Нестандартные методы в гармоническом анализе и теории упорядоченных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АьйДЕМШ НАУК СССР СИЬИРСКОК ОТДЕЛЕНИЕ, ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 513.62

ГОРДОН Евгений Иэраилевич

НЕСТАНДАРТНЫЕ МН'ОДц Б ГАРМОНИЧЬСпСМ АНАЛИЗЕ И ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕННЫХ.ПРОСТРАНСТВ

01.01.01-Катематический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск-1592.

7лМ

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им.Н.И.Лобачевского.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Г.Кусраев^ доктор фиаико-математических наук С.К.Самборский;

доктор фиаико-математических наук, профессор Б.М.Тихомиров, Ведущая организация: Ленинградский государственный университет.

Защита диссертации состоится -£5 {-^Л^'^ХлХА 1993г.

в _ час. на заседании специализированного совета

Д 0G2.23.G2 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики СО АН СССР /630 090/, Новосибирск, Университетский пр.,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР. >

Автореферат разослан ¿ЦтЛ^^Ч 1993г.

Ученый секретарь специализированного совета при Институте математики СО АН СССР

доктор физико-математических наук В.А.Шарафутдинов

ОоцлЯ ЛаРШ'ШЮТКА РАЬОШ

Актуальность темы. В работе рассматриваются нестандартные методы двух типов - инфинитезимальныа анализ (или нестандартный анализ А.Робинсона) и будевозначнай анализ.

Инфинитезимальныя анализ по сушестку зосходит еще к работам Лейбница по дифференциальному исчислению, в которых бес-койечно малые представлялись как постоянные числа, меньшие любого "могущего быть заданным количества". Такая точка зрения широко использовалась в ХПП веке в исследованиях по математическому анализу. В первус очь^еаь здесь имеются в виду труды ойлера.

Современное развитие инфинитезималь.ного анализа связано с опубликованными в начале 60-х годов фундаментальными работами А.Робинсона, в которых впервые было показано, что постоянные бесконечно малые и бесконечно больвие числа могут быть введены в анализ на уровне полной математической строгости. Зти исследования не только позволили осмыслить многие математические работы ХНП зека с точки зрения современных требований, предъявляемых к строгости, но и напли многочисленные приложения в рги.личных областях математики.

Первым нетривиальным результатом, полученным при помощи новых методов, было положительное решение Бернстейном и Робинсоном известной проблемы Халмоша, о существовании инвариантного подпространства у такого линейного оператора в гильбертовом пространстве, некоторый.полином от которого-компактен.

Наиболее интенсивно нестандартный анализ применяется з теории меры, стохастическом анализе и математических вопросах статистической '^;зики. В. основе этих применений лежит конструкция пространств с мерой Лёба, которые получаются некоторым естественным образом .из гиперконечных пространств с. мерой, т. е. таких пространств, мощность которых есть бесконечно большое натуральное число. Гиперконечные пространства обладают многими свойствами обычных конечных пространств с мерой. В то же время многие случайные процессы с заданными свойствами (винеровские процессы, пуассоновские процессы и т.п.) могут быть - реализованы в пространствах- Лёба' из - случайных процессов

с дискретным временен в гиперконечных пространствах (дискретность времени достигается разбиением конечного отрезке времени бесконечно малым шагом ). Это позволяет широко и более непосредственно, чем при построении случайных процессов на , основе теоремы Колмогорова о согласованных распределениях, использовать интуицию элементарной'теории вероятностей. Впервые на этом пути Р.Андерсон построил броуновское движение в виде гиперконечного случайного блуждания. Наиболее полное изложение полученных на этом пути результатов имеется в монографии С. Альбеверио и соавторов "Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической фиаихе" (М. "Мир".-1950.-616с.).

Инфкнитеэимальный анализ плодотворно применяется также при изучении локальных свойств банаховых пространств. Важную роль здесь играет конструкция нестандартной оболочки нормиро-мированного пространства- р . Так называется фактор-пространство подпространства р , состоящего из элементов, норма ко- „ торых не является бесконечно большой, по лространству элементов, норма которых является бесконечно малой. Нестандартная оболочка банахова пространства р является банаховым пространством. Наиболее часто применяются нестандартные оболочки

стандартных пространств и гиперконечномерных пространств, т.е. таких, размерность которых есть.бесконечно большое натуральное число. Как и выше, такие пространства обладают многими свойствами обычных конечномерных пространств. В то же время нестандартные модели анализа могут быть построены таким образом, что любое стандартное банахово пространство вкладывается в некоторое гиперконечное пространство. Именно такое вложение и искользуется в упомянутой выше работе Бернстейна и Робинсона.

Приложения нестандартных методов в общей топологии и теории топологических векторных пространств потребовали дальнейшего развития техники инфкнитезимального анализа. Так при .Поучении топологии индуктивных пределов .топологических векторных пространств, а также различных топологий в пространствах операторов к функционалов применяется построенная Ее: шг-л-' ;} еком, Рихтером и Строяном теория ЗГ -монад и суперинфин/-тсшшалей. Сюда примыкают также рабги Б.А.Молчанова по при-

менения повторных нестандартных расширений в общей топологии. Отметим, что независимо и для других целей автором была разработана более общая, чем у Ееннигхофена и Рихтера, техника относительной стандартности , II, 15, 20, 21^ .

Еще одна область многочисленных плодотвортных применений нестандартных методов - качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь в первую очередь следует отметить открытие группой французских математиков (Калло, Урлаше, Трёш, Ф. и М.Дьене) новых типов траекторий, получивших название "уток", у дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Примень.ле нестандартного анализа основано на том, что переход к нестандартному фазовому пространству и фиксирование постоянного бесконечно малого параметра приводит к развитию новой геометрической интуиции, которая особенно важна в задачах с несколькими параметрами. Трудность этих задач состоит в том, что ответы в них часто зависят от того как именно стремятся параметры к своим предельным значениям. Так "утки" впервые ои.™ обнаружены у уравнения Ван дер Поля X + С*2"-О X X - СЬ , где £, - малый параметр. Утки появляются когда £> 0.-^-1 > причем при с:ределенных соотношениях между 0_ и . Применение нестандартного анализа привело к открытию и других новых объектов, связанных с фазозыми портретами динамических систем, -

- так называемых "рек". Основные результаты здесь принадлежат С.И.Самборскому, Ф. и М.Дьене.

С.С.Кутателадэе принадлежат приложения инфкнитезимального анализа к субдифференциельному исчислению. Отметим, что в отой области также" давно и успешно применяется булевозначный . анализ. Качало его приложениям здесь было положено раоотой автора т. Исследования по нестандартным методам в выпуклом анализе и, в частности, в субдифференциальнсм исчислении под-робко отредены в -.юногрЦ«;! А.Г.Кусраева к С.С.Кутателадзе -

- "Нестандартные меч оды ыа^иаа» (Новосибирск: паука. Сиб.отд. 1990.-34^0.), где впервые в литературе представлены вместе нестандартные методы обоих типов. В последующих работах этих авторов делаются, перие 'попытки - их совместного применения.

