Динамическое моделирование систем управления пучками частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.стр.

ГЛАВА 1.стр.

§1.1 Уравнения движения частиц .стр.

§1.2 Описание управляющих полей .стр.

§1.3 Гамильтонов формализм .стр.

§1.4 Моделирование пучков частиц .стр.

§1.5 Собственное поле длинного пучка с эллиптическим сечением.стр.

§1.6 Матричный формализм для систем дифференциальных уравнений .стр.

§1.7 Уравнения движения для одиночной частицы с учетом собственного заряда пучка .стр.

§1.8 Уравнения эволюции для огибающих пучка.стр.

Данная диссертация посвящена математическому и компьютерному моделированию, а также оптимизации систем управления пучками частиц. Следует сразу отметить, что история развития указанных задач уже насчитывает не один десяток лет, однако именно в последние годы наблюдается бурное развитие самых различных подходов к задачам моделирования и оптимизации динамики пучков частиц в электромагнитных системах. Резкое возрастание интереса к данным проблемам связано прежде всего с необходимостью в создании новых мощных инструментов для фундаментальных, прикладных и технологических исследований и целей. Требования, предъявляемые к пучку (к его фазовым характеристикам), к системе управления накладывают жесткие ограничения на выбираемый математический аппарат и методы проведения вычислительного эксперимента. В частности, чрезвычайно высокая стоимость такого рода установок как накопительные кольца, коллайдеры самой различной конфигурации с необходимостью приводят к обязательному проведению предварительного компьютерного моделирования всевозможных эффектов, которые могут иметь место в подобного рода установках. На другом полюсе систем управления пучками частиц находятся сравнительно небольшие по размерам, но высокопрецизионные установки, используемые в самых различных областях человеческого знания и применения. Очень высокие требования, предъявляемые к пучку, требуют также как и в случае больших установок, проведения тщательного качественного и количественного анализа.

В работе предлагается единый с методологической точки зрения математический аппарат, обеспечивающий единообразное описание как объекта управления - пучка частиц, так и субъекта управления - управляющего объекта - системы управления пучками частиц - системы транспортировки и формирования пучка частиц с помощью электромагнитных полей. Обзор современной литературы, прежде всего материалов многочисленных конференций ( наиболее быстро реагирующих на современные достижения, смотри, например [122, 144, 158, 206, 231]) показывает, что несомненно растет интерес к повышению эффективности и информативности используемых подходов с одновременным развитием интерфейсов самого различного предназначения. Существование громадного числа пакетов прикладных программ, предназначенных для решения задач физики пучков ( смотри [192, 253, 261]), указывает также и на необходимость создания (по мере возможности) единого подхода, основанного на максимально адекватном математическом аппарате и обеспечивающего эффективное решение задач, достаточно просто расширяемым при включении новых теоретических и экспериментальных знаний.

Несомненно весьма заманчиво строить изложение таким образом, когда оно начинается с простейших идей и затем разворачивается в логических выводах так, что появляется некоторая сложная теоретическая структура, в которой каждый элемент связан со всеми прочими. К сожалению, в этом случае можно погрязнуть в мелочах, тем более, что сама структура содержит в себе некоторые неясности, из-за которых нелегко всякий раз определять свой следующий шаг и быть уверенным, что именно он ведет к намеченной цели. Поэтому в основу предлагаемого подхода следует положить принципы системного подхода, позволяющего построить как бы общий контур территории", на которой следует отыскать главное направление прежде чем начать ориентирование с помощью подробных карт. Именно системный подход подсказывает необходимость использования для описания упомянутых выше объектов и явлений математический аппарат, позволяющий на едином языке описывать как объект управления, так и субъект управления. Укажем следующие основные требования, предъявляемые к выбираемому подходу:

1. Максимально возможная адекватность физической и математической моделей;

2. Возможность получения глубоких качественных результатов тем более, что именно с качественной стороны еще много неясностей при исследовании нелинейной эволюции пучка;

3. Возможность эффективного ( с точки зрения прежде всего проведения вычислительного эксперимента) и глубокого численного анализа, позволяющего осуществлять реализацию полученных результатов в виде конкретных установок;

4. Возможность осуществления программы анализа и синтеза систем управления лучками частиц, построения эффективных методов оптимизации ( в широком смысле этого понятия) таких систем;

5. Возможность достаточно безболезненного усложнения модели в процессе появления новых экспериментальных и теоретических данных.

Реализация математического аппарата на языках высокого уровня в виде пакета прикладных программ с обязательным входным и выходным интерфейсами, позволяющими оператору общаться с ЭВМ на естественном для рассматриваемого класса задач языке, в том числе и на языке графических изображений, тем более, что именно графическое представление исследуемых процессов и явлений существенно способствует интенсификации интуитивного (очень важного для физика) мышления. По сути дела речь идет о создании проблемно-ориентированной системы, выступающей при исследовании динамических систем в качестве компьютерного эксперта. Вышесказанное приводит нас к необходимости при построении программного обеспечения учитывать следующие основные требования:

1. Возможность проблемно-ориентированной системы работать с системами компьютерной алгебры, позволяющими проводить глубокие качественные и количественные исследования, автоматизировать процессы ручного кодирования создаваемых программ, повышать их быстродействие и уменьшать используемые объемы памяти;

2. Возможность включения в проблемно-ориентированную систему пакетов программ, написанных на разных языках, с одной стороны, с целью привлечения к решению задач широко известных пакетов, а с другой стороны, с целью использовать достоинства этих программ с максимальной эффективностью;

3. Возможность проблемно-ориентированной системы "работать" с графическими данными, как входными, так и выходными - проводить "вычисления" на языке графических символов. т

4. Возможность привлечения средств и методов искусственного интеллекта (не только методов и средств компьютерной алгебры) с целью создания сначала прототипов, а затем и реально действующих экспертных систем ( которые могут также выступать и в качестве электронных учебников в данной предметной области).

Кодирование Рис.1

В своих работах [109, 110] А.А.Самарский предложил графическую схему, иллюстрирующую процесс моделирования физических задач. Аналогичные представления развивались в методических пособиях факультета прикладной математики-процессов Санкт-Петербургского университета. К сожалению, подобные схемы не отражают современных тенденций как в самом процессе моделирования, так и в развитии вычислительной техники (hardware) и математического обеспечения (software). С учетом изменений и дополнений, которые стали возможными в последние годы, а также исследований, проведенных автором работы по моделированию конкретных систем управления пучками частиц, автор предлагает следующую схему процесса моделирования (смотри Рис.1). Здесь представлена схема построения иерархических моделей различного уровня. При этом под физической моделью объекта, процесса или явления будем понимать по возможности полное (на данный момент развития науки) описание в физически содержательных терминах и понятиях. В физической модели без всяких изменений и упрощений должны входить вся теоретическая (в виде функциональных, дифференциальных и прочих связей и соотношений) информация и все экспериментальные данные, изложение гипотез, которые могут быть сформулированы по поводу еще не изученных явлений и соотношений между различными частями исследуемого объекта. Таким образом, физическая модель представляет собой содержательное отображение реального объекта или явления на уровне современных знаний. Особые трудности возникают при создании физической модели систем управления. Дело в том, что в этом случае приходится строить единую систему описания модели процесов, имеющих различную качественную природу. Кроме того, модели процессов управления должны включать физические критерии качества, определяющие предназначение, эффективность и качество функционирования системы управления.

Следующим этапом моделирования является построение аппроксимирующей модели. Введение в рассмотрение промежуточного этапа между физической и математической моделями [147] позволило автору по иному взглянуть на весь процесс моделирования исследуемых процессов и явлений. Аппроксимирующая модель также как и физическая модель описывает объект или процесс в физически содержательных терминах. Но в отличие от физической модели при построении аппроксимирующей модели отбрасываются факты, не оказывающие заметного влияния (в пределах заданной точности) влияния при заданных условиях на ход процесса или поведение объекта. При переходе от физической модели к аппроксимирующей модели сложные математические зависимости и соотношения заменяются по возможности более простыми, аппроксимирующими, соотношениями. В частности, одни классы функций заменяются на другие, более простые, нелинейные соотношения - линейными (с помощью процедуры линеаризации). При наличии недостаточно изученных явлений и связей в аппроксимирующей модели могут вводится аппроксимирующие гипотезы. При этом целесообразно строить последовательности иерархически вложенных аппроксимирующих моделей, каждая из которых имеет свои границы применимости (по принципу "от более простого к более сложному"). Большое значение имеет принцип минимальной сложности аппроксимирующей модели исследуемых процессов и объектов. При всех упрощениях и отбрасывании различных несущественных (на данном этапе) факторов или малых параметров необходимо дать оценку границ применимости полученной модели, так как малые параметры могут оказать (и оказывают в накопительных кольцах, коллайдерах при многооборотной эволюции пучка) громадное влияние на устойчивость и качественное поведение исследуемого объекта (в частности, возникает возможность появления в фазовом пространстве областей стохастичности [275, 278]). Построение аппроксимирующих моделей является весьма сложной задачей. Именно на этом этапе огромную роль играют методы и средства искусственного интеллекта (на схеме ИИ), в частности, методы и средства компьютерной алгебры. Последние позволяют резко повысить эффективность построения аппроксимирующей модели и существенно снизить порядок (практически свести к нулю) ошибок, которые являются "проклятием" чрезвычайно громоздких математических выкладок, сопровождающих процесс построения аппроксимирующих моделей. Введение как обязательного элемента процесса моделирования методов и средств искусственного интеллекта осуществляется в данной работе впервые. Именно это введение открывает перед исследователями совершенно новые возможности на пути иссследования сложных процессов и явлений. Кроме сказанного, следует ука зать на чрезвычайно важный этап формирования аппроксимирующей модели - этап физической формализации задачи. Под этим понятием мы понимаем процесс агрегирования исходной задачи, построения системы подмоделей элементарных моделей, из которых и строится та или иная аппроксимирующая модель. Система элементарных моделей, объединенная в единое целое иерархической системой ориентированных графов, является базовой для перехода к следующему этапу процесса моделирования — этап построения математической модели.

На третьем этапе строится математическая модель объекта или процесса. Под математической моделью будем понимать уравнения и соотношения, приведенные в аппроксимирующей модели, четкую математическую формализацию всех соотношений, условий и ограничений. При этом обычно осуществляется дальнейшее абстрагирование модели (в частности, происходит переход к безразмерным величинам, уже не имеющим непосредственную физическую интерпретацию). Кроме того, математическая модель включает в себя методы решения поставленных на этом этапе математических задач в виде уравнений самой различной природы, задач синтеза систем (в том числе оптимального) управления и т.п. Однако на этом этапе необходимо проводить согласование точности задания и наблюдения данных (определяемой классом точности используемых приборов и инструментов) и точности решения задач. По возможности используемые методы должны быть универсальны ( по крайней мере для данного класса задач), но не в ущерб их эффективности, что обычно связано со специализацией применяемых методов. На этом этапе формулировки математической модели также могут использоваться методы компьютерной алгебры с целью проведения необходимых преобразований для построения аппроксимирующих сумм, произведений, вычисления интегралов, производных, решения (если это возможно) в символьном виде уравнений, построения разностных схем (особенно это касается уравнений в частных производных). Очевидно, что для каждой аппроксимирующей модели вообще говоря строится некоторая последовательность (в том числе и иерархическая ) математических моделей (смотри главу 4).

Следуя далее по схеме, мы переходим к реализации математической модели в виде алгоритмов и программ (пакета прикладных программ). На этом этапе использование средств и кодов компьютерной алгебры (например, таких систем как ЛЕОиС Е, М АТ Н Е М АТ 1С А, МАРЬЕ V, МиРАБ и так далее) позволяет автоматизировать процесс кодирования программ, снижая тем самым как временные затраты, так и число обычно совершаемых при таких объемах вычислений ошибок.

