Дизъюнктивное свойство и канонические формулы в классе расширений минимальной логики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

лЛ

и

Стукачева Марина Викторовна

ДИЗЪЮНКТИВНОЕ свойство и КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ В КЛАССЕ РАСШИРЕНИЙ МИНИМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2006

Работа выполнена в лаборатории логических систем Института Математики им. С.Л.Соболева СО РАН

Научные руководители:

доктор физико-математических наук Белякин Николай Васильевич

кандидат физико-математических наук Одинцов Сергей Павлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Будкин Александр Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Шрайнер Павел Александрович

Ведущая организация:

Новосибирский государственный технический университет.

Защита диссертации состоится 2 ноября 2006 г. в 14 час. 15 мин, на заседании Диссертационного Совета К 212.174.01 Новосибирского государственного университета по адресу: 630090, г. Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан »и и, ^^¿¿2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, _

кандидат физико-математических наук оА.Д.Больбот

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из бурно развивающихся направлений современной неклассической логики является область парапепротиво-речивых логик — логик, которые допускают противоречивые, но нетривиальные теории. Паранепротиворечивые логики позволяют осуществлять нетривиальные выводы из противоречивого множества гипотез. Логики, в которых все противоречивые теории тривиальны, называют избыточными. Объективной основой появления паранепротиворечи-вых логик является стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о переходных состояниях, которые наряду с устойчивостью и относительным покоем наблюдаются в природе, обществе и познании, и в разной степени связаны с логическим понятием противоречивости. Паранепротиворечивая логика связана со многими видами неклассических логик: с модальной логикой (системой S5 К.Льюиса), с многозначными логиками, с релевантной логикой, где тоже не принимается принцип ex contraditione quodlibet: противоречие влечет все, что угодно. Отвергая этот принцип, паранепротиворечивая логика позволяет изучать феномен противоречия сам по себе.

Минимальная логика Lj (или, иначе, логика Иоганссона), предложенная И.Иоганссоном в 1936 году в процессе критики принципа "противоречие влечет все, что угодно" в конструктивных рассуждениях, заслуживает особого внимания как паранепротиворечивый аналог интуиционистской логики Li. Аксиоматика Lj получается вычеркиванием ex contraditione quodlibet из стандартного списка аксиом интуиционистской логики, точнее: Li=Lj+{X D р]. В последнее время появились многочисленные работы, посвященные логике Иоганссона, в частности, работы С.Одинцова, в которых изучается класс JHN расширений логики Lj [16, 17, 18, 19, 20, 21].

В указанных работах найдена одна важная черта, отличающая класс Lj-расширений от классов расширений избыточных интуиционистской Li и модальной К4 логик. Класс JHN имеет нетривиальную, в некотором смысле трехмерную, глобальную структуру, что позволяет свести его описание, до определенной степени, к хорошо изученным классам промежуточных и позитивных логик. Как оказалось, класс JHN является дизъюнктным объединением трех классов: известного класса промежуточных логик INT; класса NEG, состоящего из негативных логик (дефинициально эквивалентных позитивным), содержащих схему —и класса PAR собственно паранепротиворечивых расширений минимальной логики, содержащего все логики, не попавшие в первые два класса. Тот факт, что существует решеточный гомоморфизм решетки PAR на

прямое произведение 11ЧТ и NEG мотивирует попытку исследования связей между логиками указанных классов, обладающими определенными свойствами, в частности, дизъюнктивным свойством (ОР).

Проблема дизъюнктивного свойства логик впервые была поднята в связи с рассмотрением частного аспекта: закона исключенного третьего ($егНит поп с1аЫг), утверждающего, что одно из двух высказываний уз или -чр является истинным. Интуиционистская логика основана на отказе от закона исключенного третьего. Позже было установлено, что 1л обладает дизъюнктивным свойством. Впоследствии Я.Лукасевич (1952 г.) высказал гипотезу о том, что дизъюнктивное свойство является характеристическим свойством интуиционистской логики (т.е. интуиционистская логика является единственной промежуточной логикой с что, в свою очередь, индуцировало исследования указанного свойства в классе 1ИТ. В частности, были выделены логики Крайзеля-Патнема КР и Скотта БЕ — первые собственные расширения интуиционистской логики, обладающие дизъюнктивным свойством (см., например, (11, 15]). Кроме того, было показано, что существует континуум промежуточных логик с ВР [24].

Трудности, с которыми мы столкнулись при работе над результатами о дизъюнктивном свойстве в классе ^-расширений привели, в некотором смысле, к выводу о необходимости пополнения арсенала методов исследования, определенных на классе расширений минимальной логики. Этот факт вполне инициирует введение техники канонических формул как мощного метода исследования расширений логики Иоганс-сона.

Впервые техника канонических формул была введена М.Захарья-щевым для расширений модальной логики Б4 [1], а затем синтаксически перенесена на класс промежуточных логик [2], В диссертации техника канонических формул введена для логик класса ЛН1Ч. Кроме того, в работе приводится прямое доказательство аксиоматизируемости произвольного расширения интуиционистской логики 1Л относительно соответствующего класса канонических формул. -Цель работы. Исследовать условия наследования дизъюнктивного свойства логиками класса расширений минимальной логики; распространить технику канонических формул на класс расширений минимальной логики.

Методы исследования. В диссертации использованы семантические и синтаксические методы неклассических логик, такие как, метод канонических моделей, метод фильтрации, слэш Клини, алгебраическая семантика, техника канонических формул.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены подробными доказательствами.

