Анализ чувствительности и оптимизация упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

0 9'фев 1998

На правах рукописи

БАРСУК Александр Арсеньевич

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ОПТИМИЗАЦИЯ УПРУГИХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04- механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

ТУЛА - 1997

Работа выполнена в Вычислительном центре Молдавского государственного университета Республики Молдова

Научный консультант - доктор физ.-мат. наук, профессор, академик РИА Н.В. БАНИЧУК

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, проф. A.C. КРАВЧУК, доктор физ.-мат. наук, проф. Ю.Н. НОВИЧКОВ, доктор физ.-мат. наук, проф. А.И. ПЕТРОВ.

Ведущая организация -

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

O'fo. . . 1998 года в

Защита состоится . .1998 года в ' ' час

на заседании диссертационного совета Д063.47.07 при Тульском государственном университете по адресу: 300600, Тула, ирЛенина, 92, 9 уч. корпус, аудитория 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан «_»_1997г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-

математических наук '—5 В.БЛеньков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию общих свойств, разработке эффективных аналитических и численных методов анализа, а также численному решению задач оптимизации упругих тел и конструкций относительно их спектральных характеристик.

В общей форме обсуждаемые в диссертации задачи могут быть представлены в виде

Ai(A(r)) -» шах (min), J,-(K(f); w(r),r) < 0, (1)

h(f) h(fj

A{h{r))w(r) = \B{h(r))w{r), feft. (2)

Однородная краевая задача (2) определена в области г - независимые переменные; ui(r) - функция, описывающая напряженно-деформированное состояние; Л - собственные числа (критические силы потери устойчивости, квадраты собственных частот свободных колебании); А, В - симметричные линейные операторы; h(r) - вектор управляющих функций; Ji(h(r);w(r),r) < 0 - заданная система ограничений.

Рассматриваются задачи определения удовлетворяющей заданной системе ограничений вектор-функции h(r) из условия экстремальности заданного собственного значения спектральной задачи (2).

Актуальность темы. Изучение задач оптимального проектирования вида (1-2) начинается с работы J.- L. Lagrange (1770) о наивыгоднейшем очертании колонны минимального веса, выдерживающей заданную нагрузку. Полученное Лагранжем решение оказалось ошибочным и в последующем T.Clausen (1851) и Е.Николаи (1907) дали правильное решение этой задачи и указали на обобщения, приближающие постановку задачи к реальным условиям функционирования сжимаемых колонн.

Начиная с этого времени обращение исследователей к задачам оптимального проектирования механических систем относительно их спектральных характеристик принимает регулярный характер, что объясняется актуальностью этих задач при проектировании мостов, сооружений, летательных аппаратов. Отметим в этой связи исследования Д.И. Журавского (1860) о рациональном расположении ребер жесткости при усилении стенок трубчатых мостов, Н.Г.Ченцова (1936) об устойчивости оптимальных стержней, А.Ф. Смирнова (1936) о проектировании арок с максимальной фундаментальной частотой свободных колебаний.

Систематическое исследование спектральных задач оптимального проектирования, продолжающееся до настоящего времени, начинается с 60-х годов и вызвано прежде всего актуальностью этих задач в ракетостроении, самолетостроении, судостроении, машиностроении, строительстве сооружений. С другой стороны, в это же время появляется адекватный математический аппарат (принцип максимума Понтрягина, метод динамического программирования Беллмана, математическое программирование), а также мощные вычислительные средства для исследования сложных задач оптимизации.

Обстоятельное изложение многочисленных аспектов спектральных задач оптимального проектирования деформируемых систем, оригинальных постановок задач оптимизации и методов их решения а также обширная библиография по этому классу задач содержится в монографиях авторов Гринев В.Б., Филиппов А.П. (1975), Троицкий В.А. (1976), Ж.- Ар-ман. (1977), В.И.Бирюк, Е.К.Липин, В.М.Фролов. (1977), Гринев В.Б., Филиппов А.П. (1979), Баничук Н.В. (1980), Малкое В.П. и Угодников

A.Г. (1981), Ольхофф Н. (1981), Троицкий В.А., Петухов Л.В. (1982), Хог Э., Apopa Я. (1983), Баничук Н.В. (1986), Литвинов В.Г. (1987), Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс Р.Б. (1988), Хог Э., Чой К., Комков

B. (1988), Баничук Н.В., Иванова С.Ю., Шаранюк A.B. (1989), Баничук Н.В., Бирюк В.Я., Сейранян А.П., Фролов В.М., Яремчук Ю.Ф. (1989).

С практической точки зрения чрезвычайно важным является не только построение оптимальных проектов, но и указание способа изменения текущих значений параметров проектирования, приводящих к улучшающим изменениям оптимизируемого функционала. Совокупность связанных с этим исследований получила название анализа чувствительности, а сами выражения для приращений функционала (их линейная часть) -формул чувствительности.

При решении многих спектральных задач оптимизации оптимизируемое собственное значение будучи некратным для неоптимального набора . параметров проектирования для оптимальных решений становятся кратным. На это обстоятельство впервые обратили внимание Olhoff N., Ras-mussen S. (1977). Подчеркнем, что ввиду недифференцируемости кратного собственного значения по параметрам проектирования при построении выражений для приращения оптимизируемого собственного значения возникают принципиальные трудности.

Проблема построения оптимальных решений с учетом кратности собственных значений с различных точек зрения обсуждалась многими исследователями. Отметим работу Баничук Н.В., Барсук A.A. (1983), где

был предложен метод декомпозиции для анализа задач с кратным спектром, публикации Братусъ A.C., Сейрашн А.П. (1984), Сейранян А.Л. (1987) в которых в общей форме проанализированы необходимые и достаточные условия оптимальности для конечномерных задач, а также монографию Э.Хога, К.Чоя и В.Комкова (1988), где имеется подробная библиография публикаций западных исследователей по этой проблеме.

Анализ как уже имеющихся, так и представленных в диссертации решений задач оптимального проектирования систем с кратными собственными значениями показывает, что кратность собственных значений достигается не только для оптимального набора параметров проектирования, но и для их значений из некоторой окрестности оптимального набора. В связи с этим Н.В. Баничуком, A.A. Барсуком и В.В. Сауриным (1995) введен в рассмотрение класс вариаций переменных проектирования, сохраняющих кратность собственных значений, и для которого формула чувствительности кратных собственных значений педставляется линейным по вариациям переменных проектирования функционалом.

Характерным для решения спектральных задач оптимизации является образование сингулярных решений, приводящих к обращению в ноль коэффициентов в определяющих уравнениях. Отметим в этой связи работы Niordson F. (1965), Olhoff N. (1975), Banich.uk N.V., Karihaloo (1977), в которых исследованы закономерности образования сингулярных решений и изучено их асимптотическое поведение. Во всех упомянутых случаях рассмотрение велось для задач, описываемых линейными операторами. Автором было проанализировано образование сингулярных решений в нелинейных задачах оптимизации (1995) и обнаружено, что характер формирования сингулярных решений для этого класса задач существенно отличается от закономерностей образования сингулярных решений в задачах, описываемых линейными операторами.

В связи с широким распространением композиционных материалов и использованием анизотропных моделей для описания конструкций с конструктивной анизотропией оптимизация анизотропных свойств упругих тел за счет рационального распределения угла анизотропии представляет собой актуальную задачу. Большое число опубликованных исследований по эффективности армирования упругих тел и конструкций посвящено главным образом анализу влияния параметрических зависимостей угла анизотропии на значения оптимизируемых функционалов. В работах Н.В.Баничук, A.A. Барсук, Л.Р.Трифанова, А.В.Шаранюк (1991), A.A. Барсук, Л.Р.Трифанова, Н.Р.Трифанова (1992), Н.В.Баничук, А.А.Барсук, В.В.Саурин (1995) иследованы задачи оптимального проектирования ани-

зотропных пластин в условиях устойчивости и свободных колебаний за счет рационального выбора распределения угла ортотропии.

Отметим также, что широкий класс задач оптимального проектирования связан с решением спектральных задач, определенных в симметричных областях, а структура оптимальных решений связана с симметрией области. Для частных случаев симметрии области эта связь обсуждалась A.A. Зевиным (1991). В диссертации с использованием аппарата теории групп представлен общий анализ взаимосвязи симметрии области и структуры оптимальных решений.

Наконец, укажем, что численное решение полной проблемы собственных значений больших размерностей (> 104) даже для современных ЭВМ сопряжено с большими усилиями. При численном решении спектральных задач оптимизации, сопровождаемом многократным решением задач на собственные значения, эти трудности существенно увеличиваются. Однако для симметричных механических систем задача решения проблемы собственных значений может быть заметно упрощена. Для систем, обладающих круговой симметрией, методы решения спектральных задач рассматривались А.Я. Гродно (1967), С.З. Динкевичем (1977), а для систем, инвариантных относительно параллельных сдвигов - M.JI. Бурышкиным (1975). В диссертации представлен общий способ анализа спектральных задач симметричных механических систем, использующий математический аппарат теории симметрии.

В последние годы в связи с созданием крупногабаритных космических конструкций серьезное внимание исследователей обращено на анализ спектральных задач для механических систем периодической структуры. Отметим в этой связи серию работ M.S. Anderson (1984 - 1991), в которых рассматривались задачи расчета свободных колебаний и устойчивости периодических решетчатых структур. В диссертации изложен общий способ расчета как континуальных, так и конечномерных периодических механических систем и с его использованием в замкнутой аналитической форме получены оригинальные решения ряда классических задач математической физики и механики конструкций.

Цель работы. Разработка общих методов анализа спектральных задач оптимального проектирования и с их использованием построение аналитических и численных решений классов задач проектирования упругих систем с экстремальным значениям фундаментальной частоты свободных колебаний или критической силы потери устойчивости.

Методы исследования. При анализе обсуждаемых в диссертации задач широко применяются методы вариационного исчисления и опти-

мального управления; математические методы теории симметрии; современные методы решения задач на собственные значения; конечноразност-ные и конечноэлементные дискретизации континуальных формулировок задач оптимизации; современные технологии организации вычислительных процессов.

Научная новизна.