Впервые инфинитеэимальный анализ был применен к исследо- ■ ванию рядов Фурье ¿'»Люксембургом в работе " А (ХпоМ^л аррюп-сА, "Лэ Рошиял, сигаЛ^л » ( Оги^ -¿о где

была намечена программа построения гармонического анализа на локально компактных абелевых (ЛКА) группах на основе рассмотрения преобразования Фурье (ПФ) на гиперконечных абелевых группах, которые обладают многими свойствами обычных конечных абелевых групп. В то время аппарат нестандартного анализа еще не был разработан настолько, чтобы программа могла быть реализована, например, еще не была построена теория мер'Лёба. Тем ке менее в простейшем случае, когда группа есть единичная окружность, т.е. для обычных рядов Фуэье в работе Люксембурга получен ряд новых результатов об аппроксимации ПФ на окружности конечным №. Основная идея его работы состоит в аппроксимации окружности группой корней из единицы степени /У , где

/\/- бесконечно большое натуральное число., а преобразования Фурье на единичкой окружности - преобразованием Фурье на этой группе. В явном виде понятия аппроксимации компактной группы гиперконечной группой и аппроксимации оператора в бесконечномерном гильбертовом пространстве оператором в ги-перконечносерном пространстве там не вводились. Соответствующая теория построена автором в работах £5, 7, 8, 9, 24, 25~| и излагается в диссертации. Здесь упомянутый результат Люксембурга об аппроксимации ПФ на единичной окружности конечным 1Й переносится на случай произвольных сепарабельных ЛКА групп. Точные формулировки приведены ниже.

Переход ог случая компактных к случаю локально компакт-^ ных групп потребовал дальнейшего развития теории пространств Лсба, в частности, изучения 6" -конечных подпространств пространств Лёба с бесконечной мерой. Раньше основное внимание уделялось случаю вероятностных мер. Трудности, возникающие при изучении 6" -конечных пространств, аналогичны тем, которые возникают при изучении дифференциальных уравнений с несколькими параметрами (см.выше). В самом деле, например, при аппроксимации преобразования Фурье в составляются

таблицы функций на большом интервале о маленьким шагом. При

нестандартном подходе длина интервала - бесконечно большое . число, а шаг таблицы - бесконечно малое. Для сходимости аппроксимации важным оказывается некоторое соотношение между этими параметрами.

а двухпараметрических задачах фиксирование постоянного бесконечно малого (или бесконечно большого) параметра, приводит хоть и к нестандартному, но о'днопараметрическому объекту. Для преодоления некоторых трудностей, связанных с нестандартностью полученного объекта, автором и была разработана техника относительно стандартности. Понятие относительной стандартности играет определенну.* роль и при исследовании ак-~' сиоматики нестандартного анализа. Например, из результатов автора следует независимость принципа стандартизации от остальных аксиом теории внутренних множеств Э.Нельсона.

Основным аппаратом булевозначного анализа являются буле-возначные модели теории множеств Цермело-Френхеля СЕР), которые были построены д.Скоттом и Р.Соловеем в качестве одного из вариантов метода форсинга П.Коэна. Зтот метод был разработан для доказательства независимости ¡сонтинуум-гипотезы и аксиомы выбора от аксиом . Впоследствии с его помочью была доказана независимость и'Других важных утверждений гипотезы Суслина, аксиомы Мартина,.ряда гипотез из дескриптивной теории множеств, восходящих еще к К.Н.Лузину (Р.Соловей, С.Тенненба-ум, Т.Йех, В.Г.Кановей, В.А.Любецкий и др.). При зтом было обнаружено, что при помощи метода форсинга можно доказавать не ?бл'ько независимость тех или иных предложений от аксиом'Х.рС (Ир +Акснома Выбора), но и непосредственно теоремы ,

т.е. по существу, обычные математические теоремы. Например, В.А.Любеиким биле доказана следующая теорема:"Если каждое несчетное СА множество содержит совершенное подмножество, то все ГСА множества измеримы по Лебегу." Аналогичные теоремы имеются и в работах Р.Соловея.

Результаты, полученные в булевозначном анализе, также является теоремами, доказанными ме\лдом форсинга в его булево- • значном варианте. Здесь имеется, однако, своя специфика, кото-^ рая состоит в.том, что булевооначный анализ применяется к

- в -

структурам о метрикой,.принимавшей значения в полной булевой алгебре (п.б.а.) , и. основан на погружении их в булево-значный универсум Скоттаг-Соловея , где они изображают,

как правило, существенно более простые структуры. При етом, как и в инфинитезимальном анализе, имеется принцип переноса, который позволяет делать вывод об истинности некоторых предложений в исходных структурах на основании их истинности в соответствующих - структурах. К таким предложениям

относятся, в частности, играющие важную роль в теории моделей хорновские предложения.

Структуры с булевозначной метрикой естественно.возникают в различных областях математики. Например, в пространствах Канторовича С -пространствах) с базой очевидным образом определяется . -значное расстояние между элементами, .как дополнение до максимальной компоненты, проекции этих элементов на которую совпадают. *

В работах £1, 3] автором установлено, что при вложении в V ^расширенное К. -пространство с базой |В изображает гам поле вещественных чисел.

Отсюда, ввиду сказанного выше, сразу следует, что хорновские теоремы теории поля вещественных чисел истинны и для расширенных К -пространств. Зтот результат является далеко идущим обобщением полученной еще в начале ^О-х годов А.И. Юдиным теоремы о сохранении соотношений. В последующих работах автора бтот результат был распространен на.хорновские предложения яаика, включающего не только переменные, принимающие значения в расширенном -пространстве, но и переменные, принимающие значения (о) -непрерывных функций, не увеличивающих -значное расстояние (такие функции называются екстгнсиональными). При погружении в у (®) -непрерывные оксгеноиональные функции изображают непрерывные вещественные функции, а в виде хорновских-предложений указанного языка могут быть записаны многие теоремы классического анализа (теоремы Коши, Бейерштрасса, Лагранжа и т.д.)*, что позволяет получить их аналоги для расширенных -пространств.

В частном случае, когда п.б.а. |Ё> есть сильно замкну-, тая булева алгебра коммутирующих ортогональных проекторозз в

гильбертовом пространстве, расширенное К -пространство с бп» зой есть пространство самосопряженных операторов, разложения единицы которых лежат в /3 « Лля этого частного случая описанный в предыдущем абзаце результат был получен Г.Такеу-ти в монографии " Зиго а^рИЪ^Сбм, о{ Соус ¿о ¡м&ъг*.^

Его." ( Зигоиг\Лт.1 Р*оипсв±оп. 'клЪу. Рпл^,, 1978.-137р.). Там же приводится целый ряд прилояений этого результата к теории самосопряженных операторов. В частности, показывается, что известная теорема Стоуна об однопараметрической группе унитарных операторов в гильбертовом пространстве является следствие равенств-единице - оценки теоремы о строении непрерывных характеров аддитивной группы поля ¡(^ .

В основе многих дальнейших применений булезозначного анализа лежит соображение о том, что коль скоро элементы ' -пространства изображают вещественные числа в булевознач-ном универсуме, то операторы со значениями в -пространстве изображают функционалы в следовательно, имеется возможность переносить многие утверждения о функционалах на операторы. Для реализации этой идеи в конкретных случаях потребовался дальнейшее развитие техники булевоэначного анализа. В частности, б работах автора [2, 12^ было показано, что пространство операторов с абстрактной нормой на банаховом пространстве является булевозначкой моделью сопряженного пространства, а оператор условного математического ожидания изображает интеграл Лебега в подходящем булевозначном универсуме.

