Асимптотические свойства критериев симметрии и согласия, основанных на характеризациях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

направахрукописи

ЛИТВИНОВА ВИКТОРИЯ ВИКТОРОВНА

Асимптотические свойства критериев симметрии и согласия, основанных на характеризациях

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена па кафедре теории вероятностей

и математической статистики Санкт-Петербургского

государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор Я.Ю.НИКИТИН

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических паук, профессор А.А.ЗИНГЕР

кандидат физико-математических наук, доцент С.Г.МАЛОШЕВСКИЙ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Московский государственный университет (МГУ)

Защита состоится " 2004 г. в ^У~час&в на заседании

диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург,

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01 доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение статистических критериев и изучение их асимптотических свойств является одной из важнейших задач математической статистики. При проверке сложных гипотез и рассмотрении сложных альтернатив равномерно наиболее мощные критерии существуют редко, а статистику отношения правдоподобия обычно не удается вычислить в явном виде, и она теряет свойство оптимальности.

Поэтому одним из основных путей развития проверки статистических гипотез стал путь "эмпирического" построения критериев, когда статистика критерия основана на определенном принципе, остроумной идее или здравом смысле, но оптимальность или высокая эффективность ее не гарантирована. Типичными примерами таких статистик являются статистика знаков, статистика Пирсона и статистика Колмогорова.

В натоящее время математическая статистика располагает множеством "эмпирических" критериев для проверки разнообразных гипотез, и в литературе постоянно предлагаются новые критерии такого типа.

В начале 50-х годов XX в. Ю.В.Линник предложил общий принцип построения новых критериев согласия, основанный на характериза-ции распределений свойством равнораспределенности статистик. Это направление исследований представляется актуальным и перспективным, но до настоящего времени почти не разработано. В редких же работах по критериям, основанным на характеризациях, асимптотическая относительная эффективность (АОЭ) рассматриваемых критериев обычно не вычисляется и не обсуждается.

Настоящая диссертация в значительной мере заполняет этот пробел. В ней строятся новые критерии симметрии и согласия, основанные на ха-рактеризации распределений свойством равнораспределенности, изучаются их предельные распределения, а также вычисляется бахадуровская АОЭ для ряда альтернатив.

«•ос НАЦИОНАЛЬНАЯ СИМИОГЕМ

Цель работы. Она состояла в том, чтобы построить новые интегральные критерии симметрии и критерии согласия для нормального и экспоненциального законов распределения, а также для закона Коши, основанные на подходящих характеризациях, вычислить их предельные распределения и локальную бахадуровскую АОЭ для ряда альтернатив.

Методы исследования. В диссертационной работе используются предельные теоремы для и— и V— статистик, теория больших уклонений для и— и V— статистик, а также теория бахадуровской асимптотической эффективности.

Основные результаты.

1. Построены основанные на характеризациях новые критерии для проверки симметрии, нормальности, экспоненциальности и проверки согласия с законом Коши.

2. Найдены предельные распределения построенных статистик при основной гипотезе.

3. Вычислена асимптотическая эффективность новых критериев для ряда альтернатив и даны рекомендации по их практическому применению

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация в основном носит теоретический характер. В ней разработаны и исследованы новые статистические критерии. При этом эффективности новых статистик для проверки симметрии, нормальности и для проверки согласия с законом Коши превышают эффективности многих известных статистик, что позволяет рекомендовать построенные в диссертации критерии к практическому использованию.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докла-

дывались автором на Восьмой Всероссийской школе - коллоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 1-6 декабря 2001), на Восьмой международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 23-29 июня 2002), на семинаре Института мате-магической стохастики Геттингенского университета под руководством проф. М.Денкера (февраль 2001), а также на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ПОМИ РАН под руководством академика И.А. Ибрагимова (апрель 2004).

Публикации. Основные результаты изложены в работах [12] - [16].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, содержащего 68 наименований. Общий объем работы - 127 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В настоящей диссертации строятся и исследуются критерии согласия и симметрии, основанные на характеризационных свойствах распределений, а также вычисляется их АОЭ для ряда альтернатив.

Для этого используется идея построения критериев на основе ха-рактеризации распределений свойством равнораспределенности статистик. Характеризационная теория берет свое начало из работы [ 111 Д. Пойа, опубликованной в 1923 г. Затем она развивалась в работах И. Марцинкевича. С.Н. Бернштейна, Э. Лукача, Ю.В. Линника, А.А. Зингера, Ж.Дармуа, В.П. Скитовича, С.Р. Pao, A.M. Кагана, Я. Галамбоша, С.Котца, Л.Б. Клебанова и многих других математиков. Литература по этому вопросу велика, л в настоящее время существует несколько монографий, посвященных характеризациям, например, [1], [6], [8], [9| .

Идея построения статистических критериев на основе характериза-ний свойствам равнораспределенности принадлежит Ю.В. Линнику. В

конце работы [2] он писал : "... можно поставить вопрос о построении критериев согласия выборки со сложной гипотезой, основанных на одинаковой распределенности двух соответствующих статистик... и на сведении, таким образом, вопроса к критерию однородности."

Однако эта идея почти не получила развития, возможно, ввиду технических трудностей при построении и анализе получающихся критериев. Другая причина состоит в том, что характеризации распределений свойством одинаковой распределенности немногочисленны.

В настоящей диссертации мы не только исследуем асимптотические свойства критериев, основанных на характеризациях, но и вычисляем их локальную точную (или приближенную) АОЭ по Бахадуру.

Для выбора именно этого типа эффективности есть несколько причин. Во-первых, классическая питменовская АОЭ пригодна в основном для асимптотически нормальных статистик. Мы же рассматриваем также статистики квадратичного типа, для которых предельное распределение при нулевой гипотезе резко отличается от нормального.

Во-вторых, АОЭ по Ходжесу-Леману непригодна для исследования двусторонних критериев, поскольку все они оказываются асимптотически оптимальными, а для односторонних критериев эта АОЭ локально совпадает с бахадуровской АОЭ [3]. В третьих, недавно был достигнут значительный прогресс в области больших уклонений для V— и V— статистик, что является решающим при вычислении АОЭ по Бахадуру.

Перейдем теперь к обзору содержания диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер В ней излагаются необходимые теоретические и технические сведения из теории стик, теории больших уклонений и теории асимптотической эффективности по Бахадуру.

Вторая глава посвящена построению и исследованию критериев для проверки гипотезы симметрии. Барингхауз и Хенце в [5] предложили

б

вдею построения критериев симметрии, основанную на следующей ха-рактеризации:

Пусть X и Y — н.о.р.св., имеющие непрерывную ф.р. Тогда l^l и | max(A', Y)| одинаково распределены тогда и только тогда, когда X и Y симметрично распределены относительно нуля.

