Асимптотические разложения для статистики и функции риска баиесовского правила классификации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

.it.il гЧ-1 •"'' '

МОСКОВСКИМ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи БАЛАСАНОВА ЕЛЕНА ВАДИМОВНА

УДК 519.2

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СТАТИСТИКИ. И ФУНКЦИИ РИСКА БАЙЕСОВСКОГО ПРАВИЛА КЛАССИФИКАЦИИ

(01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1991

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Д.М.Чибисов. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Ведущее учреждение - Московский институт электронного

машиностроения.

М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет ВМиК,' ауд. 685 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

профессор А.В.Бернштейн,

кандидат технических наук, доцент Е.В.Троицкий.

Защита диссертации состоится в II час. 00 мин. на заседании Специализированного Совета Д.053.05.38 при Московском государственном университете им.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Совета профессор

Н.П.Трифонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. АЛЬНОСТЬ ТЕШ. Задача классификации ( Мы следуем

терминологии Т.Андерсона1 ) состоит в том, чтобы основываясь на результатах имеющихся наблюдений, определить, какой из нескольких возможных генеральных совокупностей принадлежит объект, случайно

извлеченный из одной из них. М.Кендалл и А.Стьюарт называли задачи

р

такого вида задачами дискриминации , оставив термин "классификация" для задач разбиения данной выборки или всей совокупности на группы, по возможности однородные. При известных статистических характеристиках совокупностей задача классификации превращается в задачу различения нескольких простых гипотез, и для этого случая существует1 правило наилучшей классификации, минимизирующее функцию риска в случае известных априорных вероятностей, и множество таких правил образует полный класс, когда априорные вероятности неизвестны.

С точки зрения применений теории классификации наиболее важной является ситуация, при которой исходная информация о распределениях представлена выборками из них. Для этого случая в литературе предлагаются несколько правил классификации: подстановочные, максимального правдоподобия, байесовские и т.д. Мы будем рассматривать байесовские правила классификации, поскольку эти правила и их слабые пределы образуют в совокупности полный класс решающих правил.

1Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М., Физматгиз, 1963, 500с.

о

Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряда. М., Физматгиз, 1976, 736с.

Для детального исследования, построения и сравнения различных правил классификации необходимо знать распределения статистик классификации. Результаты А.Вальда3, Р.Ситгривес4 и др. показывают, что уже в простейших случаях точные выражения распределений статистик классификации имеют довольно сложный вид, не позволяющий делать каких-нибудь качественных выводов. Поэтому стараются получить аппроксимации для распределений статистик, основанные на той или иной асимптотике. В настоящей работе рассматривается традиционная асимптотика, когда размерность пространства фиксирована, а объемы выборок стремятся к бесконечности. Существует целый класс асимптотически эквивалентных (их функции риска ведут себя асимптотически одинаково) правил. Возникает вопрос: какое из правил и насколько лучше? Ответ на такой вопрос можно получить, сравнивая асимптотические разложения для функций риска различных правил классификации. Такого рода результаты известны для подстановочных правил, для правила максимального правдоподобия (см., например, работы А.Мемона и М.Окамото5, В.О.Гольцова и

3Wald A. On a statistical problem arising in the classification of an individual in one of two groups. AMS, 1944, 15, p.145-163.

4Sitgreaves R. Some results on the distribution ol the classification statistics. In: Studies in Item Analysis and Prediction, Stanford University Press, 1961.

°Memon A.Z., Okamoto M. Asymptotic, expansion of the distribution of the Z statistic In discriminant analysis. J.Multivariate Anal., 1971, 1, p.294-307.

Е.В.Троицкого6, Ю.С.Харина7). Гораздо менее исследован класс байесовских правил. Статистика байесовского правила классификации имеет сложный для практических применений вид. Поэтому разработка методов построения удобных для применений аппроксимаций для статистики и функции риска байесовского правила классификации является актуальной темой исследований.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1) Получение аппроксимации (стохастического разложения) для статистики байесовского правила классификации. 2) Получение асимптотических разложений для функции риска байесовского правила классификации.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В ' работе используются асимптотические метода математической статистики.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. На основе результатов диссертации могут быть построены удобные для приложения аппроксимации статистики и функции риска байесовского правила классификации.

