Динамические симметрии нестационарных квантовых процессов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

I 1 '' 9'« ■ 11

АКАДЕМИЯ НОК БЕЛАРУСИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ФИЗШ1 им. Б.И.Степанова

На правах рукописи ПРАЩ СЕРГЕЙ ЖЛДИМИРОБИЧ

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КВАНТОШХ ПРОЦЕССОВ

01.04.02. - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени , доктора физико-математических наук

Минск - 1992

Работа выполнена в Тихоокеанском океанологической институте Дальневосточного отделения Академии наук СССР

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор БДРКОВСКИЙ Л.И.

доктор физико-математических наук, профессор МАНЬКО В.И.

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник ТОЛКАЧЕВ Е.А.

Ведущая организация:

Физический институт ии. П.Н.Лебедева АН СССР

Защита состоится " 21 " янваш 1992г. в 14_часов

на заседании специализированного совета Д 006,01.02 по защите диссертаций при'йнсгитуте физики (220602, г.Минск, Ленинский просп.,70). .

С диссертацией ложно ознакомиться в библиотеке Институте физики иы. Б.И.Степанова АН Беларуси.

Авюреферат разослан " 16 " декабря 1991г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физ.-ыат.наук ^М I - КЖИКИН Ю.А.

J Ь

- .' • .!

"' ; ' ! ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Принцип динамической симметрии п алгебраический метод решения линейных эволюционных уравнений используются в настоящей работе для анализа нестационарных процессов взаимодействия излучения с веществом. Такой подход выявляет не только фундаментальные свойства динамики нестационарной физиче-■ ской системы, но и позволяет находить в явном виде решения ура -внекий / как кгчнтовьк, так и классических- /, описывающих ее эволюцию. Он особенно полезен в физике переходных процессов / эхо-спектроскопия, динамическая голография, спектроскопия с временным разрешением, сверхбыстрые явления в оптике и : /, где традиционные метода описания динамики частиц в модулированных полях являются, как правило, приближенными или численными. Развитый в данной работе подход позволяет во многих нетрлвиаль-ных случаях получать точные решения и устанавливать новые физи-' ческие явления, ускользающие при использовании теории возмуще-■ ний. Кроме того, он дает возшнность находить аналитические решения в тех случаях, когда теория возмущений малопригодна / частицу в сильных полях Л В качестве объектов настоящего исследования рассматриваются существенно нестационарные процессы взаимодействия атомов и других частиц с юдулированннми классическими и квантованными полями / электромагнитными и акустическими / и параметрические процессы взаимодействия этих полей.

. Цель дяссетугапии. Разработка такого' подхода к описанию нестационарных квантоыгс процессов взаимодействия излучения с веществом, который позволяет I/ класси^цировать их по фундаментальным признакам, 2/ получать решения линейных эволюционных уравнений / типа Шредангера, Гейзенберга, Блоха, Лнувилля, Да-., рака и других / в явпоы виде.для произвольного характера взаимодействия излучения со средой.

Тезнсц. вниосимыо на защгу:

1. Алгебраичоскии подход в теории взаимодействия излучения с веществом, основанный на использовании динамических симматрий иаучае/.ых процессов.

2. Алгоритмы решения линейных эволюционных уравнений с точ-нши, нарушенными и приближенными динамическими симмегриями.

3. Новые классы точных решений временного уравнения Шре-дангера с so(3), su(2), su(i,D, so(4), so(3,i) симмегриями для процессов взаимодействия двух-, трех-, четырех- ин -уров-невых киацтових систем с классическими электромагнитными поля-

мо.Еулированлти по амплитуде и /или/ частоте.

4. Регулярная процедура нахождения аналитических решений . эволюционных уравнений / тапа Блоха и Шредингера / с динамическими симметриями, нарушенными из-за учета релаксации и нерезонансного характера взаимодействия с полями.

5. Обобщенная модель взаимодействия одиночного атома с модой квантованного электромагнитного поля, учитывающая временное и пространственное изменения параметров атомно-полевого взаимодействия, и ее использование для интерпретации современных ми-кромазерных экспериментов.

6. Новые классы точннх решений уравнений Шредингера и Гей-зенберга для нестационарных билинейных параметрических процессов взаимодействия квантованных мод электромагнитных.и акустических полей с симплектической динамической алгеброй.

7. Аналитическое описание динашки связанных осцилляторов с нелинеИностями третьей и четвертой степени с применениями из области молекулярной спектроскопии / резонанс Ферли / и нелинейной оптики / сжатие света /.

Научная новизну полученных в диссертации результатов вытекает из постановки задачи и заключается в разработке нового Метода анализа существенно нестационарных процессов взаимодействия излучения с веществом, в получении с его Пймощью новых классов решений соответствующих линейных эволюционных уравнений и в

применении этих результатов для предложения и интерпретации экспериментов.

Достоверность полученных результатов гарантируется следующими ^оооражениями: они включают в себя известные решения в качества частных случаев, переходят в стационарные решения в своих предельных вариантах и согласуются с известными экспериментальными данными в тех случаях, когда таковые имеются.