В традиционно используемом в естественно-научных исследованиях подходе пакеты прикладных программ используются для проведения численных расчетов с целью проверки адекватности выбранных аппроксимирующих и соответствующих математических моделей. При этом основную функциональную нагрузку экспертизы получаемых результатов осуществляет исследователь - человек. Очевидно, что требования, предъявляемые к такого рода экспертам весьма высоки. В современных условиях сочетание знаний в предметной области, математических методах и в программном обеспечении в одном человеке весьма проблематично из-за чрезвычайной сложности современных задач. Поэтому в настоящее время на арену научных и технических расчетов все шире привлекаются методы и средства искусственного интеллекта, реализация которых осуществляется в виде создаваемых в основном пока прототи

-аилов экспертных систем [176, 196, 255, 257, 335]. Заметим, что частным случаем такого рода систем являются так называемые электронные учебники, позволяющие неопытному исследователю ("студенту") в интерактивном режиме получать новые знания и приобретать опыт в исследовании интересующих его процессов и объектов. В области моделирования систем управления пучками частиц в настоящее время также идет интенсивная работа по созданию такого рода систем [128, 133, 191, 231, 245, 268, 287, 335]. В этих работах большое внимание уделено концептуальным вопросам построения интеллектуальных систем. При этом большее внимание уделяется вопросам управления в режиме реального времени. Достаточно интересной работой является работа [257], в которой выделяются основные проблемы создания эффективных вычислительных модулей для экспертных систем, предназначенных для научных исследований. Интересно также направление, развиваемое в работах; Leo Michelotti (смотри, например, [282]) и Hiroshi Nishimura [245]. Однако следует отметить, что большинство реализуемых подходов основано на достаточно традиционных математических подходах. Основная проблема в процессе интеллектуализации вычислительного эксперимента заключается в отсутствиии унифицированного описания различных составных частей исследуемого объекта или процесса, что, естественно, резко снижает возможности проведения процесса интеллектуализации. Кроме того, большинство применяемых математических методов (в том числе и таких современных как алгебраические методы Ли [202-215, 241, 242], методы автоматического дифференцирования [168, 300], в том числе методы дифференциальной алгебры [169, 170, 172, 252, 344], методы символьной динамики [45]) являются численными методами и, как следствие этого, не обладают в достаточной мере свойствами универсальности и адаптируемости.

Наконец, получаемые в процессе проведения вычислительного эксперимента (вернее серии такого рода экспериментов ) результаты проходят фазу интерпретации (возвращения в область физически содержательных объектов) и проверки на адекватность как с выбранной аппроксимирующей моделью, так и с исходной физической моделью. При обнаружении адекватности полученных результатов данным, соответствующим выбранной аппроксимирующей модели, мы либо заканчиваем процесс исследования, либо переходим к более сложной аппроксимирующей модели, если сопоставление результатов вычислений с данными физической модели показывают их недостаточность или несостоятельность. В последнем случае используемый подход должен обеспечивать оперативный выбор другой аппроксимирующей модели без разрушения самой структуры вычислительного процесса и с максимальным использованием полученных ранее результатов (принцип наследования, смотри главу 4).

Замечание 1. Вообще говоря интерпретация результатов возможна и на более ранних этапах моделирования, например, при выборе той или иной математической модели для аппроксимирующей модели. Здесь также весьма эффективны методы компьютерной алгебры, так как они позволяют получать аналитические соотношения в виде решений уравнений, симметрий (как непрерывных, так и дискретных), инвариантов и т.п. Именно символьная форма такого рода представления позволяет оперативно, еще на этапе выбора математической модели, осуществить поиск более подходящей модели, в том числе и аппроксимирующей. В частности, часто задачи синтеза систем управления конкретизируются на этапе согласования аппроксимируюгцей и математической моделей. Поиск же оптимального управления в синтезированном классе управлений осуществляется на этапе вычислительного эксперимента. #

Еще раз необходимо отметить, что введенная структура процесса моделирования является не просто новой графической интерпретацией этого процесса, а новым подходом к моделированию, который находит свое отражение в парадигме динамического моделирования [142-144, 245]. Эта парадигма находит все большее число сторонников среди дизайнеров систем управления пучками частиц (beam line designers), хотя еще и не отдающим себе отчета, что эта идеология требует не просто по иному взглянуть на этап построения компьютерной модели (смотри, например, [245]), а перестройки практически всей идеологии. Прежде всего необходимо ввести как обязательное требование адекватности математических методов не только аппроксимирующей модели (обычно воспринимаемой как физическая модель), но и современному hardware и software (принцип сквозной адекватности). В противном случае по настоящему высокоэффективные компьютерные модели построить будет нельзя. Именно это требование и является основным направляющим моментом в данной работе. Выбор в качестве основного математического аппарата матричного формализма для алгебраических методов Ли по мнению автора снимает многие вопросы, связанные с унификацией как математических, так и физических объектов, используемых в процессе моделирования на всех его этапах. Естественно, понимая ограниченность области применения данного формализма (в пределах применимости идеологии теории возмущения), автор при построении компьютерной модели предусматривает возможность подключения альтернативных математических методов в виде независимых объектов (смотри, например, работы [128, 131]). Предлагаемый в качестве базового математического аппарата для реализации парадигмы динамического моделирования аппарат матричного формализма алгебраических методов Ли является новым и в полной мере соответствует всем приведенным выше требованиям. Рассмотренный в этом формализме целый класс задач общей теории динамических систем (смотри, например главу 2) позволяет существенно повысить эффективность процесса моделирования, поскольку этот формализм не только позволяет отслеживать динамику исследуемого процесса, но и проводить оптимизацию (в широком смысле этого понятия) с привлечением теории инвариантов, симметрий. Кроме того, использование точных решений для преобразований Ли, порождаемых определенного класса системами, позволяет построить эффективные по точности и быстродействию численные алгоритмы.

Диссертация состоит из пяти глав, каждая из которых посвящена вопросам, изложенным выше и нашедшим свое отражение на схеме, приведенной на Рис.1. При переходе от главы к главе мы постепенно "передвигаемся" по указанной схеме. Учитывая, что построение физической модели является прерогативой всего научного сообщества, занимающегося исследованием данной проблемной области, основное внимание уделяется построению аппроксимирующих моделей. Однако необходимая информация по физической модели естественно приводится. Первая глава посвящена прежде всего постановочной части — краткому описанию основных составляющих элементов физической модели с указанием одного из подходов построения аппроксимирующих моделей, основанного на идеологии теории возмущения. Выбор именно

HZ' такого подхода в основном определяется классом решаемых задач и во многом связан с представлением информации (прежде всего эмпирической) об управляющих полях (смотри, например, §1.2). Все построения внешних полей и собственных полей являются конструктивными. Их формализация является новой, хотя в ином представлении описание внешних управляющих полей известно достаточно давно и описано в многочисленной литературе. Однако, эти описания не обладают достаточной общностью, позволяющей "подключать" новую информацию естественным образом. Кроме того, все приведенные формулы (как для описания объекта, так и для описания субъекта управления) согласованы и реализованы на едином языке - языке матричного формализма, основные принципы которого для описания уравнений движения и управляющих полей также приведены в первой главе (§1.6). В рамках этой же единой матричной формализации рассмотрены проблемы вычисления собственных полей, проведенные в данной работе для одного важного класса пучков (смотри §1.5), а также формализации уравнений движения с учетом объемного заряда (§1.7). В этой же идеологии рассмотрены вопросы моделирования пучка в терминах огибающих (§1.8). Все построения в данном виде являются новыми и естественным образом поддаются формализации с целью построения элементарных моделей при построении аппроксимирующих моделей для исследуемой динамической системы с управлением.

Вторая глава является основной, так как в ней изложен математический аппарат, предложенный автором, и на котором основаны процессы моделирования и оптимизации, используемые для решения ряда практических задач качественного и количественного характера. В качестве отправной точки выбран алгебраический аппарат Ли, имеющий достаточно большую историю. Однако именно в последние годы к этому аппарату интерес резко возрос. Это связано прежде всего с тем обстоятельством, что алгебраический аппарат Ли позволяет привлечь самые различные области математики, тем самым увеличивая свои аналитические возможности. В области нелинейной динамики пучков частиц, по-видимому, первым стал интенсивно использовать и развивать этот подход Alex J.Dragt, хотя в других областях знания эти методы применялись достаточно давно (прежде всего в небесной механике [199, 218, 248, 295]). Однако традиционные методы реализации этого аппарата, к сожалению, не обладают достаточной совместимостью с современной компьютерной технологией в ее аппаратной и программной реализации. В частности, полиномиальное описание гамильтонианов динамических систем, используемое в традиционном (на данный момент) алгебраическом аппарате Ли (смотри, например, [202-214, [251, 324]) предполагает выполнение операций дифференцирования (взятие скобок Пуассона). Именно эта операция (необходимая для вычисления высших порядков) и вызывает определенные трудности при ее численной реализации. Появление работ M. Berz'a [167-173], посвященных дифференциальной алгебре, и были мотивированы прежде всего этими трудностями. В предлагаемом в данной работе подходе эти проблемы сняты полностью. Более того, с точки зрения вычислительных операций этот подход является более экономичным, так как не использует "лишних переменных" — фазовых переменных. К тому же он использует только алгебраические операции над объектами, описывающими исследуемые явления, - матрицами. Это позволяет в максимальной степени использовать современные достижения современного hardware — компьютеров с распараллелированием вычислений. Предыдущие исследования автора данной работы показали достаточную эффективность метода последовательных приближений в

- гэ " матричном представлении (метода погружения в пространство фазовых моментов) [9, 14]. Но методы вычислений, предлагаемые в рамках этого подхода обладают рядом недостатков, которые в определенных ситуациях снижают эффективность соответствующих вычислений. Поэтому сохраняя матричную форму представления решений дифференциальных уравнений сами методы построения этих матриц реализованы уже с привлечением алгебраического аппарата Ли. С помощью матричного формализма во второй главе исследованы практически все основные задачи, которые возникают в теории динамических систем (часть информации излагается в §3.2). Кроме основных определений и утверждений, создающих теоретическую базу предлагаемого подхода, в параграфах данной главы приведены алгоритмы, на основе которых в дальнейшем строится соответствующее программное обеспечение. С точки зрения схемы, приведенной на Рис.1, во второй главе рассмотрены вопросы, относящиеся к компетенции сразу трех блоков: аппроксимирующие модели, математические модели, алгоритмы и программы. Указано, как при реализации данного подхода применяются методы и средства компьютерной алгебры. Весь материал главы является новым и полностью отражает те требования к математическому аппарату, которые были описаны выше. Рассмотренные в данной главе задачи динамических систем являются чрезвычайно важными не только для исследования систем управления пучками частиц, но и для исследования динамических систем других типов. Изложение ведется по нарастающей, все вычисления доведены до конструктивных формул и находят свое продолжение в специальных кодах, написанных средствами систем REDUCE и MAPLE V, обеспечивающих возможность проведения необходимых громоздких математических выкладок с необходимой степенью достоверности. Все формулы и соотношения, имеющие общий характер, включаются в соответствующие базы данных и знаний [126, 128, 129, 133, 135, 136, 144, 147, 158]. Символьный характер на всех уровнях (от абстрактных некоммутирующих переменных до функциональных соотношений) позволяет быстро "перенастраивать" элементы баз данных (более точно баз знаний) для включения их в процесс моделирования конкретных динамических систем (можно сравнить с идеологией объектно-ориентированного программирования).

