Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания

Долгов, Виталий Игоревич

Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Долгов, Виталий Игоревич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания»

Автореферат диссертации на тему "Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания"

На правах рукописи

Долгов Виталий Игоревич

ДИНАМИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТЯМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ В СЕТЯХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов-2010

004610956

Работа выполнена на кафедре системного анализа и автоматического управления Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор

Митрофанов Юрий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Розен Виктор Владимирович

Защита состоится « 28 » октября 2010 г. в 17 часов 00 мин на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 в Саратовском государственном университете им. Н.Г.Чернышевского по адресу: 410012, г.Саратов, ул. Астраханская, 83, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

Автореферат разослан « р? ^ » сентября 2010 г.

кандидат физико-математических наук, доцент

Шульга Татьяна Эриковна

Ведущая организация: Институт проблем точной

механики и управления РАН

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

В. В. Корнев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Эффективное использование сетей массового обслуживания в качестве математических моделей дискретных систем с сетевой структурой и стохастическим характером функционирования, примерами которых являются информационно-вычислительные сети, сети передачи данных, транспортные и гибкие производственные системы, обусловило продолжающееся более полувека интенсивное развитие теории сетей массового обслуживания, методов анализа, синтеза и оптимизации сетей массового обслуживания различных классов [1-9]. Как модели дискретных систем сети массового обслуживания используются для вычисления временных характеристик, коэффициентов использования устройств, надежности, производительности и других функциональных характеристик дискретных систем при достаточно общих предположениях об их структуре и процессах функционирования. Широкому практическому применению сетей массового обслуживания способствует простота и естественность, с которыми они отображают структуру моделируемых систем и процессы обработки в системах объектов различных типов. Большой вклад в развитие теории, методов анализа, оптимизации и синтеза сетей массового обслуживания внесли Г. П. Башарин, А. А. Боровков, П. П. Бочаров, В. М. Вишневский, В. А. Жожикашвили, В. А. Ивницкий, Ю. И. Митрофанов, В. В. Рыков. Среди зарубежных специалистов необходимо отметить значительный вклад в развитие этого научного направления таких ученых, как Дж. Джексон, Л. Клейнрок, Ф. Келли, К. Чэнди, Д. Тауслей, М. Райзер, Дж. Уолрэнд.

Отображение в модельных сетях массового обслуживания средств и методов управления дискретными системами приводит к построению сетей обслуживания с управлением, являющихся фактически подклассом сетей массового обслуживания. Сети обслуживания с управлением обеспечивают не только принципиальную возможность решения целого класса задач анализа и синтеза дискретных систем, но и возможность решения ряда задач, связанных с повышением эффективности управления дискретными системами.

Разработка и исследование методов управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и методов анализа сетей обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания являются актуальными направлениями развития теории сетей массового обслуживания. Практическое значение этих направлений определяется широким использованием сетей массового обслуживания в качестве математических моделей дискретных систем с управлением, сетевой структурой и стохастическим характером функционирования. Интенсивности обслуживания требований системами обслуживания, входящими в состав сетей массового обслуживания, являются параметрами, в существенной степени определяющими качество функционирования сетей. Поэтому проблемам, связанным с исследованием влияния интенсивностей обслуживания на функционирование сетей

обслуживания, определением оптимальных интенсивностей обслуживания, управлением интенсивностями обслуживания уделяется значительное внимание в современной теории сетей массового обслуживания.

В основу диссертации положены результаты научных исследований, выполненных при участии автора в Саратовском государственном университете по темам, включенным в план НИР СГУ: «Динамическое управление сетями массового обслуживания» (шифр «Темп», гос. per. № 01200201953), «Анализ сетей массового обслуживания с динамическим управлением» (шифр «Тракт», гос. per. № 01200602692), «Разработка и применение фундаментальных методов исследования задач математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, теории упругости и газодинамики» (шифр «Интеграл», гос. per. № 01200002986).

Цель диссертационной работы. Развитие теории сетей массового обслуживания с управлением и методов их анализа, разработка эффективных методов динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания, в том числе:

1. Разработка и исследование методов динамического управления интенсивностями обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с произвольной и типовой структурами.

2. Разработка и исследование методов анализа замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с произвольной и типовой структурами и динамическим управлением интенсивностями обслуживания для стационарного режима эволюции сетей.

3. Исследование зависимости стационарных характеристик сетей массового обслуживания от интенсивностей обслуживания.

Методы исследования. Использовались результаты теории вероятностей, теории марковских процессов, теории массового обслуживания, теории сетей массового обслуживания.

Основные результаты и научная новизна.

1. Разработаны методы динамического управления интенсивностями обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с одним классом требований и произвольной и типовой структурами.

2. Разработаны методы анализа замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с одним классом требований, с произвольной и типовой структурами и динамическим управлением интенсивностями обслуживания.

3. Проведено исследование эффективности методов динамического управления интенсивностями обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с произвольной и типовой структурами.

Полученные в диссертационной работе результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Научные результаты диссертационной работы представля-

ют вклад в развитие теории сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания и методов их анализа.

Практическая значимость представленных в диссертационной работе результатов заключается в возможности применения рассмотренных методов динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и методов анализа сетей массового обслуживания с управлением в математических моделях дискретных систем с сетевой структурой и стохастическим характером функционирования. Использование моделей этого вида позволит расширить круг задач анализа систем этого класса и повысить эффективность их решения.

Апробация работы. Результаты докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры системного анализа и автоматического управления Саратовского государственного университета, Международных научных конференциях «Компьютерные науки и информационные технологии» (1-4 июля 2007 года, 1-4 июля 2009 года, г. Саратов), Десятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (19-24 мая 2009 года, г. Санкт-Петербург), Ежегодных межвузовских научных конференциях «Компьютерные науки и информационные технологии» (27 апреля 2005 года, 19 мая 2006 года, г.Саратов), представлены и обсуждались на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (1-7 октября 2005 года, г. Сочи-Дагомыс).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации 109 страниц. Диссертация содержит 11 таблиц. Список литературы включает 82 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит общую характеристику работы.

