Аналитические исследования динамики спинирующего релятивистского электрона в электромагнитных полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Козориз Виктор Иванович

Аналитические исследования динамики спинирующего релятивистского электрона в электромагнитных полях

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре нелинейной волновой механики в Московском авиационном институте (Техническом университете) имени Серго Орджоникидзе.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук доцент Мусин Юрат Рашитович.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук профессор Борисов Анатолий Викторович

- кандидат физико-математических наук доцент Самсоненко Николай Владимирович

Ведущая организация - Российский научный центр Курчатовский институт.

Защита состоится 9 июня 2005 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 212.203.01 в Российском университете дружбы народов (115419, Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал № 1).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан 6 мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент Чехлова Т. К.

Общая характеристика работы

Изучение движения вращающихся объектов - одна из старейших задач физики, возникшая еще в механике Ньютона и систематически изучаемая в небесной механике. Она интенсивно исследовалась также в рамках общей теории относительности (уравнения Папапетру) и квантовой механике (спин-орбитальное взаимодействие). Движение спинирующих частиц во внешних полях представляет интерес не только с практической точки зрения (прецессия гироскопов, рассеяние поляризованных пучков, тонкая структура атомных спектров и т. п.), но и с точки зрения проверки предсказаний таких фундаментальных теорий, как ОТО (отклонения фотона в гравитационном поле Солнца) и теории суперсимметрии (движение суперсимметричных частиц). Актуальность работы

Исследования движения спинирующих частиц получили новое развитие после создания псевдоклассических моделей спина. Псевдоклассическая 'механика (механика над алгеброй Грассмана) позволяет по-новому подойти к решению старых задач. В частности, стало возможным исследование на классическом уровне вклада в уравнения движения спина элементарных частиц. Это позволяет выделить в чистом виде вклад в движение электрона квантовомеханических эффектов. Цель работы:

- Анализ движения релятивистского электрона во внешних электромагнитных полях с учетом его спина методами псевдоклассической механики.

- Получение аналитических решений уравнений движения электрона и эволюции его спина в простых модельных случаях: однородных электрическом и магнитном полях, в поле плоской электромагнитной волны, кулоновском поле.

- Расчет угла и дифференциального сечения рассеяния релятивистских электронов в кулоновском поле с учетом спина.

Научная новизна заключается в использовании релятивистских суперсимметричных моделей спиновых частиц для получения точных решений, описывающих движение электрона во внешнем электромагнитном поле на классическом уровне.

Апробация работы и публикации По материалам диссертации опубликовано 6 работ. Основные результаты диссертационной работы были изложены на X Российской гравитационной конференции (июнь 1999 г.). Автор выносит на защиту

- Точные решения уравнений движения релятивистского суперсимметричного электрона (модель Ди Векъя-Равндалла) в конкретных электромагнитных полях:

а) однородном электрическом и однородном магнитном полях;

б) в плоской плоскополяризованной электромагнитной волне.

- Точное решение уравнения для траектории движения1 релятивистского суперсимметричного электрона в кулоновском поле.

- Точное аналитическое выражение для угла рассеяния релятивистского электрона со спином в кулоновском поле.

Объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 90 источников. Работа изложена на 78 страницах, включая 8 рисунков.

В первой главе демонстрируется работа выбранной математической модели на примере движения электрона в постоянном магнитном поле и исследуется само это движение. Проведено сравнение полученных результатов с результатом, когда электрон переносится по Ферми-Уолкеру.

В качестве отправной модели для решения задачи используются уравнения, являющиеся псевдоклассическим аналогом уравнений Баргмана-Мишеля-Телегди (БМТ) для частицы с гиромагнитным отношением 2.

где - тензор спина, - тензор

электромагнитного поля; х* - пространственные, а в" - спиновые координаты; Ар - 4-потенциал электромагнитного поля; Ц, ^=0,1,2,3

(что отвечает I, х, у, z, соответственно)1; q = - е - заряд электрона. Точкой обозначается производная по собственному времени частицы д.

Отличие этого уравнения от общего уравнения динамики состоит в наличии дополнительного слагаемого в пространственных уравнениях - силы Кельвина, обусловленной взаимодействием спина с градиентом электромагнитного поля, и наличием дополнительных уравнений для спиновых координат.

