. — N1. — P.291-300
10. Pauli W. Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektronen//Zs. Phys. 1927. Bd.43. - S.601-623.
11. Darvin C.G. The electron as a vector wave//Proc. Soc. — 1927, — V.A116.- N773. P.227-253.
12. Соколов А.А.,Тернов И.М., Лоскутов Ю.М. К вопросу о ковариантном определении псевдовектора спина//ЖЭТФ. — 1959. — Т.36. — Вып.З.- С.930-932.
13. Dirac Р.А.М. The Quantum theory of the electron//Proc. Roy. Soc. — 1928. V.A117 - P.610-624; part II - Ibid, v.A118, P.315-361.
14. Bargmann V., Wigner E.P.Group theoretical discussion of relativistic wave equation//Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1948. - v.34. - P.211-223.
15. Вигиер E.Этюды о симметрии. — M.: Мир, 1971.
16. Широков Ю.М. Релятивистская теория спина//ЖЭТФ. — 1951. — Т.21. — Вып.6. — С.748-760.
17. Швингер Ю. Частицы, источники, поля. — М.: Мир, 1973.
18. Федоров Ф.И. Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979.
19. Богуш А.А. Введение в полевую теорию элементарных частиц. — Минск: Наука и техника, 1981.
20. Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц. — М.: Наука, 1972.
21. Теория излучения релятивистских частиц/Под ред. В.А. Бордовицина.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
22. Pauli W. Relativistic field theories of elementary particles//Rev. Mod. Phys. 1941. - v.13. - N4. - P.203-232.
23. Breit G. Does the electron have an intrinsic magnetic moment?//Phys. Rev. 1947. - v.72. - N10. - P.984-,986.
24. Nafe J.E., Nelson E.B., Rabi I.I. The hyperfine structure of atomic hydrogen and deuterium//Phys. Rev. 1947. - v.71. - N12. - P. 914915.
25. Schwinger J. On quantum electrodynamics and the magnetic moment of the electron//Phys. Rev. - 1948. - v.73. - N4, - P. 416-417.
26. Mendelowitz H., Case K.M. Double scattering of electrons with magnetic interaction//Phys. Rev. 1955. - v.97. - N1. - P. 33-38.
27. Carassi M. The influence of the anomalous magnetic moment on the spin kinematics of electrons in a uniform magnetic fielcl//Nouvo Cimento. — 1958. v.7. - N4. - P. 524-535.
28. Hoshi R., Wakasa A. Dirac particles with anomalous magnetic moment in arbitrary external electromagnetic fields//Sci. Repts Kanazawa Univ. — 1960. v.70. -Nl. -P.l-4.
29. Тернов И.М., Туманов B.C. О влиянии флуктуации вакуума на поляризацию электронов, движущихся в магнитном поле//ЖЭТФ. — 1959. Т.37. - Вып.4 (10), - С.1137-1139.
30. Schupp A.A., Pidd R.W., Crane H.R. Measurement of the g-factor of free, high-energy electrons//Phys. Rev. — 1961. — v.121. — N1. — P.l-17.
31. Charpak G., Farley F.J.M., Garvin R.L. The anomalous magnetic moment of muon//Nuovo Cimento. 1965. - v.37. - N4. - P. 1241-1363.
32. Uhlenbeck G.E., Gondsmit S. Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezuglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons//Naturwiss. — 1925. — Bd.13. — Hf.47. S.953-954.
33. Uhlenbeck G.E., Gondsmit S. Spinning electrons and the structure of spectra//Nature. 1926. - v.117. - P.264-265.
34. Pauli W. Uber den Eeinfluss des Geschwindigkeitsabh angigkeit der Elektronen masse auf den Zeemaneffekt//Zs. Phys. — 1925. — Bd.31. — S.373.
35. Pauli W. Uber den Zusammenhang des Abschlusses von Elektronengruppen in Atom mit der Komplexstruktur der Felder//Zs. Phys. 1925. - Bd.31. - S.765.
