Автоморфизмы и алгоритмические проблемы для разрешимых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

19 1 1 2 9 ?

Г I

РОССИЙСКАЯ АКЩШЯ НАУК СИШРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГАТй.'АТИКИ

На зтрават рукописи

ГОУЧТЬКОВ Виталий Анатольевич

АБГОМОШЗ.И И ИГОНПТЖЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ДНЯ РАЗРЕВЯ.ИТ ГШШ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и -теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-матемаигчесетт наук

Бовосибгрсн. - 1992

Работа выполнена в Яясти^те информационных технологий и прикладной математики СО РАН , г. Смок Официальные оппоненты: доктор (Ьизлко-г.тагематэтееких наук

профессор С.К.'Лухин,, доктор физико-катекагпческпх наук профессор Н.С.Романовский, доктор физико-математических наук профессор АЛ.йлелыаш Ведущая организация - Сатгт-Петербургсгсй государственный

университет

О^г. в $

Заадата состоится__

часов на заседают специализированного совета Д.002.23.И при Институте штештакп СО РАН по адресу: бЗОООО.Нсвосабзгрск, Университетский пр.4.

С диссертацией иояно оэпахог-згться в библиотеке Института математики СО РАН. —. л

39-Ог.

Автореферат разослан

155

Ученый секретарь специализированного совета кандидат Л4зикоч.итематпчеслкх наук «с -

Л.Г.Скоснрскпй

Актуальность теш. Понятие автоморфизма является общим в математике. Оно имеет смысл для любого шгояества,наделенного некоторой структурой. Для любого типа алгебраических систем - полей,колец,модулей,групп - симметрии соответствующих множеств,сохраняющие основные операции .называется автоморфизмами. Поскольку симметрии являются важнейшими характеркстика-

математических ( добавит.';: не только математических,но также физических,хпьяческпх...) объектов,описаше автоиор&гзмов является актуальной задачей. Автоморфизмы, а их совокупность в классических случаях образует группу относительно операции кошозицш, интересна не только как выразители симметрии. Важные класск групп ( например, л-атричяне группы ) воплощаются в образе групп автоморфизмов. В ряде случаев их изучение призо-дат к созданию глубоких теорий. В'современных исследованиях роль автоморфизма как классифвдвдтщего инструмента расширяется. Так, например,геюгие понятия теории моделей - ^-категоричность, стабильность теорш - иоено сторЕлудзровать на языке автшлорйпзт.тов.

Евд результатов об автоморфизмах в теории групп,как-то: теорег.ш Нильсена и Уайтхеда об автоморфизмах свободных групп, Г^пюца - о существовании внешего авгощйизка у конечной нециклическое р-гхушш,7ош сона - о нильпотентности группы,до-. пускапцей регулярный автоморфизм простого порвдка.пркзнаны классические ( сгл. [2зЗ , [24] , [25^ )„ Из сравнительно недавних достижений большой резонанс вызвала теорета Беретена [26] о конечной порогденности группы неподвижных точек авто-корйизш свободной, группы конечного ранга,высоко оценена классификация автоиорувзшв свободных груш, осуществленная Еестви-

- 3 -

ней л Хаклелеи .Интересна описания конечных групп аззто-морйазмов свободных групп .полученные в Новосибирске В.Д.Мазуровым и Д.Т.Храмцовнм [28] - [30] . Эти л другие результаты по авгоморйлзгам груш отражены автором в обзоре [31] ( стл.такке 125] >.