Точные решения этих уравнений для электрона в постоянном магнитном поле Я, направленном вдоль оси 01, будут следующими

(1)

/ = £/'(0)*+/(0),

х = - (Ц' (0) вт ЙИ + и' (0) сое йи) + (х(0) - - £/' (0)),

а

т

у = - (£7' (0) соб а» + и' (0) мп йн) + (.у (0) - - V (0)),

1

со

СО

г = £/-'(0)* + г(0),

(9° =6>°(0),

9х =0'(О)со5йв-^(О)зтйк, в1 = (0) вт +(0) ссийи, в1 = в1 {О).

Считаем с = 1.

где о = еН; [У'(0),У(0),У'(0),С/г(0)], [/(0),лг(0),;К0),2(0)], [0°(О),0|(О),^2(О),^5(О)] - компоненты 4-скорости, пространственных и спиновых координат в начальный момент времени, соответственно.

Движение электрона происходит по спирали с постоянным радиусом и шагом, закрученной вдоль направления поля. Этот результат аналогичен движению бесспинового электрона.

Для случая плоской круговой орбиты поведение 4-вектора спина будет выглядеть так

Таким образом, 4-спин электрона прецессирует с угловой скоростью относительно направления поля.

Полученный результат отличается от прецессии Томаса с частотой (1 -у)П. Различие обусловлено тем, что реальное поведение спина происходит с учетом спин орбитального взаимодействия, а не является простым переносом Ферми-Уолкера.

Во второй главе дано полное решение уравнений движения электрона в постоянном электрическом поле и в поле плоской электромагнитной волны в рамках модели Ди Векъя-Равндалла, сделан анализ полученных результатов.

Используя уравнения БМТ (1), в постоянном и однородном электрическом поле Е, направленном вдоль оси Ох, будем иметь следующие решения уравнений движения

/ = !([/' (О^Иам- + [/'(О)сЬйм) + (г(0) -1с/"(0)),

х = ^([/'(О)сЬак + £/*(0)зЬаи) + (х(0)-^С/'(0)),,

где ф = еЕ; [(/'(0),С/'(0),С/'(0),1/'(0)], [^(О),^),^)], [¿?о(0),б'(0),(?2(0),(?3(0)] - компоненты 4-скорости, пространственных и спиновых координат в начальный момент времени, соответственно.

Таким образом, электрон движется с ускорением по направлению поля.

Поведение 4-вектора спина выглядит следующим образом

й

Н Н

В своем движении 4-спин электрона ложится в пределе на световой конус, совершая гиперболический поворот.

Для линейно-поляризованной электромагнитной волны

где - частота электромагнитной волны, электрическое поле направленно вдоль оси Оу, магнитное поле Н направленно по оси 01, размерный множитель полагаем равным единице; уравнения БМТ (1) будут иметь следующее решение

где С0, С1,С2,С3 - нечетные константы интегрирования.

Траектория движения электрона представлена на рис. 1.

Y, «<Ey>Q /и2

X, «сед /и2

0 - ТОЧКИ, гол Еи = 10 [I/O 1

1 - ТОЧКИ, rom Hz=0 < £и>„ = I. ОО [В/м ] а - точки, гя> His<Hz>,,iri

Рис.1

Поведение 4-вектора спина будет описываться выражением

где C = -i9"d\ A = -iOb9l - четные величины ( = const).

Таким образом, 4-спин электрона совершает колебания вдоль прямой s = - х, в плоскости (s, х).

В третьей главе найдено точное аналитическое выражение для траектории спинирующего электрона в кулоновском поле. Исходные уравнения для траектории имеют вид

sin у ^ sinV SI117 )

/*-2ctg/(/)J=isin2/

где - радиус-вектор, - полярный угол, - заряд электрона,

- заряд центра, - компонента тензора спина,

компонента 4-импульса электрона, К/—Е - полная энергия электрона, считаем те= 1, с= 1; штрихом обозначается производная по углу а (азимутальный угол).

