Доказуемостно-интуиционистская логика и ее расширения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ипзаг .

ОРДЕНА ДРУЖЕН НАРОДОВ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА

Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики с ВЦ

На правах рукописи УДК 510

СШСНОВА ИРША ГАЯНОВНА

ДОШШШй(ШНО-ИНТУЩИОШСТСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ РАСШИРЕНИЯ

01.01.06 - математическая логика, алгебра» ■и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КИШИНЕВ - 1992

Работа выполнзна на кафедре алгебру и теории чисел Одзоокйгй/:;~',:, Ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им И. И.Мечникова. ( .. "

' * . V

Научные руководители - кандидат (Тизико-математических-наун,.

старший научный сотрудник А.В.Кузнецов, кандидат физико-математических наук, стардий научный сотрудник А.Ю.Муравицкий

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Л.Максимова,

:. , кандидат физико-математических наук,

■ ■ стараий научный сотрудник И.С.Негру

Ведущая организация - "нститут новых' технологий, Москва

Защита диссертации состоится "_"_1992 г.

в_часов на заседании Специализированного Совета К OIS. 03.01

по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики о ВЦ АН Ш по адресу: г. Кишинев, ул. Академическая, 5,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке АН R.Í.

Автореферат разослан " " 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физ.-мат. наук

Г.Р.Белявская

йсшгстиш« 1 щздтш

| ^ р »«.а.ИЛсак» I Отдел

1 ЖХСССртщи* ^ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность тем». В своей известной работе 1508 года о недостоверности логических принципов Л.Бра-уэр подверг критике традиционное убеждение в априорно*! пригодности к шссической логики. Он считал, что расппренноо толкование притщипов этой логики привело к появлению парадоксов теории множеств, а, следовательно, к воэпикпов9Нот кризиса соко-вашй го-и^атики. Хотя, согласно одной из установок Л.Брчуэра математика долита состоять в интуитивных конструкциях и птиу-итивнчх рассулдошшх на основа с:,«ела предложение о таких конструкциях, а не ь формальной дедукции из формально установленных аксиом, в настоящее время гтод интуиционистской логикой принято погашать ту совокупность законов, которая была аксиоматизировать А.Рейтингом в 1930 году.

Одна из первых попыток интерпретации законов интуиционистской логики была сделана в работа А.Н.Котссорогз [I], предложившего истолкование интуиционистской логики "ак логики задач и связавшего истинность математического высказывания с задачей его доказательства, а ложность - с задачей его опровержения. Дальнейшее уточнение колногоровской логики задач привело к логикам, отличным от интуиционистской - к логике рекурсивной реализуемости С.Клина н Дж.Роуза [?,3] и логике финит ос задач Т.Ю.Медведева [4]. Позже было . ;ок«зано, что эти логики несравнимы недду собой. Излишняя сложность задания двух последних логик .навела на мысль об аппроксимировании их с помощью более простых логик, промежуточных ме,ТчДу классической и интуиционистской, что породило устойчилий пи— тйрэс к таким логикам.

. В 1933 году К.Гедель предложил иное истолкованио интуиционистской логики, погружая во в модальную логику и систематически используя модальность "доказуемо". Это погруженио, подробнее разработанное позднее А.Тарскии и Н.С.Новиковым, остановилось на полпути, оставаясь без точной интерпретации модальности "доказуемо", поскольку еще К.Гедель заметил, что по-шшса непосредственно пнтерпретировагь ее как формальную доказуемость (выводимость) в Ивановской арифметике наталкиваа«.-!.' на непреодолимые трудности из-за неполноты РА.

Решая задачу погружения интуиционистской логики б Пеаг.ов-скув арифметику, А.Б.Кузнецов и А.Ю.Муравицкий предложили [5"} различать две модальности: о. (доказуемость в РА) и д (геделизированная доказуемость) , понимая как ароматическое .высказывание, выражающее по К.Геделю доказуемость высказывания (¡1, в РА, а о СЬ » как содержательное высказывание о том, что 01 формально доказуемо (выводимо) в классической арифметике. Непосредственное описание геделизированной доказуемости било акисиоыатизировано ими в исчислении Д [б]: ¿4» Г'Л-г (ПР-=>Р) ■* (¿р^ьц,)) ■+ + (л(лр =>/>)=> лр) + А/дА + ¿А/^

гдо э;ик о обозначает обогащение сигнатуры исчисления I новой святой. Тогда же било замечено, что отбрасывание из списка постулатов исчисления А аксиомы ( Ар =>лд р ) 'и правила л А/А, дает исчисление ¿г , равнообъемкое, но не равно-сыыюе исчисле:шю Д .

