Асимптотически минимаксное оценивание в задаче Виксела тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Общая характеристика работы

Содержание работы.

1 Задача Виксела с квадратичным риском

1.1 Обозначения и основные результаты.

1.2 Верхняя граница.

1.3 Нижняя граница.

1.4 Некоторые вспомогательные результаты

2 Оценивание дробной производной

2.1 Постановка задачи и основные результаты.

2.2 Оценивание производной в Ь2-норме.

2.2.1 Верхняя граница.

2.2.2 Нижняя граница.

2.2.3 Асимптотика на соболевском классе.

2.3 Оценивание производной в фиксированной точке.

2.3.1 Верхняя граница.

2.3.2 Нижняя граница.

2.3.3 Асимптотика на соболевском классе.

2.3.4 Нелинейное оценивание

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Статистическая теория непараметрического и се-мипараметрического оценивания является важным и наиболее быстро развивающимся направлением современной математической статистики. Эта теория представляет собой естественное развитие и обобщение классической теории параметрического оценивания.

Принципиально важным моментом в параметрическом оценивании является спецификация статистической модели с точностью до конечномерного неизвестного параметра. Например, в классической полиномиальной регрессионной модели = 1,.,п, (1) где & — независимые ошибки, — известные регрессоры, нужно оценить полином я к=1 в котором величины неизвестны, а степень полинома д предполагается известной и не зависящей от числа наблюдений п. Однако на практике часто нет никаких серьезных оснований считать, что оцениваемая функция регрессии является полиномом, причем, полиномом известной степени. Зачастую более осторожное предположение о том, что функция регрессии р может быть любой гладкой функцией является более правдоподобным. Потребности практических приложений приводят к расширению статистической модели и разработке непараметрических методов, т.е. методов, не предполагающих знания функционального вида распределений. Возникающие при этом задачи непараметрического оценивания носят бесконечномерный характер.

Процедуры непараметрического оценивания для частных случаев изучались еще А. Лежандром (A. Legendre), К. Гауссом (С. Gauss) и П. Лапласом (P. Laplace). В 30-х годах 20 века В.Н. Гливенко, Р. Мизес (R. Mises), А.H. Колмогоров и Н.В. Смирнов внесли важный вклад в анализ эмпирических распределений. Систематическое изучение непараметрических оценок было начато в 50-х гг. Н.В. Смирновым, М. Розенблаттом (М. Rosenblatt), Э. Парзеном (Е. Parzen) и H.H. Ченцовым. Важнейшим примером непараметрических задач является "оценивание кривых" — плотностей распределения, спектральных плотностей, кривых регрессии, как в модели (1), функций, наблюдаемых со случайными ошибками ("сигнал на фоне шума"), а также функционалов от них. Эти задачи родственны некорректным задачам математической физики [13, 14], так как оцениваемые в них "кривые" очень чувствительны к малым изменениям модели. Поэтому для состоятельного оценивания необходима дополнительная априорная информация о функциональном классе, к которому принадлежит оцениваемая "кривая", например, о том, что функция р в модели (1) гладкая. Подобные априорные сведения о принадлежности оцениваемого элемента некоторому функциональному классу совершенно меняют характер статистического оценивания. Например, асимптотически минимаксная оценка уже не является несмещенной и может существенно зависеть от априорной информации. Причем для этой оценки характерен баланс между смещением и дисперсией. Например, сглаживающий сплайн р(х) = arg min Р при оптимальном выборе сглаживающего параметра А имеет квадратичный риск порядка /г-2т/(2т+1) на соболевском классе функций, имеющих гладкость т. Напомним, что квадратичный риск в параметрической модели (1) сходится со скоростью порядка п-1. Хотя сглаживающий сплайн и не является асимптотически минимаксной оценкой (он ей проигрывает f^\yi-p(Xi)]2 + ><f\Pim4x)]2d4 г—Л ) асимптотически около 5%), но с другой стороны по скорости вычисления он практически не имеет конкурентов.

Ключевым вопросом в математической статистике является проблема сравнения статистических оценок. Классическими являются два подхода: байесовский и минимаксный. При байесовском подходе предполагается, что имеется некоторое априорное вероятностное распределения на неизвестных параметрах и риск некоторой оценки в вычисляется как среднее по этому распределению: где г(-, •) - некоторая функция потерь. При минимаксном подходе роль априорной информации играет предположение, что в € © и наилучшими считаются оценки, которые минимизируют

В условиях регулярности статистического эксперимента, асимптотически, между байесовскими и минимаксными оценками нет принципиальной разницы. Эти оценки являются асимптотически несмещенными (смещение существенно меньше дисперсии) и, что самое привлекательное, эти оценки довольно слабо зависят от априорной информации.