Впоследствии А.Г.Кусраевым были получены существенно более общие результаты в этом направлении. Им было показано, что булевозначными моделями произвольных банаховых пространств являются пространства Банаха-Канторовича, а операторы Магарам изображают положительные порядково-непрерывные функционалы в эти результаты чашли применения к исследованию аналитических представлений порядково-непрерывных функционалов и в задачах деаинтегрования. Новые-результаты о строении субдифферешшалов выпуклых операторов были получены при помощи'этих методов из известных теорем.о строении суб~

дифференциалов выпуклых функционалов С.С.Кутатедадэе и Д.Г« Кусраевым. М.Р.Сикорский показал как упомянутая теорема об операторах с абстрактной нормой может быть использована для получения известных теорем об интегральных представлениях .таких операторов.

Среди других результатов по булевозначному анализу отметим построенную Б.А.Любецким и автором теорию булевозначных пополнений равномерных структур, в которой изучаются булевс-значные модели произвольных локально компактных, а также полных метрических пространств. Зга теория была перенесена В.Л.Лкбецким на случай полных гейтинговых решеток.

Исследования Г.Такеути были продолжены им и другими японскими математиками. Бдесь основные применения были получены £ теории операторных алгебр. Главная идея этих примене- , ний состоит в том, что поскольку при погружении В Д/^'б) ПОЛНОЙ булевой алгебры 1В она становится моделью двухэлементной4 булевой алгеброй, то в случае, когда© -алгебра центральных идемпотентов некоторой алгебры фон Неймана'УД /можно рассматривать ^ХС как булевозначиую модель фактора. Интересные результаты в этом направлении получены также А.Т.Кусраевым, З.И.Чилиным и А.И.Королем.

Аналогичным образом булевозначный анализ применяют и в обцей теории регулярных колец. В работах автора показано, что рационально полные коммутативные полупростые кольца при погружении в\} ' изображают поля, а отделимые иньективные модули над такими кольцами - линейные пространства надполями. Б.А.Любецким были исследованы булевозначные интерпретации различных классов коммутативных и не коммутативных колец и получены некоторые алгебраические применения этих интерпретаций. Интересные результаты были получены Н.А.Чупиним, который при помощи булевозначного. анализа решил одну из проблем, поставленных в книге Гудерла "Регулярные кольца фон Неймана".

Следует отметить, что оценки формул элементарной теории колец со значениями в п.б.а. аннуляторных идеалов или ц^; игральных идемпотентов этих колец применялись в алгебре суще-

ственио раньше (см., например, позор А.В.Яихалева и К .'А. Ьейдара "Ортогональная полнота в алгебраических системах"// > >¡¡¡-1985 .-7.40, ВЫП.С.-С.7У--И5). Однако получение в \/(©> еначительно расширяет возможности и поэзоляст использовать принципы переноса не только для теорем, которые формализуются в элементарной теории колец, но и для значительно более сложных утверждения.

Пусть п.б.а. ¡5 есть алгебра всех подмножеств некоторого множества! (16=3>СГ>) , тогда V = V1 - декартова степень универсума всех мнпжеств"\/ . При отом

. Если и - неглавный ультрафильтр на ¡Ь , то ультрастепень ~ . которая определяется как совокупность классов эквивалентности по отношению = представляет собой модель нестандартного анализа А.Робинсона. £го обстоятельство обуславливает наличие общих черт у нестандартных методов обоих типов. В частности, исследование оценок предложений анализа з данной случае позволяет получать стандартные версии многих нестандартных утверждений. Однако следует иметь в виду, что описанная модель всего лишь иг возможных моделей ик'^инитезимального анализа, причем в виде таких моделей не может бить реализована одна из ьежиейы-лх аксиоматических систем'нестандартной математики - теория внутренних множеств З.Нельсона, в рамках которой, кстати, имеется более универсальный алгоритм перевода нестандартных предложений в стандартные. Следует отметить также, что характер приложений нестандартных методов обоих типов совершенно различен.

Цель работы. Разработать технику нестандартного анализа, предназначенную для изучения упорядоченных линейных пространств, в частности, пространств измеримых функций на множествах с б" -конечной мерой. При помощи разработанной техники исследовать вопроси об аппроксимации П5 на сепара-бельных ЛКА группах конечным П5, также о конечномерных аппроксимациях некоторых других операторов в пространствах измеримых функций, об интегральных.представлениях некоторых классов операторов в таких пространствах 0 представлениях

операторов с абстрактной нормой со значениями в произвольных

-пространствах и о переносе свойств непрерывных отображений поля на экстенсиональные (о)-непрерывные отображения --пространств.

Научная нпчизна. Все полученные в диссертации результаты ябляггсл новыми. Схематически их можно представить следующим оораоом.

и) Введено понятие относительной стандартности, на основании которого разработана новая техника инфинитезимального анализа, позволяющая преодолевать трудности, связанные с невозможностью применять простые нестандартные критерии существования предела, непрерывности функции и т.д. к нестандартным объектам, а также доказана независимость системы аксиом Э. Нельсона для теории внутренних множеств.

б) ¿оказано существование вложения произвольных пространств со счетно-конечной мерой в пространстве Лёба с равно-4 мерной мерой. Результаты об интегрируемых лифтингах функций, интегрируемых по Лсбу распространены на счетно-конечные подпространства иространтсв Лёба с бесконечной мерой.

в) На основе указанного в предыдущем пункте вложения введено понятие гиперконечномерной аппроксимации операторов в банаховых идеальных пространствах со счетной конечной мерой. Получены достаточные условия существования такой аппроксимации и доказано ее существование у операторов Гидьбертаг- Шмидта.

г) Построена теория гиперконечных аппроксимаций сепара-бельных локально абелевых групп, в которой, в частности, строятся аппроксимации преобразования ¿урье на ЛКА группах преобразованием Фурье на конечных группах и доказывается среднеквадратичная сходимость таких аппроксимаций. В случае аддитивной группы поля вещественных чисел обоснование сходимости дискретного преобразования Фурье к интегральному дается для широкого класса распределений, включающего обобщенные производите функций из й^ОР-).

д) Установлено, что расширенные пространства Кантор-.зича г::;я1тся булевовначными моделями поля вещественных чисел. На

основании этого результата описан широкий класс пгедложений анализа, истинность которых в поле вещественных чисел влечет их истинность з рашпренных К. -прострчнствах. На примере оператора условного математического ожидания и операторов с абстрактной нормой проиллюстрирована возможность сведения некоторых задач об операторах се значениями в К -пространствах к исследованию соответствующих задач о функционалах. Полученные здесь результаты лежат в основе метода булеьозначного анализа.

Все перечисленные результаты получены автором самостоятельно.

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на Всесоюзных школах, по теории операторов в функциональных пространствах в 1965-1991 годах, на Международных алгебраических' конференциях памяти А.¡4.Мальцева в Новосибирске в 1969 году и памяти А.И.Ширшова в Барнауле в 1991 году, на Всесоюзных семинарах по нестандартному анализу в Горьком и Саратове в 1£(гР-169С годах, на У Сибирской школе "Алгебра и анализ" в Л[кутске в 1991 году, на семинарах по функциональному анализу в ленинградском государственном университете и институте математики СО АК СССР в 1989-1991 годах, на семинарах по математической логике в МГУ им.М.З.Ломоносова в 1987 и 1969 годах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С1 - 253, список которых приведен в конце автореферата.

Структура к объем работы, диссертация состоит из введения и четырех глав. Список литературы содержит 167 наименовании. Общий объем диссертации -311 страниц.

