Булевозначный анализ кусочно-ограниченных операторов на счетно-нормированных пространствах и их индуктивных пределах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

шдшня иш ссср

ордена тш шшт отделение ®ащ (шяшш

l'a ггрзсах рукописи УДК 517.98

СЙКОШШЙ Михаил Ромуальдоптгт

БУЛЕШЗНШНЯ ШЛЮ ГО'ШЧШ-ОГРШШШЖ ОПЕРАТОРОВ НА СЧШО-HÔMîPÔBMffiX ПРССТРАГШЛХ И ЙХ ВДЯбИВЙЖ ПЩШШС

, 01.01,01 - кзтемзтичзский Sítmv>9

.АВТОРЕФЕРАТ диссергягяп; яз ешбгойшв* yts»tsft сго~жл

Новосибирск - 1989

?йбош выполнена в Горькоеордена Трудового Красного знамени государственном педагогическом институте имени М.Горького»

Официальные оппоненты; д.ф.-м.н, А.Г.Кусраес

к.ф.-м.н. В.А.Гейяер

Ведущая организация: Ленинградский государствешщй университет, кафедра математического анализа

Защита состоится "_" __ 19о9 г, в _______

часов на заседании специализированного совета К 002.23.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090» г. Новосибирск, Университетский пр., д. 4.

С диссертацией моино ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_"____ 1989 г.

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.-м.н.

В.В.Иванов

- ОБЩАЯ ХАРАКТЕИЮШСА РАБОТЫ

.Актуальность,темы. Булевозначные модели теории множеств были построены Д.Скоттом и Р.Соловэйем и нашли многочисленные применения для доказательства независимости различных предложений от аксиом теории множеств Цермеяо - Сренквля.

СледуэдиЯ этап в применениях булевозначных моделей свя- ■ зан с появлением булевоэначиого анализа, развитого в работах Е. И. Гордона, Г.Такеути, А.Г.Кусрзева, С.С.Кутатвладпе,-В.А.Яэбецкого, М.Озавь: и др.

Метод- булевозяаедого анализа основан на том, что многие достаточно сложные натоматиодскяо.структуры становятся существенно более простыми при под лив в подходящую булевозначную модель. Так, например, расширенное {{-пространство с базой !В отттвтся полем еесдестсенинх чисел в булевозначком универсуме V3 (Е.И.Гсрдсн). Аналогично в работах разлитых авторов показзко, чю оперзтора- с абстрактной нормой становятся лспрз-рнБНши яинайнши З^нкпионаяпыи, опора-гор условного математического ожидания - интегралом Лебега, оператору Нагаром - по-рядЕово-неиреравкуми фнкцкоидлаии, пространство Банах?? —Канторовича - банахосга простргистиом, уиктярньй. продетасязнмя локально-компактных обелееде групп - характерами деоВсгсенких групп к т.д.

После .'-ого как яр« подт>е«э еяеэтей структуры найдена ее более простая интерпретация в булевозкачной модели , пстяьзу-т Vон фзкт, что -классически выподйкуэ гвореин теор><я множеств 2РС имеют булеру опенку, равну» едкншо, а таюго, иго, ост оценка хорновской формул» ц> расна едкнккз, то - истшш в спуске, т.е. о исходной структура. Таким способом к»» доказать, например, вещественную зтщгвсть рзезирённзго К-ггрост-ранет з,, используя вещественную замкнутое«» пояя де$стк)«?ль~ ных" чисел,' интегральную'яредстзтодость-ояераторер с абстрактной нормой, используя интегральную првдеташжоеть яичейнда функционалов, получать: различные факты об операторах ГСягерлм *из 2ГС-теорем.ояорядково непрерывных функционалах и т.д. Классическая' теорегп Стоуна об однопараметрической группе унн~

мриых.операторов получается переносом простой теоремы о строении характеров группы вещественных чисел.