АПРОБАЦИЯ. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Избранные задачи теории случайных процессов и полей" (Москва, 1989г.), на Всесоюзном семинаре "Асимптотические методы математической статистики" (Москва, 1989г.), на Всесоюзной

^Гольцов В.О., Троицкий Е.В. Асимптотическое разложение плотности вероятности адаптивной классифицирующей статистики. - В сб.: Статистические проблемы управления, Вильнюс, 1976, в.14, с.11-32.

7

Харин Ю.С. Исследование риска статистических классификаторов, использующих оценки минимального контраста. - Теория вероятн. и ее примен., 1983, т.ХХПН, в.З, с.592-598.

научно-технической конференции "Применение статистических методов в

производстве и управлении" (Пермь, 1990г.).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты опубликовании в [1] - [4].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения,

двух глав (всего 7 параграфов), приложения и списка литературы (из

59 наименований).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Нумерация формул и утверждений ниже

соответствует нумерации в тексте диссертации.

Введение состоит из двух параграфов: §0.1 - описывается

математическая модель статистической .классификации наблюдения х в

одну из двух одномерных совокупностей, параметры которых

неизвестны; §0.2 - обзор имеющихся и полученных результатов.

Задача классификации ставится следующим образом. Рассматривается

случай двух совокупностей. Пусть у-(у1, ) и .....) -

' ' ' 1

выборки из совокупностей П1 и И^, соответственно, где у1(1=ТТп1) -одинаково распределены с распределением Р0 , г^^йп^) - одинаково

распределены с распределением Р0 распределения Р0 (1=1,2)

принадлежат некоторому известному семейству распределений вероятностей Р - | Р0, 9 е и1 зависящему от неизвестного

параметра О. Произведено дополнительное наблюдение х над объектом, принадлежащим одной из совокупностей 1^(1=1,2). Требуется построить правило приписывания нового наблюдения х к одной из этих совокупностей. Пусть q1 и q2 - априорные вероятности классов

П., и Предполагаем, что распределение Р0 имеет плотность /(х|9) относительно некоторой а-конечной меры ц. Решающее правило в этой задаче задается измеримой функцией ф(д;|у,г) ' на пространстве (ЗЕп,о(1п)) (гм^+г^+П, принимающей значения из отрезка [0,1]. По

наблюдениям (я,у,я) с вероятностью ф(£|у,г) относим наблюдение х к совокупности П2, а с вероятностью (1-ф(:г|у,<2)) относим наблюдение х к совокупности П1.

Критерий ф характеризуется функцией риска г(ф,91>62). Эта функция вводится следующим образом. Пусть

Р1 = Р^у^ф.е.,) = /ф(х|у,а)/(х|91 )|1(с1г) (0.1.1)

и

Р2 = Р2(У.2|ф,02) = 1- /ф(а;|у,а)/(а;|е2)ц«1х) - (0.1.2)

вероятности (условные при фиксированных значениях у и а) ошибок первого и второго рода, соответственно.

Будем рассматривать функцию потерь, принимающую значение 0 при правильном решении и значение 1 при неправильном. Тогда функция риска ( функция ожидаемых потерь ) равна: г(ф,01.62) = Ее 0 ад+я«^) = (У.г|ф,е1) +

+ д2Р2(у,2|ф,е2)]/П1 (у|61 )/П2<г;|е2)|л.(с1у)|а.(с1а) , . (0.1.3)

П1 °г

где /^"(У^) ^ПЯУ;}^) и /^(и^) = П/(2;,|92). (0.1.4)

В соответствии с байесовской постановкой предполагаем, что 91 и 62 - случайные величины, имеодие совместное распределение с плотностью тс(91,62). Дополнительно предполагаем, что 91 и 02 -независимые и имеют плотности распределения ^ (91) и тс2(92), соответственно, т.е. тс(61.Э2) = тс1(91)1с2(в2). Полные средние потери равны:

