Динамика змееподобных и вибрационных роботов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Сорокин Константин Сергеевич

Динамика змееподобных и вибрационных

роботов

01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□034Ьаэ-£ ¡-

Москва - 2009

003489521

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (Государственном университете) на кафедре механики и процессов управления (базовая кафедра ИПМех РАН).

Научный руководитель: ' академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Чсрноусько Феликс Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мартыненко Юрий Григорьевич

Защита состоится 21 января 2010 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.240.01 при Учреждении Российской академии наук Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, расположенном по адресу: 119526, Москва, пр. Вернадского, д. 101, корп. 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМех РАН.

Автореферат разослан 17 декабря 2009 г.

доктор физико-математических наук, Ковалева Агнесса Соломоновна

Ведущая организация: Нижегородский государственный универси-

тет им. Н. И. Лобачевского

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002.240.01 при ИПМех РАН, кандидат физико-математических наук

Сысоева Е. Я.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению динамики змееподобных и вибрационных роботов. Исследовалась динамика движения по шероховатой поверхности трёхзвенного мобильного робота, способного перемещаться за счёт изменения своей геометрической конфигурации, а также вибрационных роботов, которые приводятся в движение внутренними дебалансными вибровозбудителями. Между роботами и поверхностью, по которой они перемещаются, действует сухое кулоновское трение.

Актуальность работы. Интерес исследователей к динамике мобильных роботов, использующих способы перемещения, отличные от традиционного движения на колёсах или гусеницах, обусловлен расширением круга задач, которые ставятся перед ними. В узких щелях, трубах, при движении по пересечённой местности могут найти применение змееподобные роботы. Для перемещения в сложных (вязких, сыпучих) средах целесообразно применение вибрационных роботов. Вибророботы не нуждаются во внешних движителях, их можно конструктивно выполнять в виде запаянных капсул, и потому они могут быть очень устойчивыми к агрессивному воздействию внешней среды.

Специалистов в области механики и биомеханики давно интересовал способ перемещения змей и других животных, не имеющих конечностей и передвигающихся только за счёт изменения геометрической конфигурации, сохраняя при этом постоянный контакт тела с подстилающей поверхностью. В работах М. А. Лаврентьева и M. М. Лаврентьева1 рассматривались движения змей в изогнутых трубах. Змееподобные движения при наличии препятствий исследовались в работах S. Hirose2, а также J.W. Burdick и G. S. Chirikjan, которые, кроме того, сконструировали и исследовали многозвенный змееподобный неголономный робот3. Большой вклад в исследование многозвенных змееподобных механизмов внёс Ф. Л. Черноусько, предложивший способы квазистатического перемещения многозвенников на плоскости с количе-

1 Лаврг.итъе.а M. А., Лаврентьев М.М. Об одном принципе создания тягоиой силы диижоиия // Журнал прикладной механики и технической физики. 1962. N 4. Стр. 3-9.

2 Hirose S. Biologically Inspired Robots: Snake-like Locomotors and Manipulators 11 Oxford: Oxford Univ. Press, 1993. 220 p.

3 Burdick J. И'., Radford J.t Chirikjan G. S. A "sidewinding" locomotion gait for hyper-redundant robots // Proc. 1993 ШИВ Intern. Conf. on Robotics and Automation. Atlanta, 1993. Vol. 3. P. 101-10«.

ством звеньев, большим трёх4, а также разработавший способы перемещения двух- и трёхзвенников с помощью сочетания быстрых и медленных фаз движения. Исследования многозвенников на плоскости также развивались в работах А. С. Смышляева, Т. Ю. Фигуриной, J. Gray, A. Morishima и других.

К другому типу роботов — классу вибрационных роботов — можно отнести механизмы, состоящие из корпуса и внутренних подвижных масс, управляя перемещением которых можно управлять реакцией внешней среды на корпус механизма, обеспечивая его движение в требуемом направлении. Существенный вклад в исследование динамики такого рода механизмов внесли Н. Н. Болотник, И. М. Зейдис, Т. Ю. Фигурина, Ф. JI. Черноусько, К. Циммерманн, С. Ф. Яцун, A. Fidlin, К. Furuta, Н. Li, J. J. Thomsen и многие другие. Ф. JI. Черноусько исследовал динамику прямолинейного движения по горизонтальной поверхности тела с подвижной внутренней массой, перемещающейся вдоль прямой, параллельной линии движения тела, построил5 периодические режимы управления движением внутренней массы, им найдены оптимальные параметры этих режимов, при которых средняя скорость корпуса максимальна. Динамика вибрационного робота, перемещение которого по горизонтальной плоскости возбуждается гармоническим движением внутренних тел в горизонтальном и вертикальном направлениях с одинаковой частотой, но со сдвигом фаз, исследована Н. Н. Болотником, И. М. Зейдисом, К. Циммерманном и С. Ф. Яцуном6. Они показали, что управляя сдвигом фаз и частотой колебаний внутренних тел, можно управлять средней скоростью корпуса механизма по направлению и величине.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании динамики змееподобных трёхзвенных механизмов и вибрационных роботов с одним или тремя дебалансными вибровозбудителями путём создания математических моделей таких роботов, их натурных образцов, проведения с последними экспериментов для верификации и уточнения применяемых математических моделей.

4 Черноусько Ф. Л. Волнообразные движения многозвенника по горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2000. Т.64, Вып. 4 С. 518-531.

J Черноусько Ф. JI. Анализ и оптимизация движения тела, управляемого посредством недвижной внутренней массы // ПММ. 2006. Т. ТО. С. 915-941.

6 Болотник Я, Я., Зейдис И. М., Циммерманн К., Яцун С. Ф. Динамика управляемых движений вибрационных систем // Известия РАИ. Теория и системы управления. 200(5. №5. С. 157-167.

Методы исследования. В диссертации используются методы теоретической механики, метод осреднения уравнений движения, численные методы, экспериментальные методы механики.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

Автором проведено экспериментальное исследование трёхзвенных мобильных роботов, принцип движения которых основан на чередовании быстрых и медленных фаз. Исследована зависимость перемещения робота за цикл элементарных движений от максимального угла отклонения боковых звеньев по отношению к корпусу, от отношения масс концевых узлов к массам центральных узлов, от отношения длин концевых звеньев к длине корпуса. Выяснилось, что экспериментальные данные для движений трёхзвешшка довольно сильно отличаются количественно, а в некоторых опытах и качественно от теоретических расчетов по идеальной модели, в которой быстрая фаза предполагалась мгновенной. С целью выяснения, что играет ключевую роль в этих расхождениях, автором диссертации проинтегрированы уравнения движения трёхзвенника в поперечном направлении без использования предположения о иренебрежимой малости влияния сил трения в быстрой фазе. Численное моделирование показало хорошее количественное и качественное согласие с экспериментом. Таким образом, доказано, что основной вклад в рассогласование теории и эксперимента вносит сила трения, действием которой нельзя пренебрегать при той длительности быстрых фаз, которую удалось достичь в эксперименте.

Разработан способ перемещений трёхзвенного мобильного робота с последовательным соединением звеньев по шероховатой поверхности, используя только медленные фазы (квазистатические перемещения). Доказано, что предложенная схема в принципе осуществима, и приведены выражения для определения параметров механизма, при которых данная схема движений возможна.

Рассмотрена задача о движении робота с двумя внутренними массами, колеблющимися по гармоническому закону, но наклонной плоскости при малом трении. Доказано, что движение вверх но наклонной плоскости осуществимо и приведены условия, когда это возможно. Исследованы зависимости скорости движения от частоты и фаз колебаний внутренних масс, угла наклона и других параметров.

Проведена серия экспериментов с моделью вибрационного робота с де-балансным вибровозбудителем. Установлено, что зависимость скорости движения от частоты вращения ротора качественно совпадает в эксперименте и в теоретической модели, использующей метод осреднения уравнений движения. Исследовано движение натурной модели вибрационного робота, использующего для перемещения вибровозбудитель, действующий под углом к подстилающей поверхности. Получены зависимости скорости такого механизма от частоты вращения роторов вибровозбудителя и угла наклона его линии действия к поверхности.

Практическая значимость полученных результатов главным образом состоит в проработке способов перемещений змееподобных и вибрационных роботов, о преимуществах которых по сравнению с традиционными способами движения говорилось выше. Автором диссертации разработан способ перемещения трёхзвенника с использованием только медленных движений, это позволяет снизить требование к двигателям и системе управления робота, упростить его конструкцию. Изучение модели вибрационного робота при движении но наклонной плоскости позволило доказать, что робот, использующий внутренние гармонически осциллирующие массы, способен перемещаться вверх по наклонной шероховатой поверхности. В диссертации приведены критерии для определения, возможно ли движение механизма вверх, выведены формулы для оценки скорости такого перемещения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на VII всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» в ННГУ им. Н. И.Лобачевского в 2005 г.; на ХЬУШ научной конференции МФТИ (ГУ) в 2005 г.; на IX всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в ННГУ им. Н.И.Лобачевского в 2006 г.; на международной конференции «Управление динамическими системами» в Институте проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН в 2009 г.; на 52-й научной конференции МФТИ(ГУ) в 2009 г; на семинаре «Теория управления и динамика систем» Института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН в июле 2009 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 4 статьи в реферируемых журналах из перечня ВАК [1-4] и 4 публикации в сборниках трудов конференций.