Современная теория разрешав групп инопш обязана А.И.Мальцеву и I! .К. Каргаиодозу, определивши важные направления ее. развития, в том числе и в изучения групп автоморфизмов. Из матема-тяЕов.вкесшзх вклад в нве представления о группах автоморфизмов разрешимых групп,ко&но оплетать 'Еахкута я Нотазуки [32]- • [35] ,есследования которых наиболее близки автору,а такие Андрег дакгса ,Ърайнта, Гроувза, К. 1^пту, Ц, !! .1 'ерз-чякова, Д. Робинсона „Глй-некека и Ллбека.А.Я.Шлелькана ( ет. С3б3~[143 ).Изучение проблей эядэморфноЯ сводило свызвано к гпзшг одшп; об!ЦП.: вопросов 1нндона [453 ( си. ганке [46] ). Наконец,исследование групп автомортзшв проконечных групп,проводпгюе в диссертации,относится к сравнительно новому направлении,вклотаще.\!у работы йь бодкогс [47] .С.В.Мельникова {483 » ХерЗорта п Рзбса [49] , перспективность которою обусловлена гак связятт расс:.:а-р::вае-гах вопросов с теорией поле£,так к наличке:.: пхюгпамгы псследоЕа' кий.восхоЕЯЕеЕ к Хрстекдику н Лелпна.

Цель таботы.Яредставить :.:егод интерпретации дтс^аптовнх лаз нений в разрешимых группах и в свободных кольцах,дать его приложения з решеншг проблем эвдокорфной сводиглостп и разрепи1.:ос?л' бескоэййяциентшгх уравнений в указанных скстешх.Бвестп группы катрэц ватетов г огшеагь с ах пои'оцью группы азгог.:оргёз.'.:ог свободных метабелешх груш конечных рангов,вплетая репенпе ::згес?-ной прсблеш о ЕозетоЁ лородденност:! зтпх групп для ранга боль

его 3. Списать примитивные системы элементов в свободаых"!®-аболевых и в свободных метабелевых нидьпотентннх группах,ре-ив вопрос об их годутаротзанности со овободной гдуппн. Описать ормачыше автоморГизш свободных разрешив трутш. Реншть пробег,ту Любоцкого о пороздаекосги групп автоморфизмов сзойодных ро-р-груто ка основе исследования породдаегдосит групп автомор-измов свободных ьгетабелевнх про-р-групп. Решить проблемы : .И.Каргалолова о существовании конечно порожденной кшгьпотект-ой группы с неразрешимой универсальной теорлей,Ушгсона - о шинке вербальных подгрупп полвдтишческих групп .Бахыу та и Мочизу-и - о випаигеши альтернаипэы Тптса для г дупл автоморфизмов ко-ечно пороаденних разрешил« групп.

Научная новизна. Все осповшэ результаты диссертации являются

ОВЫШ.

Практическая пепность. .Диссертация носит теоретический харак-ер. Подучеише результаты могут быть использованы в научной ра-оте в теории груш к в теории колец.

Публикацэтт.Ссномне результаты диссертация опубликовали в ра-отах, список которых приведен в конце автореферата.

Апробация работа. Результаты диссертации докладавались ка 1'ен-рпародннх конференциях по алгебре ( Новосибирск £252 ) Еаргаул ), на 1С и 1С Псвсонзянз алгебраических конференциях, на б, ,11 Всесоюзных сгтгхозлугах по теории групп,на Сколах в Барнауле 19£8 ) я Смс::е ( ТГС5 ),па алгебраических сегагаарах в !5Т,Т СО Щ,.ЧП',"ТП1г,УрГ7,АГ/,:^аз17,з:!ТУ, а такте на сеипнарах угшверся-этоэ Раютоба ( Пнннанег ) к Гашеток ( Оттава ) в ГСападе.

Сбт-е;.* и стрг:;тпа габоты.Дассертагзм содержит 229 страяяц иа-ткмгссяого текста и состоит аз введения и 5 глаз,разбитых ка -18

параграфов,а такие списка литературы,включающего 156 наженова-кий. Основные результата автора аЗорцулированн в вдце 25 теореи, 23 лредюяешп"! а 33 следствии,по которым использованы сквозные нумерация'. Рзвестше и вспомогательные утверждения в ввде теореп и леь?.т теют двойную куперадао.