1. Развит эффективный метод решения полной проблемы собственных значений для симметричных механических систем (метод декомпозиции). Установлены общие закономерности формирования спектра собственных значений периодических систем и с их использованием в замкнутой аналитической форме построены оригинальные решения ряда спектральных задач механики деформируемых систем.

2. Установлена связь симметрии механической системы и структуры оптимальных решений.

3. Получены формулы чувствительности кратных собственных значений в классе вариаций параметров проектирования, сохраняющих кратность.

4. Получены оригинальные аналитические решения одномерных спектральных задач оптимального проектирования, описывающих различные постановки задач оптимизации - задачи оптимизации устойчивости сжимаемых стержней (шарнирное закрепление, жесткое защемление концов стержня, стержни с упругой заделкой); задачи оптимизаци устойчивости стержней при тепловых нагрузках; задачи оптимизации устойчивости скручиваемых стержней; задачи оптимизации изгибной жесткости гибких стержней (случаи нелинейного изгиба и закритического деформирования); задачи оптимального проектирования балки с максимальной фундаментальной частотой изгибных колебаний.

5. Построено бимодальное решение в задаче оптимизации устойчивости сжимаемого жестко защемленного стержня для случая линейной зависимости изгибной жесткости от площади поперечного сечения стержня.

6. Исследован класс задач проектирования упругих анизотропных пластин с экстремальным значением фундаментальной частоты свободных колебаний за счет рационального выбора распределения угла анизотропии.

7. Исследован класс задач оптимизации устойчивости упругих анизотропных пластин за счет рационального выбора распределения угла анизотропии.

Теоретическая и практическая ценность. Развитые общие методы анализа спектральных задач оптимального проектирования могут

быть применены при решении задач расчета и оптимизации устойчивости и частот свободных колебаний упругих систем, а полученные решения конкретных задач дают количественные оценки эффективности оптимальных решений и могут быть непосредственно использованы при проектировании механических конструкций по динамическим характеристикам и устойчивости. В частности, изложенные в диссертации методы эффективно применялись при решении конкретных задач в рамках х/д НИР с ИПМ АН СССР и ЦАГИ им. Н.Е.Жуковского (1978 -1990гг.).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международных съездах по оптимальному проектированию (The World Congress of Structural and Multidistiplinary Opimization) (Goslar (Germany),1995; Zacopane (Poland),1997); Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Ташкент,1986; Москва,1991); Всесоюзных конференциях по оптимальному управлению в механических системах (Киев,1979; Москва,1981); Всесоюзных конференциях "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций" (Горький,1984,1989); Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Горький,1988); Международной конференции " Проблемы оптимизации в механике деформируемого твердого тела" (Нижний Новгород,1995).

Результаты диссертации излагались на научных семинарах Института проблем механики АН РФ (1982, 1997; н.р. - проф. Н.В.Баничук); Московского института электронного машиностроения (1985; н.р. - проф. А.С.Кравчук); Нижегородского госуниверситета им. Н.И.Лобачевского (1986,1997; н.р. - проф. В.П.Малков); Тульского госуниверситета (1997; н.р. - проф. Л.А. Толоконников); Инстиута математики АН РМ (1995, 1997; н.р. - проф. В.Г.Чебан); Технического госуниверситетаРеспублики Молдова (1997; н.р. - проф. В.Ю.Марина).

Представленные в диссертации результаты регулярно обсуждались на итоговых научных конференциях Молдавского госуниверситета, на научных семинарах Отдела математических методов оптимизации Вычислительного центра МолдГУ.

Публикации. Основные результаты дисертации опубликованы в работах [1 - 28].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений, списка литературы из 175 наименований, включает в себя 84 иллюстрации (в 74 из них в графической форме представленны результаты численных расчетов), 80 таблиц и занимает 360 страниц (в той числе иллюстрации и таблицы занимают 72 страницы,

библиография - 11 и приложения - 18), набранных в текстовом редакторе LaTexie (шрифт 12pt, style - disser(baselinestretch{1.0})).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во ВВЕДЕНИИ делается краткий обзор научных публикаций по проблемам оптимизации механических систем относительно их собственных значений и формулируются задачи исследования.

Первая вводная глава ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК УПРУГИХ ТЕЛ посвящена описанию в общей форме постановок обсуждаемых в диссертации задач, методов их решения а также вспомогательного материала, используемого в различных местах диссертации. Наряду с этим здесь излагаются и оригинальные результаты по анализу чувствительности кратных собственных значений (п.1.3), экстремальным свойствам собственных значений симметрпзованных задач (п.1.4) и характеру влияния симметрии системы на формирование оптимальных решений (п.1.5).

В 1.1.Вариационные формулировки задач статики, устойчивости и свободных колебаний с использованием соотношений нелинейной теории упругости и термодинамических условий равновесия приводятся вариационные формулировки условий равновесия, устойчивости и свободных колебаний упругих механических систем.

Математическая формулировка задач оптимизации и необходимых условий оптимальности для дифференцируемых функционалов обсуждается в 1.2. Математическая постановка задач оптимального проектирования.

В 1.3.Анализ чувствительности простых и кратных собственных значений приводится вывод формул чувствительности для собственных значений задачи оптимизации (1-2). Для кратных собственных значений формулы чувствительности получаются в классе вариаций параметров проектирования, сохраняющих кратность оптимизируемых собственных значений, и даются соотношениями

SX = [£]п = • • • = [D]rr; [D}{j= 0, 1ф] (г,¿ = 1,2,..., г) (3)

[D]ik = (Уь({уЫЛтУ}к)~^ь({уЫВ(ШуЬ),5Ь)

где Х(Ь) — г—кратное собственное значение, {г/}ь- ■ ->{2/}г - отвечающая ему ортонормированная система функций. Здесь же анализируется чувствительность группы близких собственных значений к вариациям пара-

метров проектирования 5Ь и устанавливаются условия, при которых эта группа значений становится г-кратным собственным значением.

Параграф 1.4.Экстремальные свойства спектральных характеристик симметричных систем посвящен исследованию зависимости спектра собственных значений инвариантной относительно заданной совокупности конфигурационных преобразований симметрии б механической системы от характера распределения параметров проектирования. С этой целью наряду с (2) вводится симметризованная проблема собственных значений

(4)

с матрицами

{Л(Ь)\ = Р(9)[А(Ъ)}Р-1{д), [В(Ъ)} = 1 £ Р(д)[В$)]Р-1(ц) (5)

пдео с

где Р(д) - матрицы перестановок, отвечающие элементам симметрии преобразований д € п - порядок (количество элементов) группы преобразований С.

Спектральная задача (4) по построению инвариантна относительно всех преобразований симметрии д Е С. Взаимосвязь решений задач (1), (4) устанавливается путем введения однопараметрического семейства задач __

[А + ц(А-А)]{х} = \(11)(В+ц(В-В)]{х}, [0,1] (6)

(при ¡1 = 0 проблема собственных значений (6) совпадает с задачей на собственные значения (4), а при ц — 1 - с исходной спектральной задачей (1)). Показывается, что зависимость Л(/г), как для некратных, так и кратных собственных значений при ц = 0 достигает экстремальных значений. В частности, для некратных собственных значений выполняется условие Лх(^) < АДО). В этом же параграфе приводятся конкретные построения инвариантных задач и исследование общих свойств спектра для канонических областей П - интервала, прямоугольника, квадрата, тетраэдра и правильного п-угольника.

В 1.5.Инвариантные спектральные задачи и оптимизация спектральных характеристик симметричных систем исследуется влияние симметрии механической системы на формирование оптимальных решений в задачах оптимального проектирования механических систем по критерию экстремальности их собственных значений. С этой целью вводится однопараметрическое распределение параметров проек-

тирования вида

Ь{ц)=ЬЕ + ц{Ь-ЬЕ), 0 < /I < 1 (7)

(при [1 = 0 6(0) = ЬЕ представляет собой полносимметричное (инвариантное относительно преобразований симметрии распределение, а при ц = 1 - заданное допустимое распределение параметров.проектирования) и однопараметрическое семейство спектральных задач

[А(Ье + Ц{Ъ- ЬЕ))){Х} = Х(/л)[В(ЬЕ + ц(Ь- ЬЕ))]{х}, д € [о, 1] (8)

при этом значению ц = 0 отвечает инвариантная проблема собственных значений. Показывается, что для некратных собственных значений йХ/йц = 0 при // = 0, а чувствительность как кратного, так и некратного собственного значения представляется в форме

6\ = {К{Ъ),5ЪЕ). (9)

Во второй главе МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И МЕХАНИКИ КОНСТРУКЦИЙ излагается общий метод анализа инвариантных задач на собственные значения и построение на его основе эффективных процедур вычисления собственных значений и собственных векторов. Суть предлагаемого подхода состоит в выделении "элементарной ячейки" Г2о симметричной системы и формулировке спектральной задачи в этой области (декомпозиция спектральной задачи). При выделении элементарной ячейки появляются новые участки границы Г°. С использованием математической теории симметрии на Г° формулируются граннчные условия, генериремые только трансформационными свойствами собственных функций, и не зависящие от конкретного вида операторов А и В в (2).

Наряду с этим отдельно, без использования теории симметрии, расма-триваются спектральные задачи, инвариантные относительно конечных сдвигов по одной из независимых переменных.

Приводятся полученные с применением развитого подхода результаты многочисленных расчетов задач на собственные значения для симметричных систем.

Приведем краткое изложение содержания главы по параграфам.

В пп. 2.1.Преобразования симметрии механической системы (конструкции) и ее элементарная ячейка.Основные определения н результаты конечных групп, 2.2.Группы симметрии канонических областей Г2 (интервала, прямоугольника, квадрата,

правильного n-угольника) .Циклическая симметрия, 2.3.Основные определения и результаты теории представлений конечных групп, 2.4.Неприводимые представления групп преобразований симметрии канонических областей и построение преобразующихся по этим представлениям базисных функций излагаются основные положения и факты математической теории симметрии, используемые при построении соотношений метода декомпозиции.