Основные результаты. В работе получены следующие основные результаты:

1) найдено достаточное условие наследования дизъюнктивного свойства паранепротиворечивого расширения L минимальной логики ее интуиционистским и негативным напарниками; в случае негативного па-парника указанное условие состоит в том, что данная паранепротиво-речивая логика должна содержать выделенную в диссертации логику Lf;

2) для паранепротиворечивой логики Lf описана алгебраическая семантика и семантика в терминах шкал Крипке; доказано, что логика Lf финитно аппроксимируема, разрешима и обладает дизъюнктивным свойсвом;

3) паранепротиворечивый аналог Lkp промежуточной логики Край-зеля-Патнема охарактеризован в терминах шкал Крипке; доказано, что логика Lkp финитно аппроксимируема, разрешима и обладает дизъюнктивным свойством;

4) доказано, что соответствующие промежуточной логике с дизъюнктивным свойством и произвольной негативной логике релятивизо-ванная логика Гливенко и свободная комбинация обладают дизъюнктивным свойством. Это определяет два континуальных семейства пара-непротиворечивых логик с дизъюнктивным свойством;

5) определены канонические формулы для расширений минимальной логики; доказано, что любое конечно аксиоматизируемое расширение минимальной логики может быть аксиоматизировано конечным числом канонических формул.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть полезны специалистам в области неклассических логик.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на:

• заседаниях семинаров "Алгебра и логика" и "Нестандартные логики" кафедры алгебры и математической логики механико-математического факультета НГУ,

• международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибиск, 2002),

• международной конференции "Мальцевские чтения"(Новосибирск, 2002,2004),

• международной конференции Logic Colloquium 2005 (Афины, 2005).

• 9-оЙ Азиатской конференции по логике (Новосибирск, 2005). '

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [26]-[32].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 32 наименования. Общий объем диссертации составляет 121 страницу. В работе принята двойная нумерация утверждений. Например, номер 2.3 означает, что данное утверждение находится во второй главе и имеет порядковый номер 3.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводятся некоторые известные факты, касающиеся дизъюнктивного свойства в классе промежуточных логик и техники канонических формул, введенной для модальных и промежуточных логик.

В главе 1 приведены основные определения и результаты, которые будут необходимы в последующих главах. Введем те из них, которые используются при формулировке основных результатов.

Рассматриваются пропозициональные логики в языке (V, Л, Э, X), при этом отрицание считается сокращением, -чр — 1р ЭХ, где X - константа "абсурд". Как обычно, логика - это множество формул, замкнутое относительно правил подстановки и тойив ропепз.

Интуиционистская логика 1л аксиоматизируется относительно Ь) аксиомой {X Э р}. Кроме того,

Ыс = 1л + {р V ->р} — классическая логика,

Ьп = 4- {-73} — негативная логика,

Ьшп = 1^ + {-чр} + {((р 3 д) Э р) Э р} — максимальная негативная логика,

Ье — + {((р Э д) Э р) Э р} — логика классической опровержимо-сти (согласно определения Карри [10]),

Т — тривиальная логика, то есть множество всех формул.

Пусть А — алгебра в сигнатуре (Л,У, Э,Х, 1). Будем называть А-оцепкой произвольное отображение V : {ро,р\,...} А из множества пропозициональных переменных в основное множество алгебры А. Каждая А-оценка естественным образом распространяется на множество всех пропозициональных формул. Формула <р истинна в А (является тождеством алгебры А), символически А если У{ф) = 1 для любой А-оценки V.

3-алгебрами называются импликативные решетки, рассматрива^мые в сигнатуре (Л, V, 3, X, 1), где X интерпретируется как произвольный элемент решетки. Многообразию ¿-алгебр соответствует минимальная логика [17, 19].

Пусть А = (Л, V, Л, Э, X, 1) — произвольная j-алгебра. Будем называть верхней алгеброй ( как и в [17, 22]), ассоциированной с j-алгеброй А, алгебру Гейтинга А-1- с универсумом = {а € А \ а >Х} и операциями, индуцированными из А. Нижней алгеброй, ассоциированной с j-алгеброй А, называется негативная алгебра Aj_ с универсумом А± = {а € А | а <_!_}, операциями A,V, индуцированными из А, и импликацией, определенной следующим образом: х Dj_ y?i(iD у)А X.

В [16, 17, 22] описывается структура класса расширений минимальной логики. В частности, пусть JHN - класс всех нетривиальных расширений минимальной логики Lj, INT - класс всех промежуточных логик (т.е. всех расширений Lj, для которых справедлив закон Хэ р), NEG - класс негативных логик (расширений Lj, содержащих аксиому ~>р (или X)) и PAR ^ JHN — (INT U NEG) - класс всех собственно паранепротиворечивых расширений Lj.

Предложение 1.1, [16] Для любой логики L € JHN определены следующие равносильности:

1. L б INT ^ LÍ С L С Lk,

2. L € NEG <=> Ln С L С Lmn,

3. Le PAR Lj С L С Le.

Для произвольного расширения L минимальной логики определены (см. [17, 18]) интуиционистский и негативный напарники, а именно:

Lint = L + {l3p}, Lneg = L + {X},

при ЭТОМ Lint € INT, Lneg е NEG.

Для Li б INT и Z/2 € NEG определяется логика Li*L2, называемая свободной комбинацией логик L\ и L-¿y а именно:

Li *L2 ^Lj + {/(^),XD V I ¥>€ Lb^GLa}.

Пусть ¿i € INT и L2 € NEG. Рассмотрим класс логик с фиксированными интуиционистским и негативным напарниками L\ и Li ([17, 16])

Spec(Li,L2) t=í {L D Lj | Lint = Li,Lneg ~

В работе [17] было установлено, что для произвольных L\ G INT и L2 £ NEG класс

Spec(Li, L2)=[Li * L2, L\ Л L2]

образует интервал в решетке JHN, при этом интервалы вида Spec всегда не пусты, попарно не пересекаются для разных логик Li, и

JHN—(J{5pec(Zri, L2) | Lx <Е INT, L2 G NEG}.

Более того, всякий интервал вида Spec(Li,L2) бесконечен [20].

Пусть А - гейтингова алгебра, В - негативная алгебра и отображение / : В А - полурешеточный гомоморфизм, сохраняющий наибольший элемент и операцию взятия точной нижней грани, т.е. /(X) = 1, /(#Лу) = f(x)A/(у), В.В [17, 18] j-алгебра А х/В определяется

следующим образом: | А х / В | = {(х,у) ja;GA,y€B,a;< /(у)}, решеточные операции вычисляются покомпонентно, операция импликации задается формулой

(зьг/i) Э (х2>Р2) — ((xi Э х2) А/(У1 Э Уг)),У1 Э у2),

единичный элемент 1 = (1а> 1в), противоречие X = (Ха,Хв), причем (Ах; В)-1- ~ А, (А х / В)х — В. Известно [17], что всякая j-алгебра представима в таком виде.