Решение ищем в виде разложения по Л

Л(а>Л) = Л0(а) + й1(ог)Л /(а,А) = у0(а) + у1(а)А

(3)

где - решение уравнения для частицы без спина, -

возмущенное решение. Решение (3), в силу нильпотентности Л, будет не приближенным, а точным.

Возможны три варианта траекторий

где - константа интегрирования,

К

Решение получено над алгеброй Грассмана, переход от грассмановых чисел к действительным осуществляется стандартным способом с помощью «процедуры усреднения».

Возможна финитная £>о < 1 (см. рис.2) и инфинитная Д) > 1 (см. рис.3) траектории движения.

Рис.2

Финитная траектория (Рп < 1):

Траектория, вообще говоря, имеет вид незамкнутой трехмерной розетки, заключенной в области изображенной на рисунке 2, где

1 + 0. = я72-

РМ

1(1 + А)

1-Д.

-+Л

Р(М+2Н) (1-0,У '

2 + АА

Инфинитная траектория (Р<\> 1):

Траектория - трехмерная гипербола (рис.3). Углы а* , при которых траектория уходит на бесконечность

Рис.3

г(а)- р АР(Ш + Н)Лсоа„-Н)

0 -1 + О0сЬй)а0 (-1 + £)0сЬйюг0)! ' ^

Г(а0) = -+ААсо5а„

а = а„{\+\В1(о),

ёО I-

где А - константа интегрирования, р =—, й) = ^рг-1;

К

Ер Ксог Кш <аО0 0 р\ £ '

Траектории имеют вид трехмерных спиралей, закручивающихся вокруг начала координат (рис.4).

Если Д) < 1, то траектория имеет две ветви уходящие на бесконечность при

Рис.4

Если то траектория имеет вид изображенный на

рисунке 5.

у(а) = — + ЛЛсо$а.

где Сь С2, С), С\,А - константы интегрирования.

Траектории имеют вид спиралей закручивающихся вокруг

центра, но более медленно, чем в случае ^ > 1. Общий характер

траекторий такой же, как в случаях изображенных на рисунках 4,5.

Для 4-спина электрона в кулоновском поле можно получить аналитическое выражение в случае простейшей круговой траектории. Решение будет таким же как и для случая с магнитным полем (2), где П - частота обращения электрона по орбите в лабораторной системе координат.

В четвертой главе рассмотрена задача рассеяния релятивистского электрона со спином в кулоновском поле в рамках псевдоклассической механики. Получено аналитическое выражение для угла рассеяния и даны предельные оценки параметров рассеяния для бесспинового и нерелятивистского случаев.

Для случая малых углов, рассматриваемая псевдоклассическая модель приводит к известной квантовомеханической формуле Мотта.

Выражения для угла рассеяния будут следующими: Притягивающий центр

2/г 2 в = -л+---агссов

о;

к»\2я 2 ГО

-АВ{---агссоБ —

(7)

Отталкивающий центр

в = ж—агссоз 0)

Асимметрия угла рассеяния при этом учитывается знаком величины которая может принимать как отрицательные, так и положительные значения.

При данные формулы совпадают с углами рассеяния для бесспиновых частиц.

Исследование формул (7) и (8) при больших прицельных параметрах, которым, как известно, отвечают малые углы рассеяния, позволяет получить дифференциальное сечение рассеяния для малых углов (с точностью до во втором множителе)

где - скорость, а - импульс налетающего электрона на бесконечности. Первое слагаемое есть не что иное, как резерфордовское сечение рассеяния, второе - представляет собой поправку к сечению, обусловленную спином электрона.

Для сравнения с формулой Мотта необходимо учесть, что она получена при выборе определенной поляризации налетающих электронов. В псевдоклассической модели это означает фиксацию проекции спина на выделенное направление. Известно, что матрица плотности, возникающая после квантования модели Ди Векъя-Равндалла, будет положительно полуопределенной, если только

пространственные компоненты вектора спина

Окончательное выражение для дифференциального сечения рассеяния будет иметь вид

где - безразмерная константа.

Сравнивая полученное выражение с формулой Мотта, убеждаемся, что они совпадают для малых углов при значении это значение и нужно использовать при численном расчете сечения рассеяния на произвольные углы по формулам (7), (8).