Изложение метода декомпозиции приводится в 2.5.Инвариантные задачи на собственные значения. Формулировка общих соотношений метода декомпозиции. Пусть в симметричной области Q определена краевая задача на собственные значения

Aw(r) = XBw(r), fefi, (10)

где А, В - заданные линейные операторы, действующие в пространстве Wm вектор-функций w{r) = {w\{r),... ,wm(r)). Преобразованию симметрии д £ G области fi ставится в соответствие преобразование Т(д) пространства Wm, определяемое правилами

T(g)w(f) == w{g~lr), T(g)w(r) = l(g)w{g-lr) (11)

для скалярных w(r) и векторных функций w{r) состояния соответственно.

Проблема собственных значений (10) инвариантна относительно преобразований симметрии, если для каждого д £ G выполняются условия

Т{д)АТ-\д) = А, Т (д) ВТ'1 (д) = В. (12)

Показывается, что для инвариантной симметричной проблемы собственных значений (10) ее вариационная формулировка

a=minmg449k (13)

» (w{r},Bw(r))a v '

заменяется серией из q спектральных задач (q - число неприводимых представлений группы преобразований симметрии G), имеющих вариационное представление

А _ Aw(r))g0

А - (w(r),Bw(r))no> 11 W

('Wh - подпространство функций, преобразующихся по h-му неприводимому представлению). Уравнением Эйлера для каждого из значений h

служит определенная в области По краевая задача (10), а краевые условия на новых границах Г° области Г?о определяются трансформационными свойствами функций из подпространства \УН. Описанный процесс декомпозиции спектральной задачи приводит к существенному уменьшению размерности задачи и, что особенно важно, дает возможность ввести классификацию собственных значений и указать трансформационные свойства собственных функций даже без решения задачи.

Процедуры построения краевых условий на границе Г° описываются в 2.6.Формирование краевых условий на границе элементарной ячейки Г2о Для скалярных собственных функций инвариантных спектральных задач, 2.7.Краевые условия на границе элементарной ячейки По Для векторных собственных функций инвариантных спектральных задач и 2.8.Формулировка краевых условий на границе элементарной ячейки Г2о Для собственных форм конечномерных инвариантных спектральных задач, а результаты анализа представлены в форме таблиц.

В 2.9.Численное решение задач определения спектра частот свободных колебаний упругих симметричных систем приводятся полученные с использованием метода декомпозиции и конечноэлемент-ной дискретизацшш результаты многочисленных расчетов задач определения собственных частот и отвечающих им собственных форм свободных колебаний симметричных упругих систем в форме правильного п-угольника - мембран (п = 3,4,6); пластин (изгибные колебания и колебания в своей плоскости; п — 3,4,6); незакрепленных ферменных конструкций (п = 3,4,48).

Среди многообразия механических систем удобно выделить класс периодических систем, инвариантных относительно конечных сдвигов по одной их независимых переменных. Преобразование сдвига является одним из простейших (и общих) преобразований симметрии и в связи с этим изучение свойств периодических систем может быть осуществлено с использованием аппарата теории симметрии. Однако исчерпывающее исследование этого класса систем возможно и без обращения к методам теории конечных групп преобразований. Изложению такого общего подхода посвящен заключительный параграф 2.10.Струкура решений спектральных задач для упругих периодических механических систем. Рассматриваются два класса периодических систем - циклические и трансляционпо-инвариаптпые. Циклические механические системы по определению совмещаются сами с собой при поворотах вокруг фиксированной оси симметрии на углы кратные углу дп — 2-к/п (га-целое), а

трансляционно-инвариантные - при параллельных переносах на расстояния кратные периоду а.

Спектральная краевая задача для циклических систем (в цилиндрической системе координат)

Аи>{я;<р) = О < (р < 2тг (15)

характеризуется тем, что операторы А и В не изменяют своего вида при замене независимой угловой переменной <р —)• <р+квп (посредством д в (15) отмечен набор независимых переменных, отличных от угловой). Показывается, что собственные функции краевой задачи (15) безотносительно к кратности собственного значения обладают общим свойством

2п

+ = ак =-{к-1), к=1,2,...,п. (16)

Для самосопряженной циклической краевой задачи (15) собственные значения и собственные функции удовлетворяют общим условиям

\(ак) = А(2тг - ак), <р) = V), ¿ = 1,2,...,п (17)

и, следовательно, для ак ф 0,7г - собственные значения в (15) - двукратны.

Общее свойство (16) собственных форм позволяет произвести декомпозицию определенной в симметричной области П (0 < у < 2тт) спектральной задачи (15) на решение ш задач, определенных в области По (0 < V3 < ®п) и с граничными условиями вида

= Ь = 1,2,...,т, в = 0,1.... ,вт„ (18)

«тах - согласованный с операторами А и В максимальный порядок производной по переменной <р] п = 2т для четных значений п и п = 2т + 1 -для нечетных.

Показывается, что при наличии у циклических систем дополнительного свойства инвариантности относительно операции отражения в плоскостях, проходящих через середины элементарных ячеек, собственные формы (скалярные собственные функции) и так {д; = {'шак;р{ц) <р),

гпак;в(Я) 1р))Т (векторные собственные функции) для вещественных операторов А и В обладают свойствами

* «-¥>)/ \ <р) )

(19)

(5 - произвольное вещественное число).

Совместное рассмотрение свойств решений (16-19) приводит к возможности сведения решения краевой задачи в области 0 < <р < вп/2 и формулировке краевых условий на границах <р = 0 и <р = вп/2. В диссертации приводится конкретный вид этих условий для скалярных и векторных собственных функций как для континуальных, так и конечномерных формулировок спектральных задач.

Спектральная задача для трансляционно-инвариантных механических систем (в декартовой системе координат)

-Агу(д;ж) — ХВт(д; х), —ос<х<оо (20)

характеризуется тем, что операторы А ж В инвариантны относительно замены переменной х —» х + ка (а - период). Показывается, что ограниченные во всем интервале собственные функции краевой задачи (20) обладают общим свойством

гиоа{я;х + а) = еюаи>аа(д;х), 0 < аа < 2п (21)

и соответственно этому собственные значения представляют собой непрерывные периодические функции параметра аа А(аа) = А (аа + 2тгк) при этом для самосопряженной краевой задачи (20) выполняются общие свойства

= ш*а(?;з:), \{аа) - - аа) (22)

и таким образом, для значений аа ф 0, тг - собственные значения двукратны. С учетом общих свойств (22) достаточно определить решение задачи в области 0 < аа < тт.

Общие свойства решений (21), справедливые как для скалярных, так и векторных собственных функций, позволяют свести решение определенной на всем бесконечном интервале задачи (20) к ее решению в элементарной ячейке По (^о : 0 < х < о). Отметим особо, что свойство трансляционной инвариантности спектральной краевой задачи и условие ограниченности собственных функций приводит к существованию сплошных участков в спектре собственных значений - общему свойству всех трансляционно-инвариантных систем.

Для трансляционно-инвариантных систем, обладающих дополнительным элементом симметрии - инвариантностью относительно плоскостей, проходящих через середины элементарных ячеек - возможна дальнейшая конкретизация общих свойств решений задачи (в этом случае А II В инвариантны также относительно замены х —> а — х). Устанавливается, что скалярные собственные функции и)аа(д;х) и векторные

Маа{Я', Я) = (u>aa;q(Q', х), U>aa;i(Т> Х))Т Для ЭТОГО Класса СИСТвМ уДОВЛвТВОрЯТ тождествам

_ eiS ( waa-q{q-,x) \ \waa.x(q;x) J (23)

(J - произвольное вещественное число).

С использованием изложенного подхода в замкнутой аналитической форме приводятся оригинальные решения ряда классических спектральных задач математической физики, терии упругости и механики конструкций - задачи о свободных колебаниях неограниченной струны с периодическими упругими закреплениями, задачи о свободных колебаниях и устойчивости неразрезной балки с равными пролетами; задачи о свободных колебаниях и устойчивости шарнирно закрепленной по кромкам полосы, опертой на периодическую систему ребер жесткости, а также численное решение задачи о свободных колебаниях ферменной конструкции в форме правильного 48-угольника.

Ниже в безразмерных переменных приведем математическую запись перечисленных задач, их эквивалентные формулировки с использованием метода декомпозиции, а также конкретный вид зависимостей для определения собственных чисел.

Свободные колебания неограниченной струны с периодическими упругими закреплениями описываются краевой задачей вида

wXI(x) + cj2w(x) = 0, — оо < х < оо; (24)

юх(хп) ~ wx(xn) ~ 7wixn) = 0) хп = 0, ±1, ±2 ...

где w(x) - поперечный прогиб, у - жесткость упругих закреплений, а w+(x„), w~(xn) - правосторонняя и левосторонняя производные от функции прогибов в точках закрепления струны. С использованием методоа декомпозиции спектральная краевая задача (24) формулируется на отрезке (0,1)

wxx(x) + ш2ш(х) — 0, 0 < х < 1; (25)

w( 1) = eiaw(0), wx (0) - e~iaw~(l) - 7w(0) =0, 0 < a < 2тг. Стандартные вычисления приводят к уравнению для определения частот

cos си = cos oj + —— sin и), 0 < а < 2п. (26)

¿со

Анализ уравнения (26) приводит к заключению, что свободные колебания струны могут происходить с частотами, заполняющими непрерывные интервалы, при этом нижние границы этих интервалов находятся из

2(q;a- х) = e'swaa(q;x),

<a-,q(v а-х)

-<а:ЛУ>а~Х)

условий sin 1=0, cos I = 0 и соответствуют решению задачи о свободных колебаниях незакрепленной струны единичной длины (ш ф 0), а верхние

- из условий tan | = 7^, cot у = —и соответствуют решению задачи о свободных колебаниях струны единичной длины с упруго закрепленными концами с коэффициентом жесткости 7/2.

Свободные колебания неограниченной неразрезной балки с равными пролетами и постоянными вдоль длины геометрическими и механическими характеристиками) описываются краевой задачей

и>хххх — — 0, — ОС < X < оо,

w(nl) = 0 п = 0,±1,±2... (27)

В соответствии с методом декомпозиции эквивалентная (27) формулировка спектральной задачи имет вид

Wxxxx - 0J2W = 0, Оса: < 1; w(0) = 0, и>(1) = 0, (28)

tüx(l) = eiawx(0), ш„(1) = eiawxx(0), 0 < а < 2тг.