Эту характеризацию мы используем для построения новых критериев симметрии. Пусть Х\, ...,Хп наблюдения, имеющие непрерывную ф.р. С Рассмотрим проверку гипотезы симметрии:

Это сложная гипотеза, поскольку вид G не уточняется. В качестве альтернатив мы рассмотрим параметрическую альтернативу сдвига, т.е. G{x\6) — F(x — в), в > 0; скошенную (skew) альтернативу, т.е.

лемановскую альтернативу, т.е. и альтернативу загрязнения, т.е. G(x-,8) = (1 - 0)F(x) + в > 0, г > 0, где F(x) и /(х) явля-

ются ф.р. и плотностью некоторого симметричного распределения.

В соответствии с указанной характеризацией строится эмпирическая ф.р.<э„(0. основанная на |Ai|,..., |Л„|, и V-статистическая ф.р.

На основе этих функций составляются статистики:

Эти статистики имеют довольно сложную структуру. Первая из них сводится к невырожденной, а вторая к вырожденной V-статистике, что позволяет воспользоваться теорией функционалов Мизеса. Статистика

не является состоятельной против любых альтернатив, однако это компенсируется ее относительно простым видом.

Доказывается, что статистики и свободны от распределения. Далее в диссертации находятся их предельные распределения при гипотезе симметрии.

Теорема 2.2.1 Для статистики £>,' при п —> оо справедливо:

Теорема 2.3.1 Для статистики 5,2, при п —> ос выполняется

где т, независимые стандартные нормальные св., А, = (4ц2)-1, а и, положительные нули бесселевской функции 3

Затем для статистик и вычисляется локальная бахадуровская АОЭ, а для статистики 5,' изучаются условия локальной асимптотической оптимальности. Оказывается, что эффективность этих статистик для рассматриваемых альтернатив весьма высока (здесь рассмотрена плотность /3(ат) = 8/(Зтг(1 + х2)3),х е Л1.).

Альтернатива Распределение

Нормальное Логистическое /з

сдвига 0.977 0.938 0.905

скошенная 0.977 0.962 0.925

лемановская 0.962 0.962 0.962

загрязнения, г = 1 0.988 0.988 0.988

загрязнения,г = 5 0.997 0.997 0.997

Табл. 1: Локальная бахадуровская эффективность для статистики.?'

Сходные результаты получены при вычислении локальной эффективности статистики

Следующие три главы относятся к исследованию критериев согласия.

В третьей главе строятся критерии для проверки экспоненциально-сти, основанные на двух характеризациях. Первая т них хорошо известна (см , например, [б]):

ПустьX uY — неотрицательные и невырожденные н.о.р.с.в. , имеющие дифференцируемую в нуле ф.р. F, и пусть 0 < а < 1. Тогда X и тт(£. у^) одинаково распределены тогда и только тогда, кoгdaF есть фр. экспоненциального закона.

Вторая характеризация принадлежит Дезу и Гупте [7]:

Пусть...,Хт, т^ 2 - неотрицательные и невырожденные н.о.р. св., имеющие дифференцируемую в нуле ф p.F. Тогда статистики Х\ и ттт{Х\,..., Хт) одинаково распределены тогда и только тогда, когда F есть ф р. экспоненциального закона.

Пусть Хг,..., Х„ — независимые наблюдения, имеющие ф.р. G(x). Основываясь на сформулированных характеризациях, мы можем проверить сложную гипотезу Но о том, что G есть ф.р. некоторого экспоненциального закона F, против альтернативы состоящей в том, что при слабых дополнительных условиях.

Строятся обычная эмпирическая ф.р. (?„(<) и У-статистические ф.р.

■ .7=1 ¡1.....= 1

Мы предлагаем основывать критерии для проверки экспоненциаль-ности на статисти^т'

В качестве альтернатив мы выбираем стандартные альтернативы, используемые в литературе по проверке экспоненциальности:

— альтернативу Вейбулласд{х\в) — (#+ 1)т9ехр(-11+в), х ^ 0:

— альтернативу Максхама с д{х\ в) = (1 + 6(1 — ехр(-х))) ехр(-г -

— альтернативу линейной функции интенсивности отказов сд(х; в) =

Для предложенных двух статистик найдены предельные распределения при нулевой гипотезе:

Теорема 3.2.1 Для статистики при п —> оо имеет место соотношение

где

Теорема 3.3.1 Для статистики Лт-п при п —> оо имеет место соотношение

где

Мы устанавливаем, при каких значениях параметров а и т АОЭ по Бахадуру достигают своих максимумов, и находим эти значения.

Доказано, что для Я* эффективности нашего критерия при альтернативах Вейбулла, Макехама и линейной интенсивности отказа достигают максимума в точке а =1/2 и соответственно равны 0 697. О 509, 0.149.

Это невысокие значения, существенно меньшие, чем у критерия, основанного на статистике Джини |10|.

Вычисление бахадуровских эффективностей для „ в зависимости от т показывает, что максимальные значения достигаются при m — 2, а с ростом m эффективность стремится к нулю. Поэтому использование статистики при т > 2 и стандартных альтернативах вряд ли целесообразно.

Четвертая глава посвящена проверке гипотезы о нормальности. Существует множество характерзаций нормального закона и две монографии, посвященные исключительно этому вопросу [б], [9]. Мы рассмотрим вариант известной характеризации из [1] и [8]:

Пусть.Х^ Х2, ...,Хт — центрированные н.о.р.с.в., имеющие фp. F, а константы аьа^,ат таковы,что 0 < «, < 1 и = 1. Тогда

статистики Х1 и аЛ одинаково распределены тогда и только тогда, когда F - ф.р. нормального закона с нулевым средним и некоторой дисперсией а2 > О

Пусть ...,Хп выборка с ф.р. G. Основываясь на этой характериза-ции, мы можем проверить основную гипотезу состоящую в том, что

против альтернативы , состоящей в том, что Строится обычная эмпирическая ф.р. (7П и V-статистическая ф.р.

Критерии для проверки нормальности могут быть основаны на следующих статистиках:

п

Ц,... 1„=1

а

Для этих статистик находятся предельные распределения:

Теорема 4.2.1 Для статистики В\ п при п —г ос справедливо:

где Д|(о) имеет сложное выражение и определена в §4-2

Теорема 4.3.1 Для статистики при п оо справедливо:

где Д у(т) определена в §4-3.

Теорема 4.4.1 Для статистики В\п при п — оо имеет место сходимость м

где/«Да) - собственные числа интегрального оператора сядром'%л(я, f), определенным в §4-4, и действующего изЬ2(Я1) в L?(Rl).

Вычисляется АОЭ по Бахадуру этих статистик, находятся параметры а и т. для которых она достигает своего максимума, и значения этих максимумов. В качестве параметра а при котором для рассматриваемых альтернатив эффективность статистики.В^я высока, мы предлагаем взять удобные значения либо а ~ либо а = Ц.

