Динамика железнодорожного пути с учетом волн в грунте тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. УСТАНОВИВШИЙСЯ ОТКЛИК ДВУХ- И ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ

СИСТЕМ НА РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩУЮСЯ НАГРУЗКУ.

1.1. Отклик мембраны на упругом основании.

1.2. Отклик вязко-упругого полупространства на движущуюся по его поверхности нормальную нагрузку.

Глава 2. БАЖА НА ВЯЗКО-УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ КАК

ПРИМЕР ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ РЕЛЬСОВОГО ПУТИ.

2.1. Эквивалентная динамическая жесткость вязко-упругого полупространства

2.2. Установившийся отклик структуры балка-полупространство на движущуюся нагрузку.

2.3. Сопротивление, испытываемое высокоскоростным поездом вследствие возбуждения волн в грунте.

Глава.З. БАЖА НА СЛОИСТОМ ВЯЗКО-УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

КАК МОДЕЛЬ БЕСШПАЖНОГО РЕЖСОВОГО ПУТИ.

3.3. Эквивалентная динамическая жесткость слоистого полупространства.

3.2. Установившийся отклик балки на упруго-вязком слое на движущуюся нагрузку.

Глава 4. БАЖА НА ДИСКРЕТНЫХ ОПОРАХ, УСТАНОВЛЕННЫХ НА

ВЯЗКО-УПРУГОМ СЛОЕ, КАК МОДЕЖ ОБЫЧНОГО РЕЖСОВОГО ПУТИ.

4.1. Эквивалентная динамическая жесткость вязкоупругого слоя для шпал.

4.2. Установившийся отклик балки на набор движущихся нагрузок.

4.3. Сравнение откликов трехмерной и одномерной модели обычного рельсового пути.

Глава.5. СХОД С РЕЖСОВ ВАГОНА ДЛИННОГО ГРУЗОВОГО ПОЕЗДА:

ЛОКОМОТИВНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ СХОДА - ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ.

5.1. Возбуждение упругих волн в рельсах равномерно движущейся по рельсам нагрузкой. Спектр излучения в удаленной движущейся точке.

5.2. Излучение упругих волн в рельс нагрузкой, «прыгающей» по шпалам. Спектр излучения в удаленной движущейся точке. Сравнение с предыдущим случаем.

5.3. Сравнение экспериментальных результатов и теоретических прогнозов.

Основные результаты диссертации.

Диссертационная работа посвящена исследованию динамического отклика трехмерных моделей рельсового пути на равномерно и прямолинейно движущуюся постоянную нагрузку.

Актуальность проблемы обусловлена необходимостью учета волновых процессов в грунте при исследовании динамики железнодорожного пути, взаимодействующего с современными скоростными поездами.

Бурное развитие высокоскоростного железнодорожного наземного транспорта в последние десять лет определило повышенный интерес к созданию моделей, адекватно описывающих динамические процессы, возникающие под действием поездов, как в самом железнодорожном полотне, так и в окружающем его грунте. Как показывает практика, наиболее полно и корректно динамику железнодорожного полотна описывают трехмерные модели, состоящие из вязкоупругого полупространства (слоя, слоистого полупространства) и упругой направляющей, взаимодействующей с ним либо через дискретные опоры (шпалы), либо непосредственно.

Успехи, достигнутые в последнее время в разработке трехмерных моделей рельсового пути, связаны, главным образом, с исследованием простейших моделей, где путь моделируется однородной распределенной системой, а грунт - упругим полупространством. Исследователи фокусируют свое внимание в основном на вопросах, посвященных динамическому отклику таких трехмерных систем на движущуюся нагрузку и спектру вибраций, генерируемых в грунте. В постановке этих задач не учитываются такие важные факторы, как периодический (шпальный) характер пути, практически не исследованы вопросы о влиянии граничных условий в контакте «полотно-грунт» и о влиянии вязкости в грунте.

Кроме того, как показывает практика, современные высокоскоростные поезда способны двигаться со скоростями, превышающими скорость распространения поверхностных волн в грунте. Это приводит к генерации волн в железнодорожном полотне и в грунте, которые потребляют значительную часть энергии локомотива. Поэтому встает вопрос об энергозатратах на поддержание равномерного движения поезда.