Будем называть j-шкалой Крипке (или просто j-шкалой), тройку fi = {W, R, Q), где W - множество возможных миров, R - отношение достижимости такое, что (РГ, R) - обычная шкала Крипке для интуи-ционисткой логики, т.е. частично упорядоченное множество, Q C.W — конус относительно R> называемый конусом ненормальных миров (подмножество X С W называется конусом относительно отношения R, если из того, что х € X и xRy следует у 6 X). Миры, не входящие в Q, называются нормальными. Шкала называется острой, если она имеет наименьший элемент. Для каждого подмножества U QW положим:

U f W ^ {х € W \ (By G U)(yRx)}, UlW^{xeW\(3ye U)(xRy)}.

(В дальнейшем, в случаях, не вызывающих двусмысленности, вместо U t W и U 4- W мы будем писать U f и U |.) Кроме того, для всяких U С W, V С W положим:

U Э v={x € W I Vy е W(xRy и у £ I/ у € V)}.

Как обычно, означивание V j-шкалы ц - это отображение из множества пропозициональных переменных в множество конусов Up(W). Модель At — (/1, V) — это пара, состоящая из шкалы и ее означивания.

Выполнимость константы X на произвольной модели М. — {/i, V") определяется следующим образом:

М f=TX

В остальном, отношение выполнимости формул на модели М. определяется аналогично выполнимости на обычных моделях Крипке для интуиционистской логики.

Как обычно, говорим, что формула <р истинна на модели Л4=(/л, V), М (р, если Ух € IV выполняется Л4 <р. Формула <р истинна на ¿-шкале ¡л, если она истинна на модели (/х, V) для произвольного означивания V j-шкалы ц. Формула уэ общезначима на классе К ¿'-шкал Крипке, если ц \= (р для любой ¿-шкалы ц, € К. Говорим, что ¿-шкала ц является моделью для логики Ь € ЛНТ^ (обозначаем Ь), если 1р для всех <р € Ь. Для логики Ь € ЛЕИЧ и класса ¿-шкал К определим

Mod.iL) ^ {/1 | р И £}, ЬК ^ | V// 6 /С(/* Н у*)}-

Логика Ь из класса ЛНТ^ полна по Крипке) если Ь — ЬМо4{Ь). Логика Ь € ЛНГГЧ характеризуется (или определяется) классом ¿-шкал /С, если Ь = ЬК. Логика называется финитно аппроксимируемой, если она характеризуется классом конечных шкал Крипке.

Глава 2 посвящена дизъюнктивному свойству в классе расширений минимальной логики. Логика Ь обладает дизъюнктивным свойством (будем писать Ь €Е ЛЭР), если для любых формул у?, ф из того, что (ср V •ф) € Ь следует, что <р € Ь или ф е Ь.

Л.Максимова [14] рассмотрела алгебраический эквивалент дизъюнктивного свойства для логик полных относительно класса псевдобулевых алгебр. Как оказалось, данный результат легко распространяется и на логики полные относительно классов импликативных решеток, что весьма важно в связи с ранее описанной алгебраической семантикой па-ранепротиворечивых логик.

Импликативную решетку А назовем вполне связной, если для любых ее элементов х,у т х V у — I следует х = 1 или у = 1.

Предложение 2.1. (Алгебраический эквивалент ПР для расширений минимальной логики) Пусть логика Ь полна относительно класса К импликативных решеток. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. £ € ЭР;

2. для любых импликативных решеток А, В € К существует та-

, кал вполне связная импликативная решетка X), что V) ^ Ь и

существует гомоморфизм К : И А х В.

Пусть шкалы и ¡^г^И^Яг^Фг) такие, что

И^ П1У2 = 0, тогда через ¿¿1 + р.2 будем обозначать шкалу Л, <2),

где W~Wi U IV2, R~Ri иЯ2 и Q—Qi U Q2. Имеет место следующий семантический критерий дизъюнктивного свойства для расширений минимальной логики аналогичный критерию, предложенному в [11] для расширений интуиционистской логики.

Предложение 2.2. (Семантический критерий DP для расширений минимальной логики) Пусть логика L Э Lj характеризуется классом К шкал Крипке. Логика L обладает дизъюнктивным свойством, если для любых гикал tn> №2 € ^С, таких что Wi П W2 ~ 0, существует острая шкала juq 6 /С, в которой ¡i 1 +/J2 является конусом.

В параграфе 2.1 этой главы получены результаты, касающиеся условий наследования дизъюнктивного свойства в классах INT, NEG, PAR расширений минимальной логики.

Предложение 2.3. Если L € PAR и L € DP, то Lint € DP.

Введем аксиому F: (±3 р V q) 3 (_L V(X3 р) V (±3 q))-

В параграфе 2.1 показывается, что логика Lf Lj + F определяется свойством "быть решеточным гомоморфизмом" для отображений вида /а, а именно, А |= Lf /а{х V y)—fа(^) V /а(у) для произвольных элементов хуу алгебры А.

Предложение 2.4. Пусть L б PAR и Lf С L. Тогда если Ь € DP, то Lneg € DP.

В заключении стоит отметить, что наличие дизъюнктивного свойства у негативного и интуицинистского напарников не гарантирует наличия DP у всех логик соответствующего интервала. Действительно, для любых логик L\ 6 INT, L<¿ е NEG пересечение L% не обладает дизъюнктивным свойством.

Параграф 2.2 второй главы посвящен изучению паранепротиворечи-вой логики Lf. Нам понадобится следующий аналог теоремы Диего для минимальной логики.

Предложение 2.5. Пусть Ф(í^i, tpn) ~ Множество всех формул, построенных из произвольных формул "фх, <ръ, ... , (рп (rí > 1) с помощью константы J, и логических связок Л, Э. Тогда мнооюество

i Ф(у>1, - , 4>п)}, 10

где - класс эквивалентности относительно конечно.

Определим следующий класс конечных шкал Крипке:

^ {ц = (IV, Я, О) 1 множество XV конечно и Ух е V/ множество {х} П С? либо пустое, либо имеет наименьший элемент}.

Теорема 2.6. Логика ЬГ характеризуется классом С{ конечных ¿-шкал Крипке.

Следствие 2.7. Логика ЬГ разрешима.

Теорема 2.1 и семантический критерий дизъюнктивного свойства позволяют доказать следующую теорему.