Альтернатива параметр а

а = 7/25 а = 0.291 a = s/2/2

сдвига 0.990 0.989 0.966

скошенная 0.990 0.989 0.966

лемановская 0.889 0.899 0.779

загрязнения, г = 1 0.076 0.078 0.139

загрязнения, г = 5 0.187 0.189 0.211

Табл. 2 : Локальная бахадуровская эффективность для статистики-В]

Эффективность по Бахадуру для при альтернативах сдвига и лемановской достигают своего максимума при но уже при не-

больших т эффективности очень близки к 1. Для статистики В\п эффективность тоже оказывается весьма высокой.

В заключительной пятой главе мы строим критерии согласия для симметричного распределения Коши, основываясь на следующих харак-теризациях. Первая из них принадлежит Б.Арнольду [4] и формулируется так:

Пусть X ыУ - н.о.р.с.в., имеющие. непрерывную ф.р. ¥. Тогда X и одинаково распределены, тогда и только тогда, когда ¥ есть ф р. Коши с плотностью ¡(х) = (-!г(1 +!2))"1.

Вторая характеризация имеется в [1|. Вариант ее формулировки таков:

Пусть Х\, ...Дт, т > 2 - н.о.р св., имеющие ф.р. ¥, а постоянные а1....,от таковы, что о, ^4 0 = Ч, е м хотя бы два числа из чисел — 1п|а,|, г = 1, ..,т, несоизмеримы. СтатистикиXI и одинаково распределены тогда и только тогда, когда ¥ есть симметричная ф.р. Коши с некоторым параметром масштаба.

Пусть Х\у...,Хп н о р.с.в., имеющие ф.р. О. Основываясь на первой характеризации, мы можем проверить простую основную гипотезу о том, что О есть ф.р. Коши ¥ с плотностью против альтернативы Н\, состоящей в том, что Вторая характеризация позволяет прове-

рить сложную гипотезу о том, что распределение выборки принадлежит симметричному семейству Коши с некоторым масштабом против альтернативы состоящей в том, что распределение выборки не принадлежит этому семейству.

В соответствии с этими характеризациями, строим обычную эмпири-

четкую ф.р. С„ и ^статистические эмпирические ф.р.:

Критерии для проверки распределения Коши могут быть основаны на статистиках

Для введенных статистик доказана асимптотическая нормальность: Теорема 5.2.1 Для статистики при п —> оо справедливо:

Теорема 5.3.1 Для статистики при п —► ос справедливо:

где Д?о(а) определена в§5.3.

Для обеих статистик далее находится локальная АОЭ по Бахадуру. Для статистики при альтернативах сдвига и лемановской АОЭ оказалась равной 0.811 и 0.250. Для статистики Л'/' максимум эффективности достигается при альтернативе сдвига при а = 0.373 и составляет 0.685, а при лемановской альтернативе при а = 0.8 и составляет 0.999. В качестве параметра а можно рекомендовать либо а = 1/3, либо а = 2/3.

В заключении подведены итоги исследования построенных критериев.

Литература

[1] Каган, A.M., Линник, Ю.В., Рао, С.Р. Характеризационные задачи математической статистики. М.: Наука, 1972.

[2] Линник, Ю.В. Линейные формы и статистические критерии.I, II // Украинский матем. журнал, 1953, т. 5, N 2, с.207 - 243; N 3, с.247 - 290.

[3] Никитин, Я.Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М.: Наука, 1995.

[4] Arnold, В. Some characterizations of the Cauchy distribution. // Austr. J. Stat., 1979, v. 21, 166 - 169.

[5] Baringhaus, L., Henze, N.A characterization of and new consistent tests for symmetry.// Comm. Stat.- Theor. Meth.,1992, 21 , N 6, 1555-1566.

[6] Bryc, W. The normal distribution. Characterizations with applications.// Lecture Notes in Statistics, v. 100, NY: Springer, 1995, viii-t- 139 pp.

|7) Gupta, R.C.A characteristic property of the exponential distribution. // SankhyS, 1973, B35, 365 - 366.

[8J Kakosyan, A.V., Klebanov, L.B., Melamed, J.A. Characterization of distributions by the method of intensively monotone operators.// Lecture Notes in Mathematics, 1984, v. 1088. Berlin : Springer, X + 175 pp.

[9] Mathai, A.M., Pederzoli, G. Characterizations of the Normal Probability Law. NY: Wiley, 1977.

|10| Nikitm. Ya.Yu , Tchirina. A V. Bahadur efficiency and local optimality of л test for the exponential distribution based oil the Gim statistic.// Joum. Ital. Statist. Soc, 1996, 5, N 1, 163 - 175.

[11]-Rolya. G. Herleitung des Gauss schen Fehlergesetzcs aus einer Fuiiktio-nalsgleichung.// Math. Zcitschrift, 1923, 18, 96 108.

Работы автора по теме диссертации:

[12] Литвинова, В.В. Новый непараметрический критерий симметрии и его асимптотическая эффективность.// Вестник СПбГУ, 2001, Сер.1, вып.4 (25), 17-19.

[13] Литвинова, В.В. Непараметрический критерий симметрии, основанный на характеризации Барингхауза и Хенце // Обозрение прикладной и промышленной математики. ТВП, Москва, 2001, 8, N 2, 787-789.

|14] Litvinova. V.V. Asymptotic properties of symmetry tests based on «haracterizations. // 8th Vilnius Conference-oil Probab.Theory,-June 2329, 2002, Abstracts, TEV, p.182.

(15] Литвинова, В.В. Два критерия согласия для распределения Ко-ши, основанные на характеризадиях.// Записки научных семинаров ПОМИ, 2002, 294, 139-147

[16] Литвинова, В.В. Асимптотическая эффективность семейства критериев для проверки экспоненциальности.//Депонировано в ВИНИТИ, 2003, N 1742 - V 2003, 13 с.

Отпечатано в типографии ЗАО "ПРОГРАММА" СПб, ул. Кирочная, 23 Тираж 100 экз. Заказ 10/2 от 27.04 2004

i " 9 3 6 О

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Сведения из теории С/— и V— статистик.

1.2 Определение и вычисление бахадуровской эффективности.

1.3 О больших уклонениях II— и V— статистик.

2 Критерии симметрии Барингхауза-Хенце

2.1 Введение.

2.2 Статистика

2.3 Статистика

3 Критерии экспоненциальности

3.1 Введение.

3.2 Статистика Я.

3.3 Статистика п.

4 Критерии нормальности

4.1 Введение.

4.2 Статистика В^.

4.3 Статистика В^п.

4.4 Статистика В|)П.

5 Критерии согласия с законом Коши

5.1 Введение.

5.2 Статистика

5.3 Статистика

В настоящей диссертации строятся и исследуются критерии согласия и симметрии, основанные на характеризационных свойствах распределений, а также вычисляется их асимптотическая относительная эффективность для ряда альтернатив.

Построение статистических критериев и изучение их асимптотических свойств является одной из важнейших задач математической статистики. При проверке простой гипотезы против простой альтернативы задача решается с помощью леммы Неймана-Пирсона, которая, как известно, дает оптимальный (наиболее мощный) критерий в классе всех критериев заданного уровня. Это критерий отношения правдоподобия.

