Численное решение задач определения свободной поверхности жидкометаллических контактов с заданным объемом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ



АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ЧЮПАЙЛА Регимантас Юозович

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОМЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНТАКТОВ С ЗАДАННЫМ ОБЪЕМОМ

01.01.07 Вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук ■-[

МИНСК 1992

Раоща ьццоднеиа и И ¡и Ш1 ) Т^ :Ци С-.ЦаТ№П и ниформагдаи А»«ДеМНН Неу ¿Ьиии и ш ВЦ Вшышсскига Университета,

Научны« цукиво^!гели: - ч«енкец>респшдем АН Лнтвы, докто|

4>тшо-матештиче«\их наук, пцофеее«

* ф|ннка-<МА№матиче«аи наук

Чегие Рйймоадае Юазеднч

- (ДОКТВ}) фиэдм^Ма'ТШ&гических наук, Велиа Юрш! Анатольевич,

- кандидат физико-математических каук Матус Петр Павлович

О^шиилнши СШЧНиИТЫ; I

Цо.аущая организации: - Латвийский Университет

Защита состоится "¡¡¿"/чл^ Ю02 г. в п4ь " часов на зьседашш «ядоади /ииироа.ишого сойота К 006.18 01 и Институте иишШШ АН''Беларуси (22007! г Минск, ул. Сурганова, 11).

С диссертацией иих.ни изиаиошися в библиотек« Института математик АН Бсдаии,

Лтиреферит разослан ЭД" 1992 грда.

V ¡1 кии гш,решрь

. 1 . |,.1< ии.фовнгши! о СОЕеТЛ,

1.я«.пи,д.1| фИ1,-м«, наук \.И,АгтрэвпщЦ

- з-

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование как метод теоретического исследования все шире применяется во многих областях науки и техники. Поэтому актуальной проблемой вычислительной математики является построение и обоснование экономичных алгоритмов, применяемых для решения сложных нелинейных задач, описывающих математическую модель исследуемого процесса. К их числу относится класс задач, в которых постановка математических моделей основывается на вариационном принципе энергетически:: функционалов, что приводит к задачам условной минимизации. В частности, задачами такого типа являются задачи определения свободной поверхности жидких контактов. Нелинейная краевая задача с дополнительным нелокальным условием, уравнении которой следуют из необходимых условий минимума исследуемого функционала, как правило, не обладает свойством эллиптичности, что затрудняет применение оЫцих методов решения. Поэтому предлагается использовать непосредственно обобщен-кую формулировку в виде задачи на условный минимум. ТакАе важным является обоснование и исследование итерационных процессов, предназначенных для реализации нелинейных разностных схем. получаемых для задач минимизации н. выпуклых функционалов. Введение в краевую задачу дополнительного нелокального условия делает-решение и исследование задачи расчета свободной поверхности более сложной. Поэтому актуальной является разработка методов, позволяющих свести такие задачи к Краевым задачам без дополнительных нелокальных условий. Особый интерес представляет построение и исследование консервативных разностных схем. позволяющих проводить расчет на реальных, достаточно грубых . сеткал. Дополнительные требования на ак. жшичность алгоритмов и их применимость для всего интересующего спектра параметров задачи выдвигает и вычислительный эксперимент, предусматривающий многократное решение задачи.

Цель работы. Построение и исследование консервативных разностных схем для численного решения нелинейных задач, возникающих при условной минимизации функционалов, описывающих полную энергию рассматриваемой ^системы. Разработка экономичных итерационных процессов для решения нелинейных систем с дополнительным нелокальным условием. Построение специальных методов параметризации, позволяющих задачи с дополните тьным условием преобразовать к эквивалентным краевом задачам.

Проведение математического моделирования формы свободной поверхности жидких контактов как в стационарной, так и в нестационарной постановках.

Научили новизна. На основе обобщенной (слабой) формулировки в виде задачи на условный минимум доказано существование решения вариационной

ja дачи, описывающей форму свободной поверхности жидкого контакте. Для нели-ui iuiux краевых задач с дополнительным нелокальным условием предложений методика uoi'ipocuii.a консервант них разностных схем. Для их решения предложен новый класс итерационных методов, сходящихся для всего исследуемого спектра параметров задачи. Построены и исследованы численные и итерационные методы для иаряиетризированной вариационной задачи определения формы свободной поверхности разомкнутого контакга-капли. Предложен и обоснован новый метод л арами {ризации нестационарной задачи расчета динамики жидкой перемычки, позволяющий заменить задачу с дополнительным нелокальны;.« условием эквивалентной краевой задачей. С помощью разработанных алгоритмов проведен вычислительный вкспоримент расчета различи«!' состояний жидкого контакта, включая определение момента разрыва.