Практическая ценность. Развитый подход основывается на столь общих свойствах симметрии физических систем, что его можно применять для решения любых линейных динамических задач. В диссертации круг э'.гих задач ограничен проблемами квантовой электроники, квантовой и нелинейной оптики, квантовой электродинамики. Обсуздены возможности использования алгебраического подхода в релятивистской квантовой механике и в классической оптике. Практически .важными представляются результаты, связанные с интерпретацией известных экспериментов в физике переходных процессов. Предложены новые эксперимента по проверке эффектов, вытекающих из.теории.

Апробация таботи. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на I Всесоюзном симпозиуме по ядерному квадрупо-льному резонансу / Коломна, 1975 /, па IX и XI Всесоюзных конференциях по акустоэлектронике и квантовой акустике / Москва, 1976 и Душанбе, 1981 /, на IX и X Всесоизных акустических конференциях / Москва, 3977 и 1983 /, на II, III и 17 Всесоюзных симпозиумах по световому эху и когарег,тной спектроскопии / Казань, 1981, Харьков, 1985, Куйбышев, 198Э /, на Ш Международной семинаре по «еоретико-групповым методам в физике / Юрмала,

1985 /, на Дальневосточной школе-семинаре по теоретико-групповым методам в фундаментальной и прикладной физике / Вла;х/восток,

1986 /, на XX Всесоюзном съезде по спектроскопии / Киев, 1988 /, на ХУШ Международном коллоквиуме по теоретико-групповым методам в физике / Москва, 1990 /, на Международной шоло-сешнарв по групповым методам в физике / Рахов, 1990 /, а таю::а на семинарах оптической лаборатории и лаборатории космических лучей Физического института АН СССР, на семинаре Института физических проблем АН СССР, на семинаре кафэдры акустики ИГУ".

Публикации. Основше результаты диссертации опубликованы в монографии [1 _7 и в 40 других работах, список которых приводится ~ конце автореферата.

Структура и объем дпссерташш. Работа' состоит из введения:, восьми глав, заключения, 225 страниц машинописного текста, 12 рисунков и списка цитированной литературы, включающего 371 наименование.

КРАТКОЕ ООДЕШНИЕ РАБОТЫ

Б потзвой глава диссертации кратко обсуждаются основные на-правлешя применения симмегрийного подхода в физике, главным образом, в квантовой теории взаимодействия излучения с веществом. Определяется место и значение метода динамических симметрия /ДС/. Приведен обзор результатов, полученных с его помощью для рада стационарных и нестационарных систем в квантовой и классической механике, в ядерной, атомной и молекулярной физике и в оптике. Обосновывается актуальность, исследуемых проблем и формулируются цели и задачи диссертация.

Б работе ставится задача разработать общий подход к описанию нестационарных квантовых процессов различной физической природа, который позволял бы классифицировать их по типам ДС и находить решения соответствующих эволюционных уравнений в явном виде для произвольного характера изменения параметров процесса, ДС процесса характеризуется динамической алгеброй Ли, -порожденной его управляющим функционалом, как правило, гамильтонианом в операторной или матричной реализации. Динамика процесса полностью определяется'оператором эволюции, принадлежащим представлению соответствующей группы Лп, Задача 'заключается в разработке алгоритмов нахождения для различных типов ДС параметров динамических групп ь явном виде в произвольный момент времени.

Во второй главе разрабатываемая алгебраический метод решения линейных эволюционных уравнений, приводимых к следующе-

му

d

•— X - A(t) X , (1)

dt

где t - вещественный параметр эволюции, который в настоящей . работе имеет смысл временной или пространственной координаты, х является вектором конечномерного / бесконечномерного / пространства или линейным оператором. Предполагается, что управляющий линейный оператор A(t) явно зависят отtпроизвольным образом. Основные уравнения квантовой и.классической динамика являются жглткретныш реализациями ур. 1 . Алгебраический метод решения ур. 1 основан на разложении оператора п

A(t) - 21 c,(t) Aj (2)

3=1 3 3

по базису {а^ ^некоторого представления: данашческой п -коркой алгебра ьп с коэффициентами Oj(t) и на соответствующей параметризации оператора эволюции

U(t, t0) =. X(t) [x(te>] , (3)

удовлетворяющего уравнению d

— UCt, tj » A(t) U(t, t > -, U(t, t) a I . (4) dt 0 ° 0

В зависимости от типа эволюционной задачи параметризация осуществляется различными способами, которые можно объединить в следующей записи:

- £ |ехр А^} , (5)

где }задает. аддитивную, мультипликативную или комбинированную форму от экспоненциалов генераторов ьп. Явный вид системы а нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка для групповых параметров %

d

Cj(t) - Mtj(git gd) ^ g3 , i,j.1.......(5)

зависит от структуры динамической алгебры т. , вида коэффициентов разложения(2) и от способа параметризации.

Для каждого из следующих классов ДС, определяемых, главам образом, по структурным признакам соответствующих алгебр Лиьп , предлагается свой алгоритм решения линейного эволюционного уравнения типа И) .

1. Ночные ДС. Дяя разрешимых алгебр Ш при соответствующем выборе базиса ьп групповые параметры g^ находятся из . системы уравнений (5) с помощью прямого интегрирования. На примере простой трехмерной алгебры Lj с базисом

[Х+, 1_] - 2 1 Ь0 , [b0, Lj.» Lj

показано, как система уравнений (5) приводится к единственному дифференциальному уравнению второго порядка в виде, удобном для нахождения классов точных решений в терминах различных , ' -специальных функций. ДС практически всех рассмотренных процессов содержат одну из реализаций 1>3 в качестве подалгебры : su(2) иsoO) прит = 1 = 1 ила sud ,i) лрига ■ ■ 1. Структурные свойства не простых алгебр Ли большой размерности, дают возможность свести " многомерную " эволюционную проблему к ряду задач с простыми динамическими алгебрамк малых размерностей и разрешимыми алгебрами.