Теорема 2.8. Логика ЬГ обладает дизъюнктивным свойством,

Логика Крайзеля-Патнема КР, аксиоматизируемая относительно интуиционистской логики 1л аксиомой {—>р Э д V г) Э Э д) V (->р Э г), стала первой логикой опровергающей гипотезу Лукасевича о том, что дизъюнктивное свойство является характеристическим для интуиционистской логики [7]. В параграфе 2.3 определяется характеризация логики Ькр — параиепротиворечивого аналога логики Крайзеля-Патнема в терминах шкал Крипке.

Пусть ¡1~(}У) Я, О) - ¿-шкала Крипке с наименьшим элементом о еУУ.

Будем говорить, что множество и обладает свойством если и только если УЕ С и выполняется

множество I/ \ ((В ^ \Q) 4-) либо пустое, либо имеет наименьший

элемент.

Определим следующий класс конечных 3-шкал Крипке Сьр:

Скр {1Л=(\¥, Я, О) | ц - конечная острая шкала и удовлетворяет условию (*)6 множество {г} обладает свойством # (в частности {о} обладает свойством #)}.

Теорема 2.9. Логика Ькр характеризуется классом СкР конечных 3 -шкал Крипке.

В диссертации показано, что логика Ькр разрешима и обладает дизъюнктивным свойством.

В параграфе 2.4 этой главы определяются два континуальных класса собственно паранепротиворечивых расширений минимальной логики с дизъюнктивным свойством.

Пусть £ е JHN. Индукцией по длине формулы <р определим выражение (р ("слэш Клини") аналогично тому, как это было сделано в [5, 7] для промежуточных и модальных логик, (далее вместо "\цр и И/, будем писать | (р):

|ь<р V» гДе *Р ~~ атомная формула;

\Ь(р Аф ^ \ь<р и ¡^ ф\ \ь<рЧф ^ I И/, или 1 У~ьФ\

\ь <р Э ф ^ [ I \~ь <р =>• \ь Ф ]•

Предложение 2.10. Пусть Ьх <е ШТ, Ь2 € КЕС и Ь1 € ВР. Если Ч>> \bitL2 Ч>-

Последнее предложение дает возможность определить условие наследования дизъюнктивного свойства свободной комбинацией логик.

Предложение 2.11. Пусть 6 ШТ, Ь2 € и Ьг € ВР. Тогда

свободная комбинация Ь\ * Ь2 обладает дизъюнктивным свойством.

В работах [17, 18, 25] рассматривается так называемая логика Гли-венко Ьб = + {-1-1(Х Э р)} - наименьшая среди логик Ь, удовлетвсн ряющих известной теореме Гливенко:

для любой формулы <р, Ьк Ь <р -ф=Ф> Ь 1—

Релятивизовапная логика Гливенко 1,^2) в интервале Зрес{Ьх, Ь2) определяется в [17, 18] следующим образом:

в(ЬиЬ2) + Э р)},

где Ьг € ШТ, Ь2 € N£0.

Предложение 2.12. Пусть Ьх е ШТ, Ь2 € КЕв, € ВР и

<7 = С(Ь\,Ь2). Если Ьс <р, то

Предложение 2.13. Пусть Ьх € ШТ, Ь2 € МЕв и 1Х е ВР. Тогда релятивизовапная логика Гливенко ¿7(1,!,£2) обладает дизъюнктивным свойством.

Таким образом, мы нашли еще один класс собственно паранспроти-воречивых расширений Lj с дизъюнктивным свойством мощности континуум. Как и в случае свободной комбинации, дизъюнктивное свойство описанного выше класса релятивизованных логик не зависит от дизъюнктивного свойства их негативных напарников.

Перейдем к главе 3. Как было отмечено ранее, всякий интервал вида Spec{L\, L2) бесконечен [20], поэтому нередко расположение логики L G JHN внутри соответствующего интервала определяется сложными условиями, затрудняющими исследование моделей и свойств логики L известными семантическими методами.

Техника канонических формул, предложенная М.Захарьящевым в [X] для случая расширений модальной логики S4, позволяет по всякой конечно аксиоматизируемой логике указанного класса построить семейство контрмоделей особого вида и охарактеризовать данную логику с помощью канонических формул, сопоставляемых этим контрмоделям. В работе [2] устанавливается связь между каноническими аксиоматизациями произвольного расширения S4 и его суперинтуиционистского фрагмента, что дает возможность перенести технику канонических формул на класс промежуточных логик. В связи с тем, что не существует общепринятой трансляции минимальной логики Lj в модальную S4, аналогичной известной трансляции интуиционистской логики в модальную, приходится искать прямое доказательство аксиоматизируемости произвольного Lj-расширения соответствующими каноническими формулами. В главе 3 техника канонических формул обобщается для логик класса JHN. Кроме того, в качестве первых приложений этой техники описываются модели паранепротиворечивых аналогов двух известных промежуточных логик.

Модельной структурой будем называть систему DX=(W, R, Q, где

• /i = (W, Я, Q)— j-шкала;

• S~ некоторая система подмножеств W такая, что S С Up{W),

06 5, Q € S> W € S и S замкнуто относительно П, U и операции Э, определенной ранее.

Пусть ШТ— (W, /2, Q, S)— произвольная модельная структура. Модель па модельной структуре 9Н определим как Л4=(9Я, V), где V : Prop —> S. Заметим, что означивание V может рассматриваться и как А ал-оценка, где A^t=(5, П, U, Э, Q>W). Определим отношение (= индуктивно следующим образом:

1. М |=а Pi а€ V(pi),

2. М 1=в <р Л ф М Ца Ч> и М \=а Ф>

3. М Ц» V3 V ф М Ч> или М, \=а Ф,

4. М \=а <Р Э ф Ух € 1У(аЯх и х ¡= (р =Ф- х ф),

5. М. [=а X о 6 о.