Личный вклад автора заключается в самостоятельном получении всех результатов диссертации, за исключением экспериментальных исследований, проведённых совместно с Н. А. Соболевым. Основные результаты диссертации являются новыми, и они опубликованы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 97 страниц. Библиографический список содержит 33 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемой задачи, даётся обзор литературы по теме диссертации, формулируется цель работы, в сжатом виде излагается содержание всех глав.

Первая глава диссертации посвящена исследованию динамики трёх-звенного шарнирного механизма, способного передвигаться но плоской горизонтальной поверхности за счёт изменения геометрической конфигурации. Глава состоит из шести разделов.

В разделах 1.1—1.3 представлена механическая модель трёхзвенника и описывается принцип движения на основе чередования быстрых и медленных фаз, разработанный Ф. Л. Черноусько7, приводятся некоторые результаты его работ.

Движения трёхзвенника строятся как комбинации более простых движений, которые называются элементарными. Элементарные движения начинаются из состояния покоя и заканчиваются также в состоянии покоя. Они бывают двух видов: быстрые и медленные. Во время медленных движений корпус механизма неподвижен, а одно или два боковых звена движутся, изменяя положение центра масс. Во время быстрых движений полагается, что моменты сил трения существенно меньше управляющих моментов двигателей, поэтому влиянием сил трения можно пренебречь. Центр масс робота в этом случае остаётся в покое, а корпус движется. В работах Ф. Л. Черноусько показано, что робот может перейти из любого заданного положения на плоскости в другое требуемое положение, если использовать следующие три вида

7 Черноусько Ф. Л. О движении трёхзвенника по горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, Выи. 4 С. 15-20.

• - центр масс С трсхчвенника

л-Нг3—^—°—°-"х °

г

~7>~ 2

М О Г' о о о ]

3

X

м"0"^-Г

с

&

с",

6 о "о -

с

X 5=1

Рис. 1. Продольное движение

Л» V*

о-^о—¿—о-^-о

Рис. 2. Поворот на месте

V* V*

м

Рис. 3. Боковое (поперечное) движение

движений, составленных из набора элементарных: продольное (рис. 1), вращение на месте (рис. 2), боковое (рис. 3). На рисунках введены обозначения: М — медленное движение, Б — быстрое, а • — центр масс С трёхзвенника.

В разделе 1.4 изложены результаты экспериментального исследования трёхзвенного робота (рис. 4), реализующего указанный выше принцип движения.

Получены зависимости перемещения робота за цикл элементарных движений от максимального угла отклонения боковых звеньев от корпуса (амплитуды отклонения), отношения масс концевых звеньев к центральным, отношения длины боковых звеньев к длине корпуса (рис. 5, 6, 7). Буквами «Т», «Э» обозначены соответственно, результаты рассмотрения идеальной

Рис. 4. ТрёхзвенныЙ ползающий робот

Рис. 5. Зависимость перемещения от Рис. 6. Зависимость перемещения

максимального угла отклонения боко- от отношения масс концевых и цен-

вых звеньев тральных узлов

теоретической модели и экспериментальные данные. Для каждого измерения выполнялось по 10 циклов движений. Для каждой измеряемой точки проводилось по пять экспериментов. Перемещение ДУ = 10Ду вычислялось, как средняя величина результатов, полученных в пяти экспериментах. Для наглядности укажем, что длина корпуса робота составляла 32.5 см.

Из рисунков видно, что экспериментальные данные существенно отличаются от результатов рассмотрения простой механической модели количественно и в некоторых случаях качественно. Однако возможность использования концепции быстрых и медленных фаз для реальных роботов была успешно подтверждена. В разделе 1.5 предпринята попытка определить причину

Рис. 7. Зависимость перемещения от отношения длин концевых звеньев к корпусу

рассогласованности теории и эксперимента. Для этого было выполнено численное моделирование поперечного движения трёхзвенника. Его результаты изображены на рис. 5, 6, 7 (обозначены буквой «Ч»). Таким образом, показано, что основным источником расхождений является влияние силы трения на движение робота в быстрых фазах. Мощность управляющих двигателей оказалась недостаточной, чтобы обеспечить очень малую длительность быстрых фаз, поэтому введённая в первой части концепция оказалась ограниченно применимой для данного конкретного трёхзвенного робота. Дополнительным результатом явилось создание модели для численных расчётов, которая показывает очень хорошую согласованность с экспериментом, поэтому её целесообразно использовать при проектировании роботов, снижая риски ошибок конструирования.

Раздел 1.6 посвящен исследованию квазистатического перемещения трёхзвенного робота с последовательным соединением звеньев на горизонтальной плоскости. Преимущество только медленных движений перед сочетанием быстрых и медленных фаз заключается в возможности значительного снижения требований к мощности управляющих двигателей, а также к системе управления механизмом. Выше было показано, что эти требования достаточно высоки, поэтому разработка способов движения с использованием

только медленных фаз диктуется прежде всего практическими соображениями при конструировании роботов.

Рассмотрим механическую модель трехзвенника (рис. 8), представленную четырьмя точечными массами, соединёнными тремя невесомыми, абсолютно твёрдыми стержнями С1О1, О1О2, С\0\, С^Ог- Звено 0\0ч является центральным (корпус), а звенья С1О1 и С^Оч — концевыми или боковыми. В узлах 01 и О2 расположены управляющие двигатели. Направим ось ОХ вдоль корпуса, а ось ОУ — перпендикулярно ему. Начало координат разместим в точке 0\. Углы между звеньями C¿C,¿ и корпусом отмеряются по часовой стрелке от оси ОУ и равны а,, где г = 1,2. Длину корпуса обозначим через Ъ, а длины боковых звеньев — через I. Массы центральных узлов 0\ и Ог равны то, а концевых — гпх.

г

V

У—/ I.....I—/

Рис. 9. Квазистатические движе-Рис. 8. Схема трехзвенника ния трехзвенника

Исходным состоянием трёхзвенника в нашем случае является положение, при котором углы «1 равны некоторому максимальному значению 7, причем 0 < 7 < 7г/2. Предлагаемая схема квазистатического движения трехзвенника (рис. . 9) может быть разделена на основные фазы;

1. перемещение корпуса (переход из положения 1 в 2);

2. вращение бокового звена О2С2 по часовой стрелке (переход из положения 2 в 3);

3. вращение бокового звена 0\С\ по часовой стрелке (переход из положения 3 в 4, причём состояние 4 эквивалентно состоянию 1).

Фаза 1 предполагается состоящей из одного простого движения, когда уг-

лы o¡ изменяются синхронно от 7 до —7, точки Oí и О2 движутся, а С\ и С2 остаются в покое. В фазе 2 звено С2О2 меняет угол наклона по отношению к корпусу от —7 до 7, а в фазе 3 так же движется звено C\Oi. В работе изучаются только квазистатические движения трехзвенника, поэтому все перемещения считаются достаточно медленными.

Основная задача заключается в определении параметров трехзвенного механизма, при которых движение осуществимо по предложенной кинематической схеме. Если оно невозможно ни при каких параметрах механизма, тогда такая кинематическая схема является неработоспособной.

Выписывая уравнения равновесия трёхзвенника отдельно для каждой из трёх фаз движения и дополняя их неравенствами, ограничивающими максимальные компоненты сил трения в неподвижных точках, после перехода к безразмерным переменным можно получить следующие неравенства: .

2£ cos а < л/1 - £2(2р, + sin а)2 + \Л - f2(2/¿ - sin а)2, (1)

х2 + у2 < 1,

< z2 + (X/UC0S7 — (1 + д sin7)?/ + д)2 < £2, (2)

(а; + г — cosa)2 4- {x¡i cos 7 — y/isirfy + /i + sin a)2 <

i

Здесь введены следующие обозначения: с Fo I Хг У3 (Х3Хг \

~ ~Fc' х = Тс' У = ТС> z = -{Tc + Tc-C0Sa)> (3)

где Fe — максимальная сила сухого трения в концевых точках Ci и Сг трёхзвенника; Хг — компонента силы трения в точке О2, а и Уз — в точке С2.