2. Нарушенные ДС, Учет таких физических факторов, как релаксация, нерезонансный характер возбуждения полш и других, нарушает ДС и приводит к увеличению размерности динамической алгебры. Jini, таких случаев разработана регулярная, процедура, позволяющая находить аналитические решения урД в принципе с любой степенью точности по величине малого параметра, нарушающего ДС.

3. Приближенные ДС. Для описания эволюции процессов с бесконечномерными динамическими алгебрами используется последовательная аппроксимация их с помощью конечномерных ал-

гебр

01

х с ь с ... с L , (&)

um '

где ни. га £ индекс фиксирует размерность алгебры г _ л блик они ой симметрии,п t- т а верхний - порядок малости некоторого

параметра нелинейности процесса.

В третье^ главе развитый подход применяется для нахождения в явном виде точных классов решений временного уравнения Шреди-нгера (4) с su(2) гамильтонианом H(t) в роли оператора A(t)

H(t) - h0(t) Т.0 + h_(t) Lw + h+(t) L+ , (7)

описывавдюл взаимодействие двухуровневой квантовой систеш с классическими поляш, модулированными по акплягудв я /ата/ частоте. Применяя мультипликативную параметризацию грушш su(2) / §1 /

. "(t. t0) » ехр s0 I>0 exp exp g+ L+ , C8)

euerem уравнений (¿) приводится к единственно^ уравнения для величины X - ехр ( g0/2 )

1 а z 1 г d h, х" + х' ?--In (--) - X . A h.--- +

z dt ZK ZlzK L + dt h.

+ +

+ Ъ ( A h_ \ + h* )] » О , (9)

здесь z(t) - введенная дая удобства новая переметал, под штрихом по та,дается дифференцирование по ней.

В случае только частотной модуляции / §2 / точные ремеши ур.9 лежат в массе цилиндрических функций Z^(г.) , если закон изменения частоты таков, что

ехр ( - if/2 ) « Z р (г) , (10)

где i s St ho(t,) dt'» 2 a С1 exP ' ^ + h-Vi2' .

с, 2- произвольные числа. Параметры оператора эволюции (8) выражают оь в терминах цилиндрических функций. Выбирая параметр р и начальный условия, таяно конструировать множество законов модуляции частоты, удовлетворяющих (10), и находить для каждого из них точный оператор эволюции атома в явном виде.

В случае исключительно амплитудной модуляции / §4 / найдено новое точное решение для практически важного типа импульса с огибающей в видэ экспоненты.

Если поле одновременно модулировано и по частоте и по амплитуде / §3 /, то точными решениями ур.9 являются присоединенные функади Л&тащца первого и второго рода. При этом законы . модуляции связаны друг с другом с помощью произвольной функции времени sit)

h . Г) h. z , h - - * ----5- >

0 J + + 5 2 (1 - a2)

где комплексные числа g и 1 связаны с индексами функций Лежан-дра определенным образом. Выбор подстановки z(t) в (11) дает возможность задать бесконечное множество функций частотной и амшштугдаой модуляций, для которых данашка атома описывается в терминах функций Лежандра.

В §5 найденные в згой главе классы точных решений дая su(2) динамики используюгед дня описания нейтронных о сцшишщш в магнитном поле. Найдено точное и простое соотношение, связывающее амплитуду вероятности п-п перехода с величиной площади импульса внешнего магнитного поля, стимулирующего переход. Это соотношение позволяет задать такую ¡¡¡орму огибающей шля, для которой амплитуда вероятности является оптимальной при дашшх начальных условиях.

В четвертой главе излагается методика решегжя эволюциои-1шх уравнений с нарушенными ДС на примере частного случая (1) системы уравнений Елоха с переменными коэффициентами.

а dt

- x(t) = [Â0 + A(t)] 5(t) + c0 , x(t = 0) = x0 , (12)

где компонентами вектора Еяоха x(t) являются две составляющих дапольного момента и инверсия атома, aq- постоянная релаксационная матрица, a(t) - матрица Блоха с переменным параметрами, принадлежащая трехмерному представлению алгебры so(3), С0 - постоянный вектор / §1 /, Релаксация рассматривается как процесс, нарушающий эо(з)ДС двухуровневого атома в модулированных полях и приводящий: к повышению симметрии до алгебры su(3). Исполье я разложение вектора Блоха в картине взаимодействия в ряд по степеням релаксационного параметра

_ г,П _ λ) « -1-1

xint(t>=I.r (t) , Г^(тг-1, )t ,(13)

строится теория возмущений, основой которой является система линейных дифференциальных уравнений первого порядка для членов этого ряда / §2 /. Развитый формализм позволяет получать решения в принципе с любой степенью точности по величине малого параметраП:. Решение дет (г.+1) - го таена ряда находятся с помощью матрицы эволюции и, принадлежа^* трехмерному представлению группы 30(3) и некоторого вектора г / допускающего явное построение / и имеет вид t

ii а—1

-а г п. а—1

л

В §3 найден явный вид матрицы u(t,t0) в терминах групповых параметров для параметризации типа (8).Получены точные чтения для этих величин в терминах гдпергеометрической функции Гаусса для наиболее общею случая амплитудно-частотной модуляции и в терминах других специальных функций для различных практически важных случаев модуляции внешнего поля.