36. Frenkel J. Spinning electron//Nature. 1925. - v.117. - P.653-654.
37. Френкель Я.И. Электродинамика: Собрание избр. трудов/M.-JI.: Изд. АН СССР. Т.1. - 1956.
38. Tamm I. Zur Elektrodynamik des rotierenden Elektrons//Zs. Phys. 1929.- Bd.55. — S.199 (перевод в кн.: Тамм И.Е. Собрание научных трудов/ т.Н. М.: Наука, 1975. С.5-23
39. Bhabha H.J. Classical Theory of point dipoles//Nature. — 1940. — v.145.- P.819-820.
40. Corben H.C. Spin in classical and quantum theory//Phys. Rev. — 1961.- v.121. N6. - P.1833-1839.
41. Holn H., Papapetrou A., Uber der innere Bewegung des Electrons// Zs. Phys. 1939. - Bd.112. - S.512-540.
42. H. van Dam, Th. W. van der Ruijgrok Classical relativistic equation for particles with spin moving in external fields//Physica A. — 1980. — v.104.- P. 281-297.
43. Thomas F. J. Relativistic Newtonian mechanics for particles with spin//Phys. Rev. D. 1982. - v.25. - N6. - P.1540-1546.
44. Weyssenhoff J., Raabe A. Relativistic dynamics of spin-fluids and spin-particles//Acta Phys. Polon. 1947. - v.9. - fasc-1. - P. 6-18.
45. Takabayasi T. On the hydro dynamical representation of non-relativistic spinor equation//Progr. Ther. Phys. 1954. - v.12. - N6. - P. 810-812.
46. Papapetrou A. Spinning test-particles in general relativity//I. Proc. Roy. Soc. - 1951. - v. A209. - N1097 - P. 248-258.
47. Мёллер К. Теория относительности. — М.: Атомиздат. — 1975.
48. Schiff L.I. Motion of a gyroscope according to Einstein's theory of gravitations//Proc. Nat. Acacl. Sci. USA. 1960. - v.46. - N6. - P. 871-882.
49. Schwinger J. Precession test of general relativity-source theory deviations//Am. J. Phys. 1974. - v.42. - N6. - P. 507-510.
50. Schwinger J. Spin precession a dynamical discussion// Am. J. Phys. — 1974. - v.42. - N6. - P. 510-513.
51. Смородинский Я.И. Прецессия волчка в гравитационном поле. Дубна: ОИЯИ. - Р-2174. - 1965. - С.7.
52. Yee К., Bander М. Equations of Motion for Spinning Particles in External Electromagnetic and Gravitational Fields//Phys. Rev. D Part Fields. — 1993. v.48. - N6. - P.2797-2799.
53. Nayak K.R., Vishveshwara C.V. Gyroscopic Precession and Inertial Forces in the Kerr-Newman Spacetime//Class.and Quantum Grav. —1996. — v.13. N7. - P. 1783.
54. Bargmann V., Michel L., V.L. Telegdi Precession of the polarization of particles moving in a homogeneous electromagnetic field//Phys. Rev. Lett.- 1959. v.2. - N10. - P. 435-436.
55. Rubinow S.I., Keller J.B. Asymptotic solution of the Dirac equation//Phys. Rev. 1963. - v.131. - N6. - P. 2789-2796.
56. Rafanelli K., Schiller R. Classical motion of spin 1/2 particles//Phys. Rev. - 1964. - v.135. - No.lB. - P. 279-281.
57. Kolsrud M. Covariant and hermitian semi-classical limit of quantum dynamical equations for spin 1/2 particles//Nuovo Cimento. — 1965.- v.39. —N2. P. 504-518 .
58. Pauly W. Dirac's Wellengleichung des Elektron unci geometrische Optik//Helv. Phys. Acta. -1932. -Bd.5. Fasc. III. -S.179-199.
59. Бордовицын В.А. Спиновые свойства релятивистских частиц в классической, квазиклассической и квантовой теории с внешним электромагнитным полем: докт. диссерт. — М., Томск, — 1983. — С.108-118.
60. Маслов В.И. Квазиклассическая асимптотика решения уравнения Ди-рака//УМН. 1963. - Т. 18. -N4. - С. 220-222.