Однако для более трудных и важных для практики задач проверки гипотез, связанных либо с проверкой сложных гипотез, либо с рассмотрением сложных альтернатив, равномерно наиболее мощные критерии существуют редко, а роль критерия отношения правдоподобия существенно меняется. Статистику отношения правдоподобия обычно не удается вычислить в явном виде, она теряет свойство оптимальности, а ее распределение неустойчиво к изменениям статистической модели. Более того, статистик часто вообще не может определить вид альтернативы, без чего построение параметрических критериев теряет смысл.

Поэтому одним из путей развития проверки статистических гипотез стал путь "эмпирического" построения критериев, когда конструируемая статистика критерия основана на определенном принципе, остроумной идее или здравом смысле, но оптимальность ее не гарантирована.

Типичными примерами таких статистик являются статистика знаков, статистика х2 Пирсона (1900), статистика Колмогорова (1933), измеряющая равномерное расстояние между эмпирической и истинной функцией распределения, ранговый коэффициент корреляции Кендалла (1938) или статистика Бикела-Розенблатта (1973), основанная на квадратичном риске ядерной оценки плотности [29]. В настоящее время математическая статистика располагает многими десятками "эмпирических" статистик для проверки гипотез согласия, симметрии, однородности, случайности и независимости, и в литературе постоянно предлагаются все новые и новые статистики такого типа. Огромная литература посвящена изучению их точных и предельных распределений, оценкам скорости сходимости, большим уклонениям, асимптотическим разложениям и т.д.

Для того, чтобы оправдать применение подобных статистик при проверке гипотез против определенного класса альтернатив, чаще всего методом статистического моделирования вычисляют их мощность. Однако для любого состоятельного критерия мощность с ростом объема выборки стремится к единице, и потому не всегда информативна. Более глубокий анализ сравнительных свойств статистик может быть осуществлен на основе понятия асимптотической относительной эффективности (АОЭ). Различные подходы к вычислению АОЭ предлагались Э. Питменом, Дж. Ходжесом и Э. Леманом, Р. Бахадуром, Г. Черновым и В.Калленбергом в середине XX в., результаты развития теории АОЭ к середине 90-х годов подведены в монографии [12]. Общепринято мнение, что синтез новых критериев должен сопровождаться не только анализом их свойств, но и вычислением АОЭ для того, чтобы оценить их качество и дать обосно ванные рекомендации по их использованию на практике.

В настоящей работе используется идея построения критериев на основе характеризации распределений свойством равнораспределенности. Ха-рактеризационная теория берет свое начало из работы [60] Д. Пойа, опубликованной в 1923 г. Затем она развивалась в работах И. Марцинкевича, С.Н. Бернштейна, Э. Лукача, Ю.В. Линника, A.A. Зингера, Ж.Дармуа, В.П. Скитовича, С.Р. Pao, A.M. Кагана, Я. Галамбоша, С.Котца, Л.Б. Клебанова и многих других математиков. Литература по этому вопросу велика, и в настоящее время существует несколько монографий, посвященных характеризациям, например, [7], [52], [45], [36], [1], [30], [17].

Идея построения статистических критериев на основе характериза-ций свойством равнораспределенности принадлежит Ю.В.Линнику [10], [11]. В конце обширной работы [11] он писал : ". можно поставить вопрос о построении критериев согласия выборки со сложной гипотезой, основанных на одинаковой распределенности двух соответствующих статистик gi(xi> .хг) и д2{х\, ■■■хг) и на сведении, таким образом, вопроса к критерию однородности."

Вернемся к классической теореме Пойа [60], чтобы объяснить на конкретном примере, как может действовать такой подход. В простейшем варианте эта теорема формулируется следующим образом.

Теорема Пойа. Пусть X и Y две независимые и одинаково распределенные центрированные с. в. Тогда с. в. (X + Y)/\/2 и X одинаково распределены в том и только том случае, когда закон распределения X нормальный.

Предположим, что мы имеем выборку из центрированных независимых наблюдений Xi, .,Хп и хотим проверить (сложную) нулевую гипотезу о принадлежности распределения этой выборки к нормальному закону со средним 0 и некоторой дисперсией. Построим по нашей выборке обычную эмпирическую функцию распределения (ф.р.) п

Fn(t) = п-^ВД <t},te R\ i=1 и так называемую V-статистическую эмпирическую ф.р. Gn(t) с ядром Ф(х,у) = (х + y)/V2, имеющую вид п

Gn(t) = п~2 £ ВД + Xj < iv^}, t <= R1. i,j=l

В силу теоремы Гливенко-Кантелли, справедливой и для V-статисти-ческих эмпирических ф.р. [44], при больших п функция Fn(t) равномерно сближается с ф.р. F(t) = Р(Х < t), а функция Gn(t) равномерно сближается с G(t) = ЦХ + У < tV2). Поскольку при нулевой гипотезе F = G, то Fn(t) близка к Gn(t), и критерий значимости можно основывать на подходящем функционале Тп от разности Fn(t) — Gn(t). Напротив, при альтернативе (то есть при нарушении нормальности) по теореме Пойа F ф G, что приводит к большим значениям Тп и позволяет отвергнуть нулевую гипотезу, обеспечивая состоятельность критерия.

Однако эта конструкция, основывающаяся на идее Ю.В.Линника, почти не получила развития, возможно, ввиду технических трудностей при построении и анализе получающихся критериев. Другая причина состоит, вероятно, в том, что характеризации распределений свойством равнораспределенности немногочисленны и редко встречаются.

Нам известны лишь немногие работы, посвященные в той или иной мере развитию идеи Ю.В.Линника. Это работы Барингхауза и Хенце [25] и Мульере и Никитина [56], о которых будет сказано ниже. Имеются и работы, в которых критерии согласия для конкретных распределений также строятся на основе характеризаций, но не на основе равнораспределенности, например, [32], [39], [40], [47], [51], [54], [55], [57].

Наиболее часто в литературе встречается использование характериза-ции экспоненциального распределения различными вариантами свойства отсутствия памяти [18], [19], [27], [28], [43], [48], [58].

Следует отметить, что почти во всех этих работах (кроме разве лишь [56] и [58]) АОЭ рассматриваемых критериев не вычисляется и не обсуждается. В настоящей диссертации мы не только исследуем асимптотические свойства известных и предлагаемых нами критериев, основанных на характеризациях, но и вычисляем их локальную точную (или приближенную) АОЭ по Бахадуру.

