Асимптотическое поведение решений обыкновенных и многомерных линейных дифференциальных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукопяои

Артемьева Светлана Михайловна

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

01.01,02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой огепеня . кандидата физико-математических наук.

МИНСК - 1993

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета.

Научные руководители: кандидат физйко-математических наук,

доцент Михаил Васильевич Кожеро, кандидат физико-математических наук, доцент Сергей Алексеевич Мазаник Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корр. АН Беларуси Николай Алексеевич Изобов, кандидат физико-математи^ ческях наук,доцент Леонид Федорович Янчук

Ведущая организация: Гомельский государственный университе:

им. Ф. Скаршы

Завета состоится декабря 19ЭЗ года в 10 часов на заседании специализированного Совета К 056.03.10 в Белорусском государственном университете ( 220 080, г.Минск, проспект Ф„ Скаршш, 4; главный корпуо, комната 206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан Ц- ноября 19ЭЗ года.

УченШ! секретарь * Специализированного Совета, • кандидат физико-математических

наук, доцент —г. . ' В.И.Корзюк

ф.

ОЁЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ " . . .

Актуальность темы. В основе современной асимптотической теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений лежат исследования А.М.Ляпунова, изложенные в его монографии "Общая задача об устойчивости движения". И, как известно, одним из аффективных инструментов изучения асимптотики решений таких систем является математический аппарат,-разработанный в рамках теории характеристических показателей.

Многомерность области определения решений вполне разреши-«

мых дифференциальных систем обуславливает различные подходы к -обобщению понятия характеристического показателя Ляпунова.В ра-' ботах Э.И.Грудо и П.Г.Лзсого для функций,определенных на положительном октанте. ,была разработана теория характеристических векторов и применена к исследовании пфаффовых систем. И.В.Гайшун обобщил некоторые аспекты этой теории на случай банаховых пространств.Другой подход к обобщений понятия характеристического показателя Ляпунова на многомерный случай был предложен М.В.Кожеро. Им были введены в рассмотрение слабый и сильный верхние показатели и исследованы их основные свойства*

Характеристические векторы и слабые (сильные) верхние показатели, а также другие асимптотические характеристики линейных систем являются инвариантами преобразования Ляпунова.!!, в частности.асимптотические характеристики приводимой системы будут такими же как у соответствующей системы о постоянными коэффициентами .Это замечание, разумеется, не начерпывает всех.трудностей исследования приводимых оиотем, поскольку, во-первых.далеко не просто определить«является ли данная сяотема приводимой, а во-вторых, если даже факт приводимости известен заранее Скак, например,в случае периодических коэффициентов), все же остаетса

неизвестным само преобразование,равно как и получаемая в результате него стационарная система.

В диссертационной работе этот вопрос решаегсл для линейных систем с функционально-коммутативным оператором, а также исследуется влияние специальных возмущений на асимптотические характеристики систем Лаппо- Данилевского.

Цель работы. Получение коэффициентных необходимых и достаточных условий приводамооти линейных систем с функционально-коммутативным оператором и изучение влияния специальных возмущений на асимптотические характеристики систем Лаппо-Данилевского.

Методика исследования. Методика, используемая в диссертации, основана на общих и специальных способах изучения дифференциальных систем и базируется прежде всего на теории характеристических показателей Ляпунова при рассмотрении линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и на теории характеристических векторов при рассмотрении,многомерных линейных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. По'лучены новые условия,при которых возмещения не влияют на асимптотические свойства системы Лаппо-Данилевского,а также условия,при которых те или иные асимптотические характеристики изменяются в результате действия возмущения,однако- при этом остаются известными. Установлены необходимые и достаточные условия приводимости линейных систем с функционально-ком-ыугатшшшл оператором.

Теоретическая и практическая ценность. Изучение асимптотических свойств' линейной системы сводится к изучению асимптотических свойств упрощенной, в том или ином смысле, системы.

На защиту выносятся"следующие ¿результаты; - теоремы об асимптотических инвариантах систем с функционально-коммутативныгл оператором при специальных возмущениях;

- теоремы об аоимптотических инвариантах систем Лаппо-Дшшле-вского при специальных возмущениях;

- необходимые и достаточные уоловия приводимости систем с функционально-коммутативным оператором.

Апробация. Основные результаты дясоертации докладывалиоь в институте математики АН Беларуси, на межреспубликанской конференции творческой молодежи ( Минск, 1992), на научной конференции математиков Беларуси ( Гродно, 1992) и на математической конференции, посвященной 200-летию со дня роддения Н.И.Лобачевского ( Минск, 1992).

Публикации. Основные результаты выполненных исследований представлены в работах / I - 5 /.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы,включающего 107 наименований. Объем работы составляет страниц машинописного текста.

Во введении описывается краткая история рассматриваемых в работе аспектов теории дифференциальных уравнений и излагаются основные результаты,полученные автором.