Са-оСР СОГАМГи

¡3 главе 0 не содержится результатов, принадлежащих автору и вынесенных на защиту. 3 ней для удобства читателя собраны необходимые сведения о языках, моделях, аксиоматиках стандартной и нестандартной теории множеств, которые постоянно иеполы-устгя в ¡.-¿боте, ¡¡сложение здесь построено таким об-

J.'l -

разом, чтобы шим;пч, оищие черти, при суше нестандартным методам (к'ОЛл VüllOit.

iiне/л,см некоторые <j!.-rru, относящиеся к нестандартному uim.iüüv i.,i(ji»!ii!C«iift, ¡шд стандартной моделью анализа часто r.om:M;i:< т eysu-j структур над |fi< — V(lR)> которая определяется IIQ ¡¡¡¡.'.укипи: Vc(!R,)"~!& , VivM ÜiU-Vn (112)^ Vni№)

V(IP)= Un €tMV»(иг) . где £ (■%) = { А I АС К} . Ü

сугирим;\ре (jß) содержатся практически вое объекты, которые !!оучи*1тая в йналиае, П]и атом осноинис утверждения анализа »1-0 jjm или ау »/v о я в языке Ц , содержащем переменные x , у. , ... для oüq'uüotüiU'.h чисел и переменные X »У »••• Для обс,~ окачения мколосга. Сискааивения языка строится при помощи логических евдуок и кванторов из элементарных виокаиывшшй, икеммх вид: х+% - 2, Х-^- =~L , Х^ ^ > <? X > X € У

Используя теорему компактности А.И.Мальцеву, можно доказать существование • нестандартного расширения ^Л/(¡R.) ~ - Utvtuy (¡0, обладающего следующиими саойстиами: I) * V„. Ш S V* (*й); 2) * Vo (iß) = "iR. - собственное упорядочное расакрение поля ; 3) имеется сложение f.'■ VGr!)VO??)« ««дественное на , и такое, что для дц.~ oo.ro высказывания (я.,яаыка U •

и a4)..v агл,<= \г(ю\1£

<з? A-t-,--- AtO истинно в V№) тогда li только

тогда, когда истинно в *\f(lR),

где *Д - > (А) (принцип переносе!).

£сли 3 € . то ^Ü^Vt^flSKfc) .

(ISl^t) . Ii последней счучэп сусестг-усх бесконечно бд>ш--кий к стандартный элемент, «рай называете» тенью или стандартной частью -2, и обо&н?чазтся ,

Элементы*"V(iß.) нааиагттоя внутренними мночм-стаами. Остальные олеаенти V( *lft.) - внешними множбетвш». Им«*-кно для внутренних множеств ¡1 »«полнены основ»«« скъийтяа &левентов V (¿»1.) ввиду приникпереноса. Б чааптст,:, , t ¡н о гмаерхекгчтх множества и гидарк ¡«чномерпых прас-. -

- i J —

ранствах, имеют ввилу внутренние объекты. Суперструкгура*\'('//^ обладающая указанными свойствами и называется (»стандартной моделью анализа. Кроме того имеется аксиоматический подход к нестандартному анализу. Одна из таких систем аксиом - предложенная З.Нельсоном теория внутренних множеств - является расширением теории 2. PC .К rlFC добавляется одноместный предикат S't('x) С" X _ стандартно") и три аксиомы, его характеризующие, - принципы переноса идеализации и стандартизации. Их точные формулировки можно найти в упоминавшейся книге А.Г. Кусраева и С.С.Кутателцдое.

В главе I разрабатывается необходимый для дальнейшего аппарат инфинитезимольного анализа. Глава состоит из трех параграфов. '

В § I разрабатывается техника относительной стандартности. Изложение ведется в рамках теории внутренних множеств 3. Нельсона - IST . Приведем некоторые из полученных там результатов.

Произвольный, не обязательно стандартный, элемент (т.е. произвольное внутреннее множество с точки зрения теории IST) назовем допустимым, если он принадлежит некоторому стандартному множеству.

Определение 1 ^ Злемент зс называется стандартным относительно допустимого элемента1!; (х >А Т) , если существует такая стандартная функция | , значения которой являются конечными множествами-, что % Q cjom. | и /X £ £(тг) .

саметим, что конечность множества ¿(«А) означает JMnib, что его мощность есть натуральное число, возможно и f/сконеч-но большое, если J.. - нестандартный элемент.

В основе применений введенного понятия лежит тот факт, что для любого допустимого Т. имеют место принципы переноса и идеализации теории T.ST , релятивиэованные к 'Г .

Ниже используются следующие обозначен'я.

... ^ Сое ж, Г

к

кераиия определений и георем г автореферате отличается от то;-;, которая принята г диссертаций.

Определимое - бесконечно малые (эСс^О) , Т - бесконечно большие (зс^оа) и ТГ - конечные числа:

о:¿о ^у^^еНЧС'*1^) • ^ Vм"

Теорема 1. Ьсли , <х.,й 112> ~ стандартны отно-

сительно допустимого , а то

Ьсли положить , то легко видеть, что по-

лученный в теореме критерий применим'к произвольным нестандар- . тным объектам. Аналогичные критерии можно получить для непрерывности и т.д. Ранее такие критерии были получены в инфини-тезимальном анализе лишь для стандартных £ , О- , £ .

Следствие. Если (Й.1-*/^ и стандартны, и

для любого 'Х. из некоторой окрестности нуля существует

а ,

¿То =

Аналогичник результаты справедливы и для произвольных топологических пространств.

Б ресоте показано также, что - конечные числа могут не иметь и -стандартных частей, т.е.ЧГ- бесконечно близких 'Х -стандартных чисел. Поскольку существование стандартной части Еытекает вХ^Т из принципа стандартизации, то реляти-виэованный к Т- принцип стандартизации не имеет места. Последний факт доказывает независимость принципа стандартизации от остальных акскомХЗТ •

Б § 2 рассматриваются некоторые вопросы теории мер Лёба. Пусть X " гиперконечное множество, , ОХ, - ал-

гебра ьсех внутренних подмножеств (т.е. ).

Определим гнешньк в смысле нестандартного анализа меру >|/д на

(X , положив СА)^ "(^ЧМ) ( Ч ~ тень гипердействительного числа , т.е. - стандартно и если , т.е. £ - не является бесконечно больмн, ; °° . ее л:! Ь ± °° )•

- 17 -

В теории мер Лёба доказывается, что продолжается

единственным образом на 6" -алгебру 6"((?0 > порожденную ОЬ. Пополнение QL) по мере "V^ обозначается "ерез Эд • Продолжение на Sa также обозначается *0д .

Пусть ^ Мл.| tioj- ~ последовательность внутренних

подмножеств X , таких , что "^д ( > М - И п., Определение 2. I) Внутреннюю функцию

Ft X , назовем - интегрируемой, если р) Д. Z. I F С*-) | + "о ;

б) А е ot и « о д IfooV??^ -; в) Ае(К и

2) Внутреннюю функцию р ^ У, —* *IR- назовем лифтингом функции »fp. = |p,\j£tOo} , если для V^ - почти

всех XfcM {(х)-°р(тс)

Это определение известно в теории мер Либа в случае, когДа 11 М — X (при этом условие в) излишне). Б работе доказывается, что известная длн этого частного случая теорем. об ^f -интегрируемых листингах интегрируемых по мере Л1ба функций^справедлива и в условиях определения 2, т.е. функция "''¡R' является О^1 - интегрируемой тогда и

только тогда, когда она имеет -интегрируемый лифтинг

F" X . При этом

х f

Теорема 2. Пусть (- пространство с £Г-конеч-ной мерой. Тогда существует внутреннее гиперконечное множество X С. и число Ь. ^'^[Р , такие, что для любой функции

шм^ча-£*?<*>). а)

г ' г '

¿■та теорема для случая пространств с конечной мерой была известна и раньше. Переход к пространствам с 6*-конечной ме-

рои потребовал применения техники относительной стандартности, развитой в § I.