Третья глава посвящена вопросам, связанным с проблемами оптимизации (в широком смысле) систем управления пучками частиц. В основу описанного подхода положены с одной стороны методы нелинейного программирования, а с другой стороны — теоретико - групповой подход (для синтеза систем управления с заданными характеристиками). При этом реализация методов оптимизации основана на изложенном во второй главе матричном формализме алгебраического аппарата Ли. Данный подход позволяет на более ранних этапах моделирования по сравнению с обычными подходами, основанными на численных алгоритмах, осуществлять процесс синтеза систем с заданными характеристиками (смотри, например, [29]). Действительно, символьное представление информации и использование теоретико-группового подхода позволяет осуществлять процесс поиска системы еще на этапе взаимодействия математической и аппроксимирующей моделей без использования программ для численных расчетов, входящих в компьютерную модель. Описанный в третьей главе метод последовательной интервальной идентификации является естественным распространением идеологии иерархичности процесса моделирования на процесс поиска оптимальных решений. Здесь под идентификацией понимается широкий класс задач определения параметров системы, определяющих ее функционирование (в том числе и оптимальное). Практически можно говорить об идеологии последовательной интервальной оптимизации. Введение термина "интервальная" для физических задач имеет глубокий смысл. Действительно, вся информация об управляющих полях или параметрах носит интервальный характер (проблема допусков). Поэтому именно интервальный характер процесса оптимизации наиболее полно соответствует рассматриваемой в работе предметной области. Построение задач оптимального управления в функциональных пространствах [14] позволяет формулировать теоремы о существовании оптимальных решений и сходимости оптимизирующих последовательностей для таких объектов как пучки траекторий. Весь материал данной главы является новым как по его содержанию, так по включению его в процесс моделирования, описанный выше.

В четвертой главе рассмотрены некоторые вопросы, связанные с вопросами компьютерной реализации соответствующих алгоритмов как в символьной, так и в численной модах. В §4.1 описана идеология интеллектуализации процесса моделирования, которая основана на предложенных в предыдущих параграфах математических методах. Показана их адекватность тем требованиям, которые предъявляются к интеллектуальным системам. В частности, применение компьютерной алгебры с одной стороны и матричного формализма с другой позволяют строить основную составную часть любой экспертной системы — базу (баз) знаний, а также формировать вычислительные модули, обеспечивающие проведение вычислительного эксперимента [131-133, 136]. Подключение альтернативных методов [131] наряду с матричным формализмом в его численно-символьной реализации позволяет проводить вычислительный эксперимент более эффективно и гибко, обеспечивая одновременно возможность тестирования численных расчетов с помощью аппробированных математических методов (там, где это возможно). Показано, как привлечение современных средств программирования (в том числе визуализация процесса написания кодов с помощью систем типа DELPHI) на основе идеологии объектно-ориентированного программирования реализует процесс моделирования, который описан в предыдущих главах. Достаточно подробно описаны примеры возможных классов (в терминологии объектно-ориентированного программирования) для задач моделирования систем управления пучками частиц. Указаны также те возможности в численной и символьной реализации необходимых вычислений, которые естественным образом вытекают из применяемого аппарата матричного формализма для преобразований Ли.

Наконец в пятой главе приведены примеры решения практических задач физики пучков с привлечением всех средств и методов, описанных в предыдущих главах. Решенные задачи охватывают достаточно большой спектр задач, связанных с транспортировкой и формированием пучков заряженных частиц. Все вычисления доведены "до числа" с помощью написанных кодов (на FORTRAN'e, PASCAL'e и С++). Результаты нашли практическое применение в реальных установках. Их корректность и достаточность проверена сравнением с экспериментальными данными ( этап интерпретации и проверки на адекватность). При этом кроме тестирующего и демонстрационного значения все результаты пятой главы являют новыми и с точки зрения полученных физических результатов, которые используются в существующих или будут использованы в проектируемых установках в рамках различного рода физических проектах. Подробное изложение идеологии моделирования в параграфах пятой главы вызвано прежде всего необходимостью демонстрации применимости как математического аппарата, так и идеологии динамического программирования с привлечением методов и средств компьютерной алгебры. При этом изложение построено таким образом, что общие концепции могут быть использованы также и при исследовании других конкретных задач физики пучков.

Кроме пяти глав и списка литературы в диссертацию входят приложения к некоторым параграфам, собранные в конце. Часть информации, собранной в этих приложениях (к первым двум главам), хорошо известна из теории алгебр Ли и их представлений. Однако, с целью использования этих результатов в основном тексте эти результаты несколько переформулированы и приспособлены для реализации в рамках предлагаемого подхода к моделированию систем управления пучками частиц. В частности, при доказательстве некоторых известных утверждений использовались некоторые модификации, введенные автором. Кроме того, в приложениях приведены и результаты автора, однако из-за их громоздкости не включенные в основной текст. И наконец, в приложении к главе 5 приведены краткие описания процедур решения конкретных задач, которые позволяют проследить все те методы и подходы, которые предлагает автор в диссертации. Приведены также некоторые результаты в виде таблиц и графиков, иллюстрирующих проведенное моделирование и оптимизацию. Все результаты являются новыми на время их опубликования и демонстрируют большую эффективность развиваемых методов по сравнению с существующими (если таковые есть). Для некоторых задач ( например для моделирования системы вывода - §5.3) только методы автора позволили решить задачи (в рамках компьютерного моделирования), сформулированные в этом параграфе.

Написанные автором лично или при его участии программы обладают большей общностью с точки зрения их дополняемости и расширяемости по сравнению с существующими программами для моделирования систем управления пучками частиц. Естественно, что они решают те классы задач, которые ставились перед ними, и не предназначены для решения громадного множества частных задач физики пучков (именно это обстоятельство и привело к созданию сотен программ для их решения). Однако, реализация программ на основе решений, полученных с помощью компьютерной алгебры в рамках матричного формализма, позволяет создавать интеллектуальные системы моделирования (смотри, в частности, главу 4) — прототипы экспертных систем.

Список литературы составлялся таким образом, чтобы в максимальной степени отразить все рассматриваемые вопросы. В него не включено достаточно большое число работ, использованных автором в процессе работы над темой диссертации, чтобы не загромождать список ссылок. Оставленные в нем работы в достаточной мере отражают существующее состояние дел в описанной предметной области.

-id

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации изложены основные положения математического и компьютерного моделирования, а также оптимизации систем управления пучками частиц. В работе предлагается единый с методологической точки зрения математический аппарат, обеспечивающий единообразное описание как объекта управления - пучка частиц, так и субъекта управления - управляющего объекта - системы управления пучками частиц - системы транспортировки и формирования пучка частиц как во внешних (управляющих), так и собственных электромагнитных полях. С этой целью в работе предлагается матричный формализм алгебраических методов Ли, который по мнению автора полностью удовлетворяет требованиям, которые естественным образом возникают в процессе моделирования систем формирования и транспортировки пучков.

Изложение результатов строилось в соответствии с принципами моделирования, изложенными как во введении, так и в четвертой главе (более подробно). Первая глава посвящена формализации задачи динамики пучков частиц частиц во внешних управляющих полях и собственных полях. Введение данной главы в основной текст вызвана прежде всего необходимостью унифицировать достаточно разнородные знания для использования этой информации в дальнейшем при решении задач моделирования и оптимизации систем управления пучками частиц. Основным результатом данной главы является упомянутая унификация, позволившая впервые поставить проблему автоматизации процесса формализации исходной физической задачи. Актуальность такой процедуры несомненна, так как громадный объем существующего знания, его разнообразия (прежде всего е математической точки зрения) не дает возможности осуществить передачу компьютеру операций, связанных с постановкой задачи, ее качественным и количественным исследованием. Содержание второй главы является основным теоретическим достижением автора. На основе алгебраических методов Ли, достаточно хорошо известных в теории динамических систем, развит аппарат матричного формализма для этого подхода. В отличие от существующих существующих подходов рассмотрено применение предлагаемого формализма для достаточно широкого класса задач теории динамических систем. Все результаты, полученные в рамках матричного формализма являются новыми. Все вычислительные процедуры являются конструктивными и выполняются средствами операций над матричными и векторными объектами. Это обстоятельство позволяет на основе результатов формализации физической (аппроксимирующей) модели, проводимой в рамках подхода, описанного в §1.1, расширить область применения средств и кодов компьютерной алгебры с этапа формализации на этап решения задач. Методы, широко используемые в современной физике пучков, прежде всего основаны на стационарных гамильтоновых уравнениях движения. При этом все практические реализации носят в своем большинстве численный характер, что резко снижает область применения уже полученных результатов для других задач. Символьное исследование обладает существенно большей общностью и позволяет накапливать информацию по мере продвижения исследований. Более того, символьный характер описания динамической системы дает возможность проводить качественное исследование на более ранних этапах моделирования. В третьей главе рассмотрены вопросы, связанные с проблемой оптимизации систем управления пучками частиц. При этом изложение результатов основано на следующем представлении системы управления: каждая составная часть процесса оптимизации (объект управления, субъект управления, физические критерии качества) может рассматриваться в процессе исследования и "наладки" независимо, однако критерии оптимальности взаимосвязаны. В частности, критерии допустимости множества параметров управления (ограничения на функциональные параметры объекта управления) могут быть вычислены (смотри §§3.1,3.2) на основе физических критериев качества, которые чаще всего формулируются в терминах субъекта управления (пучка частиц). Такое разделение приводит также к необходимости построения методов оптимизации, обеспечивающих работу как с объектом, так и с субъектом управления. Таким образом, в диссертации под оптимизацией системы управления понимается идеология оптимизации физических критериев качества прежде всего независимо от того, какими методами решение находится. Более того, сами методы оптимизации являются объектами (смотри главу 4) компьютерной модели и могут встраиваться в процесс моделирования по мере необходимости для решения той или иной подзадачи. В четвертой главе описаны этапы и средства реализации основной идеологии моделирования, которая предлагается в данной работе - идеологии (парадигмы) динамического моделирования при работе на компьютере, или по современной терминологии так называемого компьютинга. Указываются тс особенности и выигрышные моменты, которые определяются использованием в качестве базисного математического инструментария матричного формализма для алгебраических методов Ли. Подробное изложение идеологии объектно-ориентированного проектирования, а также составных частей любой экспертной системы (смотри §4.1, §4.2) вызвано необходимостью демонстрации путей решения задач компьютинга в современных условиях при решении сложных (прежде всего с вычислительной точки зрения) задач. §4.3 посвящен демонстрации некоторых особенностей и преимуществ использования как матричной алгебры, так и символьных преобразований для исследования динамических систем. Заключительный параграф целиком посвящен концептуальным во= просам проведения вычислительного эксперимента, базирующегося на изложенных в предыдущих параграфах идеях и методах. Пятая глава целиком посвящена описанию проведенных автором вычислительных экспериментов при решении ряда практических задач физики пучков. Выбор задач и характер их исследования, приведенный в соответствующих параграфах определяется с одной стороны важностью такого рода задач для физики пучков, а с другой стороны, теми практическими задачами, которые решались автором самостоятельно или с соавторами в процессе работы над проектами. Часть результатов нашла свое применение либо при совершенствовании установок, либо при конструировании новых. Часть работ проводилась в рамках научно-технических и хозяйственных договоров, осуществляемых между НИИ вычислительной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета научно-исследовательскими институтами России и стран СНГ. Многие из задач, описанные в главе 5, носят исследовательский характер и достоверность полученных результатов следует из сравнения результатов, полученных автором и опубликованных в существующей литературе результатов. Сравнение возможностей и эффективности предлагаемых методов и подходов описаны в предыдущих главах в соответствующих параграфах. l~l

1. Аграчев A.A., Гамкрелидзе Р.В. Экспоненциальное представление потоков и хронологическое исчисление, Мат.сборник, 107, ЛА4(12), 1978, сс.467-532.

2. Амирханов И.В., Василев В.К., Жидков Е.П. Исследование решений нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами вблизи резонансной области, ОИЯИ, 11-9922, Дубна, 1976.

3. Амирханов И.В., Жидков Е.П., Жидкова И.Е. Усредненные уравнения бета-тронных колебаний в окрестности резонансов в циклических ускорителях, Мат. моделирование, 2, вып.2, 1990, сс.43-54.

4. Андрианов С.Н. Исследование аберраций в системах управления пучками частиц, Тезисы докладов семинара по методам расчета электронно-оптических систем. 15-17 ноября Ташкент. 1988, Ташкент, Фан, 1988, с.79.