Первая глава состоит из пяти параграфов. §1.1 носит вспомогательный характер; здесь изложены общие сведения о системах Лаппо-Данилевского.

В § 1.2 доказываются необходимые а дальнейшем свойства коммутирующих между собой матриц, а именно : - если АЮ н m — функционально-коммутативные матрицы и

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

P(WrUii),

(I)

то существует постоянное преобразование, приводящее одновременно матрицы 4 (4) и Р[±) к блочно-треугольному виду с равными размерами соответствующих блоков и единственным собственным значением ^в каждом блоке;

- если ( р^сСЪ — консервативная и коммутирующая со своей производной матрица а выполняется условие (I), го существует постоянное преобразование С • которое приводит матрицы 4 Ю и 0.Щ одновременно к блочно-даагональному виду с равными размерами соответствующих блоков, причем каждый диагональный блок матрицы С0.И)С 1 имеет единственное собственное значение.

В § 1.3 рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

х и0) (2)'

гд'ё — кусочно-непрерывная, ограниченная матрица размерности П* и совместно «о ней система' *

/ 3

I -- №РЮу > .-уёИ*, * б Не, + о-), о)

где — такая кусочно-непрерывная матрица размерности п*п .что матрица

ограничена.

При предположении, что матрицы ДЮ и функционально-коммутативные и выполняется условие (I), доказано, что

- если р

Н к (Л/Г)-Е)Р1сУг.И 4 т< ^ + ,

то системы (2) и (3) аоиматоТическн экьдаалентны;

•• 1

- еоли ,_ А

Ч тт> з

то фундаментальная матрица системы (3) .'представляется в

Вйде №-■ где 5(4:)— обобщенная матрица Ляпунова и следовательно по-

казагели Ляпунова систем (2) и (3) совпадают;

- если 4("t) — непрерывная матрица и

Ä'IL ¿1 М - Ci ; d & I ) L п>, (4)

где^ (I)— собственные значения матрицы /¡-Ц), го t \

'•'S'fe.Hjev1^' ............

где Л;, — показатели Ляпунова системы (2), J|/i — показатели Ляпунова системы (3);

- если /Ц-t) — кусочно-непрерывная матрица и liab (l) -1 , то показатели Ляпунова систем (2) и (3) совпадают;

- если система (2) правильная и = ... - Си, в уоловии (4),

♦

го система (3) также правильная.

В§ 1.4 рассматривается более общий случай, когда сяотема

(2) является системой Лаппо-Данилевского. При предположении,что

выполняется уоловие (I), доказано, что •t

- если.

^ iill(MzyE)Fll)Uz = (?,

г Чс

го фундаментальная матрица системы (3) предотавляется в виде

Уа),е*р ж),

где —обобщенная матрица Ляпунова;

- если решения системы (2) ограничены и

г*

. I (А1т)-Е)Р(С)Ыг- 6 ли - , (5)

то решения системы (3) также ограничены;

- если решения системы (2) ограничены, выполняется условно С5) а

Ь* 14 ^ 1л > -

то системы (2) и (3) асимптотически эквивалентны;

- в -

- если (2) — правильная сиотема Лаппо-Данилевского и

L J IJ (Нг)~Е)Р[г)ИЛ = о, (6)

го показатели систем (2) и (3) совпадают и система (3) правильная; ^

- если Qt-t)^ j P[V)dZ является консервативной матрицей и вы-

+е

полняется условие (6), то показатели систем (2) и (3) совпадают.

В § 1.5 получены необходимые и достаточные условия приводимости системы (2) о функционально-коммутативной матрицей коэффициентов, а именно: система (2) приводима тогда и только тогда, когда

I} fiPiv-muz* ы + на),

io

где — блочно-треугольная форма матрицы P/i) ; I fé) — диагональ этой блочно-треугольной матрицы; — некоторая ограниченная матрица,

2) h^yAOdz'- hi^jiii ti),

где (i--jt___, н)— собственные значения блоков матри-

цы /) (t) » Jll-, (t) ~~ ограниченные функции.

При предположении, что все собственные значения матрицы P(t) вещественны,система (2) является приводимой тогда и только тогда, когда имеет место представление

S£piv)târ- Ы -HU-fc)

с ограниченной матрицей Rit).

Во второй главе, которая также состоит из пяти параграфов, рассматривается вполне интегрируемое многомерное линейное дифференциальное уравнение

РМЬу-к), (7)

где Р(х)— непрерывно дифференцируемая операторная функция .ограниченная на замкнутом выпуклом телесном выступающем конусе пространства ßw и со значениями в пространстве^

В § 2.1 вводится понятие функционально-коммутативного опе-• ратора и доказываются аналоги результатов, которые известны для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и будут необходимы в дальнейшем. В частности показано, что характеристические множества решений уравнения (7) с функционально-коммутативным оператором, входящих в некоторую фундаментальную систему, сов^ падают с характеристическими множествами функций £/хр (х) (j-.-l,-. , где — собственное значениеJ -го блока блоч-но-треугольной матрицы Q(x)*J Р((г)с1о~.