ХХг(ф,е1 ,в2)тс(в1 .е2)аа1ае2. (ои .5)

Байесовское правило ф0 = ф0{х\у,г), минимизируквдее полные средние потери, имеет вид

г 1, Кя.у.г) > к I. О, в противном случае

(0.1.7)

где

Я /(2:|е2)/П1(у|е1)/П2(2|ег)тс(е1,02^0^02

Т(а:,у,г)= 21п--. (0.1.8)

■ Я Л®|01)/П1(У|в1)/а^(а|ег)1С(91.02)46^02

к = 21п(д1^2).

ПЕРВАЯ ГЛАВА посещена получению аппроксимаций (стохастических разложений) статистики байесовского правила классификации. В §1.1 Главы 1 введены условия на распределения и доказывается Теорема 1.1.

Сформулируем ряд условий на распределения. Для краткости сформулируем условия, относящиеся к распределению (х,у), где х - из распределения а у-(у1.....уп ) - выборка из Р0 . Аналогичные

условия предполагаются выполнеными для (х,г), где х - из

распределения Рй , а г=(г......) - выборка из Рй .

' "г а2

(1.1) Для любых а > О и компакта К с н1

где у - оценка максимального правдоподобия параметра 91, построенная по выборке (х,у) = .....), символ Рд 0

соответствует совместному распределению выборки (х,у).

(1.2) Для любых 0 > 0 и компакта К с и'

где ^(¿г.у.Э) =

+1

Щх.У.В) =

l±(x |6)+2 il(yj|0)-(n1+1)El(0) J=1

X __ |i5(J|e+s)|ds +

)«/vii:+7 J

+ I J |i5(!/j|0+s)|ds -

0=1 |зК(Пп+1 )°/vil1+1

- (п1+1)Ее X л _ 1г5<з/-, |6+s)|as

isK^+i 1

= - in /(x|6), E± = Е^б) = EeZ4(-|0). 1=1

a©1

(1.3) Имеет место разложение

Vr^+1 (y-01) = h,

З.гц

Vn.,+1 n., + 1

где hj , 3=1,2 полиномы от ^(х.у.0.,), 1 < J, в частности

h,= - E21 (О, H, (x.y.9,),

sup 1 о^к.е^к

V2( lb.n.,1 >n?)

Достаточные условия для (1.1)-(1.3) даются леммами, аналогичными результатам работ Д.М.Чибисова8 и Р.Михеля, И.Ифанцагля9 с той лишь

+

^Чибисов Д.М. Асимптотические разложения для одного класса оценок, включающего оценки максимального правдоподобия. - Теория вероятн. и ее примен., 1973, т.ХУШ, в.2, с.303 - 311.

%lchel К., Phanzagl J. The accuracy of the normal approximation for minimum contrast estimates, Z.Wahrschelnllchkeltheorle una verw.Geb., 1971, 18, p.73 - 84.

разницей, что в этих работах результаты приведены для выборки

у =(и......у_ ) из распределения Рй , а у нас для выборки

1 п.,

(я,у)=<х,у1,...,у ), где у=(у1,..,,у ) также из распределения ,

а х может быть как из распределения Р0 так и из распределения Р0

(61 $ 62). В случае, когда х из распределения Р0 (т.е. из того же

распределения, что и выборка у) достаточные условия для (1.1) -(1.3) в точности совпадают с условиями Д.М.Чибисова для выборки размера п.,+1, а в случае, когда х из распределения (61 t е2) в

формулировках достаточных условий появляются некоторые новые условия относительно распределения Рй . Формулировки и

доказательства лемм с необходимыми изменениями, связанными с добавлением еще одного наблюдения х из распределения Р0 к выборке

у из распределения Pfl , совпадают с доказательствами Д.М.Чибисова и

поэтому приводятся в Приложении 1. Теорема 1.1

Пусть выполнены условия (1.1) - (1.3) и функции 7^(1=1,2) таковы, что

a) 1^(8) > 0 для 9 е R1,

b) г^ имеют три непрерывных производных на R1 и sup |itp^(6)| < <».