Состояние вопроса. До последнего времени, а точнее, до середины 90-ых годов, при расчете рельсового пути исследователи использовали главным образом одномерные модели рельсового пути.

Одной из первых работ, где был рассмотрен отклик одномерной системы на движущуюся нагрузку, является работа Д. Ахенбаха [12], который рассмотрел динамический отклик одномерной балки Тимошенко, лежащей на упругом основании. В 1970 году А.П. Филиппов [9], а затем и Л. Фриба [21] опубликовали свои монографии, посвященные анализу таких систем.

Позднее исследователи начали рассматривать более сложные периодически неоднородные системы, учитывающие шпальную структуру пути. В 1981 году Л. Жезекюль [25] опубликовал работу, где впервые был рассмотрен отклик балки, лежащей на периодических эквидистантных опорах, на движение нагрузки. После этого было проведено большое количество исследований, посвященных анализу как континуальных, так и периодических одномерных систем.

Особо следует выделить в этом ряде работ публикации Р. Богача, Т. Кржизин-ского и К. Поппа [15,16], а также работу П.М. Белоцерковского [14].

С середины 90-ых годов начались массированные исследования трехмерных моделей железнодорожного полотна, что было обусловлено бурным развитием высокоскоростного железнодорожного транспорта. Как оказалось, поверхностные волны в грунте, возбуждаемые такими поездами, оказывают существенное влияние на динамику состава, и одномерные модели показали себя несостоятельными при описании движения поездов на больших скоростях.

До этого были проведены лишь единичные исследования трехмерных моделей рельсового пути. В 1966 году Д. Лансинг [31] опубликовал работу, посвященную движению точечной нагрузки по поверхности упругого полупространства, и еще раньше, в 1961 году, А.П. Филиппов [9] рассмотрел отклик балки Бернулли-Эйлера, лежащей на упругом полупространстве, на равномерно движущуюся нагрузку. А.П. Филиппов, в частности, показал, что отклик балки существенно возрастает, если скорость нагрузки приближается к скорости распространения волн Рэлея в грунте. В 1975 году Д. Лабра [30] продемонстрировал, что возрастание отклика может иметь место и при более низких скоростях, если учесть осевые напряжения в рельсах, связанные с температурным расширением.

В последнее время исследования в этом направлении заметно активизировались, и за последние 5-6 лет был опубликован целый ряд статей, где рассматривались различные трехмерные модели рельсового пути [18,19,23,29,36,38,39,40]. Особо следует отметить обзор по известным к тому времени моделям железнодорожного полотна К. Кноте [57], опубликованный в 1999 году.

В настоящий момент модели рельсового пути включают в себя рельсы, описываемые балкой (балками), шпалы и балласт, которые описываются как распределенные под балкой системы, и грунт, который моделируется в общем случае слоистым полупространством.

Однако, до сих пор не рассмотрен отклик трехмерной модели, где бы учитывался дискретный характер шпал, не изучено влияние граничных условий в контакте «путь-грунт», практически не исследован вопрос о влиянии вязкости в грунте. Остается открытым вопрос об энергозатратах поезда на поддержание равномерного движения в случае, когда скорость поезда близка или превышает скорость рэлеевских волн в грунте.

Данная диссертация призвана заполнить собой данные пробелы.

Работа имеет следующие цели: изучение влияния вязкости в грунте на отклик рельсового пути на движущуюся нагрузку;

- исследования энергозатрат поезда, связанных с возбуждением волн в рельсовом пути и окружающем путь грунте;

- анализ динамического отклика трехмерной модели рельсового пути, учитывающей дискретность шпальной структуры; изучение возможности идентификации схода вагона с рельс по спектральным характеристикам волн в рельсах.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Исследован отклик вязко-упругих двух- и трехмерных систем на движущуюся нагрузку.

2. Проанализированы энергозатраты источника, поддерживающего равномерное движение нагрузки по трехмерным вязко-упругим системам.

3. Разработан метод расчета динамического отклика трехмерной модели рельсового пути, учитывающей дискретность шпальной структуры, на движущуюся нагрузку

4. Исследован спектр излучения нагрузки, движущейся по периодически неоднородной конструкции.