Незаьис" мо А.Ю.иуравицкий ГЬ,б), Р.Годдблатом [7] в Г.Булоесаг [вЗ било доказано, что для всякой $ормулъ А ис-чхалоты I гыхп место следухщие эквивалентности:

I нА ¿Ф 4 н Т%А ТъА (I)

гдэ ТъА - -результат расстановки в А знака □ перед кс^лой подформулой "3 и расиифровки а В как 8 & д

Поело того, как возникла возможность обобщить соотношение (I) на формулы сигнатур«

¿V => 7 Л,

А.В.Кузнецов сформулировал [9] доказуег^сгно-шгтувдионистскуто логику, которая в языко этой сигнзтури задается исчислением

1Л - 1'А + (Р=>*Р) + ((¿Р^Р) =>р) + (((Р =*?)^Р) ^Р».

Шккоство расгарскнй длхазуешстно-иитуицкошюгсгсоЯ лога-ГЛ1 сброэуот ропоту (обозначаем!'» XIй ), которая, подобно рэ-потке 7.1 расширений интущногшстской логика, имеет «аи-кеньшиД (до^азуемостко-интуиционнстская логика^ п накболтенй (абсолютно противоречивая логика) элементы а является диогря-СутигкоЯ.

Ассерторически« фрагментом произвольной логики ^ называют множество формул сигнатуры

¿У=>7 (2)

принадлежащих & .

Исчисления и К. называют ассерторически равносильными, если

для всяких формул А п В сигнатуры (2).

В [ю] доказана ассерторическая равносильность исчислений I4 з I . Отсвда следует £п] , что всякая супоряитуи-цяогастская логика, т.о. логика, которая ячлшзгея расширением • интуиционистской логики, служит ассерторический фрагментом но-

которого расширения дсказуемостю-интуиционистской логика. А.В.Кузнецов перенес известное разбиение решетки %1 на слои по лосои на решетку %1Л , предложив считать [III, что логика ¿сХГ^дежит в к- -ом слое тогда и только тогда, когда ее ассерторический фрагмент принадлежит к. -вд слою Хосои. Ны же была предложена [10] алгебраическая интерпретация до-казуемостно-интуиционистской логики ( л -псевдобулеЕЫ алгебры) что позволило "перевести" многие логические проблемы h-j алгебраический язык, в частности, доказать разрешимость I ;

Некоторые свойства логик решетки были изучены

А.Ю.Муравицккм. Им доказало [12], что исчисление 1Л моделируемо конечными системами Кринке и построен пример даыодели-руеыого расширения доказуемостао-интуииионистской логаки. В [il, 13Л проведено сравнительное исследование решетки 21л и решеток расширений интуиционистской логшш, логшя доказуемости и логшш Гкегорчика, е закке построены естественные отобразечия "»иеток друг в друга и описаны некоторые свойст- -на расширений, сохраняемые отображениями. Из этих результа-тов< вытекает, в частности [13] существование ровно счетного доояества предтабличншс расширений доказуемостко-интуч-ционистской логики.При этом остались открытыми вопросы о наличия у доказуеысстно-интуиционистской логики интерполяционного j седарационного'свойств, ¿опросы "распределения" логических свойств в решетка . Представляет определенный интерес дальнейшее изучение связей ывкду этой решеткой и расе ткьш расипреннй других известных логик.

Приыгчвние традиционных методов, позволивших решить аналогичное ирэйлет для других интуиционистских систем затруднено педегшзм дополнительной модально}, связки. А -псевдо-

булевы алгебры, которие служат алгебраической интерпретацией для доказуемостно-интукцпонлстской логики, обладают специфическими, по сравнению с псецдобуловцга алгебрами, свойствами, обусловлсннши палкткси унарной операц:п! А . Bes это делает актуальной задачу разработки методики работы с модалыго-пнтуи-ииогастскнш логиками и соответствующими ям алгебраическими системами.