КРАТКОЕ СОДЕШНПЕ ДйСеЕНШЩ

Глада I. содержит излогенпе гатода интерпретации де<х;Ш?овгсс уравнений в группах и кольцах, Интерпретация устаавливает эквлвг лекгность газреигг^.сосг: некоторых алгоритютескщс проблем з группах ж кольтах с разрешносгъю произвольных дподантовых уравнений, Перазтеталость последней гфоблегзг.дсЕазаннач ?..3,Па'гдасе.£пгсе:.: Г5( влечет неразрешимость соответствующе!: проблем алгебры.

Бескоэ.ффицпенгныи уравнением в группе ('кольце } 0* называется знгаяете вида где - грушевое ( кольцевое ) слово от набора Ж переткг

них, - элемент С- -Проблема разрешимо г и й е с к о а й|и ц г б н г в о г о уравнения ( п.р.б.у.) - ото вопрос о еуцествовапш алгоритма, быясиящсго существование решения в б- у дроизвольного бескао^тшпгсЕО! уравнения. Проблемой э н ц о и о р Л н о 2 сводя м о с г к Сп.э.с.) для группы ( кольца ) называется вопрос с существовании алгоритма, вняашяцрго по любой паре элементов у является ли образ ом пря некоторой элдонорпетг.® группы

С кольца ) 0* ,али нет. Если (г - свободная группа ( кс цо ),то п.а.с. редуцируется к п.р.б.у. Еслл ранг От прл отс бесконе чек, то этп проблеш рамюсилыш.

Спределяпцпй результат в главе I -

ТК0Ж1А I. Т!усть К1^ - свободная тпгльпотептпая группа рагт-га 2 ступенл иильпотектяостл Т ^ Г. Тогда но Еролзволь-

>:.5у диофактову уравнению Q^) можно эффективно выбрать та->й элемент W^ к такое бескоэфЛициентное уравнение J|. ,что оно имеет решение в груше N^ тогда и толь-з тогда,когда уравнение разрешимо в голых числах.

Отсвда вытекает неразрешимость п.р.б.у. для группы ф2, % 9 ) ( следствие I ) и неразрешимость п.э.с. для грушт .V Х| 9 ) яри достаточно большом ( теорема 2 ). Аяа-

V .

эгпчные утверждения справедливы для свободных колец различных яогообразий: абсолютно свободного.свободного ассоциативного , вободного лиевою и нх свободных кильпотектпых факторов ступени ' э ненъше 9 (тесретш 3-5 ). Псе это - результаты $2. Следующий 3 посвящен доказательству аналогичных утверждений для свободных этабелевкх ( теорема 6,следствие 4 ) и свободных разрешимых групп ольшей ступени ( теорема 7,следствие 5 ). В §4 приводится решение роблеш Каргалолова о существовании-конечно побежденной ниль-отентной грутпш с неразрешимой универсальной теорией - такая русла явно строится в доказательстве теореш 8.

метод интерпретации диофаггтовкх уравнений,излокенный в главе I, олучил свое применение и развитие в работах Ю.Г.Ллейтана £5l]-{52], :Л1.Вэпина [53}-[м] ,а таклее-С.Б.Айвазяна,З.Г.Дурнева.А.Г.Пшенич-:ого,Г.В.Кряй;овских и Г.ПДукина и др. Некоторые из результатов втора при этом были уточнены. Например, в отмеченных выше утверж-;ениях г/ояно снизить ступень нильпотентности,ш, наоборот,повысив ¡тупень нильпотентности,снизить ранг в п.э.с. ж т.п.В заключение ; главе i приведен краткий обзор этих работ.

Глава 2 посвящена описании трупп автоморфизмов свободных матабе-;евнх групп конечных рангов. Проблема описания групп автоморфизмов :вобоцных разрешит,их групп известна давно. Как проблема АЛ.Мальцева она з явном' виде сформулирована М.ГТ.Каргаполовш в I-к издании

Коуровской тетрадп под Ж.33.