В первой главе представлен обзор основных результатов по теории сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания, методам управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания, методам построения оптимальных правил выбора интенсив-ностей обслуживания в сетях массового обслуживания, а также методам анализа сетей массового обслуживания с интенсивностями обслуживания, зависящими от состояния сети, и анализа сетей с управлением интенсивностями обслуживания.

Во второй главе предлагаются метод динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания с произвольной структурой и метод анализа сетей массового обслуживания этого типа.

Рассматривается замкнутая экспоненциальная сеть массового обслуживания N, образованная Ь системами массового обслуживания '=1.....Ь, типа М/М/1 с интенсивностями обслуживания /и, и содержащая 0, требований одного класса. Переходы требований между системами

обслуживания в процессе функционирования сети определяются неприводимой маршрутной матрицей 0 = (ву), /,_/ = Вектор л,<п) = (5*"'),

1 = 1.....1, где - число требований, находящихся в системе Б,, определяет состояние сети с номером п. Множество X состояний сети имеет мощность сх Обозначим через I = {[,..„Ц и В = {1,...,сх) соответственно множества номеров систем массового обслуживания и номеров состояний сети. Предполагается, что для каждого состояния е X определено неотрицательное вещественное число называемое потенциалом этого состояния. Значение потенциала состояния отражает уровень значимости пребывания сети в этом состоянии с точки зрения обеспечения заданных характеристик качества ее функционирования. Нумерация состояний производится по убыванию потенциалов. Базовое состояние я" =(5-), г = 1,...,£, имеет номер 1 и наибольший потенциал. Выбор некоторого состояния сети в качестве базового обуславливается необходимостью достижения требуемых значений заданной стационарной характеристики сети, например, пропускной способности сети, общих задержек обслуживания или коэффициентов использования ресурсов сети массового обслуживания.

Множество X делится на подмножества У я 2 доминантных и ординарных состояний, су =|У| и с 2 = ] 21. Множество номеров доминантных состояний сети обозначим через £>. К доминантным относятся состояния, пребывание в которых обеспечивает значение основной характеристики качества функционирования сети более близкое к экстремальному значению, чем пребывание в ординарных состояниях. Потенциалы доминантных состояний превосходят по величине потенциалы ординарных состояний. При определении потенциалов состояний, способа нумерации состояний в множестве X и формировании множеств У и 2 используются векторы ¿<л) = (£?(">), <*<"> = 5]и вектор Ь = (Ь,), 6,. >0, 1 = 1,...,!, граничных значений числа требований в системах обслуживания. Состояния е X, для которых справедливы неравенства , г = 1 относятся

к множеству У, остальные состояния - к множеству 2.

Пусть № - сеть массового обслуживания, структура, параметры и алгоритмы функционирования которой такие же, как у сети ТУ, и которая отличается от N только тем, что в № реализовано динамическое управление интенсивностями обслуживания. Управление осуществляется посредством управляющих воздействий, формируемых в процессе функционирования сети N° системой управления. Основной целью управления является достижение максимального значения стационарной вероятности я(У) пребывания сети в подмножестве У доминантных состояний при ограничении Я на

интенсивность управления Д, определяемую как число управляющих воздействий, формируемых в единицу времени.

Различаются два режима функционирования сети № - нормальный и коррективный. Периоды функционирования сети в этих режимах называются соответственно нормальным и коррективным тактами. Такт будем обозначать через х^, где к е {1,2,...} - номер такта в общей последовательности тактов, а момент окончания такта х^ - через т^К Все такты имеют фиксированную длительность (р. Режимы функционирования отличаются используемыми в сети векторами интенсивностей обслуживания требований - в нормальном такте используется вектор // = (//,), / = 1,...,1, в коррективном такте - коррективный вектор, зависящий от состояния сети в момент окончания предшествующего такта.

Вектор интенсивностей обслуживания, используемый в течение такта х(*\ обозначим через рс^ =(аР')> / = ке{ 1,2,...}. Значения ком-

понент вектора интенсивностей обслуживания используемого в тече-

ние такта дг(*+1), определяются в зависимости от состояния сети в момент т^ и значения вектора Ъ.

В момент т^ выполняются следующие действия: 1) идентификация состояния 2) формирование вектора = (с/р^), г' = 1,...,£, где

¿/'^ =¿£'^-5°; 3) проверка выполнения неравенств й,-. Если дан-

ные неравенства не выполняются для всех систем, то следующий такт является нормальным, и в течение такта используется вектор = ¡л. Если хотя бы для одной системы неравенство выполнилось, то следующий такт является коррективным, формируется вектор = , значения компонент которого направляются системам обслуживания и используются в течение такта . После окончания такта в момент производится очередное выполнение действий 1) - 3) и т. д.

Предлагается следующий метод формирования коррективного вектора интенсивностей обслуживания = г = 1.....Ь. Обозначим через е/, интенсивность потока требований из S¡ в SJ■ в течение коррективного такта 5с(*+1\ а через 1/}А+1) и интенсивности потоков требований, выходящего из Я,- и входящего в в течение этого такта. Алгоритм формирования содержит вспомогательный шаг и основные шаги, число которых зависит от требуемой точности определения вектора При выполнении вспомогательного шага предполагается, что = г = 1.....Ь, и определяются величины

= Ы"'*5 + № - <Р при + № > ^ > \ 0 при + ц{(р < .

На первом основном шаге полагается, что = к+1\ г = 1,...,1,

и определяются

Г-О». »■.;=!,...,I. оГ'^ЬУГ'' ;=1>->1'

гхш) = +- при *<■■*>+О^ср > ,

/ ; [0 при + + <5°.

При выполнении следующих основных шагов производится подстановка вместо у1к+]) величин / = 1 определенных на предыдущем ос-

новном шаге.

Теорема 2.9. Оптимальная длительность такта, при которой достигается тахж^У) при Я <! Я, <р0 = 1/Я .

Замечание 2.2. При <р ->• оо ]л\к+1) щ и I = 1,...,!.

Далее коррективный вектор интенсивностей обслуживания будем обозначать через р-1, Уе{1,...,с7}, если коррективный такт начинается в состоянии 5(с>'+,/) ег.

