Аппроксимационно-итеративный метод решения нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГБ ОД

Академія наук України Інститут математики

На правах

Самоненко Віктор Анатолійович

АПРОКСИМАЩИНО-ІТЕРАТЯВНИН МЕТОД розв'яясу нтшшх шгегралшх ТА ДИШ’ШШЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.01. - математичний аналіз

АВТОРШЕРАТ дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-матвмататаиг наук

рукопису

Київ - 1994

дасЕРТАщаэ в гошшо.

Робота виконана у відділі теорії функцій Інституту катаматики

АН України.

Наукобий керівник - члеа-кореспондент АН України,

доктор фізико-мзтеиагичних наук, гфофесор дзаддак в.к.

Офіційні опонзнти - доктор фізико-матенатичних наук, профасор СЛЮСАРЧУК В.D.. кандидат фізико-математичних наук КАШШВСЫШИ A.I.

Провідна установа - Київський університет ta. Тараса Шзвчвнво.

Захисг відбудеться /^7-7/0 р. О Ö /^ГОДИНІ

на засіданні спеціалізованої рада Д 0is.50.01 при Ивстатуті математики АН України за адресов:

252601 Кнїв-4. ГСП. вул. Тарецанківська 3.

З дасерїаціев ноша озвайоштиея в бібліотеці інституту. Автореферат розісланий

«сГс?» л/#/ ;-7?/-/Л 1ЭЭ4 р.

Вчення секретар

Спеціалізованої рада Д.В.Гусах

Актуальність геми. Відомо, що серед численних інтегральних та дпферещійш ріні.шь лиш деякі з них дозволяють одоркати розв'язок у явному вигляді. А тему задача про одержала? наближених розвязків тих чи ііпщх класів рівнянь маз ваалива, як теоретично, так і практичне значення.

В останні роки прп створенні паОлкєнпх методів розв'язку інтегральних та дкференцііИїх рівнять широко застосовується розроблений у I98I-I98S рр. В. К. Дзядаком метод, який одержав назву АІ-изтаду. Цей штод розвиває далі штод послідовних наближень ІИкара і дав, як правило, значно крані результати, uis інші чисельні методи. Завдяки цьому актуально» е задача застосування ЛІ-і.-етода до розв'язку різноманітних класів іктегральїшх та даференційних рівнянь.

Дисертація присвячена шіташіям застосування АІ-методу розв'язку деяких типів інтегральних та иФэренцШтх рівнлпь при аналітичних уігавах, які часто зустрічається у математичній фізиці, і оцінці точності отримуваних наблигапях розв’язків.

Мета роботи. Отримання за допомогою епроксямацШго-ітерапшного методу полійоміальшпе Н8блтеш> функцій, глі е розв'язкаж різних ввдіп тлінійних інтегральних рівнянь s інтегральним операторов типу Вольтера, та нелінійних дафзрещійншс рівнянь в qacteHiffix похідох гіперболічного типу і дослідаеїшй їх властивостей. -

Мбїодика дослідайиня. В роботі використовується АІ-матод, результата з теорії апроксимації Функцій і ряд фактів із теорії інтегральних їй дафзреіщіійт рівнянь,йбчислювальйої матемттигаї.

Теоретична і «рактйчйв ціннісїь. Отримані й дисертаційній роботі результати мать теоретичний харакї'ф і з юли. Розроблені методи 1 алгоритми мояуть t<»nt

застосовані в задачах математичко! фізики і обчислювальної

математика, 6 яких зустрічаються розглянуті в роботі класи рівнянь.

Апробація робота. Основні результати дисертації доповідались на Всесоюзній вколі “Теорія наближання функцій" (Київ, серпень 1989 р.)!науковому семінарі відділу теорії функцій Інституту математики АН України.

Публікації. По темі дисертації опубліковано 4 робота. Список робіт наведено в кінці автореферату.

структура і об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, двох розділів , списку літератури з ЗІ аайманування і програм для ЕОМ, які містяться в додатку і ілюсгрувть велику ефективність наведених в дисертації мзгодів. Об'єм дисертації - 108 сторінок машинописного тексту.

ЗИІСГ РОБОТИ

У вступі наведено стислий ог^яд робіт, що иають відношення до темн дисертаційної роботи. Дається постановка задач і стисла характеристика питань. що вивчаються.

Перший розділ присвячено застосуванням АІ-методу до розв'язку деяких видів нелінійних інтегральних та ігтегро-диференційних рівнянь з інтегральними операторами типу Вольтера.

В п. І розділу І розроблено АІ-штод розв'зку систолі нелінійних інтегральних рішіянь Вольтера другого роду. Через єг тут і надалі будеш позначати область в С, обметану еліпсом йуковсьного п фокусами в точках а та а«і(а,Н,гек, ь>0, гЛ) з півосями аг і Ьг:

ег^(х,у) € К2! £ 4-

Д9 а «Мг+г“1 )/4, Ь„=)і(г-г-1 )/4,г>1.

