Анализ завихренности потока за ударными и детонационными волнами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

СКОПИНА Галина Артуровна

АНАЛИЗ ЗАВИХРЕННОСТИ ПОТОКА ЗА УДАРНЫМИ И ДЕТОНАЦИОННЫМИ ВОЛНАМИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2009

003462552

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, академик Левин Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Алексеев Геннадий Валентинович,

доктор физико-математических наук, профессор

Федоров Александр Владимирович

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В.Ломоносова

Защита состоится « 20 » марта 2009 года в 11со часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510. E-mail: dm00500702@iacp.dvo.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан « /Д/» февраля 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Су^т-

кандидат физико-математических наук ^^ Дудко О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задаче о сверхзвуковом взаимодействии вихревого течения с ударной волной посвящено достаточно много как теоретических, так и экспериментальных работ. Эти проблемы имеют важное прикладное значение, так как они лежат в основе ряда технических приложений. Взаимодействие сверхзвукового вихревого потока с ударными волнами встречается в ряде аэродинамических задач, связанных с полетом ракет и самолетов, в камерах сгорания ракетных двигателей и так далее. Таким образом, задача по изучению завихренности потока за ударными или детонационными волнами, возникающими в сверхзвуковом потоке горючего газа, имеет важное теоретическое и прикладное значение. В ранее проведенных исследованиях в данной области в работах Truesdell С., ЛайтхиллаМ., Hayes W.D., Майкапара Г. И., Русанова В.В. рассматривались только однородные течения с равной нулю начальной завихренностью. Отличие от уже существующих исследований заключается в том, что в данной работе впервые изучается завихренность не только за ударными, но и за детонационными волнами, возникающими в неоднородных сверхзвуковых потоках газов с отличной от нуля начальной завихренностью.

Целью работы является изучение вектора вихря скорости за стационарными и нестационарными ударными и детонационными волнами, которые возникают в сверхзвуковых неоднородных потоках горючего газа.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- выполнена систематическая работа по определению вектора вихря скорости на поверхностях ударных и детонационных волн, возникающих в сверхзвуковом потоке газа;

-рассмотрено распространение плоских и цилиндрических детонационных волн во вращающихся потоках; получен необходимый критерий существования условий, при которых волна распространяется в режиме Чепмена-Жуге; критерий получен как для сходящихся, так и расходящихся волн детонации в закрученном потоке газа;

- впервые на поверхностях ударных и детонационных волн установлен но-

вый закон сохранения величины, равной отношению касательной компоненты вектора вихря к плотности газа, который выполняется для нестационарных одномерных течений, а также для стационарных и нестационарных осесиммет-ричных течений.

Достоверность полученных результатов базируется на использовании классических подходов газовой динамики, теории движущихся поверхностей разрывов и строгих методов математической физики.

Практическая значимость работы. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в аэродинамике летательных аппаратов, в различных технических приложениях, связанных с энергетическими установками.

Полученный в работе дополнительный закон сохранения на поверхности разрыва величины, равной отношению касательной компоненты вектора вихря к плотности, который всегда выполняется для одномерных течений и в некоторых случаях для неодномерных течений, может быть использован для локального уменьшения числа искомых функций и в численных расчетах.

Апробаиия работы. Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на 19-ой Всероссийской школе-семинаре «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Снежинск, 2002), международной конференции «19th International Colloquium on the Dynamics of Explosions and Reactive Systems» (Japan, 2003), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006). Работа в целом докладывалась в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Результаты, изложенные в данной работе, получены при поддержке грантов Дальневосточного отделения РАН (код проекта 06-II-C0-03-009) и Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-98519 р_восток_а).

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 93 наименований. Объем работы - 157 страниц, в том числе 45 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приводится краткий обзор литературы, посвященной изучению завихренности потока за ударными волнами. Обсуждаются известные исследования процесса распространения детонационных волн в режиме Чепмена-Жуге. Излагается структура диссертационной работы.

Первая глава посвящена описанию моделей течений газа с разрывами. В первом параграфе вводятся основные уравнения математической модели, описывающей движения газа с образованием ударных и детонационных волн. Приводится постановка задачи для стационарных и нестационарных течений.

Для непрерывных адиабатических движений систему дифференциальных уравнений газовой динамики для совершенного невязкого газа можно записать в следующем виде:

от

2ТЛ 1

— + (К • 2*гас1)К + — §гас! р = 0, (1)

д( р

кР>,

+ (К-ёта<1)4 = 0-

Рг

Здесь X - время, V- вектор скорости с тремя компонентами [и, и, - давление, р- плотность газа, у— показатель адиабаты.

Уравнения (1) справедливы в области движения, где параметры газа непрерывны вместе со своими производными по координатам пространства и по времени. На поверхности разрыва должны выполняться законы сохранения, которые можно записать в виде:

Р + Р(»п ~£>У=Ро+Ро ("ол ~ -О)2. (2)

2 (у-\)р 2 (Г -1) Ро

В этих выражениях £> - модуль скорости движения поверхности разрыва X в направлении вектора нормали у; ц, = (К-у) - нормальная составляющая вектора ско-

роста, иг=(У-г), ир=(У'Р) - касательные составляющие вектора скорости V, лежащие в плоскости, касательной к поверхности разрыва; % /?-касательные вектора к Е. Величины с индексом "О" обозначают значения параметров газа перед волной, а величины без индекса - за волной.

Последнее соотношение в (2) является следствием уравнения энергии для скачка с притоком энергии, когда при переходе частиц газа через фронт скачка от состояния «перед фронтом» к состоянию «за фронтом» возникает приток тепла, отнесенный к единице массы газа, равный Q. Под теплоподводом можно понимать не только приток тепла извне, но и тепловыделение внутри газа вследствие превращения некоторых видов внутренней энергии (химической, ядерной) в тепловую.

В уравнениях (2) предполагается, что значения показателя адиабаты у перед волной и за волной одинаковые. Разрывы, удовлетворяющие условиям (2), являются детонационными волнами и волнами горения. Если подвод тепла отсутствует (в = 0)> разрыв будет ударной волной.

Во втором параграфе данной главы описываются вихревые движения.

Третий параграф является вспомогательным, он посвящен кинематике и геометрии поверхностей в пространстве. В нем описывается криволинейная ортогональная система координат, которая вводится на поверхности разрыва, приводятся основные формулы из дифференциальной геометрии, которые потом используются для определения компонент вектора вихря на поверхности разрыва.

Вторая глава посвящена исследованию установившихся движений газа. Изучается поведение вектора вихря скорости за детонационной волной, расположенной в стационарном сверхзвуковом вихревом потоке горючего газа. Отличие от ранее известных работ по данной тематике заключается в том, что рассматриваются не только ударные, но и детонационные волны, а набегающий поток является неоднородным. Для определения завихренности на поверхности разрыва вводится криволинейная ортогональная система координат, связанная с линиями главных кривизн, используется система дифференциальных уравнений газовой динамики (1), записанная с помощью геометрических условий совместности на поверхности разрыва, динамические условия совместности (2).

В первом параграфе рассматриваются плоскопараллельные и незакрученные

6

осесимметричные движения. Здесь и далее под незакрученным осесимметричным движением подразумевается равенство нулю угловой скорости (w0 = 0). В этом случае отлична от нуля только coz - компонента вектора вихря 2 са = rot V, перпендикулярная к плоскости течения:

Ро

2

1--

Ро

Рол

1--

Ро

^ОлЛл

2 Ро

1-

Ро

(3)

Ро 2Р0и0п

Здесь 5 - длина дуги кривой, определяющей форму волны в плоскости течения (натуральный параметр). Запятая обозначает производную по соответствующей координате.