Дадим теперь определение понятию АОЭ. Пусть {Тп} и {1^} - две последовательности статистик, построенные по выборке Х\,., Хп с распределением Рд, где в € 0 С Я1, и проверяется нулевая гипотеза Но : 9 € во С в против альтернативы А : в € ©х = ©\6о. Пусть Мт(а,Р,0) - минимальный объем выборки Х[,., Хп, для которого последовательность {Тп} с заданным уровнем значимости а > 0 достигает мощности /3 < 1 при альтернативном значении параметра в € ©1- Аналогично вводится в). Относительной эффективностью критерия, основанного на статистике Тп, по отношению к критерию, основанному на Уп, называется величина равная обратному отношению указанных выборочных объемов:

Поскольку относительная эффективность как функция трех аргументов не поддается вычислению в явном виде даже для самых простых статистик, то принято рассматривать пределы:

Птет, у(а,/?,0), Нтет, у(а,/3,0).

В первом случае получается АОЭ по Бахадуру, второй предел определяет АОЭ по Ходжесу-Леману, а третий приводит к определению АОЭ по Питмену. Поскольку в практических приложениях наиболее интересны именно случаи малых уровней значимости, высоких мощностей и близких альтернатив, то все три определения представляются обоснованными и естественными.

В данной работе для сравнения критериев мы будем пользоваться АОЭ по Бахадуру. Для этого есть несколько причин. Во-первых, питме-новская эффективность пригодна в основном для асимптотически нормальных статистик, и при этом условии совпадает с локальной баха-дуровской эффективностью [23], [12]. Мы же рассматриваем не только асимптотически нормальные статистики, но и статистики квадратичного типа, для которых предельное распределение при нулевой гипотезе резко отличается от нормального, так что питменовская эффективность неприменима. Во-вторых, АОЭ по Ходжесу-Леману непригодна для исследования двусторонних критериев [12], [46], поскольку все они оказываются асимптотически оптимальными, а для односторонних критериев эта АОЭ обычно локально совпадает с бахадуровской АОЭ [12] . В третьих, недавно был достигнут значительный прогресс в области больших уклонений для тестовых статистик, что является решающим при вычислении АОЭ по Бахадуру. Мы имеем в виду большие уклонения и— и V—статистик, описанные в недавних работах [13] и [14].

Перейдем теперь к обзору содержания диссертации. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней излагаются необходимые теоретические и технические сведения из теории 11-статистик, теории больших уклонений и теории асимптотической эффективности по Бахадуру.

Глава 2 посвящена построению и исследованию критериев для проверки гипотезы симметрии. Барингхауз и Хенце в [25] предложили идею построения критериев симметрии, основанных на следующей элементарной характеризации.

Пусть X и У — н.о.р.с.в., имеющие непрерывную ф.р. Тогда |Х| и |тах(Х,У)| одинаково распределены тогда и только тогда, когда X и У симметрично распределены относительно нуля.

Эту характеризацию мы используем для построения новых критериев симметрии. Вспомним, что несколько классических критериев симметрии (см. [12], гл.4 ) основаны на характеризации симметрии еще более простым свойством равнораспределенности X и —X.

Вернемся к характеризации Барингхауза-Хенце. Пусть Х\, .,Хп наблюдения, имеющие непрерывную ф.р. <7. Рассмотрим проверку гипотезы симметрии:

Н0 : ОД = 1 - <3(-:г) V я (Е Я1. Это сложная гипотеза, поскольку вид С? не уточняется. В качестве альтернатив мы рассмотрим параметрическую альтернативу сдвига, т.е. G(x;0) = F(x — в), в > 0; скошенную (skew) альтернативу [22], т.е. д(х;в) = 2f(x)F($x), в > 0; лемановскую альтернативу [50], т.е. G(x-,6) = F1+e(x), 6 > 0 и альтернативу загрязнения [50], т.е. G{x-6) = (1 - 6)F{x) + 6Fr+1(x), в > 0, г > 0, где F(x) и f(x) являются ф.р. и плотностью некоторого симметричного распределения.

В соответствии с указанной выше характеризацией строится эмпирическая ф.р., основанная на |Xj|,., \Хп\, п

Qn(t)=n-1Y^4\Xi\<t} ¿=i и ^-статистическая ф.р.

Hn(t) = n~2 J2 Ц\тах(Х^Хк)\<г}. На основе этих функций составляются статистики: лоо [Hn(t)-Qn(t))dQn(t) J о и

J poo [Hn(t) - Qn(t)}2dQn(t). о

Здесь уместно обсудить вид этих статистик. Они имеют довольно сложную структуру. Первая из них сводится к невырожденной, а вторая к вырожденной V-статистике, что позволяет воспользоваться теорией функционалов Мизеса. Статистика не является состоятельной против любых альтернатив, однако это компенсируется ее относительно простой структурой, напоминающей интегральное представление Чернова-Сэвиджа для знаково-ранговой статистики Вилкоксона (см. [3]). Статистика Бп устроена гораздо сложнее, вычисление ее больших уклонений и АОЭ связано со значительными трудностями.

В дальнейшем и в других задачах мы будем строить и изучать интегральные статистики, аналогичные и Это направление исследований близко к работам М.Денкера ( см.,например, [31]), начавшего изучать линейные ранговые статистики £7—статистической структуры.

Статистики Колмогорова типа зир4 |ЯП(£) — (Эп(1)\ в диссертации не рассматриваются, поскольку нам не удалось найти метод для изучения их больших уклонений. Впрочем, статистики типа Колмогорова обычно проигрывают интегральным статистикам по асимптотической эффективности при стандартных альтернативах [24], [37], [12], [41], [35].

Оказывается, что статистики и являются свободными от распределения, что облегчает вычисление АОЭ по Бахадуру. Для них в диссертации находятся предельные распределения.

Теорема 2.2.1 Для статистики 5* при п —» оо справедливо:

Теорема 2.3.1 Для статистики при п—>оо выполняется оо 1 где Тх независимые стандартные нормальные с.в., А* = о щ являются положительными нулями бесселевской функции 4

Далее для статистики вычисляется локальная точная бахадуров-ская АОЭ и изучаются условия локальной асимптотической оптимальности, т.е. ищется то семейство ф.р. для которого локальная АОЭ оказывается равной 1. Для статистики мы вычисляем приближенную бахадуровскую эффективность.

Следующие три главы относятся к исследованию критериев согласия.

В главе 3 строятся критерии для проверки экспоненциальности. Экспоненциальный закон является одним из центральных законов теории вероятностей, а модели, предполагающие экспоненциальное распределение наблюдений, часто появляются при решении прикладных статистических задач, например, при изучении времени наработки прибора до отказа. Поэтому проверка гипотезы об экспоненциальности имеет важное значение в статистике. Литература по этому вопросу велика и отражена в таких обзорных работах и монографиях, как [21], [27], [34], [63], [7].

Несмотря на множество характеризаций экспоненциального закона [1], [36], существует немного исследований, в которых критерии экспоненциальности строились бы на основе таких характеризаций.