Из сказанного видно, насколько ваяно уметь находить хорошие буяевозначныэ интерпретации для различных математических объектов. В диссертации такая задача решается для широкого класса операторов на счетно-нормированных пространствах и строгих мндукаивных пределах таких пространств со значениями в ¡{-пространстве. Эти операторы названы кусочно-ограниченными {и.о. операторами). Понятие и.о. оператора естественно возникает при обобщении понятия оператора с абстрактной нормой на банахавом пространства на лолинормированные пространства. В важных для приложений случаях» когда в качестве [{-пространства выступает пространство измеримых функций нч некотором пространстве с мерой, к.о. операторы - это просто непрерывные отображения в произведения.пространств типа с тихоновской топологией. Класс "к.о. операторов содержит непрерывные операторы на счетно-нормированных пространствах со значениями в ^-пространствах ограниченных элементов, многие, в том числе дифференциальные операторы на пространствах гладких функций (если рассматривать их как операторы со значениями в {{-пространстве измеримых функций на Еп ) и другие.

Оказывается, -что к.о. операторы интерпретируются как непрерывные линейные функционалы на.некотором по линормированном пространстве в подходящей булевозначной модели теории множеств. В случаях, когда структура функционалов на этом пространстве в модели известна, методом булевозначного. анализа можно получить результаты о структуре соответствующих к.о. операторов. Например, для к,о. операторов на пространствах пробных -функций со значениями в К-пространстве измеримых функций получены различные типы их интегральных представлений. Эти представления, а также аналог для к.о, операторов известной теоремы Шварца о ядре получаются переносом на к.о. операторы результатов об обобщенных функциях. Отметим, что отыскание интегральных представлений для различных классов операторов является традиционной задачей в функциональном анализе. ', /

Поняг. ;е к.о. оператора представляет интерес и в связи с вопросами существования, единственности и структуры решений

дифференциальных уравнений в частных производных, поскольку . решения некоторых классов таких уравнений с измеримыми коэффициентами, как показано в работе, могут быть иитерпротирова'-, ны как к.о. операторы. . " ~

Цель работы. Работа посвящена исследованию следующих вопросов}

а) построению подходящих пространств булавозначнух интерпретаций для пространств линейных, билинейных и полилинейных к.о. операторов;

б) изучению методом булевозначкого анализа различных свойств к.о. операторов» в том числа их интегральных представлений (для к.о. операторов на пространствах гладких функций);

в) изучений методом булвпозначного анализа вопросов о существовании, единственности и структуре .решений некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных а измеримыми коэффициентами;.

г) применению булевозначного анализа для доказательства интегральной представимости некоторых классов, операторов.

Основная .методика исследования. Основным методом исследования в работе является метод булевозначного анализа, возможность применения которого здесь основана на существовании подходящих булевозначиБК-реализаций для исследузмих классов опв-.'раторов, а ташэ на свойствах абсолютной опредезшости различных пространств функций» Используются такае метода теории упорядоченных пространств, теории обобщенных функций,

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. • - ■ , .'.'. ~ ■

, Основные ре зул ьта'ты.. работы. ' .,. '

I. Установлено, что пространства линейных (полилинейных) к.о. операторов на счетно-яормированных пространствах и их строгих индуктивных пределах со. значениями в '^-пространствах изоморфны пространствам'линейных (полилинейных), непрерывных " функционалов на подходящих полных пространствах в булевознач-.ной модели у® теории множеств 2РС (теоремы I и 2).. ' ■■ 2. С использованием'свойстве абсолютной определимости ос-

.-'б -

ковных пространств гладких функций (теорема 3) получены конкретные примеры соответствий вида

к, о. оператор «*-*■ обобщенная функция в У (теорема 4) и интегральные представления для к.о. операторов на пространствах гладких функций со значениями в К-пространст-ве измеримых функций (теоремы 5, б).

3. Для 'билинейных к.о. операторов доказан аналог известной теоремы Шварца о ядре (теорема 7) и получены интегральные представления таких операторов.

4. Исследованы вопросы о существовании, единственности и структуре решений дифференциального уравнения "

PCD) U « А ,

где P(D) - дифференциальный многочлен с измеримыми коэффициентами (или с коэффициентами из произвольного расширенного К-пространства), к заданный к.о. оператор на одном из пространств гладких.функций со значениями в • -К-простраисгве измеримых функций (или со значениями в произвольном расширенном К-пространства) (теоремы 8, 8'М 9). '

с. 5. Показано, как методом булевозначного анализа У,ото единообразно получать некоторые (известные) теорзмы об интегральной представимости некоторых классов операторов (теорема 10). . 1 .

. Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теории обобщенных функций, теории дифференциальных уравнений с частными производными, а также в связи с другими применениями булевозначного анализа. '

Апробация.работы. Основные результаты диссертации докладывались в Горьковском и Ленинградском университетах, Горьков-ском пединституте, в Институте математики СО АН-СССР, на Х-ХП Всесоюзных-школах по теории операторов в функциональных•пространствах в городах Новосибирске (1985 г.), Челябинске (1986г.) и Тамбове (1937 г.), на № Всесоюзной конференции по математической логике в г. Москве-(1986 Р'.), на конференциях молода« ученых Горьковской области к Волго-Вятского региона (1933 и 1964 гг.). . .

Публикации. По теме диссертации опубликовано В работ.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 86 машинописных страниц, состоит из введения и двух глав, разбитых на 9 параграфов. Список литературы содержит 60 наименований:.

(ЗДЕШНИЕ ДИССЕРТАЦИИ •

Во сведении обосновывается актуальность теш, дается обзор литературы, кратко описывается история возникновения метода буяевознатдаого анализа, указывается цель работы к приводится аннотация полученных результатов.

В первой главе строятся булевозначныз реализации кусочио-ограниченяых (к.о,5 оператор-в. .■ '. . ■

Первый-параграф носив встоиога,гвльннЙ' характер. В ном приводится сведения, о. булевозначном' универсума' • У® , К-простран-етвах, счетно-нормировзниых {с.н.) пространствах и их строгих индуктивных пределах, формулируется теорема Гордона о том, что, если А такой элемент V1'3 » что •••''■

- поле вещественных чисялЗ}"» I,, ; ' . . то его спуск Ш является рассиренг-гш К~пространствоп о баэоН» изоморфной. 1Б . - . , , -. •;.-!•

Во второй параграфа"приводятся определения и доказываются различные свойства к.о. операторов;: '.' '■■'•:.-

Пусть ,-К-простракство а едадацей 1м базой В »X -с.н. пространство, X =\Шп "/строгий индуктивный.'предел последовательности ' Х^ с.н. пространств. . ;

. - Определения. 'I). Линейное-отображение А Г X —»ЛV назовем к.о. оператором, если существует-счетное разбиение единицы {Ь^} базы Ш . К-пространства и. семейство непрерывных полунорм { р. } на К такие, что - '■ ■ V ./у' ; ••

€ X VIД М 1 ь- ^

где!А1р|-Ь-- проекция элемента"'I Ац>} на полосу, (компоненту), порожденную. Ь^ ' • ; ',;- - ''¡. .'■':'!' '•'■ '■■„■:■:..■'.■/.■"■■' '.

.; 2) Отображение- А^ X -назовем'-к.о, 'оператором, если для всех П€:1Ы 'сужение <1 п * А ГК„ ' X п ; является к.о. операторо!. в силу .пункта-.!)-'определения..:-^ • '"".'*-'.''--.''

- 8 -

i

Свойства, доказанные в § 2, показывают, что совокупность Pb CX.W) к.о. операторов на X (или Pb (X, W) на X ) является векторным пространством^над ¡R, (или С )» а если УУ~ -расширенное K-пространство, то модулем над У/ . В частности,-последнее справедливо для расширенного К-пространства SCT.S,/i) измеримых почти всюду конечных действительных функций на Т , гдо < Т> 2>(дУ- измеримое пространство сб' -конечной мерой ß , а функции, оовпадащие почти всюду, как обычно, отождествляются. - При этом к.о. операторы со значениями в SC Т, Z, /Л) естественно стсшдествляются с непрерывными ото- ■ брааенилми в произведения пространств типа » где .

{W;} j€¡M - разбиение Т на измеримые множества.