Эволюция сети обслуживания № описывается случайным процессом Н с множеством состояний X, который является последовательностью фрагментов, соответствующих нормальным и коррективным тактам. Цепь Маркова, описывающую эволюцию сети Ыс в течение нормальных тактов, обозначим через С, а цепи Маркова, описывающие эволюцию сети № в течение коррективных тактов, - через С1, J е {1,...,с2}. Длительности реализаций цепей С и С"7 равны ср. Множеством начальных состояний цепи С является множество а цепи С"7 - {¿(с>"к/)}. Длительности

пребывания цепей С и С"7 в состоянии е X являются случайными величинами с экспоненциальными функциями распределения с параметрами а„ и а^ соответственно. Для цепей С и С-7 соответственно обозначим Р = {рт„) и = (Рпп), т,п = \,...,сх, - матрицы вероятностей перехода; Р(/) = (р%*п) и Р^"1 = {р^У) - матрицы вероятностей перехода за время X.

Теорема 2.10. Существует единственное стационарное распределение процесса Е я = (пп), п-\,...,сх, зависящее от ср и являющееся решением системы линейных уравнений

= i + • п = \,...,сх,

1е£> • У=1

с условием нормировки -1.

пеВ

Обозначим через qfy) вероятность того, что процесс S в момент t е ф,<р) находится в состоянии е X,

<7/(0 = Z^i+txcr+jPc^JJ-

me£> J=1

Теорема 2.11. Стационарные вероятности рп перехода процесса И в состояние s^ е X, зависящие от длительности такта <р, определяются выражениями

Рял*тЛ.ПеВ,

<Р о 7(0

где

7„(0 = ЪчШ&Мп + +jpfn)>

1чВ meD J=1

»7(0= £«/(00*/ +

/бВ meD У=1

Обозначим: 5} - математическое ожидание числа требований в S^; Л,- -интенсивность входящего в систему Sj потока требований; м,- - математическое ожидание длительности пребывания требований в 5, ; у,- - коэффициент использования обслуживающего прибора в 5,-.

Теорема 2.12. Сеть Nc имеет следующие стационарные характеристики, z' = l,...,i:

Sj = £kP{s, = к), где P{s, =к}= £ яп ;

- - _ Сг

X, = 1 - Pfo = 0}), где /л, = /i, £ л"т + ^м/лСу

meß ./=1

й,- = s,-/^; ч/j = =1-P{i,- = 0}.

Результаты численного и имитационного моделирования показываю что применение в сетях обслуживания с произвольной структурой пред женного метода управления интенсивностями обслуживания обеспечи возможность повышения качества функционирования сетей по сравне с качеством функционирования сетей при отсутствии управления.

В третьей главе предлагаются метод динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания с типовой структурой и методы анализа сетей массового обслуживания этого типа.

Рассматривается замкнутая экспоненциальная сеть массового обслуживания N с Q требованиями одного класса. Отличие от сети, рассмотренной в главе 2, состоит в том, что в состав сети N помимо L систем обслуживания Sj, i = \,...,L, типа M/M/l с интенсивностями обслуживания

входит система обслуживания 50 типа М/М7(? с интенсивностью щ обслуживания требований одним прибором. Системы 51,-, ¡' = 1,...,/., называются базисными, а 50 - терминальной. Переходы требований между системами в процессе функционирования сети N определяются неприводимой маршрутной матрицей 0 = {в^), /,7 = 0,1,...,/,. Обозначим через I = {0,1,...,I) -

множество номеров систем в сети, Я - базисную подсеть, ./ = {1,...,/,} -множество номеров систем в подсети Н.

Обозначим: // = (//,), /=1,...,1; - математическое ожидание

длительности реакции сети обслуживания для системы £0; с ¡{/л,) - стоимость системы 5, при использовании в ней интенсивности обслуживания ¡л1; С (/л) - суммарная стоимость сети N (не включая стоимости системы 50), = Л,- - интенсивность входящего потока требований в систему S1■; - относительная интенсивность входящего потока требований в систему 5,-, <э =(©,), / =0,1,...,!, - решение уравнения со = со © с условием а>1 = 1.

Для сети N при различных ограничениях на интенсивности обслуживания и различных видах функций стоимости систем решаются следующие задачи оптимизации интенсивностей обслуживания.

А1. Минимизация функции стоимости С (/л) сети при ограничении С(м)<и(и> 0).

А2. Минимизация математического ожидания £"(//) длительности реакции сети при ограничении С(р) < В (В > 0).

Рассмотрим задачу А1 при 0<//, <оо и линейных функциях = а,^,-, а,- > 0, г = 1,...,£. Следующая теорема определяет решение £ = (/},), / = 1 ,...,£, этой задачи оптимизации.

Теорема 3.1. При заданном ограничении = и функция

= где а, >0, принимает минимальное значение, если

Пусть № - сеть массового обслуживания, структура, параметры и алгоритмы функционирования которой такие же, как у сети N, и которая отличается от N только тем, что в N° реализовано динамическое управление интенсивностями обслуживания в базисных системах. Для параметров и характеристик сети N° используются введенные для соответствующих пара-

где

.....

метров и характеристик сети N обозначения с индексом «с». В частности, число требований в подсети Я сетей N и N° обозначается соответственно через Qн и ()сн. Целью управления интенсивностями обслуживания в N° является уменьшение математического ожидания длительности реакции С,с сети N° для системы £0 и вероятности рс пребывания этой сети в состояниях, в которых больше математического ожидания <2И числа требований в подсети Н сети N.

Рассмотрим метод динамического управления интенсивностями обслуживания в сети №. Так же, как и в главе 2, предполагается, что в сети обслуживания реализована централизованная система управления. Различаются нормальные и коррективные такты функционирования сети. Обозначим через = (/4*') > х = 1,, - вектор интенсивностей обслуживания, используемых в Я,- в течение такта х^к\ а через число требований

в подсети Н в момент г^ окончания такта х^.

В момент т^ выполняются следующие действия: 1) определение 2) проверка выполнения неравенства ^Ян ■ Если неравенство выполняется, то такт считается нормальным и в течение этого такта используется вектор = /и, в противном случае этот такт - коррективный, формируется зависящий от вектор = значения компонент которого направляются базисным системам и используются в течение х(к+]). После окончания такта в момент г(*+1) производится очередное выполнение действий 1) и 2) и т. д.