Практическая значимость. Получе:ише результаты могут быть использованы при решении задач физики плазмы, мех аники жидкости, газодинамики, формулировка которых основана на вариационном принципе условной минимизации полной энергии, а также для других физико-технических задач, сводящихся к решению нелинейных задач с дополнительными нелокальными, в частности, интегральными условиями. "

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции по математическим методам решения физических задач, математическому моделированию и програмированию (Дубна, 1063), на Международной конференции IMACS " Математическое моделирование И прикладная математика'' (Москва. 1900), на Всесоюзной школе молодых ученых ''Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики'' (Рига, 1985), на Всесоюзном семинаре "Математическое моделирование в естествознании и технологии" (Светлогорск, 1988), на Межреспубликанском семинаре но вычислительной математике (Минск, 1Ö89), на ежегодных конференциях Литовского математического общества, на семинарах Ннститу-ма иглатнки АН Беларуси, Ннститзта математики и кибернетики АН Литвы, fill Вильнюсского Университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубдигованы в работах

Ü-.3I. . .

f' I¡1) ктура и oöbeii paöoiu. Диссертация состоит из введишя и трех ) .4 о в f<i;;e]i;:,ar l'il страницу машинописного текста, в том числе 3 тг-.олицы и 15 | ш}|и,че Си::, ок liHTitjiyeiioii лщературы включает IIS работ.

СОДЕРЖАНИЕ ГАВОТЫ

Во введении даегся обзор современного состояния проблем, имеющих некое редственное отношение к диссертанионной работе, кротко представляются по-ле дуемые вопросы и полученные результаты.

В первой гллве на основ« вариационного принципа минимума полной =iti<-jirTin строятся и исследуются континуальная и дискретна« модели сомкнутою я-илкою контакта-перемычки, приводятся итерационные методы их решения. Предлагаемая методика построения и исследования консерпптилгшт резное гнмх схем дтл нелинейной задачи условной минимизации энергетических функционалов, опием ВЯЮЩИХ форму свободной ПОНСрХНОСТИ, является общей ДЛЯ nrett ДПСГсрТПИИоППой работы.

В первом параграфе предложена методика построения" вариационной попели равновесной жидкой перемычки с нелокальным условием сохранения оПмчп. Ии-тстральнпя Модель полной энергии перемычки учитывает анергию поверхностною натяжения и потенциальную энергию:

£(»)=£„(.<)+ £„(»). <П

где

г II _______/II

Ен(и)= 2ло чУГ+(ди/01/)''1и. j i/Vf/-

Jo 'о

Апприорные оценки показывают, что в данной ситуации. обусловленной особо малыми величинами об-ымов жидкости и коммутируемых токов, другими %Нер-гетнческими слагаемыми, в том числе и »лекгроиагнетическими, можно пренебречь. Учет в модели дополнительных сил проводится по аналогичной методике.

Дифференциальные уравнения для определения свободной поверхности жид кой перемычки следуют из условия минимум.) полной энергии С(и) (1) при условии сохранения полного объема

Г=* f'„7,1у=\'„, ' (2)

J о

где I о — заданное число. Методы. предлагаемые для преодоления трудностей, возникающих при исследовании модели (1).(2). легко обобщаются и для моделей, включающих дополнительные ансргстичсскне слагаемые.

Полная дифференциальная модель равновесной жидкой перемычки имеет вид:

+ („„и + А)„ = + {OuЦ)у)\

Ч'/ \ у/1 4 -Idti/Oy)2 Оу J

-С

и(0) = П, «(Я) = Д. п иг<1у = \'а.

Л

Полученная краевая задача является сильно нелинейной с дополнительным нелинейным условием.