Розглянемо в єг спстєну рішіянь Вальтера Мг

У1(і1Да)=Г1(і,,і2)+| ]к1(і, (в,,вг)......зг11(в),8а))ва)<5иг

»1*2

1*Т7К <1)

де

* -(V -<‘г> -.(О (у1) <ук)

о !-е„ ‘ ’ ®«, " К *® №,)«...*5 (нк).

г

Розв'язок системи рівнянь (і) шукається в кулях

Нерівність (1.1) дав достатню умову попадання рішення в зазначену область.

АІ-метод розв'язку задачі (1) полягає в наступному:

І. Для будь-якого натурального п побудуємо на відрізку

систему з гШ різних точок 3=0,п:

_ -1 «(,<£, <...<їи«і.

Звичайно розглядать систему точок

є3яеЗ!тп«5,=*і»є;=-оов^і . (2)

' 2. Виходячи з вузлів (2), побудуємо, за ВЛС.Дзядиком, штркцю

чвсол а±^=аі^<п;£, що залеиать від п і вибору вузлів (2) і на ярлакать від-рівняшія (1), за формулами:

г3

аіі=аі3^п,^з' Л ^

-і . да і 1(£)-ФутіДа.,-:онтольиі кногочлзш Лвграпжа, побудовані за

пупЕйха (2) па свгшнті [-1,1].У разі вузлів (2') В.К.Дзядиком

одержані прості формули для О0ЧПСЛВЇШЛ КОПСТШІТ а.^ і ДЛЯ ВСІХ

г>.

ЗЛІобудузко послідошНсть навтхота. значень розв'язку

задачі (І) у точках

( (п, ) (п_к (із,,) •

11і, - *І_ ' }:иі£_" о(го- і“х0Ь4^(5|:+1 )’!;=І >г*

^ • ^Ір ■

<? області (з0) ]• ігс, ,хС2Ні) за іторпткшпкл Горнула,’.я

(Т Л .6) Ліідгфослгао.ко обчислошіл спмагають. виконання ,’зша ^Г^втачккх операцій. ,

4 Ліебу.щтда гопрр ІДЛОГОЧ.ШШ її п (І СТОІІОПІЕ П, І 11г

1 с

за зміяшгш і відповідно.що наближать розв'язок сястеш

1 2 _<о _<Ч>

рівнянь (І) в усіх точках (і1Д2)€Ег « £г за формулами

пі *4»

(іг),1=ТТЕ,

1 с 1=03-0 Д0 1 ч и)-фундам9нтальні многочлени Лагранка, побудовані аа

П|1

вузлами (іі]^=ттй на денартовому добутку [і01,ї01+п1 Мі^.х^ь]

Основною у цьому параграфі б така теорема.

Теорема (1.1.1). Нехай ядра к1^,^ в^а^у1,...,?*] задовольняють за змінними у1, 1=Т7Е, умову Ліппиця а константоп і:

« к л

ІК1^, .*2,ві*вг’У1......^к)"к1[гі,і2,в» >вг,у1*‘ ••*у )іаХ

’ 1=0

*і,ві{ вг (і=1.г) . у1^1«: в(Н1) (4)

і для деякого є>о виконується умова

ік1!ао<П)(°Гі* 1*)Кг+ •

Тоді система рівнянь (І) має єдиний розв'язок уг(і,,іг)і Кц с

АС^Єт “Б^ }, 1=Т7К,ПрН цьому ПОСЛІДОВНІСТЬ

, Г1 Гг .

=У.. « о наблиігув і (ї,Л0) таким чином,що для будь якні

• |П^*2 і с і с

і<г1<г1,і=і,2 , і всіх п?,пг,що задовольняють умову О* йє.

ч"г

ГІГІ

Л =(—т-(а * -І-І Га . -М V ц, І + і . і,!'* ^|к-* 11 г ' І г ' пілг

виконується нерівність

к

• Iу ( ■» г.г-т»

+*Чі пі*“ в*р(иь)--------------+ р+ІЧ, „ і] впі}»

"і"г *■ (у+1) 1 "і1^ } а\пгі)

к

де Ік1 Ідо(0)* •»'=н((ь1+ііг)/2+аг+ог ), ч=ліі'.

’ і=» ’ г

Виходячи в елілсів (1), розглянемо іятеГро-даферепційне рівняння

(б)

№

Г(1;,у,і0аС(П) К(і,в,у)?А0(Ф),

в-пе^^Є^0 5 (У0,Н) ,

Г Г

Пі^).В(у)(уо,Н)«0(,,,,(0>|К|А0(()))Ь),

. - іг>1 ,Н>0.