Самой знаменитой характеризацией экспоненциального распределения является свойство отсутствия памяти. Пусть Р - ф.р. невырожденной неотрицательной с.в., обозначим для краткости Р — 1 — .Р. Тогда уравнение

Р(х + у) = Р{х)Р{у) Ух,у> 0 (0.0.1) выполняется тогда и только тогда, когда 1 - ехр(-Аа;), х ^ 0, А > 0, т.е. только для экспоненциального распределения. Критерии экспоненциальности, основанные на этом свойстве, построены в [43], [48] и [18]. Упрощенный вариант свойства отсутствия памяти получается, если положить в (0.0.1) х = у:

F(2x) = F2(X) Vrr^O. (0.0.2)

Уравнение (0.0.2) при слабых дополнительных условиях снова связано с характеризацией экспоненциального распределения [19], [38]. Интересно, что это свойство можно переписать в терминах равнораспределенности статистик 2тт(Х!,Х2) и Х\ в выборке Х\,Хъ объема 2. Некоторые критерии экспоненциальности, основанные на этой характеризации, строились и изучались в [19] и [58].

Мы построим критерии экспоненциальности, основанные на двух обобщениях характеризации (0.0.2). Первое из них хорошо известно (см., например, [30, Теорема 3.4.1]):

Пусть X uY — неотрицательные и невырожденные н.о.р.с.в. , имеющие дифференцируемую в нуле ф.р. F, и пусть 0 < а < 1. Тогда X и min(^, •—) одинаково распределены тогда и только тогда, когда F есть ф.р. экспоненциального закона.

Помимо построения самого критерия согласия и изучения его асимптотических свойств, представляют интерес вычисление АОЭ нового критерия и исследование ее зависимости от параметра а.

Второе обобщение этой характеризации принадлежит Дезу [33]. Мы сформулируем его на основе более поздних работ [38], [1, § 5 ]:

Пусть Xi, .,Хт, т ^ 2 - неотрицательные и невырожденные н.о.р. с.в., имеющие дифференцируемую в нуле ф.р. F. Тогда статистики Х\ и т minpfi, .,Хт) одинаково распределены тогда и только тогда, когда F есть ф.р. экспоненциального закона.

Пусть Хх,.,Хп — независимые наблюдения, имеющие ф.р. Основываясь на сформулированных выше характеризациях, мы можем проверить гипотезу экспоненциальности Но, которая состоит в том, что (7 есть ф.р. экспоненциального закона .Р, против альтернативы Н\, состоящей в том, что С Ф ¥ при слабых дополнительных условиях.

В соответствии с данными характеризациями строятся эмпирическая ф.р. п = пВД < О (°-0-3) 1 и ^-статистические ф.р. п-2 ± (* ^ < 4} + ^{тш (£, < «}), 1 П

1.¿Ш=1

Мы предлагаем основывать критерии для проверки экспоненциаль-ности на статистиках: пкп = - с„(*)] аоп{1).

В качестве альтернатив мы выбираем стандартные альтернативы, используемые в литературе по проверке экспоненциал ьности: альтернативу Вейбулла с д{х) = (в + 1)хеехр(—х1+в), х ^ 0; альтернативу Макехама с д{х) = (1 + 0(1 — ехр(—х))) ехр(—х — 0(ехр(-х) — 1 + х)), х ^ 0; альтернативу линейности функции интенсивности отказов с д(х) = (1 + вх) ехр[—ж - ^вх2], х^О.

Для предложенных выше двух статистик выписываются предельные распределения при нулевой гипотезе:

Теорема 3.2.1 Для статистики И£ при п —* оо имеет место соотношение где Дз(а) определена в (3.2.2). Теорема 3.3.1 Для статистики п при п —► оо имеет место соотношение

Щ0,(т + 1)2А1(т)), где Д4 (т) определена в (3.3.6).

Поскольку обе статистики зависят от параметров а и т, то мы устанавливаем, при каких значениях параметров АОЭ по Бахадуру достигают своих максимумов и находим эти значения. Кроме того, мы строим альтернативу, при которой максимум достигается в точке а ф 1/2.

Четвертая глава посвящена проверке гипотезы о нормальности. Существует множество характеризаций нормального закона как одного из центральных законов теории вероятностей и математической статистики, и две монографии, посвященные исключительно этому вопросу [30], [52]. Мы рассмотрим слегка упрощенный вариант известной характери-зации из [7] и [45]:

Пусть Хг,Х2, .,Хт — центрированные н.о.р.с.в., имеющие ф.р. о константы а\,а-2,.,ат таковы, что 0 < а* < 1 и = 1. Тогда статистики Х\ и одинаково распределены тогда и только тогда, когда F(x) = Ф(х/а), то есть F - ф.р. нормального закона с нулевым средним и некоторой дисперсией а > 0.

Пусть Х\, .,Хп выборка с ф.р. G. Основываясь на этой характериза-ции, мы можем проверить основную гипотезу Я0, которая состоит в том, что G есть ф.р. нормального закона Фа(х) = Ф(х/а), против альтернативы Hi, состоящей в том, что G ф Фа. Строится обычная эмпирическая ф.р. Gn и V-статистическая ф.р. п ^

Bm,n(t) = п~т ( Е 1 + - + < *}),

1.¿т=1 с

Здесь и в дальнейшем символ а означает суммирование по всем перестановкам индексов. Критерии для проверки нормальности могут быть основаны на следующих статистиках:

В\,п = Г [S2,n(i) - Gn(t)]dGn(t), J —00 оо

BmAt)-Gn(t)]dGn(t), оо

Bin = Г [B2,n(t) - Gn{t)fdGn{t). J —оо

Для этих статистик находятся предельные распределения:

Теорема 4.2.1 Для статистики В\п при п —»• оо справедливо: где (о) определена в (4-2.2).

Теорема 4.3.1 Для статистики В}пп при п —* оо справедливо: где Д2(то) определена в (4-3.5).

Теорема 4.4.1 Для статистики при п оо имеет место слабая сходимость где f¿i(a) - собственные числа интегрального оператора с ядром Фa{s,t) из (4-4-9), действующего из L2(R}) в L2(Rl).

Вычисляется АОЭ по Бахадуру этих статистик, находятся параметры а и то, для которых она достигает своего максимума, а также значения этих максимумов.

В заключительной пятой главе мы строим критерии согласия для симметричного распределения Коши, основываясь на следующих харак-теризациях. Первая из них принадлежит Б.Арнольду [20] и формулируется так:

Пусть X и Y - н.о.р.с.в., имеющие непрерывную ф.р. F. Тогда X и одинаково распределены тогда и только тогда, когда F есть ф.р. Коши с плотностью f(x) = (7г(1 + х2))-1.

Вторая характеризация восходит к работе Рамачандрана и Pao [61], см. также [7], § 13.7. Ее упрощенная формулировка такова:

Пусть Xi,.,Xm, то ^ 2 - н.о.р.с.в., имеющие ф.р. F, а постоянные а\,.,ат таковы, что a¿ ф 0 и YllLi !aii = 1» причем хотя бы два числа из чисел — ln г = 1,., то несоизмеримы. Статистики Х\ и одинаково распределены тогда и только тогда, когда Р есть симметричная ф.р. Коши с произвольным параметром масштаба.