Вариант автора описания группы автоморфизмов сво-

бодной метабелевой грушш ранга 3 .в виде произве-

дения известных групп с лрггведешгегл многочисленных деталей дается в теореме 9 и ее доказательстве в ?7. Цредацущие §§5-6 посвящены построению групп матриц внчетови свя-зущнх эпиморфизмов глелду еш.я. Такое пазвагек вкратце объясняется следувдяш обстоятельствами. Если рассмотреть в матричной груд не над ассоциативны!.; коммутативным кольцом 1С подгруппу, стабн- • лпзкрувдзш некоторый вектор V ,то ее,вообще говоря,нельзя пред-ставить,как это было бы в случае ноля,матрицами над К размера ка I ыеньше,включив V' в базу. Для кольца К переход к меньшей размерности связан с обращением одного нз элементов к6К,т.е. с появлением "особннносги". В работе предлагается "разрешать" особе: ность,переходя к катрачным готлотфнык образа:.; - группа:.; матриц вычетов. Банник обстоятельством является тот такт,что мы сразу исходам па группы матриц над кольцом К с добавленной особенностью 10*,как бы решая обратную задачу.

В §8 дается доказательство того, что любой автоморфизм группы Ди^Мд/ прнявляется ручным, т.е. индуцируется некоторым автоыорйязгои свободной группы Г , Аналогичный результат

~ Л

получен Балеток и Мочизукк £обЗ . Автор работал незавнспгло л сообщил о своем доказательстве в докладе на Б-м Всесоюзно:: сшшо-зиуме по .теорзш групп ( Москва,1584 г.),где узнал о существовании доказательства Бахмута ж Мотазуки.с которым-позкакоглзлся уже после подготовки свое!: работы .£131 з печать. Доказательства супе с венно различны.

Глава 3 содержит утвервденля о при г л т п в н ы х с с с • у -е. и а х элементов групп Ог^ .свободных в шогооб-

- В -

эазиях.т.е. о таких наборах злементов,которые могут быть допол-гены до некоторой базы всей груши (у^ • Вопрос об ивдуцирова-иш примитивной системы элементов з (г^ некоторой аналогичной системой свободной группа Г^ является более общим,чем вопрос эб индуцировании автоморфизма группы автоморфизмом груп-

1Ы . Центральные утверждения 59, полученные совместно с Н. I К. ГУпта,следующие.

СТЛСТШЕ Произвольная примитивная система из А^р-Ц? эле- ' ментов группы Мдд 3, С. любое ) ("т.е. свободной метабеле-

вой нильпотентной группа ранга И/ ступени С- ) поднимается примитивной: спегегн элементов группы М- При ¡\Г7/ 4 она Поднимается далее до прт.штивной систеш элементов группы .

Как показывает предложит 5, оценка 9.— % при 3 точна»

Следующий посвящен лзучсшпо исключительней группп точнее ее подгруппы ХД«.1Мд .состоящей пз автоморфизмов, индуцкрушщх тодцество в факторе по ко!г.уганту. Груптщ Д и в отличие от драгах рангов не только содержат

неручные автоморфизм, но да;:;е не конечно породнены, ¡34] .

ТЕОРгГ'А Í4. Пусть Н - конечно порожденная подгруппа группа 1АиШ4 • Тогда найдется такой придавший элемент группы ^ вида И'2} , , ас. - элемент фиксированной базы группы М3 , который не переводится элементом из И в элетга Л

СЛ!1дСТИ{Е 14. Существует примитивна* элемент Г1упнн М- ,

ГТ

не псщЕикЕащийся: до позитивного элемента гр^ттли Н^ .

Теорема 14 усиливает теорему Еахг.:ута-"очязуки о бесконечной порожденное?!! группы М ^ . Ее доказательство ос-

новано на ьитодах главы 2. Следствие '14 рекает проблему из

Заключительный главы содержит фэрьулпровкз и доказательст ва следующих критериев пр-тютизнсста систем элементов группы

Система = , . . . , элементов группа Мл прими

тквна тогда и только тогда .когда выполнено одно из следувдих разе носильных утверадений:

Ш. Идеал.породентй в кольце 1\к— Ж СМ^/Мл] всеш мине раш порядка глтрпцн -=- /) ~

база Ми , 0}/дЭС: - частике производные £<окса со значения!-* в У\.