Цель работы. Изучить некоторые логические свойства доказуеностно-интуициокистской логики и еа расширений, а также связи медпу решеткой расширений 21Л и решетка?,и расшл-решкй других изгесттсс логик. Бали сформулированы следукггпе задач:!:

1) г.иясяить, обладает ла доказуемостно-интуиционистская логика интерполяционна свойство»;

2) опрс юлить мощность множества лотш с ~акнм свойством в реи-эткэ ША ;

3) исследовать естественные отображения решетка ZId в репетку 2У" и решетка 21 в рикетку ZI к предает сохранения интерполяционного свойства;

4) полупить критерий локальной табличное«! для логик решетки Ш Á ;

5) определить число предлокалько-табличкцх распирошй доказуемостно-интутдионистской логики ц описать их расположение в рев;е .со X/Á ;

6) проверить наличие ссларационного свойства для Исчисления I" .

Общая методика исследований.

ОДНИМ ИЗ ОСНОВНЫХ ЫОТОДОВ било ПОСТрСОНИа А -ПСОЕДОбу-

левых алгебр или ех совокупностей с заданными свойствами и определение расширений доказуемостно-интуиционистской логики как логик многообразий, порожденных этими алгебрами. Эти построения потребовали детального изучения как свойств простых фильтров, так и структуры л -псевдобулевых алгебр, особенности которых обусловлены введением новой унарной операции ^ , При установлении критерия локальной табличное™ было использовано разбиение решетки на слои, предло;к-';,^э А,В.Кузнецовым. Сепарацтонное свойство для исчисления / доказано методом перестройки шводов, позволяющим получать из проивольного вывода формулы Л ее вывод, не содержаний логических связок, не входящих в эту формулу и отличных от связки импликации.

Научная новизна, практическая и теоретическая ценность.

Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются ное^ми. Доказано, что расширение доказуемостно-интуицио-' нистской логика обладает интерполяционным свойством тогда и только тогда, когда соответствующее этой логике многообразие А -псевдобулевых алгебр амальгамируемо. Установлена аыальга-ипруемость многообразия всех & -псевдобулевых алгебр, что соответствует наличию .интерполяционного свойства у докязуе-иостко-*:нгуицнонисгской логики. Построен континуум амальгамируемых и континуум не^амалыамируекых многообразий Л -псевдобулевых алгебр, что равносильно построению континуума

рас к! рений доказуемостно-интуиционистской логики, обладающих

»

готгерпадяц.юнкым свойством и континуума расширений, этим свойством не обладающих. Установлено, что отображение V ре-поти! %1А в решетку XI ве сохраняет интерполяционно-

го свойства, в то время как отобраяение у решетки ZJ в решетку %1Л зто свойство сохраняет. Сформулирован алгоритмический критерий локальной табличности для логик решетки и установлено, что г этол решетке существует только одна пред-локалыга-табличная логика, которая задается исчислением

и является наибольшей логикой предельного слоя. При этом установлено, чт." '.тобрат.екие ju>°x. решетки в решетку расширений логики Гжегорчгаса, рассмотренное в fill, сохраняет свойства локальной тсбдичнооти и предлокальной табличности. Доказано сепарационное свойство для исчисления 1Л .

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применение в различных разделах математической логи-1Ш, современной алгебры и математической кибернетики.

Апробацпя работы. Результата диссертации докладывались:

- на Седьмой Всесоюзной конференции по математической логика (Новосибирск, 1984),

- на ХУШ Всесоюзной алгебраической конференции (Кишинев, 1985);

- на Восьмой Всесоюзно!' конференции по математической логике (Москва, 1986);

- на Девятой Всесоюзной конференции по ыатематичэс-ой логике (Ленинград, 1988);

- на Международной конференции по алгебре (Барнаул, 1Э91);

- на семинарах по алгебра и математической логике Института математики с ВЦ АН R1;

- на семинарах по алгебре и математической логики Одесского госуниЕерситета,

Публикации. Содернание работы отражено в 7 работах. Список работ приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Она содержит 108 страниц, включая 9 рисунков п 76 наименований литературных источников.

©ЗДЕШНИЕ РАБОТЫ

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней пр.годятся основные определения и доказываются некоторые утверждения, которые используются в дальнейшем.