Во втором параграфе рассматриваются осесимметричные закрученные движения. Тогда отличны от нуля все компоненты вектора вихря, для которых получены аналитические выражения в цилиндрической системе координат {х, г, ф): = УХ<»0, ~ Р/Ро . ®г = + Р/Ро.

о)„ = (О,

0<р

р 1( —+ -(и0

Ро

0, J

2Ро"о,

, Ро.

V0„Po,s

2р0

Ро р

р_ Ро

(4)

Здесь к- кривизна поверхности разрыва; ух , компоненты вектора нормали V к поверхности разрыва 2; соп - нормальная, а сог - касательная составляющие вектора вихря:

О), =со,т. + (О. т. =-—{rw0s +V.W,

1

2

2 го,

= а)„,

о) =

(5)

соп.

Ро

где тг,тг- компоненты касательного вектора т к Е.

Оказалось, что при переходе через поверхность разрыва нормальная компонента соп вектора вихря скорости остается непрерывной функцией. Также, как следует из (5), для данного класса течений выполняется закон сохранения величины £УГ / р при любых распределениях параметров газа в набегающем потоке.

В третьем параграфе рассматривается фронт детонации общего вида. Набе-

7

гающий поток является вихревым с заданным распределением параметров. В общем случае отличны от нуля все три компоненты вектора вихря:

со,

«Л:

(О. =-

Ро £_

Ро

(ро-р)г 2рр0

(ро-РУ

} Ро "опРо., |

Ро

2р0 <Л>„Ро./

1-е. Ро,

Ро,,

2р0

1--

Ро

2ио„Ро

Ро,1

2ц>л Ро

2рр0 V Р.

Здесь/,,//-производные величины / по координатам / и которые отсчитывают-ся вдоль линий кривизны, соответствующих главным направлениям в касательной плоскости; сох,а)р- касательные составляющие вектора вихря. Нормальная компонента вектора вихря а>п, в силу неизменности касательных компонент вектора скорости, так же сохраняется при переходе через поверхность разрыва. Формулы для вектора вихря получены в специальной криволинейной ортогональной системе координат, введенной на поверхности разрыва. Если производная вдоль одного из главных направлений равна нулю, то для компоненты вектора вихря в перпендикулярном направлении выполняется закон сохранения величины, равный отношению этой компоненты вектора вихря к плотности.

Следует отметить, что формулы для вектора вихря в завихренном неоднородном потоке получены впервые в данной работе.

В четвертом параграфе получены ограничения на параметры течения: максимальное тепловыделение ц- = д*(Мо) при заданном числе Маха (рис. 1), и минимальное число Маха М0• = М0»(д) при заданном тепловыделении (рис. 2): 0<д<д„ где д.=(М0-1/М0)2, М0* < М0 <оо, где М0, = л/(2 + д + ^(4 + д))/2. Здесь = 2£)(у2-обезразмеренная величина тепловыделения, М(1=и0/а0 - число Маха, а0 - скорость звука, ы0 - скорость набегающего пото-

ка.

9- / / / / / / / / /' /' /' /' /' / / /'

/ Мо

0123456789 10

Рис. 1. График максимально возможного тепловыделения q•(Mъ) для у= 1,4.

• А/о*

У / У / Я

Ю

20

зо

40

50

Рис. 2. График минимально возможного числа Маха М0'(д) для у= 1,4.

Для заданного значения М0 область допустимых значений для д будет находиться ниже соответствующей точки по оси ординат (рис. 1), соответственно для заданного д область допустимых значений для М0 будет располагаться выше соответствующей точки по оси ординат (рис. 2).

Получено, что угол наклона касательной к волне детонации в точке перехода течения в режим Чепмена-Жуге со зависит от двух этих параметров - числа Маха и тепловыделения в волне детонации:

I 2+д + л/д(4 + д)

На рис. 3,4 показано, как меняется угол наклона касательной к волне в режиме Чепмена-Жуге (6) в зависимости от двух параметров - числа Маха и тепловыделения в волне. Получено, что с увеличением числа Маха тангенс угла наклона, а значит и сам угол, уменьшаются (рис. 3), а с ростом тепловыделения в волне, наоборот, тангенс угла наклона увеличивается (рис. 4). Вертикальные линии на графиках обозначат критические значения параметров: <7. и М0*, при которых тангенс угла наклона касательной к волне детонации в режиме Чепмена-Жуге стремится к бесконечности (а/ л/ 2).

20 Мо =5 »V II 4 Мо =9

15

10 \

5 0 1 1 / У __. ** / / / ч

Рис. 3. Тангенс угла наклона касательной к волне детонации в режиме Чеп-мена-Жуге как функция параметра М0 при разных значениях тепловыделения ддля у= 1,4.

О 10 20 30 40 50 60 70 80

Рис. 4. Тангенс угла наклона касательной к волне детонации в режиме Чеп-мена-Жуге как функция параметра <7 при разных значениях числа Маха М0 для у= 1,4.

Исследована величина завихренности потока - 2«?>/(/ш0) за ударной и детонационной волной с постоянными значениями параметров набегающего потока:

2й>

- = сое а

\г

1--

Ро

Ро

СО

Величина завихренности исследована как функция угла наклона касательной к волне детонации а на промежутке [«/, тг/2] при различных значениях числа Маха М0 (рис. 5) и тепловыделения д (рис. 6).

Рис. 5. График величины завихренности Рис. 6. График величины завихренности (7) при 14, /=1,4 дня различных (7) при М0= 10, у- 1,4 для различных значений числа Маха М0. значений тепловыделения д.

Получено, что завихренность принимает наибольшее значение для ударных волн. Тепловыделение в волне снижает величину завихренности (рис. 6). Увеличение же числа Маха набегающего на волну потока, наоборот, увеличивает завихренность за детонационной волной (рис. 5).

Третья глава посвящена исследованию распространения волн детонации в закрученных потоках газа. В первом параграфе данной главы рассматриваются одномерные нестационарные завихренные течения. В данном случае получено, что если завихренность потока равна нулю перед поверхностью разрыва, то такое движение не вызывает возникновения завихренности за поверхностью разрыва. Также для описанного класса течений, в случае, если начальная завихренность отлична от нуля, на поверхности разрыва выполняется закон сохранения величины со!р, хотя сами величины акр терпят разрыв.

Во втором параграфе данной главы рассматривается распространение осесим-метричных детонационных волн во вращающихся неоднородных потоках газов, а так же плоских волн в плоском сдвиговом течении. Волна распространяется вдоль координаты г. Решение ищется в виде разложение в ряд:

Решение в таком виде существует только при г > г0(() либо при г < r0(t).

Определено необходимое условие существования решения, соответствующее распространению волны в режиме Чепмена-Жуге. Критерий найден как для сходящихся, так и расходящихся волн детонации в закрученном потоке газа:

_ . Ы

+ и J ± —- + а

г,

rXvj | pjЛ . rj TPj

>0, (8)

где Uj, Wj, Pj, aj = -Dj), Dj =r-j - параметры течения за детонационной волной, распространяющейся в режиме Чепмена-Жуге, траектория которой задается соотношением гй = r0(e)=rj (t), точка означает производную по времени; значения Х= 0,1 соответствуют плоским и цилиндрическим волнам. Нижний знак в неравенстве соответствует расходящимся волнам, а верхний - сходящимся.