Для того, чтобы доказать, что предложенная кинематическая схема осуществима, и определить условия, когда это имеет место, надо найти числа такие, что для любого a из диапазона [—7,7] выполняется неравенство (1), и существуют такие x,y,z, что все неравенства системы (2) справедливы. Решение неравенств (1) и (2), подробности которого здесь опускаются, позволяет определить область в пространстве параметров £,¿¿,7, внутри которой предложенная кинематическая схема осуществима. На рис, 10 показаны три области: f,hnk, внутри которых для каждой пары /л найдётся угол 7 > 0 такой, что движение в квазистатическом режиме осуществимо.

Рис. 10. Области существования решений неравенств (1) и (2)

Результаты первой главы опубликованы в работах [1, 3, 5-7].

Вторая глава диссертации посвящена исследованию динамики вибрационных роботов, перемещающихся за счёт движения внутренних масс.

В разделах 2.1 — 2.5 продолжено изучение модели вибрационного робота, внутренние массы которого движутся по гармоническому закону во взаимно перпендикулярных направлениях с одинаковой частотой, но со сдвигом фаз. Ранее такая модель робота, перемещающегося по горизонтальной плоскости, рассматривалась Н. Н. Болотником, И. М. Зейдисом, К. Циммерманном и С. Ф. Яцуном8. Отличие работы диссертанта заключается в изучении движения виброробота по наклонной плоскости.

Вибрационный робот состоит из несущего тела (корпуса) и внутренних тел, которые взаимодействуют с корпусом и могут перемещаться относительно последнего. Между корпусом и плоскостью опоры действуют силы сухого (кулоновского) и линейного вязкого трения. Введём в вертикальной плоскости две правые прямоугольные системы координат — неподвижную (инерци-альную) систему координат Оху и систему координат 0'£г], жёстко связанную с корпусом. Оси х и £ — направлены вдоль наклонной плоскости, а оси у и г) направлены им перпендикулярно в верхнюю полуплоскость (рис. 11). Обозначим: х — абсцисса точки О' в системе координат Оху (смещение корпуса относительно неподвижной системы отсчёта), & и тц — координаты г-ого внутреннего тела в системе отсчёта 0'£ту, т — масса корпуса, пц — масса г-ого

8 Болотник Я. И., Зейдис И. Ы., Цим.нермапн К., Яцун С. Ф. Динамика управляемых движений вибрационных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №5. С. 157-167.

внутреннего тела, д

— ускорение силы тяжести, а

— угол наклона плоскости.

Рис. 11. Механическая модель виброробота

Будем считать, что приводы робота способны обеспечивать программное движение внутренних тел относительно корпуса, задаваемое функциями и r?,(í). Рассмотрим важный частный случай, когда внутренние массы движутся так, что выполняются равенства

п п

- т£г = Fx sin 0Jt, - ^ TUiiji - -Fy sin(wt + щ). (4) i=l t=l

Например, такой случай имеет место быть при движении двух внутренних масс по гармоническому закону во взаимно перпендикулярных направлениях с одной частотой, но со сдвигом фаз. Перейдём к безразмерным переменным x*,t* и параметрам £,/3,1/, 7 по формулам

* Ми2 „ , Мд _ Fv Fx . Мд

где М — общая масса робота. Всюду далее будем считать, что е 1. Малость параметра е свидетельствует об относительной малости величины силы сухого трения по сравнению с амплитудой «движущей» силы, действующей вдоль наклонной плоскости. Так как е <§С 1, можно в первом приближении, считать, что движение корпуса робота происходит без залипаний..С учётом этого уравнение движения корпуса в безразмерных переменных принимает вид (звёздочки, обозначающие безразмерные переменные, опущены)

х = siní — еих — 7sina — e(cosa+/3sin(í + <^o))sign¿, /3 < cosa, tga < к (6)

Из условия несоскальзывания tga < fc и определения е следует, что 7 sin а < е. В дальнейшем будем рассматривать такие /с, 7 и а, при которых £ ~ 7sino, что позволит применить к уравнениям движения метод осреднения. Также введём допущение, что е и ей — суть величины одного порядка малости, то есть v ~ 1. Введём новую переменную и, связанную со скоростью х следующим образом:

х — — eos t + u. (7)

Подставляя это выражение в уравнение (6), получим уравнение для неременной и в стандартной форме, усреднив правую часть которого по переменной t на периоде 2ж, получим

luu+l, при и > 1

ú=-7sina-£< ии + ~(eos a aresinи - /3sin<¿>0\/l - и2), при | и |< 1 (8) ии — 1, при и < —1

Найдём стационарные решения и = и3 уравнения (8), обращающие его правую часть в нуль. При | и |> 1 правая часть этого уравнения не обращается в нуль, следовательно, все возможные стационарные значения переменной и суть нули функции

Р(и, <ро, 0, i/, а, к) = sin а+к

2 _

ии + —(eos a aresin и — /3sin <poVl ~ у2)

7Г

0)

рассматриваемой при фиксированных значениях параметров ipQ, /3,1/, а и fc. В дальнейшем параметры, будут опускаться в списке аргументов для сокращения записи. Функция Р(и) имеет нуль на отрезке [—1; 1] и притом единственный. Пусть us — искомый нуль функции (9). Величина us приблизительно равна средней скорости материальной точки в установившемся движении. Пользуясь теоремой о неявных функциях, можно исследовать зависимость величины и, от параметров /3, <р0, и, а и к. Опуская подробности, приведём основные результаты такого исследования.

Без ограничения общности будем считать, что — тт < <¿>o < тг. Величина и„ рассматриваемая, как функция параметра ро, убывает на интервалах —n<tpo< —7г/2 и 7г/2 < ipo £ тг и возрастает на интервале —7г/2 < ¡fio < тг/2. В точке <ро = —7г/2 величина us принимает минимальное значение, а в точке <ро — к/2 — максимальное. В случав sino < 2кр/тт

скорость становится положительной при некотором 0 < <ро < т/2, а значит максимальная средняя скорость движения, достигаемая при <ро = тг/2, также положительна, и корпус может перемещаться вверх по склону. Так как Р < cos а, условие осуществимости движения вверх по наклонной запишется в виде

tgcc<2 к/тт. (10)

Если это неравенство выполняется, то можно подобрать параметры робота так, что робот сможет перемещаться по наклонной плоскости вверх, при этом заведомо удовлетворяется условие несоскальзывания корпуса в покое tg а < к. Другим результатом является то, что величина рассматриваемая, как функция параметра /3, убывает при — 7Г < <ро < 0 и возрастает при 0 < ¥о < я-- Поскольку 0 < /3 < cosa, то при 0 = cosa достигается минимум величины u¡, если — 7г < щ < 0, и максимум, если 0 < </?о < я-- Также можно показать, что средняя скорость установившегося движения уменьшается при увеличении угла наклона плоскости, а её абсолютная величина уменьшается с увеличением коэффициента вязкого трения.

В разделе 2.6 изложены результаты экспериментов с моделью вибрационного робота, имеющего один дебалансный вибровозбудитель (рис. 12). Целью экспериментов являлось более полное изучение рассматриваемого вида движения, проверка области применимости теоретического подхода, основанного на усреднении уравнений движения, изучение факторов, влияющих на параметры движения виброробота. Робот был собран из конструктора, что позволило значительно упростить и ускорить его сборку и последующие модификации конструкции. Робот состоит из корпуса (рамы на лыжных опорах), внутри которого на одной горизонтальной оси, расположенной перпендикулярно направлению движения, находится пара колёс, межу которыми кренится груз. Этот груз закреплён на некотором удалении от оси вращения колёс, образуя совместно с ними ротор со смещённым центром масс. Колёса приводятся в движение парой электродвигателей. Коэффициент сухого трения скольжения для данного робота был равен 0.37. Помимо эксперимента с роботом выполнялось его численное моделирование без допущений о малости трения. В ходе опытов была измерена средняя скорость движения для четырёх частот вращения ротора со смещённым центром масс. Для этих значений выполнены расчёты на основе метода усреднения движения, численное ин-

Рис. 12. Виброробот с одним дебалансным вибровозбудителем

тегрирование уравнений движения и проведены опыты с натурной моделью (рис. 13). Кривая, обозначенная Уа, представляет зависимость средней скорости от частоты вращения ротора, вычисленной с помощью метода усреднения при малом трении; кривая Уе экспериментальная, а Ус — результат численного интегрирования уравнений движения робота. По графикам на рис. 13

V, см/с

7.00 7.25 7.50 7.75 1.00 В.25 5,50 5,75 9,00 В,25 5,50 р, Гц

Рис. 13. Зависимость средней скорости движения от частоты возбуждающей силы

видно, что максимальные средние скорости получаются ири расчёте с помощью метода усреднения для малых коэффициентов трения. Затем идёт результат экспериментов, а численное интегрирование выдало самые низкие

результаты, сильно отличающиеся от предыдущих двух. Автор диссертации считает, что это явление объясняется тем, что простая механическая модель робота не учитывала некоторые особенности реального механизма. Так, не учитывается конечность габаритов робота. В эксперименте виброробот при больших частотах вращения дебалансного вибровозбудителя отрывается то передней, то задней частью корпуса от поверхности. Другой фактор — реальное трение не является идеальным кулоновским. Также влияние оказала гибкость оси, к которой крепился дебалансный вибровозбудитель. При быстром вращении силы инерции изгибали эту ось, увеличивая реальное расстояние центра масс грузика вибровозбудителя от оси вращения. Подводя итоги, следует отметить, что для приблизительных оценок параметров движения при малых частотах вращения ротора лучше использовать расчёт на основе осреднения уравнений движения, чем численное моделирование, не учитывающее указанные выше факторы.