Рассматривается исчисление 1Л , задавдеэ доказуемостно-интуиционистскую логику, которое получается из интуиционистского пропозиционального исчисления I с постулированным правилом подстановки путем обогащения его одноместной связкой Л и добавлением аксиом:

I) (р=>лр) 2) ((лр^р)=>Р)

3) ((( у) =>/>) => (л ц. Иногда вместо 3) удобнее использовав аксиому

4) (лР ^(в-У(^^р))), что даиг равносильное исчисление.

Совокупность всех расшрений доказуемостно-интукционист-ской логики как частично упорядоченное ынсшество относительно моритако-мн собственного включения ^ образует полную ре-сетку 2,1^ с единицей (абсолютно противоречивая логика) и елинствешшн коа-гоыом - логикой , которая получается из

]л добад2еш1еи к а-'зиоыам последней форглулы (77Р ^ Р ).

Алгебраической интерпретацией для 1Л служат А -псев-добулеш алгебры ( А -ПЕА), т.е. системы вида ( с, У, ^ 1, Л } , где (X ^ •=>, 1) - псевдобулева алгебра (ПЕА), причем верны тождества 1

х

А%-=>х - хл Л х 6

где Жйу ^ х&у = х.

Кездой логика Езаимно-однозначно соответствует

многообразие А -псевдобулевых алгебр, определяемое со-

вокупностью тождеств

//М ¡А<*1] . Многообразию Щ А ~ ПЕА отвечает логика ёШ- ША'*).

Алгебра 01 называется вполне связной, если для всех

хУу'1 мечет х=1 или 1 . Псевдобулева алгебра (V, называется Л -обо-

гатимой, если с/ществует такая операция А на £ ., что

"?, «О - Л -ПЕА. Элемент х псевдобулевой алгебры <Я- называется делътируегдым, если для него существует наименьший из таких у ¿г £ , что ^

Во второй, третьей и четвертой главах рассматривается интерполяционное свойство применительно к дсказуемостно-интуицио-нистской-логике и ее расширениям. Окаг шается, что описание расширений логики 1Л , обладающих интерполяционным свойством, можно получить из описания амальгамируемых многообразий А -ПЕА, что обуславливает активное использование алгебраических методов.

Говоря1/, что логика облагает интерполяционным свойствен, если, для .аобой импликации & , где А а & иискт

обиис прсяозщислалыша пораженные, существует содер'а/тй аоль--

ко общие переменные шггерполянт С , такой, что (А С)^ и (с=>в) ® £

Класс алгебр К амальгамируем, если для любых И выполнено уело иге:

(А) для любых мономорфизмов 011 и ¿г' (Я^Ш^

существую? алгебра (Я& И и мономорфизмы : Л± такие, что ¿1 £гОг.

Тройку (61, ¿¡.) будем называть общим расширением

и 01г над Условие (А), очевидно, эквивалентно условию

(а') Если (Я. есть общая подалгебра (Г^ и (Яъ, то существуют алгебра Н и вложен. 1 61^61 и тождественные на . '

Имеет место

ПРЕДЛОЖЕНИЕ ?Л. Лдя любого расширения ^ доказуемостко-интувдиоиистской логики следующие условия эквивалентны:

1) для Ь выполняется интерполяционное свойство;

2) амальгамируемо;

5) выполнено условие (.&') для любых вполне связных

аг &

Б дальнейшем, чтобы показать выполнимость интерполяционного св 1ства для некоторого расширения доказуемостно-интуи-ционистской логики, мы будем доказывать, что выполняется условие 3) предложения 2.1.

Построение общего расширения (01, ¿¡.3 ¿2.) для .Л -псевдобулевых алгебр <Я£ и <Яг с общей подалгеброй й. проводится в два приема. Сначала мы получаем псевдобулеву алгебру (Я , служгцую общим расширением обеднашШ алгебр и 01^ до сигнатуры псеадобулешх алгебр, а затем вкладываем алгебру 01 в А -обогатимуи алгебру СЬ , где 01 прямой предел направ-

ленного семейства псевдобулешх алгебр. Построение алгебр этого семействакак и алгебры <Я- , использует идею стоуновского вложения и теорию простых фильтров, свойства которых исследуются в третьем параграфа второй глагы. Основным результатом этой главы служит

ТЕОРЕМ 2.1. Многообразие всех А -псевдобулешх алгебр амальгамируемо, а значит доказуемостно-интуициокистская логика обладает'интерполяционным свойством.