В асимптотическом случае при p^/pj «1,2 = const условие (8) можно записать в виде:

—:--+—I---

(Г + 1)дЪг, (г + \)2 Б

1 дЫр,

У__¿М1 ^

+\у о] >

В третьем параграфе главы рассматриваются плоскопараллельные и осесим-метричные завихренные незакрученные неустановившиеся движения газа. Определена завихренность за движущейся детонационной искривленной волной, образующейся в неоднородном потоке горючего газа. В данном случае отлична от нуля только перпендикулярная к плоскости течения компонента вектора вихря:

Для нахождения вектора вихря на поверхности разрыва вводится криволинейная ортогональная система координат. Здесь - компонента метрического тензора поверхности I, 5 - параметр кривой, определяющей форму волны в плоскости течения.

При 0 = 0 данная формула для вихря будет совпадать с формулой для завихренности за криволинейной стационарной ударной или детонационной волной (3).

В четвертом параграфе данной главы изучается поведение вектора вихря скорости в осесимметричном закрученном потоке на движущейся поверхности разрыва, распространяющейся в неоднородном потоке горючего газа. Показано, что в этом случае нормальная компонента вектора вихря остается непрерывной функцией при переходе через поверхность разрыва. Для осесимметричных течений выполняется закон сохранения величины а>х /р при любых распределениях параметров газа в набегающем потоке, независимо от того, является ли волна ударной или детонационной, как и в случае установившихся течений:

Р

Ро

(О

Четвертая глава посвящена исследованию параметров течения - давления, плотности, скорости и завихренности непосредственно за двумерной криволинейной стационарной волной детонации при постоянных значениях параметров набегающего потока. В первом параграфе данной главы рассматривается распределение плотности, давления и скорости потока относительно угла наклона касательной к волне детонации. Течение исследуется в пределах а7 < а < л / 2. Параметры течения исследуются при различных значениях числа Маха набегающего потока и при различных значениях тепловыделения. Производится сравнение параметров течения для ударных и детонационных волн. Получено, что увеличение числа Маха для волн детонации приводит к увеличению плотности и давления потока за детонационной волной и к уменьшению отношения нормальных компонент скорости. С ростом же тепло выделения в волне детонации при фиксированном значении числа Маха происходит обратная картина - тепловыделение уменьшает плотность, давление и увеличивает отношение скоростей. То есть для ударных волн плотность и давление будет больше, чем для волн детонации, а скорость меньше.

Найдены пределы, в которых могут изменяться параметры течения: минимальное и максимальное значение плотности, скорости и давления, которое они могут принимать при заданных параметрах:

где

, V = 2(\ + уУ+у(] + *^д + Л/д(4+д)) ^ ~ 2(/ +1)2 + (у2 + \)д + {у2 -

1 + 7М2+^{м2-\)2 -дМ\ (у-\)м1+Ч1(у + \)+2

где

(<л)т

(Г-1)М02+<?/(Г + 1)+2

\ + yMl+^{Ml-\f -qMl

(n \ = 2(r +lY+(r2++ ir2 - l)y<?(4 + q) . 1 2{\ + у)г+у{\ + у1Ч + 4ч(^7)) -

W Ш1П

1+

(1 + y)

2 + 9 + V?(4 + 9)Y (г-1>7 + (Г+1Ш4 + ?)^ 2(l + y)+y(? + >/i(4+?)l

Po.

/ 4 _ 1 + Же (Мр-?/(/ +1))+ (1 + уМ\ У(м02 - 1)г - дМ02

1Р/тах — 17-г:--Ра-

\ + уМ1+4{м1-\) -дМ\

Так как минимальное и максимальное значения параметров течения зависят только от показателя адиабаты у, числа Маха Мо, тепловыделения д и начальных значений параметров газа перед волной, то изменение параметров течения газа может происходить только в этих пределах при любой форме волны детонации.

Далее в данном параграфе исследуются параметры течения в режиме Чепмена-Жуге. Так как в этом случае параметры зависят только от д и у, то исследование проведено в зависимости от значения тепловыделения д при фиксированном значении показателя адиабаты у.

Получено, что в режиме Чепмена-Жуге плотность не возрастает неограничен-

но при д q,, а имеет предел: lim —

1-я. р0

(1 + y)Ml

. Так же скорость не падает

, \ + ГМ>

неограниченно при д->д., а уменьшается до определенного значения:

о.

lim-

\ + уМ1 п .. р

-. Давление стремится к величине пш —

«-*Я. р0

J 0 + у)М,

\ + уМ]_ 1 + у

Если же критическое значение тепловыделения д., зависящее от М0, неогра-

ниченно возрастает, то плотность имеет предел сверху lim —

р0

1+у

скорость

имеет предел снизу Нт

и.

Л/п -ЮО / 1

Оп

1 + у

, а давление же в режиме Чепмена-Жуге не-

ограниченно возрастает с ростом тепловыделения.

Во втором параграфе данной главы изучается поведение давления, скорости,

плотности и завихренности на поверхности разрыва, расположенной в сверхзвуковом, однородном потоке горючего газа.

Для течений с цилиндрической или сферической волной детонации переход к режиму Чепмена-Жуге, в отличие от течений с плоскими волнами, происходит на конечном расстоянии. В связи с данным фактом рассматривается осесимметричное течение с постоянными значениями параметров набегающего потока. Завихренность набегающего потока в данном случае будет равна нулю (а)0<р = 0), а из трех

компонент

1

вектора

г

вихря

(4)

отлична

от

нуля

только

сот = — кип соэ а

ч> 2

1-

Ро

Ра

-. В качестве примера задается форма волны, ко-

торая качественно соответствует условиям перехода в волну Чепмена-Жуге:

6tg3a^x-l

, при X0<X<XJ

(9)

3-2tgiaJX ±tgaJx, при X>XJ

Здесь х0 - точка, где функция равна нулю, дг, - точка перехода в режим Чепмена-Жуге. Я,х- обезразмеренные по характерному линейному размеру величины.

График волны детонации Я(х) приведен на рис. 7. Точками на графике показаны точки перехода волны в режим Чепмена-Жуге. За этими точками волна представляет собой прямую линию. Из рисунка видно, что чем больше число Маха, тем меньше угол наклона касательной к волне и тем волна ближе к поверхности тела.

Оказалось, что плотность, давление,

0.5

-0,5 -1

т /М0'4 Мо~8

X

1,5 2 2,5

Мо=10

Мо=6

_ „ , „.. а также кривизна волны и завихренность

Рис. 7. График волны детонации К(х)

при <у = 10, у= 1,4 для различных зна- увеличиваются с ростом числа Маха

чений числа Маха. (рис 8>9 Н) оросительная скорость же

уменьшается с увеличением числа Маха (рис. 10).

р/ро Мо=10 100

Мо=8 80

Мо=6\ 60

40

20

X

-,-1-1— ... ч ..... . 0

р/ро Мо=!0

МоЧ \/

Мо=6 \ \

Мо=4 \ \\

х

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

ОД 0,4

0,6

1,2

Рис. 8. График отношения плотностей р/ро при ¿/ = 10, 1,4 для различных значений числа Маха.

Рис. 9. График относительного давления р/р0 при q = 10, у= 1,4 для различных значений числа Маха.

Максимальные значения давления, плотности, кривизны волны и завихренности растут с увеличением числа Маха. Для скорости же максимальное значение будет одно и то же, независимо от числа Маха набегающего потока. Минимальные значения для этих параметров (за исключением скорости) будут постоянными, для данного рассматриваемого значения тепловыделения, не зависящими от числа Маха набегающего потока, для скорости же минимальное значение уменьшается с ростом Маха (рис. 8-11).

Рис. 10. График отношения скоростей и„ /ц)п при д = 10, /= 1,4 для различных значений числа Маха.