Это замечательное свойство параметрических оценок сохраняется и в задачах, которые на первый взгляд очень далеки от задач параметрического оценивания. Как правило, подобные задачи связаны с непараметрическим оцениванием непрерывных функционалов. Примером такой задачи является оценивание функции распределения Р(х) по выборке независимых случайных величин Х\, Х2,., Хп. Хорошо известно, что эмпирическая функция распределения Рп(х) является асимптотически (п —» оо) минимаксной оценкой функции распределения Р. По своим асимптотическим свойствам при фиксированном х эта оценка близка к оценке параметра сдвига нормального распределения. вир Е вг(6,в).

9е@ г=1

Этот факт играет принципиальную роль в оценивании непрерывных функционалов в ситуации, когда возможна локальная аппроксимация исходной задачи соответствующей задачей оценивания конечномерного параметра.

Общий метод отыскания минимаксных нижних границ качества в непараметрических задачах оценивания функционалов был предложен Б.Я. Левитом [23]. Он состоит в построении наименее информативного параметрического семейства такого, что оценивание функционала становится эквивалентным оценке конечномерного параметра. Дальнейшее развитие этих идей в работе Ю.А. Кошевника и Б.Я. Левита [5] приводит к понятию непараметрической информационной матрицы и соответствующим минимаксным границам. Если в параметрическом оценивании вопрос о том, какой подход использовать (байесовский или минимаксный) решается, как правило, из соображений простоты вычисления оценки, то в непараметрической ситуации довольно трудно найти разумные аргументы в пользу того или иного априорного распределения. Поэтому в этой ситуации минимаксный подход является более целесообразным.

Классическим методом непараметрического оценивания является метод ядерных оценок. Рассмотрим его на примере задачи оценки неизвестной плотности распределения / в фиксированной точке по выборке Х\,., Хп в М. Пусть известно, что оцениваемая функция принадлежит достаточно обширному множеству функций 3\ Как уже было отмечено, эмпирическая функция распределения Гп(х) близка к истинной функции распределения

F(x) = / f(y)dy при п -> оо. Однако производная эмпирической функции распределения не только не близка к плотности /, но даже не является функцией в смысле классического анализа. Естественный выход из этой ситуации — попытаться сгладить функцию Еп{х) и использовать в качестве оценки плотности производную от такой сглаженной функции.

Пусть <2 — какое-нибудь распределение, имеющее плотность q (ядро), так что / д = 1. Положим где параметр сглаживания Нп ->- 0. Функция Рп(х) — не что иное, как "средам оо няя сумма" распределений <2, сжатых до размеров Нп и "посаженных" в точки Х^. При кп 0 оценка Рп(х) сходится к ^(ж) и имеет плотность е=1 которая для каждого х стремится к плотности /(ж) при пкп —> оо, Нп —у 0. Оценки вида (2) называются ядерными оценками и были введены в работах Парзена и Розенблатта [26, 28].

Важным моментом является выбор параметра сглаживания Ип. Очевидно, он должен выбираться таким образом, чтобы уменьшить риск оценки. Пусть 3 — множество функций /, удовлетворяющих условию Липшица с постоянной Ь: |/(ж2) - Лж1)| < Цх2 — Нетрудно показать [4, стр. 315], что среднеквадратичный риск оценки }п{х) оценивается сверху следующим образом:

Е^Ш-Лх))2 = (Е1Ш-1(х))2 + Ъ/(Ш-Е;гй(х))2 (Ы1П ! |гф)| ¿г)2 +J q2{z)f(x - Кг) ¿г.

Отсюда вытекает, что наилучшей по порядку величина риска будет при Нп = тг-1/3, и справедливо неравенство

1 л вир вир 8ирЕу^~ |/п(ж) - /(ж)|) < оо, п /еУжеМ где скорость сходимости фп = п-1/3.