В разделе 2.7 изложены результаты экспериментов с вибрационным роботом с тремя дебалансными вибровозбудителями, два из которых вращаются в сторону, противоположную направлению вращения находящегося точно посередине между ними третьего (рис. 14). Все они имеют идентичную конструкцию в виде ротора со смещённым центром масс и отличаются только тем, что масса среднего ротора равна удвоенной массе боковых. Эти эксцентрики вращаются с определённой и равной но модулю для всех них частотой и. Сдвиг фаз между вращающимися боковыми вибровозбудителями нулевой. Такое движение эквивалентно гармоническому колебанию материальной точки вдоль наклонной прямой. Механизм, движущийся за счёт этого, принципиально отличается от рассмотренного в предыдущем разделе тем, что при реверсе вращения роторов направление движения корпуса не меняется — корпус движется в ту сторону, в которой угол наклона линии колебания материальной точки 7 составляет острый угол с плоскостью. Отметим, что при попытке применить к данной модели робота описанный выше метод осреднения уравнений движения при малом трении приведёт к получению нулевой средней скорости движения. Таким образом, такой робот нуждается в больших силах трения для перемещения. Ещё одно отличие этой модели от однороторного вибрационного робота заключается в том, что можно регулировать скорость, а также максимальное нормальное давление углом наклона

Рис. 14. Виброробот с тремя дебалансными вибровозбудителями

линии действия составного вибровозбудителя даже при фиксированной частоте.

Конструктивно робот представляет собой раму на двух лыжных опорах. Внутри рамы крепятся три соосных дебалансных вибровозбудителя, приводи-1 мые в движение двумя электродвигателями. Каждый из вибровозбудителей собран из лёгкого колеса, на ободе которого зафиксирован свинцовый грузик. Грузики на боковых роторах позиционируются идентично, а сами роторы вращаются синхронно. Используемая механическая схема позволяет жёстко фиксировать сдвиг фаз между вращением боковых грузиков и центрального, который вращается в противоположную им сторону. Таким образом, в начальный момент времени можно выставлять требуемый угол наклона 7. Коэффициент трения лыж о подстилающую поверхность составляет 0.30.

С этим вибророботом была проведена серия экспериментов. Измерялась средняя скорость движения в зависимости от частоты вращения роторов и угла наклона 7 линии колебаний их центра масс. Результаты экспериментов представлены на трехмерном графике (рис. 15), из которого видно, что при углах наклона 7, равных 0 и 7г/2, средняя скорость составляла ноль при лю-3 бой частоте. Средняя скорость виброробота монотонно возрастает при увели-| чении частоты для всех остальных углов. Виброробот достигает максимума I средней скорости при угле наклона 7, примерно равном 60°. Для сравнения экспериментальных и численных расчетов приведены двумерные графики зависимости средней скорости виброробота от частоты вращения роторов при

7>град

У. си с. ! ' 1 | \ \ . ... /V

----

1 У/ \

| 1/7 {

| / /\ / ■ 1 1

* 1 У* 1 ________].___^____ 1 11,,ги

1 .... 1....

3.2 и 3.6 3.1

Рис. 15. Средняя скорость виброробота в зависиомсти от частоты вращения

Рис. 16. Средняя скорость виброробота с тремя дебалансными вибровозбу-

роторов и угла наклона плоскости ко- дителями в зависимости от частоты

лебаний их центра масс. вращения роторов при 7 = 60°.

углах 30 и 60° (рис. 16).

Результаты второй главы опубликованы в работах [2, 4, 8].

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Проведена серия экспериментов с трёхзвенным змееподобным роботом, реализующим принцип движения на основе сочетания быстрых и медленных фаз. Измерена зависимость скорости движения от параметров робота. Полученные результаты сопоставлены с теоретическими. Оценен вклад сил трения в рассогласование экспериментальных данных и результатов рассмотрения простой теоретической модели.

2. Предложен способ квазистатического перемещения трёхзвенника с последовательным соединением звеньев на плоскости с трением.

3. Исследована динамика вибрационного робота, перемещающегося за счёт движения внутренних осциллирующих масс по наклонной плоскости. Приведены условия осуществимости движения вверх по наклонной поверхности.

4. Проведены эксперименты с моделями вибрационных роботов с одним и тремя дебалансными вибровозбудителями. Измерена зависимость скорости перемещения от частоты вращения роторов вибровозбудителей.

Публикации по теме диссертации

1. Соболев H.A., Сорокин К. С. Экспериментальное исследование змееподобных движений трехзвенного механизма // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. № 5 С. 168-176.

2. Соболев Н. А., Сорокин К. С. Экспериментальное исследование модели виброробота с вращающимися массами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 5 С. 161-170.

3. Сорокин К. С. Управление перемещением трехзвенника на плоскости с трением // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. №3 С. 165-176.

4. Сорокин К. С. Перемещение механизма по наклонной шероховатой плоскости за счёт движения внутренних осциллирующих масс // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 6 С. 150-158.

5. Сорокин К. С., Соболев H.A., Черноусъко Ф.Л. Движение многозвенни-ков при наличии сил сухого трения // Труды VII всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем», ННГУ им. Н. И.Лобачевского, Нижний Новгород, 19-22 сентября 2005 г. С. 203.

6. Сорокин К. С., Соболев H.A. Экспериментальное исследование трёхзвен-ного ползающего робота на плоскости с трением // Труды XLVIII научной конференции МФТИ(ГУ), Долгопрудный-Москва, 25-26 ноября 2005 г. Ч. 3. С. 231.

7. Сорокин К. С. Квазистатическое перемещение трёхзвенника на плоскости с трением // Тезисы докладов международной конференции «Управление динамическими системами», Москва, 26-30 января 2009 г. С. 82.

8. Сорокин К. С. Перемещение механизма по наклонной шероховатой плоскости за счёт движения внутренних осциллирующих масс // Труды 52-й научной конференции МФТИ (ГУ), Долгопрудный-Москва, 25-26 ноября 2005 г. Ч. 3. Т 1. С. 168-171.

Сорокин Константин Сергеевич

Динамика змееподобных и вибрационных роботов

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 15.12.2009. Заказ № 37 - 2009 г. Тираж 80 экз.

Отпечатано на ризографе, ИПМех РАН 119526 Москва, проспект Вернадского, д. 101, к. 1.

Введение

1 Исследование динамики трёхзвенного робота

1.1 Механическая модель.

1.2 Принцип движения, основанный на сочетании быстрых и медленных

1.2.1 Анализ медленных движений

1.2.2 Анализ быстрых движений.

1.3 Краткое описание результатов теоретического рассмотрения простой механической модели.

1.4 Экспериментальное исследование движений трёхзвенника.

1.4.1 Описание конструкции робота.

1.4.2 Система управления.

1.4.3 Закон движения.

1.4.4 Условие покоя трёхзвенника в медленных фазах движения

1.4.5 Поперечное движение.

1.4.6 Продольное движение.

1.4.7 Поворот на месте

1.4.8 Обсуждение результатов экспериментов.

1.5 Учёт сил трения в быстрой фазе движения

1.5.1 Постановка задачи.

1.5.2 Результаты численных экспериментов

1.5.3 Выводы.

1.6 Квазпстатическое перемещение трёхзвенника на плоскости с трением

1.6.1 Механическая модель.

1.6.2 Первая фаза.

1.6.3 Вторая фаза.

1.6.4 Третья фаза.

1.6.5 Решение совокупной системы неравенств.

2 Вибрационные роботы

2.1 Механическая модель.

2.2 Стационарный режим движения системы при малом трении

2.3 Вибрационный робот с двумя осцилляторами.

2.4 Динамика вибрационного робота с дебалансным вибровозбудителем

2.5 Численное моделирование

2.6 Экспериментальное исследование движений виброробота с одной подвижной массой.

2.7 Исследование движений виброробота с тремя подвижными массами

Функционирование современного общества уже немыслимо без машин, которые позволяют человеку осуществлять очень большое разнообразие работ. Автоматы и неавтоматические механизмы являются основными и незаменимыми инструментами почти во всех областях человеческой деятельности: транспорт, строительство, сельское хозяйство — список можно продолжать бесконечно. Поэтому крайне важно всегда иметь в распоряжении как можно более полный набор всевозможных механизмов для выполнения разного рода задач.

