Бахадуровская эффективность непараметрических критериев согласия, основанных на преобразованных эмпирических процессах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГО од

' * .!!: САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ государственный университет

На правах рукописи

ГОДКОРЫТОВА Ольга Анатольевна

УДК 519.24

БАХАДУРОВСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ НЕПАРАШРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ, ОСНОВАННЫХ НА ПРЕОБРАЗОВАННЫХ ЭМПИРИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации иа соискание ученой степени кандидата физлко-математических наук.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1094

Работа выношена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель -доктор физико-иатеыатических наук, профессор Я (а НИКИТИН

Официальные оппоненты: доктор фкаико-тгематическюс наук Е А. ¡ЕГОРОВ, кандидат физико-математических наук Н. IIА1ЮСОВА

Еедущая организация --. Санкт-Петербургское отделение Математического института им. Е А. Стеклова РАН

в .. . га

К 083.57.29 по присуаденяи ученой степени кандидата физико-матештических наук в Санкт-Петербургской государственном университете по адресу: 198904, С.-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., д. 2, матегатико-ыгханический факультет СЛОГУ.

• С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке кн.М.Горького СЛбГУ (Университетская наб., д.7/9).

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат фпга.-мат. наук

РЕИНОВ О. И.

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ Одной из наиболее актуальных проблем современной математической статистики является проблема сравнения непараметрических критериев на основе того или иного понятия асимптотической эффективности. Работы И. Абрахамсон. Р. Бахадура, ИХрунебома, Р. Калленберга. Т. ледвины, Я. XI Никитина, Г. ПЬрака и других математиков, выполненные в период с ; начала 70-х годов по начало 90-х годов были посвящены исследованию критериев согласия, осгованных на функционалах от эмпирического процесса Типичными и классическими примерами таких статистик могуч' служить критерии Колмогорова-Смирнова и омега-квадрат. При этом обнаружилось, что наиболее подходящим математическим средством сравнения этих критериев является бахадуроБская асимптотическая эффективность, локально эквивалентная традиционно используемой питменовской эффективности.

В работе изучается бахадуровская эффективность и условия локальной оптимальности новых критериев согласия, которые основаны на функционалах от разнообразных преобразований эмпирического процесса, предложенных Э. Хмаладзе. П-Деовелем, С. Аки. А. Кабанья, Дж. Батсоном и Д. Дарлингом. Рассматриваемый круг задач представляет большой теоретический интерес и лежит в русле исследований, проводимых в ведущих математических центрах.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Нахождение бахадуровской эффективности новых непараметрических критериев согласия, основанных на преобразованных эмпирических процессах, и исследование условий их локальной оптимальности.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ В диссертационной работе используются классические методы теории вероятностей, теория больших уклонений и методы функционального анализа

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертационной работе подучены следующие новые результаты:

- получена грубая асимптотика вероятностей больших уклонений при справедливости основной гипотезы и найдены приближенные и точные наклоны Бахадура для статистик, являющихся функционалами типа -нормы от преобразованных эмпирических про-

цессов.

- для исследуемых статистик в случае p. ► яайдеш условия на функцию распределения, при которой эти статистики являются локально асимптотически оптимальными для альтернативы сдвига

- предложен новый метод нахождения асимптотики хвостовых вероятностей функционалов типа нормы от некоторых гаус-ссвских процессов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в работе результаты позволяют сравнивать друг с другом статистические критерии для получения обоснованных рекомендаций по их использованию на практике.

АПРОБАЦИЯ РАБОТU. Результаты диссертации докладывались на б Вильнюсской международной конференции по теории вероятностей, и математической статистике (1853), в рамках Иэлш-горовского семестра по теории вероятностей и математической статистике в Международном институте им. Эйлера (1893), на Европейской конференции статистиков в г. Баг (1992), на конференции молодых ученых математике-механического факультета Ленинградского государственного университета (1990).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертацию! отражены в пяти работах С А 3,£2 здз ].[•<, здь' ].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 53 наименования. Общий объем работы ici страницд-.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуадается тема диссертации и рассматривается содержание работы. Здесь же определяются эмпирические . процессы, функционалы от которых будут исследоваться в качестве статистик.