В §4 вычисляется вклад релаксации / в первом порядке малости по величине релаксационного параметра / в эволюцию вектора Етоха а ( х2, зсд )

3

х. = - е*р ( -*/Т0> ( «зэ + Г Г ?кЗ ) ' (15

к=1

где1о= т^даяз =1,2 и дшд = з , ^-элементы матрица .

эволюции и( г ,-1:о), матричные элементы а вщтаются через величины и^^ а параметры шля,50= (о, о, -1 )-вектор в начальный

момент времени t .

о

Развитый в этой главе форглализм является по- -существу новым методом решения уравнений Блоха для двухуровневых квантовых систем в модулированных шлях, позволяющим получать аналитические решащш этих уравнений в практически важных случаях.

В пятой главе алгебраический подход применяется для решения времешюго уравнения Шредингера для многоуровневых атомог, взаимодействующих с модулированным:! классическими полям. Здесь в ур,1 х представляетн -мерный вектор амшштуд вероятности переходов вн -уровневом атоме, А<г) - ЯхН матрицу гамильтониана с недиагональныш элемснтагж, характеризующими энергша взаимодействия атома с лазорныш импульсами на соответствующем л ере-ходе. Диагональные элементы пропорциональны расстройкам соответствующих резонансов.

Для данного числа уровней атома и данных условий его возбуждения гамильтониан представляется в виде линейной комбинации генораторов Ихн - татр' ->;гого представления некоторой алгебры Ли, Если точная ДС нарушается тем или иным членом полного гамильтониана, который можно считать малым возмущением, то для яахоиде-ния реяений уравнения Шредингера используется метод нарушенной ДС, развитый в четвертой главе. •

Динашка нестационарного процесса трехвбяйового смешения в среде из трехуровневых.атомов описывается в рамках точной и нарушенной зи(2) ДС /§2/. Одним из преимуществ алгебраического подхода является возможность практически без вычислений лрпме-

нить результаты, полученные для одной конфигурации возбухдештя уровней /A,v и циклическая для N = з/; для нахождения эволюции атома при иной конфигурации, Б случае резонансного возбуждения найдены классы форм огибающих поля, вклвчаюасае тригономе-тричес„ие, бесселевы и другие функции, для котори.. динамика трехуровневой системы может быть точно описана в лчбой момент времени в терминах so(2) групповых параметров. В случю нерезонансного возбуждения. su(2) ДС нарушается и вычисление атомной динамики с учетом расстроек резонансов осуществляется в формализме нарушенной ДС.

Эволюция четырехуровневого атома в модулированных полях описывается в рамках шостппарамегрических динамических групп SO(4) н SO(3,1) / 53 /.На основе структурных: свойств алгебр Ли этих групп эволюционная задача с гаестикерной ДС сводится к дну, одинаковым задачам с трехмерными ДС типа su(2) . Как и для?.' = • найдены условия существования точной ДС.для разных KauJurypa-ций возбуждения четырехуровневого атома. Б случае резонансного взаимодействия с импульсами получеиы классы точ!шх решений ура внения Шредингера. Б рамках нарушенных ДС so(3,1) и so(4) учитываются расстройки резонансов. Некоторые случаи частотной модуляции импульсных полей рассмотрены в рамках точной 50(3,1) ДС, базис которой загадан в терминах матриц Дирака. Полученные результаты применяются для модельного описания нестационарного процесса четырехволнового смешения.

В заключительном параграфа главы рассмотрены некоторые общие вопросы динамики N-уровневых атомов в модулировании полях и найдены условия существования ряда точных ДС.

Таким образом, развитый алгебраический подход пэзвочяет получать классы точных решений временного уравнения Шредингера с переке:шиш коэффициентами в отличие от известных методов, в которых решегам находятся только в первых порядках итерационной процедуры.

В aiecTO'i главе рассматриваются переходные процессы взаимодействия двухуровневого атома с модой квантованного злектромаг-

нитного поля, вызванные модуляцией числовых параметров гамильтониана. Пмшътониан порондает бесконечномерна динамическую алгебру 1и, являющуюся прямой суммой su(2) подалгебр. Рассматриваются два варианта таких процессов в ре'зонаторной квантовой электродинамике: модель с временной модуляцией связи атома с полем к модель с пространственной модуляцией. В первом случае / §2 / исследуется динамика атома / покоящегося в резонаторе / в переходном процессе адиабатического истечения поля и при учете диссипации энергии поля в неидеальной полости. Обобщая стандартную модель на случай эхспопенцгальной модуляции связи, . £ ш erp (-it),мы находим точное решение уравнения 1!!редингера дяя аыгиптуда вероятности перехода в системе " атом + поле " в подпространстве двумерного представления su(2) с номером и

г (í + ±Д) tir -i

X„(t) = exp [----—J^ J^ (2) + C2 (z)J . (16)

Вид констант C1 2и знаки индекса $ s ~ V¿ (1 + ít/S) и аргумента z = - Л exp (- <ft)/J функций Беоселя первого и второго рода находятся из начальных условий,А.-коэффициент.связи,Д-расстройка резонанса» Численное интегрирование показывает, что интервал времени между последовательным " возрождениями " ос-цг-шшцгсй атомной инверсии укорачивается по сравнению со стандартной моделью. Кроме того, сжимается и сам цуг осцилляции.