В § 2 приводятся примеры к.о. операторов, Показывается, ) например, что непрерывные операторы на пространстве Шварца I 5(КЙ) можно рассматривать как к.о. операторы (со значениями в К-Яространетве S (Йп, Бог, doc ) » где бог - б -алгебра борелевских множеств в. En » dx - м®Ра Лебега на ней), что к.о. операторами из ¿(ffin) в ¡5(1!?* Bor, dcc) являются отображения вида ц> h-r- где и fj: боре- ' левские, ipoíj - композиция £j и ц> .

В J 3 рассматриваются к.о. операторы со значениями в расширенном K-пространстве Я} • Для модулей PbCX.ßi) и Pb(3C,JU> строятся их булевоэначные интерпретации. Пусть X -такой элемент Y® . что £х - пополнение X 1-1. Здесь X - образ X при каноническом вложенииv) у V® универсума всех мно -жеств V в' У® , который является в счетно-нормированным .пространством над ¡ft ' или С .Тогда f X - полное с.н. пространство! а I. Пусть |ЗГ=* tim Xn|=sf, a L* является топологическим сопряженным к L, . Линейный непрерывный функционал U X Я в vß X* J = 1 ) определяет опера-.

т°Р Г X Äi по правилу

Vi?€X ÄtCi?)= U¿f).'

Аналогично определяется и A¿ X Я по элементу t£ X* в VB •

Теорема I. Отображение является изоморфизмом

' модулей (Xft)i и PKX.5U) <илк (X*)i и РЬСГ,П|У) над£{ .

В § 4 " досматриваются билинейные к.о. операторы и строят-

е'я булевозначные реализации для пространств таких операторов.

Пусть IV - К-пространство с единицей I- и базой ¡8 »XV" с.н. пространства, £ = Цщ Хп> 'Й= Цт^- строгие индуктивные пределы последовательностей Х^и с.н. ■-пространств.

Определения. I) Билинейное отображение В I X * У УУ на" зовем и.о. оператором, если существуют счетное разбиение единицы базы В К-пространства У1/ и системы непрерывных полунорм {р^} и {^'3 на X и У соответственно такие, что

VI?€X Уц'сУ. У^€!М ^

2) Отображение 8назовем к.о. оператором, если для всех л С !Н супения

м«" v vх ,"

являются к.о. операторами в^силу пункта_1).

Обозначи?« через $ (X, 5) (или ЗКСС,^)) пространство^би-линейных непрерывных по каждому аргументу функционалов на X * ^ Сна ) в V18 . Пусть (X Д) в Vй . Определим отображение Ва .' X * У Зи правилом =

Аналогично определяется Ве( для 4 ££(£,§) .

Теорема 2. Отображение (1 »-» Вс1 является изоморфизмом модулей и Рьи«а, Я*)•• (мяи ЭДЩН РЬ(£»У,ЯО>.

над • . - • "

Зо второй.главе изучается приложения булевозначных реализаций к.о. операторов. При этом важную роль играет свойство абсолютной определимости различных пространств гладких функций, которое рассматривается в I 5 и вырааается теоремой 3. . Пусть - нуб в ¡Еп . заданный условиями (оС^пг, га€ М , I ~ I, 2, ...,п , а ЗС^ - аналогичный куб в в V® .

Пусть ДК К^") - пространство бесконечно дифференцируемых функций с носителем в К ^ , ¿ЬСЯ71)- пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, <5Ш") - пространство Шварца, С^ОЯ") - пространство беек чечно дифференцируемых функций & их обычными топологиями, аЗ)(ЗЕ^> , ЖЯ") » • С °° ( ~ такие элементы 7® » ко орые являются пространствами Л(КЗКК?) .-5(8*) и СФСЙ*> соответственно. То есть;

Г Ю -

« ,

например,

$(&")- пространство Шварца jal. Теорема 3. [C^ÍR*) и СЖС«*\изомор$ны J £5( К") и ЗСК"") изомс>Р?ш1-СЖЭС^) .иЗКК*) изоморфны J =1.