Пусть теперь сепарабельнпй- локально компактное ха-

усдорфово пространство, jU. - конечная на компактах борелев-ская мира на . Ьслн хС- - то </U (х) - Л { М/\ Ц ~

- открыто I! О. 6 К )• £ * ~ монада точки "X , Д/д. (* =

- U А((х.) , At-i A/ii. ( * определяется из условия

^У^А/ьСХНеМЖС i)).

Определение Р. Пусть^ - гиперконечное множество,

- внутреннее отображение и А 6'м IR, таковы, что

для лкоого компакта К — ^ j4^ С^) = °("A,lj'

Тогда тройка (Xi^jA) называется гиперконечной реализацией

пространства .

Легко видеть, что в этом случае С, А/4(—

= U Mftl где и отображение ¿^o^H'.H-*"^

измеримо относительно и сохраняет меру. Если IR .■ то лифтинг Функции \ % ■-> ¡1^. будем называть листингом .

Теорема 3. Ьсли " г.р.пространства .

то для л к бей jVl -интегрируемой, почти всюду noJ4 -непрерывной, ограниченной функции -!R-> » которая удовлетворяет условие

МБ* *? 00 (. 6 с / \ и => 6 ■- XГЦ у (2,

^ Ь

функция р - *^j является -интегрируемым лифтингом и, следовательно, Sjieer место равенство

'(з,

"р, ^ <5 У

я конкретна;« случаях условие (2) может бить сформулиро™ ьти s сгандцч'ьих терминах, не зависящей от г.р.

Пример» .¡ует-ь , ft^dx. ~ >-;гРа Лебега,

где - бесконечно большое натуральное число, таково, что >*• X 4 опре-

деляется равенством ] (|г) = & V (? ¿У ' Тогда (X " - г.р. (ДО^^х). а условие (2) равносильно тому, что ьу оо

Отметим, что для произвольной функции из (&) равенство (3) в данном случае очевидно места не имеет. Таким, образом подмножество ^ в теореме 2 строится весьма специальным образом. Оно состоит из так называемых "случайных" злементов.

В случае компактного условие (2) в теореме 3, которое является следствием условия в) определения 2.1, излишне. При этом теорема 5 показывает, что условие, при котором

является лифтингом для,любой г.р. (Х/^Л) пространства , можно рассматривать как обощение понятия интегрируемости по Риману на случай компактного пространства с мерой Радона. Можно привести и стандартную версию определения, которая является существенно более громоздкой.

Георема 5 и пример показывают, что если ~ Г-Р*

пространства ^^ ^ ^ , Т0^(Х) естественно рассматривать, как множество узлов, в которых составляются таблицы функций на X . а - обощение

понятия шага таблицы. При этом4^^ — -интегрируемый лифтинг р. функции £ есть естественный аналог понятия таблицы функции в точках множества \ 0() •

К ели . . т0 легко показать, что|име-

ет лифтинг р , для которого ~ интегрируем: В

этом случае будем говорить, что [г _ - интегрируемый лифтинг . ^

В § 3 вводится и изучается понятие гиперконечномерной аппроксимации операторов в пространстве.", вида ^^¡^ .

. Ограничимся здесь рассматрением этого понятия в случае гиперконечных [еализаций сепарабельных локально компакт-

них пространств с мерой.

Пусть ('&1 ^.1) (С-1,1) - пространства, удовлетворяющие

условиям определения 3 и теоремы 5, ^X{, ^^ ~ их г-р*' ¡лр^Г^*) ~ некотоРый ограниченный ли-

нейный оператор. Обос. ;ачим чегез ^¡¿^ - внутреннее гиперконечномерное пространство нормой

IIFIIprCAi-Z

Определение Ц. Внутренний линейный оператор Д*. сЦ «¿'Х с HAW^*00 назовем гиперконечномерной аппроксимацией оператора J{ ; (j'O bpzl^z} если для любой пункции

, любого - лифтинга р функции ^ и

любого лифтинга G Функции выполняется соот-

ношение -Д(РЛ/р СсО . Здесь ^Г" ('£;).

Ввиду замечаний в конце § 2 смысл определения состоит в том, что оператор Д переводит таблицу функции ^ в вектор, бесконечно близкий к таблице функции^- (f)- Большинство результатов о гиперконечномерных аппроксимациях основано на следующей лемме.

Лемма. Если С Lf^Cj^i) таково, что линейная оболочка плотна в и для любой Л существуют такой J^1- - листинг р - функции £ и ^J^ - лиф-

тинг. G функции , что ||G-'A(F)Hp п.0 . то Д -

- гиперкснечномерная аппроксимация Д* . _

Теорема 4. Если ~ г.р.пространства (Х,^) >

' Л-'LlLl") оператор

Гильоерта-Шмидта с ядром £ UiCj^^f*)- то «/Г имеет гиперконечномерную аппроксимацию Д* ^^ ^ , которая определяется по формуле А(Р\)(х)=Д

где К - -интегрируемыйСли^тинг функции £

" 21 " 2 по отношению к г.р. (Л ^^ ©}") пространства

Эта теорема получека в работе в несколько более общей ситуации. Приведем одно из ее следствий, которое формулируется в терминах, не использующих инфинитезимальный анализ.

Следствие. Пусть почти всюду непрерывная ограниченная функция ^Ох,^.) €1x2 (К2) Удовлетворяет для достаточно больших ОС , у. неравенству ) & С*-,^) при

некоторых абсолютно интегрируемых на функциях Уь • удовлетворяющих условию (4). Тогда для любой почти всюду непрерывной ограниченной функции У , такой, что имеет место условие (4), т)полняется равенство ^

¿VI- I Гк ()Т^^ч -Л(5)

В случае пространства аналогичные ре ультаты

получены для операторов Гильберта-Икидта в работах В.Э.Лянце и Т.С.Кудрика.

При доказательстве леммы и теоремы 4 используется переход к нестандартным оболочкам пространств*^,^ , которые, как отмечалось, являются несепарабельными' банаховыми пространствами. °виду ограниченности нормы д , естественным образом определяется оператор Д^Ч • ® этом параграфе изучаются некоторые свойства Д& . В частности, для случая, когда =Д^ А¿^«ЬР.= К^ и д - нормальный оператор, показано, что Д& имеет чисто точечный спектр, состояний из теней точек спектра д . Ввиду несепарабельности ^ спектр Д** может при этом целиком заполнять интервал.

Во второй .гладе содержатся основные результаты диссертации относящиеся к нестандартному анализу А.Робинсона. Здесь строится теория гиперконечных аппроксимаций сегшра-бельных ЛКА групп. Сначала опишем один способ построения таких групп из гиперконечных групп.

Пусть 0- - внутренняя гиперконечная абелева группа, " П0ЙГР^ПП1' & 1 не обязательно внутренние, но та-

кие, что G~a - пересечение, a Çj - объединение некоторого не более чек счетного семейства внутренних подмножеств G* . ьведем обозначения:

W&^îKFèlr.CG-^lGoC F> ;

; c-$r G-f A*tf - образы A

и ^ при кононической проекции'JT' G* •

Имеют место следующие утверждения

I. Семейство ^F^ | F^Tn0 C&.ç) } образует базу окрестностей единицы некоторой топологии на Q-^ . Всюду ниже считается, что на фиксирована именно эта топология.