Пусть Х\,.,Хп н.о.р.с.в., имеющие ф.р. (7. Основываясь на первой характеризации, мы можем проверить простую основную гипотезу Яо> которая состоит в том, что (7 есть ф.р. Коши .Р с плотностью /, против альтернативы Н\, состоящей в том, что й Ф Р. Вторая характеризация позволяет проверить сложную гипотезу Н'0 о том, что распределение выборки принадлежит симметричному семейству Коши с произвольным масштабом против альтернативы Н[, состоящей в том, что распределение выборки не принадлежит этому семейству.

В соответствии с этими характеризациями, строим эмпирическую ф.р. £?„ (см.(0.0.3)) и У-статистические ф.р.:

Критерии для проверки распределения Коши могут быть основаны на статистиках

Для введенных статистик доказана асимптотическая нормальность: Теорема 5.2.1 Для статистики при п —* оо справедливо: 1

Мт,п{1) = пт £ — ( £ Ца^Х,, + . + а^Х^ < ¿}) п

1I Ы X

1>—|»т=1 <Г

Теорема 5.3.1 Для статистики М* при п—* оо справедливо:

-^(о.ЭДУа)), где А10 (а) определена в (5.3.2).

Для обеих статистик далее находится локальная АОЭ по Бахадуру. Полученные нами результаты позволяют дать рекомендации по использованию предложенных статистик на практике.

Результаты диссертации докладывались автором на Восьмой Всероссийской школе - коллоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 1-6 декабря 2001), на Восьмой международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 23-29 июня 2002), на семинаре Института математической стохастики Геттингенского университета под руководством проф. М.Денкера (февраль 2001), а также на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ПО-МИ РАН под руководством академика И.А.Ибрагимова (апрель 2004). Они опубликованы в пяти работах [64] - [68].

Заключение

Полученные в работе результаты вкратце таковы. Предложено и изучено несколько новых статистик для проверки согласия и симметрии, основанных на идеях характеризации. Для всех рассматриваемых статистик найдено предельное распределение, что позволяет строить асимптотические критерии значимости. Вычислена локальная бахадуровская эффективность всех изучаемых статистик при разнообразных альтернативах, она представлена аналитически и в виде графиков.

Статистики "первого порядка" более просты по конструкции, имеют в пределе нормальное распределение, причем, как оказалось, их эффективность выше или сравнима с эффективностью сложных и громоздких статистик "второго порядка"для рассматриваемого класса альтернатив. Это позволяет рекомендовать для статистической практики в первую очередь статистики "первого порядка."

Отметим, что статистики для проверки симметрии, нормальности и распределения Коши оказались весьма эффективными для рассмотренных альтернатив. Почти все наши статистики зависели от параметров, поэтому и эффективность вычислялась в зависимости от этих параметров. Для практического использования статистик приведены те значения параметров, которые мы рекомендуем для применения.

Напротив, новые критерии экспоненциальности оказались не слишком эффективными для стандартных альтернатив. Мы рекомендуем использовать вместо них классический тест Джини, эффективность которого значительно выше.

1. Азларов, Т.А., Володин, H.A. Характеризационные задачи, связанные с экспоненциальным распределением. Ташкент: Фан, 1982.

2. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967.

3. Гаек, Я., Шидак,3. Теория ранговых критериев, пер. с англ. М: Наука, 1971.

4. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных числах.М.: Мир, 1970.

5. Градштейн, И.С., Рыжик, U.M. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М: Наука, 1980.

6. Золотарев, В.М. Об одной вероятностной задаче.// Теория вероятн. и ее примен., 1961, б, N 2, 219 -222.

7. Каган, A.M., Линник, Ю.В., Pao, С.Р. Характеризационные задачи математической статистики. М.: Наука, 1972.

8. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем. М.: Наука, 1976.

9. Королюк, B.C., Боровских, Ю.В. Теория ¿/-статистик. Киев: Наукова Думка, 1989.

10. Линник, Ю.В. Линейные статистики и нормальный закон распределения. // Доклады АН СССР, 1952, т.83, N 3, с.353-355.

11. Линник, Ю.В. Линейные формы и статистические критерии.1, II // Украинский матем. журнал, 1953, т. 5, N 2, с.207 243; N 3, с.247 - 290.

12. Никитин, Я.Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М.: Наука, 1995.

13. Никитин, Я.Ю., Поникаров, Е.В. Большие уклонения черновского типа для U- и V-статистик.// Доклады РАН, 1999, т. 369, N 1, 10-12.

14. Никитин, Я.Ю., Поникаров, Е.В. Грубая асимптотика вероятностей больших уклонений черновского типа функционалов Мизеса и /-статистик// Труды Санкт-Петербургского математического общества, 1999, т. 7, 23-47.

15. Pao, С.Р. Линейные статистические методы и их приложения. Пер. с англ. М.: Наука, 1973.

16. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. 'Пер. с англ., М.: Наука, 1979.

17. Янушкявичус, Р. В. Устойчивость характеризаций вероятностных распределений. Вильнюс : Мокслас, 1991.

18. Ahmad, I., Alwasel, I. A goodness-of-fit test for exponentiality based on the memoryless property.// J. Roy. Statist. Soc., 1999, B61, Pt.3, 681 689.

19. Angus, J.E. Goodness-of-fit tests for exponentiality based on a loss-of-memory type functional equation.// Journ. Statist. Plann.Inference, 1982, 6, 241-251.

20. Arnold, B. Some characterizations of the Cauchy distribution. // Austr. J. Stat., 1979, v. 21, 166- 169.

21. Asher, S. A survey of tests for exponentiality// Commun. Stat. Theory and Methods, 1990, v.19, 1811-1825.

22. Azzalini, A. A class of distributions which includes the normal ones.// Scand. J. Stat., 1985, 12, 171 -178.

23. Bahadur, R.R. Stochastic comparison of tests.// Ann.Math.Stat., 1960, 31, No.2, 231- 260.

24. Bahadur, R.R. Some limit theorems in statistics, Philadelphia: SIAM, 1971.

25. Baringhaus, L., Henze, N. A characterization of and new consistent tests for symmetry.// Commun. Statist.- Theory Meth.,1992, 21 , N 6, 1555-1566.

26. Baringhaus, L., Henze, N. Tests of fit for exponentiality based on a characterization via the mean residual life function.// Statist. Pap. 2000, 41, No.2, 225-236.

27. Barlow, R.E., Proschan, F. Inference for the exponential life distribution.// Theory of Reliability: Proc.of the Intern.School of Physics "Enrico Fermi", North Holland, 1986, 143-168.

28. Bergman, B., Klefsjd, B. A family of test statistics for detecting monotone mean residual life.// Journ. of Statist. Plann. Inference, 1989, 21, 161-178.

29. Bickel, P., Rosenblatt, M. On some global measures of the deviations of density function estimates.// Ann. Statist. 1973, 1(6), 1071 1095.

