Дифракция стационарных волн на тоннеле неглубокого заложения в водонасыщенной среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

___— *

АКАДЕМИЯ НАУК КАЗАХСКОЙ ССР ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

АДАЙБЕКОВА Меруерт Маруановна

ДИФРАКЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН НА ТОННЕЛЕ НЕГЛУБОКОГО ЗАЛОЖЕНИЯ В ВОДОНАСЫЩЕННОЙ СРЕДЕ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата — 1991

\

Работа выполнена в Институте математики и механики ЛИ -КазССР.

Научные руководители: член-корреспондент ЛИ КазССР, доктор технических паук, профессор Ш. М. Лита.шеи,

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Л. Л. Алексеева.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, Б. Мардопов,

кандидат физико-математических наук, старшин научный сотрудник

О. Нуржумаев.

Ведущая организации: Новосибирски!! Государстенныи университет. Защита состоится « » декабри 1УУ1 г. н 14.00 часои на заседании специализированного сонета К 008.11.02 Института математики и механики ЛИ КазССР но адресу: 480021, Ллма-Лта-21, ул. Пушкина, 120.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке ЛИ КазССР. (

Автореферат разослан « // » ноября 191) 1 г.

Ученый секретарь ^ специализированного совета, . Г физико-математических_(\ у[Ои

наук, профессор С/Ч- 1 Л. А. КАЛЫБАЕИ

доктор фнзнко-математнческнхД И'-''

'!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ —'-^>!_фтуалъность проОлелы. Динамическая теория относительного движения многокомпонентных сред, включающая процессы диффузии, распространения волн, электромагнитные эффекты и т.д. в последнее время привлекают внимание многих исследователей. Такой повышенный интерес, в частности, обусловлен тем, что'в технике стали сирско применяться сложные композитные материалы, создаются новые материалы на основе полимеризации и т.д. Кроме того, большинство естественных материалов в природе являются многокомпонентными сплошными средами ( например, грунт).

Проектирование подземных сооружений мелкого заложения в грунте продиктовано сравнительной дешевизной их строительства и сокращением его сроков. Однако, опыт эксплуатации транспортных тоннелей в условиях городской застройки показывает, что ■ при их неглубоком заложении происходит резкое возрастание вибрации в зданиях, расположенных вблизи источников возмущений. В связи с этим, необходимо не только обеспечить достаточную надежность всех элементов конструкции, но и решить вопрос о допустимости приближения к ней наземных сооружений.

Анализ последствий сейсмического воздействия на подземные сооружения свидетельствуют о том, что их сейсмичность зависит от геологического строения и физико - механических свойств окружающего массива, глубины залегания, формы и условий закрепления сооружений, вида сейсмической волны. Ведутся интенсивные исследования влияния этих факторов на подземные сооружения на моделях изотропных и анизотропных упругих сред, но эти модели не учитывают многие реальные существенные для практики свойства окружающего массива. Моделями, с помощью которых учитывается водонасышенность слагающих Землю структур, наличие пузырьков газа и т.д., являются многокомпонентные среды. ;

Целью работ является исследование напряженно - деформированного состояния подземных сооружений типа тоннелей мелкого заложения при динамическом воздействии с учетом водонасыиенности окружающего массива.

Научная новизна. В работе подземные сооружения мелкого заложения моделируются круговой полостью в полуплоскости среды Био.

Изучено влияние глубины заложения выработки, еидз нагрузки.

а также водонасыщенность массива на концентрацию напряжений в окрестности тоннеля и на дневной поверхности при действии на его контуре осесимметричной и неосесимметричной стационарных нагрузок.

Исследовано влияние частоты падающей волны, ее типа, угла падения на напряженно-деформированное состояние окрестности полости при дифракции плоских гармонических волн.

Практическая ценность. Для решения задач о действии сосредоточенного источника в полуплоскости , а также задач дифракции на круговой полости в полуплоскости среды Био разработан алгоритм программ, реализующих аналитические решения этих задач. Программы написаны на языке Фортран - IV, ориентированы на ЭВМ серии ЕС и могут использоваться для изучения динамики подземных сооружений мелкого заложения в водонасыщенных массивах.