Модель можно рассматривать и как пару [=), где отношение [= между элементами И7 и формулами удовлетворяет условиям 2-5 и

1'. {о | а р} е

Пусть , Лх, , )— модельная структура, р>=(\У, Я, ко-

нечная ¿-шкала модельной структуры (¿1,17р(1У)). Частичным р-морфизмом из 9Л\ на ц будем называть всякое частичное отображение / из И^ на \У> удовлетворяющее условиям:

1'. (Уа, Ь € /^(ЖЖаЩЬ /(а)Д/(Ь));

2. (Ух,у € ИОСхЯу ==> (Уа € /~1(^))(3г> 6 /-1(у))(аД1Ь»;

5. (Ухе^Х^и/-1^) 4-) 6 50;

6. ГНЯ) Самодельную структуру Ш11—(Н^Я^Рь^) называем допустимой

для конечной контрмодели Я, ф, С/р(ТУ), [=) формулы у>0) если

существует частичный р-морфизм / из £Шх на (РУ, Я, , удовлетворяющий следующим условиям:

(^Уае/"1^) ^

если набор /(а |) не пуст, то набор /(а '1') открыт в М; (**) о € У-1^) /'1(1¥ \ <р)

Теорема 3.1. Формула <ро опровержима па модельной структуре ЗЕП1 тогда и только тогда, когда Ш?1 допустима для некоторой контрмодели М. € ХГ^о' ~~ множество всех конечных контрмоделей

формулы (ро с острыми шкалами.

Далее рассмотрим конечную ¿-шкалу общего вида ц — (]¥, Я, ($), в которой ео,..-,еп - все ее различные элементы, причем ео - наименьший, ео,...,ет £<2, 0 < т < п, ет+ь...,еп е

Дизъюнктивной областью шкалы ц — {И^ Я, ф) (в дальнейшем с1-областью) будем называть всякую пару (х, у) = 5 не пустых наборов элементов из \У, удовлетворяющих условиям:

1. в каждом из наборов х и у элементы попарно не сравнимы, |х| > 2;

2. {Ух е €

3. (V* € И0(г € П,езг® « € \Jyev У ^

Пусть Т> - некоторое (возможно пустое) множество дизъюнктивных областей шкалы (И-7, Л, О). Через Т)\ обозначим множество ¿-областей, в которых у П -ф 0, а через Т>2 множество тех ¿-областей, в кото-

рых у С О. Очевидно, что Т>=Т> 1 и Т>2.

Построим по ¡х = (И7,ИУ0) и V формулу

iRej -^О') Л (А 6<=Т> Л С Э Р01

где

Г,- — | -»с^Яе*,};

и

• если б — (х, |7) € Т>\, то

э ^ Vх) дЛе(е5ле<г(л1\л± эл) э

(при этом, если у П (¿—Ф, то второй конъюнктивный член отсутствует);

• если 6 = (х,г/) 6 Т>2У то * ^!=Ле(б1КлГ< А X Э 3 \/с/егг>Я:

а формула Лу определяется следующим образом:

• если £ <3, £ ф, то ^^(ЛГ^ Э р$ V X) Э р%\

• если а £ О, е^ е то л X э рз) э

• если е{ € <Э, е <2, то Э р]) Э

Построенная формула в случае С? = 0 полностью совпадает с формулой Х{р,,Т>, X), построенной в [2] для промежуточных логик.

В случае, когда ^'-шкала ТУ, Л, О) является ненормальной (IV ~ ф, во,еп - все ее различные элементы, причем ео - наименьший), формула ./(¿х, Т>) принимает следующий вид:

Лг=<э(д>£>) ^ (Ае(йе/ Лц) А (Л*€р2 В5)Л±Эро,

где

Ау^(ЛГ, Эр,) Эр*,

и если д — (х, |/) € Т>2, то

Я*=Ле(€*(лГ< А х Э Р() Э У^ехРг

Пусть - модельная структура, а Д, <5) -

конечная ^-шкала. Модельная структура называется допустимой для формулы ,/(/*, X?), если существует мастичный р-морфизм /: 9Я1 —)■ (IV, К, удовлетворяющий условиям:

(A) если (я,у) е Х> и с € Т> то

с е П^гС/'Ч®) I) с € Ц,еу(Г1 (у) 1У>

(B) С е /-ЧИ0 ? ==» с е 4-.

Теорема 3.2. 93?! ¥ J(/^, 2?) тогда и только тогда, когда модельная структура допустима для формулы

Теорема 3.3. Ло кар/сдой формуле <р можно построить канонические формулы J(l^'\, Т>1), J(f^n,T>n) (п > 0) такие, что

ГЛ+^Ьл+^ъХ»1) + ... + ./(д„,1>п).

Параграф 3.4 данной главы посвящен описанию через канонические формулы всех контрмоделей наралепротиворечивот._аналога промежуточной логики Скотта Ьз=1Л+'{ (-^р^э р) Э р V ~>р V -1~>р} и, кроме того, доказательству фшштной"аппроксимируемости логики Ьзкр—Ькр+Ьз, промежуточный аналог которой исследовался в [15]. "

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям Сергею Павловичу Одинцову и Николаю Васильевичу Белякину за постановку задач, постоянную поддержку и внимание к работе, ценные замечания и плодотворные обсуждения.

Список литературы

[1] Захаръящев М.В. Синтаксис и семантика модальных логик, содержащих 54 // Алгебра и логика. - 1988. - Т. 27, No 6. - Стр. 659-689.

[2] Захаръящев М.В. Синтаксис и семантика суперинтуиционистских логик // Алгебра и логика. - 1989. - Т. 28, No 4. - Стр. 402-429.

[3] Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики, - Москва: Наука, 1972. - 592 стр.

[4] Arruda A. A Survey of Paraconsistent Logic: Mathematical Logic in Latin America (Ed. by Arruda A., Chuaqui R., Da Casta N.C.) // Proc. Symp., Santiago, 1978. - P. 1-41.

[5] Bozic M., Dosen K. Models for Normal Intuitionistic Modal Logics // Studia Logica. - 1984. - Vol. 43, No 1. - P. 217-245.

[6] Burris S., Sankappanavar H. A course in universal algebra. - New York: Springer, 1981. - 276 p.

[7] Chagrov A., Zakharyaschev M. The Disjunction Property of intermediate propositional logics // Studia Logica. - 1986. - Vol. 45, No 1. - P. 189-215.

[8] Chagrov A., Zakharyaschev M. The undecidability of the Disjunction Property of propositional logics and other related problems // The Journal of symbolic Logic. - 1993. - Vol. 58, No 3. - P. 967-1002.

[9] Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. - Oxford: Clarendon press, 1997. - 605 p.

[10] Curry H. Foundations of mathematical logic. - New York: McGrow-Hill Book Company, 1963. - 498 p.

[11] Gabbay D.M. The decidability of the Kreisel-Putnam system // The Journal of symbolic Logic. - 1970. - Vol, 35, No 1. - P. 54-63.