£. о~ля f € jejt^cg"^^ множество f^ - замкнуто, a f открыто.

3. Топологическая группа Qr является полной. Ь. Группа Q-"^ локально компактна и сепарабельна в том и только е том случае, когда VF^F^CXft-o С^.} если

то существует множество Ь ^ F^ , мощность которого - стан-

датное натуральное число и Fj 4-fe"2F •

* 2

5. В условиях п.А Q - дискретна (компактна) тогда и только тогда, когда - внутренняя группа; Q&содер-

жит открытую компактную подгруппу тогда и только тогда, когда существует подгруппа ^ бХ^-о ( в этом слУчае является открытой компакт кой подгруппой Ç & ).

t. JiiLбая сепарабельная ЛКА группа топологически изоморфна группе б^для некоторой тройки £ Q- • Q0 Q^ > , удовлетворяющей условиям п.ч. Нике рассматриваются только такие тройки.

Гипердействительное число IR^ назовем нормирую-

щим множителем (HV) тройки (у Ç > . если VF^XV^CÇ^1)

. Из утверждения 4 следует, что если при данном это неравенство Еыпслненс хотя бы для одного та-

кого р , то оно имеет место и для любого р- £

Рассмотрим теперь б"-конечное подпространство ; i ^ > пространства Лёба (г, S^ * Рка"

аывается, что если Д - НИ тройки G-' Gv,.Су? > • то мера

.р Э W' г

Лёба -индуцирует при помощи естественной проекции меру

ft

Хаара на и всякая мера Хаара на G" получается таким образом при некотором ИМ Д тройки •

Пусть теперь Qy труппа характеров , которая изоморфна Qs ввиду гиперконечности G" и принципа переноса. Определим две ее подгруппы (^-{oU (г I ^fO^l} 11 (r^ ~ ^I^S&l'At'Gv&i} . Очевидно ^ с^ - В работе дока-аывается, что тройка 4. G") удовлетворяет тем же ус-

ловиям. что н тройка ^ G-" (У0 ,Grp > и топологическ i группа

(з изоморфна замкнутой подгруппе Ь • При этом изомо}^ физме классу характера ставится в соответствие ха-

рактер , который определяется по формуле

^('ХС'З)) • указанные объекты отождествляются

и считается, что ^-z. • Получен ряд достаточных

условий, при которых имеет место равенство ^ " — Q}"^ . Одним из таких условий является наличие компактной открытой подгруппы у группы ffi (см.выше утверждение 5).

Определим, как и выше, гмперконечмомерное унитарное

пространство' (Q^)— ^ со скалярным произведением

forда, если Д - НИ тройки <&ч,1зо' то лйб011 f e/ia.C/i-b) существует

- интегрируемый лифтинг р функции .Id Г/7 , котонин будем называть лифгингом .

Пусть ^ (Д»I) Х . Тогда гоч( ' -эк«« определяет«« Ч* у\ /

J-'g^l« J И если Д - ИМ тройки/Q м.гй )(За> , то как и i?,..

? - • и

ше определяется >- интеггигуемии лтгтиш Н 1.ни;.:и

- 24 -

^¿>2. • В этом случае, как и б § 3 главы I опреде-

ляется гиперкснечнокерная аппроксимация оператора

Определение 7. Гроику груп;1 /_ (гоназовем допустимой, если выполнены следующие условия: I) Сг^ • с) Д - КМ тройки 3) дискретное преобразование 4урье «¿О.^ ((г) -^Хз ' котоРое определяется формулой (■)(.)—(^ТОд » является гиперконечномерной аппроксимацией преобразования Фурье

В работе доказывается, что, если ^^ имеет компактную открытую подгруппу, то тройка 4.(5-) (г0) является допус-

тимой.

1ля аддитивной группы поля (Р, допустимая тройка, такая, что Ог^ ^ строится непосредственно. Отсюда вытекает,

что любая сепарабельная ЛКА группа топологически изоморфна группе для некоторой допустимой тройки ¿Сг* > .

Определение 8, Пусть - стандартная ЛКА группа, (х

■■ внутренняя гиперконечная абелева группа, J' 0~

- внутреннее отображение, которое удовлетворяет следующим условиям:

Тогда пара^^)^^ называется гиперконечной аппроксимацией (г.а.) группы Оу .

Если - г.а. ( то определены подгруппы

Сто и ^-}'1 (//'-(*$)) • При этом НМ тройки

¿(у^б^О^ определяется равенством где

Щ- - окрестность нуля с компактным замыканием. Несложно показать, что топологически изоморфна. ^.И1 . При этом г.

а. группы ^ называется хорошей, если соответству-

ющая тройка £ От з (го,^^ допустима.

Теорема 5. Любая сепарабельная ЛКА группа имеет хороаую гиперконечную аппроксимацию. ^

Определение 9. Пусть <¿.(5-,и > - г.а.групп

^ иС^ соответственно. Назовем сопряженной к

<■ О-Л > если: /\

I) 2) Ук^^Сг^

~ ^^ • Здесь - единичный характер.

Теорема б. В условиях определения 9 если Д - НМ тройки ¿.(зЛ (гь-Л^ . то ^ - НМ тройки • кРоме

г* * \ . /ч. ' *

того тройки и являются г.р.

пространств с мерами Радона ¿О]. Сч^и ¿^С^ ( соответственно (см.определение 3), а дискретное преобразование Фурье (определение 7 п.З) является гиперконечномерной аппроксимацией преобразования Фурье <у . [до (.[^ )

Последняя теорема показывает, что для аппроксимации Г® на локально компактной группе конечным Г№ нужно построить сопряженные г.а.групп и соответственно^ При 1 этом конечное 11$ от таблицы функции, вычисленной в точках бесконечно близко К вычисленной в точках таблице Г№

от исходной функции. В работе пары сопряженных г.а. построены для многих важных абелевых групп: аддитивной группы псля 1&. , аддитивных групп колец т -адических чисел,Т-адичес-ких соленоидов, проконечных групп

В ,,иссергации даны и стандартные версии введеныхпонятий и теорем. Аналогом г.а.группы является последовательность конечных групп и их отображений в » такая, что операция в в некотором смысле аппроксимируется операциями этих конечных групп. Точное определение довольно громоздко. Стандартная версия теоремы о гиперконечномерной аппроксимации ПФ в каждом конкретном случае некоторое преде..'ьное соотношение, аналогичное соотношению (5). Рассмтрим его более подробно на примере аддитивной группы поля [р^ . Как отмзчалось выше,

згот случай требует отдельного рассмотрения.

Всркехся к примеру, рассмотрепному в § 2 главы I, Положим (¿-^-{-['¡..^и} и наделим операцией сложения

по гло&Ь! , где . 1огда легко проверить, что

- хороиад г.а. группы ¡^ .

Теорема 7. Пусть 7( Ю - ПФ , которое

«о

определяется формулой 5" •

Тогда, если £ и*?^) таковы, что\|\ и абсолютно

интегрируемы на и удовлетворяют условию й), то

& г i тш(ш - ^ i1(6)

А ' г. ,

Если потребовать, чтоб» Д-Д (б этом случае ),

Б этом случае соотношение (6) превращается в соотношение (5). Однако,в отличие от ядер Гильберта-Шмидта это равенство не имеет места при произвольных А/—* , Д-*0 . Б работе покапано, что оно нарушается, например, при • Кроме того, в диссертации, на языке нестандартного анализа, получен аналог теоремы 7, для распределений, которые являются производными произвольного порядка от функций ив [^(¡(ф.