61. Жуковский В.Ч., Никитина Н.С. Квазиклассические решения уравнения Дирака и излучение фотонов в постоянных электромагнитных полях//Вести.МГУ. Физика, астрой. -1973. - N1. - С.94-101.
62. Yamasaki Н. A new derivation of classical models of the spinning electron from the WKB solution to the Pauli and Dirac equations//Progr. Theor. Phys. 1966. - v.36. - N1. - P.72-85.
63. Фок В.А. Работы по квантовой теории поля. — Л.: Изд. ЛГУ. —1957.- С.141-158.
64. Barclucci A., Casalbuoni R., Lusanna L. Classical scalar and spinning particles interacting with external Yang-Mills fields//Nucl. Phys. — 1977. —v.B124. N1. - P.93-108.
65. Ardoz H.A. Classical colored particle in an external Yang-Mills field//Acta Phys. Polon. -1982. v. B.13. - N7. -P.519-537.
66. De Angelis G.F., Jona-Lasinio G. A stochastic description of a spin 1/2 particle in a magnetic field//J.Phys. A. 1982. - v.15. - N7. - P.2053-2061.
67. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. — М.: Наука, 1979.
68. Grandy W.T. Aghazadeh A. Radioactive corrections for extended charged particles in classical electrodynamics//Ann. Phys. — 1982. — v.142. — N2. —P.284-298.
69. Schulman L. A path integral for a particle with spin//Phys. Rev. —1968.v.176. — N5. — P. 1558-1569.
70. Prugovecki E. On fuzzy spin spaces//J. Phys. A. — 1977. — v.10. —N4. — P.543-549.
71. Дирак П. Лекции по квантовой теории поля. — М.: Мир, 1971.
72. Martin J.L. Generalized classical dynamics and the "classical analogue"of Fermi oscillator//Proc. Roy. Soc. of London A 251. 1959. - N1267. -P.536-542.
73. Березин Ф.А., Маринов М.С. Классический спин и алгебра Грассма-на/Письма в ЖЭТФ. 1975. - Т.21. -Nil. - С.678-680.
74. Beresin F.A., Marinov M.S. Particle spin dynamics as the Grassman variant of classical mechanics// Ann.Phys. — 1977. — N2. — v.104. — C.336-362.
75. Brink L., Di Vecchia P., Howe P. A lagrangian formulation of the classical and quantum dynamics of spinning particles//Nucl. Phys. — 1977. — v.1181. B. P.76-94.
76. Гершун В.Д., Ткач В.И. Классическая и квантовая динамика частиц с произвольным спином//Письма в ЖЭТФ. —1979. — Т.29. — N5. —1. C. 320-324.
77. Ravndal F. Supersyinmetric Dirac particles in external fields//Phys. Rev. -1980. v. D21. - P. 2832.
78. Di Vecchia P., Ravndal F. Supersymmetric Dirac particles//Phys. Lett. — 1979. v. 73 A. - P.371-373.
79. Freuncl P.G. Introduction to supersymmetry. Berlin: Springer Verlag, 1986.
80. Frydryszak A. Lagrangian models of particles with spin: the first seventy years//1ТР UniverWroclaw. 1996. - v.901.
81. Гольфанд Ю.А., Лихтман Е.П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности//Письма в ЖЭТФ. — 1971. Т.13. - С.452-455.
82. Volkov D.V., Akulov V.P. Possible universal neutrino interaction//JETP Lett. -1972. v. 16. - P.438-440.
83. Volkov D.V., Akulov V.P. Is the neutrino a goldstone particle?//Phys. Lett. B. -1973. v.46. -P.109.
84. Wess J., Zumino B. Supergauge Transformations In Four-Dimensions//Nucl. Pliys. Ser. B. -1974. - v.70. -P.39.
85. Corwin L., Neeman Y., Sternberg S. Graded Lie algebras in mathematics and physics//Reviews of modern Physics. — 1975. — v. 47. — P.573-603.