5. Андрианов С.Н. Каноническое интегрирование гамилътоновых систем и компьютерная алгебра, Тезисы докладов Всесоюзной конф. "Аналитические преобразования на ЭВМ и автоматизация научных исследовательских работ", Вильнюс, 1990, с.44.

6. Андрианов С.Н. Компенсация нелинейных эффектов в корпускулярно-опти-ческих системах, Вопросы Атомной Науки и Техники, сер.ТФЭ, вып.1/7, Харьков, 1981, С.11.

7. Андрианов С.Н. Компьютерная алгебра и численное моделирование, Труды I Респ. конф.Латв.ССР "Численные методы моделирование технологических процессов", Рига 24-26 ноября, 1989, Рига, Латв. гос. унив. 1989, сс.10-11.

8. Андрианов С.Н. Математическое моделирование динамики фазовых множеств, Abstracts of Fourth. Conference on Differential Equations and Applications, Rousse, Bulgaria. 1989. p.14.

9. Андрианов С.Н. Метод погружения в пространство фазовых моментов, Сб. "Управление в динамических системах", вып.2, Л.: ЛГУ. 1981. ВИНИТИ, 18.06.81, N 2916-816, сс.98-103.

10. Андрианов С.Н. Методы компьютерной алгебры в интегрировании гамилътоновых систем, Тезисы научно-техн. конференции "Проблемы управления и навигации авиационно-космических систем", Киев, 23-24 мая 1991, с.15.

11. Андрианов С.Н. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. I.Плотность распределения, уравнения движения, Депонир. от 26.02.90, N 1087-В90, 37с.

12. Андрианов С.Н. Моделирование многооборотного движения частиц в ускорителях, Abstracts I of 7th Czechoslovak Conference on Differential Equations and Their Applications, 21-25 August 1989, Praga, Czechoslovakia, Praga, 1989, c.4.1KJ

13. Андрианов С.H. Об одном методе решения нелинейных уравнений для огибающих пучка заряженных частиц, Вопросы механики и процессов управления. Анализ и синтез систем управления. Вып.10. Л., ЛГУ, 1986, сс.3-7.

14. Андрианов С.Н. Об оптимальном управлении пучками заряженных частиц, Сб. "Управление в динамических системах", вып.2, Л.: ЛГУ. 1981. ВИНИТИ, 18.06.81, N 2916-816, сс.3-12.

15. Андрианов С.Н. Определение допусков на параметры корпускулярно-опти-ческих систем, Вопросы механики и процессов управления, вып. 11, Теория систем управления, Л.: ЛГУ, 1985, сс.

16. Андрианов С.Н. Построение оператора эволюции фазового множества, Тезисы Y Республиканской конференции математиков Белорусии. Часть 2. Гродно. 1980. с.6.

17. Андрианов С.Н. Преобразования Ли и управляемые динамические системы, Abstracts of Fourth Conference on Differential Equations and Applications, Rousse, Bulgaria, 13-19 August, 1989, Bulgaria, 1989, p.13.

18. Андрианов С.Н. Применение метода погружения в пространство фазовых моментов в задачах оптимального управления пучками частиц, Тезисы II Всесоюзной конференции "Методы и средства измерения параметров магнитного поля". Л., 1980. сс.115 116.

19. Андрианов С.Н. Применение а -млтрицы для решения задач транспортировки пучков заряженных частиц, Межвузовский сб.: Математическая теория технологическими объектами. Л.: ЛГУ, 1982, сс.114-122.

20. Андрианов С.Н. Теоретико-групповое и алгебраическое моделирование систем управления пучками частиц, Вопросы механики и процессов управления. Вып. 15, Теория систем управления, СПб.: СПбГУ, 1992, сс.7-13.i i

21. Андрианов С.Н.,Варенцов В.Л.,Матышев А.А.,Ящук В.В. Исследование и расчет магнито-резонансной установки с газодинамическим источником для пучков диполъных частиф препринт ЛИЯФ N 686, август 1981, Л., 23 с.

22. Андрианов С.Н., Войтенко С.С., Матвеева E.H. Об одном методе уточнения параметров динамических систем, Межвуз.сб-к научных трудов, Саранск, Изд. Мордовского ун., 1993, сс.71-78.

23. Андрианов С.Н.Дымников А.Д.,Осетинский Г.М. Влияние объемного заряда при различных эмиттансах параксиального пучка на размеры кроссовера в протонном квадрупольном микрозонде. Сообщения ОИЯИ. 9-85-848, Дубна, 1985, 12с.

24. Андрианов С.Н.,Дымников А.Д.,Осетинский Г.М. Система формирования протонных пучков микронных размеров, ОИЯИ, Р-9-12873, 1979, 15с.

25. Андрианов С.Н.,Дымников А.Д.,Осетинский Г.М. Система формирования протонных пучков микронных размеров, ПТЭ, 1, 1982, сс.39-42.

26. Андрианов С.Н.,Дымников А.Д.,Осетинский Г.М. Коррекция геометрических аберраций в протонном микрозонде из квадрупольных линз, ОИЯИ, Дубна, Б—1-9-84-209, 8 с.

27. Андрианов С.Н., Захаров В.В. Математическое моделирование резонансного вывода. I. Постановка задачи и аналитическое рассмотрение, ВИНИТИ N 7956-В87, 11.11.87, 40 с.

28. Андрианов С-Н., Захаров В.В. Математическое моделирование резонансного вывода. II. Численное моделирование. Влияние паразитных наводок, ВИНИТИ N 1145-В89, 21.02.89, 18 с.

29. Андрианов С.Н., Захаров В.В. Математическое моделирование резонансного вывода. III. Компенсация паразитных наводок, ВИНИТИ N 6598-В-89, 12.10.89, 13 с.

30. Андрианов С.Н., Юдин И.П. Ядерный микрозонд с задаными характеристиками, Труды XIII Совещания по ускорителям заряженных частиц, Дубна 13-15 октября 1992, часть 2, 1993, сс.305-309.

31. Арнольд В.И. Математические основы классической механики, М.: Наука. 1989.

32. Артемьев С.С., Якунин М.А., Михайличенко И.Г., Шкурко И.О. Динамика и управление, РАН СО ВЦ, Новосибирск, 1995.ey i <-»

33. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения, М.: Мир. тт. 1-2. 1980.

34. Бейкер П. Аппроксимация Наде , М.: Мир. 1990.

35. Беллман Р. Введение в т,еорию матриц, М.: Наука. 1976.

36. Бердников Ф.С. Алгоритмы решения задач транспортировки заряженных частиц с помощью функций распределения, Научное приборостроение. Формирование пучков заряженных частиц, JL: Наука. 1990. сс.37-43.

37. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М., Наука, 1974 503 с.

38. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей, М.: Наука. 1973, 416 с.

39. Борецкий И.Ф., Павлов В.Г. О некоторых свойствах динамических систем, связанных с их симметрией, Кибернетика и вычислительная техника, вып. 47, 1980, сс.25-34.

40. Боуэн Р. Методы символической динамики, М., Мир, 1979.

41. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, М., Мир, 1988.

42. Буч Г. Объектно-ориентированное проектирование. С примерами применения, М., Мир, 1975, 519 с.

43. Василишин Б.В., Иссинский И.Б., Кулакова Е.М. Медленный вывод пучка из синхрофазотрона ОИЯИ (расчет системы), ОИЯИ, Р9-6972, Дубна, 1973.

44. Василишин Б.В., Иссинский И.Б., Михайлов В.А. Аналитический расчет и оценка параметров системы медленного вывода пучка из синхрофазотрона ОИЯИ, ОИЯИ, Р9-6973, Дубна, 1973.

45. Василишин Б.В., Кулакова Е.М., Михайлов В.А. Программа интегрирования траекторий заряженных частиц в магнитном поле синхрофазотрона ОИЯИ с учетом его рассеянных полей, ОИЯИ, 9-7670, Дубна, 1974, 17с.

46. Васильев H.H., Еднерал В.Ф. Компьютерная алгебра в физических и математических приложениях, Программирование J\f1, 1994, сс.70-82.

47. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп, М., Наука, 1991, .

48. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения. Справочное пособие, Киев. Наукова Думка. 1986.

49. Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез, Сб. под ред. Дж.Киллина. М.: Мир. 1980, 479 с.

50. Вычислительные методы в физике плазмы, Под. ред. Олдера Б., Фернбаха С., Ротенберга M. М.: Мир. 1974, 335 с.

51. Вячеславов В.В. Метод канонического интегрирования любого порядка, Препринт 89-35, ИЯФ СО АН СССР, Новосибирск, 1989.

52. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М., Наука, 1967, 575 с.

53. Гладкие динамические системы, обзор Д.В.Аносов, И.У.Бронштейн, С.Ч.Аран-сон, В.З.Гринес, ИТОГИ НАУКИ и ТЕХНИКИ, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, том 1, Москва, ВИНИТИ, 1995, сс.151-242.

54. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, М., Мир, 1973, 188 с.

55. Голдстейн Г. Классическая механика, М., Наука, 1975, 415 с.

56. Девидсон Р. Теория заряженной плазмы, М., Мир, 1978, 215 с.

57. Девит Б.С. Динамическая теория групп и полей, М., Наука, 1987, 287 с.

58. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики, М., Физ-матгиз, 1963, 659 с.

59. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем, М., Наука, 1979, 319 с.

60. Джекобсон Н. Алгебры JIu, М., Мир, 1964.

61. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. О новых классах стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка с однородной плотностью, ЖВММФ, 29, 1989, сс.1245-1250.

62. Дымников А.Д. Матричные и рекурсивные методы в теории управления движением заряженных частиц, ОИЯИ, Б1-10427, Дубна, 1977, 191 с.

63. Дынкин Е.Б. О представлении ряда log(eœey) для некоммутирующих х, у через коммутаторы, Мат.сб. 25, 1949, сс.155-162.

64. Елкин В.И. Геометрические методы в теории управления, М., Наука, 1997.

65. Есин С.К., Фещенко A.B. Измеритель трехмерной функции распределения плотности частиц пучка линейного ускорителя ионов, XIY Совещание по ускорителям заряженных частиц, 25-27 октября, 1994, Протвино, сборник докладов, том 2, Протвино, 1994, сс. 17-20.

66. Жидков Е.П., Акишин П.Г., Амирханов И.В., Жидкова И.Е. Некоторые вопросы моделирования ускорителей, Математическое моделирование, 6, N 6, сс.32-46.

67. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний, М., Наука, 1988, 112.

68. Зайцев В.Ф. О дискретно-групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 299, N 3, 1988, с.542-545.

69. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Методы и алгоритмы, Препринт N 84, ЛИИАН, JI., 1988, 66 с.

70. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем, Современные проблемы физики, М., Наука, 1984, 271 с.

71. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса, М., Наука, 1984, 368 с.

72. Зубов В.И. Колебания и волны, JL, ЛГУ, 1989, 416 с.

73. Зубов В.И. Уравнение трансформации энергии , Доклады АН, 1989, 309, (N 1, сс.28-30.

74. Зубов В.И. Синтез многопрограммных устойчивых управлений. Доклады академии наук, 1991, 318, N 2, сс.689-692.

75. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике, М., Наука. 1983, 280 с.

76. Капчинский И.М.Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях, М., Атомиздат, 1966, 310 с.

77. Карасев М.В., Мосолова М.В. Бесконечные произведения и Т-произведения экспонент, ТМФ, 28, Я 2, 1976, сс.189-200.

78. Карташев В.П., Котов В.И. Методы формирования пучков частии, на ускорителях высоких энергий, М., Энергоатомиздат, 1989.

79. Константинов Г.Н. Нормирование воздействий на динамические системы, Иркутск, Изд.Иркутского ун., 1983, 188 с.

80. Кириллов A.A. Элементы теории представлений, М., Наука, 1972, 336 с.