Другой вид ыодуляиии параметра взаимодействия атома с квантованным полем реализуется в современных шкроказерных экспериментах, в которых пучок возбуздешшзс ридберговских атомов иняек-ткруегся.в одномодовый микроволновый резонатор. Поскольку поле в резонаторе ииеет некоторое пространственное распределение, то параметр взаимодействия нельзя считать величиной постоянной, как это принято в стандартной модели.' Б §3 в пределе .слабой связи, | 1 ¿Мд|, вычислена атомная инверсия дня двух распространенных типов резонаторов - прямоугольного с модоюй функцией í = sin -i t и сферического с f = sin уч t//i t , где ^е píj и /( 2 в1Г§ , L и D-даина и диаметр резонаторов, р,в « 1,...,

v-скорость ; "эосенгш атомов, и-л компонента инверсии атома, движущегося в прямоугольном резонаторе, в момент времени t раьпа

г Г г 2г ,2 2

w„(t) » viO) 4 1 - ( —5-5- ) [V + V coa V t . coa V t -

" " L "V - Д

- 2coo!Mt +lAlain^ t (| Main t ~ 2Vain Ult )]} . (17) Для сферического резонатора эта величина имеет вид

о

в з ( А (п+1) г 2 2 "il

w (t) » wn(o)-l 1--g— LSi M-'^lt ) + Si Ч + UI-t )J|(10)

4 Л 2 2

где Vín(0) 2^(0)1 -|yn+1(0)| , 3^(0) и уп+1<о)-амплитудц вероятности нахождения при t = о атома на верхнем уровне :: наличия и квантов поля и атома на нижнем уровне и п + 1 квантов, соответственно. Анализируется изменение инверсии (17)по мере движения атома, сквозь резонатор. В отличие от стандартной модели здесь возникает периодическое восстановление начального распределения величин wn(o)B моменты прохождения атомом отрезков длины резонатора, кратных половине даппш полны мода при l¿¡ / V = 2m + 1 или кратЕ i целой длине волны при I&I/V 2m, m = 1,2,.. Для сравнения с результатами экспериментов вычислена инверсия атома w =£n wn(tT) в момент его выхода пз резонатора tT в зависимости от скорости атома, расстройки резонанса и числа половин длин волн р . Результаты численного интегрирования уравнений представлены на графиках зависимости атошоЬ инверсии / на выходе из прямоугольного и сферического резонаторов / от Бремени пролета ts .

В седьмой гласе рассматриваются параметрические процессы электромагнитной и акустической природы с участием m попарно взаимодействующих мод квантованных полей с общим гампльтонпа-ном m

H(t) -{ t ■ (J1;j(t)a+a;J+[ai;i(t)aiaJ-H6i(t)ai|+ (li,с.}, (19)

порождающим полупрямую сумму симплектической подалгебры и разрешимого идеала Гейзенберга-Вейля: Эр (2т, к) ^ («) •

В §2 исследуется квантовая динамика и квантовая статистика одномерных билинейных процессов параметрической генерации п преобразования частоты, бозонного эха, комбинационного рассеяния и других явлений многоволкового смешения с интенсивной научной. Наиболее характерные процессы такого рода классифицируются по подалгебра!.! ДС Зр (4, Ю^ь (213десь же найдены в факторизованном виде операторы эволюции и вычислены их параметры для процессов параметрической генерации п преобразования ча>~ стоты с гармонической накачкой. Для описания эволюции квантово-статистических свойств этих процессов вычислены двухмодовые характеристические функции в нормально упорядоченной форме дш различных начальных состояний полеЕых мод: когерентных, фоковс-ких, хаогическкх и их комбинаций друг с другом.

В §3 получены новые классы точных решений уравнений Гейзе-нберга дая одномерных билинейных процессов •с амплитудной и фазовой модуляциями. Дня процесса с и(2) ДС уравнение для гейзенберговского оператора имеет вид

. . . п г,

"Я. •• -я Ф ~л

а-. - — а.. + % с 1 - ~ + - ) а1 - о , (20)

Я ' й 2

где А1=» a1 exp i ( u t -4>/2)Лолучены его точные решения: I/ в терминах функций Лекандра для законов модуляции фазы я амплитуды, связанных друг с другом соотношением f(t) /fl(t) =8z(t), где 0-произвольное число, z(t)-произвольная функция времени; 2/ в терминах гипергеометркческой и бесселевцх функций для соответствующих классов временных функций fl(t) и ^(t) , найденных в работе.

Полученные результаты используются; для построения обшей теории существенно нестационарных билинейных процессов типа эх;-с динамикой Sp (2ш, Е)+)ь (ш) / §4 /. По физической природе объектов, генерирующих сигнал, все эти явления раздышится на два обширных класса - ■ мультипольное . и бозонное эхо. В ал-

гебраичоском подходе она различаются только реализацией генераторов ДС / с помощью операторов углового момента ш бозон-пых операторов /. В рамках конкретной ДС с помощь» простых взаимнооднозначных соотношений легко находится интенсивность сиг-, нала эха любого типа в любой реализации, если известна интенсивность эха одного из типов в одной из реализаций. Учет сгормл возбуждающих импульсов и их частотной модуляцги производится в формализме оператора эволюции или уравнений Геизенберга па основе результатов, полученных в 52 и §3. В качестве примера построена квантовая теория фоноиного эха обратной волны в пьезоэлектрических кристаллах. Найденное выражение для интенсивности сигнала хорошо согласуется с тлеющимися экспериментальными данными.