Предлагается следующий метод формирования коррективного вектора = г = \,...,Ь. Значения находятся с использованием теоремы 3.1, как решение соответствующей задачи оптимизации,

/Т(*+1) г __

А- -л- + «4+1) ггм 'ге-/'

где 4*0+1) _ интенсивность потока требований из Я в

%*о+1)=АоС^о - - ,

а - интенсивность потока требований в ,

Здесь 10 - математическое ожидание числа требований в сети ТУ, -число требований в 50 сети в момент г(*\

Округлим с избытком <2Н до целого числа д. Для каждого из 2) = £ - д +1 значений <2$ > формируется используемый в течение кор-

рективного такта вектор г е {1,,..,£>}. Определим разбиение множества X состояний сети №' на подмножества такие, что

Множество

7'б{0,1,...,2)}, назовем агрегированным состоянием с номером j сети №. Обозначим через множество номеров состоянии сети № из множества

Предлагаются два метода анализа сети № с типовой структурой и динамическим управлением интенсивностями обслуживания. В основе первого метода анализа лежит предположение о достижении сетью к моменту окончания такта стационарного режима.

Пусть сети N и ге{1,...,£>}, с векторами интенсивностей об-

служивания соответственно /л и отличаются от № только отсутствием в них управления. Стационарные вероятности Р(я) и зеХ, состоя-

ний сетей N и

к М

определяются по формулам:

У , I Г „ V'

Р(*) = . * ТТ 1 - -

г Л П

о^М

(г)

М}

150 4=0

а,

Стационарные распределения у = и = (у^), ]=■ 0,1,...,©,

вероятностей агрегированных состояний сетей N и Л^^ определяются выражениями:

Теорема 3.5. Стационарное распределение х ~ (Х] ). ./ = 0,1,...,£>, вероятностей агрегированных состояний сети № является решением уравнения

где

/0 У\ • • Ую

г = Г? ■ • У$

А0) ут . ■ У^

с условием нормировки = 1

Следствие 3.1. Если известны стационарные характеристики g¡ и г =1,...,£), сетей N и то соответствующая стационарная

характеристика сети Ыс

® -< 1 + Хг-г=1

Поскольку в основе данного метода анализа сети лежит предположение о достижении сетью к моменту окончания такта стационарного режима, то при использовании этого метода необходимо задать величину £ ошибки приближения эволюции сети N° к стационарному режиму.

Теорема 3.6. При -\п(()1£)1рй режим эволюции сети И" явля-

ется стационарным с известной ошибкой е.

Таким образом, предлагаемый метод анализа применим при таких длительностях тактов, в моменты окончания которых сеть функционирует в режиме, близком к стационарному.

В основе второго предлагаемого метода анализа лежит описание эволюции сети N° случайным процессом Н с непрерывным временем и конечным множеством состояний В, который представляет собой последовательность фрагментов, соответствующих нормальным и коррективным тактам функционирования сети (аналогично описанию в главе 2). Фрагментами реализаций процесса Н являются реализации цепей Маркова С и ге{1,...,2)}, с множеством состояний В и непрерывным временем. Эволюция сети № в течение нормальных тактов описывается цепью С с множеством начальных состояний а в течение коррективных тактов - цепями С(г) с множествами начальных состояний В^ соответственно. Длительности реализаций цепей С и С(г) равны (р. Обозначим через

р(0,(г) _ т, п = 1,...,сх, матрицы вероятностей перехода за время I

цепей Маркова С и соответственно.

Теорема 3.7. При заданном значении <р стационарное распределение

я = (я„), п = 1.....сх, сети N° существует, является единственным

и удовлетворяет уравнению

ж = яР,

где Р = (ртл), т,п = 1.....с^,

Ш, теВ™

РтП[р^\теВ*\ге{ 1,...,©}. д

Очевидно, р° = ]Г £ лп ■

Стационарные характеристики сети № вычисляются по формулам, приведенным в теореме 2.12, с использованием математических ожиданий

интенсивностей обслуживания в базисных системах

М)=М1 1Х + 1>/ 2>„,'|' = 1,...,£.

Математическое ожидание длительности реакции сети № для 50

М^й ¡=1

Как показывают результаты численного и имитационного моделирования, предложенные методы анализа обеспечивают возможность определения с удовлетворительной точностью стационарных характеристик замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с типовой структурой и динамическим управлением интенсивностями обслуживания при различных длительностях тактов. Длительность такта в сетях этого типа, являясь одним из основных параметров метода управления, в существенной степени определяет качество функционирования сетей.

В четвертой главе рассматриваются принципы организации, структура и основные алгоритмы функционирования имитационных моделей, разработанных для анализа сетей массового обслуживания с различной структурой и динамическим управлением интенсивностями обслуживания. Описываются методы моделирования случайных величин и анализа результатов имитационного моделирования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны методы динамического управления интенсивностями обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с произвольной и типовой структурами.

2. Разработаны методы анализа замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с произвольной и типовой структурами и динамическим управлением интенсивностями обслуживания для стационарного режима эволюции сетей.

3. Методами аналитического и имитационного моделирования проведено исследование эффективности методов динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания с произвольной и типовой структурами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Башарин, Г.П. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета / Г.П. Башарин, П.П Бочаров., Я.А. Коган. - М.: Наука. ГРФМЛ, 1989.-336 с.

2. Боровков, A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания / A.A. Боровков. - М.: Наука, 1980. - 384 с.

3. Жожикашвили, В.А. Сети массового обслуживания. Теория и применение в сетях ЭВМ / В.А. Жожикашвили, В.М. Вишневский. - М.: Радио и связь, 1988.-192 с.

4. Клейнрок, JI. Теория массового обслуживания / JI. Кпейнрок. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

5. Митрофанов, Ю.И. Анализ сетей массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов. - Саратов: Научная книга, 2005. - 177 с.

6. Уолренд, Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания / Дж. Уолренд. - М.: Мир, 1993. - 336 с.