[12] Gabbay D.M., De Jong D.H.J. A sequence of decidable finitely axiomatazible intermediate logics with the disjunctive property // The Journal of symbolic Logic. - 1974. - Vol. 39, No 1. - P. 67-78.

[13] Jankov V.A. Relationship between deducibility in the intuitionistic propositional calculus and finite implicational structures // Soviet Mathematics Doklady. - 1963. - Vol. 8. - P. 1203-1204.

[14] Maksimova L.L, On maximal intermediate propositional logic with the Disjunction property // Studia Logica. - 1986. - Vol. 45, No 1. - P. 69-75.

[15] Minarx P. On the extensions of intuitionistic propositional logic with Kreisel-Putnam's and Scott's schemes // Studia Logica. - 1986. -Vol. 45, No 1. - P. 55-68.

[16] Odintsov S.P. Maximal paraconsistent extension of Johansson logic // Logique at Analyse. - 1998. - Vol. 161-162-163. - P. 107-120.

[17] Odintsov S.P. Representation of ¿-algebras and Segerberg's logics // Logique at Analyse. - 1999. - Vol. 165-166. - P. 81-106.

[18] Odintsov S.P. Algebraic semantics and Kripke semantics for extensions of minimal logic // Logical investigations (electronic journal). - 1999.

- Vol. 2. -http://www.logic.ru/LogStud/02/No2-06.html

[19] Odintsov S.P. Logic of classical refutability and class of extensions of minimal logic // Logic and Logical Philosophy. - 2001, - Vol. 9. - P. 91-107.

[20] Odintsov S.P. On the Structure of Paraconsistent Extensions of Johansson's Logic (extended abstract) // CLE-e-prints (electronic resource).

- 2002. — Vol. 2. — http://cle.unicamp.br/e-prints

[21] Odintsov S.P. On the structure of paraconsistent extensions of Johansson's logic // Journal of Applied Logic. - 2005. - Vol. 3, No 1.

- P. 43-65.

[22] Rasiowa H. An algebraic approach to non-classical logics. -Amsterdam: North-Holland, 1974. - 403 p.

[23] Segerberg K. Propositional Logics Related to Heyting's and Johansson's // Theoria. - 1968. - Vol. 34. - P. 26-61.

[24] Wronski A. Intermediate logics and the disjunction property // Reports on Mathematical Logic. - 1973. - Vol. 1. - P. 39-51.

[25] Woodruff P. A note on JP' // Theoria. - 1970. - Vol. 36. - P. 183-184.

Работы автора по теме диссертации

[26] Стукачева М.В. О дизъюнктивном свойстве одного паранепроти-воречивого расширения минимальной логики // Материалы XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. - Новосибирск, 2002.

- Стр. 20-21.

[27] Стукачева М.В. О дизъюнктивном свойстве паранепротиворечиво-го аналога логики Крайзеля-Патнема // Труды XXXIV ргиональ-ной молодежной школы-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". - Екатеринбург, 2003. - Стр. 54-57.

[28] Стукачева М.В. О дизъюнктивном свойстве в классе паранепроти-воречивых расширений минимальной логики // Алгебра и логика.

- 2004. - Т. 43, No 2. - Стр. 235-252.

[29] Стукачева М.В. Некоторые замечания о конструктивных расширениях минимальной логики // Вестник Новосибирского государственного университета, серия: Математика, механика, информатика. - 2005. - Т. 5, No 3. - Стр. 3-16.

[30] Стукачева М.В. О канонических формулах для расширений минимальной логики // Сибирские электронные математические известия. - 2006. - Т. 3. - Стр. 312-334. - http:// semr.math.nsc.ru

[31] Stukacheva M. About canonical formulas for paraconsistent extensions of minimal logic // Logic Colloquium, Abstracts. - Athens, 2005. - P. 120.

[32] Stukacheva M. On canonical formulas for extensions of minimal logic // The Bulletin of Symbolic Logic. - 2006. - Vol. 12, No 2. - P. 348,

Стукачева Марина Викторовна

ДИЗЪЮНКТИВНОЕ СВОЙСТВО и КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ В КЛАССЕ РАСШИРЕНИЙ МИНИМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Формат 60 х 84 1/16 Усл. печ. л. 1.0 Тираж 100 экз.

Подписано в печать 18.09.06 Печать офсетная Заказ № 418

Лицензия ЛР №021285 от 6 мая 1998 г. Отпечатано на полиграфическом участке НГУ, 630090, Новосибирск-90, ул.Пирогова 2

Введение

1 Предварительные сведения

2 Дизъюнктивное свойство в классе расширений минимальной логики

§2.1 Дизъюнктивное свойство напарников паранепротиворечивых расширений минимальной логики.

§2.2 Дизъюнктивное свойство логики Lf.

§2.3 Дизъюнктивное свойство логики Lkp.

§2.4 Другие примеры паранепротиворечивых логик с DP.

3 Канонические формулы для расширений минимальной логики

§3.1 Алгоритм выделения.

§3.2 Опровержимость на модельной структуре.

§3.3 Канонические формулы.

§3.4 Некоторые приложения техники канонических формул для расширений минимальной логики

§3.4.1 О моделях паранепротиворечивого аналога логики Скотта

§3.4.2 О моделях паранепротиворечивой логики Lskp

Одним из бурно развивающихся направлений современной неклассической математической логики является область паранепротиворечивых логик — логик, которые допускают противоречивые, но нетривиальные теории. Паранепротиворечивые логики позволяют осуществлять нетривиальные выводы из противоречивого множества гипотез. Логики, в которых все противоречивые теории тривиальны, называют избыточными. Объективной основой появления паранепротиворечивых логик является стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о переходных состояниях, которые наряду с устойчивостью и относительным покоем наблюдаются в природе, обществе и познании, и в разной степени связаны с логическим понятием противоречивости. Противоречивые данные возникают на судебных заседаниях, в дискуссиях, полемике, в научных теориях (прежних и новых) и других сферах интеллектуальной деятельности.