6eR1

Тогда статистика байесовского правила классификации имеет вид: •

. RjU.y) Rgfx.z)

TCc.y.z) = Tte.y.z) +---, (1.1.4)'

n?/2 n|/2

где T(x,y,z) = 2 | Kx.zjz) - L(z\z) - L(x,y|y) + L(y|y) } +

тс, (у) 12(у|у) я2(2) ь2 (г|а)

+ 21п-— - 1п-— - 21п-— + 1п-— , (1.1.5)

%л (у) Ъ2(х,у\у) %г(г)

для любого б > 0 и любого компакта К <= И1,

^ 51

1(у|9) = ^ Ш/Су^в) = ^ 1{у3|в). Ь(ж,у|0)= г(я|8) + Ь(у|в). ¿=1 Л=1

а2 а2

Ь2(У 10) = ^(УI » Ь2№.у|е) = Ь(Х,У|0).

Как будет видно в дальнейшем, функции риска байесовского правила классификации и правила, построенного с использованием статистики Т^.у.г), асимптотически эквивалентны с точностью до членов порядка о(п~1) (п0=ш1пСп1,И2>)• И в этом смысле, пренебрегая остаточными членами Л, (я,у) и ^и.г), можно статистику Т(х,у,г) заменять статистикой Их,у,г), имеющей более простую структуру.

Заметим, что' статистика, стоящая в фигурных скобках выражения (1.1.5), есть статистика правила максимального правдоподобия, часто рассматриваемая в литературе.

А.А.Боровков10 получил аппроксимацию статистики байесовского правила ТСя.у.г) статистикой, стоящей в фигурных скобках выражения (1.1.5), для задачи многомерной групповой классификации -с априорными характеристиками общего вида, удовлетворяющими

10Боровков A.A. Асимптотичейки оптимальные тесты для проверки сложных гипотез. - Теория вероятн. и ее примен.,1975, т.XX, в.З, с.463-487.

определенным условиям. Остальные члены разложения (1.1.5) имеют более высокий порядок малости. Используемый в работе А.А.Боровкова для одномерного случая подход к доказательству асимптотической оптимальности критерия для задачи проверки простой гипотезы против сложной альтернативы, применяется нами при доказательстве Теоремы 1.1. В зтом доказательстве также используются результаты работ Д.М.Чибисова8 и К.Михеля, Д.Пфанцагля9, связанные с асимптотическими разложениями оценок максимального правдоподобия.

В §1.2 получено асимптотическое представление статистики Кх.у.г) в виде

Я, (г,у) ^(¿г.г)

Т(х,у,г) = Т(х.у.г) +

3/2 3/2

П1 "2

Н11 Н12' Н21 Н22

где ТСж.у.гЬ Н + --— +---, (1.2.1)

/П1 /Г^ П1 Г^

Н = 21(а:|в2).- 21(х|е1) - (1.2.2)

статистика наилучшего правила классификации в случае известных параметров совокупностей, 1(х|0) = 1п /(х\в), н11= -2/п^у-е,)!, (^е.,),

-^-/п^су-е,) г2и|е1) - )Г1 о1) -

- 2 11(г|о1)г11(91)Г1(91) - г2(1|е1)Г1(е1) -

- Еэ(е1)г1(1|о1)Г2(е1).

Вид Н12, Н22 аналогичен виду К,.,, Н21 с заменой у, в1). 1^(9^. 1(6.,), пг £3(6,) на г, 71(х|62), 121(62), 1(02), г^, Е^О^, 1=1,2, соответственно.

для любого б > 0 и любого компакта К с И1.

В зависимости от объемов выборок и необходимой точности аппроксимации можно использовать те или иные части разложения (1.2.1). На основе этого представления в Главе 2 получены асимптотические разложения функции риска байесовского правила классификации.