В восьмой главе рассматриваются стационарные и нестационарные процессы с гамильтонианами третьей и четвертой степени по бозонным операторам, порождающими бесконечномерные дананз-ческиэ алгебры Ли. В §1 подробно исследована динамика стационарной трилинейной сястсялц с гамильтонианом

2

Н = Ь оаа(а+а + Ъ) + Ь 6)Ь(Ъ+Ъ + 1/г) +Ыа++ а)(Ь++Ъ) , (21)

который в нелинейной оптике моделирует генератор второй гармоники света, а в молекулярной спектроскопии - молекулу с двумя типам колебаний, резонирующим: по Ферми, иа= 3 приближении медленно меняющихся амплитуд получено выражение для числа квантов в моде обертона в произвольны! момент времени

2 ,-,

т^и) - 1^(0) + 2 ла(0} са < *паЪ + 1 2 к t + ^ , К ) , (22)

где модуль эллиптического косинуса к = 1 - [пь(0) - 1]/2паЪ и дополнительный аргумент ¥ гаа~1 (,паЪ /2 па(о)', к ) найдены в приблизении г^Ма-п^ . Вещественный период этой функции

4$5 2л [2 паЬ/ 1^(0)]/ , (23)

характеризует временной масштаб мажмодового обмена энергией в молекуле. Для экспериментальной проверки динамической теории резонанса Ферми и следувдвс из ное выводов предлагается использовать метод спсктроскопии когерентного антистоксова рассеяния света с временным разрешением, Если длительность возбуждающего импульса больше обратной разности частот в дублете Ферми, но . меньше величины С233 , то экспоненциальный распад антистоксова сигнала будет промоделирован с периодом 4- т. В силу соотношения 4 т — к"1 такой эксперимент дает такке возможность оценить коэффициент нелинейно;'! связи в молекулярном потенциале : ,

В §2 в-рамках приближенной ДС рассмотрен нестационарны!! процесс нелинейного в четвертом порядке взаимодействия света со средой. Гамильтониан имеет вид

H(t) = ъ îiw0(t)(a+a + 54) + 1^[ae(t)a++5e(t)aZ]+ y2îiX(-t)(a++ а).4

(24)

В приближении медленно меняющихся амплитуд / справедливом при / ¿.< и>0, эе / его кешго записать в терминах генераторов группы su(i,i) и ее казимировского оператора. Бесконечномерная алге-. бра Ли гамильтониана (24)лоследовательно аппроксимируется с помощью конечномерных алгебр. В нулевом порядке малости по величине параметра ангармоничности X алгеброй приближенной ДС в редукционной цепочке(б) является su(i,U , в первом порядке -пятимерная алгебра являющаяся придай суммой su(i,i) и

двумерной коммутативной подалгебры и т.д. Мультипликативная параметризация группы Ли алгебры Ц1 ^ позволяет .факгоризовать оператор эволюции нестационарного процесса (24) и с точностью до первого порядка по X свести вычисление его параметров к рэзу-. льтатам, полученным б предыдущих главах. В процексе(24) взаимодействия когерентного света с нелинейной средой возможно возникновение такого сугубо квантового состояния света, в котором дисперсия одной из квадратурных компонент поля меньше своего значения в вакуумном состоянии. С учетом затухания мода поля в рамках микроскопической модели с тепловой " баней " вычислена дисперсия этой величины в сжатом состоянии. Найдено усло-

ига возникновения сжатия света, которое в нулевом порядке малости по величине параметра ангармоничности имеет вид

- у t

( oh 2 tQt - sh 2XQt ein 2-f) 1 + 2 n0( 1 - e ) 4 1 , (25)

rieX(t) = xoe3cp(-2iUot),f-$a30Btift угол, контролируемой в эксперименте, nQ - число квантов начального возбуждения js " бане " , /-коэффициент затухания.Вычислена дисперсия и найдено условие сжатия света в нелинейном кристалле в первом порядке по величине X • Отмечено, что процессы мультиполыюго и бозопного эха о ДС sp (2m, R)t)h(m) можно использовать в качестве генераторов сжатых состояний звука и электромагнитного поля в различных диапазонах длин волн.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации, и кратко обсуздаются перспективы применения алгебраического подхода для исследования динамики различных нестационарных физических систем и процессов.

ОСНОВШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложен теоретико-групповой метод нахождения в явном виде решений линейных эволюционных уравнений для существенно нестационарных процессов,и выработаны алгоритмы решения этих уравнений в теории взаимодействия излучения с веществом для основных типов динамических алгебр Ли,

2. Получены новыо классы точных решений временного уравнения Шредангера для двухуровневой системы в классических поля>

с амплитудной, частотной и комбинированными модуляциями. Для всех этих случаев найдены групповые параметры эволюционного su(2) оператора, полностью определяющие динамику задачи.