К* . -

совпадает с .

К2. Существует матрица В ■ размера Цх щ с элементами из / такая,что В — С - единичная матрица размера щ, .

КЗ. Существуют производные уокса ее значениями в Д

МЮМ.ЧТО Ю; Сф — $ .

ХритериЗ М ейоплулнровгш и доказан ЕЛ.Тимошенко в [553 для случаев ила И, — 3. Он известен ( см. .[32^ ) для

т, — И а легко докааы-^ается в случае .Разбирается

оставайся случай Ш—.причем вначале только .для Ш-=-4} ( теорема £5 ) ,а устанавливается равносильность прз веденных критериев.

Из этих результатов следует алгоритмическая разрешит,гость прг иитивности спстеш элементов группы Мц, -

Глава 4 содержит ресения некоторых конкретных проблем отност телько гвтог.:ор$пз:.ТОБ а вербалышх подгрупп разрешимых групп. Автоморфизм ¡¡9 группы 0- называется нормальны к, " если он оставляет инвариантной лпбую нормальную подгруппу [\/ к( нечного шдекса. Все по^'ллыше авзопорфиз;.а образуют подгрупп: . Изучение норг/лльных автоиорйязмов вдет от раб!

н/

ЕаГкирха об автоморфизмах групп Белу а, в проконечког.; случае про: далось Еарденоы к Рпттеро:/: ,в декретной случае - Любови

■ч

[57^ и Луэ .независимо установивший,что 4ubjfeTtlL). Основные результаты автора о нормальных автоморфизмах собраны в §12. Отметим 23 них теорему 46,в которой устанавливается совпадение Lütg .для любой свободной неабелевой разре-i шмо2 группы &

Основной результат §Í3 - теорема 19 - о влояимости яекоторах сплетений в группы автоморфизмов конечно порожденных разрешимых групп. Он решет две проблемы Еахнута-'Точнзуки нз [59}.Е частное- с! та,уста'1газл!гваетая, что на группах азтоыорйизпоз конечно порожден«* них разреигпткх групп не выполнена альтернатива Титса ( сг.т.\40]). Друпш способом это независимо установлено Хартли [бо}.

Вербальная подгруппа vQ~ теет конечную пг л .ft тг н у £ , если лвбой. элемент яредставии как произведение t зна-

чений слои в группе (г , Основное утверждение §54 - те си-

ре;,я'20 - устанавливает конечность шршш любой вербальной подгруппы V"6* псшщиклнчэскоВ группы (г .тем сашм решая проблему Уплсока доказавшего это утверждение только для внешнековд-таторного слова 1Г

Сяава 5 посзшщена вопросу о лорозяаекости в топологическом смысле груш авталорсТмзиов свободная прскокечпых групп, свободных про-р-1'Еупп л свободкнх групп з метабелзвых етогообразиях про-р-групл. Группа ( непрерывных) аззачоргТизтзов конечно порозденноЗ прокояечной группы 6- наделена естественной топологией, в которой опа такие прокотгетаа. На конференции по прононечнш группам в Оберволъ£ахе ( ISSG ) Любоцкий явно поставил в общем-то известный вопрос о конечной иороздекноста Дч,"Ь&* .если G"— - свободная про-р-груша конечного ранга ft, . 3 Но представлен нроконечный аналог влакегая Бахнута группы lAicbíÜ^ IА.-азтоморТизиов свободной штабелевой

К«

- и -

про-р-груяпы в группу матриц над кольцом йорпальнях степев

а я.