Практическое значение работы. Результаты исследований, проведенных в диссертации, могут быть использованы в инженерной практике: при оценке уровня вибраций железнодорожного полотна и окружающего его грунта; при оценке упругого сопротивления движению высокоскоростных поездов; при локомотивной регистрации схода с рельсов вагона грузового поезда.

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, которые приведены в списке литературы под номерами [13-16,71,72,81,82].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав и заключения ( 129 страниц основного текста, сопровождаемого 66 рисунками и списком литературы из 89 наименований).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Исследован установившийся отклик трехмерных вязко-упругих моделей рельсового пути на равномерно движущуюся по ним нагрузку. Показано, что при анализе движения поездов со скоростями, сравнимыми со скоростью поверхностных волн в грунте, учет трехмерности грунта необходим.

2. Изучено влияние слоистости грунта и дискретности контакта «путь-грунт» на динамический отклик железнодорожного полотна на движущуюся нагрузку. Показано, что слоистость грунта приводит к повышению критической скорости поезда. Амплитуда смещения рельсового пути при критических скоростях движения поезда также сильно зависит от структуры грунта. При учете шпальной структуры пути, приводящей к дискретности контакта «путь-грунт», динамическое поведение системы при критических скоростях движения поезда оказывается гораздо более чувствительным к вязкостным характеристикам пути, чем в случае континуального контакта.

3. Проанализированы энергозатраты источника (двигателя локомотива), поддерживающего равномерное движение поезда по рельсовому пути. Показано, что эти энергозатраты, возникающие вследствие вязкости грунта и возбуждения волн в грунте, могут быть сравнимы с потерями мощности на преодоление аэродинамического сопротивления движению поезда.

4. Исследована задача о возможности регистрации схода вагона грузового поезда с рельс по отклику железнодорожного полотна, измеряемого под тележкой локомотива. С целью решения задачи изучено различие в спектре излучения, генерируемого нагрузкой, движущемся по рельсам, и нагрузкой, «скачущей» по шпалам. Показано, что различие имеет место на частотах, близких к собственной частоте колебаний шпал и может быть зарегистрировано на расстоянии, не превышающем 200 м.

1. Блохин Е.П., Манашкин Л. А., Динамика поезда, Москва, «Транспорт» (1982).

2. Вершинский C.B., Продольная динамит вагонов в грузовых поездах, Москва, Трансжелдориздат (1957).

3. Вершинский C.B., Данилов В.Н., Хусидов В.Д., Динамика вагона, Москва, «Транспорт» (1991).

4. Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е., Уткин Г.А., Волновые процессы в одномерных механических системах с движущимися вдоль них объектами, Учебное пособие, Нижний Новгород, Издательтво ННГУ (1998).

5. Весницкий А.И., Кононов A.B., Метрикин A.B., "Переходное излучение в двумерных упругих системах", Прикладная механика и техническая физика 3, 170179 (1995).

6. Весницкий А.И., Метрикин A.B., "Переходное излучение в одномерных упругих системах", Прикладная механика и техническая физика 2, 62-67 (1992).

7. Весницкий А.И., Метрикин A.B., "Излучение, возникающее при равномерном движении объекта по случайно-неоднородной упругой системе", Прикладная механика 28, 46-50 (1992).

8. Весницкий А.И., Метрикин A.B., "Переходное излучение в периодически -неоднородной упругой направляющей", Известия РАН. Механика твердого тела б, 164-168 (1993).

9. Весницкий А.И., Метрикин A.B., "Переходное излучение в механике", Успехи Физических Наук 166(10), 1043-1068 (1996).

10. Huôpaifuu в технике. Колебания линейных систем. Т.1, Справочник под редакцией В.В. Болотина, Москва, Машиностроение (1978).

11. Виноградова М.Б., Руденко О В., Сухоруков А.П., Теория волн, Москва, Наука (1979).

12. Волков Е.А., Численные методы, Москва, «Наука» (1987).

13. Вострухов A.B., "К проблеме энергозатрат источника, поддерживающего равномерное движение нагрузки по мембране на упругом основании 15-я международная конференция "Гагаринские чтения", Тезисы докладов, Москва, Россия, Т. 2, С. 907, 6-10 апреля 1999.