Наиболее изученным в литературе является случай, когда распределения вероятностей, соответствующих совокупностям П1 и П2, являются нормальными.' Поэтому в §1.3 приведена аппроксимация статистики байесовского правила для специального случая нормального распределения с неизвестными средними и единичной дисперсией. В этом случае схема доказательства остается той же, но выкладки упрощаются, что дало возможность получить в явнсм виде члены асимптотического разложения до порядка о(п~2).

В том же параграфе приведены также результаты для многомерного нормального распределения с неизвестными средними и единичной ковариационной матрицей.

Пусть V = | N(9,1), 9 е Нр } - семейство нормальных

распределений, где е=(91,...,0 ) - вектор среднего значения, а I -единичная ковариационная матрица. Пусть у-(у,,..•,у„ ), где

У1=(У11.....У1р)Т (1=1.0,) и .....г1Ъ), где ,... ,21р)т

(1=1,п2) - рыборки из совокупностей с распределениями N(0^,1) и

N(9^,1), соответственно, где = С©^'.....Эр1') - вектор

среднего значения 1-й совокупности (1=1,2).

Получена аппроксимация статистики байесовского правила 1{х,у,г) статистикой

Т11 (а:,у) Т12(х,г) Т21(х,у) Т22(х,й)

•Т(х,у,а) - Т. +---+ -р---р— , (1.4.2)

и п„ о, пг " ^

^ п^г п^

И1 - - "2

где Т = ТЛх.у.я) = -(х-у)т(х-у)--—(х-г)т(х-г) - (1.4.3)

^ 0 1Ц+1 П2+1

статистика правила максимального правдоподобия, у, г - выборочные

средние. Остальные члены разложения (1.4.2) зависят от априорных

характеристик. Их вид дан в формулировке Теоремы 1.4. Здесь х, у,

г - представляют собой р - мерные вектора.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена построению асимптотического разложения функции риска байесовского правила классификации на основе полученных в Главе 1 стохастических разложений для статистики Т(х.у.г).

В §2.1 Главы 2 получено асимптотическое разложение функции риска г(ф,01,е2) (см. (0.1.3)) до членов порядка о(п~1) для ф=ф0,ф,ф, где

ф0 - байесовское правило классификации (см.(0.1.7)),

ф = ф(Х|У.2) = ( 1- ПРИ Т1Х.У.Е) > К (2<КЗ)

1 0, & противном случае,

ф = Ф(х|у.2) = { при Пх.у.г) > к (2<Ь4)

0, в противном случае.

Теорема 2.1. В условиях Теоремы 1.1 имеем 1. Правила ф0, фиф асимптотически эквивалентны с точностью до членов порядка о(п~1) в том смысле, что

г(Ф0,е1,е2) = г(ф,е1,е2) + е1(е1,е2),

г(ф,е1,е2) = г(ф,е1,е2) + е2(еге2), (2.1.6)

где

вир |=о(п~1). 1=1,2 для любого компакта К с И1.

2. Для функции риска г(ф,01,02),где ф=ф0.ф.ф имеет место разложение

(2.1.7)

О, Оз

гСф.е^бр) = г. +-+-+ ело, ,е?),

1 ^ ° 1Ц Й2 3

где г0 - риск наилучшего правила классификации в случае известных параметров совокупностей,

01 =

211(х|е1)(Е3(91) + Е12(91 ))1 1(91) + 212(а;|01)+ /(лг|в1 )-/(а;|в2)

+ г1 е^ > + 21^0:10^1^(0.,)

■ к0! >н>> ]|{^н-1(з)>

1 д 2 <Эз

г ,72

411(116,) [/(110^-/(^102)]

ке^аг)

{г=Н"1(Б)}

. (2.1.9)

б=к

о2=

211 (х|02)(Е3(02) + Е12(02))Г1 (02) + 212(г|02)+

+ г,(х|0г) + 211(ж|е2)г21(е2)

1(в2)1®Г<а?)