тзх рядов Д® с целила р-аднческшиг коэ^-иццекташ. Аналоги*

НО гйша , й(гр/ (йш » ^^ в

группу катрщ над Д^'?) - ксдьцогл формальных стеленных ряде с коэ®й:циенташ лз простого поля характернотикк р - . Укаг ное вяог.ешю сразу позволяет установить <5есконечнуадпорозденносп групп ХЛ -аптоиогйизмов групп , , М^5^ ади

XI 2 и лвбш р ( теореш 22,следствие-26 ). В то та время группа Ац^Йр^ оказывается конечно порокде ной ( теорема 23 ). А главное в той,что из ключевой теореш 24 ъ водятся конечная потшдешость групп ( следствие 27 ).

В заключительном $£8 на основе предэдущях утверждений п кеко^ рнх фактов о р-адичееккх аналитических группах доказывается ТЕОРЕМ 25. Груша

А ам? бесконечно порождена прп

любом П^ 2.

Отсюда получается бесконечная порогденность груь^ . ц*.,/,

решение проблепн-Лобоцкого, ^ , - свободная про-

копе чная группа рапга 2 ( следствия 30 к 31 ).

Заметил,что попутно решается нзхзеотшЗ вопрос о возшекостп ограничения числа поротдаацях элешнтоз групп (\кфункцией, завясяце^ только от IV ( сгл. £39^ ). Доказало,что такой функции не существует.

Публикации автора по тепе диссертации

Романьков З.А. Влозжнле некоторых сплетений в грушш автойор-с5измов конечно порожденных разрештых групп' // Алгебра и логика Л376.-ТЛ5, ЛЗ.-С.300-307.

-"---- 0 неразрешимости проблемы эздоморзной сводимости в свободных шлыютенткых трутах и в свободных кольцах // Алгебра и лоипсаЛ977.-ТЛ6,£4.-С.457-471. ,---"--0 некоторых алгоритмических вопросах для разрешимых групп // Тез.докладов 6-го Всесоюзн. симпозиума по теории групп. 1й1евД978.-С. 52.

.---"--- Об универсальной теории ншшпотентных групп //

Пат. заметки Л972. -Т .-25, .'54 .-С. 487-455.

. —=—"--Об уравнениях в свободных петабелевю: группах //

Сиб.кат.н. !979. -Т. 2 0, . -С. 671-673.

.--"- Норглальше азтаиорйззш дискретных групп //

Тез.докладов Всеооызн. алгебраической конференции . Ленинград. 1581.

. -"- 0 пшрлне вербальных подгрупп разрешимых групп //

Алгебра и логшсаД982.-Т.21,Н.-С.60-72.

.--"- Нормальные автоморфизмы дискретных групп //

С1Гб.1.ет.2£. -1983. -Т-24, -СЛ38-549.

.--"--0 произведениях коммутаторов в группах // Докл.

АН УзССРЛ984,М.-СЛ4-15 ( в соавторстве с Х.С.Аллалбергеновш).

0. -"--- Группы автоморфизмов свободных нетабелевых

групп // Тез.докладов 18-й Всесовзн. алгебраической конференции. Кишинев. 1985.-'Часть 2.-СЛ35.

-"- 0 произведениях коммутаторов в группах // Спб.

пат. г:. Новосибирск. 1985.-Деп..'54566-85-~2СС{ в соавторстве с X. С. Алланбе рге новнм ).

- 13 -

12. -"- Группы матриц вычетов // Вопросы взаимосвязи

абстрактной и прикладной алгебры. ВЦ СО АН СССР.Новосибирск. 1285.35-52. Г

13. -"- Группы автоморфизмов свободных штабелевых

групп // Вопросы взаимосвязи абстрактной к прикладной алгебры. БЦ СО АН СССР.Новосибирск.£005.-С.53-80.

14. -п- Критерии пра.яглзностп системы элементов свободной метабелевол группы // Укр. ;.ат. е. £295.-Т.43,37-8. -С. SSG-1002.

55. —:—"--ИршлЕтнвные элегакты свободных груш ранга 3//

Натек, сб.?S9I.-T.I82,iI7.-С.£074-1085.