Этот результат можно обобщать в различных направлениях: выбирать другие функции потерь или рассматривать другие классы функций. Ряд важных результатов о скорости сходимости оценок в такого рода задачах был получен И.А. Ибрагимовым и Р.З. Хасьминским, М. Нуссбаумом (М. КивзЬаит) [25], М.С. Пинскером. Если в качестве множества 5Г выбрать множество гельдеровских функций гладкости /3, то при кп ~ гг 1/2/3-Ы и некоторых дополнительных условиях на ядро q оценка (2) сходится к /(х) со скоростью п-/3/(2/3+1) щ Точнее, если ядро q ограничено, достаточно быстро убывает на бесконечности и

Jq(t)dt = l, Jtkq(t)dt = 0, к = 1,., то для любой положительной, монотонной при х > 0, не слишком быстро растущей при х —» оо функции потерь w(x) справедлива оценка sup sup sup < оо. п fe^xeR

М.С. Пинскер в 1980 году впервые получил точную оценку в одной из непараметрических задач такого рода — в задаче фильтрации квадратично-интегрируемых сигналов на фоне гауссовского белого шума [8]. Работа Пин-скера повлекла за собой целый ряд результатов, касающихся получения точных оценок в непараметрических задачах оценивания в L2. Для случая оценивая в Loo точные оценки в задаче оценивания плотности были получены в работах А.П. Коростелева, М.Нуссбаума и Д. Донохо (D.Donoho), скорость сходимости здесь оказывается равной (logn/n)^/2^+1 [12], [22].

Среди классических задач параметрического оценивания и собственно задач непараметрического оценивания имеются задачи, которые находятся между этими областями и содержат в себе типичные черты как параметрического, так и непараметрического оценивания. От параметрического оценивания эти задачи наследуют несмещенность асимптотически минимаксной оценки, а от непараметрического оценивания более низкие скорости сходимости минимаксных рисков и зависимость этих скоростей от априорной информации. Одной из таких задач является задача Виксела, исследованию которой посвящена диссертация.

Предмет исследования. Задача Виксела, одна из старейших задач статистики, была поставлена еще в 1925 году [32] и заключается в следующем. В непрозрачную среду помещены шары, радиусы которых являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Так как среда непрозрачна, радиусы шаров нельзя измерить непосредственно, а можно лишь разрезать среду некоторой гиперплоскостью и измерить радиусы получившихся в сечении окружностей. Задача состоит в том, чтобы по имеющейся выборке наблюдаемых радиусов окружностей восстановить функцию распределения радиусов шаров.

Виксел получил соотношение между функциями распределения радиусов шаров и радиусов окружностей при условии, что центры шаров являются точками пуассоновского процесса с настолько малой интенсивностью, что шары пересекаются редко, т.е. вероятность их пересечения пренебрежимо мала. Мы же будем решать задачу в несколько иной постановке, рассматривая вместо функций распределения радиусов функции распределения их квадратов. Для определенности будем предполагать, что центры случайных шаров В^ = В^г,^), г — 1,., находятся в случайных точках , которые представляют собой реализацию стационарного пуассоновского процесса в И3 с малой интенсивностью Л, а квадраты радиусов шаров являются независимыми случайными величинами = Щ с некоторой неизвестной функцией распределения F(y), у £

Поскольку задача симметрична, систему координат в В,3 выберем так, что Р = {V : г;з = 0}, и обозначим окружности в сечении В^ П Р через Бг = 5(ищ = Пусть <3(ж) — функция распределения наблюдаемых в сечении квадратов радиусов окружностей X^ = г?. Тогда нетрудно показать, что выполнены следующие равенства:

Р{Хх > х | ^ наблюдается в ьц € (ги^го! + с1ги\),У12 £ (ги2,и12 + с^)} = Р{г7ц е (мх, VII +сЬ1)1),ь 12 € (^2,^2 +^2),|«1з| < у/У\ - х}

Р{г»п £ (гУ1,+ г>12 € (гиг, ^2 + ¿гуг), |г>1з| < д/^Г} со оо

2\с1и)1(1'Ш2 J л/у - хс1Р(у) J л/у - X ) X оо оо

2\С1Ю1(1Ы2 I угуйЕ{у) I у/уб,Р{у) О а также, что величины Х^ независимы и одинаково распределены. Следовательно, функции распределения ^иС связаны интегральным уравнением

1 - в{х) = оо

I д ж оо

I у/уЛР(у) 0

Пусть функция распределения ^ является липшицевой с гладкостью большей 1/2, тогда это уравнение можно решить непосредственно. Его решение имеет вид где оо

4) л/тх У л/х - у у производная порядка 1/2 функции С?(у) в точке у (см., например, [10]). Формула (3) доказывается очень просто. Так как функция Р — липшицева, нетрудно показать, что функция (7 дифференцируема, и найти ее производную: оо X

Воспользовавшись этим соотношением, получаем оо оо оо *а(х) 1 7 1 У <) ^ у ух оо л у у что доказывает (3).