Рассмотрим классический эмпирический процесс § (i)«vn.(F„(t)-tJ . Ost-i , где F„(i)- эмпирическая функция распределения, построенная по В£йорке объема п из равномерного распределения на [о, i] . Нале внимание будет сосредоточено на следующих эмпирических процессах:

- 5 -

1) процессе Ватсона-Дарлинга (1961)

= ^Л) - j^(c)¿r,

2) процессе, предложенном Кабанья (1992)

где а. - весовая функция, удовлетворяющая некоторым условиям регулярности и условию нормировки 4 •

Заметим, что при мы получаем процесс

Хмаладзе (1981). являющийся мартингальной частью эмпирического процесса ^

о I"5

3) связанном о идеями Деовеля (1982) процессе

Валю отметить, что все эти преобразованные процессы сходятся в пространстве Скорохода О Го, у при п-ео к известным и хорошо изученным гауссовским процессам. Так, предельным процессом для является процесс броуновского движения, а для - броуновский мост. Процесс /11Ь

сходится к гауссовскому процессу с нулевым средним и корреляционной функцией 5) г + £ ) .

Настоящая диссертация посвящена изучению бахадуровсгой эффективности статистик, представимых в виде функционалов типа 1/ -порет (I < р * от процессов Лп > V,,

Рассмотрим вопрос о сравнении различных непараметрических критериев на основе понятия асимптотической эффективности.

Пусть имеется некоторое множество вероятностных распределений {. б £ 0 ] на выборочном пространстве (36,01). б> - множество параметров. Через ^ обозначим ф. р., соответствующую .

Пусть [Т'п } и {. ¿я} - две последовательности статистик, построенные для проверки гипотезы Н„: Г- ; вс & & против альтернативы А„

Обозначим через А/Р объем выборки, необходимый для

того, чтобы последовательность {.'Г«.];при уровне

значимости <L и альтернативе Fe достигла мощности J3 . Аналогично введем (*<■ >£>,&). Относительной эффективностью { Si«} по отношению к iTij принято называть величину

Так как А/<р . как правило, не удается вычислить в явном виде, то обычно вычисляет предельное значение (о^^б) при б-»6с, или U-*0 . оставляя фиксированными два других параметра. Соответствующие пределы носят названия асимптотической относительной эффективности (АОЭ) по Питиену, Хэджесу-Леману и Бахадуру . Полодим для ■[ 7

•it . __>-ул

F*itfe) = pec»-. ),9t®, а

U =i - f„ стк.,е).

Величина Ln, называется достигаемым уровнем или Р -значением. Обычно оказывается, что при 6<= ©t Ре -п. н.

где - некоторая положительная конечная функция на , которую принято называть точным наклоном по Бахадуру для последовательности {Тп }.

АО0 по Бахадуру может Оыть вычислена при всех &е(о, i) по формуле

Таким образом, мерой бахадуровской эффективности последовательности статистик является ее точный наклон Бахадура. Бахадур предложил следующий способ его вычисления.

Теорема 0.1. Пусть последовательность статистик такова, что ^

1) £ Т.СО- о 1&) с ¿^-вероятностью 1 при 0е , где — <» <. I (&)<

2) Л^к любого t из открытого интервала I . где функция л- непрерывна на I и {i(e),©e®iicl •

Тогда верно равенство (1). причем для всех 0е ©t

Эта теорема показывает, что для вычисления точных наклонов в первую очередь необходимо решить задачу нахождения грубой асимптотики вероятностей больших уклонений последовательности [Т„ ] при справедливости основной гипотеза

Определим информацию Кульбака-ЛеЯблера для О, в'е 0 как

mG,) = [<CPe,£e,)^xU<J3i.clPe .если мера Ре абсолютно непрерывна относительно £et , а в противном случае положим К(е, ©')*♦«>.

Творена 0.2 (Бахадур, Рагавачари).

Для любой выполняется неравенствоCt(6]<2,K(&j(?c).

Если при всех бе (t?! в последнем неравенстве достигается знак равенства, то lTn.5j называется асимптотически оптимальной (АО) по Бахадуру. Если же выполняется Ст(е)~2 К(бД)при . то {Tn.i называется локально

асимптотически оптимальной (ЛАО) по Бахадуру.