Рис. 11. График величины завихренности -2/(*■„«„) при дг=10, /=1,4

для различных значений числа Маха.

С ростом тепловыделения, при постоянном заданном значении числа Маха, максимальные значения для всех рассматриваемых параметров уменьшаются (рис. 12 - 15). Минимальные же значение, в отличие от максимума, увеличиваются с ростом тепловыделения в волне. Для кривизны и завихренности минимальное

значение равно нулю независимо от заданных значений числа Маха и тепловыделения (рис. 11,15). На рис. 11,15 Ко-кривизна волны (9) в точкех0.

р/ро с ч=о

'Д................ ■ ■■

—--

од

0,4

0,8

1,2

Рис. 12. График отношения плотностей р/р0 при М0 = б, у= 1,4 для различных значений тепловыделения д.

Рис. 13. График относительного давления р/р0 при М0 = 6, у- 1,4 для различных значений тепловыделения д.

Рис. 14. График отношения скоростей ип /и0„ при М0 = 6, у= 1,4 для различных значений тепловыделения д.

Рис. 15. График величины завихренности - 2а>9 /(лг0«0) при М0 = 6, у= 1,4 для различных значений тепловыделения д.

Таким образом, получено, что завихренность достигает максимального значения для ударных волн, а для детонационных волн уменьшается с увеличением тепловыделения в волне (рис. 15). С ростом числа Маха завихренность за волной детонации растет (рис. 11).

В данном параграфе приведен пример изменения давления, скорости, плотности и завихренности для течения, в котором плоская детонационная волна асимптотически стремится к режиму Чепмена-Жуге. Для данного типа течения до наступления режима Чепмена-Жуге картина течения аналогична случаю течения с цилиндрической симметрией (рис. 8-15). Отличие этих двух случаев заключается в

17

том, что в случае течения с цилиндрической симметрией параметры течения принимают постоянное значение в режиме Чепмена-Жуге, независящее от числа Маха набегающего потока (рис. 8 - 11), а в случае течения, асимптотически стремящегося к режиму Чепмена-Жуге, параметры течения так же асимптотически стремятся к постоянному значению.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Решена задача по определению вектора вихря скорости за стационарными и нестационарными детонационными и ударными волнами, которые возникают в неоднородных сверхзвуковых потоках горючего газа. Проведен анализ задачи о распространении волн детонации в закрученных потоках газа.

2. Получено, что для любого типа течения нормальная компонента завихренности при переходе через поверхность разрыва остается непрерывной функцией.

3. Установлено, что при переходе через поверхность разрывов выполняется закон сохранения величины, равной отношению касательной компоненты вектора вихря, лежащей в плоскости течения, к плотности при любых распределениях параметров газа в набегающем потоке, независимо от того, является разрыв ударной или детонационной волной. Данный закон сохранения выполняется для неустановившихся одномерных течений с плоскими и цилиндрическими волнами, а также для установившихся и неустановившихся осесимметричных закрученных течений.

4. Для плоских и цилиндрических детонационных волн, распространяющихся во вращающихся потоках газов в режиме Чепмена-Жуге, найдено необходимое условие существования решения соответствующее распространению волны в режиме Чепмена-Жуге. Критерий получен как для сходящихся, так и расходящихся волн детонации, распространяющихся в закрученных потоках газов.

5. Проведен анализ завихренности за ударными и детонационными волнами для течений с постоянными параметрами. Обнаружено, что завихренность для детонационных волн меньше, чем для ударных волн, то есть тепловыделение в волне снижает завихренность потока за детонационной волной. Увеличение же скорости набегающего потока на волну детонации (числа Маха), наоборот, значительно увеличивает завихренность. Изучено поведение давления, скорости, плотности и

завихренности на поверхности детонационной волны заданной формы, расположенной в сверхзвуковом, однородном потоке горючего газа. Произведено сравнение параметров течения для ударных и детонационных волн.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Левин В.А., Скопина Г.А. Распространение волн детонации в закрученных потоках газа // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45, № 4. С. 3-6.

2. Левин В.А., Скопина Г.А. Поведение вектора вихря скорости в сверхзвуковых потоках за поверхностями разрывов // Теплофизика и аэромеханика. 2007. Т. 13, № 3. С. 381-389.

3. Левин В. А., Скопина Г. А. Поведение вектора вихря скорости в сверхзвуковых осесимметричных закрученных потоках за детонационной волной // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48, № 6. С. 1-7.

4. Левин В.А., Скопина Г.А. Взаимодействие вихрей с ударными и детонационными волнами // «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (САМГОП-2002): тезисы докладов 19-ой Всероссийской школы-семинара, г. Снежинск, 5-12 июля, 2002 г. Снежинск, 2002. С. 38-39.

5. Levin V.A., Skopina G.A. Propagation of detonation wave in rotated gas flows // Proceedings of the 19th International Colloquium on the Dynamics of Explosions and Reactive Systems (ICDERS). Hakone, Japan, July 27 -August 1,2003. Hakone, 2003. P. 86.

6. Скопина Г.А. Поведение завихренности потока в неоднородных сверхзвуковых течениях за ударными и детонационными волнами // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: аннотации докладов, г. Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г. Нижний Новгород: Изд-во НГУ им. Н.И. Лобачевского, 2006. Т. 2. С. 159.

Личный вклад автора. Работа [6] выполнена автором лично. В работах [1 - 5] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы автор получила необходимые для теоретического анализа соотношения и выполняла все необходимые вычисления, провела численные исследования, сформулировала выводы по работе.

СКОПИНА Галина Артуровна

АНАЛИЗ ЗАВИХРЕННОСТИ ПОТОКА ЗА УДАРНЫМИ И ДЕТОНАЦИОННЫМИ ВОЛНАМИ

Автореферат

Подписано к печати 02.02.2009 г. Усл.п.л. 1. Уч.изд.л. 0.8

Формат 60x84/20. Тираж 100 экз. Заказ № 6.

Издано ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, ул. Радио, 5. Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, ул. Радио, 5.

Введение.

Глава 1. Математическая модель движения идеальной сжимаемой жидкости с образование разрывов.

1.1. Основные уравнения математической модели.

1.2. Вихревое движение.

1.3. Кинематика и геометрия поверхностей в пространстве.

Глава 2. Изучение поведения вектора вихря скорости за стационарными ударными и детонационными волнами, расположенными в сверхзвуковом неоднородном потоке горючего газа.

2.1. Плоскопараллельные и осесимметричные незакрученные установившиеся движения газа.

2.2. Осесимметричное закрученное установившееся движение газа.

2.3. Фронт детонации общего вида.

2.4. Поведение завихренности в зависимости от угла наклона касательной для течений с постоянными параметрами.

Глава 3. Изучение поведения вектора вихря скорости в сверхзвуковом неоднородном закрученном потоке горючего газа за движущейся ударной или детонационной волной. Возможность распространения детонационных волн во вращающихся потоках в режиме Чепмена-Жуге.

3.1. Одномерные неустановившиеся движения газа.

3.2. Возможность распространения детонационных волн во вращающихся потоках в режиме Чепмена-Жуге.

3.3. Плоскопараллельные и незакрученные осесимметричные неустановившиеся движения газа.

3.4. Осесимметричные закрученные неустановившиеся движения газа.

Глава 4. Изучение параметров течения за ударной и детонационной волной заданной формы в однородном сверхзвуковом потоке горючего газа.

4.1. Изучение поведения параметров течения в зависимости от угла наклона касательной к поверхности разрыва.