86. Aharony 0., Hanany A., Intriligator K., Seiberg N., Strassler M.J. Aspects of N=2 Supersymmetric Gauge Theories in Three Dimensions//LASSNS-HEP Publ. 1997. -N97/18. -P. 1-39.
87. Ramond P. Superalgebras in N=1 gauge theories//Phys.Lett.B. — 1997.- v. 390. —N1-4. —P.179-184.
88. Аминова А.В., Мочалов С.В. Суперпространство Минковского как инвариант супергруппы Пуанкаре//Изв. вуз. Математика. — 1994. — N3.- С.5-12.
89. Brignole A., Ibanez L., Munoz С., Scheich С. Some issues in soft SUSY-breaking terms from dila,ton/midmoduli sectors//Zs. Phys. —1997. — v. 74. N1. - P. 157.
90. Pre P., Girardello L., Pesando I., Trigiante M. Partial N=2 N=1 local supersymmetry breaking and solvable Lie algebras//Nucl. Phys.B. — 1997. -v. 493 -N1-2. P. 231.
91. Hotta Т., Izawa K.-I., Yanagida T. Dynamical supersymmetry breaking without messenger gauge interactions//Phys.Rev.D. —1997. — v. 55. — N1. -P. 415-418.
92. Теоретико-групповые методы в физике: Труды третьего семинара в Юрмале 1985. -М.: Наука, -Т1. -1986. - С.182.
93. Богуш А.А. Введение в калибровочную полевую теорию электрослабых взаимодействий. — М.: Едиториал УРСС. — 2003.
94. Рубаков В.А. Классические калибровочные ноля. М.: Едиториал УРСС. - 1999.
95. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных нолей. М.: Наука, 1978.
96. Генденштейн Л.Э., Криве И.В. Суперсимметрия в квантовой механи-ке//УФН. Т.146. —Вып.4. - 1985. -С.553-590.
97. Огиевецкий В.И., Мезинческу JI. Симметрии между бозонами и фер-мионами и суперполя//УФН. -1975. Т.117. - С.637.
98. Casalbuoni R. The classical mechanics for Bose-Fermi system//Nuovo Cim.- 1976. v. 33 A. -P. 389.
99. P.T. Matthews P.T. Salam A. Propagators of qua,ntized field//Nuovo Cim.- 1955. v. 2. —P. 120-134.1001 Tobocman W. Transition amplitudes as sums over histories//Nuovo Cimento. 1956. - v. 3. - P. 1213-1229.
100. Barut A.O. Electrodynamics and classical theory of fields and particles. —MacMillan, NewYorc. -1964.
101. Hanson A. J., Regge T. The relativistic spherical top//Ann.Phys. — 1974.- v. 87. —P.498.
102. Grassberger P. Classical charged particles with spin//J.Phys. A: Math Gen. 1978. - v. P. 1221-1226.
103. Грин M., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. — М.: Мир, 1990. -Т. 1-2.
104. Каку М. Введение в теорию суперструн. — М.: Мир, 1999.
105. Brink L., Schwarz J.H. Quantum Superspace//Phys. Lett. B. — 1981. — v. 100. N4. - P. 310-312.
106. De Azcarraga J.A., Lukierski J. Supersymmetric particles with internal symmetries and central charges//Phys.Lett. B. — 1982. — v.113. — N2. — P. 170-173.
107. Siegel W. Spacetime-symmetric quantum mechanics//Class. Quantum Grav. 1985. - v. 2. - N4. - P. L95-L97.
108. Siegel W. The superparticle revisited//Phys.Lett.B. 1988. - v. 203. —N1-2. - P. 79-85.
109. Sorokin D.P., Tkach V.I., Volkov D.V., Superparticles, twisters and Siegel symmetry //Mod. Phys. Lett.A. 1989. - v. 4.-N10. -P. 901-908
110. Козориз В.И. Суперсимметричный электрон в постоянном и однородном магнитном и электрическом полях//Труды МАИ. — N1. — 2000.
111. Козориз В.И. Анализ движения суперсимметричного электрона в кулоновском поле//Труды МАИ. — N1. — 2000.