Формулировка последнего рееультата в стандартных терминах значительно более громоздка.

Равенства, аналогичные (б), получены в работе для всех перечисленных выше конкретных ЛКА групп.

Третья глава диссертации посвящена булевозначному анализу. -

Как уже отмечалось, в булевозначном аналиее рассматриваются структуры с булевозначиой метрикой. При этом дополнение до булсвоеначного расстояния между элементами ОС , принято ¡¡ьзыв&ть оценкой их равенства и обозначать ([сс.^ ЧЦ .

- Cl -

ne)

В булевоэначном универсуме у для любых б v определены оценки CU-'J 3! 4lB и î'UéTÎ'jGiB • Тем самым для любой формулы «f теории множеств Цермело-Френкеля, с подсталленными вместо свободных переменных слементами определена оценка Jj^Jf € , причем оценки всех теорем "2FC , т.е. практически всех математических теорем, равны

4|Ги\

При погружении в \J структур с булевозначной метрикой, о котором говорилось выше, оценка равенства сохраняется. Тот факт, что при погружении структура (Ц изображает там некоторую более простую структуру, означает, что для образа в булевы оценки всех теорем об этой более простой структуре равны . Используя данный факт, можно получать новые теоремы об исходной структуре. В диссертации исследование проводит^;' в другом поря?-е. А именно, исследуются свойства структур, которые при погружении восстановятся полями, линейными пространствами над полями и т.д. Здесь основную роль играет функтор спуска, который определяется следующим образом. Пусть и ффи~Ц/д . Тогда определяется множество

-'fl-lb' ^ ^^ олРеделена °"енка равенства, индуцированная иа , Если ^ —*V Й-Ццз, >

го определено отображение fJ'Î » талое» что

tfteSÎ • Если та-

ково,, что |[t-^уЬ'*/* "Г кольио"31—jfi:/J5 » то - кольцо. Такой же факт имеет место для упорядоченных колец, ¡Цля полей и линейно упорядоченных колец аналогичное утверждение неверно. Это обстоятельство связано с тем, что аксиом;-, существования обратного элемента в поле и аксиома линейного юрядка не являются хорновскими предложениями.

В следующей таблице приведены установленные в диесерта 4ии соответствия между структурами из \/Г." ) и их спускали. 1: ipouecce развития булевозначного анализа ¿та таблица была значительно расширена. Здесь имеются в виду уже упоминавшие-зр результаты С.С.Кутателадзч , А.Г .KycptïBr.,• В.А.Лю^едкого,

- 26

¡.Таксути, автора и других

[Г"? - поле "Л-=■41,0 '• ИЬ - рационально полное полу-■и1р . ¡простое коммутативное кольцо, ¡алгебра иденпотентов которого

ИГЗ - линейное 'пространство над полем 121 - отделимый инъективный модуль над кольцом

ДЗ - линейное отображение линейных пространств над полем =

С- поле вещественных '<И(;ел (ЛЬ- расширенное ^ -пространство с базой

- непрерывное отображение . - ("О)-непрерывное экстенсиональное (т.е. та-*ое, что ^еНЗ У^УбЯ^ 4 (е.х-е у е.щы^е-ШФ) отображение...

ГМ -(расширенное) К --пространство с базой Д^*., М* - (расширенное) К -пространство с базой ,' содержащей правильную подалгебру, изоморфную |£,

Интеграл Лебега в у ОВ) Оператор условного математического ожидания.

- пространство линейных функционалов на банахово пространстве ХЦ-Лц^ - пространство операторов со значениями в расширенном К. -пространстве с базой на банаховом пространстве ^ •

Термин "отделимый модуль" во второй строке, правом столбце таблицы оаначает, что если ¿О^п^О для М <£ ^ и ««которого плотного идеала ^^ < то уу\ ~ 0 .

Основной результат едесь содержится в четвертой строке таблицы. Все применения булевоаначного анализа в теории упо-рядочных пространств основаны на этом соответствии. Приведем , один из результатов. Пусть^£, - логический язык, содержащий два сорта переменных X,у,» и два сорта констант. Константы первого сорта соответствуют всем определимым абсолютными формулами Зр числам, а константы второго сорта - определимым абсолютными формулами непрерывным функция;:. Отметим, что такими числами являются все алгебраи-

ческие числа, а также ,7Г и многие другие, а.такими функциями - например, все элементарные функции, т.е. +,

и т.д. Каждой переменной второго сорта соответствует некоторое натуральное число Р1>0 . Элементарные высказывания языка'ЗС имеют видХ<^ или ^ «.^Х^)" 5, если переменной V соответствует число ГЪ . Вместо переменных здесь могут стоять и константы. Остальные высказывания получаются при помощи логических связок 'и кванторов ив элементарных. '

Язык ^ имеет две интерпретации. При первой из них переменные первого сорта интерпретируются как вещественные числа, а переменные второго сорта - как непрерывные вещественные функции, константы - как соответствующие им числа или функции. При второй интерпретации переменные первого сорта принимают значения в расширенном -пространстве (рассматриваются только -пространства с фиксированной единицей й( ), переменные второго сорта - в множестве-¿о) - непрерывных экстенсиональных функций (см.5-ю строку таблицы). Константы первого сорта интерпретируются как элементы, равныи умноженной на соответствующее число, а константы второго сорта - как продолжения соответствующих функций на расширенные К -пространства. -

Теорема 8. Всякое хорновское продолжение языка ^ , тинное в поле вещественных чисел, истинно и в любом расширен ном ¡4 -пространстве.

Отметим, что в виде хорновских предложений могут быть записаны многие теоремы классического анализа, например, теоремы Коши, Вейерштрасса, Лагранжа и т.д. Приведем в качестве примера одно

Следствие. Пусть V) ^ -пространство, ~

- (о)-непрерывное экстенсиональное отображение , § ■- элементы О . Тогда существует таюе

СеМ , чтой<С4С и ?со-о .

Седьмая и восьмая строки таблицы пг;ченя»'гся к исследованию структуры некоторых классов операторов, сводя его к исследованию структуры функционалов, которая часто известий. Пусть, например, ( X, Й > |>0 = , О^Я-г

- произведение пространств с вероятностной мерой. Обозначим через |Л) - пространство измеримых, почти всюду по уЛ-

конечных функций, таких, что для почти всех С.

! ! 1С*,., хд)|Рс| . При этом, как обычно, поч-

ти всюду совпадающие функции отождествляются. Ясно, что^^)

модуль над расширенным ^-пространством ЭС^-к) ~ ■измеримых почти везде конечных функций V; (точнее классов этих функций по отношению совпадения почти всюду).

Теорема 9. Пусть У^Ср) —* ЭС^л) ~ линейный оператор. Тогда имеет интегральное представление, т.е. существует £ е^^С/О такая, что \/£ £ для

-Очочти всех €

в том и толвко в том случае, когда^— С0) -непрерывен и АеНоп^^СХ^^СрЛ). . Заесь Р->А

ста теорема является следствием соответствия, содержащеюся в предпоследней строке таблицы.

Элемент X в 6-ой строке таблицы есть булевозначное пополнение банахова пространства X • Теория булевозначных пополнений равномерных структур построена В.АЛюбецким и автором.В диссертации она не излагается, а только применяется к изучению операторов с абстрактной нормой. Приведем один из полученных здесь результатов.