¿6. -"--Priaitivity in free aetabelian groups //

Тез.докладов Международное конференции по алгебре.Барнаул.i20C, C.I6I.

Т7.--"- Aatooorphisa groups of free metabelian pro-p-g;

Тез .докладов Кезэдшародной конференции по алгебре.Барнаул.?^. С. 160. " ' , ££- --"- Pximltivity iö free groups and free metabelian

groups // Canai.J.ilath. 1992,KiU

f -

( В соавторстве с и.Gupta. * " С.Е..Gupta

iD.---"--- ita representations of the braid croups by Bat-

rices// Cont.l^tb.1992.-V.131 ( Part 1 ).-P.239-313.

20. -"- Еоровдащие элементы групп а£Тс:.:срс:;з:;ов свободных метабелевых про-рьгрупп ■// Сиб.мат. е. Т9 С2. -7.33., JS. -

' C.-i 45-158.

21. " Ihe non-finite generation of AutP, J free pro-j Abstracts x£ tiie American Kath.Soc. 1992.

-"- Бесконечная порозденность групп автоморфизмов свободных про-р-групп// Сиб.мат.и.(стат вя принята к печати на заседании редколлегии £Г. 02.92г.)

Прочая литература Лиздон Р., Еупн П. Комбинаторная теория групп, i".-Л'лр, <Г580. Hobinsoa 3.J.S. А соугзв in. the theory of groups. Hew Tork-Heidalberg-Serlin: Springer, 1932.

Мельников 0.3., Бэмеслзннгков ЗЛГ., Ромаяькоз В.А..Скорняков Л.А, Шестаков II.П. Обцая алгебра.!.!.-Г. .-Наука, -ISS0. Garstea Pired point's сГ automorphisms of free groups //

Adv.lJatb.-1979.-7.33.-2.513-523. Eaatviaa I.'., Lectuгэ at dornall Topology festival, 193d. лраглцов Д.Г. Кокечше авгогорпизш свободных групп// 1&у.заи.-i985.-T.C8.-C.38S-.jS2.

Мазуров З.Д., лрамцоз Д.Г. Группы автоморфизмов конечных регу-ляр-гых кубических графов// Сиб..мат.лс.-2гсЗ. - 7.30.-С.-И0-12Г. "азуров 3.Д. Кокзчкне группы внешних автоморфизмов свободных групп// СисГ.мат«■ж. -ISC-I. -Т. 32. -С. 82-100.

Ecmaa'kov V.A. Autoiaocphisas of groups // Acta Appl. Eath.-1992.40?.

Bachauth 3. Automorphisms of ires netabeliaa groups //'Irans. Aiier.iiath.Soc.-1965.-Y. 118.-P. 93-104.

Bachnuth S. .Mociiizuici Н.Г. The non-fiuite generation of AutG, G free cetabeliaa of rank 3// Trans.Amar.Eath.Soc.-1982.-7.270.-P.693-7CO.

Bachmuth S., Kochiauki Н.Г. Automorphism groups and subgroups of SLii over division rings // Coca.Algebra.-1979.-V.7.-J?. 1531-155ti.

Bachuuch S., ilcchizu^i H.Z. Au.t ->> Aui CF/F") ia

surjective for ^ frse of ran3c$4 // 2raas,Aner.Sii2?H.3oo.-

- i5 -

1935 .-7.292 .-P ¡B1-101.

36. Andreadakla 5. Generators for AutG, ô- free nilpotent// Arch.Math, 1984.-V. 42.-P. 296-300.

37. Aadseadakls S., Gupta G.К. Automorphism groups of free metab Паи ailpotent егоирв//ДЛГебра и логика.- IPSO.- T.2S, Г6.-C.745-751.

38. Bryant H.ÏÎ-,Groves J.H.J. On automorphisms of relatively free groups// J. Alsebra.-1991--V.137•-P-195-205.

39. Gupta C.K. Automorhisns of certain relatively free soluble gi up 9 // Proc . "GHOtfPS-Eorec. 1S3an. Pus an. 19d9.-P.32-65.