Основные выводы; В диссертационной работе по исследованию спиновой частицы -электрона - во внешних электромагнитных полях, в рамках псевдоклассической механики (модель Ди Векъя-Равндалла), было получено следующее:

1) аналитические решения уравнений движения для релятивистского электрона со спином

- в постоянном и однородном магнитном поле,

- в постоянном и однородном электрическом поле,

- в поле плоской электромагнитной волны,

2) аналитическое выражение для траектории релятивистского электрона со спином в кулоновском поле,

3) аналитическое выражение для угла рассеяния релятивистского электрона со спином в кулоновском поле,

4) эффективное сечение рассеяния для малых углов рассеяния.

В результате исследования были обнаружены следующие особенности:

1) Поведение спина во многом определяется наличием и характером внешнего поля, что видно даже для простейших полей (гл. 1-2).

2) В простейших полях спин частицы не влияет на ее пространственное движение (гл. 1-2). В таких полях спиновые и пространственные уравнения движения разделены и решаются автономно. Этот результат подтверждает справедливость имеющихся решений для бесспиновых частиц и, кроме того, дает точное решение для поведения спина частиц.

3) Для релятивистской частицы со спином в кулоновском поле, полученное аналитическое решение уравнений для траектории показывает, что учет спин-орбитального взаимодействия качественно меняет траекторию, она становится пространственной.

4) Поведение спина при движении по плоским круговым орбитам во внешних полях отлично от поведения спина при простом релятивистском переносе, оно обусловлено спин-орбитальным взаимодействием и не представляет собой простой перенос Ферми-Уолкера.

В частности, при движении по плоским круговым орбитам в постоянном, однородном магнитномлоле и в кулоновском поле, спин частицы прецессирует вокруг оси перпендикулярной плоскости движения, с частотой, равной частоте обращения электрона по орбите, оставляя свои проекции в цилиндрической системе координат неизменными.

5) Для случая малых углов, эффективное сечение рассеяния приводит к известной квантовомеханической формуле Мотта.

В заключение приведем некоторые соображения о статусе полученных решений. Классические уравнения БМТ получены в рамках обычной механики, которая, как известно2, не является корректным классическим пределом для квантовомеханических фермионных систем. Псевдоклассическая механика наиболее точно моделирует на классическом уровне поведение ферми-систем, и ее использование для описания поведения электрона во внешнем электромагнитном поле представляется наиболее логичным. Как известно, классические уравнения БМТ обычно не допускают точных решений. Грассмановы аналоги' БМТ, получающиеся в рамках псевдоклассической механики, более удобны для решения, в силу существования нильпотентных параметров. Полученные псевдоклассические решения легко интерпретируются в терминах обычных вещественных чисел с помощью "процедуры усреднения"3. Все это позволяет надеяться, что полученные решения и примененные для этого методы можно использовать для изучения движения электрона не только в полях одиночных атомных ядер, но и в кристаллах (задачи каналирования и т.д.).

2 P.G О. Freund, Introduction to supersymmetry. Berlin. Springer Verlag, 1986.

3 Ю P. Myom, Изв. вуз. СССР. Физика, 1991, N7, c.5 -

Основные результаты диссертации отражены в работах:

1. X Российская гравитационная конференция. Тезисы докладов. Владимир. 1999. 212

2. В.И. Козориз, Ю.Р. Мусин, Суперсимметричный электрон в кулоновском поле. Теор. и мат. физ. Т123. N1.2000.75

3. В.И. Козориз, Анализ движения суперсимметричного электрона в кулоновском поле. Труды МАИ. N1. 2000

4. В.И. Козориз, Суперсимметричный электрон в постоянном и однородном магнитном и электрическом полях. Труды МАИ. N1.2000

5. В.И. Козориз, Электрон со спином в поле плоской электромагнитной волны. Труды МАИ. N2.2000

6. В.И. Козориз, Ю.Р. Мусин, К задаче рассеяния электрона со спином в кулоновском поле. Теор. и мат. физ. Т138. N2. 2004. 338348

Множительный центр МАИ

Зак. от O3fiS2.Q0Sr. Тир. Ш экз.

j fw-Mspjaj î cernir «НИР [

Ч!1 /

09 ИЮН 2005

992