112. Козориз В.И. Электрон со спином в поле плоской электромагнитной волны//Труды МАИ. N2. -2000.
113. Козориз В.И. Мусин Ю.Р. Суперсимметричный электрон в кулоновском поле//Теор. и мат. физ. Т. 123. - N1. - 2000. -С.75-80.
114. Козориз В.И., Мусин Ю.Р. Суперсимметричный электрон в кулоновском поле: Тез. Док. Десятая российская грав. конф. Владимир, 1999. -212 с.
115. Козориз В.И., Мусин Ю.Р. К задаче рассеяния электрона со спином в кулоновском поле//Теор. и мат. физ. — Т.138. —N2. — 2004. —С.338-348.
116. Мусин Ю.Р. К теории суперчастицы Ди Векчи-Равндала//Изв. вуз. СССР. Физика. - 1991. -N7. - С.5-7.
117. Халилов В.Р., Чижов Г.А. Динамика классических систем. — М.: Изд. МГУ, 1993.
118. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука,1988.
119. Hartmut Frommert. Relativistic orbits of classical charged bodies in a spherically symmetric electrostatic field//Int.J.Theor.Phys. —1996. — v.35. -N12. -P. 2631-2643.
120. Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. — М.:, Мир, 1969.
121. Тернов И.М., Бордовицын В.А. О современной интерпретации классической теории спина Я.И. Френкеля//УФН. — 1980, —т. 132. — Вып. 2. С.345-352.
122. Corben Н.С. Radiation damping of spinning particles//Proc. NAS USA.- 1962. -v.48. P.387-395.
123. Гинзбург В.Л., Тамм И.Е. К теории спииа//ЖЭТФ. -1947. т. 17. —Вып.З. - С.227-237.
124. De Vos J.A. Covariante beschrijving van de spinbeweging in een homogcn elektromagnetisch veld//Necl. T. Natuurk. 1961. -v.27. - N8. - P.287-283.
125. Good R.H. Classical equation of motion for a polarized particle in an electromagnetic field//Phys. Rev. 1962. -v.125. - N6. - P. 2112-2115.
126. Zatzkis H. The Thomas precession//J.Prankl. Inst. -1960. -v.269. N4. —P.268-273.
127. Cognola G., Soldati R., Vanzo L., Zerbini S., On the Lagrangian formulation of a charged spinning particle in an external electromagnetic field//Phys.Lett.B, 1981. - v.104. - P.67-69.
128. W.G. Dixon, A covariant multipole formalism for extended test bodies in general relativity//Nuovo Cimento 1964. - V.34.-N2.- P. 317-339.
129. Z. Hasiewicz, P. Siemion, F. Defever, A Bosonic Model for particles with arbitrary spin//Int. J. Mod. Phys.A. 1992. - v. 7.-N17 - P.3979-3996.
130. S.M. Kuzenko, S.L. Lyakhovich, A.Yu. Segal, A geometric model of the arbitrary spin massive particle//Int. J. Mod. Phys.A. — 1995. — v. 10.— N10 P.1529-1552.
131. Гитман Д.М., Тютин И.В. Псевдоклассическая модель вейлевской частицы и квантование классических констант//Известия вузов. Физика.- 2002. -Вып. 7. -С. 42-46.
132. Grigoryan G.V., Grigoryan R.P. Pseudoclassical Neutrino in the External Electromagnetic Field//H®. 1997. - т.60. - N.l. - C.68-71.
133. Junker G., Matthiesen S. Pseudoclassical mechanics and its solution//J. Phys. A: Math. Gen. 1995. - v.28. - N5. - P.1467-1468.
134. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. — М.: Изд-во МГУ,1983.
135. Barducci A., Casalbuoni R., Lusanna L. Supersymmetrics and the pseudoclassical relativistic electron//Nuovo Cimento A.— 1976.— v.35. — P.377-395.
136. Ikemori H. Superfield formulation of superparticles//Z. fiir Physik C: Particles and fields. 1989 - v.44. -N.4.- P.625-632.