(Б)}

1 в

2 дв

4Ц(х\ег) [/(х\в1)-/(х\вг)} К02)Н^(х)

|{г=1Г1 (б)}

. (2.1.10)

Б=К

Н^(ат) = 2-^ [1(л;|02)-г(а:|01)],

(2.1.11 )

sup 1(91,0O)i=o(n_1) для любого компакта К' с R1. е^К^еК 3 12 О

В §2.2 получено асимптотическое разложение функции риска байесовского правила г(ф ,0., ,62) до членов порядка о(п~2) для специального случая нормального распределения с неизвестными средними и единичной дисперсией. Для многомерного нормального распределения с неизвестными средними и единичной ковариационной матрицей асимптотическое разложение функции риска байесовского правила до членов порядка о(п~2) имеет следующий вид:

г(ф0,е(1),е(2)) = j q1+ е3(е(1),е(2)),

i=o

D

где CL = 2Ф(--),

q1 =

D р-1

8 2D

5D3

(nrv) + [Р2(-

13D 5 - +

25D

2*D3

+ Р

'(2.3.2)

3 3 — + -

■>4 2D3

25 D

L I- 24D 4D3 J »■ D3

J"

3DJ

8D

№

3D

24D

/2%"

Ф - функция стандартного многомерного нормального распределения,

вид 01(1=2,4) дан в формулировке Теоремы 2.З.' Б - расстояние Махаланобиса между Л, и Г^,

D

+

2

2

sup |e3(e'1 \o^2')|=o(n~2) для любого компакта К с Rp.

Член а0 разложения (2.3.2) .соответствует риску наилучшего правила классификации в случае известных параметров совокупностей для многомерных нормальных распределений с единичной ковариационной

с

матрицей при q1=q2 • А.Мемон и М.Окамото изучали правило

максимального правдоподобия и получили асимптотическое разложение функции риска до членов порядка о(п~2) для случая многомерных нормальных распределений с неизвестными средними и неизвестными, но одинаковыми ковариационными матрицами. Члены <20 и разложения (2.3.2) не зависят от априорных характеристик и совпадают с членами разложения в их работе, соответствующего случаю единичных ковариационных матриц. Остальные члены разложения (2.3.2) зависят от априорных характеристик. Разложения (1.4.2) и (2.3.2) позволяют сопоставить байесовские правила и правило максимального правдоподобия.

В Приложении 1 доказываются Леммы 1.1 - 1.3 §1.1 Главы 1.

Приложение 2 содержит в необходимой формулировке результаты работы А.В.Бернштейна11, используемые при доказательстве Теоремы 2.1 Главы 2.

В заключение автор выражает искреннюю признательность Д.М.Чибисову за руководство, внимание и поддержку при выполнении этой работы.

Основные результаты опубликованы в работах:

^Бернштейн A.B. Асимптотически полные классы критериев в задачах различения статистических гипотез. Дисс. на соискание уч. ст. доктора физ.-мат. наук, М.: НИИАА, 1985, 346с.

1. Баласанова Е.В. Асимптотическое разложение вероятности ошибки байесовского правила классификации.-В сб.: Вероятностные задачи дискретной математики, М.: МИЭМ,.1988, с.49-55.

2. Баласанова Е.В. Асимптотическое разложение функции риска байесовского правила классификации. Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Применение статистических методов в производстве и управлении", Пермь, 1990,Т.2,с.277-278.

3. Баласанова Е.В. Стохастическое разложение для статистики и асимптотическое разложение для функции риска байесовского правила классификации. Деп. в ВИНИТИ, № 6327-В901, 19.XII.1990г.

4. Баласанова Е.В. Асимптотические разложения статистики и функции риска байесовского правила классификации. Межвузовский сборник научных трудов. Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермский университет, Пермь, 1991.

Подписано х печати

Формат 00x90/16.

Усл. печ. л. 1,0. . Уч.-«ад.л.

Тираж Ю0~ аха. Заказ № ш

Ордена 'Эвах Почете* издательство Московского университета. . 103009, Москва, ул. Герцева, 5/7. Типограф811 ордене 'Эвах Почета' издательства МГУ. 119899, Москва, Ленинские горы.