Диссертация является частью исследований, проведенных в лаборатории теории сейсмостойкости подземных сооружений Института математики и механики АН КазССР по теме 07.02.Н2 "Разработать методики расчета конструкций подземных сооружений (транспортных тоннелей) в сложных геологических и сейсмотектонических условиях с учетом анизотропии грунта, пластического деформирования конструкций л реального характера колебаний массива" (4 гос. регистр. 01870031665, 1986-1989) и всесоюзной темы С-3 по разделу 2 "Усовершенствовать методики й разработать программные средства расчета напряженного состояния подземных сооружений- в неоднородной толще при динамических воздействиях" (* гос.регистр. 01870031667, 1990-1991).

Публикации и апробация работа. Результаты работы, по мере получения, докладывались на научных семинарах лаборатории теории сейсмостойкости подземных сооружений Института математики и механики АН КазССР, на конференциях молодых ученых и ежегодных отчетно-научных конференциях этого же института (1989, 1990, 1991), на всесоюзной школе-семинаре "Динамика подземных сооружений и конструкций" (Алма-Ата,1990), на 6 всесоюзной конференции "Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород" (Новосибирск,1991), а также на научных семинарах кафедры механики сплошных сред Казахского госуниверситета (руководитель - д.т.н. Н.Я.Тер-Эмманульян), лаборатории механики деформируемого твердого тела Института математики и механики АН КазССР (руководитель д.т.н. Л.Т.Алимжанов). Диссертация в полном объеме доложена йа агучнсм гемкнэр* по механике Института математики и механики АН

- г -

КазССР (руководитель - академик АН КазССР К.С.Ержанов).

По теме диссертации опуликовало 4 работа.

Структура и объел работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, содержащих 13 параграфов. В конце диссертации птл:1-^-дитлч заключение и список литературы, гключаганй Ь5 нг.имексвэ-сй. В работе 90 страниц машинописного текста, 34 рисунка и " ?а:л;:ц.

KFATK0E С0ДЕЕШП5Е РАЕОТЬ'.

Во введении обоснована актуальность теми диссертации, дан краткий обзор работ по исследованию напряхенио-деформир: "¿энного состояния многокомпонентных сред с концентраторами напрягенкй при динамических воздействиях.

Развитию теории многокомпонентных сред посвящены работы многих известных ученых, таких как, М.A.Blot, J.Fatt, D.С.Willis, В.Брутсаерт, Я.И.Френкель, В. Н. Николаевский, Х.А.Рпхматулпг, И.А.Кийко. Г.М.Ляхов, Л.П.Хорошун, И.Г.Филиппов, Я.У.Саэтоя, Т.У.Артнков и др. Процессы распространения, отражения и прелочла-ния волн в многокомпонентных средах при наличии плоских границ раздела исследовались в работах М.A.Blot, Т.Байтэлиэва, D.O.Willis, Ж.С.Еркянова, Т.Д.Коримбоева, Ш.Каримова, О.Н.Нуряу-маева, Т.Б.Рахманова, И.Г.Филиппова, В.Чебана и др. Вопросами, динамики плоских, цилиндрических и сферических еолн в неограниченной жидконасыщенной среде и дивакцин волн на клинэ.неподкрепленной в подкрепленной круговой, цилиндрической полости занимались' Л.А.Алексеева, Ф.Д.Бахрамов, J.P.Jones, Б.Мардонов, Р.Ы.Исрафилов.Я.У.Са-атов, К.Ж.Салямова, Б.А.Ходкаев, Л.П.Хорош^, В.В.Шэршнев и др.

Дифракция волн на полостях в многокомпонентном полупространстве и полуплоскости - мало изучена. Развернутый анализ количественных данных по таким задачам практически отсутствуют.

В первой главе диссертации приводятся основные соотношения среды Био, дается аналитическое решение задачи о динамическом воздействии сосредоточенного стационарного источника общего в.из в полуплоскости среды Био. На основ*.- численной реализации полученных решений, анализируется состояние дневной поверхности при воздействии сосредоточенных источников цилиндрических волн различного типа. Рассматривается вопрос о влиянии присоединенной плотности pJ2. на капряженно-дефорлгровакное состояние полуплоскости среды Еио.

Уравнения движения среды Био с параметрами A,N,Q,R,pn,р)2, ргг в отсутствии вязкости жидкости и массовых сил имеют вид:

к + ^.„i^PnVPi/t'.tt

(J)

Константы p(), p)2, p22 имеют размерность плотности связаны с плотностью частиц скелета рс и жидкости рж по Био соотношениями

рп=(1-т)рс- р(2, р2г= т pjj -pf2, (2)

где т - пористость среды. Константа присоединенной плотности р>2 и связана с дисперсией отклонения микроскоростей частиц жидкости в порах от средней скорости потока жидкости П и зависит от геометрии пор.