Во второл параграфе с целью построения консервативной разностной схемы дискретной модели перемычки предложения методика аппроксимации интеграла полной анерг ии дискретными суммами:

- + +А(Г\-V',,). - (3)

Необходимые условя .миткум!» функционала (3) приводят к разностной схеме:

V

| + (рду, -г А)». = -1 + 4 + ^Дн) -

(4)

щ=11, «Л = Л, = (5)

1=0

Аиироксяыационная точность дискретных энергетических функционалов и построегаюЙ разностной схемы - 0{

Далее во втором параграфе исследуется разреоваюсть краевой,задачи (4), (5). Показано, кооператор разностной схемы (4), (3) не обладает свойством ной мояотоцности. Поэтому вместо исследования непосредственно разностной схемы предлагается Исследовать вопрос существоваиия решения обобщенной дискретной задачи на условный минимум. Яри тэ*ой постановке сходимость разностного •решения погашается в смысле сходимости гнергсгическах функционалов. Доказана теорема.

Теорема 1. Для задач;! условной минимизации функционала (3) справедливы утверждения:

1)Е^ = тГ£*(к)>-оо,

2)множество V.{щ : {щ} € и,Е\и) не сусто и компактно,

3)любая минимизирующая последовательность {и*} сходится ь множеству

и.. ■ • .

Так как минимизируемый функционал является дифференцируемым, то из необходимых условий минимума следует, что обобщенное решение является и решением разностной схемы.

В треп-ем параграфе первой главы для решения нелинейной краевой задачи (4),(5) применяется и исследуется ряд итерационных методов. Проведено сравнение обла,'стей.схсдимости, а также экономичности их реализации. Предложен

новый класс итерационных методов, сходящихся при Полег ¡пироном спектре нарп-метров задачи.

Для решенил задачи (4),(5) применим известный двухступенчатый итерпци онныН метод *. Внешний итерационный процесс »того метода строится для рсцгс ния нелинейного трансцендентного уравнения относительно Л:

для чего использовался итерационный метод деления интервала пополам. Зияче ние функционала Ф(А) при фиксированном А находилось путем решения пелип-11 ной краевой задачи (4).(5), что в епою очередь требует построения итерационно! о процесса, который по отношению ко всей задачу ячлпетси внутренним

Показано, что такой метод для задачи (4),(о) имеет только ограниченную область пртк нения:

Утверждение 1.2. Двухступенчатый итерационный процесс ехчдитсн только для ограниченных значений параметра V > \'„(Л, И, К).

Предлагается новый двухступенчатый итерационный метод, позволяющий избежать данного недостатка. Решается линейная краевая задача

Цик,Х^)и^ и*4"' «'у+'=Л ((•)

с дополнительным нелинейным условием

= - \'о =0. (7)

Итерационный процесс (б),(7) является внешни:!. В этом случае все иторпцпин ные приближения принадлежат к классу допустимых функций, удовлетворяющих условию неотрицательности к* > 0,« =0,1,...,Л" и условию Ф(А) = 0. На каждом шаге реализации строится внутренний итерационный процесс определения значения параметра А, для чего использовался тот же метод деления интервала пчролйм. Достаточные условия сходимости внутреннего итерационного процесса следуют 1и леммы:

Лемма 1.2. Для решения задачи (0),(7) выполнена монотонная зависимость от параметра Д. т.е. ^'(А) <0.

* Беликов В., Голопизнин В., Коателова Н. //Дифф. урави. и их применение. Вильнюс, И.МК. 1082, В;лп 31. С.9-10: Каирпге Г., Сапаговас М.. Слпаговене Д. Симокпйтсне Р. //Дифф. урачн. и их применение. Вильнюс, ИМК, 1056, Выл 30 С.34-47.

Численный эксперимент показал, что такая модификация двухступенчатого итерационного яроцессЬ сходится для всего г чтересукмцего спектра параметров задьчи.

Применительно к системе нелинейных уравнений (4),(5) построены также итерационные процессы, порожденные методом Ньютона и методом штрафных функций. Ириведеяы результаты численного расчета свободной поверхности жидкой

перемычки.

Вторая глава посвящена построению и исследованию численных алгоритмов расчета формы свободной поверхности параметризованной капли. Известно, что кривая, описывающая гребень капли, в общей случае не может быть представлена однозначной функцией; Исходя I» итого, на основе вариационного принципа минимума полной «нергак получены непрерывная и дискретная модели параметризованной капли. Проведено сравнение с [«параметризованной моделью.

Построены и исследованы итерационные методы решения задачи. Приведены ре*

з) льтаты аычислительного эксперимента разрыва жидкого контакта.