Одна из самых важных областей применения »машин — перемещение людей и грузов на различные расстояния. Спектр возможных способов выполнения э тих задач очень широк. Польза от науки, в частности механики, в этой области заключается в поиске наиболее оптимальных из существующих вариантов перемещения для каждого конкретного случая, а также в разработке новых.

Для большинства целей подходит ставший традиционным способ перемещения — движение на колёсах. Для колёсных машин создана мощная инфраструктура — прежде всего это дороги. На гладкой, почти горизонтальной поверхности у колёсных машин практически нет конкурентов, так как именно такие механизмы обеспечивают наиболее быстрое, экономичное и безопасное перемещение грузов и людей на любые расстояния. Действительно, трение качения на ровных твёрдых поверхностях, на преодоление которого вынуждены расходовать энергию колёсные машины, гораздо меньше, например, трения скольжения механизма па той же плоскости. Если обеспечена качественная инфраструктура, то ход колёсных машин плавный, езда в них комфортна — можно перевозить хрупкие грузы.

Однако дорожная сеть не везде развита в достаточной мере, кроме того, существуют ситуации, когда проводить дорогу экономически нецелесообразно (например, если перевозить грузы требуется редко и всегда в разные места на сложной местности) или просто невозможно. В таких случаях приходится изобретать иные способы перемещения: с помощью воздухоплавательных средств, гусеничных, шагающих или даже ползающих машин. Например, при движении но каменистой местности наиболее подходящими видятся шагающие механизмы, но их недостатком является относительно сложная конструкция и система управления, что определяет их малую распространённость в настоящее время. Однако шагающим механизмам уделяется пристальное внимание ведущими исследовательскими центрами мира, причём акцент делается на биомеханику и подражание животным и человеку при ходьбе. Если же движение происходит по сыпучим средам, своё применение могут найти ползающие механизмы. При длительном автономном движении по очень сложным поверхностям с неровностями, участками с песком и т.д. колёсные машины непригодны — если колесо попадёт в расселину между камнями либо забуксует в песке, без помощи людей или дополнительной техники освободить её будет сложно, а гибкие многозвенные змееподобные механизмы в большинстве случаев могут справиться с этой поверхностью без труда, как нам показывают примеры из животного мира (змеи).

Другой фактор, не позволяющий колёсным машинам стать единственным и безальтернативным вариантом, — это разнообразие выполняемых работ. Не всегда требуется лишь переместить полезный груз и точки А в точку Б. Часто требуется выполнять различные полезные действия прямо во время движения, а иногда именно эта работа является главной задачей механизма. В этих случаях также альтернативные способы перемещения могут оказаться предпочтительнее. Например, трамбовщик грунта в виде простого колёсного катка иногда может не быть наилучшим решением: с одной стороны, он должен быть очень тяжёлым, чтобы грунт (асфальтовое покры тие) уплотнялся, с другой, желательно, чтобы он был достаточно мобилен, а значит, легок. Кроме того, слитком тяжёлый каток может привести к «растеканию» слабого грунта из под колеса в силу малости площади контакта, а увеличение площади контакта колеса неизбежно влечёт увеличение габаритов. Итак, получились две пары противоречащих друг другу требований — лёгкость и большая сила давления, большое давление и большая площадь воздействия без увеличения габаритов. Выходом из данной ситуации может стать применение машин с плоской поверхностью, находящейся в контакте с грунтом, которая воздействует на него при помощи дополнительно создаваемой вертикальной силы. Можно сделать так, что эта сила на короткое время будет значительно превышать вес всей машины. Таким образом, в этой области могут найти применение механизмы, перемещающиеся за счёт вибраций.

В данной работе рассматривается два альтернативных способа движения, которые могут быть использованы в различных специализированных практических приложениях: перемещение змееподобного трёхзвенного робота и перемещение виброробота с внутренними дебалансными вибровозбудителями.

Змееподобным» механизмам, представляющим собой цепь жёстких звеньев, соединённых поворотными шарнирами, в которых расположены управляющие двигатели, создающие моменты, внутренние по отношению к многозвеннику, посвящён большой цикл работ [3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30]. Между многозвенником и поверхностью, по которой он движется, действует сухое кулоновское трение. Управляя моментами в шарнирах и, тем самым, силой трения, приложенной к механизму, можно обеспечить его перемещение из произвольного начального состояния в заданное конечное положение.

В наиболее часто применяемых способах передвижения (качение, шагание) точки контакта робота с поверхностью постоянно меняются: при качении точка контакта меняется непрерывно, при шагании — от шага к шагу. Способ передвижения змей и других животных, не имеющих конечностей, принципиально другой. В отличие от шагающих животных, змеи большей частью сохраняют постоянный контакт между их телами и землёй. Несмотря на то, что сила трения, действующая на каждый движущийся сегмент тела, направлена против скорости этого сегмента, центр масс змеи движется в избранном ею направлении. Это происходит из-за того, что результирующая сил трения, приложенных к отдельных сегментам, всегда направлена вдоль ускорения центра масс, если никакие другие силы на змею не действуют. Изменяя конфигурацию и характер движения своего тела, змея управляет ускорением своего центра масс. Для того, чтобы объяснить данное явление было предложено много самых разных моделей змееподобных движений. Например, рассматривались движения змей в изогнутых трубах [5]. Было показано, что требуемая результирующая сила может быть создана нормальной реакцией трубы. Змеи большей частью реализуют следующий способ перемещения — они изгибают свое тело и опираются на различные вертикальные препятствия (стены или наклонные объекты). Змеи всегда пытаются использовать подобные препятствия и избегают плоских поверхностей, где они чувствуют себя неуютно. Биомеханический аспект змееподобного движения был рассмотрен в (3], а механизм подобного перемещения при наличии препятствий исследован в [24, 28]. Неголономный многозвенный змееподобный робот был сконструирован и проанализирован в [22, 30]. Этот механизм состоит из множества элементов, оборудованных пассивными колёсами. Изгибаясь, такой робот может выполнять змееподобные движения. В таких движениях колёса действуют подобно вертикальным препятствиям и позволяют двигаться вперёд. Кинематика неголономных змееподобных механизмов представлена в [15].

Детально исследованы двузвенные [6, 11, 12, 23] и трёхзвенные [6, 7, 9, 13, 16, 18, 23] механизмы. Для них рассмотрены режимы движения, включающие в себя быстрые фазы, на которых моменты, создаваемые приводами, много больше моментов сил трения, вследствие чего влиянием сил трения на движение механизма можно пренебречь, и медленные стадии, на которых одно из звеньев удерживается силами трения в покое [6, 7, 15, 16, 18, 23].

Кроме того, изучены квазистатические режимы управления многозвенными механизмами, при которых движение можно трактовать, как непрерывную последовательность критических состоянии равновесия, обеспечиваемых моментами в шарнирах и силами сухого трения [9, 11, 12, 13, 17].

Кроме змееподобных механизмов, в которых звенья соединены между собой последовательно, рассматривались также трёхзвенные «звездообразные» механизмы, звенья которых имеют общую ось вращения [13].

Проведена оптимизация конструктивных параметров и режимов движения с целью максимизации средней скорости движения змееподобных механизмов [6, 23].

Изучение движений многозвенных механизмов позволит выяснить основные закономерности таких перемещений и выработать рациональные режимы управления ими, которые могут найти применение в мобильных роботах. Кроме того, результаты этих исследований могут оказаться полезными для понимания принципов движения живых существ, которые не имеют специально предназначенных для этого конечностей, но которые, тем не менее, прекрасно справляются с этой задачей, в час тности, змей.

К другому классу роботов — классу вибрационных роботов — можно отнести самодвижущиеся механизмы, состоящие из корпуса и внутренних подвижных масс. Двигаясь под действием управляющих двигателей, внутренние массы взаимодействуют с корпусом, а тот, в свою очередь — с внешней средой. Управляя перемещением внутренних масс, можно управлять реакцией внешней среды на корпус механизма, обеспечивая его движение в желаемом направлении, а также регулировать его скорость. На плоскости это достигается за счёт управления силой нормального давления одновременно с силой, стремящейся сместить механизм в горизонтальном направлении.

Этому типу роботов посвящены работы [1, 2, 8, 10, 14, 19, 20, 21, 25, 29, 31, 32, 33]. В них объектом исследования стали механизмы, способные перемещаться как по плоскостям, так и в вязких средах за счёт движения внутренних масс.