Вводятся скалярные и векторные потенциалы Ф,, Ф2, , Ф2 для перемещений упругого и жидкости, соответственно:

u =grad ®f+ rot ffl(, У =grad ®2+ rot ffl2 ("4;

Рассматриваются стационарные процессы: Ф^ =» Ф^(x)ezp(-tui) (и - частота колебаний) в условиях плоской деформации. Потенциалы удобно представить в форме

V V Р2 »г- V Р» «Р.+Фг' ®г " Ьех' °г в -js^" <5)

Потенциалы ф^ удовлетворяют уравнениям Гольмгольца:

Дфj + aj (f>j = О, J=U2,3 (6)

Здесь Oj - ы/Cj, cf, с2, с^ - скорости распространения соответственно продольных bojotJ-го и 2-го рода, поперечных волн, (3;, р2 -зависят от параметров среды.

Потенциалы источника в полуплоскости х < Л задаются в виде:

> а>

.V S Wa/J eln0 (7)

TV-- -ГО

3-i'?cb "п'а1г) " Функции Хз'шеля )-го рода, слагаемые в суммах (7) часткыо рвения уравнений Гельмгольца, множитель ejp(-lut) здесь а далее опуседач. Удовлетворяются условия излучения

Зоммерфелъда:.

В (а,г) * 0(-1-), - 1а,Н (а,г) =

п вг } ^ з д —

Граница полуплоскости свободна:

о = о = о = О (81

XX ху

Решение ищется ь виде суммы потенциалов падающего и отраженного полей:

Ф,= Ф? ♦ Ф, (9)

Потенциалы ф, представляются в виде контурного интеграла:

^гн (5 )ехР( № ('О)

Подинтегральные слагаемые в ПО) удовлетворяют уравнениям Гельмгольца и описывают волны, распространяющиеся вглубь плоскости, экспоненциально затухающие с глубиной, при условиях

Яе1е2-а* > О, 1т1ег-а* < 0. (Щ

На основе метода разложения цилиндрической волны на плоские с учетом представления:

- ^ I [ Р У ) -—=-

>

определяются подинтегральные функции А^ги - —щ-р» гдв " аналог функции Релея для среды Био:

ДЦ) . р,р2) - ^2((р2 ^ -

которая имеет действительные корни.

С учетом полюсов подинтегральной функции и условий излучения (11) я выбирается контур интегрирования Ь£ в плоскости комплексной переменной Асимптотический анализ соотношений (70) показывает, что при х = сопаг, у - <*>

<р -2 sign у етр{ty171+[x-hHi2-^)ResAj (73ign у)

т.е. сосредоточенный источник в полуплоскости среды Био генерирует незатухающие поверхностные волны Релея.

Численно исследовалось влияние типа источника возмущений на напряженно-деформированное состояние дневной поверхности водона-сыщенного массива.

На рис.? изображены амплитуда нормальной составляющей вектора перемещения упругого скелета, отнесенные к максимальному перемещению в падающей волне при г = h при действии источника типа центр давления 1-го рода. Кривые 1,2,3 соответствуют следующим частотам колебания источника и = 10,60,110 Гц. Амплитуда перемещения максимальна в эпицентре, с увеличением частоты она падает. На рис.2 приводятся графики для касательных составляющих вектора перемещения скелета, отнесенных к максимальному перемещению в падающей волне, при действии источника типа центр давления 7-го рода. На рис.Э изображены амплитуды напряжений l°Vyl/0lraI Щ® дейс-' твиа источника типа центр давления 2-го рода. При частоте колебания о » 60 Гц гаг \оуу\'ощах • 2,9. На рис.4 - амплитуды нормальных компонент вектора перемещения жидкости при действии источника типа центр вращения. Характерным отличием от поведения амплитуды нормальных компонент вектора перемещения скелета является то, что максимальные смещения вызываются короткими волнами. -

Во второй главе строится аналитическое решение задачи колебаний полуплоскости жидконасыщенной среды, ослабленной круговым отверстием радиуса RQ {RQ<h), исследуется зависимость концентрации напряжений на дневной поверхности от глубины заложения полости при действии на ее контуре стационарной нагрузки различного вида:

- 2Kpr(»)e~íut, » 2Нрв(в)е'1ш, о - 2Ир{в)е'1м, при г=Я0

где orr,or>e - компоненты тензора напряжений упругого скелета, о давление в жидкой компоненте среды. Функции рр(в), рв(е), р(е) -известны, разлагаются в комплексный ряд Фурье:

® а

р,(е>-]Ppin<e)eíne> , £ - г,8. p^eje'"® -

Tw-co

Рте.I.А'-пячтудн лерочэщокч* ске.птп Ц,*нп дчог.н^П птппх-нчсти при ixTour.'!'/» тггг с*атр> давденгд

1-го рода (1-3- со =10,60,110Гц)

ксточияка т^па центр давления 1-го рода (1-3- ь» =10,CG Л10)

- ¥ -

Гяс.З. Амплитуды напряжений на дневной поверхности - при де2ствиа источника типа иснтр давления 2-го рода

Рис.Амплитуды яеремецеши длякости 1/* при действ источника типа центр-аратенкя

Граница полуплоскости свободна от напряжений (8).

Потенциалы искомого поля представляются в виде суперпозиции волн, излучаемых полостью и границей полуплоскости

V I а1"п(^г) е<П® + И /А/£;еярГ£у£+ <х-Л)] 1г^хр<Ц {14)

Для определения подинтегральных функций А^си используется решение задачи о сосредоточенном источнике главы 1. Дня определения а™ используется вторая груша граничных условий (12) и переразложение плоских волн на цилиндрические:

со

е(кгсоив = у ^ (йг)е«пв п£-0» п

Полученная бесконечная система линейных уравнений для определения коэ<Кициентов а™ решается методом последовательных отражений на основе редукции систем блочно-диагонадьного вида на каждом шаге итерации.

Исследовалось влияние глубины заложения тоннеля на концентрацию напряжений на дневной поверхности при действии стационарной нагрузки вида:

о„. + о = рг> а^ »'о, иг - аг {15)

На рис.5 приведены эпюры амплитуд радиальных перемещений упругого скелета при действии нагрузки (15). Цифрами 1,2 обозначены эпюры соответствующие среде Био и упругой среде. Как видно из рисунка наличие жидкости уменьшает радиальное перемещение скелета. На рис.6 изображены эпюры амплитуд касательных составляющих вектора перемещения скелета при действии той же нагрузки. Здесь цифрами 1,2 обозначены кривые соответствующие глубинам заложения полости 4=6,60 м. На рис.7 построен график для амплитуд нормальных состав-ляпцих вектора перемещения упругого скелета дневной поверхности при действии нагрузки (15), глубина заложения полости выбиралась равной б , 18, 36 м. При П = 36 м, величина смещения становятся очень малой,'порядка 10~г.

Третья глава посвящена решению задач дифракции плоских волн на круговом отверстии в полуплоскости среда Био. Потенциалы падающей волйы удовлетворяют уравнениям Гельмгольца и граничным

Рис.5. Аавлатуди радиальных нерехеденаГ. скелета на контуре полости при действии нагрузка ввда ¿У)(I-среда Еио,2-упру-гая среда)

Рлс.С. Аышштудк касательных перемечет:" скелета аа контуре полости прс деИстын: ш.грузк£ ь^ди (V) [1- к ~6,о0:.:)

04

м

Рлс,7. Аииктудц перема-цения Цс дневной поверхности лг.а действии, осеск.\::.;егричной нагрузгл

условиям на свободной поверхности (8).

Результирующее поле Ф} ищется в вида

ф, » + фг / « иг.з

где ф^ - потенциалы отраженных волн. Поверхность полости свободна от нагрузок:

стгг = °г9 = о = 0, при г = Д0

Потенциалы ф^ ищутся в виде (14) - суперпозиции волн, отраженных плоской границей и контуром полости. Для определения ф^ «алеем задачу о колебании полуплоскости среды Био, ослабленной круговым отверстием, при действии на контуре последнего нагрузок, порожденных падающей волной.

Рассмотрена дифракция плоских продольных волн 7-го и 2-го рода, поперечных волн.