30. Bryc, W. The normal distribution. Characterizations with applications.// Lecture Notes in Statistics, v. 100, NY: Springer -Verlag, 1995, viii+ 139 pp.

31. Compagnone, D., Denker, M. Nonparametric tests for scale and location.// Journ. Nonpar. Stat., 1996, v.7, 123 154.

32. Csorgo, M. On the problem of replacing composite hypotheses by equivalent simple ones (a characterization approach to goodness-of-fit).// Progress in Statistics, Europ. Meeting Budapest 1972, Coll. Math. Soc. Janos Bolyai, 1974, 9, 159-180.

33. Desu, M.M. A characterization of the exponential distribution by order statistics.// Ann. Math. Stat., 1971, 42, N 2, 837 838.

34. Doksum, K.A., Yandell, B.S. Tests for exponentiality.// Handbook of Statistics. Eds.P.R.Krishnaiah and P.K.Sen. North Holland, 1984. Vol.4, P.579-611.

35. Durio, A., Nikitin, Y. Local asymptotic efficiency of some goodness-of-fit tests under skew alternatives.// Journ. of Statist. Plann. and Inference, 2003, 115, N 1,171-179.

36. Galambos, J., Kotz, S. Characterizations of probability distributions.// Lecture Notes in Math., New York, Springer, 1978, v.675, 119 pp.

37. Groeneboom, P., Oosterhoff, J. Bahadur efficiency and probabilities of large deviations.// Statist. Neerlandica, 1977, 31, N 1, 1 24.

38. Gupta, R. C. A characteristic property of the exponential distribution. // Sankhya, 1973, B35, 365 366.

39. Hashimoto, T., Shirahata, S. A goodness-of-fit test based on a characterization of uniform distribution.// Journ. Jap. Stat. Soc., 1993, 23, N 2, 123-130.

40. Henze, N., Meintanis, S.G. Goodness-of-fit tests based on a new characterization of the exponential distribution.// Commun. Statist. -Theor. Meth., 2002, A31, 1479-1497.

41. Henze, N., Nikitin, Ya.Yu. A new approach to goodness-of-fit testing based on the integrated empirical process.// Journ. Nonpar. Statist., 2000, 12, 391-416.123

42. Hoeffding, W. A class of statistics with asymptotically normal distribution// Ann. Math. Stat., 1948, 19, 293-325.

43. Hollander, M., Proschan, F. Testing whether new is better than used.// Ann. Math. Stat.,1972, 43, 1136-1146.

44. Janssen, P.L. Generalized Empirical Distribution Functions with Statistical Applications. Limburgs Universitair Centrum, Diepenbeek, 1988.

45. Kakosyan, A.V., Klebanov, L.B., Melamed, J.A. Characterization of distributions by the method of intensively monotone operators.// Lecture Notes in Mathematics, 1984, v. 1088. Berlin : Springer-Verlag. X + 175 p.

46. Kallenberg, W.C.M., Kourouklis, S. Hodges-Lehmann optimality of tests.// Statistics and Probab. Lett., 1992, 14, 31 38.

47. Klebanov, L.B., Kozubowski, T.J., Rachev, S.T., Volkovich, V.E. Characterization of distributions symmetric with respect to a group of transformations and testing of corresponding statistical hypothesis. // Stat. Probab. Lett. 2001, 53, N 3, 241-247.

48. Koul, H.L. A test for new better than used.// Commun. Statist. Theory Meth. 1977, A6, 563 574.

49. Kyriakoussis, A., Li, G., and Papadopoulos, A. On characterization and goodness-of-fit test of some discrete distribution families.// Journ. Statist. Plann. Infer., 2002, 74, 215-228.

50. Lehmann, E. The power of rank tests. // Ann. Math. Statist., 1953, 24, N 1, 23 43.

51. Lin, C.C., Mudholkar, G.S. A simple test for normality against asymmetric alternatives.// Biometrika, 1980, 67, 455-461.

52. Mathai, A.M., Pederzoli, G. Characterizations of the Normal Probability Law. NY: Wiley, 1977.

53. Mises, R. von. On asymptotic distribution of differentiable statistical functions. 11 Ann. Math. Stat., 1947, 18, N 2, 309-348.

54. Morris, K.W., Szynal, D. A goodness-of-fit test for the uniform ^ distribution based on a characterization.// Journ. Math. Sci.,2001, 106,1. N 1, 2719-2724.

55. Mudholkar, G.S., Lin, C.T. On two applications of characterization theorems to goodness-of-fit.// Goodness-of-fit, Debrecen/Hung. 1984, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 1987, 45, 395-414.

56. Muliere, P., Nikitin, Ya. Scale-invariant test of normality based on Polya's characterization.// Metron, 2002, LX, N.l-2, 21-33.

57. Nguyen, T.T., Dinh, K.T. Characterizations of normal distributions and EDF goodness-of-fit tests.// Metrika, 2003, 58, N 2, 149 158.

58. Nikitin, Ya. Yu. Bahadur efficiency of a test of exponentiality based ona loss-of-memory type functional equation// J. Nonparametric Statist., 1996, 6, N 1, 13-26.

59. Nikitin, Ya. Yu., Tchirina, A. V. Bahadur efficiency and local optimality of a test for the exponential distribution based on the Gini statistic.// Journ. Ital. Statist. Soc., 1996, 5, N 1, 163 175.125

60. Polya, G. Herleitung des Gauss'schen Fehlergesetzes aus einer Funktio-nalsgleichung.// Math. Zeitschrift, 1923, 18, 96 108.

61. Ramachandran, В., Rao, C.R. Solutions of functional equations arising in some regression problems and a characterization of the Cauchy law. // Sankhya, 1970, A32, N 1, 1 30.

62. Rao, C.R. Criteria of estimation in large samples.// Sankhya, 1963, A25, 189-206.

63. Spurrier, J.D. An overview of tests for exponentiality.// Commun. Statist.- Theory and Methods, 1984, 13, 1635-1654.

64. Работы автора по теме диссертации:

65. Литвинова, В. В. Новый непараметрический критерий симметрии и его асимптотическая эффективность.// Вестник СПбГУ, 2001, Сер.1, вып.4 (25), 17-19.

66. Литвинова, В.В. Непараметрический критерий симметрии, основанный на характеризации Барингхауза и Хенце.// Обозрение прикладной и промышленной математики. ТВП, Москва, 2001, 8, N 2, 787-789.

67. Litvinova, V.V. Asymptotic properties of symmetry tests based on characterizations. // 8th Vilnius Conference on Probab.Theory, June 2329, 2002, Abstracts, TEV, p. 182.126

68. Литвинова, В. В. Два критерия согласия для распределения Ко-ши, основанные на характеризациях.// Записки научных семинаров ПОМИ, 2002, 294, 139-147.

69. Литвинова, В. В. Асимптотическая эффективность семейства критериев для проверки экспоненциальности.//Депонировано в ВИНИТИ, 2003, N 1742 У2003, 13 с.