Диссертация посвящена решению возникающей в задаче Виксела обратной задачи: по выборке из независимых одинаково распределенных случайных величин Хп = Х\,., Хп с функцией распределения С требуется оценить функцию распределения Р, которая связана с С уравнением (3). В сущности, для того чтобы оценить функцию Р, нам просто нужно по наблюдениям Хп оценить производную порядка 1/2 от функции распределения или, что то же самое, производную порядка —1/2 от плотности. При этом нам следует решить две подзадачи: оценить производную ЮС в нуле и на всей полупрямой К+. Далее мы будем рассматривать ситуацию, когда число наблюдений велико, т.е. п —у оо.

Существует множество различных подходов к решению задачи Виксела, с которыми, а также с многочисленными применениями задачи Виксела в биологии, стереологии и медицине, можно ознакомиться в [27], [29] и обзорной статье А. Хогендорна (А. Hoogendoorn) [21]. Нас же эта проблема интересует с непараметрической точки зрения при условии, что число наблюдений п велико, т.е. п ->- оо. Несмотря на довольно долгую историю, асимптотически точное решение задачи Виксела в фиксированной точке получено сравнительно недавно [17], хотя порядки скоростей сходимости были хорошо известны [19].

Вид уравнения (3) наводит на мысль о "наивной оценке" функции ^ следующего вида: т = (7) где п пуж VXi ~ у оценка, полученная путем подстановки в (4) эмпирической функции распределения наблюдений Х\,., Хп

1 п

Gn(x) =-TliXi < х).

Г) < *

П %=1

Нетрудно показать, что DGn(y) — несмещенная оценка, но, к сожалению, ее дисперсия неограничена. Более того, если подставить эту оценку в (3), мы не увидим ничего похожего на функцию распределения, так как DGn(y) становится неограниченно большой, когда у приближается к любому из Xj. Несмотря на все эти неприятные свойства, оценка (7) асимптотически нормальна N(0, <£~20q(F)), где = n/logn, а a20(F) = 47г-2(Е^)2(^(у) + </(0)(1 - F(t/))2) и, следовательно, эта оценка является состоятельной с порядком сходимости y/logn/n. Этот результат был получен в 1971 году Д. Ватсоном (D. Watson) [31]. П. Гренебом и Г. Джонгблод (P. Groeneboom, G. Jongbloed) [19] в 1995 году доказали, что если функция F(-) — гельдеровская порядка 7 > 1, то такой порядок сходимости не может быть улучшен. Таким образом, наивная оценка (7) в некоторых случаях оказывается даже оптимальной по скорости сходимости.

Г.К. Голубев и Б.Я. Левит [17] в 1998 году получили асимптотически эффективную оценку функции распределения F в фиксированной точке и при условии, что F принадлежит гельдеровскому классу Л7 с 7 > 1/2. Эта оценка была получена путем подстановки в (3) ядерной оценки плотности д. Идея использования ядерных оценок в задаче Виксела была впервые предложена Тейлором (С. Taylor) [30] в 1983 году. Он использовал оценку плотности д вида с шириной окна /г зависящей не только от плотности наблюдений, но и от величины наблюдения, беря большое окно в окрестности нуля и особых точках. Позднее этот метод был использован разными авторами [20, 15].