4.2. Исследование параметров течения и завихренности за ударной и детонационной волной заданной формы, находящейся в сверхзвуковом потоке горючего газа.

В работе рассматриваются течения газа со сверхзвуковой скоростью, в которых возникают разрывы в пространственном распределении параметров среды. Изучается завихренность потока за стационарными и нестационарными ударными и детонационными волнами, которые возникают в сверхзвуковых неоднородных потоках горючего газа.

Проблема является актуальной, поскольку задача о сверхзвуковом взаимодействии вихревого течения с ударной волной является одной из классических в теоретической газовой динамике и ей посвящено достаточно много как теоретических, так и экспериментальных работ. Эти проблемы имеют важное прикладное значение, так как они лежат в основе ряда технических приложений. Взаимодействие сверхзвукового вихревого потока с ударными волнами встречается в ряде аэродинамических задач связанных с полетом ракет и самолетов, в камерах сгорания ракетных двигателей и так далее. Таким образом, задача по изучению завихренности потока за ударными или детонационными волнами, возникающими в сверхзвуковом потоке горючего газа, имеет важное теоретическое и прикладное значение.

Выражение для вихря за искривленной стационарной ударной волной для течений с постоянными параметрами было впервые получено К. Трусделом в 1952 году [1]. Позже выражение для вихря было получено другими авторами, которые не были знакомы с работой К. Трусдела. М. Лайтхилл (1957) [2] распространил этот результат на произвольный искривленный скачок, получив выражение для вихря непосредственно за скачком через главные кривизны поверхности ударной волны, в предположении, что ударная волна имеет бесконечную интенсивность.

В работе [3] У.Д. Хейз (1957) получил обобщенную формулу для завихренности с помощью рассуждений, в которых не используются условие постоянства полной энтальпии и формула Крокко для вихря. В работах [4,5] были получены формулы для компонент вектора вихря за ударной волной любой интенсивности при постоянных значениях параметров набегающего потока, которые совпадают с формулами для вихря, полученными М. Лайтхиллом.

Так в работе [4] Г.И. Майкапаром (1968) получены формулы для вектора вихря скорости за головной ударной волной. Для нахождения величины вихря на поверхности разрыва была введена ортогональная криволинейная система координат, где одна криволинейная координата отсчитывалась по нормали, а две другие отсчитывались вдоль главных линий кривизны. При исследовании величины завихренности Майкапаром показано, что интенсивность вихря растет с увеличением числа Маха. Так же им показано, что вихри концентрируются в областях большой кривизны ударной волны.

Чуть позже В.В. Русанов (1973) в своей работе [5], вычисляя связь между формой ударной волны и производными газодинамических функций за ее фронтом, вывел ту же формулу для завихренности, что ранее была получена в работах [1—4].

В работе [6] приведены численные расчеты взаимодействия сверхзвукового продольного вихря с наклонной ударной волной. Выявлено три режима взаимодействия: слабый, умеренный и сильный. Численно показано, что при сильном и умеренном взаимодействии возможно расщепление вихря на ударной волне. При сильном взаимодействии форма фронта ударной волны существенно отличается от прямолинейной. Данные численные исследования подтверждают экспериментальные работы I.M. Kalkhoran [7-9], а так же аналогичные численные исследования [1013]. Результаты, изложенные в диссертации, предполагают наличие одновременно вихревого потока и поверхности разрыва в потоке. Поэтому полученные результаты справедливы как для сильного, так и для слабого взаимодействия вихря с ударной волной.

В работе [14] с использованием лагранжевого подхода получены формулы для обобщенного вектора вихря. Рассматривается модель адиабатического движения газа, неоднородной несжимаемой жидкости и идеальной магнитной гидродинамики. В этой работе получен закон сохранения обобщенного вектора вихря на ударных волнах для плоского вихревого течений.

В данной работе определяется завихренность непосредственно за ударной или детонационной волной находящейся в вихревом сверхзвуковом потоке. Завихренность определяется для одно-, двух-, и трехмерных течений. Г. Эммонсом [15] было произведено подобное исследование для разного типа стационарных волн горения в несжимаемой жидкости.

Отличие от предыдущих работ заключается в том, что в данной работе рассматривается не только ударные, но и детонационные волны. Завихренность определяется как для стационарных, так и для нестационарных поверхностей разрыва. При этом набегающий поток является вихревым.

Как уже говорилось ранее, в данной работе завихренность изучается не только за ударными, но, главным образом, за детонационными волнами. Термин детонация (франц. detoner — взрываться, от лат. detono — гремлю) возник, когда около 1880 г. ряд французских физиков, главным образом Вьей, Малляр, Ле Шателье и Вертело, начали производить опыты над распространением пламени. Они нашли, что при обычных условиях пламя в трубе, которая наполнена горючей газообразной смесью, поджигаемой в конце, распространяется с небольшой скоростью, порядка нескольких метров в секунду. Но при некоторых обстоятельствах медленный процесс горения переходит в очень быстрый процесс, распространяющийся с огромной скоростью, около 2000 м/с или больше. Этот быстрый процесс сгорания был назван детонацией. Естественно, что странный факт наличия двух скоростей распространения горения (часто встречающийся не только у газов, но и у твердых взрывчатых веществ) требует теоретического объяснения. Очень простое и убедительное объяснение было дано в 1899 г. Чепменом и независимо от него в 1905 г. Жуге. Они предположили, что химическая реакция происходит мгновенно, другими словами, что имеется резкий фронт, бегущий по несгоревшему газу и сразу превращающий его в сгоревший. Очевидно, что переход через такой фронт аналогичен переходу от несжатого газа к сжатому во фронте ударной волны. Единственная разница между ударным и детонационным переходом состоит в том, что химическая природа сгоревшего газа отличается от природы несгоревшего и что реакция влияет на энергетический баланс [16-18].

Принято различать два режима возникновения детонации в газе [19]:

- жесткий режим прямого инициирования детонации без промежуточной стадии ускорения пламени;

- мягкий режим перехода горения в детонацию при ускорении пламени.

Жесткий режим возбуждения детонации связан с наличием мощного источника инициирования, например в форме взрыва заряда взрывчатого вещества. Размеры заряда, достаточные для жесткого возбуждения детонации, зависят от вида горючего, типа окислителя и состава смеси. Характерные значения заряда тротила минимального веса, инициирующего детонацию смесей некоторых горючих газов с воздухом, можно найти в [20-22].

Характер развития течения, а в конечном итоге реализация того или иного режима горения, зависит от начального состава [23, 24] и состояния среды [25], от способа инициирования [24,26 - 29] и количества подведенной энергии [24, 26, 27, 29-31], от условий, в которых происходит инициирование [32 — 35].

Впервые задача о распространении детонации от поджигающего источника в однородном окружающем пространстве была поставлена О.Е. Власовым (1937), который показал, что задача является автомодельной, и получил соответствующее уравнение [36].

Наиболее общий подход к анализу задач о распространении волн детонации или горения от поджигающего источника на основании теории размерности был развит Л.И.Седовым (1945) [37, 38]. Л.И.Седовым в 1945 г. были впервые исследованы в общем виде все возможные автомодельные движения со сферической и цилиндрической симметрией и дано решение многих конкретных задач (о сферическом и цилиндрическом поршне, о сходящихся и расходящихся потоках и других), в том числе задача о сильном точечном взрыве [38].