14. Вострухов A.B., Метрикин A.B., "К вопросу о работе силы, обеспечивающей равномерное движение объекта вдоль двумерной упругой системы", Испытания материалов и конструкций: Сб. научных трудов Нф ИМАШ РАН, Нижний Новгород, С. 241-247 (2000).

15. Вострухов A.B., Метрикин A.B., "Энергозатраты источника, поддерживающего равномерное движение нагрузки по мембране на упругом основании", Акустический журнал Т.46(2), С. 177-181 (2000).

16. Грачева JI.O., Хамоев А.Д., Мартынюк A.B., "Сходы вагонов с рельсов: причины и способы их предотвращенияЖелезнодорожный транспорт, №1, С. 40-43 (1996).

17. Данилов В.Н., Железнодорожный путь и его взаимодействие с подвижным составом, Москва, Издательско-полиграфическое объединение МПС (1961).

18. Денисов Г.Г., Новиков В.В., Кугушева Е.К., "К задаче об устойчивости одномерных безграничных систем", Прикладная математика и механика 49, 691-696 (1985).

19. Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Москва, «Наука» (1971).

20. Крысов C.B., Вынужденные колебания и резонанс в упругих системах с движущимися нагрузками, Учебное пособие, Горький, Издательство ГГУ (1985).

21. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Методы теории функций комплексного переменного, Москва, «Наука» (1973).

22. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Краткий курс теоретической физики. Электродинамика сплошных сред, Москва, Наука (1982).

23. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Краткий курс теоретической физики. Механика, Москва, «Наука» (1988).

24. Лепендин Л.Ф., Акустика, Москва, «Высшая школа» (1978).

25. Лысюк B.C., Причины и механизм схода колеса с рельса. Проблема износа колес и рельсов, Москва, «Транспорт» (1997).

26. Метрикин A.B., "Неустойчивость поперечных колебаний объекта, равномерно движущегося вдоль упругой направляющей как следствие Аномального эффекта Доплера", Акустический оюуриал 40(1), 99-103 (1994).

27. Работнов Ю.Н., Механика деформируемого твердого тела, Москва, «Наука» (1988).

28. Расчеты и испытания тяжеловесных поездов, Под редакцией Е.П. Блохина, Москва, «Транспорт» (1986).

29. Тимошенко С.П., Колебания в инженерном деле, Москва, Наука (1967).

30. Филиппов А.П., "Установившиеся вибрации бесконечной балки на упругом полупространстве под действием движущейся нагрузки", Известия АН СССР ОТН Механика и Машиностроение 6, 97-105 (1961)

31. Филиппов А.В., Колебания деформируемых систем, Москва, Машиностроение (1970)

32. Abramowitz, М., Stegun, I.A., Handbook of mathematical functions; with formulas, graphs, and mathematical tables. Dover, New York (1970)

33. Achenbach J.D., Wave propagation in elastic solids, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-London (1973).

34. Achenbach J.D., Sun C.T., "Moving load on a flexible supported Timoshenko beam", International Journal of Solid and Structures 1, 353-370 (1965).

35. Belotserkovskiy P.M. "High-frequency vertical vibrations of a rail under the action of a mobile harmonic force", Mechanics of Solids V.30(3), 177-185 (1995).

36. Belotserkovskiy P.M., "On the oscillations of infinite periodic beams subjected to a moving concentrated force", Journal of Sound and Vibration 193(3), 706-712 (1996).

37. Belotserkovskiy P.M. "Periodic string response to an impact and a suddenly applied concentrated stationary force", Journal of Sound and Vibration 228(1) 51-68 NOV 18 (1999).

38. Bogacz R., Krzyzinski T. and Popp K., "On the group-phase velocities relations for continuous systems under moving loads", ZAMM 70(4), T202-T203 (1990).

39. Bogacz R., Krzyzinski T. and Popp K., "On dynamics of systems modeling continuous and periodic guideways", Archives of Mechanics 45(5), 575-593 (1993).

40. Cheng Y.S., Au F.T.K., Cheung Y.K., Zheng D.Y. "On the separation between moving vehicle and bridge", Journal of Sound and Vibration 222(5) 781 -801 MAY 20 (1999)

41. Dieterman H.A. "Critical velocities of moving loads on soft soil", Report of Delft University N 03.21.0.22.23, April (1995).