Целью любой статистической теории является ответ на вопрос какую оценку следует считать хорошей. К сожалению, в задаче Виксела асимптотическая теория первого более или менее ясного ответа на этот вопрос не дает. Имеется очень широкий класс оценок, являющихся минимаксными оценками первого порядка. Чтобы качественно объяснить, какого сорта оценки могут претендовать на роль оптимальных, попробуем найти оценки асимптотически минимаксные с точностью до членов второго порядка. Чтобы упростить задачу, будем рассматривать близкую к исходной задачу оценивания в белом гауссовском шуме. Как уже упоминалось, задача Виксела сводится к оцениванию (на всей полупрямой и в нуле) производной порядка -1/2 от плотности распределения по выборке независимых одинаково распределенных случайных величин Х\,., Хп. Предположим, что оцениваемая плотность находится в небольшой окрестности равномерной плотности распределения на [0,1]. Более того, предположим, что она разлагается в достаточно быстро сходящийся ряд Фурье оо к=1 где - стандартная тригонометрическая система функций sin(27r£a;), cos(2-7r/rr), l > 1}, gjc — соответствующие коэффициенты Фурье. Рассмотрим N эмпирических коэффициентов Фурье

1 п

9к = - У, ¥>*№) =9к + п~1/2Хк, к = 1,., Ы, ть г=1 где

Л/П г—1

Если величина N не очень велика (И < гг1/2-^, 6 > 0), то можно показать, что совместное распределение хк, к — 1,., N будет гауссовским с нулевым средним и ковариационной матрицей

Як1 = Е 1<рк(Х{) - Еук(Хг)]ЫХг)

Эта ковариационная матрица в свою очередь будет близка к единичной матрице, если оцениваемая плотность близка к равномерной. Распределения величин хк, к = 1,., N и их гауссовский предел будут близки в смысле расстояния Хеллингера, которое очевидным образом мажорирует расстояние по вариации между соответствующими мерами.

Близость расстояния по вариации имеет простой статистический смысл. Если используется ограниченная функция потерь, то для двух статистических экспериментов, заданных на одном вероятностном пространстве, с расстоянием по вариации между мерами меньше 5, выполнены следующие свойства:

• для любой оценки в первом эксперименте всегда найдется оценка во втором эксперименте такая, что разность рисков оценок будет меньше 8,

• и наоборот, для любой оценки во втором эксперименте найдется оценка в первом эксперименте такая, что разность рисков будет меньше 6.

Если эксперименты зависят от малого параметра г и величина 6 стремится к нулю при е 0, то эксперименты, удовлетворяющие этим двум свойствам, называются асимптотически эквивалентными по Ле Каму.

Возвращаясь к исходной задаче, можно сказать, что задача оценивания плотности в малой окрестности равномерного распределения асимптотически эквивалентна оцениванию параметров дк в гауссовской модели

Ск = дк + п-^2^ к =1,2,., (8) где — независимые N(0,1). Точные результаты об асимптотической эквивалентности оценивания плотности и гауссовской регрессии содержатся в работах Нуссбаума [24].

В терминах коэффициентов Фурье оценивание производной порядка -1/2 означает, что требуется оценить функцию

ОО ,

ЪО{х) = [х - -) (2пкГ1/2 по наблюдениям из (8). Так как эта задача родственна задаче Виксела, мы должны рассмотреть две задачи: оценивание З)С(ж) на всем отрезке [0,1] и в точке х — 0. Более точно, в работе рассматриваются: задача оценки функционала вида Ь(д) = что соответствует оценке производной в нуле, и задача оценки бесконечномерного параметра (<71/л/1, <72/л/2,.), эквивалентная оценке на полупрямой.

Цель работы. Целью диссертационной работы является построение асимптотически минимаксных оценок в задаче Виксела при квадратичном критерии качества, а также построение минимаксных оценок второго порядка в близкой задаче оценивания производной порядка —1/2 в гауссовском белом шуме.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Получение точных асимптотически минимаксных оценок в задаче Виксела.

2. Получение минимаксных оценок второго порядка в задаче оценивания дробной производной в гауссовском белом шуме.

Благодарности. Автор благодарен своим научным руководителям Владимиру Вячеславовичу Калашникову за постоянную поддержку и участие, Георгию Ксенофонтовичу Голубеву за постановку задачи, плодотворные обсуждения и внимание к работе.

Содержание работы

Диссертационная работа состоит из введения и двух глав. В первой главе приведено решение задачи Виксела со среднеквадратичным риском, результаты главы опубликованы в [33]. Во второй главе решается задача оценивания дробной производной в гауссовском белом шуме [34].

1. Ван Трис, Гарри Л. Теория обнаружения, оценок и модуляции, т. 1. М.: Сов. радио, 1975.

2. Гренандер У., Сеге Г. Теплицевы матрицы и их применения. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 2. М.: Мир, 1965.

4. Ибрагимов И. А., Хасъминский Р. 3. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.