В первом параграфе в виде интеграла полной энергии построена параиет-ризнраванная модель капли

Е = 2по р г(з)х/(дг/да)-2Т(д^/Щ*<1з + хрд /' ф)(Эг/&)и2(з)<<з, (8).

'и Л '

где и(з) - высота точек гребня капли, >(л) - радиус горизонтального" сечения, а 6 [0,1).

Уравнения равновесия капли следуют из условия минимума полной ввергни ■ £{и,г) (8) при условии сохранения объема капли,

(9)

-Г / ? г К^-ЧЬ0-

XV '-51; л у

г (И)

/■' дг

1),:(1) = = 0,ц(1) — 0, 2nJ г(з)и= Го- (10)

Аналогично строчтел интегральные к дифференциальные модели висящей ьод капли. -

Пр1иiei.cu.ie Д1Я задачи (8) простейшей параметризации = ¿Л приводит к ¡ш)| еы:о^1 < л: пел1(Чейчьгх дифференцив тьиых ураакниий

-о -

_1 (_г__дЛ

гдг дг I +

А= О, (И)

/л

«(Я) = О, «¡.(О) =0, 2x1 гнЛг - И,-Jв

(1Й)

Численная реализация модели (11),(12) является более простой по сравнению с параметризованной моделью (9),(10). В работе получены оценки на параметры \го,П,К, при которых параметризации вида г = вП применима для задачи

О),(Ю).

Второй параграф главы II ппсвящ~к построению разностных сяем и игсче дованию разрешимости краевой задачи. Следуя общей методике интегралы полной энергии аппроксимируются дискретными суммами. Консервативна я ррзност иая схема является уравнение!,! Эйлера для полученного дискретно! о Фупкциопчяп полной енергии:

{щтя), -" *») +К^ ■' -

--- гу,° + ~(Ку0 - А)гг, ,0 0, у я — 0, гр = ия, г * = (14)

у/гй+У1о 2 2

0. (15)

1=0

Разностная схема нспараметризованной задачи имеет вид:

/V-!

гу, |0 = 0, у.м = 0, 2гг]*ГгуЛ - Ко - 0.

Реализация разностной схемы (16) является более простой по сравнению со схемой (13)-(15), так как приводит к решению линейной системы с трехдиагональ-нои окаймленной матрицей. При реалиэаци.. разностной схемы (13}-(15) решается система линейных уравнений с блочнотрехдиагональной окаймленной матрицей. Доказано, что возможность применения более простойПодели ограничеаа «V которым соотношением параметров \'о, К, К, Это следует из нижеприведенных результатов о разрешимости краевых задач (13)-(15) и (16).

Лемма 2.1. Краевая задача (16) имеет единственное решение в пространстве функций 1а. . .

Если потребовать, чтобы решение дифференциальной задачи (14) принадлежало классу С"1 [О, й], тогда (12) разрешима только для ограниченной области значений параметров. ......

Лемма 2.2. Решение задачи (12) при Л' = 0 существует в классическом смысли. т.е.,)!!'| < М < оо, для значений заданного объема жидкости

\'0< V' -

Лемма 2-3. При К > 0 критическое значение объема удовлетворяет условию Г'(К) < 1'*(0).

Если параметры задачи (12) выбираются таким образом, .что не удовлетворяют условиям лемм 2.2, 2,3, тогда существует только обобщенное решение задачи (12), для которого |<(Я)| = оо. В атом случае решение разностной задачи (16) как раз и сходится к »тому обобщенному решению.

Связывая эти результаты с экспериментальными исследованиями формы свободной поверхности капли, можем утверждать, что реальную физическую интерпретацию имеет поверхность капли, расчитанной при параметрах, определенны* леммами 2.2, 2.3. Когда параметры задачи не удовлетворяеют условиям лемм 2.2, 2.3, для получения гладкого решения необходимо перейти к параметризованной модели (131-115). . ' ,

Исследуя разрешимость параметризованной разностной задачи (13)-(15) доказано, что решение задачи (у(о,), г(л,)} не является единственным. Лля выделения локально едииспвенного решения использована регуляризация по Тихонову.

В третьем параграфе главы II построены итерационные методы решения задачи (13)-(15). ,Для »того.применялся полный метод Ньютона, реализация которого сводился к использованию модифицированной матричной прогонки.