3. Разработана регулярная процедура нахождения гаяитичес-ifflx решений линейных эволюционных уравнений с нарунюяныдга / из-за учета релаксации, расстройки резонанса и других физичоских факторов / динамическими сишэтриями. Предложен новый метод ре. 19 '

шония системы уравнений Ккоха с переменными коэффициентами;.

4. Для процессов взаимодействия трех-, четырех- и к-уровне вых кг оптовых систем с модулированными классическими электро магнитными полями получены новые классы решений временного уравнения Иредангора С БОС3), Зи(2), 30(1,1), 20(4), 80(3,1), Би(з) динамическими симмвтркямп.

5. Предложена модель, внутрирезонаторного взаимодействия двухуровневого атома с кодой квантованного поля,, учитывающая нестационарные процоссы адиабатического включения пот и его релаксации, а также пространственное распределение поля в резонаторе. Аналитически и численно исследована динамика микромазера в различных режимах его работы. Показано, что при определенных соотношениях ыеяду расстройкой резонанса и скоростью движения атомов начальная инверсия атомов периодически исчезает и восстанавливается.

6. В рамках еютмектической динамической алгебры описана . квантовая динамика и квантовая статистика билинейных параметрических процессов взаимодействия квантованных мод электромагнитных и акустических полей. Получены новые классы точных: решений уравнений Гейзенберга для основных типов таких процессов с амплитудной и фазовой модуляциями. На их основе построена квантовая теория фононного эха обратной волны в пьезоэлектриках, результа-ти которой хорошо согласуются с экспериментальными данными,

7. Бесконечномерные динамические симметрии процессов с гамильтонианами третьей и четвертой степени по бозошшм операто-. рагл аппроксимируются приближенными конечномерными алгебрами Ли. Построена квантовая динамическая теория резонанса Серди для нелинейно связанных молекулярных колебании / процесс третьего порядка / и предношены эксперименты по определению молекулярных параметров. Найдены услсзия генерация сжатых состояний свата в нестационарном процессе, / четвертого порядка / взаимодействия света с нелинейной средой с микроскопическим учгтом затухания полевой моды.

Все перечисленные результаты являются новыми.

ПУЕЛЖАЦКИ ПО ТЕШ ДИССЕРТАЦИИ

1. Копвиллем 7.Х., Пранц C.B. Поляризационное эхо. - M.t . Наука, 1985. - 192 с.

2. Пранц С.Б. Матричная форма операторных преобразований в теории сверхизлучательного состояния. - Владивосток, 1977. -Деп. ВИНИТИ, 106-77. - 14 с.

Р» . Kopvillem U.Kh., Prants S.V. Ootupnle and hexadecapole dynamics 1л pallet state physics //Phys. Stat. Solidi (b). -1977. --V.S3. - P.109-114.

4. Пранц C.B. К проблеме поляризационного эха б локальных пье-зоэлектриках /Догерентное возбуждение конденсирова- их сред. - Владивосток, 1979. - C.I56 - 168.'

5. Kopvillem U.Kh., Pmnts S.V. Electroacoustie superadiating Dhenomena in local piezoelectrics //Proc. 2nd Intern. Acoustical Congress, v.l. - Waraaawa, 1978. - P.55-58.

6. Пранц C.B. Отклик упругого тела на когерентное возбуждение // Квантовые методы исследования океана. - Владивосток, 1979. -С.54 - 59.

7. Kopvillem U.Kh., Prants S.V. Possibility of polarisation echoes and avalanches in non-piezoelectric naterials // J. Phys. C. - 1979. - V.12. - P.1927-1935-

8. Пранц C.B., Чудновский В.'Л. Сверхизлучение в двухуровневых системах с релаксацией и сверхизлучательше комбинированные перехода в многоуровневых.системах //Препринт ТОЙ ДВНЦ АН СССР. - Владивосток, 1979. - 23 с.

9. Копвиллем УЛ., Пранц C.B. Формирование сигналов поляризационного эха л поляризационной лавины в.непьезоэлектричес-

. ких диэлектриках /ДЭТФ. - 1979. - Т.76. - С. 1038 - I04S.

10. Пранц C.B. Динамика Пуанкаре и ее физические реализа:..ш // . Препринт ТОЙ ДЕНЦ АН СССР. - Владивосток, 1980. - 31 с.

11. Пранц C.B. Сшш-циклотронное эхо в полупроводниках с цент. ром инверсии //®ГП. - 1981. - Т.15. - С.210.

12. Правд C.B. Когерентные процессы в объединенной системе .

" двухуровневая модель - осциллятор " //Когерентные методы

в акустических и оптических измерениях..- Владивосток, . 1981. - С.SI - 93.

13.-.Копвиллем У.Х., Пранц C.B. Поляризационное эхо в сегнетоэле-ктриках //Ж. - 1981. - Т.26. - C.I534 - 1540.

14. Пранц C.B. Новый механизм формирования эха на электронах, провода гости в металлах //Тез. докл. 2-го Всесоюзн. симп.

. по световому эхо. - Казань, 1981. - С.85.

15. Лранц C.B. Микроскопическая теория поляризационного эха // Там :;е. - С.86.

16. Пранц C.B. Эхо-процессы в спин-осщлляторной динамике // Прикладные метода физических измерений. - Владивосток, 1981. - С.38 - 46.

17. Kopvillem U.Kh., Pranta S.V. Domain theory of polarisatioa echoes in ferroelectrics //J. Physique. - 1982. - T.43. -P.567-574.