Часто не удается вычислить функцию £ из теоремы 0.1 в явном виде. В связи с этим Бахадуром еще в 60-х годах было предложено заменить точное распределение (,'Гп.^ предельным и рассмотреть L% ($) - L - FCTrt(i))» если при Bcext —» F(t).

Обычно при 9feeB-n.«.""*"

¿•ьС-К <W*J = £ci.ce>>0. . (2)

В таком случае функцию С.*г называют приближенным наклоном последовательности Аналогично точной АОЭ определяется приближенная ACQ по Бахадуру.

Способ вычисления приближенных наклонов аналогичен теореме 0.1 и использует грубую асимптотику хвостовых вероятностей предельного распределения статистик.

В главе 1 исследуются- простейшие свойства процессов Л*, J^rt.|• Там я® дается способ вычисления асимптотики хвостовых вероятностей функционалов от предельных гаус-совских процессов в терминах нормы интегрального оператора, ядром которого является корреляционная функция данного процесса.

В §1. Z определяются статистики, которые являются предметом исследования, и их предельные распределения.

Пусть X - банахово пространство функций на [о, I] с нормой Ц- Н^. где либоХ=Г°ПОД! (11х = II• И*о>. либо ]С удовлетворяет следувдим трем условиям;

1) X. содержит все кусочно-непрерывные функции.

2) Множество непрерывных функций плотно в )С (по норме 1М!/- ).

3) йэрма Ц-Их- мажорируется стандартной нормой II' 11« , то есть для любой функции ?е5С справедливо неравенство Ц?Цх- & сошЬ ЦП1«о.

Прииера«и таких пространств могут служить пространства .Вебега [Т ¿о, I ] при р* 1 (норму в //С°. 1-15 уде и обозначать

Ц-Цр) (очевидно. С иУсХ).

Так как траектории рассматриваемых нами процессов кусочно-непрерывны, то мы можем в случае определить последовательности статистик

А ¿ь) - ^

$Х}Л = чТЬ ИЛ* , Б случае Но , соответственно,

В случае ((•11х = И' Ир обозначим соответствующие _ статистики через Т], оР)Л, ЯиТр% , ; ^ ^ .

§1.3 посвяшэн асимптотике хвостовых вероятностей. Пусть X - банахово пространство функций на [о, I] с нормой Ц* . удовлетворяющее условиям 2)-3) (в частности, сюда входит случай И' ).

Пусть М. - пространство вешественноаначных Оорелевских мер на [0,1} (как хорошо известно, оно является сопряженным кС[р,Ш.Х* - сопряженное пространство к X Очевидно, X*" вкладывается в .М. •

Рассмотрим гауссовский процесс Ц (¿) на [о, 1] с непре-

- 9 -

рывнши почти вевде траекториями.

Пусть для любого £ . ,, , .

где функция К непрерывна на квадрате L.

Рассмотрим оператор ЗД ; 1У\. —» С С.°1 1- ] . определенный формулой . » ,

Будем рассматривать "Ж 1«ак оператор из )£* в X (точнее, будем рассматривать сужение на подпростран-

ство X*) • норму его обозначим через Ц X I х ■ В случавХ=£Р • Х*есть , где

(вкладываемое в М- по формуле I—* ), а опера-

тор X имеет вид

Рассмотрим также квадратичную 4орму 0. на X" : 1!апример. если ЗС , # то д^

= З^С-ь.а) ^

Теорема 1.3.1.

(если Мл X* • то будем считать, что 11^11^-

О помощью этой теоремы удается, в частности, вычислить неизвестную ранее асимптотик

и ^

и получить единое доказательство некоторых известных ранее, но разрозненных результатов.

Глава 2 посвящена асимптотике больших уклонений. Для изучения этой асимптотики у статистик типа [_р -норм от классического эмпирического процесса обычно используется

теорема Сетурамана. Однако она неприменима к рассматриваемым преобразованиям эмпирического процесса в силу наличия в них сингулярностей. Поэтому нами доказан новый результат, позволяющий вычислить грубую асимптотику вероятностей больших уклонений для функционалов типа нормы от эмпирических процессов некоторого обоего вида, включающих ^п,. (К*. и

О* . и

В §2.1 вводится предельная функция из теоремы 0.1 и изучаются ее свойства В §2.2 доказывается теорема о грубой асимптотике вероятностей больших уклонений функционалов типа нормы от эмпирических процессов некоторого общего вида

В §2.3 проверяется, что к процессам Л ^л., применимы результаты предыдущего параграфа, из чего выводятся следующие результаты.