7. Jackson, J.R. Networks of waiting lines / J.R. Jackson // Oper. Res. -1957.-V. 5,№4.-P. 518-521.

8. Kelly, F.P. Reversibility and stochastic networks / F.P. Kelly. - London, Wiley, 1979.-230 p.

9. Reiser, M. Mean-value analysis of closed multichain queueing networks / M. Reiser, S.S. Lavenberg // J. ACM. - 1980, V. 27, №. 2. - P. 313-322.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

10. Долгов, В.И. Метод анализа сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания / В.И. Долгов, Ю.И. Митрофанов, Е.С. Рогачко И Известия Сарат. ун-та. Нов. серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2009. - Т. 9, вып. 3. - С. 22-27.

В. И. Долгову принадлежит метод анализа замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания.

11. Долгов, В.И. Модели и методы анализа сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания / В.И. Долгов, Ю.И. Митрофанов, Е.С. Рогачко // Обозрение прикладной и промышленной математики: Тез. докл. X Всерос. симпоз. по прикл. и пром. ма-тем., Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009 г. - М.: Науч. изд-во «ОПиПМ», 2009. - Т. 16, вып. 2. - С. 323-324.

В. И. Долгову принадлежат методы анализа сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания.

12. Долгов, В.И. Исследование сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания / В.И. Долгов II Обозрение прикладной и промышленной математики: Тез. докл. VI Всерос. симпоз. по прикл. и пром. матем., Сочи-Дагомыс, 1-7 окт. 2005 г. - М.: Науч. изд-во «ОПиПМ», 2005. - Т. 12, вып. 4. - С. 949-950.

13. Долгов, В.И. Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов, В.И. Долгов // Автоматика и вычислительная техника. - 2008. - № 6. - С. 44-56.

В. И. Долгову принадлежат метод динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания, метод анализа сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания и результаты исследования метода-

4о

ми численного и имитационного моделирования сетей с управлением интенсивностями обслуживания.

14. Долгов, В.И. Сети массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания: синтез, метод управления, исследование / Ю.И. Митрофанов, В.И. Долгов; Сарат. гос. ун-т. - Саратов, 2005.. - 26 с. -Деп. в ВИНИТИ 13.05.05, № 688-В2005.

В. И. Долгову принадлежат метод динамического управления интенсивностями обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания, метод формирования вектора минимальных интенсивности обслуживания, структура и основные алгоритмы функционирования имитационной модели, разработанной для исследования эффективности метода управления.

15. Долгов, В.И. Исследование зависимости характеристик сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания от топологии сетей I В.И. Долгов; Сарат. гос. ун-т. - Саратов, 2005. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.05.05, № 744-В2005.

16. Долгов, В.И. Исследование зависимости качества функционирования сети массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания от реакции системы управления сетью / В.И. Долгов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений: Сб. науч. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. - Вып. 7. - С. 47-51.

17. Долгов, В.И. Имитационная модель сети массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания / В.И. Долгов // Компьютерные науки и информационные технологии: Матер. Междунар. науч. конф., Саратов, 1-4 июля 2009 г. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009.-С. 80-83.

18. Долгов, В.И. Моделирование сети массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания / Ю.И. Митрофанов, В.И. Долгов, Е.П. Станкевич // Компьютерные науки и информационные технологии: Тез. докл. Междунар. науч. конф., посвящ. памяти проф. A.M. Богомолова, Саратов, 1-4 июля 2007 г. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007.-С. 83-85.

В. И. Долгову принадлежат метод динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и метод анализа сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания.

Работы [10-12] опубликованы в журналах, включенных в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Подписано в печать 17.09.2010 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать RISO. Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Отпечатано с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю. Б. Свидетельство № 3117 410000, г. Саратов, ул. Московская, 152, офис 19

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Долгов, Виталий Игоревич

Введение.

Глава 1. Обзор основных результатов исследования сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания.

1.1. Сети массового обслуживания с интенсивностями обслуживания, зависящими от состояния сети.

1.2. Сети массового обслуживания с оптимальным управлением интенсивностями обслуживания.

Глава 2. Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания с произвольной структурой.

2.1. Сети массового обслуживания с произвольной структурой.

2.2. Оптимальные интенсивности обслуживания.

2.3. Метод управления интенсивностями обслуживания.

2.4. Модель эволюции сети с управлением.'.

2.5. Исследование эффективности метода управления интенсивностями обслуживания в сети обслуживания с произвольной структурой.

Глава 3. Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания с типовой структурой.

3.1. Оптимизация замкнутых сетей обслуживания.

3.2. Динамическое управление интенсивностями обслуживания.

3.2. Методы анализа сетей обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания.'.

3.4. Исследование эффективности метода управления интенсивностями обслуживания в сети обслуживания с типовой структурой.

Глава 4. Имитационное моделирование сетей массового обслуживания с управлением.

4.1. Принципы построения имитационной модели.

4.2. Структура и основные алгоритмические действия имитационной модели.

4.3. Моделирование случайных величин.

4.4. Анализ результатов моделирования.

Введение диссертация по математике, на тему "Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания"

Эффективное использование сетей массового обслуживания в качестве математических моделей дискретных систем с сетевой структурой и стохастическим характером функционирования, примерами которых являются информационно-вычислительные сети, сети передачи данных, транспортные и гибкие производственные системы, обусловило продолжающееся более полувека интенсивное развитие теории сетей массового обслуживания, методов анализа, синтеза и оптимизации сетей массового обслуживания различных классов [3, 4, 6, 7, 8, 18, 20, 24-26, 32, 46, 52, 61, 62, 65, 66, 72, 81]. Как модели дискретных систем сети массового обслуживания используются для вычисления временных характеристик, коэффициентов использования устройств, надежности, производительности и других функциональных характеристик дискретных систем при достаточно общих предположениях об их структуре и процессах функционирования. Широкому практическому применению сетей массового обслуживания способствует простота и естественность, с которыми они отображают структуру моделируемых систем и процессы обработки в системах объектов различных типов. Большой вклад в развитие теории, методов анализа, оптимизации и синтеза сетей массового обслуживания внесли Г. П. Башарин, А. А. Боровков, П. П. Бочаров, В. М. Вишневский, В.А. Жожикашвили, В. А. Ивницкий, Ю. И. Митрофанов, В. В. Рыков. Среди зарубежных специалистов необходимо отметить значительный вклад в развитие этого научного направления таких ученых, как Дж. Джексон, Л. Клейнрок, Ф. Келли, К. Чэнди, Д. Тауслей, М. Райзер, Дж. Уолрэнд.