Предяоли.и мщый двухступенчатый итерационный ыетод, позволяющий и ь с.цчае параметризованной модели использовать скалярный вариант ме1 ода ыоди фцциро.-щ.шой прогонки. Во внешнем итерационном процессе отс.го метода решая

- u -

задачу шшшшациш

ДЛ")= mn^J(Jf), где J(It') шш II' I,

например, методом деления интервала пополам, определяем макгшшлг.иую дчипу Л* радиуса г — г(з) свободной поверхности капли.

Значение функционала Л Л') при фиксированном Л* определяется с помощью внутреннего итерационного процесса, в качестве котирого исюльз'.ван метод Ньютона.

Приведены результаты численного аксперименга, u котсрии срлпиены нарг, метризованная и непараметризонаютн модели свободной поверхности кагпи при различных наборах параметром задачи.

В четвертом параграфе цриведешд результаты вычислительного jiiun и ть моделирования разрыва жидкого контакта. Для установления условии разрыва перемычки (сомкнутый контакт) идее отдельные калла (разомкнутый контакт) используется вариационный принцип, основанный на ерпвиешш гюцш-ix анергий обоих исследуемых состояний. Ситуация смоделирована в двух парцантак: 1) увеличение зазора при постоянном объеме нэдкости и 2) уменьшение объема при неизменной величине зазора контакта.

В третьей главе рассмотрены «тестациоцарные модели расчета формы сан-бодной поверхности жидкой перемычки. Так мыс в атом случае исследуемая область сама'зависит от времени, то естественным япляется переход ог айлеровии системы координат к лягранд;еной. Предлагается способ параметризации, основанный на заданном распределении плотности жидкости, позволяющий сцена задачу с дополнительным нелокальным условием к гьышалешиоМ краевой задаче. Исследуется и решается как стационарная, так и иссыцномарнап задачи. Дли их решения рассмотрены и исследованы экономичные консервативные разностные схемы. В случае, когда не выполняется предположение о равномерном расиреде лении плотности жидкости по сечению строится и решается двумерная нестационарная задача.

Решение нестационарных задач требует аведених кинематических внерк.-щ ческих слагаемых и использования параметризации. Оба зги вопроса ¡.¡«'сыиз ¡.и ваются отдельно. В нервом и втором пераграфах главы для стационарной задачи предлагается и обосновывается аоцый cnoíoó параметризации, позволяющий снести задачу с дополнительными ограничениями к краевой задач«-., а и цн.ть^т параграфе предложена методика построения и исследоваып; разностной аппроксимации для гсшематческих слагаемых.

U перы.ч nopal рафе стро:г;ся и исследуется стацленарлан 1.4.4сн t рч' i..

г. '.рттпчнгй модели перемычки;

■ I .'о

• 1 _

£к(м) = 2-ст / .г/^г/йа)2 + {ду/даУ<1а, .1а

Л /о

тегу ¡/.г2 —<го

со>чеи ет>о>Г> параметризации, когда удельная плотность объема жш*-пн ш »< (о) иолпгаегея зяяисящсй только от лагранжевой переменной о:

Ио) = хх2д!//да, с» € [0,1], (17)

1<1К"!1 ЧТО

) > е > 0, / и (<>)&> ^ Г0. /о

Испсльчд я условие (17) люжно выразить неременную г, что приводит к зависимое гг. гчоргич'ских фуньииоччлов только от одной функции у. Далее, на основе общей методики строию! дифференциальная краевая задача

да

( I \ I \

1 I _ 1дг/(Г)п | 2 [_аду/дс,

+ Аш(а) = 0, (18)

(/(0) = 0, ,„(0)=^, (40) = /?),

ТГ Д'

У(\)=о. (*(»)» Я)-

Уравнение (18), в которол переменные х,у связаны условиями

[IV)

^ _ ю(а} (к / I И«) \

* ~ *(&!/№<*)* ¿г-. " ^оа \Д/ (ди/0л) / '

является уравнением четверюто енцсдкг. озь-тгительчо функции ¡/ = у{и).

Полученная задача (18),(10) является краевой задачей пез дадолипе.п 1<<л <> нелокального условия. Для нее, аналогично Теореме 1 г лани /, доказан.-, тюрями о существовании решения.