В [19, 20, 29] рассматривается прямолинейное движение по горизонтальной шероховатой поверхности тела (корпуса) с подвижной внутренней массой, которая также перемещается вдоль прямой, параллельной линии движения тела. Построены периодические режимы управления относительным движением внутренней массы, при которых корпус движется с периодически меняющейся скоростью, перемещаясь за период на одно и то же расстояние в требуемом направлении. Предполагается, что в начале и в конце каждого периода скорость корпуса равна нулю. На максимальное перемещение внутренней массы наложены ограничения. Рассмотрены режимы управления по скорости и по ускорению внутренней подвижном массы. Первый режим — виброударный. В этом случае внутренняя масса движется между двумя жесткими упорами с постоянной скоростью относительно корпуса, различной при движении в направлении перемещения корпуса и в противоположном направлении. При соприкосновении с упором относи тельная скорость внутренней массы скачком изменяется как по направлению, так и по величине, то есть происходит удар. Второй режим предусматривает на периоде три интервала, на которых относительное ускорение внутренней массы постоянно. На абсолютную величину этого ускорения наложено ограничение, что отражает ситуацию в реальных приложениях. Найдены оптимальные параметры обоих режимов, при которых средняя скорость движения корпуса за период максимальна. Схожая модель с учётом в общем случае ненулевого наклона шероховатой поверхности исследуется в [14]. Рассмотренная в этих работах механическая система представляет модель вибрационного робота, в котором происходит управление силой трения между корпусом и плоскостью опоры без управления силой нормального давления на подстилающую поверхность.

Работа [2] посвящена управлению прямолинейным движением твердого тела по шероховатой плоскости посредством перемещения двух внутренних масс. Данная механическая система моделирует виброробот более совершенный (и сложный), чем в [14, 29, 19, 20], так как реализует возможность управления не только движущей силой, параллельной поверхности движения, но и силой нормального давления, что является преимуществом. Найдены оптимальные законы движения двух внутренних масс, реализующих максимальную скорость движения.

В [25, 31] рассматривается движение механизма, зажатого между двумя наклонными параллельными плоскостями. Механизм имеет внутреннюю массу, закреплённую на пружине с демпфером, колеблющуюся вблизи резонансной частоты. Приведены различные способы приближённого аналитического решения дифференциальных уравнений движения механизма, а также показана их согласованность с результатами численного решения г1 очной системы уравнений движения. Исследована зависимость скорости движения от параметров механизма и наклонных шероховатых плоскостей.

В [32] продемонстрирована возможность использования вибрационного принципа движения для создания платформ прецизионного позиционирования. Приведена схема такой платформы, даны выражения для расчета максимальной точности позиционирования, достижимой этой системой. В рамках этой же работы создана экспериментальная модель платформы, с помощью которой проверялись теоретические выводы. Показана хорошая согласованность теоретических и экспериментальных данных. Достигнута точность порядка десятка наномегров за шаг.

В работе [1] исследуется прямолинейное перемещение модели вибрационного робота по горизонтальной шероховатой плоскости, возбуждаемое гармоническим движением внутренних тел в горизонтальном и вертикальном направлениях с одинаковой частотой, но со сдвигом фаз. Управляя сдвигом фаз и частотой колебании внутренних тел, можно управлять средней скоростью корпуса механизма по направлению и величине. Приведены выкладки, позволяющие оценить величину этой скорости при малых коэффициентах трения корпуса с плоскостью на основе метода усреднения уравнений движения данного механизма [4]. Относительная малость сухого трения характеризуется параметром е — отноптештем произведения коэффициента сухого трения на вес системы к амплитуде силы инерции, вызванной колебаниями внутренних масс в горизонтальном направлении. С ростом частоты колебаний амплитуда силы инерции растёт пропорционально квадрату частоты. Поэтому при больших частотах указанное отношение мало даже при не очень малых значениях коэффициента сухого трения. Наряду с асимптотическим анализом поведения системы при малых е с использованием усреднённого уравнения движения в [1] проводится численный анализ на основе исходной системы уравнений. Уравнение движения корпуса робота интегрировалось численно при нулевых начальных условиях. Спустя некоторое время после начала движения устанавливается периодическое по скорости движение корпуса робота, причём средняя скорость в общем случае ненулевая. Данный режим достигается спустя примерно 30 безразмерных единиц времени после начала движения. За это время вибрирующие внутренние массы совершают около пяти колебаний. За единицу времени при обезразмеривании уравнений движения принята величина, обратная круговой частоте колебаний внутренних масс. Период колебаний при таком выборе масштаба времени равен 2тг. Кроме того, при численном анализе выяснилось, что с увеличением параметра £ снижается максимальная величина средней скорости установившегося движения, и сдвигается в сторону больших значений угол сдвига фаз (р0, при котором средняя скорость максимальна, а также угол сдвига фаз , при котором изменяется направление средней скорости. В частности, при <£>о = 0 и £ Ф 0 робот движется назад < 0), в то время как в соответствии с асимптотическим приближением ия = 0. Чем меньше е, тем меньше отличие решения, полученного численным интегрированием системы уравнений, от решения, выведенного асимптотическим методом.

В [33] изучается движение по горизонтальной шероховатой плоскости вибрационного мобильного механизма, состоящего из двух одинаковых модулей, соединенных пружиной. Каждый модуль представляет собой систему, изученную в [1], и снабжен дебалансным вибровозбудителем, основной деталью которого является ротор с центром масс, смещённым относительно оси вращения. Исследована зависимость скорости механизма от его параметров. Показано в частности, что при переходе частоты вращения вибровозбудетелей через резонансную частоту механизма направление движения меняется на противоположное.

Вибророботы просты по конструкции, не требуют специальных движителей, таких как колёса, гусеницы, ноги. Это в частности делает вибрационные роботы пригодными для движения не только по поверхностям, но и в плотных средах, а также в трубах. Простота конструкции позволяет изготовить робот очень малых размеров, а отсутствие внешних движущихся частей позволяет добиться полной герметичности такого механизма, что может сыграть значительную роль во многих практических приложениях.

Цель данной диссертации заключается в исследовании динамики змееподобных трёхзвенных механизмов и вибрационных роботов с одним или тремя гармоническими осцилляторами путём создания математических моделей таких роботов, их натурных образцов, проведения с последними экспериментов и верификации применяемых математических моделей, а также усовершенствования их. Диссертация делится на две главы.

В первой главе исследуются движения трёхзвенного шарнирного механизма, способного передвигаться по плоской горизонтальной поверхности только за счёт сил сухого трения, действующих между роботом и подстилающей поверхностью. Глава делится на четыре основные части.

• В первой части описывается принцип движения на основе сочетания быстрых и медленных фаз, введённый в [6, 15, 16, 18, 23], также приводятся основные результаты этих работ.

• Во второй части изложены результаты экспериментального исследования трёх-звенного змееподобного робота, созданного на основе теоретических посылок предыдущей части. Приведены результаты экспериментов, показано, что они существенно отличаются от результатов рассмотрения простой механической модели количественно, однако на качественном уровне была подтверждена возможность использования концепции быстрых и медленных фаз для реальных роботов. Качественные зависимости параметров движения от параметров роботов, полученные в эксперименте, также совпадают с теорией. Фотография использованного в исследовании робота представлена на рис. 6, стр. 25.

• В третьей части сделана попытка определить причину рассогласованности теории и практики. Для этого было выполнено численное моделирование поперечного движения трёхзвенника. В результате было показано, что основным источником расхождений является влияние силы трения на движение робота в быстрых фазах. Мощность управляющих двигателей оказалась недостаточной, чтобы обеспечить очень малую длительность быстрых фаз, поэтому введённая в первой части концепция оказалась ограниченно применимой для данного конкретного трёхзвенного робота. Дополнительным результатом явилось создание модели для численных расчётов, которая показывает очень хорошую согласованность с экспериментом, поэтому её очень удобно использовать при проектировании роботов, снижая риски ошибок конструирования.

• Четвёртая часть посвящена разработке пригодного для практического применения способа квазистатического перемещения трёхзвенного робота на плоскости. Предложена кинематическая схема передвижения такого механизма только за счёт медленных движений, что несёт в себе определённые преимущества, основные из которых это снижение требований к управляющим двигателям (а значит и сложности, стоимости), к несущей конструкции механизма и к системе управления, так как контролировать очень быстрые процессы много сложнее, чем медленные.

Во второй главе изучаются вибрационные роботы, перемещающиеся за счёт внутренних осциллирующих масс. Эта глава делится на три части.

• В первой части исследуется теоретическая модель вибрационного робота, способного перемещаться вверх по наклонной плоскости за счёт гармонических колебаний двух внутренних масс. Эта работа явилась продолжением [1), в которой рассматривалась аналогичная модель, но для движения по горизонтальной плоскости. Поскольку на практике идеально горизонтальных (да и просто плоских) поверхностей почти не встречается, рассмотрение случая наклонной плоскости определённо имеет смысл. В исследовании использовалась методика, аналогичная [1], — осреднение по малому параметру (трение, наклон плоскости). Было показано, что движение вверх по наклонной плоскости возможно.