42. Dieterman H. A., Metrikine A.V., "The equivalent stiffness of a half-space interacting with a beam. Critical velocities of a moving load along the beam", European Journal of Mechanics A/Solids 15(1), 67-90 (1996).

43. Dieterman H.A., Metrikine A.V., "Critical velocities of a harmonic load moving uniformly along an elastic layer", Trans. ASMEJ. of Applied Mechanics 64, 596-600 (1997).

44. Dieterman H.A. and Metrikine A.V., "Steady-state displacements of a beam on an elastic half-space due to a uniformly moving constant load", European Journal of Mechanics A/Solids 16(2), 295-306 (1997).

45. Esveld C., Modern railway track, MRT-Productions, W.Germany (1989).

46. Felszeghy S.F. "The Timoshenko beam on an elastic foundation and subject to a moving step load", Journal Vib Acoust 118(3) 277-284 JUL (1996)

47. Fryba L., Vibrations of Solids and Structures Under Moving Loads, NoordhofF International Publishing, Groningen (1972).

48. Fuchs B.A., Shabat B.V., Berry J., Functions of complex variables and some of their applications, Oxford, Pergamon (1964)

49. Grundmann, H., Lieb, M., Trommer, E., "The response of a layered half-space to traffic loads moving along its surface". Arch. Appl. Mech. 69(1), 55-67 (1999).

50. Hunaidi M.O., P.A. Chen, J.H. Rainer, Tremblay M. "Shear moduli and damping in frozen clay by resonant column tests", Canadian Geotech. Journal 33, 510-514 (1996)

51. Jezequel L., "Analysis of critical speeds of a moving load on an infinite periodically supported beam", Journal of Sound and Vibration 73(4), 606-610 (1980).

52. Jezequel L., "Response of periodic systems to a moving load", ASME Journal of Applied Mechanics 48(3), 603-618 (1981).

53. Kaunia M., Madhus C., Zackrisson P., "Ground vibration from high-speed trains: prediction and counermeasure", J GEOTECH GEOENVIRON 126: (6) 531-537 JUN2000)

54. Kerr A.D "On the determination of the rail support modulus K", International Journal of Solid and Structures 37(32% 4335-4351 AUG (2000).

55. Kim, D.S., Lee J.S., "Source and attenuation characteristics of various ground vibrations". Geoiechnical Special Publication (2), ASCE, Reston, VA, USA, 1507-1517 (1998).

56. Knothe K. "Gleisdynamik und Wechselwirkung zwischen Fahrzeug and Fahrweg", Z ANGEWMATHMECH 79(11) 723-737 (1999).

57. Kononov A.V., Dieterman H.A., "The elastic field generated by two loads moving along two strings on an elastically supported membrane", Journal of Sound and Vibration, 214(4), 725-746(1998).

58. Kononov A. V., Wolfert A.R.M, "Load motion along a beam on a viscoelastic half-space", European Journal of Mechanics and Solid, 19, 361-371 (2000).

59. Kruse H., Metrikine A.V. and Popp K. "Eigenfrequencies of a two-mass oscillator uniformly moving along a string on a visco-elastic foundation" Journal of Sound and Vibration 218(1), 103-116 (1998)

60. Krylov, V.V., "Generation of ground vibrations by superfast trains". Applied. Acoustics 44(2), 149-164(1995).

61. Krzyzynski T. "On dynamics of a railway track modelled as a two-dimensional periodic structure", HEAVY VEH SYST 6(1-4), 330-344 (1999).

62. Labra J.J., "An axially stressed railroad track on an elastic continuum subjected to a moving load", ActaMechanica 22, 113-129 (1975).

63. Lamb H., "On the Propagation of Tremors Over the Surface of an Elastic Solid", Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. a, Vol. CCIII, No. 1, 1-42 (1904).

64. Lansing, D.L., "The displacements in an elastic half-space due to a moving concentrated normal load". NASA technical report, TRR-238 (1966).

65. Lee H.P., "Dynamic response of a Timoshenko Beam on a Winkler foundation subjected to a moving mass", APPL ACOUST55(3) 203-215 NOV (1998).