В третьей главе рассматривается отображение 7 решетки 22л в решетку ТЫ расширений интуиционистской логики, которое каждой логике I д ставит в соответствие ассерторический фрагмент этой логики, т.е. множество формул логики Ь, не содернащих связки А . Там не полученный пример бесконечного счетного семейства амальгамируемых многообразий Л -ПБА, которым соответствуют не амальгамируемые (за исключением двух случаев) многообразия ПБА,. позволяет заключить (теорема ЗЛ), что отображение V не сохраняет интерполяционного свойства.

Отображений у решетки 21 в решетку 21л определяется следувдпм образом: если Г - множество формул исчисления I и через СП4-г]) обозначается замыкание множества Г относительно правил вывода исчисления Г 0^), то

Для всякой логики 3 & XI логика у (&) является наименьшим элементом полного прообраза £ при отображении V .

Как доказала Л.Л.Максимова [14], среда суперинтуиционистских логик точно восемь обладают интерполяционным свойством. Чтобы проверить, сохраняет ли отображение у это свойстео,

достаточно убедиться в том, что образы всех этих восьми логик при отображении у обладают интерполяционным свойством. Б результате проверки получена

ТЕОРЕМ 3.2. Отображение. ^ решетки в решетку сохраняет интерполяционное свойство. «

В четвертой главе для получения континуума амальгамируемых многообразий А -псевдобулевых алгебр рассматривается последовательность конечных вполне связных Л -псевдобулошх алгебр, которые попарно но гомовлоепмы друг в друга. Доказывается, что многообразия, порожденные различным! подпоследовательностями этой последовательности, различны и амальгамируемы, т.е. справедлива

ТЕОРЕМА 4.1, Существует континуум амальгамируемое многообразий А -псс здобулевых алгебр, следовательно, существует континуум финитно аппроксимируемых расширений доказуемостно-интуиционистской логики, обладающих интергюляциошшм свойством.

На основании примера не^амальгашруемого многообразия А -псевдобулевых алгебр строится континуум не^-амальгамир/о-мых многообразий А -псевдобулевых алгебр, откуда следует (теорема 4.3) существование континуума финитно аппроксимируемых расширений доказуемостно-иитуишонистской логики, не обладающих интерполяционным свойством.

Логика I 1А назг юэтся локально-табличной, если соответствующее ей многообразие А -псевдобулевых алгебр является локально-конечным, т.е. любая конечно-пороздониая алгебра в этом многообразии конечна. Логика Ь называется прадлокаль-но-табличной, если она не является локально-табличной, но всякое ее собственное расширение локально-таблично.

Говорят, что логика & XIл лежит в ы-см слое (обозначим: ё>е '¿к), если 7 (&) принадлежит Ьу -му слою Хосои в решетке 2.Г , т.е. ч($) * где через

^(^»м) обозначается логика цепи мощности ; логика £

принадлежит предельному слою, если для всякого .натурального ¿V £ (обозначение: ¿"г ).

В пятой главе установлено (следствие I теоремы 5.1), что логика £ XI4 локально-таблична тогда и только тогда, когда ¿> конечноелойиа. Там же доказано, что единственной предло-кально-табличной логикой решетки (следствие 2 теоремы

5.1) является наибольшая логика слоя Отсю-

да вытекает алгоритмический критерий локальной табличности для расширений доказуемостяо-ютуицнонистской логики. При этом замечено, что отображение ус<>эг решетки в решетку расширений логики Гжегорчика сохраняет свойства локальной табличности и предлокальной табличности.

Сепарационное свойство (или свойство отделимости) для лзо-бэго пропозиционального исчисления И , язык которого содержит импликацию состоит в том, что для всякой формулы Л , выводимой в исчислении И , существует такой ее вывод в И , который не использует никакую связку, отличную от => и не входящую в А .

ТЕОРЕМА 6.1. Сепарационное свойство имеет место для исчисления I* . . '

Автор всегда будет помнить заботу и внимание Александра Владимировича Кузнецова, поставившего ряд задач, рь^аемых в работе.

Пользуясь возможностью, автор выражает искреннюю благодарность Алексею Юрьевичу Муравицкому за многочисленные консультации.

ЛИТЕРАТУР*

1. Uolrrvo^oxoff, A. Ivsv tlwiuLbXj dxn, i*J¿uUohXJ<U<Jt.in,//JÍ?jA. X.J 1932, c.35.

2. Клшш C.K. Введение в метаматематику,//M., ИЛ. 1957.