а уравнение для определения частот свободных колебаний неразрезной балки записывается в форме

sinh \ÁJ cos ~yüj — cosh у/йsin-Ju „ „

cosa =--—. , _-:—7=-—, 0 < a < 27Г. (29)

sinh у/ы — sin y/w

Из (29) следует, что частоты свободных колебаний неразрезной балки заполняют непрерывные полосы, при этом нижние границы этих полос находятся из уравнешгай sin Щ- = 0, cos Щ- — 0 и отвечают значениям частот свободных колебаний шарнирно закрепленного стержня, а верхние

- из уравнений tan — ± tanh ^ и соответствуют значениям частот свободных колебаний жестко защемленного стержня.

Отметим, что в приводимых решениях этой задачи даже у известных авторов (см. В.Новацкий. Динамика сооружений.- М.:Стройиздат.1963) участки со сплошным спектром пропущены.

Устойчивость неограниченной неразрезной балки с равными пролетами и постоянными вдоль длины геометрическими и механическими характеристиками описывается краевой задачей вида

wxxxx + Xwzx — 0, —оо < х < оо, w(n) = 0, п = 0,±1,±2... (30)

а использующая метод декомпозиции ее эквивалентная формулировка

u>xxxx + >лихх - 0, 0 < х < 1; ш(0) — 0, ш(1) = 0, «/,(1) = eiawx{0), wxx{l) = eiawxz(0), 0 < а < 2тг. (31)

Стандартные вычисления приводят к уравнению для определения критических сил потери устойчивости

л/Xcos^/X — sin\/A ,

cos а =-т=-т=—, 0 < а < 2ж. (32)

V Л — sm vA

В соответствии с уравнением (32) спектр критических сил потери устойчивости состоит из непрерывных полос, нижние границы которых определяются условием cos ^ = О и отвечают критическим силам потери устойчивости шарнирно закрепленным стержнем по симметричным формам, а верхние находятся из уравнения tan ^ = ^ и соответствуют критическим силам потери устойчивости жестко защемленным стержнем по антисимметричным формам.

Свободные поперечные колебания упругой полосы, лежащей на периодически расположенных жестких опорах описываются краевой задачей

^ (d4w „ d4w d4ui\ , о „ „ ^ ,

iü(r,0) = w(x,b) = 0, i%,(z,0) = wyy(x,b) = 0,

w(na,y) = 0, n = 0, ±1, ±2,... (33)

где b - ширина полосы; D - изгибная жесткость пластинки; р - плотность; а - расстояние между опорами (длина пролета); плоскость ху декартовой системы координат xyw совмещена со срединной поверхностью недефор-мированной пластинки, а ось х направлена вдоль одной из кромок полосы; w(x,y) - поперечное смещение точек срединной поверхности полосы, а с использованием метода декомпозиции спектральной задачей, определенной в элементарной ячейке По (По 0 < х < а, 0 < у <Ь)

(d4w d4w d4w\ / ч

{х'у)еП°> (34)

w(z,0) = ъи(х,Ь) = 0, wyy(x,0) = wyy(x, Ъ) — 0, w(0,y) = w(a,y) — 0, vjx(a,y) - e'aawx(0,y), wxx(a,y) = e'aawIX{0,y), 0<aa<2ir.

Стандартные вычисления приводят к уравнению для определения частот свободных колебаний полосы

К2 sinhKia cosK2° — «i cosh «ia sin «2a r, n

cosaa =-—-;-, U < aa < ¿ir, (o5j

K2 sinh Kia — sin K20

где w2 = £u>2, Kl = к2 = pn = ftm = 1,2,3... Для

каждого из значений т решение уравнения (35) приводит к частотам

свободных колебаний, заполняющим непрерывные интервалы. Нижние границы интервалов определяются из уравнения sin къа = 0, а верхние -из уравнений tan^ = ^tanh^, tan^ = -J^tanh^. Полный спектр свободных колебаний представляет собой объединение описанных спектров для т— 1,2,3____

Устойчивость сжимаемой изотропной полосы, опертой на периодически расположенные жесткие ребра в введенных выше обозначениях описывается краевой задачей вида

_ / d4w „ д4ьи <94иЛ Р д2и> ,

-^<x<oo,0<y<b,

w(x,0) = w(x,b) = 0, wyy{x, 0) = Wyy(x, b) = 0, (36)

w(na,y) — 0, n = 0, ±1, ±2,...

где P - сжимающая сила, а с применением метода декомпозиции формулируется в области По (í^o : 0 < х < а, 0 < у < Ь)

+ дЩ/>+ 'dt) = aí5"' (37)

w(x,0) = w(x,b) - 0, wm(x,Q)-wyy(x,b)-0, w(0, у) = w(a, у) = 0, wx{a,y) = etaawx(Q,y), wrx(a, y) = e'aawIX(Q,y), Q<aa<2n,

где A = P/bh. Стандартные вычисления приводят-к уравнению для определения критических сил Эйлера

/«i sin/í2a cos/i2a — /C2sin«iacosACia . .

cos аа =-;-:-, 0 < аа < 2п, (38)

К\ sin К2й cos к^д — /¿2 sin к\аcos к%а

где Ki = к2 = s]td - Рт-

Из (38) вытекает, что значения критических нагрузок заполняют непрерывные интервалы. Границы этих интервалов находятся из уравнений к i (cos к%а — eos «ia)sin«2a = «^(cosKia — cos K2a)sinKia и Ki(costi2a -f cos Kja) sin K¡¿a = ^(cosKia 4 cos^a) sinKia, решения которых отвечают критическим силам потери устойчивости шарнирно закрепленной и жестко защемленной на линиях i = 0 и х = а пластинок.

Полученные в результате численных расчетов частоты свободных колебаний плоской ферменной конструкции с указанной на фиг.2 элементарной ячейкой Оо представлены на фиг.1. (в расчетах принималось OA = OB = 1, А!А = В'В = 1/20, Е = 1, F = 1, р = 1 при этом собственные частоты представлены в функции параметра еъ — с^ — тг).

А

У

15

3

•" 2

х

10-

~Т-1-1-1.....Г"^—I-'-Г* е1

-ж -л/2 0 к/2 я

5

В 1

3 А

Фиг. 1.

Фиг. 2.

\JVMfcTUM, Ч1'0 СйЬКТр час Гиг сЛоООДШДЛ. шсиши ферл;ьпНОхи ьильци. имеет ярко выраженную структуру, характерную для частот свободных колебаний периодических атомных решеток.

Третья глава АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ содержит исчерпывающий анализ и решение как ряда оригинальных задач с целью выяснения влияния различных факто-, ров на формирование оптимальных решений (оптимизация устойчивости нагретых стержней; оптимизация устойчивости скручиваемых стержней; оптимизация устойчивости стержней при совместном сжатии и кручении; оптимизация изгибной жесткости стержней при нелинейном изгибе и в области закритических деформаций), так и решения уже обсуждавшихся

ные методы, в результате чего удалось получить решения этих задач в аналитической форме (оптимизация стержней в условиях свободных колебаний; оптимизация устойчивости стержней с упругой заделкой) и выявить дополнительные особенности формирования оптимальных решений (оптимизация устойчивости стержней в условиях кратности критических сил).

С целью сокращения последующего изложения укажем, что для всех обсуждаемых в этой главе задач рассматриваются стержни с переменной изгибной жесткостью вида Е3(х) = Ла5°(ж) (5(г) - площадь поперечного сечения; а = 1,2,3; Аа - заданные константы).

В 3.1.Оптимальное проектирование балки при свободных поперечных колебаниях обсуждается задача проектирования шарнирно закрепленной балки с максимальной фундаментальной частотой свобод-

другими авторами задач, к исследованию которых применены оригиналь-

ных колебаний за счет рационального выбора поперечного сечения. Эту задачу впервые рассматривал ЖогсЬоп Р. (1965), получивший ее численное решение. В диссертации с использованием метода итерации в аналитической форме строятся квазиоптимальные распределения толщин

при этом = 2, Сз = 1, а множители -¡а находятся из условия V = 1. Поперечным сечениям (39) в безразмерных переменных отвечают значения квадратов фундаментальной частоты ^ = 110.5 (а = 2) и и>1 = 122.2 (а = 3) в то время, как полученные численные значения квадрата фундаментальной частоты для оптимального распределения толщин соответственно равны = 110.6 и и)2 = 122.3 (отмстим, что для стержня постоянного сечения = 7г4).

В 3.2.Оптимизация устойчивости прямолинейных сжимаемых упругих стержней. Некратные критические усилия в замкнутой аналитической форме представлены решения задач оптимального проектирования сжимаемых шарнирно опертых и жестко защемленных стержней с учетом ограничения 5(а;) > 5т;п и в предположении некратности критических сил Эйлера.

Фиг. 3. Фиг. 4.

Полученные табулированием аналитических выражений оптимальные

распределения площадей поперечных сечений и зависимости критических сил Эйлера от 5т;п для шарнирно закрепленных оптимальных стержней представлены на фигурах 3 (5(г)) и 4 (Р(5тщ); сплошные линии). Кривые 1,2,3 на фиг.З отвечают значениям ¿"щщ = 0; 0.5; 0.8, а на фиг.4 -значениям а = 1,2,3. Все распределения показаны при 0.5 < х < 1.

Показывается, что для жестко защемленных стержней в условиях некратности критических сил оптимальные решения и его числовые характеристики получаются простым пересчетом из решений для шарнирно закрепленных стержней.