В однородном взрывчатом веществе детонация обычно распространяется с постоянной скоростью, которая среди возможных для данного вещества скоростей распространения детонационной волны является минимальной. Детонация, отвечающая указанным выше условиям, называется процессом Чепмена-Жуге; соответствующая ей минимальная скорость распространения принимается в качестве характеристики взрывчатого вещества [39]. При определённых условиях во взрывчатом веществе может быть возбуждена детонация, скорость распространения которой превышает минимальную скорость детонации. Так, взрыв заряда твёрдого взрывчатого вещества, помещённого в газообразную взрывчатую смесь, порождает в смеси ударную волну, интенсивность которой во много раз превосходит интенсивность волны, отвечающей режиму с минимальной скоростью. В результате в газовой смеси распространяется детонационная волна с повышенной скоростью. В этой волне, в отличие от процесса Чепмена-Жуге, зона химической реакции движется относительно продуктов реакции с дозвуковой скоростью. Поэтому по мере удаления такой волны от места её возникновения ударная волна постепенно ослабевает (сказывается влияние волн разрежения) и скорость распространения детонации снижается до минимального значения [40].

Детонационную волну с повышенной скоростью распространения можно также получить в неоднородном взрывчатом веществе при движении волны в направлении убывающей плотности. Ещё одним примером распространения детонации со скоростью, превышающей минимальное значение, может служить сферическая детонационная волна, сходящаяся к центру. Скорость волны с приближением к центру возрастает. В центре такая волна в течение короткого интервала времени создаёт давление, во много раз превышающее величину, характерную для режима Чепмена-Жуге [41].

В решении задач о распространении волн детонации необходимо выделить случай, когда осуществляется режим Чепмена-Жуге. Этот режим интересен тем, что в ряде практически важных задач детонационная волна с момента возникновения имеет скорость волны Чепмена-Жуге или, по мере удаления от места инициирования, асимптотически стремится к этому режиму.

В результате решения краевой задачи движения плоской волны детонации от поджигающего источника А.А. Гриб (1939) показал, что волна обязательно должна распространяться в режиме Чепмена-Жуге (Ч.-Ж.), тем самым был получен ответ на вопрос о выборе ее скорости [42].

Я.Б. Зельдовичем (1940) была глубоко и всесторонне развита теория детонационной волны [43]. Детально рассмотрев структуру фронта детонационной волны и процессы, происходящие в нем, Зельдович впервые объяснил и строго доказал определенность скорости детонации в условиях обычного опыта [44]. Зельдович, одним из первых дал в 1942 г. строгое решение задачи о сферической детонации и пришел к выводу, что и в этом случае волна детонации так же распространяется в режиме Ч.-Ж. [45].

В работах В.А.Левина, Г.Г.Черного (1967, 1976) показано, что в отличие от ударных волн, плоская пересжатая волна детонации стремится в бесконечности к асимптоте r-Dj(t-t0) = const, где Dj — скорость распространения волны Ч.-Ж., г — координата, вдоль которой распространяется волна, t — время. А переход цилиндрической или сферической сильной детонационной волны в волну Ч.-Ж. может происходить вообще на конечном расстоянии от места инициирования [46 — 48].

Детальный анализ структуры течения в окрестности точки перехода показал, что за точкой перехода волна распространяется в режиме Ч.-Ж. За ней формируется область автомодельного течения, как если бы волна с самого начала распространялась в режиме Ч.-Ж. [48].

В одномерной постановке (плоская, цилиндрическая и сферическая симметрия) решение задачи подробно изучено; найдено, что в однородных средах режим Ч.-Ж. может осуществляться только в расходящейся волне [38, 40, 45, 49], сходящиеся же детонационные волны при приближении к центру симметрии ускоряются [50 - 52], то есть режим Чепмена-Жуге невозможен.

Аналогичные результат получен в работе [53] для детонационной волны имеющей вид произвольной достаточно гладкой поверхности в пространстве. В работе показано, что детонационная волна может распространяться в однородной среде в режиме Ч.-Ж. только при условии выпуклости этой поверхности в сторону движения волны, т.е. волна должна расширяться с течением времени.

Ряд задач о распространении детонационной волны в неоднородных средах решен в работах [54 — 57]. Изучались как расходящиеся, так и сходящиеся детонационные волны. В частности, показано, что в однородной среде сходящиеся цилиндрические и сферические волны обязательно пересжатые [50, 58].

Трудности, возникающие при исследовании волн Ч.-Ж., заключаются в том, что поверхность волны в этом случае является огибающей характеристических поверхностей уравнений газовой динамики. Впервые это было отмечено в работе В.А. Левина, Г.Г. Черного (1967) [46].

Для произвольных систем квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка исследованы условия существования и определен вид асимптотического разложения решения в окрестности огибающей характеристических поверхностей, на которой заданы начальные значения функций (В.А. Левин, A.M. Свалов, 1978) [59].

Как и в случае произвольных волн детонации Ч.-Ж., в общем случае существует только два решения и оба по одну сторону огибающей поверхности. Сходимость таких рядов доказана В.А. Куликовским (1985) [60].

Примером неодномерного распространения волн детонации в режиме Ч.-Ж. является решение задачи об инициировании волны вдоль полуплоскости. В этом случае от ребра полуплоскости формируется цилиндрическая волна Ч.-Ж., переходящая в плоскую волну. Особенностью этого течения является образование висячего скачка уплотнения в продуктах сгорания за цилиндрической частью волны детонации (В.А. Левин,

A.M. Свалов, 1980) [36].

При инициировании волн детонации в средах с переменным тепловыделением, так же возможны различные режимы распространения (Э.И. Андрианкин, 1966; Я.Г. Сапунков, 1967) [55, 56].

Критерий, при выполнении которого волна может распространяться в режиме Ч.-Ж. в общем случае получен в работе А.А. Афанасьева,

B.А. Левина [61]. Критерий получен для волны детонации распространяющейся в покоящейся горючей неоднородной смеси газов.

Остановимся еще на решении задач об обтекании тел горючим газом с образованием отсоединенной волны детонации. С.М. Гилинский, З.Д. Запрянов и Г.Г. Черный (1966) [62] и С.М. Гилинский и З.Д. Запрянов (1967) дали решения задач об обтекании сферы и цилиндра с отсоединенной детонационной волной. Интересной новой особенностью обтекания тел с волной детонации оказалось то, что при обтекании плоских контуров волна детонации, постепенно ослабевая при удалении от тела, в бесконечности переходит в волну Чепмена-Жуге; в случае же обтекания тела вращения переход сильной волны детонации в волну Чепмена-Жуге происходит на конечном расстоянии от тела. Аналитическое доказательство этого факта дано В.А. Левиным и Г.Г. Черным (1967, 1968) [46].

Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшему изучению поведения параметров газа за движущимися и стационарными ударными и детонационными волнами. Наряду с основными величинами, определяющими движение газа (плотностью, скоростью и давлением), рассматривается так же завихренность движущегося потока.

Первая глава посвящена описанию моделей течений с разрывами. В первом параграфе вводятся основные уравнения математической модели движения газа с образованием ударных и детонационных волн, приводится постановка задачи для стационарных и нестационарных течений. Во втором параграфе данной главы описываются вихревые движения. Третий параграф посвящен кинематике и геометрии поверхностей в пространстве. В нем описывается криволинейная ортогональная система координат, которая вводится на поверхности разрыва. Приводятся основные формулы из дифференциальной геометрии, которые потом используются для нахождения компонент вектора вихря за поверхностью разрыва.