66. Metrikine, A.V., Dieterman H.A., "Three-dimensional vibrations of a beam on an elastic half-space: resonance interaction of vertical-longitudinal and lateral beam waves". Trans. ASMEJ. of Applied Mechanics 64, 951-956 (1997)

67. Metrikine A.V., Dieterman H.A., "Lateral vibrations of an axially compressed beam on an elastic half-space due to a moving lateral load.", ", European Journal of Mechanics A/Solids 18, 147-158 (1999)

68. Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "The equivalent vertical stiffness of an elastic halfspace interacting with a beam, including the shear stresses at the beam half-space interface", European Journal of Mechanics A/Solids 16(3), 515-527 (1997).

69. Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "Instability of vibrations of a mass moving uniformly along an axially compressed beam on a viscoelastic foundation", Journal of Sound and Vibration 201(5), 567-576 (1997).

70. Metrikine A.V. and Popp K., " Vibration of a periodically supported beam on an elastic half-space ", European Journal of Mechanics A/Solids 18(4), 679-701 (1999).

71. Metrikine A.V. and Popp K., "Instability of vibrations of an oscillator moving along a beam on an elastic half-space", European Journal of Mechanics A/Solids 18(2), 331-349 (1999).

72. Metrikine A.V., Vostroukhov A.V., Vrouwenvelder A.C.W.M., "Drag experienced by a high-speed train due to excitation of ground vibrations ", International Journal of Solid and Structures, (accepted).

73. Metrikine A.V., Wolfert A.R.M. and Dieterman H.A., "Transitional radiation in an elastically supported string. Abrupt and smooth variation of the support stiffness", Wave motion 27, 291-305 (1998).

74. Miklowitz J., The Theory of Elastic Waves and Waveguides, NHPC, Amsterdam (1978).

75. Nordborg A., "Rail/wheel parametric excitation: Laboratory and field measurements", ACUSTICA 85(3), 355-365 MAY-JUN (1999).

76. Popp, K., Kruse, H., Kaiser, I., "Vehicle-track dynamics in the mid-frequency range". Vehicle Syst. Dyn. 31(5-6), 423-464 (1999).

77. Sheng, X., Jones, C.J.C., Petyt, M., "Ground vibration generated by a harmonic load acting on a railway track". J. Sound and Vibration 225(1), 2-28 (1999).

78. Sheng, X., Jones, C.J.C., Petyt, M., "Ground vibration generated by a load moving along a railway track". J. Sound and Vibration 228(1), 129-156 (1999).

79. Suiker A.S.J., deBorst R., Esveld C., "Critical behaviour of a Timoshenko beam-half plane system under a moving load", ARCHAPPLMECH 68(3-4), 158-168 APR (1998).

80. Vestnitskii A.I. and Metrikine A.V., "Transient radiation in a periodically non-uniform guide", Mechanics of Solids, 28, P. 158-162 (1993).

81. Vostrukhov A.V., "Work provided by a source maintaining a uniform motion of a load over a surface of a half-space and an elastically supported membrane", Proceedings of

82. Third Scientific Conference on Radiophysics, Nizhny Novgorod, Russia, May 4-7, 1999, P. 273-274.

83. Vostrukhov A.V., Metrikine A.V., Vrouwenvelder A.C.W.M., "Energy Loss of a Highspeed Train Due to Elastic Wave Radiation", Proceedings of conference "Actual Problems in Mechanics", S. Petersburg, June 1-10, 2000, P. 1-14.

84. Vrettos Ch., "In-plane vibrations of soil deposits with variable shear modulus: 1. Surface waves", International journalfor numerical and analytical methods in geomechanics V.14, 209-222 (1990).

85. Wolfert A.R.M., Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "Wave radiation in a one-dimensional system due to a non-uniformly moving constant load". Wave Motion 24(2), 185-196(1996).

86. Wolfert A.R.M., Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "Passing through the 'Elastic Wave Barrier' by a Load Moving along a Waveguide", Journal of Sound and Vibration 203(4), 597-606 (1997).

87. Zheng D.Y., Au F.T.K., Y.K. Cheung, "Vibration of vehicle on compressed rail on viscoelastic foundation", JENG MECH-ASCE 126(11), 1141-1147 NOV (2000).1. K«CC:iv;?-4aS Г'О ■f076- 6 •• СЯ