Предшественниками паранепротиворечивой логики как нового вида неклассической формальной логики явились логики Н.А. Васильева и Я. Лукасевича. Как новый вид математической логики паранепротиво-речивая логика разрабатывалась в работах польского логика Ст. Яськов-ского. Бразильский математик Н.да Коста, занимающийся исследованиями в области паранепротиворечивой логики, отмечал, что в общем случае эта система должна удовлетворять следующим условиям: во-первых, из двух противоречащих формул (р и -iip в общем случае нельзя вывести произвольную формулу ф] а, во-вторых, дедуктивные средства классической логики должны быть максимально сохранены, поскольку они — основа всех обычных рассуждений (в первую очередь должен быть сохранен закон modus ponens). История паранепротиворечивой логики изложена в работе [4].

Паранепротиворечивая логика связана со многими видами неклассических логик: с модальной логикой (системой S5 К.Льюиса), с многозначными логиками, с релевантной логикой, где тоже не принимается принцип ex contraditione quodlibet: противоречие влечет все, что угодно. Отвергая этот принцип, паранепротиворечивая логика позволяет изучать феномен противоречия сам по себе.

Минимальная логика Lj (или, иначе, логика Иоганссона), предложенная И.Иоганнсоном в 1936 году в процессе критики принципа "противоречие влечет все, что угодно" в конструктивных рассуждениях, заслуживает особого внимания как паранепротиворечивый аналог интуиционистской логики Li. Аксиоматика Lj получается вычеркиванием ех contraditione quodlibet из стандартного списка аксиом интуиционистской логики, а именно: Li=Lj+{L D р}.

Как оказалось, в логике Lj для любых формул <£>, ф можно доказать, что р, hLj ф.

В свою очередь, это означает, что связка отрицания теряет смысл в противоречивых Lj-теориях, поскольку в таких теориях доказуемо от-1 рицание любой формулы. Этот результат объясняет тот факт, что минимальная логика долгое время находилась вне внимания специалистов по паранепротиворечивости. Однако, в последнее время появились многочисленные работы, посвященные логике Иоганссона, в частности, работы С. Одинцова, в которых изучается класс JHN расширений логики Lj [16, 17, 18, 19, 20, 21].

В указанных работах найдена одна важная черта, отличающая класс Lj-расширений от классов расширений избыточных интуиционистской Li и модальной К4 логик. Класс JHN имеет нетривиальную, в неко-* тором смысле трехмерную, глобальную структуру, что позволяет свести его описание, до определенной степени, к хорошо изученным классам промежуточных и позитивных логик. Как оказалось, класс JHN является дизъюнктным объединением трех классов: известного класса промежуточных логик INT; класса NEG, состоящего из негативных логик дефинициально эквивалентных позитивным), содержащих схему и класса PAR собственно паранепротиворечивых расширений минимальной логики, содержащего все логики, не попавшие в первые два класса. В работах С. Одинцова для любой логики L £ PAR определяется ее интуиционистский напарник Lint (негативный напарник Lneg) как наименьшая логика из класса INT (соответственно, из класса NEG), содержащая логику L. Там же показано, что имеются сильные трансляции (т.е. сохраняющие отношение следования) логик Lint и Lneg в исходную логику L. Тот факт, что существует решеточный гомоморфизм решетки PAR на прямое произведение INT и NEG мотивирует попытку исследования связей между логиками указанных классов, обладающими определенными свойствами, в частности, дизъюнктивным свойством (DP).

Проблема дизъюнктивного свойства логик впервые была поднята в связи с рассмотрением частного аспекта: закона исключенного третьего (tertium поп datur), утверждающего, что одно из двух высказываний <р или -к/? является истинным. Л.Брауэр подверг серьезной критике специфику действия данного закона при наличии "неопределенности" в познании и сделал вывод о том, что tertium поп datur применяется лишь там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: или—или, истина—ложь, что, в определенном смысле, отвергается и в контексте паранепротиворе-чивости. Отказавшись в общем случае от закона исключенного третьего и построив интуиционистскую логику, многие исследователи заинтересовались более общим вопросом о наличии дизъюнктивного свойства у произвольной логики.

Гипотеза Лукасевича 1952 года о том, что дизъюнктивное свойство является характеристическим свойством интуиционистской логики (т.е. интуиционистская логика является единственной промежуточной логикой с DP) индуцировала исследования указанного свойства в классе INT. В частности, были выделены логики Крайзеля-Патнема КР и Скотта SL — первые собственные расширения интуиционистской логики, обладающие дизъюнктивным свойством (см., например, [11,15]). Кроме того, было показано, что существует континуум промежуточных логик с DP [24]. Наиболее полно результаты, касающиеся этой тематики, изложены в обзоре [7].

Глава 2 данной диссертации посвящена изучению условий наследования свойства дизъюнктивности логиками классов PAR, INT и NEG. Как оказалось, сравнительно несложно показать, что дизъюнктивное свойство паранепротиворечивой логики L (L 6 DP) наследуется ее интуиционистским напарником Lmt (что весьма интересно в связи с рядом результатов, касающихся дизъюнктивного свойства промежуточных логик). С другой стороны, наличие указанного свойства у паранепротиворечивой логики не гарантирует наличие этого свойства у ее негативного напарника (в работе приведен пример такой ситуации). Мы определим логику Lf Е PAR, играющую важную роль при указанном наследовании: негативный напарник Lneg логики L <Е PAR обладает DP, если L Э Lf и L Е DP. Кроме того, в этой части мы, в некотором смысле, решим проблему обратного наследования дизъюнктивного свойства, а именно, выделим два континуальных класса паранепротиворечивых логик, наследующих свойство дизъюнктивности своих интуиционистских напарников без каких-либо условий. Также во второй главе мы установим наличие DP у паранепротиворечивого аналога Lkp промежуточной логики Крайзеля-Патнема КР. В работе мы выделим класс конечных шкал Крипке, характеризующий логику Lkp, а также докажем разрешимость указанной паранепротиворечивой логики.

Трудности, с которыми мы столкнулись при работе над результатами этой главы, в некотором смысле, привели к выводу о необходимости пополнения арсенала методов исследования, определенных на классе расширений минимальной логики. Этот факт вполне объясняет появление результатов следующей главы, пополняющих спектр методов исследования расширений логики Иоганссона техникой канонических формул.