Положим

КТи,*Ь nu.vlfc.ib ^и.!>)-ЦК'УмЦС^Д

Пусть Ж? . "Ж^ и - интегральные операторы с ядрами 1(т , К5 и К" соответственно (определенные аналогично (Э), а <9.т . О,® и О* - их квадратичные формы.

Положим

Теорема 2.3.0.

При справедливости Но 4

Ь. £ ^ * С $*л> * =

- 11 -

Сяодспш» теореш 2.3. а

Пусть .кр 4 + 00 .

Имеют место утверждения

3) Ь

где tt-fc-1) Al

Ts = wp \L

■rV i fT << x"1, к

В частности, = J^ =

Ts-1-. T3 1- T^ - — >

¿сх,- V ' da - jp'J i

d«_ •la.' d*. <U и

В §2. 4 уточняется асимптотика больших уклонений для статистики ■ В частности.

Слвдетвиэ теорет 2.4.0.

В случае Q(t}= jrj" (статистика Хмаладзе-Аки) при справедливости Но при ¿>0

U i ib = -We)

В главе 3 рассматриваются точные наклоны Бахадура

В §3.1 исследуется продельное поведение статистик при справедливости альтернативы. О помощью результатов глав 1 и 2 находятся приближенные наклоны Бахадура для исследуемых статистик и доказывается, что точные наклоны Бахадура асимптотически эквивалентны приближенны» при альтернативе, стремящейся к гипотезе.

- 12 -

В §3.3 показано, что статистика при весовой

функции является АО для лемановской альтернативы Fölt)=i-U"t) ue . где О е C-i,0j .

В главе 4 рассматривается задача ЛАО для альтернативы сдвига Ад'. FeM = Fo (i>6>) (при этом рассматриваемые процессы переносятся с [о, i] на 1R с помощью замены i = fi. №)). Мы ограничиваемся рассмотрением Функций распределения F0 удовлетворяющее некоторым естественным условиям регулярности и условию ,, , ,

г (Fo) - $й ( fjgj ) V. tt), I

В §4.1 задача ЛАО для альтернативы сдвига сведена к экстремальной задаче в единичном иаре пространства Соболева

К ■

Ы. 2 посвящен решению экстремальной задачи в общем вида. В §54.3, 4.4, 4.5 реиены задачи ЛАО при Для

статистик Т0 - S— Р„ соответственно. В частности,

статистика Т^ ^ является ЛАО для Fo . удовлетворяющей наложзнным условиям тогда и только тогда, когда

¿>0; ßefR • Кроме того, показывается, что статистика 1\лЫ|р . lü p^vco не является ЛАО ни для какой Fo . удовлетворяющей наложенным условиям.

В главе 5 собрали различные вспомогательные утверждения технического характера

По теме диссертации автором опубликованы следующие работы.

1. Пэдкорьггова O.A. Большие уклонения и бахадуровская эффективность статистики Аки-Хмаладзе. Вестник ЛГУ. 1990.N. 2, с. 114-115.

2. Подкорытова а А. Больше уклонения и бахадуровская эффективность статистик Хмаладзе-Аки. Зап. науч. сем. ЛОШ, 1980. Т. 184. С. 227-233.

3. Подкорытова О. А. Асимптотическая эффективность интегральной статистики Хмаладзе-Аки. В сб.: Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Вып. 3, 1993.

- 13 -

4. Podkorytova O.A. Bahadur efficiency of soma goodness of fit tests based on the martingale part of the e.d.f. Abstracts of the 20th European meeting of Statisticians. Bath. 1992. p.213 (Jointly with Y&Yu.Hlkltln).

5, Podkorytova 0. A. Bahadur efficiency of some goodness of fit tests based on the transformed empirical process. Abstracts of Sixth International Vilnius Conference on Prob. Theory and Math. Statistics. 1993, v.2. p. 94-95.