В этом же параграфе приводится аналитическое решение задачи оптимизации устойчивости сжимаемого консольного стержня с упругой заделкой (фиг.6), численное решение которой (для а = 2) было получено

Н ^. ' '"'1.Ч (107^ Мг >тг :>ло т Т7т"р тт -V.г ... гт.—тт. " ит.-;-, г-УТ<'Г' 71Я '^Г'Т О'ТТТТ-

мизацли (в безразмерных переменных) яредегавляеас^ в форме

1

Л -> шах, / в(х:)(1х = 1, (40)

5 о

За(х)югх + Хю =0, ги(0) = 0, шх{1) - 7Ц1) = 0, (а =1,2,3) (7 - жесткость заделки) а ее решение - в квадратурах

\ 2 а

а = 11(а, 6;1)//2(М), Л0 = (а + 1)Л2(а, Ь; 1)/4, Ь2 = 1 +

си -+• 1

/1(0,6; «) = Ь;1)х, Б(х) =а$(х), Л = Л0а", (41)

где ¡1 (а, Ь; в) = / Ыа,Ь) = / ■ Для конкретных зна-

о у/Ь2 - г о уо2 - г

чений а = 1,2,3 /1 и ¡2 вычисляются в элементарных функциях. Результаты зависимостей Л (7) для оптимальных стержней, полученные табулированием выражений (41) представлены на фиг.5. При этом цифрой 4 отмечен график этой зависимости для стержней постоянного сечения. Цифры 1,2,3 соответствуют значениям а = 1,2,3, а пунктирной линией представлена зависимость для абсолютно жесткого стержня.

Построение оптимальных по устойчивости жестко защемленных стержней с учетом кратности критических сил приводится в 3.3.Построение бимодальных решений в задаче проектирования жестко защемленных стержней по критерию устойчивости. Численное решение этой задачи получили ОШоЦ И., Каьтизаеп 5. (1977) (для а = 2), аналитическое решение в форме квадратур - А.П.Сейранвн (1984), а теоретическое обоснование - этих решений обсуждалось А. С. Брату сем (1996). В

4.0 < '

Р

- о

з.о -Я

X

2.0 -

1.0 --

0.0

у

--1—I—I—I—I—I—I—к>

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

>777777777777777777777

Фттг. К

результате этих исследований были построены бимодальные решения для а = 2,3, при этом утверждалось, что для значения а = 1 бимодальное решение отсутствует. Численное решение этой же задачи с применением метода декомпозиции обсуждалось в работе Н.В.Баничук, А.А.Барсук (1983), где было построено бимодальное решение и для а — 1. Приведем характеристики этого решения

5» = 0.0294975, 5* = 1.5000035, = 1.5000000, Л = 47.993050

(5» и 5* - наменьшее и наибольшее значение оптимального распределения толщин, 5+ - площади концевых поперечных сечений, Л - критическое (двукратное) значение нагрузки для оптимального распределения

В 3.4.Оптимизация устойчивости упругих стержней при тепловых нагрузках обсуждается постановка и метод решения задачи оптимального проектирования прямолинейных равномерно нагретых стержней с максимальным значением критической температуры ДТ за счет рационального выбора распределения толщин стержня. Рассматриваются случаи шарнирного опирания и жесткого защемления концов стержня. Для некратных критических температур решения задач оптимизации приводятся в замкнутой аналитической форме, а для для кратных - в форме квадратур. Качественное поведение оптимальных распределений толщин стержней в этой задаче остается таким нее, как и в задачах оптимизации устойчивости сжимаемых стержней для соответствующих условий закрепления концов стержня.

Анализу устойчивости скручиваемых прямолинейных стержней пе-

толщин).

ременного сечения, а также построению оптимальных по устойчивости стержней за счет рационального выбора переменного сечения посвящен 3.5.Устойчивость и оптимальное проектирование скручиваемых стержней. Рассмотрены случаи шарнирного закрепления концов стержня (неконсерватшшое нагружение) и жесткого защемления (консервативное нагружение). Для обоих типов граничных условий уравнения равновесия для произвольных поперечных сечений (рассматриваются стержни с подобными сечениями (а = 2)) проинтегрированы и в результате исключены из рассмотрения дифференциальные связи, а задача оптимизация сформулирована только относительно распределения толщин 3(х). Получены и представлены результаты численного решения этих задач.

Для задачи оптимизации устойчивости скручиваемых жестко защемленных стержней с подобными сечениями наряду с численным решением задачи в аналитической форме построено также квазиоптимальное распределение площадей поперечных сечений вида

^(г) = 7(1 - с сое Моя)1/3, -0.5 < х < 0.5;

4

, • 2 Л/о

БШ —

М0 8Ш

Мо

(42)

где Мо = 8.987 - наименьший ненулевой корень уравнения ЬапМ/2 = М/2, а значение 7 находится из условия }Зя°р1(х) = 1. Переменным сечениям (42) отвечают значения критического крутящего момента М(59°г>1) = 9.275 в то время, как для оптимального распределения толщин М(50р') = 9.279.

1.2

0.25

Фиг. 7.

М111)

0.5 О

Фиг. 8.

Наряду с этим здесь рассматривается и задача оптимизации устойчивости упругих стержней при совместном сжатии и кручении. Получен-

ные в результате расчетов (в безразмерных переменных) распределения площадей S(x) представлены на фиг.7. Ввиду имеющейся симметрии относительно середины стержня х = 0.5 все распределения' показаны при 0 < х < 0.5. На графиках кривые 1,2,3 соответствуют значениям сжимающих усилий Р = 0; 15.8; 31.6. Зависимость критического момента M от значений параметра Р для оптимальных стержней оказывается практически линейной до окрестности критической силы Эйлера Р потери устойчивости при сжатии (М = 0). График этой зависимости M = М(Р) приведен на фиг.8 (кривая 2). Здесь же, на кривой 1 показана зависимость M = М(Р) для стержней постоянного сечения, получаемая из уравнения

м2 / м м2 _л _ .

— + P|cosy-cos^— + Pj Р sin ^

M2

Ц- + р = о. (43)

Анализу формирования оптимальных решений в нелинейной области деформирования (нелинейный изгиб балок и закритическое деформирование гибких стержней) посвящен заключительный параграф 3.б.Нелинейный изгиб и оптимальное проектирование гибких стержней. Здесь рассматриваются задачи минимизации вертикального перемещения свободного конца консольной балкп переменного сечения, нагруженной на свободном конце вертикальной силой произвольной величины, и вертикального консольного стержня, сжимаемого вертикальной силой произвольной величины после потери им устойчивости за счет рационального выбора распределения площадей поперечных сечений S(s),

Математические соотношения задачи оптимизации изгибной жесткости гибкой балки в безразмерной форме записываются в виде

2/1 = 2,(1; А)-> mm, £s(a)ds = l, S(s) > Smin > 0, (44)

(Sa(s)e's(s))'s= -AcosÖ(s), 0 < s < 1; 9(0) =0, Sa(l)^(l) = 0.

Для произвольных переменных сечений S(s) и нагрузок А решение задачи о нелинейном изгибе балки представляется в квадратурах sin в(х) =

х

А/(я1 — r)/5a(r))(ÍT (a:i = г(1) - абсцисса свободного конца консоли), благодаря чему в (44) исключаются дифференциальные связи, а сама задача оптимизации приводится к классической задаче вариационного исчисления

yi=/tan 6(x)dx-> min , Ä = = i. (45)

l 5(s)>Smin>0 { COS0(x) J COS в(х) V '

Численное решение задачи оптимизации (45) для а = 3 представлено на фиг.9 (оптимальные распределения толщин £(з)) и фиг.10 (отвечающие им прогибы оптимальных балок). На обоих фигурах буквами а и Ь отмечены характеристики оптимальных решений, отвечающие значениям ограничений 5тт = 0.1 и £т;„ = 0.5 соответственно, а цифрами 1,2,3 отмечены кривые для значений А = 1, 5 и 10. Качественное поведение решений для а = 2 и 3 остается таким же.

0.5 1

Фиг. 9.

Фиг. 10.

Результаты численного решения задачи указывают на две отчетливо выраженные особенности формирования оптимальных решений в области нелинейного деформирования, отсутствующие в известных решениях обсуждаемой задачи при малых нагружениях - увеличении области 5(в) = 5т;п с увеличением значения Л и образовании сингулярных реше-

ний при 5т;п 0, получаемых асимптотическим переходом 5„

0 из

регулярных решений Б (в) > 5т;п(0 < з < «»), 5 (в) = 5тт(«* < « < 1) (•5тт 1). Сингулярное оптимальное решение находится из решения задачи оптимизации

У1

= Аапв(т)<1т+{1 — з,) юш , = 1, 7-^Т = (46)

9(х)

соэ 9(х)

Введем обозначение Л» для значения нагрузки, при которой начинается образование сингулярных решений (в, = 1) и х{, у\ и 5*(в) для отвечающих этому значению нагрузки параметров оптимального решения. Тогда

для Л > Л, характеристики сингулярных решений связаны с их значениями для Л = Л* условиями подобия

/ \ \ 1/(2+«) 1 / \ = (у) ' = yiM = 1-(1-VÎK S(s) = (-) . (47)

Стандартные вычисления приводят к представлению необходимого условия оптимальности в задаче оптимизации (44) в форме S(x) = B(S(x)) (В - нелинейный интегральный оператор), удобной для построения итерационных процедур Sk+i(x) = B(Sk(x)) численного и качественного анализа оптимальных решений. В частности, с использованием этого представления устанавливается асимптотическое поведение оптимальных распределений толщин S(x) ~ (1 — x/xi)2^a+1' при zi — х 1. Выбирая в качестве начального приближения распределение толщин Sq{x) = а(1 — хIxif1!("квазиоптимальные решения", а — 5о(0)), приходим к представлению отвечающих ему характеристик в аналитической форме

2 J3(g,7) ^ /i(e,7;0)

^ (а + 1)7, (а, 7; 0)' Ш /i(c,7;07' Û I2(a,у) ' /i(o,7;eo) = /i(a,7;0)a, • (48)

l-»o 1

где /i(a,7;so) = S <p(r)dr, I3(a,y) = ¡(1 - т)<р(т)ёт, h{a,7) =

lMr)dr, S(s) = as0(s) (eo(0) = 1), <р(т) = (1 - D/2/^/i _

7 = (a + \)\x\l(2aa). При A < 1 выражения (48) описыают характеристики известных оптимальных решений. Для значений а = 1,2,3 интегралы h(a,7;so), h(a,l), h{ail) вычисляются в элементарных функциях. В частности, для а = 3 квазиоптпмальное распределение толщин описывается зависимостью

arcsin(7(l - в0))/7 - (1 - VI - 72(1 - *о)2)/72 = '№1 S9°Pt(s) = Ы«)•

Приведем значения нагрузок А,(а) (а = 1,2,3), отвечающих им функционалов j/i(Sopi), yi(Sqopt), ?/i(5°(.s) s 1) и отметим, что с уменьшением нагрузок А значения функционалов yi(Sopt), yi(Sqopt) сближаются.