5. Кошевник Ю.А., Левит Б. Я. О непараметрическом аналоге информационной матрицы // Теория вероятностей и ее применения, 1976, т. 21, вып. 4, с. 759-774.

6. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.: ГИТТЛ, 1949.

7. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

8. Пинскер М. С. Оптимальная фильтрация квадратично-интегрируемых сигналов на фоне гауссовского белого шума // Проблемы передачи информации. 1980. Т. 16. Вып. 2. С. 52-68.

9. Понтрягин А. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.

10. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

11. Brown L. D., Low M. G. Asymptotic equivalence of nonparametric regression and white noise // Ann. Statist. 1996. V. 24. P. 2384-2398.

12. Donoho D. Asymptotic Minimax Risk for Sup-norm Loss: Solution via Optimal Recovery // Probab. Theory Relat. Fields. 1994. V. 99. P. 145170.

13. Ermakov M.S. Minimax estimation in a deconvolution problem //J. Phys. A. Math. Gen. 1992. V. 25. P. 1273-1282.

14. Ermakov M.S. On optimal solutions in a deconvolution problem // Inverse Problems. 1990. V. 5 P. 863-872.

15. Es van B., Hoogendoorn A.W.K kernel approach to estimating of the sphere radius density in Wicksell's corpuscle problem // Biometrika. 1990. V. 77. P. 139-145.

16. Golubev G., Levit B. On the Second Order Minimax Estimation of Distribution Function 11 Math. Methods Statist. 1996. V. 5. P. 1-31.

17. Golubev G., Levit B. Asymptotically efficient estimation in the Wicksell problem // Ann. Statist. 1998. V. 26. P. 2407-2419.

18. Green P. J., Silverman B.M. Nonparametris regression and generalized linear models: a roughness penalty approach. London: Chapman & Hall, 1994.

19. Groeneboom P., Jongbloed G. Isotonic estimation and rates of convergence in Wicksell's problem // Ann. Statist. 1995. V. 23. P. 1518-1542.

20. Hall P., Smith R. L. The kernel method for unfolding sphere size distributions //J. Comp. Physics. 1988. V. 74. P. 409-421.

21. Hoogendoorn A. W. Estimating the weight undersized distribution for the Wicksell problem // Stat. Neerl. 1992. V. 4. P. 259-282.

22. Korostelev A.P., Nussbaum M. The asymptotic minimax constant for sup-norm loss in nonparametric density estimation // Bernoulli. 1999. V. 5. № 6. P. 1099-1118.

23. Levit В. Ya. On optimality of some statistical estimates // Proc. Prague Symp. Asympt. Statistics, II. 1973. P. 215-238.

24. Nussbaum M. Asymptotic equivalence of density estimation and Gaussian white noise // Ann. Statist. 1996. V. 24. P. 2399-2430.

25. Nussbaum M. Spline Smoothing in Regression Models and Asymptotic Efficiency in L2 // Ann. Statist. 1985. V. 13. P. 984-997.

26. Parzen E. On Estimation of a Probability Density Function and Mode // Ann. of Math. Stat. 1962. V. 33. P. 1065-1076.

27. Ripley B.D. Spatial Statistics. New York: Wiley, 1981.

28. Rosenblatt M. Curve Estimates // Ann. of Math. Stat. 1971. Y. 42. P. 1815-1842.

29. Stoyan D., Kendall W. S., Mecke J. Stochastic geometry and its applications. Berlin: Akademie-Verlag, 1987.

30. Taylor С. C. A new method for unfolding sphere size distributions // J. Microscopy. 1983. V. 132. P. 57-66.

31. Watson D. S. Estimating functionals of particle size distributions // Biometrika. 1971. V. 58. P. 483-490.

32. Wicksell S. D. The Corpuscle Problem: A Mathematical Study of a Biometric Problem // Biometrika. 1925. V. 17. № 1/2. P. 84-99.Публикации по теме диссертации

33. Голубев Г. К., Епикеева Ф. Н. Асимптотически эффективное сглаживание в задаче Виксела при квадратичных потерях // Проблемы передачи информации. 2001. Т. 37. Вып. 1. Стр. 28-51.

34. Голубев Г. КЕникеева Ф, Н. Об одной задаче минимаксного оценивания дробной производной // Теория вероятностей и ее применения. 2001. Т. 46. Вып. 4. Стр. 658-677.