81. Коновалов H.A., Крюков В.А., Михайлов С.Н. Погребцов И.М. FORTRAN PVM- язык для разработки мобильных параллельных программ, Программирование Я 1, 1995, сс. 26-36.

82. Коробейников В.П. Принцип математического моделирования, Владивосток, 1996.и

83. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности, М., Наука, 1977, 392 с.

84. Куренной С.С. Взаимодействие пучка с вакуумной камерой ускорителя. Методы вычисления импенданса связи, ЭЧАЯ 24, вып.З, 1993, сс.878-927.

85. Ландау Л.Д. Теория поля, М., Наука, 1967, 460 с.

86. Легёнький В.И. Приложение групп Ли к решению задач управления летательными аппаратами, Современный групповой анализ, М., МФТИ, 1993, с.69-74.

87. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений, М., Мир, 1974, 371 с.

88. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика, М., Мир, 1984, 528 с.

89. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц, М., Мир, 1980.

90. Мешков И.Н. Транспортировка пучков заряженных частиц, Новосибирск, Наука СО, 1991, 221 с.

91. Митропольский Ю.М., Лопатин А.К. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики, Киев, Наукова Думка, 1988, 272 с.

92. Мун Ф. Хаотические колебания, М., Мир, 1990, 311 с.

93. Муратов Р.З. Потенциалы эллипсоида, М., Атомиздат, 1976, .

94. Немтинов В.Б. Структурная теория оптико и лазерно-электронных систем. Часть I. Модельное представление системы, Вестник МГТУ, Сер. Приборостроение JV1, 1993, сс.58-73.

95. Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд. ЛГУ. 1990. 272 с.

96. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математические модели системы формирования электронных и ионных пучков. СПб., Изд. СПбГУ, 1997, 320 с.

97. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 399 с.

98. Олвер П. Приложения теории групп к дифффрспециальным уравнениям, М., Мир, 1989, 637 с.

99. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V, М., Наука, 1982, 447 с.

100. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ, М., Наука, 1967, 664 с.

101. Рюэль Д. Статистическая физика. Строгие результаты, М., Мир, 1971, 367 с.

102. Савелов A.A. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение, М., Физматгиз, 1960, .

103. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент,, Вестн. АН СССР, N 5, 1979, сс.38-49.

104. Самарский A.A., Попов Ю.П. Вычислительный эксперимент в физике, Сб.: Наука и человечество, М., Знание, 1975, 280 с.

105. Силадьи М. Электронная и ионная оптика, М., Мир, 1990, 639 с.

106. Страуструп Б. Язык программирования С, М., Радио и связь, 1991.

107. Тарантин Н.И. Магнитные статические анализаторы заряженных частиц. Поля и линейная оптика, М., Энергоатомиздат, 1980.

108. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения, М., МГУ, 1988, 413 с.

109. Хапаев A.M., Володин Б.А. О моделировании динамики зарядов в системе типа вигглера с ведущим магнитным полем, Матем. моделирование^, N 7, 1994, сс.103-115.

110. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, М., Мир, 1964, 533 с.

111. Хеннекен П.А. Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения, М., Наука, 1974, 472 с.

112. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование, М., Мир, 1975, 375 с.

113. Шварц A.C. Математические основы квантовой теории поля, М., Атомиз-дат, 1975, 368 с.

114. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, М., Наука, 1969.

115. Экспертные системы для персональных компьютеров. Методы, средства, реализация, Минск, Вышейшая школа, 1990, 239 с.

116. Advanced Beam Dynamics Workshop on Effects of Errors in Accelerators, their Diagnosis and Corrections, Corpus Christy, TX,1991, ed. Chao A., AIP Conf. Proc., 255, Particles and Fields Series, 48, NY, 1992.

117. Anderson O.A. Interval Dynamics and Emittance Growth in Space-ChargeDominated Beams// Particle Accelerators, 21, N 3-4, 1987, 133-156.

118. Andrianov S.N. Algebraic Approach for Particle Beam Evolution Simulation and Optimization, Abstrs. of the Forth Europian Particle Conference EPAC'94, July 1-3, 1994, London, p. .

119. Andrianov S.N. Algebraic Approach to Pertubation Theory and Computer Algebra, Abstrs.of the Int.Workshop New Comp. Technology in Control Systems, July 11-15 1994, Pereslavl-Zalesky, Russia, 1994, pp.10-12.

120. Andrianov S.N. A Matrix Representation of the Lie Transformation, Proc. of the Int. Congress on Computer Systems and Applied Mathematics, CSAM'93, St.Petersburg, July 19-23, 1993, St.Petersburg, 1994, p.14.

121. Andrianov S.N. A Module Technique for Expert Systems for Beam Line Design , Abstr. of Third Int. Workshop Beam Dynamics & Optimization BDO'96, St.Petersburg (Russia), July 1-5 1996, St.Petersburg, SPSU, 1996, p.9.

122. Andrianov S.N. Analytical Simulation of Space Charge in Ion-Optical Systems, Proc. of First Int. Workshop Beam Dynamics & Optimization BDO'94, St.Petersburg (Russia), July 4-8 1994, St.Petersburg, SPSU, 1995, pp.19-29.

123. Andrianov S.N., Dvoeglazov A.I. A Solving Module for Hamiltonian Dynamical Systems, Abstr. of Third Int. Workshop Beam Dynamics & Optimization BDO'96, St.Petersburg (Russia), July 1 5 1996, St.Petersburg, SPSU, 1996, pp.9.

124. Andrianov S.N., Dvoeglazov A.I. A Solving Module for Hamiltonian Dynamical Systems, Proc. of Third Int. Workshop Beam Dynamics & Optimization BDO'96, St.Petersburg (Russia), July 1-5 1996, St.Petersburg, SPbSU, 1997, pp.45-51.

125. Andrianov S.N., Dvoeglazov A.I. A Solving Module of an Expert Systems for Nonlinear Beam Dynamics, The 1997 Particle Accelerator Conference, 12-16 May 1997, Vancouver, BC, Canada, Bulletin of the American Physical Society, 42, N3, p. 1266, 1997.

126. Andrianov S.N., Dvoeglazov A.I. A Solving Module of an Expert Systems for Nonlinear Beam Dynamics, Proceedings of the 1997 Particle Accelerator Conference — PAC'97, 12-16 May 1997, Vancouver, BC, Canada, pp.2419 2421.

127. Andrianov S.N., Dvoeglazov A.I. Beam-Lines Design Codes: Dynamical Modeling Approach, Proc. of the Sixth European Particle Accelerator Conference — EPAC'98, Stocholm, 22-26 June 1998, Institute of Physics Publishing, Bristol, UK, pp.1150-1152.

128. Andrianov S.N. Component Object Modeling for Beam Physics Problems, Abstrs. of the 18th Particle Accelerator Conference — PAC'99, March 29-April 2, 1999, NY (USA), p.167.

129. Andrianov S.N. Computer Algebra and Object-Oriented Programming, Absrts. of the Int. Conf. on Interval and Computer-Algebra Methods in Science and Engineering

130. TERVAL'94, March 7-10, 1994, St.Petersburg, Russia, pp.41-42.

131. Andrianov S.N. Computer Algebra Application for Dynamical Systems Modeling, Abstrs. of the Intern. Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, April 20-24, 1998, St.Petersburg, Russia, St.Petersburg, pp. 40-42.

132. Andrianov S.N., Edamenko N.S., Ovsyannikov D.A. Computer Modeling of a High Solid Angle Mass-Spectrometer, Proc. of the Fourth Int. Workshop Beam Dynamics & Optimization — BDO'97, 13-17 October 1997, Dubna, Russia, 1997, p.2.

133. Andrianov S.N. Computer Modelling of Microprobe Systems, Book of Abstrs.: The European Conference on Accelerators in Applied Reseach and Technology — ECAART5, August 26-30, 1997, Eindhoven, The Netherlands, p. 158.

134. Andrianov S.N. Construction of a Approximate Symmetries and Invariants for Dynamical Systems, Proc. of the Second Int.Workshop Beam Dynamics & Optimization

135. BDO'95, July 4-8, 1995, St.Petersburg, Russia, St.Petersburg, 1996, pp. 16-24.

136. Andrianov S.N. Dynamic Modeling in Beam Dynamics, Proc. of the Second Int.Workshop Beam Dynamics & Optimization — BDO'95, July 4-8, 1995, St.Petersburg, Russia, St.Petersburg, 1996, pp.25-32.

137. Andrianov S.N. Dynamic Modeling Paradigm and Computer Algebra, Abstr. of the Int.Conf. on Computational Modeling and Computing in Physics, Dubna, Russia, 16-21 Sept., 1996, Dubna, 1996, p.27.

138. Andrianov S.N. Dynamic Modeling Paradigm and Computer Algebra, in: Proceedings of the 9th International Conference "Computational Modelling and Computing in Physics", September 16-21, 1996, D5, 11 97-112, pp.60-65, Dubna, 1997.

139. Andrianov S.N., Halo Formation and Control Abstrs. of the 18th Particle Accelerator Conference — PAC'99, March 29-April 2, 1999, NY (USA), p.108.

140. Andrianov S.N., High-Order Optics with Space Charge: Analytical Approach, Proc. of the Sixth European Particle Accelerator Conference — EPAC'98, Stocholm, 2226 June 1998, Institute of Physics Publishing, Bristol, UK, pp.1091-1093.

141. Andrianov S.N.Intelligente Modeling for Dynamical Systems, Abstrs. of the Int. Workshop "Tools for Mathematical Modelling", Dec. 3-6, 1997, St.Petersburg, SPbSTU, St.Petersburg, 1997, pp.7-8.

142. Andrianov S.N. Mathematical Modelling of Particle Beam Control Systems, Abstracts of Int. Summer School on Math. Mod. and Comp. Sci., Albena, Bulgaria, 1990, pp. 186-188.

143. Andrianov S.N. Matrix Formalism for Dynamical Systems as a Base of Dynamical Modeling, Abstrs. of the Seventh SIAM Conf. on Parallel Processing for Sci. Computing, 15-17 February, 1995, San Francisco, pp.43.

144. Andrianov S.N. Lie Algebraic Methods and Computer Algebra for the Solving of Ordinary Differential Equations, Proc.of 5-th Conf. on Numerical Methods, Miscolc, Hungary, 1990, pp.3-4.

145. Andrianov S.N. Nonlinear Dynamics of Particle Beams with Space Charge, Abstr. of the Int.Conf. on Computational Modeling and Computing in Physics, Dubna, Russia, 16-21 Sept., 1996, Dubna, 1996, p.26.

146. Andrianov S.N. Nonlinear Dynamics of Particle Beams with Space Charge , Proc. of the 9th Intern. Conf. "Computational Modelling and Computing in Physics", September 16-21, 1996, Dubna, D5,11-97 112, Dubna, 1997, pp.55-60.

147. Andrianov S.N. Numerical-Analytical Calculations of Symplectic Maps for Particles inside Accelerators, Proc. of IYInt. Conf. on Computer Algebra in Physical Research, Dubna, USSR,1990, World Sci., Singapore, 1991, pp.447 450.

148. Andrianov S.N., Vyaznikova A.G. Numerical-Symbolic Approach for Chaotic Behaviour of Charged Particle Beam, Abstrs. of the Second Int. Workshop "Beam Dynamics & Optimization BDO'95", SPb, 1995, p.14.

149. Andrianov S.N., Edamenko N.S. Some Problems of Halo Formation in Beam Lines, Abstrs. of the Fifth Intern. Workshop "Beam Dynamics & Optimization — BDO'98, June 29 -July 3, 1998, St,Petersburg, Russia, St.Petersburg, 1998, p.12.

150. Andrianov S.N. Some Problems of Nonlinear Aberration Correction, Preprint of the Institute for Theoretical Physics UC, Santa Barbara, California, NSF-ITP-97-015, 1997, lOp.