Из теоремы следует, что jTäXJ^) и ürnSK К^) изоморфныЗ=

• I. '

' • ß

Изоморфные пространства в У. - в дальнейшем отождествляем. В силу теорем I, 2 и 3 имеем, например, такие пара изоморфных модулей: РЬ(ШП), Si) и ¿(Яп)*1 » РЬ С Э) iß"), ЛО

иЖЗГН ; Pb(ó,(Bn)«Í(i8,n),ftO иАези"), SCJim)}|

и т.д.

Рассмотрим к.о. операторы на .$(¡un)или '3)(¡Rr)co значени- ■ шив S С 1»ЯП( Bor ,d:c) ..При соответствующей.булевозначной ре-, ализации (построенной по базе S.(l!ln, Bor, da; ) } борелеведэ функции 4¡Rn-* й и тi: lRn —s- 'ßn являются элементами Щ { и 311" соответственно. Рассмотрим в у® : функционал I. на (или

ЖСЛ"") ), заданный правилом ' '

'. ß • ■ v

где ^ -щ -мерный ыуяьтииндекс. Очевидно,.

лсф) = «я. d^ б с ?

т.е. {, в V® - произведение числа на производную б.-функции в точке Поэтому он непрерывен и,-очевидно, линеен.;

Теорема 4. К.о. оператор' hi . соответствующий обобщенной функции i в У® ■ задается .'следующим образом:

At(4>Xx) = <гo'^áCx) (в^о-^г), ¡^ ,ip€ 3(e").

Выбирая.dl(oc) , t¿(x) и -конкретно,-получаем "онкретные .:'■ примеры соответствий вида ; к.о., оператор обобщенная функ--ция в У® . Так 'можно..получить.'бул'евозначные-реализации тождественного оператора, операторов дифференцирования, умно?та-шя' на координату или функцию, сдвига и т.д.. '

В 5 0 приводятся-интегральные представления ,к.о. операто- . ров на гроетранствах. гладких фунютий со -значениями в K-прост- ;

г II -

ранстве измеримых функций.

Теорема 5. Пусть А; {, —*■ ЗСТД,^) ~ к.о. оператор на одном из пространств 33(К) , 50Я"), С^Сй")» Существуют измеримая при каждом ,х£ 1ЯП почти всюду непрергзвная функция в ." Г* Т Я » счетное разбиение (щ.} пространства Т на измеримые множества и семейство мультииндексов {а-} такие, что ^ а..

(Аф)(ОИ (-1) С(х,{)0)

йп

для почти всех ■ •

к.

Теорема, 6. Пусть А Ь —^ б (ТД, р) - к.о. оператор на ЖЕ") «ли ЗСК"). Существует последовательность в к(Я,О измеримых функций такая, что

(Ац>')(0* 1£т

^ <33

О„ С-х;Ь} (-р(о;> с!х почти всюду.

К

й'

п

При этом 0 „ (¿с,1') при каждом ос бесконечно дифференцируемы почти при всех \ ,

В § 7 для билинейных к,о. операторов доказывается аналог известной теоремы Шварца о ядре и с учетом теорем 5 и 6 в качестве следствий.получаются интегральные- представления таких операторов. .....

Пусть I - одно из пространств ЗСК") .ЖК^) или Жй"). Обозначим через Ь х Ь произведение однотипных пространств, т.е., напршлер, а)(й*). . (

Теорема .7, Для какого билинейного к.о. оператора В! Ь —найдется линейный к.о. оператор А' !_. -*■ Л1 - такой, что •'-.■'''■

V ч-е ьл 8(1?л)= Л (чм">< .

Б 8 изучаются вопросы о существовании., единственности и виде решений дифференциальных уравнений с-"измеримыми коэффициентами (теоремы 8 и 9} или с коэффициентами из произвольного расширенного К-пространства (теорема в') . Дл" мультииядекса

, ^г,1) производыя н.о. оператора А на пространстве гладких функций на |Я.П определяется следующим образом:

A. W -J

(D А'ХЦО^-О A<D*4).

Пусть P(D) =Z I DA дифференциальный многочлен с коэффици-

! latent1 u .