Разработка и исследование методов управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и методов анализа сетей обслу4

I живания с управлением интенсивностями обслуживания являются актуальными направлениями развития теории сетей массового обслуживания. Прак-' тическое значение этих направлений определяется широким использованием сетей массового обслуживания в качестве математических моделей дискретс ных систем с управлением, сетевой структурой и стохастическим характером функционирования. Интенсивности обслуживания требований системами обслуживания, входящими в состав сетей массового обслуживания, являются параметрами, в существенной степени определяющими качество функционирования сетей. Поэтому проблемам, связанным с исследованием влияния инI тенсивностей обслуживания на функционирование сетей обслуживания, определением оптимальных интенсивностей обслуживания, управлением интенсивностями обслуживания уделяется значительное внимание в современной теории сетей массового обслуживания.

Целью диссертационной работы является развитие теории сетей массового обслуживания с управлением и методов их анализа, разработка эффективных методов динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания.

Основными задачами, решаемыми в диссертации, являются следующие.

В диссертационной работе использовались результаты теории вероятностей, теории марковских процессов, теории массового обслуживания, теории сетей массового обслуживания.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

Постановка задач, методы решения и полученные результаты являются новыми.

Практическая значимость представленных в диссертационной работе результатов заключается в возможности применения рассмотренных методов динамического управления интенсивностями» обслуживания в сетях массового обслуживания и методов анализа сетей массового обслуживания с управлением в математических моделях дискретных систем с сетевой структурой и стохастическим характером функционирования. Использование моделей этого вида позволит расширить круг задач анализа систем этого класса и повысить эффективность их решения.

Научные положения и методы, разработанные в диссертации, используются в учебном процессе Саратовского государственного университета.

Результаты докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры системного анализа и автоматического управления Саратовского государственного университета, Международных научных конференциях «Компьютерные науки и информационные технологии» (1—4 июля 2007 года, 1-4 июля 2009 года, г. Саратов), Десятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (19-24 мая 2009 года, г. Санкт

Петербург), Ежегодных межвузовских научных конференциях «Компьютер6 ные науки и информационные технологии» (27 апреля 2005 года, 19 мая 2006 года, г. Саратов), представлены и обсуждались на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (1—7 октября 2005 года, г. Сочи-Дагомыс).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11-16, 33-35]. Результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно.

В работе [15] В. И. Долгову принадлежит метод анализа замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания. Ю. И. Митрофанову принадлежат концепция метода динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и модель эволюции сетей с управлением. Е. С. Рогачко принадлежат результаты исследования методами численного и имитационного моделирования точности метода анализа сетей обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания.

В работе [16] В. И. Долгову принадлежат методы анализа сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания. Ю. И. Митрофанову принадлежат постановка задачи управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и модели эволюции сетей с управлением интенсивностями обслуживания. Е. С. Рогачко принадлежат результаты исследования точности методов анализа сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания.

В работе [33] В. И. Долгову принадлежат метод динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания, метод анализа сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания и результаты исследования методами численного и имитационного моделирования сетей с управлением интенсивностями обслуживания. Ю. И. Митрофанову принадлежат концепция метода динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и модель эволюции сетей с управлением интенсивностями обслуживания.

В работе [34] В. И. Долгову принадлежат метод динамического управления интенсивностями обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания, метод формирования вектора минимальных интенсивностей обслуживания; структура и основные алгоритмы функционирования имитационной модели, разработанной для исследования эффективности метода управления. Ю. И. Митрофанову принадлежат приближенный метод синтеза сетей массового обслуживания с заданными стационарными характеристиками, постановка задачи управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания.

В работе [35] В. И; Долгову принадлежат метод динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и метод анализа сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания. Ю. И. Митрофанову принадлежат основные положения метода динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания. Е. П. Станкевич принадлежит разработка программной системы имитационного моделирования сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации 109 страниц. Диссертация содержит 11 таблиц. Список литературы включает 82 наименования

Заключение диссертации по теме "Дискретная математика и математическая кибернетика"

Заключение

Целью работы являлась разработка методов динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания, а также разработка методов анализа сетей данных классов. Основными результатами диссертационной работы являются следующие.

1. Разработаны методы динамического управления интенсивностями* обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с одним классом требований и произвольной и типовой структурами.

3. Проведено исследование эффективности методов динамического управления интенсивностями-обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с произвольной и типовой структурами.

Полученные результаты являются новыми и могут быть использованы, при решении задач анализа и оптимизации дискретных систем с сетевой структурой и стохастическим характером функционирования.

Выражаю глубокую благодарность научному руководителю доктору технических наук, профессору Ю. И. Митрофанову за участие в постановке задач и руководство ходом исследований, а также искренне благодарю коллектив кафедры системного анализа и автоматического управления Саратовского государственного университета за помощь, оказанную при подготовке диссертации.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Долгов, Виталий Игоревич, Саратов

1. Альянах, И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Алья-нах. JL: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1988. - 223 с.

2. Баруча-Рид, А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения / А.Т. Баруча-Рид. М.: Наука, ГРФМЛ; 1969. - 512 с.

3. Башарин, Г.П. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета / Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, Я.А. Коган. М.: Наука. ГРФМЛ, 1989.-336 с.

4. Башарин, Г.П. Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем / Г.П: Башарин, А.Л. Толмачев // Итоги науки и техн. Сер. Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. кибер-нет. 1983. - Т. 21. - С. 3-119.

5. Богуславский, Л.Б. Методы оценки производительности многопроцессорных систем / Л.Б. Богуславский, А.И. Ляхов. М.: Наука, 1992. - 213 с.

6. Боровков, A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания / A.A. Боровков. М.: Наука, 1980. - 384 с.

7. Бусленко, Н.П. Моделирование сложных систем / Н.П. Бусленко. — М.: Наука, ГРФМЛ, 1978. 400 с.