Выяснилось, что угол наклона серьёзно влияет как на максимально достижимую скорость подъёма, так и на максимальный угол наклона, на котором ещё возможно перемещение вверх, однако можно подобрать параметры виброробота так, чтобы он въезжал на скаты с углом наклона более 10 градусов. Были найдены зависимости апроксимированной средней скорости от угла наклона плоскости, разности фаз между осцилляторами, массой и амплитудой колебаний осцилляторов и др. На основе этого был предложен способ оптимизации средней скорости движения робота. Выяснилось, что основные зависимоеги скорости движения от параметров механизма и окружающей среды совпадают для случаев наклонной плоскости и горизонтальной, в том числе совпадают оптимальные параметры. Этот факт очень удобен в реальных приложениях, поскольку позволяет оптимизировать конструкцию робота сразу для движения и но наклонным, и по горизонтальным плоскостям. Все аналитические выкладки подтверждались численным моделированием, не использующим допущение о малости трения.

Вторая часть представляет собой экспериментальное исследование вибрационного робота с одним дебалансным вибровозбудителем, вращение которого с большой частотой приводит механизм в движение. Натурная модель использовалась для верификации теоретических результатов первой части этой главы. Результаты эксперимента и теории качественно совпали, причём сходимость улучшалась с возрастанием частоты вращения дебалансного вибровозбудителя, что также хорошо согласуется с аналитическими выкладками. Таким образом, было продемонстрировано, что можно использовать осреднение уравнений движения вибрационного робота для оценки возможных реальных параметров движения механизма. Кроме того, продемонстрирован на практике один из способов перемещения, не требующий никаких внешних движителей.

В третьей части эксперименты с вибрационными роботами были продолжены. На этот раз изучался робот, перемещающийся за счёт модулируемого колебания внутренней массы вдоль наклонной прямой. Модуляция производилась с помощью трёх роторов со смещённым относительно оси центром масс, два из которых синхронно вращаются в одном направлении, а третий, расположенный между первыми двумя, — в противоположном. Схема с тремя вибровозбудителями использовалась для минимизации возможных моментов, направленных перпендикулярно плоскости движения, которые могут сбивать робот с курса. Управляя сдвигом фаз между боковыми и центральным роторами можно управлять как скоростью перемещения робота (по величине и направлению), так и нормальным давлением на подстилающую поверхность. Осреднение уравнений движения для такого механизма на основе предположения о малости трения даёт нулевую скорость при любых параметрах робота. Однако на практике робот был способен перемещаться довольно быстро. Численное моделирование и эксперименты показали, что такой класс роботов использует нелинейность трения в гораздо большей степени, чем робот с одним маховиком. Кроме того, такая схема позволяет управлять силой нормального давления на плоскость, что может найти приложение на практике.

Автор планирует и вдальнейшем исследовать динамику многозвенных змееподобных и вибрационных роботов. В частности, для трёхзвенника ведётся работа над аналитическим решением задачи учёта сил трения в быстрых фазах при условии малости углов отклонения концевых звеньев. Совместно с коллегами из Курского государственного университета планируется постановка ряда экспериментов с трёхзвенным роботом, оснащённым более совершенной системой управления. Также автор планирует исследование динамики вибророботов с помощью натурных моделей (которые ещё предстоит сконструировать), изучение их движения по наклонным плоскостям, в вязких средах.

Основные результаты диссертации были опубликованы в [7, 8, 9, 10]: Соболев H.A., Сорокин К. С. Экспериментальное исследование змееподобных движений трехзвенного механизма // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №5 С. 168-176.

Соболев Ы. А., Сорокин К. С. Экспериментальное исследование модели виброробота с вращающимися массами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. Л- 5 С. 161-170.

Сорокин К. С. Управление перемещением трехзвенника на плоскости с трением // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. №3 С. 165-176. Сорокин, К. С. Перемещение механизма по наклонной шероховатой плоскости за счёт движения внутренних осциллирующих масс // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. №6

Первые две публикации посвящены экспериментальным исследованиям, которые выполнялись совместно с Соболевым Н. А. Помимо совместной с Соболевым Н. А. работы по проведению экспериментов автором диссертации самостоятельно был сконструирован вибрационный робог с одним дебалансным вибровозбудителем, выполнено компьютерное моделирование перемещений этого механизма и проведены расчёты с помощью метода осреднения уравнений движения при малом трении; была предложена конструктивная схема робота с тремя дебалансньтми вибровозбудителями, проведено численное моделирование его движений. Для трёхзвенного робота автором проанализирована механическая модель, учитывающая силы трения в быстрой фазе боковых перемещений, проведено численное моделирование уравнений движения, результаты которого сопоставлены с экспериментальными данными.

Результаты диссертации автор также излагал на следующих конференциях и семинарах:

VII научная конференция «Нелинейные колебания механических систем» в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского в докладе «Движение многозвенников при наличии сил сухого трения» в 2005 г.;

XLVIII научная конференция Московского физико-технического института (государственного унинверситета) «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» в докладе «Экспериментальное исследование трёхзвенного ползающего робота на плоскости с трением» в 2005 г.;

IX всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского в докладе «Экспериментальные исследования управляемых движений трехзвенного мобильного робота» в 2006 г.; международная конференция «Управление динамическими системами» в Институте проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН в докладе «Квазистатическое перемещение трёхзвенника на плоскости с трением» в 2009 г.; семинар «Теория управления и динамика систем» Института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН в докладе «Динамика змееподобных и вибрационных роботов» в 2009 г.

Заключение

В рамках диссертационной работы изучалась динамика трёхзвенного змееподобного механизма и вибророботов с внутренними подвижными массами. Эти исследования явились логическим продолжением работ других авторов |1]-[3], [5]-[33], по~ свящённых анализу движений многозвенных механизмов и роботов с перемещающимися внутренними телами. Теоретические модели, изложенные в указанных источниках, послужили основой для конструирования роботов, движение которых впоследствии изучалось и сравнивалось с теоретически предсказанным*. Такое сравнение дало возможность определить область применимости указанных выше теоретических моделей, а в некоторых случаях внести в них усовершенствования. Кроме того, эксперименты с роботами позволили выявить множество нюансов их динамики, учёт которых в механических моделях подобных систем значительно улучшит точность расчётов и их соответствие практике.

Так, в ходе изучения динамики трёхзвенных змееподобных механизмов была проведена серия экспериментов с моделью такого робота (рис. 6). Экспериментальные данные сравнивались с теоретическими результатами, полученными в [15, 16, 17, 18]. Прежде всего, была доказана сама возможность воплощения «в металле» такого рода механизмов, которые будут двигаться за счёт сочетания быстрых и медленных фаз. Н. А. Соболевым также была показана осуществимость данного принципа движения для двузвенников с помощью этой же модели робота (рис. 6), у которой было отсоединено одно из боковых звеньев. В рамках данной работы продемонстрированы на практике способы управления трёхзвенником. Однако было выявлено количественное, а в некоторых случаях и качественное различие между теорией и экспериментом, величина которого возрастала с увеличением длительности быстрой фазы движении (см. разд. 1).

Было проведено дополнительное исследование факторов, влияющих на расхождение практики и теоретической модели. Для этого была численно проинтегрирована система уравнений для бокового движения. В результате установлено, что основная причина расхождений заключалась в используемом теоретической моделью предположении о пренебрежимой малости моментов сил трения по сравнению с управляющими моментами двигателей, что позволяло пренебрегать силой трения в быстрых фазах. На эксперименте, однако, управляющие двигатели оказались недостаточно мощными. Поскольку модель, использованная при численном моделировании, показала очень хорошую сходимость с экспериментальными данными, её можно использовать для предварительной оценки параметров движения конструируемых роботов, а также для оптимизации их массогабаритных параметров и закона движения концевых звеньев.

Использование очень мощных двигателей на практике затруднено их сложностью, габаритами и высокой стоимостью. Кроме того, обеспечение синхронного движения боковых звеньев в быстрых фазах предъявляет повышенные требования к системе управления роботом. Поэтому возникает необходимость в разработке способов перемещения с использованием только медленных движений. Один из таких способов был исследован в данной работе, и по сравнению с предложениями других авторов [12,13] он обладает рядом преимуществ, основное из которых — простота конструкции.

В перспективе планируется исследовать предложенную кинематическую схему

Все эксперименты выполнялись совместно с Н.А.Соболевым. квазистатических движений трёхзвенного механизма с помощью натурной модели такого робота. В настоящий .момент робот для этих целей оснащается современной системой управления в Курском государственном университете. Также автор планирует аналитически исследовать влияние сил трения в быстрых фазах движения при малых углах отклонения концевых звеньев, что позволяет линеаризовать уравнения движения механизма. ■

Значительное место в данной работе отводится изучению динамики вибророботов с внутренними перемещающимися массами. Эта область в последнее время всё больше привлекает внимание исследователей. Опубликовано большое количество статей, посвященных теоретическому аспекту анализа движений такого рода механизмов. В рамках данной диссертационной работы изучалась динамика вибророботов с внутренними подвижными телами. Целью ставилось доказательство принципиальной осуществимости двух конкретных схем движения, выявление особенностей перемещений, а также изучение возможности применения метода оценки характеристик движений, изложенного в [1], и численного интегрирования уравнений движения простой механической модели для оценки параметров перемещений роботов.