ентеми из S(Т,1,;д) . Рассмотрим дифференциальное уравнение

(I) pcd)U - А ,

где А - данный, a TJ - неизвестный, к.о, оператор на Ж К") или 5С£а). Если ,

VipC Aip)Ct).= j QC3f,i)4»(a>d®

if" п

для некоторой.измеримой функции G(oc;t)на IR * Т ,то скажем,

ц'у.о А задается ядром и будем писать А= ß (X,t) , . ;

Теорема В. I) Для всякого к.о. оператора А* фОЯ^^ЗСТД/д) существует к.о. оператор U ,.являющийся решением уравнения

2) Если А= ß C&.t), где Q для почти всех t бесконечно дифференцируемая функция, то существуем решение уравнения (I), которое задается ядром Ffa^t) , где F(o;,t) при каждом ОС для почти всех t - бесконечно дифференцируема. '

3) Если А- - к.о. оператор, на 5(1ЯП) , то существует решение уравнения (I), также являющееся к.о. оператором на

5 С К") • Это решение единственно тогда и только тогда, когда для любых измеримых ■ ^ , • •« > Iп • Т —«► IR ,

Z3. f^Ct)- ^ (t) почти всюду.

. Некоторые утверждения теоремы В легко обобщаются на случай операторов со значениями в произвольном расширенном K-пространстве (теорема 8 ).

В 5 9 с использованием свойства абсолютной определимости пространств LP< lRft) М-р < 00 ) получены новые доказательства • известных результатов об интегральной представимости некоторых классов операторов, принадлежащие А.В.Бухвалову и

В.Б.Короткову, что иллюстрирует еще одну возможность применения метода булевозначного анализа.

Основное содержание диссертации опубликовано g работах:

1. Сикорский М.Р. Кусочно-ограниченные операторы на счетно-; нормированных пространствах как линейные функционалы в V / Моск.гос.пед. ин-т. - М., 1932. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.06.82, № 3395.

2. Сикорский М.Р. 0 некоторых применениях булевозначного анализа к изучению операторов на пространстве Шварцам/Материалы УН! научи. конф. молодых ученых механико»математического ф-та и НИИ механики (апрель 1983 г.): Сборник/Горьковсяий гос. ун-т. Горький, 1984. - Ч. 2. С. 29-35. - Деп. в ВИНИТИ 3.04.84, !? 1846. . \

3. Сикорский М.Р. О некоторых применениях булевозначного ана-лиза//Конф. молодых ученых Волго-Вятского региона. Горький, 1933 г.: Тез. докл. - Горький, 1984. - С. 124.

4. Сикорский М.Р. К реиеншэ операторных уравнений со случайными коэффициентами/Донф. молодых ученых Горьковской области, Горький, 1984 г.: Тез. докл. - Горький, 1934. - С. 125-126.

5. Сикорский М.Р. Булевозначный анализ операторов на полинорми-рованных пространствах и его приложения//Горь_ковский гос. пед^ин-т. - Горький* 1985. - 29 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.06.85, IF 5220, V V

6. Сикорский М.Р. Обобщенные функции в булевозначных моделях

' теории множеств//XI Всесоюзн. школа по теорий операторов в

• функциональных пространствах, Челябинск, май 1986 г.: Тез. докл., Часть I. - Челябинск, 1986. - С. 94..

7. Сикорский М.Р. Обобщенные функции в булевозначных моделях теории множеств// УИ Всесоюзн. конф. по мат. логике, Москва,

~ сент. 1986 г.: Тез докл. - М., 1936. - С. 176.

8. Сикорский М.Р. Изучение одного класса дифференциальных уравнений методом булевозначного анализа//ХП Всесоюзн. школа по теории операторов в функциональных пространствах, Тамбов, . сент. 1987. г.: Тез. докл. Часть П.' - Тамбов, 1987. - С. 73.

Подписано к печати ТО. 02.89_ МН 10042

Формат бумаги 60x84 1/16. Объем 0,88 п.л., 0,51 уч.-изд. л. Заказ .61 Тира® 100 экз.

Отпечатано в Институте математики СО АН СССР-630090, Новосибирск, 90 -:".'.■-- ' " . _