18. Пранц C.B. Поляризационное эхо в.монокристаллах сегнетоэлэ-кгриков'со структурой перовскита /Дез. докл. X Всесоюзн» . конф. по сегнетоэлектричеству, ч.1. - Минск, 1982. - С.229.

19. Пранц C.B. Звуковое возбуждение дислокационного эха //Гез. докл. X Всесоюзн. акустической конф., ч.В. - Москва, 1983. -С.57 - 60.

20. Пранц C.B. Динамические симметрии системы взаимодействующих осдшиторов двух типов /Дез. докл. Всесоюзн. конф. по не-. разрушающему контролю, ч.1. - Хабаровск, 1984. - С.14 - 15.

21. Пранц C.B. Дипамические симметрии в когерентных процессах // Тез. докл. Дальневосточной школы-семанара по.физике и химии твердого тела. - Благовещенск, 1985. - C.I36.

. Пранц C.B. Когерентная динамика связанных осцилляторов // Тез. дога. 3-го Всэсогозн. сиып. по световому эхо и когерентной спектроскопии. - Харьков, 1985. - C.I43.

23. Pranta S.V. An algebraic approach to quadratic parametric processes //.I. Phys. A. - 1936. - V.19. - P.3457-3462.

24. Пранц C.3. Алгебраический подход к системс^ йвух связанных осцилляторов /Деоретико-групповыб метода в физике, т.1. -М.: Наука, 1986. - C.3II - 316.

24a. Pranta b.V. An algebraic approach to coupled oscillators // Oroup-theoretical Methods In Physics, ir.1. - Utrecht; VNII Science Ргевв, 19S6. - P.505-510.

25. Пранц C.B. Динамическая теория резонанса Фер^и в газах и. жидкостях и предложения по ее экспериментальной проверке // Препринт ТОЙ ДВНЦ АН СССР. - Владивосток, 1986. - 14 с.

26. Пранц С.В. Динамические симметрии связанных квантовых осцилляторов в нелинейной оптике' //Георетико-групповые. методы

в фундаментальной и прикладной физике. - М.: Наука, 1988, - С,73 - 101.

27. Пранц С.В, Сжатие излучения в явлениях эха о динамикой su(i,1) //Теоретико-групповые.метода в фундаментальной и прикладной физике, - И.: Наука, 1988. - С.233 - 247.

28. Рrantя 3.V, Backward-wave dislocational phonon echoes // Proc. 2nd Intern, Conf. on Phonon Phyeics. - Singapore; World Scientific, 1985. - P.677-879.

29. Prants S«7, Quantum dynamical theory ot a ?ermi resonance and subplcosecond spectroscopy of coupled vibratiornl mo-dee //J, Phys, В, - 1983. - V.21. - P.397-401.

30. Пранц С.В, Когерентная, спектроскопия резонанса Ферми // Тез. докл, XX Всеооюзн. съезда по спектроскопии, ч.1. -

. Киев, 1988; - С,202,

31. Пранц С,Б. Новый метод решения уравнений Блоха //Гез. докл, 4-го Всесоюан,сиып, по световому эхо ж путям его практических' реализаций, - Куйбышев, 1989, - С,140.

32. Pranta S,Y, Squeezing of quantum acoustical fields ш.* a problem of nondemolition measurements //Proc. 3rd Intern, Conf. on Phonon Physics. - Heidelberg, 1989. - P.97.

33. Пранц С.В. Динамика и спектры резонансной флуоресценции атомов в полях с амплитудной и фазовой модуляциями с теоретико-групповой точки зрения /Дез. докл. Всесоюзн. .jcohJ. ' . по теории атомов и атошых спектров. - Томск, Г 89. - С. 86.

34. Pranta S.V. Lie algebraic solution, of Bloch equations with time-dependent coefficients.//Phys. Xett. A. - 1990. -V.144. — P.225-228.

35. Правд C.B., Якулова Л.С. Аналитические решения уравнений Блоха с переменной амплитудой и частотой /ДЭТФ. - IS9Û. -T.S7. - C.II40 - 1150.

36. Пранц C.B., Якупова Л.С. Временная. эволюция трехуровневого атома в поле лазерных.импульсов //Оптика и спектроско-

. пия. - 1990. - 1.69. - С.964 - 970.

37. Рrants 5.V. Parametric amplification, and. frequency conversion with time-dependent pump-amplitude and phase //Optica Communications. - 1990. - V.78. - P.271-273.

38. Prants S.Y. Dynamical symmetries in the theory of field-atom interactions //Symmetries and Algebraic Structures in ïhyaicB. - New York; Hova Science, 1991. - P.154-166.

39. Prants S.V. Quantum dynamics of atoms in modulated laser fields //J. Sov. Laser Research. - 1991. - V.12, H2.

39a. Пранц C.B. Квантовая динамика атомов в модулированных лазерных полях //Препринт ФИ АН СССР. - № 138. - Москва, . 1990. - 56 о.

40. Пранц C.B. Теоретико-групповой подход к решению уравнений Блоха //Теория представлений и.групповые методы в физике, -М.: Наука, 1991. - С.36 - 42.

41. Karassiov V.P., Prants S.V., Ривугетаку V.X. Algebraic methods in the theory of the interaction of radiation with matter»//Interaction of Electromagnetic Fields with Matter. - Singapore; World Scientific, 1990. - V.3-48.

r