Банахово пространство ,Х назовем абсолютно определенным, если оно описывается при псмосш некоторой абсолютной формулы ^р (в диссертации приводится точное определение). В частности, такими являются пространства, в которых имеются хорвас

описанные в некотором точней смысле, счетные плптнне подмножества. Например,этому условию удовлетворяют пространства

и '-¿р с абсолютно определенными числами й_ , £ и р , но не удовлетворяет пространство /__ ^^

Напомним, что расширенное К. -пространство о базой 16 реализуется в виде ~ гДе О- - стоуновсклй компакт

п.б.а. 15' .

Теорема 10. Если банаховы пространства X и X солютно определимы и Д! О^ - оператор с абст-

рактной нормой, то существует йн^е^Ю ЙШЙЯ!Категории

(т.е. <5\М имеет первую категорию) и непрерывная

функция . такая, что V ъсёХу^е И /\(ХН<1)-

, , • «

Если требовать, чтобы была непрерывна только в слабой-^ -топологии)^ , то^аналогичная теорема сравнительно легко может быть доказана непосредственно.

Заключительный, ^араграф диссертации посвящен рассмотрению моделей инфиодт^зимального анализа, которые получаются из булевознач'його универсума \/ (Ю при /ф •=. .

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Гордон Е.И. Вещественные числа в булевоаначных моделях 'теории множеств и К-пространстваУ/Докл.АН СССР.--1977.-Т.237, М.-С.773-775. -

2. Гордон Е.И. К-пространства в булевозначных моделях теории множеств//Докл.АН CCCP.-IS8I.-T.258,

-С.777-780.

3. Гордон Е.И. К теоремам о сохранении соотношений в К-пространствах//Сиб.матем.журнал.-Г98ё.-Т.23, №3.--С.55-65.

Гордон Е.И. Об одном представлении обобщенных функций нестандартными конечными последовательностамиУУИзвес-тия ВУЗ. Математика.-1986, №6.-С.57-60.

5.Гордон Е.И. Нестандартные конечномерные аналоги операторов в ЦС^">Диб.матем.журнал.-1588.-Т.29, Я'2.--С.45-59. .

6. Гордон Е.И. Относительно стандартные елементы в теории внутренних множеств Э.Нельсона/ Сиб.матем.журнал. -1989.-Т.30, М.-С.89-95.

7. Гордон Е.И. О преобразовании Фурье в нестнндартном

анализе//Иэвестия Ш'З.Математика.-1569 .-С.17-25.

8. Гордон Е.И. Гиперконечные аппроксимации локально компактных абелевых групп//Докл.АН СССР.-1990.-Т.314, К'3.-С.1С44-1С47.-

5. Гордон Е.И. Нестандартный анализ и компактные абеле-вы группы//(.иб.матем.журнал.-1591 .-Т.32, К .-С.26-40.

1С. Гордон Е.И. О мерах Лёба//Известия ВУЗ.Математика,--1591 .-).-2.

11. Гордон Е.И. Понятие относительной стандартности и

-менады £еннингхофена-Рихтера//Оптимизадия 48(65), Новосибирск, 1590.-С.55-62. .

12. Гордон Е.И. Измеримые функции и интегралы в булево-значных моделях//Пятая Бсессюзи&я конф.по матем.логике. Тезисы докладов -Новосибирск.-1979.-С.32.

13'.' Гордон Е.И. О некоторых приложениях булевозначных моделей теории множеств к изучению пучков алгебраических систем на пг 1них булевых алгебрвх//ХУП Все-ссюзная алгебраич.конф. Минск, 14-17 сентября 1983г.

. Тезисы сообщений. Часть вторая.-Минск: Ин-т математики АН БССР, 1583.-С.53.

14. Гордон Е.И. Гильбертовы пространства, ассоциированные с нестандартными конечномерными пространствами// УII Всесоюзная конф.по матем.логике, посвященная

7 5-летию академика А.К.Мальцева. Новосибирск, 5-7 сентября 1564г. Тезисы докладов.-Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1964.-С.45. ,

15. Гсрдон Е.И. Относительно стандартные.элементы в теории //-Восьмая Всесоюзная конф.по матям.логике. Посвященная 85-летию академика П.С.Новикова (Москва, 16-18 Сентября 155ег.). Тезисы докладов.-Носква:МП1й им.В.И.Ленина.-1556.-С.41.

16. Гордон Е.И. Нестандартная конечномерная аппроксимация преобразования 1ур1я//,ХП школы по теории операторов в функциональны* пространствах. Тезисы докладов. Тамбов, 14-20 сентября 15Г:7г-. Часть I.-Тамбов, 1987.-С. 53.

17. Гордон Е.И. О нестандартной конечномерной аппроксимации коэффициентов ряда £урье//Х_П1 Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Куйбышев, 6-13 октября 1988г. Тезисы докладов -Куйбышев, I988.~C.5S.

18. Гордон Е.И. Нестандартный анализ, и р-адические чис-ла//Международная конф.по алгебре памяти А.К.Мальцева. Алгебраическая геометрия, алгебраические методы в геометрии, анализе, теоретической физике. Прикладная и компьютерная алгебра. Тезисы докладов.-Новосибирск: Ин-т математики СО.АН СССР, 1989.-С.27.

19. Гордон Е.И. О конечномерных аппроксимациях операторов в //Х1У школа по теории операторов в функциональных пространствах. Новгород, 6-1^ сентября 1989г. Тезисы докладов. Часть I.-Новгород, 1589.-С.69.

20. Гордон Е.И. О предикате относительной стандартности//. Первая Всероссийская школа по основаниям математики

и теории функций. Математические чтения памяти М.Я. Суслина. Саратов, 16-21 октября 1989г. Тезисы докла-дов.-Саратов.-1989.-С.31.

21. Гордон Е.И. Об одной аксиоматике нестандартного ана-лиза//Первая Всероссийская школа по основаниям математики и теории функций. Математические чтения памяти М.Я.Суслина. Саратов, 16-21 октября 1969г. Тезисы докладов.-СаратоЕ.-1989.-С.32-36.

22. Гордон Е.И. Принципы переноса в теории К-пространсг-• ва//Нестандартный анализ. Третий Всесоюзный семинар.

Саратов, октябрь 1990г. Тезисы докладов.-Саратов.--ISS0.-C.9-I3.

23. Гордон Е.И. Случайные элементы в нестандартных расширениях пространств с мерой//Десятая Всесоюзная ::онф.по матем.логике. ^лма-Ата, 1-3 ноября 1990г. Тезисы докладов.-Алма-Ата: "Гылын", 1590.-С.'Г/.

24. Гордон Е.И. Гиперконечные аппроксимаг ч топологических групп/'/Международная конф.по алгьбре, посвящен иая ьимяти А. 1!.Ширшова (1с21- 1981) (¿арнлух, 5 августа 1991г.). Гезисч цэрхяч'Я ло апебр гс-оь.етр...-

- зи -

и применениям алгебры к геометрии, анализу и теоретической физике.-Новосибирск, 1991.-С.48.

25. Гордон Е.И. Гиперконечные аппроксимации вполне несвязных ЛКА групп//Чторые математические чтения памяти М.Б.Суслина, Саратов, 23-28 сентября 1991г. Тезисы докладов.-Саратов.-1991 .-С.51.

Подписанг к печати 16.12.93 г.

Формат бумаги 60x84 I/I6 овьш 2 печ. л.

Тираж 100 Заказ 180

Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СССР. 630090, Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.