Было создано два робота: один из них двигался за счёт вращения с постоянной угловой скорость но внутри корпуса ротора со смещённым центром масс, а второй — за счёт колебания центра масс внутренних перемещающихся тел вдоль наклонной прямой. Движение центра масс вдоль прямой в последнем случае было смоделировано при помощи трёх равномерно вращающихся дебалансных вибровозбудителей.

Эксперименты показали, что описанные выше схемы движения, реализованные в моделях вибророботов, вполне пригодны для осуществления перемещений в заданном направлении. При этом виброробот с одним дебалаисным вибровозбудителем позволяет реверсировать направление движения при смене направления вращения ротора. Схема робота с тремя дебалансными вибровозбудителями обладает другим преимуществом: такой робот в принципе может меня ть скорость движения (в том числе на обратную) без остановки двигателей и роторов. Это, кроме того, позволяет в широком диапазоне регулировать силу давления робота на плоскость. Если при движении не допускается отрыв опор от подстилающей поверхности, то давление можно менять от нуля до удвоенного веса робота; если такого требования не предъявлять, то силу давления можно менять ещё больше.

Следующим шагом в исследовании этих роботов стало сравнение результатов экспериментов с данными, полученными с помощью метода усреднения уравнений движения при малом коэффициенте трения [1] и с помощью численного интегрирования уравнений движения без предположения о малости трения. Выяснилось, что количественно результаты теоретических рассмотрений и практики различаются довольно сильно. Объясняется это простотой применявшихся механических моделей. Так, не учитывалась конечность габаритов робота, упругость конструкции, неравномерность поля коэффициентов трения и т.д. Однако даже такие простые модели позволяют грубо оценить предполагаемые параметры перемещения роботов в экспериментах, причём для робота с одним вибровозбудителем больше подходит метод усреднения уравнений движения, а для робота с тремя роторами — численное интегрирование уравнений без предположения о малости трения. Кроме того, качественно результаты аналитического решения, численного моделирования и экспериментов близки, а количественная сходимость улучшается, при увеличении частоты вращения роторов.

В работе также было произведено исследование движения вибрационных роботов с внутренними осциллирующими массами вдоль наклонной плоскости. Ранее в [1] было произведено исследование такого же класса механизмов, движущихся по горизонтальной поверхности. В отличие от [1], в данной работе рассматривалось перемещение по наклонной шероховатой плоскости. Выведенные законы движения оказались во многом схожими с полученными в [1], то есть общими для горизонтальных и наклонных плоскостей. Это относится, в частности, к зависимости безразмерной средней скорости движения от сдвига фаз осцилляторов, отношения амплитуды нормальной к плоскости возбуждающей силы к весу механизма, коэффициента вязкости. Следовательно, при оп тимизации параметров вибрационного робота для перемещения по горизонтальной плоскости, автоматически выполняется оптимизация для наклонных поверхностей. Данный факт может быть очень полезен при конструировании роботов, учитывая, что идеально горизонтальные поверхности на практике почти не встречаются.

В дальнейшем автор планирует создание более совершенных моделей вибрационных роботов с внутренними массами, колеблющимися по гармоническому закону, с целью изучения их движения по наклонным плоскостал к изучение возможности управления направлением перемещения. Кроме того, планируется экспериментальное исследование движения вибрационных роботов в вязких средах.

1. Болотник Н. Я., Зейдис И. М., Циммерманн КЯцун С. Ф. Динамика управляемых движений вибрационных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №5. С. 157-167.

2. Болотник Н. Н., Фигурина Т. Ю. Оптимальное управление прямолинейным движением твердого тела по шероховатой плоскости посредством перемещения двух внутренних масс // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. Вып. 2. С. 216-229.

3. Добролюбов А. И. Бегущие волны деформации // Минск: Наука и техника. 1987. 142с.

4. Журавлёв В. ФКлимов Д. М. Прикладные методы теории колебаний // М. Наука. 1988. 325 с.

5. Лаврентьев М. А., Лаврентьев М. М. Об одном принципе создания тяговой силы движения // Журнал прикладной механики и технической физики. 1962. №4. Стр. 3-9.

6. Смышляев А. С., Черноусько Ф. Л. Оптимизация движений многозвенников по горизонтальной плоскости // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №2. С. 176-184.

7. Соболев Н. А., Сорокин К. С. Экспериментальное исследование змееподобных движений трехзвенного механизма // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №5 С. 168-176.

8. Соболев Н. А., Сорокин К. С. Экспериментальное исследование модели виброробота с вращающимися массами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. №5 С. 161-170.

9. Сорокин К. С. Управление перемещением трехзвенника на плоскости с трением // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 3 С. 165-176.

10. Сорокин К. С. Перемещение механизма по наклонной шероховатой плоскости за счёт движения внутренних осциллирующих масс // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. №6

11. Фигурина Т.Ю. Квазистатические движения двузвенника по горизонтальной плоскости//МТТ. 2003. №1.

12. Фигурина Т. Ю. Управляемые квазистатические движения двузвенника по горизонтальной плоскости // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. №3.

13. Фигурина Т. Ю. Управляемые медленные движения трёхзвенника по горизонтальной плоскости // Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. №3. С. 149-156.

14. Фигурина Т. Ю. Оптимальное управление движением системы двух тел по прямой // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. №2, С. 65-71

15. Черноусъко Ф. Л. Движение плоского мпогозвенника по шероховатой горизонтальной плоскости // Докл. РАН. 2000. Т. 370, N 2. с. 186-189.

16. Черноусъко Ф. Л. Движение многозвенника по горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2000. Т.64, Вып. 1. С. 8-18

17. Черноусъко Ф.Л. Волнообразные движения многозвенника по горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2000. Т.64, Вып. 4 С. 518-531.

18. Черноусъко Ф.Л. О движении трёхзвенника по горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, Вып. 4 С. 15-20.

19. Черноусъко Ф. Л. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу // Доклады РАН. 2005. Т. 405. №1 С. 56-60.

20. Черноусъко Ф. Л. Анализ и оптимизация движения тела, управляемого посредством подвижной внутренней массы // ПММ. 2006. Т. 70. С. 915-941.

21. Черноусъко Ф. Л. Оптимальные периодические движения двухмассовой системы в сопротивляющейся среде // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. Вып. 2. С. 202-215.

22. Burdick J. W., Radford J., Chirikjan G. S. A "sidewinding" locomotion gait for hyperredundant robots // Proc. 1993 IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation. Atlanta, 1993. Vol. 3. P. 101-106.

23. Chernousko F. L. Snake-like locomotion of multilink mechanisms // Journal of Vibration and Control. 2003. V. 9, №1-2, P. 235-256

24. Chmkjmi G. S., Burdick J. W. Kinematics of hyper-redundant robot locomotion with applications to grasping // Proc. 1991 IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation. Sacramento. — Washington: IEEE Comput. Soc. Press, 1991. Vol. 1. P. 720-725.

25. Fildin A., Thomsen J. J. Predicting vibration-induced displacement for a resunant friction slider // Eur. J. Mech. A/Solids 20(2001). pp. 155-166.

26. Gray J. Animal Locomotion // N.Y.: Norton, 1968. — 479 p.

27. Hi rose S., Monshima /1. Design and control of a mobile robot with an articulated body // International Journal of Robotic Research. 1990. V. 9,№2. P. 99-115.

28. Hirose S. Biologically Inspired Robots: Snake-like Locomotors and Manipulators // Oxford: Oxford Univ. Press, 1993. 220 p.

29. Li #., Furuta K., Chernousko F. L. Motion Generation of the Capsubot Using Internal Force and Static Friction // Proc. 45th IEEE Conf. on Decision and Control, Manchester Grand Hyatt Hotel, San Diego, CA, USA, December 13-15, 2006. P. 65756580.

30. Ostrowski J., Durdick J. Gait kinematics for a serpentine robot // Proc. 1996 IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation. Minneapolis, 1996. Vol. 2. P. 1294-1299.

31. Thorns en J. J. Vibration-induced displacement using high-frequency resunators and friction layers // In:Lavendelis E., Zakrzhevsky M.(Eds.), Solid Mechanics and its Applications, Vol. 37, Kluwer, Dordrecht, pp. 237-246.

32. Vartholomeos P., Papadopoulos E. Dynamics, Design and Simulation of a Novel Microrobotic Platform Employing Vibration Microactuators //' Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. March 2006. Vol. 128/123. pp. 122 133.

33. Zimmerman K. Zeidis /., Bolotnik N. Pivovarov AI. Dynamics of a two-module vibration-driven system moving along a rough horizontal plane / / Multibody System Dynamics. 2009. V. 22. No 1.