151. Andrianov S.N. Some Problems of Nonlinear Aberration Correction, Beam Stability and Nonlinear Dynamics, Santa Barbara, California, 1996, ed. Zohreh Parsa, AIP Conference Proceedings, 405, NY, 1997, $p.l03-116.

152. Andrianov S.N., Some Problems of Optimization Procedure for Beam Lines, Proc. of the Sixth European Particle Accelerator Conference EPAC-98, Stocholm, 22-26 June 1998, Institute of Physics Publishing, Bristol, UK, pp.1153-1155.

153. Andrianov S.N. Some Problems of Resonance Beam Extraction, Proc. of First Int. Workshop Beam Dynamics & Optimization BDO'94, St.Petersburg, Russia, July 4-8 1994, St .Petersburg, SPbSU, 1995, pp.31-33.

154. Andrianov S.N. The Explicit Form of Lie Transformations, Abstrs of the Fifth Europian Accelerator Conference — EPAC'96, June 10-14, 1996, Barselona, Spain, 1996, pp.153.

155. Andrianov S.N. The Explicit Form for Lie Transformations, Proc. of the Fifth Eeuropean Particle Accelerator Conference EPAC 96, SITGES (Barcelona), June 10-14, 1996, pp.998-1000.

156. Andrianov S.N., Jashuk V.V., Matyschev A.A.,Ryabov V.L., Varentsov V.L., The Focusing Magnetic Resonance System with a New Type of Supersonic Atomic-Beam Source, Nuclear Instr.fe Meth.,228, N 2-3, 1985, pp.343-348.

157. Antillon A., Hoeneisen B. Emittance of a Nonlinear Machine: the Two-dimensional Problem, Nuclear Instruments & Methods, A305, Af 2, 1992, pp. 239-246.

158. Antillon A., Forest E., Hoeneisen B., Leyvraz F. Transport Matrices for Nonlinear Lattice Functions, Nuclear Instruments &; Methods, A305, Af 2, 1992 pp.247-256.

159. Autin B., Bengtsson J. Application of Symbolic Computation to the Search of Complicated Primitives, the Example of the "Betatron Integrals", Comp. Physics Comm., 48, Af 2, 1988, pp.181-195.

160. Barnet S. Matrix Differential Equations and Kronecker Products, SIAM J.Appl. Math., 24, Af 1, 1973, pp.1-5.

161. Berz M. Analysis auf einer Nichtarchimedischen Erweiterung der Reellen Zahlen, Michigan State University. National Supercondacting Cyclotron Laboratory, MSUCL-753, Dec. 1990, 54 p.

162. Berz M. Automatic Differentiation as Nonarchimedean Analysis, Michigan State University, MSUCL-809, Dec., 1991, 8 p.

163. Berz M. Differential Algebraic Description of Beam Dynamics to Very High Orders, Particle Accelerators, 24, Ail, 1989, pp.109-124.

164. Berz M. Differentional Algebraic Formulation of Normal Form Theory, Michigan State University. National Supercondacting Cyclotron Laboratory. MSUCL-810, Dec., 1991, 14 p.1. J I

165. Berz M. Direct Computation and Correction of Chromaticities and Parameter Tune Shifts, Труды XIII Совещания по ускорителям заряженных частиц, Дубна 13-15 Октября 1992, Дубна 1993, т.2, сс. 34-47.

166. Berz М. High-Order Description of Accelerators using Differential Algebra and First Application to the SSC, Snowmass Summer Meeting, Snowmass, Co, 1988.

167. Berz M. The Method of Power Series Tracking for the Mathematical Description of Beam Dynamics, Nucl.Instrum & Methods, A258, Л/"3, 1987, pp.431-436.

168. Bialynicki-Birula I., Mielnik В., Plebanski J. Explicit Solution of the Continuous Baker-Campbell-Hausdorff Problem and a New Expression for the Phase Operator, Annals of Physics, 51, M 1, 1969, pp.187-200.

169. Blaquire A. Optimization and Controllability in Problems of Relativistic Dynamics and Geometrical Optics, in: Dynamical Systems and Microphysics, Geometry and Mechanics, NY, 1982, pp. 143-203.

170. Boisvert R.F., Howe S.E., Kahaner D.K. GAMS: A Framework for the Management of Scientific Software, ACM Trans, on Math. Software, 11, Я 4, 1985, pp.313-355.

171. Bosi G. First-Order Treatment of Combined Effects of Space-Charge and External Fields on Plane-Symmetric Finite-Emittance Beams of Charged Particles, J. of Appl. Physics, 47, M 12, 1976, pp.5292-5296.

172. Bosi G. Third-Order Treatment of Combined Effects of Space-Charge and External Fields on Cylindrical Ion and Electron Beams, J. of Appl.Physics, 44, Л/"5, 1973, pp.21882192.

173. Brown K.L. First- and Second Order Matrix Theory for the Design of Beam Transport Systems and Charged Particles Spectrometers, Advances in Particles Physics., 1, 1968, pp.71-134.

174. Brown K.L., Belbeoch R., Bounin P. First- and Second Order Magnetic Optics Matrix Equations for the Midplane of Uniform-Field Wedge Magnets, The Review of Sci. Instr., 35, Af4, 1964, pp.481-485.

175. Brunelle P. Beam Dynamics with four Undullators on Super Aco: Experimental and Theoretical Results, Particle Accelerators, 39, Af 2, 1993, pp.89-106.

176. Bourianoff G., Talman R. Accelerator Progress Relies on Computational Simulations, Computers in Physics, 6, Ml, 1992, pp.14-22.

177. Carey D.C. The Effect of Errors in Charged Particle Beams, Proc. of IEEE 1987 Part.Acc.Conf., IEEE Trans, on Nucl.Sci., NS-35, Л/1-3, 1991, pp.1146-1148.

178. Cary J.R. Lie Transforms and their Use in Hamiltonian Pertubation Theory, Preprint LBL 63506 Berkely, 1978.1. O^JO

179. Channel P.J., Scovel J.C. Symplectic Integration for Hamiltonian Systems, Non-linearity, 3, 1990, pp.231-259.

180. Channel P.J., Scovel J.C. Integrators for Lie-Poisson Dynamical Systems, Physica D, 50, 1991, pp.80-88.

181. Cheb-Terrab E.S., de Oliveira H.P. Poincare Sections of Hamiltonian Systems, Computer Physics Communications, 95, M 2-3, 1996, pp. 171-189.

182. Chen Ch., Davidson R.C. Nonlinear Resonances and, Chaotic Behaviour in a Periodically Focused Intense Charged-Particles Beam, Phys. Rev. Lett., 72, M 11, 1994, pp. 2195-2198.

183. Chernin D. Evolution of RMS-Beam Envelopes in Transport Systems with Linear X-Y Coupling, Particle Accelerators, 24, Ml, 1989, pp.29-44.

184. Ceachini R. Symbolic Lie Algebra Manipulations using Common LISP, Сотр. Physics Comm., 52, M 2, 1989, pp.282-289.

185. Clearwater S.H., Lee M.J. Prototype Development of a Beam Line Expert System, Proc. of IEEE 1987 Part.Acc.Conf., IEEE Trans, on Nucl.Sci. NS-35, Ml, 1991, pp.532534.

186. Computer Codes for Particle Accelerator Design and Analysis: A Compendium, Sec. Ed., Los Alamos, LA-UR-90-1766, 1990.

187. Conte M. Analitical Considerations of the Proton Beam Extraction from the Dubna Synchrophasotron by Exciting the Resonance Qr = 2/3, ОИЯИ, E9-4925, Дубна, 1970.

188. Courant E.D., Snyder H.S. Theory of the Alternating-Gradient Synchrotron, Annals of Physics, 3, N 1, 1958, pp.1-48.

189. Cox B.J. Object-Oriented Programming: An Evolutionary Approach, Addition-Wesley. Reading. MA. 1986.

190. Cuena J. Building Expert Systems Based on Simulation Models. An Essay in Methodology, L.Bolc, M.J.Coombs (eds.), Expert Systems Applications, Springer Series: Symbolic Computation Artificial Intelligence. Springer, Berlin, 1988, pp. - .

191. Dattolli G., Torre A. Matrix Representation of the Evolution Operation for the SU(3) Dynamics, Nuovo Chimento, B106, M 11, 1991, pp.1247-1256.

192. Dattolli G., Mari C., Torre A. Remarks on Phase Space Formalism and Beam Transport, Nuovo Chimento, B107, 1996, pp.1127-1134.

193. Deprit A. Canonical Transformations Depending on a Small Parameter, Celest. Mech., 1, M 1, 1969, pp. 12-30.

194. Design and Implementation of Symbolic Computation Systems, Proc. of the Int.Symp.(DISC0'93) Bath, 1992, ed. Fitch J., Lectures Notes in Comp. Sci., 721, Berlin, 1993.

195. Douglas D.R. Tracking Codes in Accelerators: Types and Limitions, Particle Accelerators, 19, N 1-4, 1986, pp.119-123.

196. Dragt A.J. A Lie Algebraic Theory of Geometrical Optics and Optical Aberrations,, J. Opt. Soc. Am., 72, 1982, pp.372-379.

197. Dragt A.J. Lectures on Nonlinear Dynamics and Lie Methods with Applications to Accelerator Physics, Center for Theoretical Physics, Department of Physics, University of Maryland, College Park, Maryland 20742, 1996. pp.1 399.

198. Dragt A.J. Maps Past, Present, and Future, Center for Theoretical Physics, Department of Physics, University of Maryland, College Park, Maryland 20742, 1996. pp.1-26.

199. Dragt A.J. Lectures on Nonlinear Orbit Dynamics, Physics of High Energy Particle Accelerators. Eds. Carrigan, Huson F.R., Month M. AIP Conf. Proc., 87, NY, 1982, pp.147 313.

200. Dragt A.J. Numerical Third-Order Transfer Maps for Solenoid, Nucl.Instr.& Meth., A298, AAl-3, 1990, pp.441-459.

201. Dragt A.J., Finn J.M.Lie Series and Invariant Functions for Analitic Symplectic Maps, J. Math. Phys. 17, 1976, pp.2215-2227.

202. Dragt A.J., Finn J.M.Normal Forms for Mirror Hamiltonians, J. Math. Phys. 20, 1979, pp.2649-2660.

203. Dragt A.J., Forest Et. Computation of Nonlinear Behaviour of Hamiltonian Systems using Lie Algebraic Tools, J. of Math. Phys., 24, N 12, 1983, pp.2734-2744.

204. Dragt A.J., Forest Et. Li$ Algebraic Theory of Charge-Particle Optics and Electron Microscopes, Adv.Electr. and Electron. Phys., 67, 1986, pp.65-120.

205. Dragt A.J.,Ryne R.D. Magnetic Optics Calculations for Cylindracally Symmetric Beams with Space Charge, Particle Accelerators 35, Af 1-3, 1993, pp.129-165.

206. Dragt A.J., Release of MARYLIE 3.0 Abstrs. of the 18th Particle Accelerator Conf., NY, March 29-April 2, 1999, p.172.

207. Dubois-Violette M. Theory of Formal Series with Application to Quantum Field Theory, J. of Math. Phys., 11, Af 8, 1970, pp.2539-2544.

208. Dwyer P.S. Some Applications of Matrix Derivatives in Multivariate Analysis, J.of American Statistical Assoc., 62, Af 318, 1967, pp.607-625.

209. Evans W.A. On Some Applications of the Magnus Expansion in Nuclear Magnetic Resonance, Annals of Physics, 48, Af 1, 1968, pp.71-93.

210. Fasso F. Lie Series Methods for Vector Fields and Hamiltonian Pertubation Theory, Z. Angew. Math. Phys.(Swit.), 41, Af6, 1990, pp.843-864.

211. Feng Kang, Qin Meng-Zhao The Symplectic Methods for the Computation of Hamiltonian Equations, Lect. Notes in Mathem. 1297, 1987, pp.1-37.