137. Stuckelberg E. //Helv. Phys. Acta. -1942 v.15. - P.23.
138. H. Rumpf. Supersymmetry of the photon//J. Phys. A: Math. Gen. — 1987 V.20.-P. 4285-4307.
139. Pao Lu, Fradkin D.M., Good R.H. Classical approximation for the change of polarization in potential scattering//Nuovo Cimento — v. 34 N3,— 1964.—P. 581-590.
140. David J. Fernandez C., Oscar Rosas-Ortiz. Inverse techniques and evolution of spin-1/2 systems//Physics Letters A.— 1997.— v. 236.—P. 275-279.
141. Chaichian M., Gonzalez R., Martinez D. L. Spring relativistic particle in external electromagnetic field//Physics Letters A.— 1997.— v.236.—P.188-192.
142. Kolsrud M. Exact solutions of classical covariant spin equations//Physica Norvegica 1966 - v. 2.- Nl-P. 50-61.
143. Померанский А.А., Сеньков P.А., Хриплович И.Б. Релятивистские частицы с внутренним моментом во внешних полях//УФН.—1т. 170.— N10,—2000.—С.1129-1141.
144. Лобанов А.Е. Ковариантное описание спина электрона в электромагнитном поле//Препринт физ. фак. МГУ.— N24—1988.—С. 5-7.
145. Лобанов А.Е. К вопросу о поляризации электрона в импульсном электромагнитном поле//Вестиик Московского Университета. — Серия 3. Физика. Астрономия. -1997 N2.-C. 59-60.
146. Лобанов А.Е. Эволюция спина заряженной частицы в электрическом поле//Вестник Московского Университета. — Серия 3,— Физика. Астрономия,- 2004,- N4.-C. 25-28.
147. Лобанов А.Е. Радиационные и поляризационные эффекты в квантовой электродинамике с внешним полем: докт. диссерт. — М., 2003.—С. 70-77.
148. Gates Jr. S. J., Grisaru M. Т., Rocek M., Gates W. Superspacc Banjamin//Cummings — London, 1983.
149. Almond P. The supersymmetry extended Weyl algebra and Casalbuoni's Оi model//Preprint QMC/02-81, London, 1981.
150. Volkov D.V., Pashnev A.I., Supersymmetric Lagrangian for particles in proper time//Teoret.Mat.Fiz. 1980. - v.44. - P. 321-326.
151. Penrose R., Mac Callum M.A.H., Twistor theory: an approach to the quantisation of fields and space-tinie//Phys. Rep.— 1973.— v.6. — P.109.
152. Penrose R., Rindler W. Spinors and space-time.— Cambridge Univ. Press.— Cambridge, 1986.
153. Гершун В.Д., Ткач В.И. Классическая и квантовая динамика частиц с произвольным cnnHOM//JETP Lett.— 1979.— v.29,—Р.320.
154. Siegel W. Introduction to string field theory.— World Scientific-Singapore, 1988.
155. Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L., Segal A.Yu. Arbitrary supcrspin massive superparticles//Phys. Lett.B 1995.- V.348.-N3-4.-P.421-427.
156. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Теоретическая физика. Том1.-М.: Физматгиз, 1958.
157. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. —Т.1.— Айнштайн, 1994.
158. Френкель В.Я. К истории эффекта Эйнштейна Де Гааза//УФН.— Т.128.— Вып. 3.-1979,- С. 545-557.
159. Лобанов А.Е., Павлова О.С., Solutions of the classical equation of motion for a spin in electromagnetic fields//Teop. и мат. физ—1999— T121,— N3,- pl691-1699.
160. Багров В.Г., Вызов Н.Н., Сорокин С.В. Движение классической заряженной спиновой частицы во внешнем поле плоской электромагнитной волны//Изв. вуз. СССР. Физика. - 1981. -Nil. - С.71-74.
161. Найфэ А. Введение в методы возмущений.— М.: Мир, 1984.
162. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Теория поля. — М.: Наука, 1988.
163. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике.— М.: Наука, 1992.
164. Мусин Ю.Р., Чередов В.В. Введение в суперсимметричную механику//ВИНИТИ,— N8713-B88-1988.