Продольные волны 1-го рода:

Ф,° = е1а|гоов^-7^ + е1агеоа<е+7)

V" е 1<хггооаС0+Ь\ {16)

т

Продольные волны 2-го роба:

О 1а,геоа(0-1) а10теоа(в*у)

г = е г + е *

' е 'аГоов(е+Ъ>, цт)

Рис.в. .Амплитуда нормальных тангенциальных напряжений на контуре полости при дифракши продольных волн 1-го родз при различных углах ладекии ( 1-3-С = О.ЗЬ.ЗО0)

Ь = Щ) и е 3 3 • Плоские поперечные волны:

ф О = е1а3гсаВ(в-1} + е-1азгсоа(в+-у)

Ф0 = е -1а2гсоа(в+12) ^ {18)

т° - -1<х гоовсв+7 >

Здесь = 8JJ(Z) и*-*} •

Отмечается, что 7,. 72 в выражениях (77) и (Г8) не всегда действительны, т.к. а(< аэ< а2. Так при дифракции поперечных волн существует один критический угол -

ТЛ = агс3«п-^ -

такой, что при углах падения 7>7Ь» Я7 плоско® границы отражается поперечная волна и продольная волна 2-го рода, а продольная волна 7-го рода но отражается, она становится поверхностной волной.

При дифракции продольных волн' 2-го рода существуют 'два критических угла:

I а1 Р аэ

т; = С2ГСз1п-~, т1 = агсзт

При углах падения 7<7^ от плоской границы отражаются все три типа волн: продольные волны 7-го и 2-го рода, поперечная волна. При продольная волна 7-го рода становится поверхностной, отражаются продольная волна 2-го рода и поперечная волна. При 7>72 продольная волна 7-го рода и поперечная волна становятся поверхностными, отражается же продольная волна 2-го рода.

Далее исследуется влияние типа падающей волны на " напряженно - деформируемое состояние окрестности полости, находящейся в по-

луплоскости среды Био. Как показали расчеты, наибольшая концент-. рация напряжений возникает при дифракции продольных волн 2-го рода. Максимальное перемещение скелета вызывается этими же волнами. 2идкая компонента наибольшие смещения испытывает при распространении продольных волн 1-го рода.

На рис.8 изображены эпюры амплитуд нормальных тангенциальных напряжений, отнесенных к максимальному напряжению в падающей волне, при дифракции продольных волн 7-го рода. Цифрами 1,2,3 обозначены кривые соответствующие углам падения - С = 0,15 ,ЗсР. Максимальные напряжения возникают при падении волн под. углом 30°: » 1°ее!/0,тх " ■

В Заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертации:

1. Аналитически решена задача о действии сосредоточенного источника стационарных волн в полуплоскости среда Био. Показано, что в этом случае возникают поверхностные релеевские волны. Проведено численное исследование влияния типа источника на напряженно-деформированное состояние дневной поверхности водонасыщенного массива в случае плоской деформациич

2. Аналитически решена задача о колебаниях полуплоскости среда Био, ослабленной круговым отверстием. Исследовано напряженно-деформированное состояние дневной поверхности водонасыщенного массива и окрестности кругового тоннеля мелкого заложения

при действии стационарных нагрузок на контуре тоннеля в зависимости от глубины заложения и степени водонасыщенности массива.

3. Аналитически решена задача стационарной дифракции плоских волн на круговом отверстии в полуплоскости среды Био. Проведено численное исследование влияния угла падения и типа падашей волны, глубины заложения тоннеля на напряженно-деформированное состояние его окрестности и на дневной поверхности.

4. Создан пакет прикладных программ, позволяющий рассчитать напряженно-деформированное состояние окрестности кругоього тоннеля мелкого заложения в водонасыщенном массиве при динамических нагрузках для разных физико-механических и геометрических параметров двухкомпоневтных сред.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах: I. Алексеева Л.А., Адайбекова М.Ы. Сосредоточенный источник

- \ч -

стационарных волн в полуплоскости среды Био//Реф.Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. Я1, 1986, II с. Рук. деп. в ВИНИТИ ЙГ7681-85 Деп

Адайбекова М.М. О колебаниях полуплоскости среда Био, ослабленной круговым отверстием// Реф.Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1988, 14 с. Рук. деп. в ВИНИТИ Л4720-В83 Деп.

3. Адайбекова М.М. Влияние типа источника на напряженно-дефср-мированное состояние полуплоскости среды Био// Вестник АН КазССР. 15 с. Деп. за Л2104-В 91

4. Адайбекова М.М., Еершнев В.В. Влияние водонасыоенноети массива на концентрацию напряжений в окрестности тоннеля мелкого заложения при динамических воздействиях// Динамика подземных сооружений и конструкций. Тезисы докладов. Алма-Ата, 1990 г.

Отпечатано на ротапринте теп. ¿СГЭ г. Алма-Ата, 2а*:аз ■ Объем о,ьк я,л. Тярая ¡¿о зкз.