В § 2.2 совместно с уравнением (7) рассматривается уравне-

где 5 (х) — ограниченная непрерывно дифференцируемая операторная функция, заданная на X и со значениями в пространстве а также система

di -- lx)Pt (x)3t dx<+... tJM , 19)

гдеД. (x) (i--it...--матрицы размерности , как частный случай уравнения С8).

При предположении, что Р(х) и Ых) —функционально-коммутативные операторы и для любых <Xt S Ь % ', h, fié Л"1

= P(s)¿6(cO/u , СЮ)

д&сазаио, что

- если II jX5/ir)cH 6 + — >

Хо

то некоторое фундаментальное решение уравнения (8) предотавлл-■ ется в виде » Цх) es*f> I^N^diT , HD

где I, (х) — матрица Ляпунова;

~еСЛЙ Ы" 1&ММП1- 0,

то некоторое фундаментальное решение уравнения (8) предотавля-

где матрица £(х) обобщенно ограничена и, кроме того, характеристическое множество любого решения уравнения (8) совпадает с характеристическим множеств! л некоторого решения уравнения (?) и наоборот, характеристическое множество любого решения уравнения (7) совпадает о характеристическим множеством некоторого решения уравнения (8);

"в0Ж . . с ; (12)

где 5/,..., — собственные значения матрицы ^ (сс)

(1*1,X — характеристический вектор некоторого решения уравнения (7), тоул *. С,^ является характеристическим вектором некоторого решения системы (9), причем любой характеристический вектор любого решения этой системы может быть получен таким образом;

- если выполняется условие (12) и" уравнение (7) правильное,то уравнение (9) также правильное.

• В § 2.3 рассматривается более общий случай, когда уравне-.

* ,

ние (7) является уравнением Лашю-Данялевокого. При предполо-

*

жении, что выполняется условие (10), доказано, что ~ е0ЛИ ^

х» ■ (ХЗ)

+ 4вА) ! к, Ыь > —> ) - 0 ,

то некоторое фундаментальное решение уравнения (8) представляется в виде

ОД'» е/*/» ^Р[1г)с(<Г. ¿¿х),

где матрица ¿(^обобщенно ограничена;

- если решения уравнения (7) ограничены и выполняется условие г

I КЬ + +

4 1 Х^, ...т ЗС„~)1с1хм 4 /Иу £>•=> ,

го решения уравнения (8) также ограничены;

- если решения уравнения (7) ограничены и выполняется условие

также ^ ^

то некоторое фундаментальное решение уравнения (8) представляется в виде (II);

- если уравнение (7) с функционально-коммутативным оператором правильное й выполняется условие (13), то уравнение (8) также правильное и, кроме того, слабый ( сильный ) верхний показатель любого решения уравнения (8) является олабым( сильным ) верхним показателем некоторого решения уравнения (7) и наоборот, слабый ( сильный ) верхний показатель любого решения уравнения (7) является олабым ( сильным ) верхним показателем некоторого решения уравнения (8),

В § 2.4 рассматривается уравнение (7) о функционально-коммутативным оператором и для этого уравнения доказываются аналоги теорем § 1.5.

В § 2.5 вводится понятие слабо функционально-коммутагивно-го оператора, который, вообще говоря, не является оператором Лаппо-Данилевокого и исследуется,взаимосвязь.некоторых асимптотических характеристик многомерного линейного дифференциального

*

уравнения и его сужения на некоторую прямую.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Артемьева О.М. Асимптотическое доведение решений линейных дифференциальных систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов.-Тезисы докладов Межреспубликанской конференции творческой молоде&и.(Минск, 1992).0.185.

2. Артемьева С.М. О приводимости линейных дифференциальных систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов. . -Тезисы докладов конференции математиков Беларуси.(Гродно, 1992).Часгь 3,о.6.

3. Артемьева С.М. Многомерные линейные дифференциальные уравнения о функционально-коммутативным операгором.-Тездсы докладов математической конференции,посвященной 200-летии со дня рождения Н«И,Лобачевского.(Минск,1992). Часть 2,с.Х8.

4. Артемьева С.М. О приводимости линейных дифференциальных систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов// Вестн. Белорус, ун-та, 1993, сер.1,фйз.,маг.имех., №Э,с.54-57.

5. Артемьева С.М.,Сурин Т.Л. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных систем при А(4)-возмущениях.-Мя., 1993.-15 с.-Рукопись представлена редкол.а."Вестн.Белорус,унта".Деп. в ВИНИТИ 03.06.93, Й 1497-В93.

9 *