212. Feng Kang, Wang Dao-Liu Symplectic Difference Schemes for Hamiltonian Systems, J. of Comp. Math., 9, Af 1, 1991, pp.86-96.

213. Ferrers N.M. On the Potentials of Ellipsoids, Ellipsoidal Shells, Elliptic Laminae, and Elliptic Rings of Variable Densities , Quart. J. of Pure and Appl. Math., 14, Af 53, 1877, pp.1-22.

214. Forest Et. Canonical Integration as Tracking Codes ( or How to Integrate Pertubation Theory with Tracking ), Phys. Part. Accel.: Fermilab Summer School, 1987, AIP Conf. Proc. 184, Pt.l, NY, 1989, pp.2-189.

215. Forest Et., Hirata K. A Contemporary Guide to Beam Dynamics, KEK Report92.12, August 1992, A, 29p.

216. Forest Et., Reusch M.F., Bruchwiler D.L., Amirg A. The Correct Local Description for Tracking in Rings, Particle Accelerators, 45, Af 2-3, 1994, pp.65-93.

217. Forest Et., Ruth R.D. Fourth Order Symplectic Integration, Physica D, 43, Af 1, 1990, pp.105-117.

218. Fujimoto M.,Maeda R.,Iwata A.,Kumahiro S.,Tanaka Y. Three Dimensional Analysis of Charged Particles Trajectories by Using Finite Element Method, J. Jpn. Soc. Simul. Technolog. (Japan), 10, Af 2, 1991, pp.151-155.

219. Furukawa K. Object-Oriented Approach in Accelerator Controls, KEK Proc. Af93.16, 1993, pp.247-256.

220. Gabriel R.P., White J.L., Bobrow D.G. CLOS: Integrating Object-Oriented and Functional Programming, Communications of the ACM, 34, Af 9, 1991, pp.28.

221. Geddes K.O. Symbolic Computation of Pade Approximants// ACM Trans, on Mathem. Software, 5, N 2, 1979, pp.218-233.

222. Gerdt V.P., Kostova Z.T., Rostov N.A., Yudin I.P. Algebraic Numeric Calculations of Proton Trajectories in Bending Magnets in Synchrotron Accelerator, JINR, El 1-89-755, Dubna, 1989.

223. Gillespie G.H., Hill B. W., Jameson R. A New Tool for Accelerator System Modelling and Analysis, Proc. of Int. LINAC Conf., Tsukuba, 1994, 1, Tsukuba, 1994, pp.110-112.

224. Gjaja I. Convergence of an Initial Product of Lie Transformations, J. Math. Phys., 35, Af 3, 1994, pp.1361 1371.

225. Gjaja I. Monomial Factorization of Symplectic Maps, Particle Accelerators, 43, Aid, 1994, pp.133-144.

226. Glavish H.F. Magnet Optics for Beam Transport, Nuclear Instr. & Meths., 189, Af 1, 1981, pp.43-53.

227. Gluckstern R.L. Analitical Model for Halo Formation in High Current Ion LINACs, Phys. Rev. Lett., 73, Af 9, 1994, pp.1247-1250.

228. Goldberg A.J., Robson D. Smalltalk 80: The Language and its Implemenation, Addison-Wesley, Reading, MA, 1983.

229. Halstead R. Parallel Computing Using Multilisp, Parallel Computation and Computers for Artificial Intelligence, ed.J.S.Kowalik, 1988.

230. Hawkes P.W. Addition Formulae for the Coefficients of the Asymptotic Aberration Polynomials of Combined and Deflection System, Optik, 87, Af 2, 1991, pp.55-62.

231. Hawkes P.W. Lie Methods in Optics: an Assessment, in: Lie Methods in Optics, Lectures Notes in Physics, 352, Berlin, Springer, 1988, pp. 1-17.

232. Healy L.M., Dragt A.J., Gjaja I.M. Computation of Error Effects in Nonlinear Hamiltonian Systems Using Lie Algebraic Methods, 33, A/"4, 1992, pp. 1948-1963.

233. Healy L.M., Dragt A.J. Concatenation of Lie Algebraic Maps, Lectures Notes in Physics, 252, 1992, pp.67-95.

234. Herrmannsfieldt W.B., Yan Y.T. Computation Applied to Particle Accelerator Simulations, AIP Conf. Proc., 260, Af 1, 1992, pp.142-148.

235. Higo T., Shoall H., Spancer J.E. Some Application of AI to the Problems of Accelerator Physics, Proc. of IEEE 1987 Part.Acc.Conf., IEEE Trans, on Nucl.Sci. NS-35, M 1, 1991, pp.701-703.

236. Hiroshi Nishimura Dynamic Accelerator. Modelling User Objects in Eiffel, Computers in Phys., 6, Af 5, 1992, pp.456-461.

237. Hofmann I. Transport and Focusing of High-Intensity Unneutralized Beams, Applied Charged Particles Optics, part C: Very High-Density Beams, NY, 1983, pp.49140.

238. Holm D.D., Lysenko W.P., Scovel J.C. Moment Invariants for the Vlasov Equation, J. of Math. Physics, 31, Af 7, 1990, pp.1610-1615.

239. Hori G. Theory of General Pertubations with Unspecified Canonical Variables, Astr. J. of Japan, 18, 1966, pp.287.

240. Iosifesen M., Scutarn H. Kronecker Products, Minscule Representations, and Polynomial Identities, J. of Math. Phys., 31, Af 2, 1990, pp.264-277.

241. Irwin J. Construction of High Order Maps for Large Proton Accelerators, SLAC-PUB 5486 (1991).

242. Irwin J. The Application of Lie Algebra Techniques to Beam Transport Design, Nucl. Instr. and Methods, 298, Af 1-3, 1990, pp.460-472.

243. Irwin J., Peggs S. XMAP: a Differential Algebra Tool Generating Accelerator Maps, Proc. of the 1989 IEEE Part. Acc.Conf., Acc. Sci. and Technology, NY, IEEE, 1989, pp.1337-1339.

244. Iselin F.C. Computer Programs for Accelerators, CERN (Sci Rept), jVlO, 1987, pp.181 195.254.

245. Jimenez S. Some Remarks on Conservative and Symplectic Schemes (Particle Accelerators), JIFT Workshop "Nonlinear Dynamics and Accelerator Mechanisms", AIP Conf.Proc. 230, NY, 1991, pp.151-162.

246. Kamel M.S., Ma K.S., Enright W.H. ODEEXPERT: An Expert System to Select Numerical Solvers for Initial Value ODE Systems, ACM Trans, on MAth. Software, 19, Af 1, 1993, pp.44-62.

247. Kamiya Yukihide, Masshiro Katoh, Ichiro Honjo Sextupole Correction for a Ring with Large Chromaticity and the Influence of Magnetic Errors on its Parameters, Proc. of IEEE 1987 Part.Acc.Conf., Trans, on NS, NS-35, Af 2, 1991, pp.1310-1312.

248. Kandybaev N.S., Timofeev A.V., Shishkin S.L., Chervyakov A.B. Analytical Knowledge Representation Models Design for Expert Systems, Abstrs. of the Int. Congress om Computer Systems and Appl. Mathematics-CSAM'93, St .Petersburg, 1994, p.206.

249. Kantor I.L., Trishin I.M. Formulas for Power Functions of Matrices, Linear Algebra and Application, 186, J\f 1, 1993, pp. 1-13.

250. Kaufman A.N. The Lie Transform: A New Approach to Classical Pertubation Theory, AIP Conf.Proc., 46, 1978, pp.268-295.

251. Kaushal R.S., Mishra S.C. Dynamical Algebraic Approach and Invariants for Time-Dependent Hamiltonian Systems in Two Dimensions, J.Math.Phys., 34, N 12, 1993, pp.5843-5850.

252. Keil E. Computer Programs in Accelerator Physics, Phys. Part. Accel. Summer Sch. Stanford and Fermi Accel. Lab., 1984, NY, 1987, 1, pp.83-102.

253. Klarsfeld S., Oteo J. A. The Baker-Campbell-Hausdorff Formula and the Convergence of the Magnus Expantion, J. of Physics A ( Math. Gener.) 22, N 21, 1989, pp.4565-4572.

254. Kleiss R., Schmidt F., Zimmermann F. The Use of Truncated Taylor Maps in Dynamic Aperture Studies, Particle Accelerators, 41, N 2, 1993, pp.117-132.

255. Klink W.H., To-That T. Multiplicity, Invariants and Tensor Product Decompositions of Compact Groups, J. of Math.Physics, 37, M 12, 1996, pp.468-485.

256. Koloduer J. Knowledge Represenation Formalisms and Methods, San Fran., CA, 1993.

257. Krotzsch G., Wolf K.B. Group-Classified Polynomials of Phase Space in HigherOrder Aberration Expansions, Comunicaciones Tecnicas UNAM., Ser.Investigaciones, Af 563, 1990, 22p.

258. Krynkov A.P., Rodionov A.Ya. Program "COLOR" for Computing the Group-Theoretic of Feynman Diagrams in. поп Abelian Gauge Theory, Сотр. Physics Comm. 48, M 2, 1988, pp.327-334.

259. Lager D.L., Brand H.R., Mauer W.J. An Expert System for Tuning Beam Accelerator, Int. J. Pattern Recognit. Artif. Intell. (Singapore), 4, N 3, 1990, pp.357-369.

260. Lapostolle P.M. Density Distribution in Intense Beam, Труды YII Международной конференции по ускорителям заряженных частиц высокой энергии. Ереван, 1968, 1, сс. 205-212.

261. Lewis H.R. Class of Exact Invariants for Classical and Quatum Time-dependent oscillations, J. of Math. Phys., 9, 1968, pp.1976-1986.\J I

262. Lim C.-C., Omohundro S.M., Bilmes J. The Sather Language Compiler/ Debug er Implementation, Technical Report. Int. Comp. Sei. Inst., Berkeley. CA. 1992.

263. Ling K.M. Fifth-Order Aberrations in Magnetic Quadrupole-Octupole Systems, LA-11857-C, 1990, pp.443-517.

264. Magnuss W. On the Exponential Solution of Differential Equations for a Linear Operator, Comm. Pure Appl. Math. 7, Af4, 1954, pp.649-679.

265. Marks N. Synchrotron Radiation Sources, Radiat. Phys. and Chem., 45, Af 3, 1995, pp.315-331.

266. MacKay R.S. Introduction to the Dynamics of Area-Preserving Maps, AIP Conf. Proc. 153, 1987, NY, pp.536-602.

267. Matsuda H., Wollnik H. Third Order Transfer Matrices of the Fringing Field of an Inhomogeneous Magnet, Nuclear Instr. & Meths., 77, Af 2, 1970, pp.283-293.

268. Masuo Suzuki, Takashi Yamauchi Convergence of Unitary and Complex Decompositions of Exponential Operators, J. of Math. Phys., 34, Af 10, 1993, pp.4892-4297.

269. Meyer H.-D. Chaotic Behavior of Classical Hamiltonian Systems, in: Fractals, Quasicrystals, Chaos, Knots and Algebraic Quantum Mechanics, eds. Amann A., Coder-baum L., Gans W., Ser.C: Math, and Phys. Sciences, 235, 1988, pp.143-158.

270. Merminga N. at all Nonlinear Dynamics Experiments in the Tevatron, Proc. of the IEEE 1989 Part.Acc.Conf., 3, 1989, pp.1429-1431.

271. Mestra L.K., Kwan C.M. Instabilities in Beam Control Feedback Loops in Proton Synchrotrons, Particle Accelerators, 42, Af 1, 1993, pp. 1-43.

272. Meyer B. Eiffel: The Language, Prentice Hall, NY, 1992.

273. Mielnik B., Plebanski J. Combinatorial Approach to CBH Exponents, Ann.Inst. Henri Poincare, sect.A, XII, Af 3, 1970, pp.215-254.