Второй параграф главы посвящен построению и нсслеаопвнню разностных схем для параметризованной стьциондрной задачи (!8), (19). Интеграл полной анергии аппроксимируется разностными суммами, что приводит ;£ консервичтш-ним разностным схемам. Отмстим, что функция у(ас) определяется в полуцелых точках ûj+j/2l а функции х(о), u'(a) - в целых точках о,. При такой еппрокгима цни разностная схема

= dEh + m, + ..(

%Н/2 h'.-U/г <Н'Ц 1/2 «Ч | i/2 Х Л'- rl

(21,

У-1/г +{/1/2 _ ц УN—1/2 + ¡лу-н/а .. ^ 2 ' 2 ~ ' У1/1 ~ V-1/2 _ Ур УдУ-М/^ - У/У-1/.г _

Л _ тг/гг' А "" л-Я2

является лятиточечной системой нелинейных разностных уравнений относительно р<+1/г- После определения значения о;,- вычисляются по формуле

УИ-1/3 ~ 1/1-1/1 ^ , ,, .г

*\Г|---——-— = и»,- > е, 1 = 1, 2, ..., Л?.

Для реализации разностной схемы (20),(21) использовался модифицированный метод Ньютона.

В третьем параграфе строится и исследуется параметризованная математическая модель нестационарного жидкого контакта. Делаются предположения, по зволяющие рассматривать задачу как одномерную. В частности, рааматриваетсн' ситуация, в которой вертикальные составляющие скорости у являются однородными по сечению, а горизонтальные составляющие скорости и в каждом сечении являются линейной функцией радиуса.

Дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию жидкой перемычки, следует из принципа наименьшего действия для функционала

(Е* - £„ - 1\),Н,

J lu

Пи

где, согл&сио предлагаемому способу mtpíitieipuэации и сделанным предай,¡o,ы пням о скоростях,

Е,

> J^ t ^ £„ ~ ¡>$ tfli (о )</£»

- 1-4 -

^ читынпя кинематические соотношения

<*У /001

""л1 (22)

и приравнивая первую вариацию функционала 5 пулю, получаем дифференциальное уравнение ьволюции жидкой перемычки

<23)

со I <г и \ 4 аг /

где ,г(у(г;))) - девая ч..гть уравнения (18).

Для кч-о, чтобы применить мек.дику построения консервативных разностных еден, я;>* дчия.снныл и первых даух глазах, необходимо и в случае несгаци-оцр;п!о':( задпч1. определить функционал. минимум которого достигался Ьы на решении разнос Ш'ш схемы. Поэтому и начале на основании метода Готе строится дифференциально-разкосгнал задача

„.„ I------+ ---= „), (24)

а т (То\4 Т /

ко(оран дополняется г.штроьспчфованньши кинематическими связями

+ + (25)

г т

Дифференциально-разностная схема (24).(25) аппроксимирует с первым порядком точности неходкую эг,о люционную задачу (23). (25), (17).

Далее строится полностью разностная схема. Для »того методом динамических потенциал.>п строится функционал, минимум которого достигается на решении уравнения (24) на (и-г ! )-вом временном слое. Дифференциально-разностная ваолк-щюппг.я задача жидкой перемычки сводится к задаче нахождения минимумов последопательности функционалов 5,4 ь полученных для каждого временного слоя и сия»анных между собой кинематическими связя.ми(25):

я+.(!/) = ^ {/.ц») + + Й(2С»

Фунщпонали 5\,+1 минимизируются на функциях, удовлетворяющих граш:ч-ш г. I услотьт1

¿(0, *„+,) = О, ¿¡(1, <„+,) = Я, Я = Я(<„ц),

- СП / Ч • /1 * \

!/о(0, = уа(1, t„^.^)-

Далее, как и во втором параграфе настоящей главы, функционал 5„+1 аппроксимируется разностным функционалом 1, уразлением Эйлера для которого является консервативная разностная схема ■■■.._

(27,

вУнг/й

Нелинейная разностная схема (27) реализуется используя модифицированный метод Ньютона. Приведены результаты численного расчета свободной поверхности динамики перемычки при различных способах вывода ее из равновесного Положения.

В четвертой параграфе третьей глвва рассматриваются вопросы построения й исследования двумерной нестационарной параметризованной модели переыычки. Обобщения к двумерному случаю необходимы е ситуациях, когда не выполняются предположения, принятые при построении одномерных моделей.