В полной аналогии с изложенным анализируется также задача оптимизации изгибной жесткости сжимаемого гибкого консольного стержня в области закритическнх нагрузок. В указанной на фиг.12 системе координат соотношения задачи оптимизации записываются в виде

У! = 1/(1; А) шах, S{s)ds = 1, S (s) > 5m;n > 0, (49)

а А* y\{Sopt) Vi[Sqopi)

1 1.3776 0.3015 0.3033 0.3869

2 1.1701 0.2307 0.2310 0.3406

3 1.0104 0.1866 0.1868 0.3043

(5а(5)^(5))'8 = -А8т0(5), 0 < в < 1; 0(0) = 0, 5а(1)^(1)=0. (50) Для произвольных переменных сечений 5(в) и нагрузок А решение кра-

X

евой задачи (50) представляется в квадратурах соб в{х) = 1 — А /(а-] — т)/За(т))с1г (XI = ж(1) и задача оптимизации (49) формулируется в виде

Vl(S)= [cote(x)dx-> max , f Щ^г = 1, /-г-^г = 1. (51) w J J s(5)>smin>0' J sm9(x) I sin0(z) v y

Результаты численного решения задачи оптимизации (51) для подобных поперечных сечений (or = 2) представлены на фиг.11 (оптимальные распределения толщин) и фиг.12 (формы осевых линий деформированных стержней). На обоих фигурах цифрами 1, 2, 3 отмечены кривые, отвечающие нагрузкам А = 3.5; 10 и 20 соответственно, а буквами а и Ъ отмечены графики, отвечающие значениям ограничений 5"min = 0.05 и 5m;n = 0.5.

dx

0. 0.5 1

0. 0.5 1.0

Фиг. 11.

Фиг. 12.

Так же, как и в случае гибких балок, выделяются две особенности

формирования оптимальных решений - увеличение области S(s) = Sm-m с ростом нагрузки и образование сингулярных решений при 5m;n —> 0. При этом, как показали детальные численные расчеты, в обсуждаемой задаче для всех типов сечений (а = 1,2,3) образование сингулярных решений наступает сразу же после потери стержнем устойчивости. Условия подобия сингулярных оптимальных решений в обсуждаемой задаче записываются в форме

*.(<*)= pMJ1/(2+a>, t/i = 2s, — 1, S (s) = ¿-S* . (52)

(Аор'(а) (Aopi(a) - критические силы Эйлера оптимальных по устойчивости стержней).

В области нагружений, незначительно отклоняющихся от критических эйлеровских сил оптимальных стержней, характеристики оптимальных решений приближенно представляются выражениями, способ получения которых аналогичен определению квазиоптимальных решений для гибкой балки.

2^/7 h{а, 7) = h(<*,T, 0)

* (а +- 1)7i(Q;,7; 0) ' 2/1 h{a,r^Y ° h{<*,l) '

- , , 1Ч/Г+2(^л;0) (a+l)xlT( A^(a + 1) 7)

S(Î) = as0(«), îo(0) - 1. (53)

где использованы обозначения

(1 _ r2)(a-l)/2 1 И _ r2)(a+l)/2

/i(a,7;.o)= / r-dr, =

h(ail) = f-^^-dr, 7 = (54)

Асимптотический переход в выражениях (53) 7 —> 0 приводит к решению задачи оптимизации устойчивости сжимаемого стержня.

Для конкретных значений параметра а = 1,2,3 интегралы в (54) вычисляются в элементарных функциях.

Четвертая глава АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ посвящена обсуждению математических постановок задач оптимизации, анализу необходимых условий оптимальности, алгоритмов и методов а также численной реализации построения оптимальных проектов упругих ортотропных

пластин с экстремальным значением фундаментальной частоты свободных колебаний за счет рационального выбора распределения угла анизотропии <р(х, у). При этом рассматриваются как задачи о свободных колебаниях пластин в своей плоскости, так и изгибные свободные колебания.

Углубленный анализ задач оптимизации анизотропных пластин .в условиях свободных планарных колебаний содержится в 4.1.Проектирование ортотропных пластин с экстремальным значением фундаментальной частоты свободных колебаний в своей плоскости. В пп. 4.1.1.Математическая формулировка задачи оптимизации, 4.1.2.Необходимые условия оптимальности и их анализ, 4.1.3.Ко-нечноэлементная дискретизация задачи оптимального проектирования. Формулы чувствительности частот свободных планарных колебаний с использованием представления Рэлея для фундаментальной частоты свободных плоскостных колебаний анизотропной пластинки приводятся математические соотношения задачи оптимизации, необходимые условия оптимальности и их подробный анализ для континуальных формулировок задач, а также описываются процедуры ко-нечноэлементной дискретизации задачи оптимизации, ее конечномерная формулировка и алгоритм численного решения. Для конечномерной формулировки в явной форме приводятся выражения для градиента оптимизируемого функционала как для некратной,так и кратной фундаментальной частоты. При этом формула чувствительности для кратной частоты получена в предположении, что при вариациях угла ортотропии кратность частоты сохраняется.

Результаты конкретных расчетов для анизотропного материала, характеризуемого значениями механических постоянных (стеклопластик)

Ег/Ез = 3, Ех/вп = 2, 2/12 = 0.083, щ = 0.25 (55)

представлены в 4.1.4.Расчет оптимальных проектов прямоугольных, квадратных и шестиугольных пластин. Для всех форм пластин решалась задача тах^^), при этом рассматривались случаи незакрепленного контура (моделирующие условия функционирования в невесомости) и закрепленного.

Полученные в результате расчетов оптимальные проекты прямоугольных пластин с отношением сторон 1 : 2 представлены на фиг.13 (незакрепленный контур) и фиг.14 (закрепленный контур). В безразмерных переменных оптимальному проекту пластинки с незакрепленным контуром отвечает значение и>1 ~ 1.426 (фиг. 13) (некратное) и с закрепленным

Фиг. 13.

Фиг. 14.

- uj\ — 3.321 (фиг.14) (3-х кратное). Для параметрических распределений угла ортотропин <рх{х,у) = 0 (большая из осей ортотропии параллельна большей из сторон прямоугольника) и (р2(х,у) = тг/2 - (перпендикулярна) получено Ш\{(р\) = 1.259, = 0.857 для свободной пластинки и

и\{(р\) = 2.691, ш\(<Р2) = 2.189 - для закрепленной и таким образом влияние ориентации угла анизотропии на значения фундаментальных частот является существенным.

Оптимальным проектам квадратных пластин отвечают значения фундаментальных частот L>i(ip°Ft(x, у)) = 2.001 (3-х кратная) (свободная пластинка) и L>i((popi(x,y)) = 3.261 (3-х кратная) (закрепленная пластинка). Для оценки эффективности оптимальных решений приведем также значения фундаментальных частот для армирования <р\(х,у) = 0 (большая из осей ортотропии параллельна стороне квадрата) u->i(<^i) = 1.522 (свободная пластинка) и üj\((p\) =2.184 (закрепленная пластинка).

Полученные в результате расчетов оптимальные распределения угла анизотропии имеют нерегулярный характер. С целью получения регулярных решений и оценки их эффективности рассматривались задачи оптимального проектирования в предположении, что в выделенной области угол анизотропии принимает постоянное значение (блочная оптимизация). Для случая, когда в качестве такой области выбирается элементарная ячейка квадрата (распределение угла ортотропии на всей области П получается из указанного продолжением по симметрии) получено и/1 = 1.808 (свободная пластинка) и и>i = 3.195 (закрепленная пластинка) при этом значение угла ipi(x,y) = 0.495 для свободной пластинки и <Pi{x,y) = 1.435 - для закрепленной ((х,у) £ fio)-

В этом же параграфе приводятся результаты расчетов оптимальных проектов анизотропных пластинок в форме правильного шестиугольника, а также значения частот свободных колебаний для параметрических распределений <р(х,у).

Параграф 4.2.Проектирование ортотропных пластин с экстре-

мальным значением фундаментальной частоты изгибных колебаний посвящен подробному обсуждению задач оптимизации анизотропных пластин за счет рационального выбора распределения угла анизотропии в условиях их изгибных колебаний. В 4.2.1.Математическая формулировка задачи оптимального проектирования, 4.2.2.Необходимые условия оптимальности и их анализ, 4.2.3. Конеч-ноэлементная дискретизация задачи оптимизации. Формулы чувствительности частот свободных изгибных колебаний с использованием представления Рэлея для частот свободных изгибных колебаний приводится математическая формулировка задачи оптимизации, исследуются необходимые условия оптимальности и приводится их явный вид для некратных частот (для континуальной формулировки задачи оптимизации), а также приводятся все необходимые для выполнения численных расчетов соотношения конечноэлементной формулировки задачи оптимального проектирования.

Результаты конкретных расчетов излагаются в 4.2.4.Расчет оптимальных проектов 11—угольных (п =3,4,6) пластин. Расчеты выполнялись для анизотропных пластин единичной площади с характеристиками анизотропного материала (55). Рассматривались незакрепленные пластинки, шарнирно закрепленные и жестко защемленные. Приводимым ниже безразмерным значениям частот отвечает Е\ = 1 — ^12^21-

Оптимальные проекты прямоугольных пластин с отношением сторон 1:2 представлены на фиг.15,16 (свободная пластинка), фиг.17,18 (шарнирно закрепленная) и фиг.19,20 - жестко защемленная при этом на

Фиг. 15. Фиг. 16.

фиг.15,17,19 представлены оптимальные распределения угла анизотропии, минимизирующие фундаментальную частоту свободных колебаний, а на фиг.16,18,20 - максимизирующие. Представленным проектам отвечают значения фундаментальных частот т,п = 1.838 и ^1тах = 3.035 (двукратная) (незакрепленная пластинка); = 4.294 и о>1тах = 6.817

Флг. 17. Фиг. 18.

(шарнирно закрепленная пластинка); и>\ m;rl = 8.295 и Wimax = 13.19 (жестко защемленная пластинка).