274. Moser H.O., Krevet B., Dragt A.J. Nonlinear Beam Optics with Real Field in Compact Storage Rings, Proc. of the 1987 Particle Accelerator Conference, PAC'87, 1, 1991, pp.458-460.

275. Neudecker H. A Note on Kronecker Matrix Products and Matrix Equation Systems, SIAM J.Appl. Math., 17, Af 3, 1969, pp.603-606.

276. Neufer D., Riddiford A., Ruggiero A.G. Searches for "Arnold Diffusion" and "Chaotic" Motion in the Beam-Beam, Interaction, IEEE Trans, on Nucl. Sci., NS—30, Af 4, 1983, pp.2427-2429.

277. Ninane A., Fert/'e J.M., Mareschal P., Sibomana M., Somers F. OOTRAN, an Object-Oriented Program for Charged-Particle Beam Transport Design, Nucl. Instr.& Meth., A293, Af 1-2, 1990, pp.468-474.

278. O'Connell J.S. Limiting Density Distribution for Charged Particle Beams in Free Space, J. of Appl. Phys. 70, Af 11, 1991, pp.7156-7157.

279. Okunbor D., Skeel R.D. Explicit Canonical Methods for Hamiltonian Systems, Math, of Computations, 59, .A/200, 1992, pp.439-455.

280. Olson J.C., Russe B.R. First-Order Optimization of Multiple Magnet Lens Saytems for Transport and Focusing of Circular Ion Beams, J. of Appl. Physics, 70, Af 10, 1991, pp.5179-5185.

281. Osberg E.A., Ludgate G.A., Koscielniak S., Dohan D.A. Dynamic Object Modelling as Applied to the KAON Control System, Nucl. Instr. & Meth., A293, Af 1-2, 1990, pp.394-401.

282. Oteo J.A., Ros J. The Magnus Expansion for Classical Hamiltonian Systems, J. of Physics A, 24, Af 24, 1991, pp.5751-5762.

283. Parker C.N., Winter B.D. On Zn Graded Baker-Campbell-Hausdorff Formulas and Coset Space Parametrization, J. of Math. Phys., 24, Af 11, 1983, pp.2537-2540.

284. Pechukas Ph., Light J.C. On the Exponential Form of Time-Displacement Operator in Quantum Mechanics, J. pf Chemical Physics 44, Af 10, 1966, pp.3897-3912.

285. Petruk V.B. The Use of Lie Series to Study Nonlinear Hamiltonian Systems, Cosmic Res., 15, 1977, pp.800-803.

286. Pires R.A., Dilas R. Dynamical Systems Methods in Accelerator Physics: the Dynamical Aperture Problem, Proc. of Workshop "Dynamics and Stochastic Processes. Theory and Applications", Lect.Notes in Physics, 355, Berlin, Springer, 1990, pp.251-259.

287. Qian Qian, Davidson R.C. Nonlinear Dynamics of Intense Ion Beam Envelope, Phys. Rev.E, 57, Af 5, Pt.B, 1996, pp.5349-5357.

288. Quesne Chr. Symmetry and Dynamical Lie Algebras in Classical and Quantum Mechanics, Symmetries in Physics, eds. A.Frank, K.B.Wolf. Proc.of the Inst. Symp., Mexico, 1991, Berlin, 1991.

289. Raich U. Beam Modelling with a Window-Oriented User Interface, Nucl. Instr. & Meth., A293, Af 1-2, 1990, pp.450-455.

290. Rail L.B. Automatic Differentiation: Techniques and Applicationa, Lectures Notes in Comp. Sei., 120, Berlin, 1981.

291. Regensreif E. Phase Acceptance of Quadrupole Doublets: Analytical Approach, CERN 68-28, 1968, Geneva.

292. Regensreif E. Phase Acceptance of Quadrupole Triplets in Terms of Matrix Elements, CERN 70-22, 1970, Geneva.

293. Reiser M. Free Energy and Emittance Growth in Nonstationary Charged Particles Beams, J. Appl. Phys., 70, Af 4, 1991, pp.1919-1923.

294. Richtmayer R.D., Greenspan S. Expansion of the CBH ( Cambell-Baker-Hauss-dorff) Formula by Computer, Comm. Pure & Appl.Math., 18, Af 1/2, 1985, pp.107-108.

295. Ropert A. Dynamical Aperture, Proc of the CAS CERN Acc. School, Third Advanced Acc. Physics Course, CERN 90-04, CERN 1990, pp.26-51.

296. Rosen 0., Luus R. Global Optimizatoin Approach to Nonlinear Optimal Control, J. of Optimization Theory and Appl., 173, Af 3, 1992, pp.547-552.

297. Ruth R. A Canonical Integration Technique, IEEE Trans, on Nucl.Sci., NS—30, 1983, pp. 2669-2671.

298. Ryne R.D. Self-Consistent Transfer Map for Beams with Space-Charge using Lie Algebraic Methods, AIP Conf.Proc. 1985, pp.265-271.

299. Ryne R.D., Dragt A.J. Lie Algebraic Treatment of Space-Charge, Proc. of IEEE 1987 Particle Accelerator Conference — PAC'87, 2, 1991, pp.1063-1065.

300. Sacherer F.J. RMS Envelope Equations with Space Charge, IEEE Trans, on Nuclear Sei., NS-18, 1971, pp.1105-1107.

301. Salzman W.R. An Alternative to the Magnus Expantion in Time-Dependent Pertubation Theory// J.Chem.Phys., 82, Af 2, 1985, pp.822-826.

302. Sanz-Serna J.M. Runge-Kutta Schemes for Hamiltonian Systems, BIT Comp. Sei. Numerical Math., 28, 1988, pp.877-883.

303. Sanz-Serna J.M., Calvo M.P. Numerical Hamiltonian Problems, Appl.Math.& Mathematical Computation. 7, Chapman Hall,London, 1994.

304. Satting er D.H., Weaver O.L. Lie Groups, and Algebras with the Applications to Physics, Geometry and Mechanics, Appl.Math. Sei., 61, Springer, NY, 1986.

305. Schnitzer B. Hamiltonian Mechanics with a Space Coordinates as Independent Variables. Canonical Thin Lens Approximation for an Accelerating Gap, CERN 70-7, Geneva 1970, 49p.

306. Schultz D.E., Brown P.A. The Development of an Expert'System to Tune a Beam Line, Nucl.Instr. & Meth., A293, M 1-2, 1990, pp.486-490.

307. Schwarz F. Automatically Determining Symmetries of ODE, Lectures Notes in Comp. Sci. 162, Berlin, Spriger, 1983, pp.45-54.

308. Shi J. Integrable Polynomial Factorization for Symplectic Systems, Phys. Rev., 50, N 1, 1994. pp.532-538.

309. Shi J.,Yan Y.Y. An Optimized Formulation for Deprit-Type Lie Transformations of Taylor Maps for Symplectic Scheme, Bienn. Part. Acc. Conf., Washington, DC, May 17-20, 1993, 1, Piscataway (NY), 1993, pp.242-244.

310. Schmidt K.-H., Hanelt E. A Method for Calculating Phase-Densities in Ion-Optical Systems, Nuclear Instr. k Meths., A321, M 3, 1992, pp.434-438.

311. Simonian Kh. A. New Aspects of the Theory of Resonant Beam Extraction from Synchrotrons (Stretchers), Particle Accelerators, 28-29, jVl-4, 1990, pp.101-106.

312. Steinberg St. Factored Product Expansion of Solution of Nonlinear Differential Equations, SIAM J. Appl. Anal., 15, 1984, pp.108-115.

313. Steinberg St. Lie Series, Lie Transfomations and their Applications, in Lie Methods in Optics, J.Sanchez-Mondragon and K.B.Wolf (eds.), Lecture Notes in Physics, 250, Berlin, Springer, 1986, pp.45-103.

314. Struckmeier J. Self-Consistent Non K V Distributions for Periodic Focusing Systems, IEEE Trans, on NS. NS-32, N5, 1985, pp.2516-2518.

315. Takai M. Nuclear Microprobe Development and Application to Microelectronics, Nucl. Instr. & Meth., B85, jVl-4, 1994, pp.664-675.

316. Unger D., Smith R.B. SELF: The Power of Simplicity, in OOPSLA 1987 Conference Proceedings, 1987, pp.227-241.

317. Varadarajan V.S. Lie Groups, Lie Algebra and their Representation, NY, 1974.

318. Vetter W.J. Matrix Calculus Operations and Taylor Expansions, SIAM Review, 15, J\f2, 1973, pp.352-369.

319. Walker N.J., Irwin J., Woodley M. Analysis of Higher Order Optical Aberrations in the SLC Final Focus Using Lie Algebra Techniques, Proc. of the Bienn. Part. Acc. Conf., Washington, DC, May 17-20, 1993, 1, Piscataway (NY), 1993, pp.119-121.

320. Wang Dao Liu Some Aspects of Hamiltonian Systems and Symplectic Algorithms, Physica D, 73, Af 1-2, 1994, pp. 1-16.

321. Wang Y.L., Shao Zh. Design Principles of an Optimized Focused Ion Beam System, Advs. Electronics and Electron Physics, 81, 1991, pp.177-210.

322. Watt F., Grime G.W. High Energy Ion Microbeams, London, 1987.

323. Wen-Jie Zhu, Meng-Zhao Qin Constructing Higher Order Schemes by Formal Series, Comp. Math. Appl., 25, Af 12, 1993, pp.31-38.

324. Weygand D.P. Artificial Intelligence and Accelerator Control, Proc. of IEEE 1987 Part.Acc.Conf., IEEE Trans, on Nucl.Sci. NS-35, Af 1, 1991, pp.564-566.

325. Wille R. Concepts Lattice and Conceptual Knowledge Systems, Comp. Math. Appl., 23, Af6-9, 1992, pp.493 516.

326. Willeke F. Dynamical Aperture, a Review of Theory and Experiment, Proc. of Second European Part. Accel. Conf.- EPAC'90, 1, 1990, pp.219-223.

327. Wollnik H., Berz M. Relations Between Elements of Transfer Matrices due to the Condition of Symplecity, Nucl. Instr.& Meth. A238, Af 2-3, 1985, pp.127-140.

328. Wolf K.B. Symmetry-Adapted Classification of Aberrations, J. Opt. Soc. Am. A,5, Af8, 1988, pp.1226-1232.

329. Wolf K.B. The Group-Theoretical Treatment of Aberrating Systems. I. Aligned Lens Systems in Third Aberation Order, J. Math. Phys., 27, Af 5, 1986, pp.1449-1457.

330. Wolfram St. MATHEMATICA™: The System for Doing Mathematics by Com,-puters, Redword-City (CA), 1988.

331. Wong M.K., Budge K.G., Peory J.S., Robinson A.C. Object-Oriented Numerics: A Paradigm for Numerical Object-Oriented Programming, Computers in Physics, 7, Af6, 1993, pp.655-663.

332. Ximen J. Canonical Theory in Electron Optics, Advs. in El.and Electr.Physics, 81, 1991, pp.231-278.

333. Yan Y., Chiung-Ying Yan "ZLIB" a Numerical Library for Differential Algebra (a User's Guide for Version 1.1 ), SSCL-300, 1990, 28p.

334. Yoshida H. Construction of High Order Symplectic Integrators, Phys. Lett., A 150, 1990, pp.262-268.

335. Zak M. The Problem of Irreversibility in Newtonian Dynamics, Int. J. Theor. Phys., 31, Af 2, 1992, pp.333-342.

336. Zhang Meiging, Qin Meng-Zhao A Note of Symplectic Schemes for Hamiltonian Systems, J. of Comp. Math., 9, N 1, 1991, pp.1-4.

337. Zhao Yue Yu, Mei Feng Xiang Exact Invariants and Adiabatic Invariants of General Dynamic Systems, Acta Mech. Sinica (Beijing), 31, Af 2, 1996, pp.207-216.

338. Zhong Ge Equivalent Symplectic Difference Schemes and Generating Functions, Physica D, 49, Af 3, 1991, pp.376-386.