Как известно, иногда имеет смысл исследовать контрмодели логики и с их помощью характеризовать логику в терминах алгебр или шкал Крипке (см., например, [13]). В главе 3 обобщается техника канонических формул для расширений минимальной логики, позволяющая по всякой конечно аксиоматизируемой логике указанного класса построить семейство контрмоделей особого вида и охарактеризовать данную логику с помощью канонических формул, сопоставляемых этим контрмоделям. Впервые техника канонических формул была введена М.Захарьящевым для расширений модальной логики S4 [1], а затем синтаксически перенесена на класс промежуточных логик [2]. В связи с тем, что не существует общепринятой трансляции минимальной логики Lj в модальную S4 , аналогичной известной трансляции интуиционистской логики в модальную, при исследовании логик класса JHN техника канонических формул, предложенная М.Захарьящевым, была существенна изменена. Кроме того, в данной работе приводится прямое доказательство аксиоматизируемости произвольного расширения интуиционистской логики Li относительно соответствующего класса канонических формул. В качестве первых приложений этой техники получено описание всех моделей логики Ls, а также определен класс шкал Крипке, характеризующий паранепротиворечивую логику Lskp=Lkp+Ls.

1. Захаръящев М.В. Синтаксис и семантика модальных логик, содержащих £4 // Алгебра и логика. - 1988. - Т. 27, No 6. - Стр. 659-689.

2. Захаръящев М.В. Синтаксис и семантика суперинтуиционистских логик // Алгебра и логика. 1989. - Т. 28, No 4. - Стр. 402-429.

3. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. Москва: Наука, 1972. - 592 стр.

4. Arruda A. A Survey of Paraconsistent Logic: Mathematical Logic in Latin America (Ed. by Arruda A., Chuaqui R., Da Casta N.C.) // Proc. Symp., Santiago, 1978. P. 1-41.

5. Bozic M., Dos en K. Models for Normal Intuitionistic Modal Logics // Studia Logica. 1984. - Vol. 43, No 1. - P. 217-245.

6. Burris S., Sankappanavar H. A course in universal algebra. New York: Springer, 1981. - 276 p.

7. Chagrov A., Zakharyaschev M. The Disjunction Property of intermediate prepositional logics I j Studia Logica. 1986. - Vol. 45, No 1. - P. 189-215.

8. Chagrov A., Zakharyaschev M. The undecidability of the Disjunction Property of propositional logics and other related problems // The Journal of symbolic Logic. 1993. - Vol. 58, No 3. - P. 967-1002.

9. Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford: Clarendon press, 1997. - 605 p.

10. Curry H. Foundations of mathematical logic. New York: McGrow-Hill Book Company, 1963. - 498 p.

11. Gabbay D.M. The decidability of the Kreisel-Putnam system I j The Journal of symbolic Logic. 1970. - Vol. 35, No 1. - P. 54-63.

12. Gabbay D.M., De Jong D.H.J. A sequence of decidable finitely axiomatazible intermediate logics with the disjunctive property // The Journal of symbolic Logic. 1974. - Vol. 39, No 1. - P. 67-78.

13. Jankov V.A. Relationship between deducibility in the intuitionistic propositional calculus and finite implicational structures // Soviet Mathematics Doklady. 1963. - Vol. 8. - P. 1203-1204.

14. Maksimova L.L. On maximal intermediate propositional logic with the Disjunction property // Studia Logica. 1986. - Vol. 45, No 1. - P. 69-75.

15. Minari P. On the extensions of intuitionistic propositional logic with Kreisel-Putnam's and Scott's schemes // Studia Logica. 1986. -Vol. 45, No 1. - P. 55-68.

16. Odintsov S.P. Maximal paraconsistent extension of Johansson logic // Logique at Analyse. 1998. - Vol. 161-162-163. - P. 107-120.

17. Odintsov S.P. Representation of j-algebras and Segerberg's logics // Logique at Analyse. 1999. - Vol. 165-166. - P. 81-106.

18. Odintsov S.P. Algebraic semantics and Kripke semantics for extensions of minimal logic // Logical investigations (electronic journal). 1999. -Vol. 2. - http: //www. logic. ru/LogStud/02/No2-06. html

19. Odintsov S.P. Logic of classical refutability and class of extensions of minimal logic // Logic and Logical Philosophy. 2001. - Vol. 9. - P. 91-107.

20. Odintsov S.P. On the Structure of Paraconsistent Extensions of Johansson's Logic (extended abstract) // CLE-e-prints (electronic resource). -2002. Vol. 2. - http://cle.unicamp.br/e-prints

21. Odintsov S.P. On the structure of paraconsistent extensions of Johansson's logic // Journal of Applied Logic. 2005. - Vol. 3, No 1. -P. 43-65.

22. Rasiowa H. An algebraic approach to non-classical logics. Amsterdam: North-Holland, 1974. - 403 p.

23. Segerberg K. Propositional Logics Related to Heyting's and Johansson's 11 Theoria. 1968. - Vol. 34. - P. 26-61.

24. Wronski A. Intermediate logics and the disjunction property // Reports on Mathematical Logic. 1973. - Vol. 1. - P. 39-51.

25. Woodruff P. A note on JP' // Theoria. 1970. - Vol. 36. - P. 183-184.Работы автора по теме диссертации

26. Стукачева М.В. О дизъюнктивном свойстве одного паранепротиво-речивого расширения минимальной логики // Материалы XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск, 2002. - Стр. 2021.

27. Стукачева М.В. О дизъюнктивном свойстве паранепротиворечиво-го аналога логики Крайзеля-Патнема // Труды XXXIV ргиональной молодежной школы-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 2003. - Стр. 54-57.

28. Стукачева М.В. О дизъюнктивном свойстве в классе паранепроти-воречивых расширений минимальной логики // Алгебра и логика.2004. Т. 43, No 2. - Стр. 235-252.

29. Стукачева М.В. Некоторые замечания о конструктивных расширениях минимальной логики // Вестник Новосибирского государственного университета, серия: Математика, механика, информатика.2005. Т. 5, No 3. - Стр. 3-16.

30. Стукачева М.В. О канонических формулах для расширений минимальной логики // Сибирские электронные математические известия. 2006. - Т. 3. - Стр. 312-334. - http:// semr.math.iisc.ru

31. Stukacheva М. About canonical formulas for paraconsistent extensions of minimal logic // Logic Colloquium, Abstracts. Athens, 2005. - P. 120.

32. Stukacheva M. On canonical formulas for extensions of minimal logic // The Bulletin of Symbolic Logic. 2006. - Vol. 12, No 2. - P. 348.