Фиг. 19. Фиг. 20.

Полученные в результате расчетов оптимальные проекты квадратных пластин с незакрепленным контуром представлены на фиг.21 (ш2 —> гшп^) и фиг.22 (^1 —> тах^). Представленным проектам отвечают значения

ч4- чХ--~ Л 0 V1 1>Х~ ,i ,1,1,1 |I ,1 ,1 ,1V- ,1,1,1,1,1,1 ,1,1 ,1V --------> ---hh'/'/ ---- -X1/'/'/'/'/ -- '/'/'/ h h ---X'i hhhh -X'i 'i 'i 'i 'I'I'I1' vi, i ,I,I,i, 1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1, l,l,l,J2 >i I, /, i, i, i, 11 '/ V/'/'i >i h i/'i'i'ihiiX J h '/ h '/ 40--- -----1,1,'iiijt---------- KI'I'M1 I' I1 Iii bXi111i' I111 и и и С X111 ^ ^— -xy ^ л л л L-.VW чч чч ччХ

\\\\\Х\\\\ \\\Х\\\\\\

\\\\\Ч\Х\\ \\\\\\Х\\\ ////X///// /////X//// /////гХ>//

Фиг. 21. Фиг. 22.

фундаментальных частот wimjn = 2.585 и wimax = 3.527.

Оптимальные проекты квадратных пластин с шарнирно закрепленным контуром представлены на фиг.23 (и>1 —>• min^) и фиг.24 (wf —> гаах,,),

а отвечающие им значения фундаментальных частот и^тц, = 3.713 и шах = 4.934. Оптимальные проекты квадратных пластин с жестко

Фиг. 23.

/////хххх/ х\\\\\ХЧ\\

ЧЧЧЧЧххххт? \\\\\\\Х\\ \\\Х\\\\\х У/ЩУ/Л

Фиг. 24.

нии111111 /х/^чч^ и i1 у У/~ук///- ,'/ /У/ / У ,! / / /x/ / !>/'///X/ --1 /' /у/хч ||'/ '^очххххх ххххХччч^ чхХхчччС^ чхлхччч

--лчччхх^4---^ччххххх--'1 '¡и хччл '/ ь 1|1|1| ■КУУ?,! ,1 ,1 А\УУ// /Л<У// г i1 <<ууух.УУ и пи

Фиг. 25. Фиг. 26.

защемленным контуром представлены на фиг.25 (и>х —> и фиг.26

—> таХу). а отвечающие им значения фундаментальных частот — 6.431 и тах = 9.233. В этом же параграфе приводятся результаты расчетов оптимальных проектов анизотропных пластин в форме правильного треугольника и шестиугольника.

В заключительном параграфе 4.2.5. Оптимальное проектирование круглых пластин приводится подробный анализ задачи оптимального проектирования круглых пластин с экстремальным значением

фундаментальной частоты изгибных колебаний. Рассматриваются случаи шарнирного закрепления и жесткого защемления граничного кон-

<рМ

фМ

п А

О

0.5

О

0.5

Фиг. 27.

Фиг. 28.

тура пластинки. Оптимальное распределения угла анизотропии ищется в классе осесиметричных функций благодаря чему псе соотношения континуальной формулировки задачи оптимизации описываются функциями, зависящими только от радиальной переменной. Получены и проанализированы необходимые условия оптимальности, выполнена конечноэлемент-ная дискретизация задачи оптимизации и с ее использованием проведены конкретные расчеты оптимальных проектов круглых пластин как с минимальным, так и с максимальным значением фундаментальной частоты свободных колебаний.

Расчеты выполнялись для анизотропного материала с характеристиками (55). В процессе расчетов принималось Е\ = 1, р — 1, к = 1, Я — 1 /у/я (р - плотность материала, /г - толщина пластинки, Я. - ее радиус).

Зависимости оптимальных распределений уу(г) (угол наклона оси с большим модулем орготропии Е\ к радиус-вектору точки в фиксированной связанной с пластинкой полярной системе координат представлено на фиг.27 (шарнирное закрепление контура) и фиг.28 (жесткое защемление контура). На фпг.28 цифрами 1 и 2 отмечены распределения угла анизотропии для проектов пластин с максимальным и минимальным значением фундаментальной частоты свободных колебаний соответственно. Приведенным проектам отвечают значения фундаментальных частот а;хт;п = 2.994 (^(г) = 0), Ш1тах = 3.740 для шарнирно закрепленной пластинки и о^шт = 5.871, ^1тах = 8.792 - для жестко защемленной.

Пятая глава ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПО КРИТЕРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ

включает в себя подробное изложение результатов анализа и конкретных расчетов задач оптимизации устойчивости анизотропных пластин, подверженных консервативным нагрузкам. Своеобразие рассматриваемого класса задач состоит в том, что оптимальный проект пластинки с экстремальным значением критической силы потери устойчивости формируется как жесткостнымл свойствами пластин на изгиб, так и податливостью пластинки в своей плоскости.

В 5.1.Основные соотношения и методы анализа задач устойчивости ортотропных пластин с использованием вариационного представления для критических сил анизотропных пластин формулируется математическая постановка задачи оптимизации, необходимые условия оптимальности, описывается конечноэлементная дискретизация задачи оптимального проектирования, а также обсуждается динамический метод анализа устойчивости и его применение для вычисления критических сил.

Параграф 5.2.Оптимальное проектирование анизотропных пластин по критерию устойчивости посвящен подробному изложению анализа конечномерной задачи оптимального проектирования и полученных с ее использованием результатов численных расчетов. В частности, в 5.2.1.Математическая постановка задачи оптимального проектирования, необходимые условия оптимальности и формулы чувствительности критических сил приводятся все необходимые для выполнения конкретных расчетов конечноэлементные соотношения. Результаты конкретных расчетов оптимальных проектов сжимаемых ортотропных пластин излагаются в 5.2.2.Оптимальное проектирование сжатых прямоугольных и квадратных пластин. Расчеты выполнялись для анизотропного материала с характеристиками (55). Наряду с нахождением оптимальных проектов исследовались и зависимости критических сил от параметрических распределений угла анизотропии.

Конкретные расчеты выполнялись для прямоугольных (с отношением сторон 1:2) шарнирно закрепленных пластин (боковое сжатие) и квадратных пластин с шарнирным закреплением и жестким защемлением граничного контура (всестороннее равномерное сжатие).

Оптимальное распределение угла ортотрошш для сжимаемой прямоугольной пластинки представлено на фиг.29. Приведенному распределению отвечает значение критической силы \(>рор1) = 2.828 (двукратное). Для оценки эффективности оптимального решения приведем также

Фиг. 29.

значение критической силы Эйлера для армирований <р\{х,у) = 0 : А(р]) = 1.727 и <Р2(х,у) = — 7г/4 {{х,у) € П0): А(^2) = 2.011 (в расчетах принималось а = 2, Ь = 1, Н = 1, Е\ = 1 — ^12^21)-

Оптимальные проекты квадратных пластин представлены на фиг .30 (шарнирно закреплепленный граничный контур) и фиг.31 (жестко защемленный контур). Отвечающие оптимальным проектам значения крити-

У/УУ/Х/У/У /'/////\/// /"■///У/УХ/ /' ¿/////уЛс/ (1 (' 4-ЧЧЧЧЧЧХЧЧ ЧЧЧЧЧХЧЧЧЧ ччччХччччч чччХччччч ч ччХччччччч чХ^чччччч Ххххччччч ч

Ч ЧЧЧЧХХХ>8\ ччччхч;у<чч \Ч\\\ХЛЧЧ\ ччччХч-чччч чччхчччччч К/'-'///' /1 /1 |1 /X/////// 11 У/УХ/////)' //у/Х>////

^/УУХ.УУ'У'У'--1 //V.//Г / / У у\/ Г У -J /'////Х// ('/' ////Х/ 1,1,1,1, и-^и-хх 1- 1- А- чччхчччСС-^ Ч чХЛ ч Ч Ч Ч чхЧхчч Ч Ч и-- ХххЧЧ ч ч ч ь-

-л 11 ЧЧЧччхх -л ч ч ччччХч -л ч ччччХчч -пччччХччх лллччХ44-4^ <-¿1/ Ч Ч Ч ~1 ~1 ~1 X'/-/ЧЧ-1 Ч Ч Ч 1| У^УУУ / /' ,1 ,1 Г-/\УУ//' /' I1 Г- УУХУУУ//Г-УУУ}ОУ//Г- Г Г Г Г Г V ^Х^ I1 I1 I1 ГГГЧО к

Фиг. 30. Фиг. 31.

ческих сил соответственно равны А1 = 1.467 и А1 = 3.854 (в расчетах принималось а = 1, Л = 1,Е\ = 1 — г^г^г).

Исследование устойчивости и построение оптимальных проектов пластин, подверженных сдвиговым усилиям заметно усложняется по сравнению с анализом задач оптимизации устойчивости сжимаемых пластин. Параграф 5.3.Оптимальное проектирование ортотропных пластин при сдвиговых нагрузках посвящен подробному обсуждению математических формулировок задач оптимального проектирования ани-

зотропных пластин с максимальным значением критических сдвиговых сил; конечноэлементной дискретизации задачи оптимизации; построению формул чувствительности для критических сил.

Характерным для задач сдвиговой устойчивости является зависимость критических сил от направления сдвиговых нагрузок т. Полученные в результате расчетов оптимальные проекты квадратных шарнирно закрепленных пластин представлены на фиг.32 (задача т* —> тах^) и фиг.33 (равноустойчивая пластинка - -» тах^, т^ 4- т[~ = 0).

X '' '' / У У / / \ N N \ \ ч \ •ч\Х

у'у у у у / ч-

/ / У / ч' О / \ --4 у' Х<ч

/ у /V '' / '/ ч. \ N \ \ ч

у у у у у'у / У<ч

/ / / / /. х\ -- \ Л Л Ч

/ О / / / % ^ > -ч Ч

✓ . ^ ^ \ч х ОО. / К/' у/Л <

'V. V \ Ч \ \ \ > (\ ч / / V' /

N V V \ \ \)( \ \ / ' / X/у / ч' / /

\ \ Ч \ \ ХЧ 4 Ч \ ' / / / X/ у / /

\ \ \ \Х 'Ч Ч . 4 ^ ^ ' ' '/ '' /С ' ' '

Х\\\\\х 4 \ Ч / '' /к

п п

и

Фиг. 32.