8. Вишневский, В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В.М. Вишневский. М.: Техносфера, 2003. - 512 с.

9. Голенко, Д.И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах / Д.И. Голенко. — М.: Наука, 1965. 228 с.

10. Гурьянов, А.И. Определение параметров замкнутых линейных сетей систем массового обслуживания / А.И. Гурьянов, Ю.И. Митрофанов // Системное моделирование. Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР. 1970. - Вып. 1. - С. 39-49.

11. Долгов, В.И. Исследование зависимости характеристик сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания от топологии сетей / В.И. Долгов; Сарат. гос. ун-т. Саратов, 2005. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.05.05, № 744-В2005.

12. Ермаков, С.М. Курс статистического моделирования / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов. М.: Наука, ГРФМЛ, 1976. - 320 с.

13. Жожикашвили, В.А. Сети массового обслуживания. Теория и применение в сетях ЭВМ / В.А. Жожикашвили, В.М. Вишневский. М.: Радио и связь, 1988. - 192 с.

14. Кемени, Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения / Дж. Кемени, Дж. Снелл. М.: Советское радио, 1972. - 192 с.

15. Кениг, Д. Методы теории массового обслуживания / Д. Кениг, Д. Штоян. -М.: Радио и связь, 1981. 128 с.

16. Киндлер, Е. Языки моделирования / Е. Киндлер. — М.: Энерго-атомиздат, 1985.-288 с.

17. Клейнен, Дж. Статистические методы в имитационном моделировании / Дж. Клейнен. М.: Статистика, 1978. - Вып. 1. - 221 с.

18. Клейнен, Дж. Статистические методы в имитационном моделировании / Дж. Клейнен. М.: Статистика, 1978. - Вып. 2. - 335 с.

19. Клейнрок, JI. Вычислительные системы с очередями / JI. Клейн-рок. М.: Мир, 1979. - 600 с.

20. Клейнрок, JI. Теория массового обслуживания / JI. Клейнрок. М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

21. Кофман, А. Массовое обслуживание. Теория и приложения / А. Кофман, Р. Крюон. М.: Мир, 1965. - 303 с.

22. Jloy, A.M. Имитационное моделирование / A.M. Лоу, В.Д. Кель-тон. СПб.: Питер; Киев: BHV, 2004. - 887 с.

23. Ляхов, А.И. Асимптотический анализ замкнутых сетей очередей, включающих устройства с переменной интенсивностью обслуживания /

24. A.И. Ляхов // Автоматика и телемеханика. 1997. - № 3. - С. 131-143.

25. Митрофанов, Ю.И. Анализ сетей массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов. Саратов: Научная книга, 2005. - 175 с.

26. Митрофанов, Ю.И. Анализ сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания / Ю.И. Митрофанов // Автоматика и вычислительная техника. 2005. - № 6. - С. 22-31.

27. Митрофанов, Ю.И. Методология имитационного моделирования Вычислительного центра коллективного пользования СО АН СССР / Ю.И. Митрофанов // Автоматика и вычислительная техника. 1981. - № 1. -С. 3-14.

28. Митрофанов, Ю.И. Синтез сетей массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1995. - 163 с.

29. Митрофанов, Ю.И. Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов,

30. B.И. Долгов // Автоматика и вычислительная техника. 2008. — № 6. —1. C. 44-56.

31. Долгов, В.И. Сети массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания: синтез, метод управления, исследование / Ю.И. Митрофанов, В.И. Долгов; Сарат. гос. ун-т. Саратов, 2005. — 26 с. -Деп. в ВИНИТИ 13.05.05, № 688-В2005.

32. Митрофанов, Ю.И. КИМДС — комплекс процедур имитационного моделирования обобщенных дискретных систем / Ю.И. Митрофанов, А.Н. Иванов // Программирование. 1978. - № 5. - С. 74-83.

33. Митрофанов, Ю.И. Управление распределением нагрузки в сетях массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов, Е.С. Рогачко // Автоматика и телемеханика. 2008. - № 9. - С. 94-102.

34. Митрофанов, Ю.И. Модели и анализ сетей массового обслуживания с управлением маршрутизацией / Ю.И. Митрофанов, Н.В. Юдаева // Автоматика и телемеханика. 2000. - № 6. - С. 104-113.

35. Митрофанов, Ю.И. Управление маршрутизацией в сетях массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов, Н.В. Юдаева // Автоматика и телемеханика. 1999. - № 11. - С. 46-57.

36. Михайлов, Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло / Г.А. Михайлов. Новосибирск: Наука, 1974. - 142 с.

37. Нейлор, Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем / Т. Нейлор. М.: Мир, 1978. - 504 с.

38. Полляк, Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах / Ю.Г. Полляк. М.: Сов. радио, 1971. - 400 с.

39. Соболь, И.М. Численные методы Монте-Карло / И.М. Соболь. -М.: Наука, 1973.-312 с.

40. Советов, Б.Я. Моделирование систем: Учеб. для вузов / Б .Я. Советов, С.А. Яковлев. М.: Высш. шк., 2001. - 343 с.

41. Столяр, A.A. Об оптимальном управлении нагрузкой сети массового обслуживания / A.A. Столяр // Автоматика и телемеханика. — 1989. — №5.-С. 184-187.

42. Уолрэнд, Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания / Дж. Уолрэнд. -М.: Мир, 1993.-336 с.

43. Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука / Шеннон Р. М.: Мир, 1978. - 418 с.106

44. Alidrisi, M. Linear programming model for the optimal control of a queueing network / M. Alidrisi // Int. J. Syst. Sei. 1987. - V. 18. -P. 1079-1089.

45. Alidrisi, M. Optimal control of the service rate of an exponential queueing network using Markov decision theory/ M. Alidrisi // Int. J. Syst. Sei. -1990. -V. 21, № 2. P. 2553-2563.

46. Azaron, A. Optimal control of the service rates and arrivals in Jackson networks / A. Azaron, S.M. Ghomi // European Journal of Operational Research. -2003.-V. 147,№ l.-P. 17-31.

47. Azaron, A. Modelling complex assemblies as a queueing network for lead time control / A. Azaron, H. Katagiri, K. Kato, M. Sakawa // European Journal of Operational Research. 2006. - V. 174, № 1. - P. 150-168.