40. Мерзляков'Ю.П. Рациональные группы.-M. .-Наука ,IS80.

41. Hcbinson D.J.S. A contribution to the theory of groups with finitely many autooorphisms ¡J Proc,London I'.ath.. Soc.Oxford»-

1977.-V.35•-P•34-54•

42. Hobicsoa D.J.S. Infinite torsion groupa as autoaorphiso grou // Quart.J.Math.Oxford,- 1979.-V-30.-P.351-364.

43. Heineken H., biebeck K.H. The occurence of finite groups in automorphism group of ailpotent groups of slass 2 // Arch.Ka I974--V.25.-P.a-I6.

44. Е'гелькнн Л.Л. Два загечатпя о пвобоягмх разгеипшх группах// Алгебра я дота.- IS;6T-?.G, ."~.-С.?5-1П9.

45. lyDdon Я.С. Depeadebe in groups// Colloç.KatU.- 19C6.-V.14.-J 275-2¿3.

46. Бвг.еслепкиков Б.Н., Ропаньков 2.А. Теоретнно-иодельше а алгс рлпткческте вопросы те о пи групп// Алгебра.Тополопш.Гео1.:этр.

. ï.-~I.(I'ÎTOr:t науки и техн.) .-M. :2'ШТП, IS83.-C.3-7S.

4?. Lubotzky A. Combinatorial group theory for pro-p-groups// J.P Appl. Usebra.-14a2.-V.2>.-P. 311-325- 16 -

48. Мельников 0.0. 2арйжтеристкческле подгруппы и автоморфизмы свободных проконечных групп // !'ат.загетки.1982.-Т.31.-С. 33S-34S.

49. Herfort W., Eibes L. On automorphisms of free pro-p-groape// Proc.HBer.liath.Soc. 1990, И2. 287-295.

50. Ыатиясевич D.B. Диойантовость перешгсяшет множеств // Докл.АН СССР.-1970.-Т.22,$5. .185-222.

51. Клейьан Е5.Г. Тоздества и некоторые алгоритмические проблемы в группах // Докл.АН СССР.-157£.-Т.244,Г4.-С.814-818.

52. КйеЕиан Г.Г. О тождествах в группах // Труды Моск.мат.о-ва.-ISS2.-Î.44.-C.S2-ÏQ8.

53. îfemni H.H. Уравнения с одной неизвестной в нильпотентнпх группах // Иат.загетки .-ISS3.-Т.34,¿2. -С .201-205.

54. Теплн Н.Н. Проблема разрешиостп уравнений с одной неизвестной в язшлотентных группах // Изв.АН СССР.Сер.тт.-1934.-Т. 48, ЛЗ. -С. 1295-ГЗ12.

55. Тшошенко ЕЛ. О включении данных элементов в базис свободной кетабелевой группы // Деп. в ЕШТК 1Г.04.88..12В95-Б. Jardea Ы., Hitter J. Hernial automorphisms-of absolute Galois groups of p-adic fields .// ûuie liath. J..-1980.-V.47,B1.~P. 4-7-5S, " .

57- lubotzky A. normal'autoaczphisms of free groups// J.Algebra.-1980.-V.63 ,J22.-r.494-49â.

5й. Irtie A* Hormal automorphisms of free groups // J. Algebra.-1930.-V.64-,K1.-P.52-53.

59» Bachauth S. ,i_ochizuXi H.I. Automorphisms of solvable groups// Bull.AUS.-1975. -V.a1.-P. «0-422.

SO. Hartley В.Я. A conjecture of Bachauth and ¿'.ochiauii on automorphisms of soluble groups // Caa. J.liath.-197S.-V.28.- P. 4302-131061. Wilson J. Oa outer-comEutator words// Caaad.J.Iiath.-197^.-V . 26, КЗ • -P.60&-620.

- I«?—