Фиг. 33.

Оптимальному проекту на фиг.32 отвечает значение г^ = 7.403 (двукратное) (отметим при этом, что т[~ — —2.92, г2~ = —9.60), а проекту равноустойчивой пластинки на фиг.33 - г* = — т\ = 5.20 (двукратное).

В заключительном параграфе 5.3.Оптимальное проектирование равномерно сжимаемой круглой пластинки излагаются результаты анализа задачи оптимизации устойчивости сжимаемых круглых пластин за счет рационального выбора распределения угла анизотропии. Решение задачи ищется в классе осесимметричных распределений угла ортотро-пии. Вводится конечноэлементная дискретизация задачи оптимизации и с ее использованием строятся все необходимые для выполнения численных расчетов соотношения. Полученные в результате расчетов оптимальные распредения угла орготропии ¡р(г) представлены на фиг.34 (шарнирное закрепление граничного контура) и фиг.35 (граничный контур пластинки - жестко защемлен). На фиг.34 цифрами 1, 2 отмечены графики распреде-

пения угла анизотропии для проектов пластин с максимальным и минимальным значением критических сил соответственно. Указанным оптимальным проектам отвечают значения критических сил дтт — 0.482 и г/"ах = 1.0835 (жестко защемленная пластинка) и = = 0) = 0.1322 и дгпах = 0.289 (шарнирно закрепленная пластинка) и таким образом, для обоих способов закрепления границ контура влияние ориентации угла ор-тотропии на значения критических сил является существенным.

О 0.5 1 *

Фиг. 34.

В двух приложениях представлен вспомогательный материал, используемый в различных местах диссертации. В частности, в приложении 1.Основные соотношения теории упругости анизотропного тела приводятся выражения для коэффициентов упругости формули-

ровка обобщеного закона Гука для ортотропных тел, выражения для потенциальной энергии деформирования (плоское напряженное состояние и изгиб). Приложение 2.Конечноэлементная дискретизация спектральных задач механики конструкций включает в себя конспективное изложение процедур получения и явный вид матриц жесткости и масс для треугольных элементов мембран ц анизотропных пластин.

Автор выражает искреннюю признательность академику РИА Н.В.БАНИЧУКУ за всестороннюю поддержку исследований, многочисленные консультации и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Албул A.B. Баничук Н.В. Барсук A.A. Оптимизация устойчивости упругих стержней при тепловых нагрузках. - Изв. АН СССР. МТТ. 1980, N3, с.127-133.

2. Баничук Н.В. Барсук A.A. Об устойчивости упругих стержней при кручении. - Изв. АН СССР. МТТ. 1982, N6, с.148-154.

3. Баничук Н.В. Барсук A.A. Оптимизация устойчивости упругих стержней при совместном сжатии и кручении. - Прикладные проблемы прочн. и пласт. Алгоритмизация решения задач упругости и пластичности. Горький.: Горьк. гос. у-т. 1982, с.122-126.

4. Баничук Н.В. Барсук A.A. Об одном методе оптимизации упругой устойчивости в случае кратности критических нагрузок,- Прикладные проблемы прочн. и пласт. Статика и динамика деформируемых систем. Горький.: Горьк. гос. у-т, 1983, с.85-89.

5. Баничук Н.В. Барсук A.A. Применение декомпозиции спектра собственных значений в задачах оптимизации упругой устойчивости. - Проблемы устойчивости и предельной несущей способности конструкций. Л.: ЛИСИ. 1983, с.17-24.

6. Баничук Н.В., Барсук A.A., Саурин В.В. Определение ориентации ортотропного материала в пластинках, оптимизируемых по критерию устойчивости. - Известия АН РФ. МТТ. 1995. N5. с.163-170.

7. Баничук Н.В., Барсук A.A., Трифонова Н.Р., Трифанова Л.Р. Оптимальное проектирование анизотропных пластин с экстремальной фундаментальной частотой свободных колебаний. - Conf.stiint. a corpului didact.-stiint. 1991/1992. Tez. refer. Chis.: USM. 1992, c.50.

8. Баничук H.B., Барсук A.A., Шаранюк A.B., Трифанова JI.Р. Структурное моделирование больших свободных конструкций с применением анизотропных моделей. - В кн.: Гагаринские научные чтения по аэронавтике и космонавтике. 1990-1991. М.: Наука. 1991, с.52-56.

9. Барсук A.A. Об одном способе решения задач оптимизации с кратными собственными значениями. - 4-я Всес. конф. по оптим. управл. в мех. системах. Тез.докл. М.: ИПМ АН СССР. 1982, с.23.

10. Барсук A.A. Оптимизация устойчивости упругих стержней при кратных критических тепловых нагрузках. - Всес. конф."Проблемы снижения материалоемкости силовых констр. Тез. докл. Горький.: Горьк. гос. ун-т. 1984, с.9-10.

11. Барсук A.A. Оптимизация устойчивости скручиваемых стержней. - 6-й Всес.съезд по теор. иприкл. механике. Тез.докл. Ташкент. 1986,с.80.

12. Барсук A.A. Оптимизация внутренней структуры упругих тел в плоских радиально-симметричных задачах. - Всес. конф. "Соврем, пробл. информатики, выч. техники и автоматизации". Тез. докл. Горький. 1988, с.11.

13. Барсук A.A. Оптимальное проектирование гибких стержней максимальной жесткости.- Научная конф. по итогам за 12-ю пятилетку. Тез. докл. Кишинев: МолдГУ. 1990, с.39.

14. Барсук A.A. Оптимальное проектирование гибких стержней максимальной жесткости. - 7-й Всес. съезд по теор. и прикл. механике. Аннотации докладов. М.: Наука. 1991, с.37-38.

15. Барсук A.A. Оптимальное проектирование гибких балок. - Меж-дународн. конф. "Проблемы оптимизации в механике деформируемого твердого тела". Тез. докл. Нижний Новгород. 1995, сс.9-10.

16. Барсук А.А, Попа К.И, Трифанова Н.Р. Трифанова JI.P. Оптимизация спектра свободных колебаний анизотропных пластин. - 2-я Всес. конф. "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций." Тез. докл. Горький. 1989, с.12.

17. Барсук A.A., Попа К.И., Трифанова Н.Р., Трифанова Л.Р. Оптимальное проектирование анизотропных пластин с максимальной фундаментальной частотой изгибных колебаний. - Всес.конф."Вопросы надежности и оптимизации строит.конструкц. и механизмов". Тез. докл. Севастополь. 1989.

18. Барсук A.A., Трифанова Н.Р. Расчет спектра свободных колебаний симметричных упругих конструкций. - Научная конф. по итогам за 12-ю пятилетку. Тез.докл. Кишинев: МолдГУ, 1990, с.40.

19. Барсук A.A., Трифанова Н.Р. Оптимизация анизотропных пластин по критерию устойчивости. - Conf. stiint. a corpului didact.-stiint. 1991/1992. Tez. refer. Chis.: USM, 1992, p.49.

20. Барсук A.A., Трифанова Н.Р. Оптимизация устойчивости анизотропных пластин при сдвиге. - Materalele conf. corp.did.-stiint. "Bilantul activitatii a USM pe anii 1993/1994. Tez. réf. Chis.: USM, 1995, p.41.

21. Барсук A.A., Трифанова H.Р., Трифанова JI.P. Оптимальное проектирование ортотропной круглой пластинки в условиях устойчивости и свободных колебаний. - Intern, conf. on math, and inform. Tez. réf. Chis.: USM, 1996, p.56.

22. Барсук A.A., Трифанова H.Р., Трифанова JT.P. Оптимальное проектирование анизотропных пластин с максимальной основной частотой колебаний. - Научная конф. по итогам за 12-ю пятилетку. Тез.докл. Кишинев, МолдГУ, 1990, с.41.

23. Барсук А.А., Трифонова Н.Р., Трифанова Л.Р. Оптимальное проектирование ортотропных круглых пластин с экстремальной фундаментальной частотой поперечных колебаний. - 2-я Всес. научно-техн.конф. "Вопросы надежности и оптимизации строительных конструкций и машин." Тез. докл. Севастополь, 1991.

24. Banichuk N.V., Barsuk A. A. Design of an optimum column with elastic clamping. - Structural Optimization. Berlin: Springer-Verlag. 1995, v.9, pp.254-257.

25. Banichuk N.V., Barsuk A.A. and Saurin V.V. Orientation design for plates optimized against instability. - The 1-st World Congress on Multidis-tiplinary Optimization (WSCMO-1). Extended abstracts. ISSMO. Goslar (Germany). 1995.

26. Banichuk N.V., Barsuk A.A. and Saurin V.V. Orientation design for plates optimized against instability. - Proceedings of the 1-st World Congress on Multidistiplinary Optimization (WSCMO-1). Berlin: ISSMO. 1995, p.293-298.

27. Banichuk N.V. and Saurin V.V., Barsuk A.A. Optimal orientation of orthotropic materials for plates designed against buckling. - Structural Optimization. Berlin: Springer-Verlag. 1995, v.10, p.191-196.

28. Barsuk A.A. Optimization of nonlinear beams. - The Second World Congress on Multidistiplinary Optimization (WSCMO-2). Extended abstracts. Zacopane (Poland): ISSMO. 1997, p.20-21.

Заметная часть представленных в диссертации результатов включена также в монографии Н.В.Баничук. Введение в оптимизацию конструкций. - М.: Наука. 1986, сс.257-287 (англ. перевод: Banichuk N. V. Introduction to Optimization of Structures. - Berlin: Springer-Verlag. 1990.), Ба-ничук H.B., Иванова С.Ю., Шаранюк A.B. Динамика конструкций. Анализ и оптимизация. - М.: Наука. 1989, сс.123-125, Н.В. Баничук, И.И. Карпов, Д.М. Климов, А.П. Маркевв, Б.Н. Соколов, А.В. Шаранюк. Механика больших космических конструкций. М.: Факториал. 1997, сс.148-

152.