48. Baskett, F. Open, closed, and mixed networks of queues with different classes of customers / F. Baskett, K.M. Chandy, R.R. Müntz, F.G. Palacios // J. ACM. 1975. - V. 22, № 2. - P. 248-260.

49. Bonald, T. Insensitivity in processor-sharing networks / T. Bonald, A. Proutiere // Performance Evaluation. 2002. - V. 49, № 1-4. - P. 193-209.

50. Boucherie, R.J. A generalization of Norton's theorem for queueing networks / R.J. Boucherie, N.M. Van Dijk // Queueing Systems. 1993. - V. 13. -P. 251-289.

51. Bovopoulos, A.D. Optimal load balancing for markovian queueing networks / A.D. Bovopoulos, A.A. Lazar // 30th Midwest Symp. Circ. and Syst., Syracuse, N.Y., Aug. 17-18, 1987.-New York, 1988.-P. 1428-1432.

52. Bruell, S.C. Mean value analysis of mixed, multiple class BCMP networks with load dependent service stations / S.C. Bruell, G. Balbo, P.V. Afshari // Performance Evaluation. 1984. - V. 4. - P. 241-260.

53. Buzen, J.P. Computational algorithms for closed queueing networks with exponential servers / J.P. Buzen // Comm. ACM. 1973. - V. 16, № 9. -P. 527-531.

54. Chao, X. On generalized networks of queues with positive and negative arrivals / X. Chao, M. Pinedo // Probab. Engin. Inform. Sei. 1993. - V. 7, № 3. -P. 301-334.

55. Daduna, H. Individual customer's behaviour in networks with state-dependent arrival rates / H. Daduna, S. Meyer // Queueing Systems. 1999. -V. 32, №4.-P. 351-362.

56. Gelenbe, E. Product form queueing networks with positive and negative customers / E. Gelenbe // J. Appl. Probab. 1991. - V. 28. - P. 656-663.

57. Jackson, J.R. Jobshop-like queueing systems / J.R. Jackson // Manag. Sei. 1963. - V. 10, № 1. - P. 131-142.

58. Jackson, J.R. Networks of waiting lines / J.R. Jackson // Oper. Res. -1957. V. 5, № 4. - P. 518-521.

59. Jo, K.Y. A Lagrangian algorithm for computing the optimal service rates in Jackson queueing networks / K.Y. Jo // Computers Opns Res. — 1989. -V. 16, №5.-P. 431-440.

60. Jo, K.Y. Decomposition approximation of queueing-network control models with tree structures / K.Y. Jo // Ann. Oper. Res. 1987. — V. 8. — P. 117-132.

61. Korilis, Y.A. On the existence of equilibria in noncooperative optimal flow control / Y.A. Korilis, A.A. Lazar // J. ACM. 1995. - V. 42. - P. 584-613.

62. Korilis, Y.A. Achieving network optima using Stackelberg routing-strategies / Y.A. Korilis, A.A. Lazar, A. Orda // IEEE Transactions on Networking. 1997. - V. 5, № 1. - P. 161-173.

63. Lüh, H. Optimal selection of arrival and service rates in tandem queues / H. Lüh, M.S. Moustafa // IJOR. 2006. - № 1. - P. 1-6.

64. Ma, D.-J. A direct approach to decentralized control of service rates in a closed Jackson network / D.-J. Ma, X.-R. Cao // IEEE Transactions on Automatic Control. 1994. - V. 39, № 7. - P. 1460-1463.

65. Mandelbaum, A. Strong approximations for Markovian service networks / A. Mandelbaum, W.A. Massey, M.I. Reiman // Queueing Systems. -1998. — V. 30.-P. 149-201.

66. Mandelbaum, A. State-dependent stochastic networks, Part I: Approximations and applications with continuous diffusion limits / A. Mandelbaum, G. Pats // Ann. Appl. Probab. 1998. - Vol. 8(2). - P. 569-646.

67. Mitra, D. Asymptotic expansions for closed Markovian networks with state-dependent service rates / D. Mitra, J. McKenna // J. ACM. 1986. - V. 33, № 3. - P. 568-592.

68. Reiser, M. Mean-value analysis of closed multichain queueing networks / M. Reiser, S.S. Lavenberg // J. ACM. 1980. - V. 27, № 2. - P. 313-322.

69. Ridder, A.D. A linear programming problem in separable closed queueing networks / A.D. Ridder // IEEE Transaction on Automatic Control. -1989. V. 34, № 2. -P. 214-217.

70. Serfozo, R.F. Introduction to stochastic networks / R.F. Serfozo. New York: Springer-Verlag, 1999.-300 pp.

71. Shanthikumar, J.G. The effect of increasing service rates in a closed queueing networks / J.G. Shanthikumar, D.D. Yao // J. Appl. Prob. 1986. -V. 23.-P. 474-483.

72. Shanthikumar, J.G. Throughput bounds for closed queueing networks with queue-dependent service rates / J.G. Shanthikumar, D.D. Yao // Performance Evaluation. 1988. - V. 9. - P. 69-78.

73. Sobel, M.J. The optimality of full service policies / Sobel M.J. // Operations Research. 1982. - V. 30, № 4. - P. 636-649.

74. Tassiulas, L. Throughput properties of a queueing network with distributed dynamic routing and flow control / L. Tassiulas, A. Ephremides // Adv. Appl. Prob. 1996. - V. 28, № 1. - P. 285-307.

75. Veatch, M.H. Monotone control of queueing networks / M.H. Veatch, L.M. Wein // Queueing Syst. 1992. - V. 12. - P. 391-408.

76. Weber, R.R. Optimal control of service rates in networks of queues / R.R. Weber, S. Stidham // Adv. Appl. Prob. 1987. - V. 19. - P. 202-218.

77. Whitt, W. Open and closed models for networks of queues / W. Whitt // AT&T Bell Lab. Techn. J. 1984. - V. 63, № 9. - P. 1911-1979.

78. Yao, D.D. Decentralized control of service rates in a closed Jackson network / D.D. Yao, Z. Schechner // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1989.-V. 34.-P. 236-240.