3. fittC G. F. fhcpc^iico^eJ CÍUCCUM a^d // Тхамл. ¿Uъ. M<zJA.4°c., 75, 1953, C.I-I9.

4. Медведев Ю.Т. Финитные задачи// ДАН СССР, 142, Ja б, 1962, c.I0I5-I0I8,

5. Кузнецов A.B., Муравицкий Л.Ю. Доказуемость как модальность// - В сб. Актуальные проблемы логики и методологии науки. Киев, Наукова думка, I960, с.193-230.'

6. Кузнецов A.B., Муравицкий Л.Ю. Логика доказуемости// 1У Всесоюзная конферыщия по математической логике: Тезисы докладов. Кишшюв, 1976, сЛЗ.

7. GoídéCatt R. OsvÍL^Ja-cJI маглллХи pwfa¿i£ifr; <м-А lJkU¿Con.i4iC íofic//TíbC<rtiatAA, ¡t I, 1973, с.38-46.

8. ßooOo-й G. PwaLtdy úv axitíurudic of GqetfOZ-

//7aniwniitW rn^urudiccd, 106, H I, I960, c.41-45.

9. Кузнецов A.B. Доказуемостко-интуициоиистская логика// Модальные и интенсиональные логшш (тезисы координац. совещания). М., № АН СССР, 1978, с.75-79.

10. Кузнецов A.B. 0 доказуемостно-интуицконистскод' пропозициональном исчислении//ДАН C-JCP, Т.283, ¡é I, 1985, с.27-29.

11. Кузнецов A.B., Муравицкий А.Ю. 0 оуперинтуиционистских лотках как фрагментах расширений логики доказуемости.// АН МССР, Матем. исследования, вып.98, Кишинев, "Штиинца", 1987, с.15--39.

12. Муравщкпй А.Ю. 0 финитной аппроксимируемости исчисления 1¿

и немоделнруеыости некоторого его расширения//Математ. заме-пси, т.29, й 6, 1981, с.907-916.

13. Муравицкий А.Ю. Соответствие расширений доказуемостно-интуи-ционзстской логика расширениям логики доказуемости//ДАН СССР, т.281, И 4, 1985, с.789-793.

14. Максимова Л, Л. Теорема Крейга в сулеринтулционистских логиках и амальгамируемые многообразия псевдобулевых алгебру/ Алгебра и логика, 18, № 6, 1977, с 643-681.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Симонова И.Г. Сепаращюнная теорема для дсказуемостно-интуи-цпснистского исчисления// Седьмая Всесоюзная конференция по математической логике. Тезисы докладов. Новосибирск, 1984, с.165.

2. Симонова И.Г. 0 свойства амальгамируемости для многообразий А -псевдобулевых алгебр.// ХУШ Всесоюзная алгебраическая

, конференция. Тезисы сообщений. Часть вторая, Кишинев, 1985, с. 168.. . '

3. Симонова И.Г. Интерполяционное свойство для расширений дока-зуемосгно-интуиционистской логики. Восьмая Всесоюзная конференция по математической логике//Тезисы докладов. Москва, 1986, с.176.

4. Симонова И.Г. Сепарацишшое свойство для.доказуемостно-ин-туицпопистского исчисления.// АН 1,'ССР, Математ. исследования, еып.98, Кишинев, "Штиинца", 1987, с.15-39.

5. Симонова И.Г. Локально-табличные расширения доказуемзстно-интуиционистской логики.// Девятая Всесоюзная конференция по математической логике. Тезисы докладов. Ленинград, "Наука", Ленинградское отделение, 1988, с.150.

6. Симонова И.Г. Об интерполяционном свойстве для расширений доказуемостно-интуициокистско)! логики.// Математ. заметки, том 47, вып.5, 1990, с.88-99.

?. Симонова И.Г. О строении конечно-порозденшх л -псевдобулевых алгебр.// Меяздународная конференция по алгебре, посвященная памяти Л.К.Иершова. (Барнаул, 20-25 августа 1991 г.). Тезисы докладов по логике, >1шверсялышм алгебрам, прикладной алгебра. Новосибирск, 1991, с.130.

сг.» мзмШЯО-ИЙ-Й.