Вторая глава посвящена исследованию установившихся движений газа. Изучается поведения вектора вихря скорости за детонационной волной, расположенной в стационарном сверхзвуковом вихревом потоке горючего газа. Отличие от работ [1—5] заключается в том, что рассматриваются не только ударные, но и детонационные волны, так же рассматривается поток с отличной от нуля начальной завихренностью. В первом параграфе рассматриваются плоскопараллельные и незакрученные осесимметричные движения. Во втором параграфе рассматриваются осесимметричные закрученные движения. В третьем параграфе рассматривается фронт детонации общего вида. Набегающий поток является вихревым с заданным распределением параметров. В четвертом параграфе анализируется зависимость величины относительной завихренности от определяющих параметров задачи.

Третья глава посвящена исследованию распространения волн детонации в закрученных потоках газа. В первом параграфе данной главы рассматриваются одномерные нестационарные завихренные течения. Во втором параграфе данной главы рассматривается распространение осесимметричных детонационных волн во вращающихся неоднородных потоках газов, а так же плоских волн в плоском сдвиговом течении. Решение ищется в виде разложение в ряд. Определено необходимое условие существования решения, соответствующее распространению волны в режиме Чепмена-Жуге. Причем, в отличие от работы [61], в которой исследовались незакрученные течения, в данной работе критерий ищется как для сходящихся, так и расходящихся волн детонации в закрученном потоке газа. В третьем параграфе третьей главы рассматриваются плоскопараллельные и осесимметричные незакрученные неустановившиеся движения газа. Определяется завихренность за движущейся детонационной искривленной волной, образующейся в неоднородном потоке горючего газа. В четвертом параграфе данной главы изучается поведение вектора вихря скорости в осесимметричном закрученном потоке на движущейся поверхности разрыва, возникающей в неоднородном потоке горючего газа.

Четвертая глава посвящена исследованию параметров течения -давления, плотности, скорости и завихренности непосредственно за двумерной криволинейной стационарной волной детонации при постоянных значениях параметров набегающего потока. В первом параграфе данной главы рассматривается распределение параметров относительно угла наклона касательной к волне детонации. Течение исследуется в пределах: a,j <а <л 12, где а3 — угол наклона касательной к волне в точке перехода волны в режиме Чепмена-Жуге. Параметры течения исследуются при различных значениях числа Маха набегающего потока и при различных значениях тепловыделения. Производится сравнение параметров течения для ударных и детонационных волн. Так же в данном параграфе данной главы исследуются параметры течения в режиме Чепмена-Жуге. Во втором параграфе данной главы изучается поведение давления, скорости, плотности и завихренности на поверхности разрыва, расположенной в сверхзвуковом, однородном потоке горючего газа. Поверхность разрыва рассматривается заданной формы.

Заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [63 — 69].

В главах принята тройная нумерация формул и двойная нумерация рисунков. Первая цифра в номере формулы обозначает номер главы, вторая -номер параграфа, третья - порядковый номер формулы в параграфе. Первая цифра в номере рисунка обозначает номер главы, на протяжении каждой главы нумерация рисунков сквозная.

Выражаю благодарность своему научному руководителю д-ру физ.-мат. наук, профессору, академику Левину Владимиру Алексеевичу за постановку задачи, научное руководство и постоянный контроль, а так же моральную поддержку и взаимопонимание, которые создавали творческие условия для работы.

1. Truesdell С. On curved shocks in steady plane flow of an ideal fluid // Journal Aeronaut Sci. 1952. №. 19. P. 826-828.

2. ЛайтхиллМ. Динамика диссоциирующего газа // Вопросы ракетной техники: Сб. науч. тр. / Изд-во иностранной литературы. 1957. № 6. С. 41-60.

3. Hayes W.D. The vortycity jump across a gasdynamic discontinuities // Journal Fluid Mech. 1957. №. 2. P. 595-600.

4. Майкапар Г.И. Вихри за головной ударной волной // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1968. № 4. С. 162-165.

5. Русанов В.В. Производные газодинамических функций за искривленной ударной волной. Москва, 1973. (Препр. / АН СССР. Ин-т прикл. математики; № 18).

6. Зудов В.Н., Пимонов Е.А. Взаимодействие продольного вихря с наклонной ударной волной // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44, № 4. С. 10-21.

7. Kalkhoran I.M. Vortex distortion during vortex-surface interaction in a Mach 3 stream // AIAA Journal. 1994. Vol. 32, №. 1. P. 123-129.

8. Kalkhoran I.M., Smart M.K. The effect of shock strength on oblique shock wave-vortex interaction // AIAA Journal. 1995. P. 95-98.

9. Kalkhoran I.M. Airfoil pressure measurements during oblique shock wave-vortex interaction in a Mach 3 stream // AIAA Journal. 1994. Vol. 32, №. 4. P. 783-788.

10. Thomer O., Krause E., Schroeder W. Shock induced vortex breakdown// International Conference RDAMM-2001: book of abstracts. Novosibirsk, Russia, June 24 29, 2001. Novosibirsk, 2001. P. 109-114.

11. Thomer O., Schroeder W., Krause E. Normal and oblique shock-vortex interaction. Proceedings of International Conference RDAMM-2001,Novosibirsk, Russia, June 24 29, 2001. Vol. 6, Pt. 2, Special Issue. P. 737749.

12. Rizzzetta D. Numerical simulation of oblique shock-wave/vortex interactions // AIAA Journal. 1995. Vol. 33, No: 8. P. 1441-1446.

13. Nedungadi A., Lewis M. Computational study of the flowfields associated with oblique shock/vortex interactions // AIAA Journal. 1996. Vol. 34, № 12. P. 2545-2553.

14. Голубятников A.H. О свойствах завихренности Эккарта в течениях с ударными волнами // Аэромеханика и газовая динамика. 2002. № 4. С. 14-19.

15. Эммонс Г. Разрыва в потоках, связанные с горением // Основы газовой динамики. М.: Изд-во иностран. лит-ры, 1963. С. 545-578.

16. Зельдович Я.Б., Компанеец А. С. Теория детонации. М.: ГИТТЛ, 1955. 268 с.

17. Зельдович Я.Б. Избранные труды. Химическая физика и гидродинамика. М.: Наука, 1984. 374 с.

18. Щёлкин К.И., Трошин Я.К. Газодинамика горения. М.: Изд-во АН СССР, 1963.256 с.

19. Гельфанд Б.Е., Сильников М.В. Газовые взрывы. Спб.: Изд-во «Астерион», 2007. 240 с.

20. Нетлетон М. Детонация в газах. М.: Мир, 1989. 280 с.

21. Baker W.E., Ming Jun Tang. Gas, dust and hybrid explosions Elsevier. Amsterdam; Oxford; New York; Tokio, 1991. 253 p.

22. Gelfand B.E., Frolov S.M., Nettlrton M. Gaseous detonation: selective review //Progr. Energy and Comb. Sci. 1991. V. 17, № 4. P. 327-371.

23. Льюис Б., Эльбе Г. Горение, пламя и взрывы в газах. М.: Издательство иностранной литературы, 1948. 446 с.

24. Lee J.H. Initiation of gaseous detonation. Annals Review Physic Chemistry. 1977. Vol. 28. P. 75-104.

25. Митрофанов В.В. Теория детонации. Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 1982. 91 с.

26. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф. Исследование возникновения детонации в некоторых реальных горючих смесях. «Некоторые вопросы механики сплошной среды». Сб. статей. М.: Изд-во МГУ, 1978. С. 204212.

27. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф. Прямое инициирование детонации в смеси с водорода кислородом, разбавленной азотом // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1992. № 6. С. 151-156.

28. Когарко С.М., Адушкин В.В., Лямин Ф.Г. Исследование сферической детонации газовых смесей // Научно-технические проблемы горения и взрыва. 1965. Т. 1, № 2. С. 22-35.

29. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф. Инициирование детонации в водородовоздушной смеси взрывом сферического заряда ТНТ // Физика горения и взрыва. 1995. Т. 31, № 2. С. 91-95.

30. Левин В.А., Марков В.В. О возникновении детонации при концентрированном подводе энергии // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1974. № 5. С. 89-93.

31. Левин В.А., Марков В.В. Исследование возникновения детонации при концентрированном подводе энергии // Физика горения и взрыва. 1975. Т. 11, №4. С. 623-633.

32. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф. Инициирование детонации в водородовоздушной смеси зарядом взрывчатого вещества, окруженного слоем инертного газа // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Мех. 1997. №6. С. 32-34.

33. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф. Влияние воздушной прослойки на ударное инициирование детонации в водородовоздушной смеси // Тр. MHNPAH. 1998. Т. 223. С. 136-143.

34. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф. Восстановление детонации с помощью разрушающейся оболочки // Докл. АН СССР. 1997. Т. 352, № 1.С. 48-50.

35. Levin V.A., Markov V.Y., Osinkin S.F. Stabilisation of detonation in supersonic flows of combustible gas mixture // Proc. 16th Int. Coll. on the Dynam. ofExpl. and Reactive Systems. Cracow. 1997. Vol. 1. P. 172-173.

36. Левин B.A. Детонация. Горение. Владивосток: ДВО РАН, 1995. 60 с.

37. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980.448 с.

38. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. 440 с.

39. Митрофанов В.В. Детонация гомогенных и гетерогенных систем. Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2003.200 с.

40. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика: В 10-ти т. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

41. Зельдович Я.Б. Теория ударных волн и введение в газовую динамику. Изд-во АН СССР, 1946. 186 с.

42. Гриб А.А. О распространении плоской ударной волны при обыкновенном взрыве у твердой стенки // Прикладная математика и механика. 1944. Т. 8, № 3. С. 160.

43. Зельдович Я.Б. К теории распространения детонации в газообразных системах. // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1940. Т. 10. С. 542-568.

44. Зельдович Я.Б., Ратнер С.Б. Расчет скорости детонации в газах. // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1941. Т. 11. С. 170-183.

45. Зельдович Я.Б. О распределении давления и скорости в продуктах детонационного взрыва, в частности при сферическом распространении детонационной волны. // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1942. Т. 12, № 9. С. 389-406.

46. Левин В.А,, Черный Г.Г. Асимптотические законы поведения детонационных волн // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31, № 3. С. 393-405.

47. Черный Г.Г. Асимптотический закон распространения плоской детонационной волны. // Докл. АН СССР. 1967. Т. 172, № 3. С. 558-560.

48. Левин В.А., Черный Г.Г. Исследование течения в окрестности точки перехода пересжатой цилиндрической и сферической волны детонации к режиму Чепмена-Жуге. М.: Изд-во МГУ, 1976. 11 с.

49. Taylor G.L. The dynamics of the combustion on products behind plane and spherical detonation fronts in explosives // Roy. Proc. Soc., 1950. V. 200, № Ю61. P. 235-247.

50. Зельдович Я.Б. Сходящаяся цилиндрическая детонационная волна. // Журн. эксперим. и теор. физ. 1959. Т. 36, № 3. С. 782.

51. Шикин И.С. Исследование некоторых задач о детонации и горении в средах с переменной плотностью. // Вестн. Моск. ун-та, сер. матем., механ., астрон., физ., химии. 1957. №4. С. 49-59.

52. Lee В.Н.К. Nonuniform propagation of imploding shocks and detonations // AIAA Journal. 1967. Vol. 5, № 11. P. 1997-2003.

53. Свалов A.M. Об условиях существования криволинейной волны детонации Чепмена-Жуге // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1976. № 6. С. 71-75.

54. Шикин И.С. Исследование некоторых задач о детонации и горении в средах с переменной плотностью // Вестн. Моск. ун-та, сер. матем., механ., астрон., физ., химии. 1957. №4. С. 49-59.

55. Адрианкин Э.И. О некоторых автомодельных движениях газа при ударе и детонации в среде с переменной плотностью // Прикладная математика и механика. 1966. Т. 30, № 6. С. 1133.

56. Сапунков Я.Г. Сходящиеся детонационные волны в режиме Чепмена-Жуге в среде с переменной плотностью и с постоянной начальнойплотностью // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31, №5. С. 932.

57. Яворская И.М. Решение некотрых задач о детонации в среде с переменной плотностью // Докл. АН СССР. 1956. Т. 111, №4. С. 783.

58. Нигматулин Р.И. Сходящиеся цилиндрические и сферические детонационные волны // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31, № 1.С. 152.

59. Левин В.А., Свалов A.M. Об особенностях распространения детонационных волн // Тр. ИМ МГУ. № 44. М.: Изд-во МГУ, 1978. С. 194-203.

60. Куликовский В.А. Задача Коши для квазилинейной системы при наличии характеристических точек на начальной поверхности // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49, № 2. С. 258-264.

61. Афанасьев А.А., Левин В.А. О возможности распространения волн детонации в режиме Чепмепа-Жуге в неоднородных средах // Физика горения и взрыва. 1993. № 2. С. 98-109.

62. Гилинский С.М., Запрянов З.Д., Черный Г.Г. Сверхзвуковое обтекание сферы горючей смесью газов // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. № 5. С. 8-13.

63. Левин В.А., Скопина Г.А. Распространение волн детонации в закрученных потоках газа // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45, № 4. С. 3-6.

64. Левин В.А., Скопина Г.А. Поведение вектора вихря скорости в сверхзвуковых потоках за поверхностями разрывов // Теплофизика и аэромеханика. 2007. Т. 13, № 3. С. 381-389.

65. Левин В. А., Скопина Г. А. Поведение вектора вихря скорости в сверхзвуковых осесимметричных закрученных, потоках за детонационной волной // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48, № 6. С. 1-7.

66. V.A.Levin, G.A.Skopina, Propagation of detonation wave in rotated gas flows // Proceedings of the 19th International Colloquium on the Dynamics of Explosions and Reactive Systems (ICDERS). Hakone, Japan, July 27 -August 1, 2003. Hakone, 2003. P. 86.

67. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2-х т. М.: Наука, 1984.

68. Компанеец А. С. Ударные волны. М.: Физматгиз, 1963. 92 с.

69. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1950. 428 с.

70. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

71. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Изд-во тех.-теор. лит-ры, 1953. 788 с.

72. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 778 с.

73. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений М.: Наука, 1966. 688 с.

74. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 366 с.

75. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Из-во иностр. лит-ры, 1962. 608 с.

76. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика, ч. 2. М.: Физматгиз, 1963. 728 с.

77. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике: Учеб. пособие / Под ред. Н. Н. Поляхова. 2-е изд. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 304 с.

78. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 576 с.

79. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика, М.: Наука, 1964. 814 с.

80. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Физматлит, 2001. 240 с.

81. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 678 с.

82. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Наука, 1947. 929 с.

83. Билля Г. Теория вихрей. Ленинград-Москва: ОНТИ. Гл. ред. обществ, лит-ры, 1936. 266 с.

84. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.

85. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. 760 с.

86. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974. 176 с.

87. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. II. М.: Государственное из-во тех.-теор. лит-ры, 1956. 628 с.

88. Левин В.А. Распространение детонационных волн в электрическом и магнитном полях // Отчет ИМ МГУ. 1969. № 972.

89. Черный Г.Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

90. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Бунимович Л.И., Зверев И.Н. Газоваядинамика. М.: Высшая школа,