Дифференциальные уравнеиия эволюции двумерной переиычки следуют из Принципа наименьшего действия для функционала 5:

. «?= Г {£*(<) - £..(() - £„«) + А(Г - V,)} А.

Л,

где

Е,

.Здесь

д(х,у) (дхду дх Оу \ 1 **Хд(а,В) *\д<*др двда)

m■n'iiwii пгр»-яо,ч" от ^'Ччгромых перс'п-нкнх к лягрянжгпым.

Система полученных .дифференциальных урпвттшй имеет вид

i Эх\' (DnV 0 j .тсh/dfi . ду „

(s) "'»'Тете1 ®

/

д

\

a,/3e¿?n (29)

да

К системе уравнений (2S)-(29) доПярлпютгп соответствующие граничные и начальны? у< ловил, ктс-мптическме связи (22), а также уравнение неразрывности

Д — Д0(п /?). (30)

Разностная ехгмп для дифференциальной задачи (28)-(30) строилась аналогично м" тоду иогтрог'П'я разностной схемы (2"). При получении соответствующего функционала нелокальное условно сохранения объема учитывалось с помощью метода штряфных функций:

ч1'*Ш)'л®'*-.

ОСНОПНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложена методика построения консерзативных разностных схем дтя нелинейной краевой задачи с дополнительным нелокальным условием, возникающим при описании <рор;;ы свободной поверхности жидкометаллических контакмв гак б стздюнарной, так и нестационарной постановках.

2. Исследованы ионые итерационные методы решение задачи минимизации внергстичсских функционалов, описывающих свободную поверхность. Доказана

их сходимость для болей широкого спектра, параметров ладачи и их приме .нимос1ь для параметризованных моделей,

3. Построены и исследованы численные и итерационные методы ,ц;т решения параметризованной вариационной задачи определения формы свободной поиерхно-сти в виде капли,

4. Предложен и обоснован новый метод параметризации нестационарной задачи условной минимизации нелинейного функционала действия, позволяющий задачи с дополнительным нелокальным условием преобразовать к экиива рентным краевым задачам. Построена и исследована економичная разностная схема.

5. 11а основе предложенных алгоритмов проведем вычислительный ¿лсие-римеит моделирования различных.конфигураций свободной поверхности д-п/и-ого контакта, исследовал процесс определения момента разрыта.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Cunaron ас М.Н., Чюпайла Р.Ю, Численные методы решения некоторых прикладных задач, связанных с нахождением свободной поверхности hail л и. //Труда конф. по матем. методам решения физических задач, матеи. моделированию и программированию. - Лзбна. ОИПИ, 1984, С.103-105.

2. Чюпайла Р.Ю. Численное решение одной системы нелин» йаых цифферси циалышх уравнений с нелокальным условном //Литовск. матем сборки!. - 1083. Т. - .Í.YV, No3. С. - 175-183.

3. Чюпайла Р.Ю. О решении задачи расчета динамики капли методом конечных элементов //Дифф. уравнения и их применение. Вильнюс, ИМК. - 1085. - Вып. 37. - С.82-05.

4. 1'агульскис К.М., Саппговнс М.П., Чюпайла Р.Ю., ТОркульннопчюс А.А. Вычислительный эксперимент в стационарных задачах жидкометалаичп кого контакта //Вибротехника. Вильнюс, Миигис. - 1087. Вып.4^!>7). - С.105-111.

5. Чюпайла Р.Ю. О вариационно-разностной модели жидкомсталлическсго влектрокоцтакта //Вгисоюэн. школа-семинир по математическому моделированию. Тез. докл. - Светлогорск, 1988. С.09.

6. Чегис Р.Ю., Чюпайла Р.Ю. Некоторые аспекты решения стационарных задач жидкометаллического контакт» //Литомек. матем сборник. - 10DÜ. -T..Y.Y.Y, No2. - С.395-404.

7. Чегис Р.Ю., Чюпайла РЛО. Варшщиошш разностный мет од решения одной задачи условной минимизации //Литовск. матем. сборник. - lOÜft. -T..Y.Y-Y, JYo4. - С.810-822.

8. Чегис Р.Ю., Чюпайла Р.Ю. Метод условно» минимизации для чмокало го решения нестационарной эидг.чи со сиободными х рапидами //Лшовсь. маь-м. сборник. - 1091. - T..YY.YJ, Л о2. - С 300-381.