У порівнянні 8 класичним випадком,коли »!=|х0*; х <х04Ь,|у-у0|<в,х0< в <х04ь|,сегмент (х0,^0+ь} розширено до ВЛІПСЙ ег,8 сегменти (У0-Н,У0+Я)1 |у|Ф|К |0{х +п1 до кругів

Шу0.Я) 1 Е(0,И|Г. ) ВІДПОВІДНО.

7 ,

Для наблихенпя многочленами розв'язку задачі (5) за допомогою матриць із сталях (3) будується в точках відрізку

iz0,r0+h} система паОлжегок значень y]*»y(tin^),i=57n, розв'язку рівняння (5) зо ітеративними формулами (1.2.6).

Для оцінки похибки розв'язку справедлива така теорема.

Теорема (І.2.І) Нехай функція К(г,у,в) s аналітичною у int!|) і нопорерпною на ф за сукупністю аргументів та задовольняв умопу Ліпппщя по у

|К(х,о,у)-К(х,в,у)І ^X0|ÿ-y|,

((<x,n,ÿ)ç ф ,(х,в,у)€ ф , Ь0=сошП),8 функція ?<х,у,о) б аналітичної) в into , неперервною на П .і задовольняє умову Лішиця по у і і

) ?(x,ÿ,z)-P(x,ÿ,a)| 5 1,|ÿ-y|+La|z-a|,

((х,?,5)є il , <(x,ÿ,s)e Cl > Lj.I^oowjt ),

і для деякого є>0 . h>0 виконується умова

І^АСНО)*1*6^0*-4! * * и1п[ H,iKUc(0)h ]• *

Тоді рівняння (Б) мав ЄДИНИЙ розв’язок У(х) Є € >с(єг>, причому послідовність yv(t)=y^ n(t) наближав розв'язок таким чинон.що пря будь-яких Нг<г і всіх п.га.ио задовольняють умову 8^ < е , ,

До .

®ra,î = (1+lbni)Dn(r>+lK«AO(Œ)l7ÎA(J(n)W'(1 + î\0D®(K)'

виконується нерівність •

v , (ЬІХ-Х-І)к+1 г

ІУ-^ІАС(вг)!«ІІ'ІА0І0)1' -----вч»<а)+{іР|А0<0)'

(1+ІЬп«)Вп<?)+їКІАО(0)ІЬпі(1 + МВ»(К)^Ь,}Ь,вїР(Ч)'

де l^Lt+I.0x^(ar+|), q=»L(or+|) , hiar+§. а вп, вп знаходимо як •-

Розглянено рівняння (§1 розділу 2) ö2!!

at^ötg

би du

V<W=^ • W<W=^ *

u^xoi*2^=0 * ^xo2,zoa+h2^'

U^1,3C02^=® * ^X01 ’*01+^1 ^ '^1 ,^*8^*

Припустимого p(t1ft2,u,v,B) e аналітично» за п'ятьма комплексними аргументамиt(,t,u,v,w eint R,неперервна на І! і такою,що задовольняє умову Лішиця а константою А>о ва змінними

U,V,W!

I ^(tj.tg.u'.v ,v ,w )| *

< А ||и -и І - (V -V І - І» -І» || , <7)

А .V ,и ) , .V ,« ) € К .

Де

К=єг *єг .Б(Н,).П(Нг).1>(Нэ).

Побудовано многочлени хорошого поліноміального наближення невідомого розв'язку. Оцінку похибки наолюкеняя дає така теорема. Теорема (2.1.2).Нехай права частіша рівняння (6) в області К задовольняє умову Ліпииця (7) з константою а га змінними и , V ,

* і для деякого є>0 виконується умова

а

*У*АО(П)Л-1 [е0ів }(еЧ_і)< IÍ,+V% •

О

ДО nifH2,H3 визначені у (2.14).

4=A(vv^)( VаJ •

Тоді ріттнпя (6) має єдиний розв’язок u(t1tt2) ,

7(tt,t2)=g^ , w(t1 Лг)-^ , притому послідовності .

1 2

'VVV^v.n.n'VV ’ %(W=Vn,m(W ’

t»1

’*2* Iia0jlíCTanTb розв'язок ud,, tp) і Його гоїідаі таїспм 'ппгам.іцо при <3удь-тпгх Кг^?,, 1=1,2,..., і retó

П,П,ЩО ЗПДОЕСЛЬІШиТЬ умову Г<В .ВИКОНУЄТЬСЯ ИОрІПНІСТЬ Jju(t, ,t2)-Gi,(t1,t2)|-t-|v<t1,t2)-7v(t1,t2)| +

f Qvt1 1

HVy-^WlWs ,8^-) < ^ЇЛС(П){Л"1 TñTir «P0l>j-

".3

h, -th_,

<mi i a -f—ï-b , q-A (c-z ) (a_ -ta ) ,

1«**" 12

[litMv* »Ln»[i+Mvp>]} •

En(F), Ет(Р) - величини найкращого наближення функції F=P(tt ,t2,u,v,w) многочленами ступенів п+1 і пн-1 аа змінними t, і t2 відповідно.

У 52 розглядається задача Коші. Нехай рівняння (7)

задовольняє крайові умовгг на заданій кривій, яка е графіком монотонно зростаючої па інтервалі [о.ц] функції y=g(z) , ¿М*о , g(0)=0 ,

u! =a(t^) , v| =b(t.) , w| =o(t.) ,

I t2=g(tt > 1 IV=g(t,) 1 l^gCt,) 1

де a(t() ,b(tt) ,o(tj) -неперервні на to.h,! функції, які задовольняють умову ait, )=b{t, HgU, )о( tt ).

Права частина рівняння (7) вважається аналітичною у деякій області й, неперервна па П і задовольняв умову Ліпшнця в

константою А.

Оцінку відхилення дають теореми ( 2.2.1 ) і { 2.2.2 ).

Нарешті, у {З розроблено АІ-мегод ріиення задачі Дарбу для

рівняння (7) у області t,«L .Мє„ . Рівняння (7) задовольняє

’ Г1 * гг

іфайові умови на кривій, яка в графіком заданої монотонно

зростаючої на інтервалі [0,h,] фунадії y=g(x), g* (х)*о. g(0)=0, g(ht)*hg!

7| , u| fca(t. ) (8)

|tz-g(t,) ’ |t2*o

Функція rft|tt2,u,v,«j e аналітичною в області

П=б_ «G_ «D(H*)*d(Es) та неперервною яа flR-Крім того,для Г1 гг с 3

спрощення вккладок dea обмеження загальності вважаємо,що h^h^h ,

( тобто крайова вадача розглядається на

прямій t2=t1 ). ,

Центральною у цьому параграфі в теорэма,::

Теорема (2.3.2). Похай права частина рівняння (7) задовольняв умови (В) і для деякого є>0 виконується нерівність

ч '

ІрІІО(ІЇ)А_1 (1+е) І е°(е°~1)ав >5 Н^+Вз-о

Тоді рівняння (4.3) мав єдиний розв’язок

и(гі,І2)€АО(Є><«Єл),т(^1,і2)аС(Є-«Є_),'В(І1,іг)€АО(вм»Є<іі),

Гі Га Гі Гг гі Гг

причому послідовності кпогочленів иу(^Д2) , ,ьг) , «у< 1,,^) пасШшіють шуканий розв’язок токпм чином, ер для будь яких ійгу:?^ 1=1,2 і всіх п1 ,п^ ,по задовольняють умову

т»,.Пг

Д9

дя !-[і+|іьі}^ впдалоя нерівність

І^ІІООІ) + І^АСШ * іи-Мао(Н) <

І?ІД0(П){А",-Т5И7Т .'

' - ІМІи

П якій ф*(&_ +Ь_+3)(а_ -*а -і—*—) • тг і г

За всіма розробленими алгоритмами складені програми для ЕОМ. Пршоїада розрахунків за алгорятмшя, псОудованииі в 551-3 розділу

2, яаввдзяі в §4. Абсолютна позшбка обчислень у всіх прикладах в

меншаю за 1(Г,б. У додатку наведено програми для персональних ЕОД, складені за розробленими алгоритмами.

Автор вирахве велику вдячність своєму науковому керівникові

В.К.Дзядику за керівництво робото» і постійну увагу.

OcHOBHi полокэнил дасертацШю! робота опубл1кован1 в наступит: роботах:

I. Самоненко ,В.А. Апроксиыационно-итеративный метод реаашш системы нелпнейннх интегральных уравнений Вольтерра. //Всесоюзная школа "Теория приближения функций“. Тез.док. - Кявв: Шьт

математики All УРСР, IS89. - C.I35-I36.

г. Самоиэико В.А. Апроксимацношо-итератнвний метод ■ ранения

систоци двумерных нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра второго порядка.//Гармонический анализ и развитие аяроксшационтх методов: Сб. науч. ip. - Киев: Ия-т математики АН УРСР, 1989. -

С.91-103.

3. Самоианко Б.А. Апраксшащокно-итеративниЙ метод решения

итегро-дй№рзнциалшого уравнения с интегральным оператором тепа Вольтерра. //Иссладовапия ко теории приближения функций: Сб. науч. гр. - Низ в, Ия-г математики АН УРСР, 1989. - С. 93-99.

4. Сшоненко В.А. Апройсшащюнно-птераяшшй метод решения

ппторболичэйких уравшнкй а йасколькимя треЫёшот. ~ .

Киев, 1992. - 39 С, - Шрейр./All Украйни. Iffi-t математики; 92,18),