Две задачи алгебраической теории графов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Ермакова, Галина Михайловна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ
2009 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.06 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Две задачи алгебраической теории графов»
 
Автореферат диссертации на тему "Две задачи алгебраической теории графов"

003474422

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

^ъос&СС/А—

ЕРМАКОВА Галина Михайловна

ДВЕ ЗАДАЧИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРАФОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2009

003474422

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

КАБАНОВ Владислав Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

АЛЕЕВ Рифхат Жалялович

Ведущая организация: Институт математики СО РАН

Защита состоится 30 июня 2009 года в 15 час. 30 мин. на заседании специализированного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

Автореферат разослан А.9 мая 2009 года

И.о. ученого секретаря диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук РАСИН Олег Вениаминович

доктор физ.-мат. наук

В.И. Зенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Пусть G — транзитивная группа подстановок на конечном множестве X. Если порядок группы четен, то стабилизатор в G точки хбХ имеет симметричную орбиту Д (х) на X отличную от {я}. Тогда по группе G можно построить граф Г с множеством вершин X, и две вершины х, у смежны в Г тогда и только тогда, когда у g A(i).

Изучение графов, полученных таким образом, является важной задачей алгебраической теории графов. Если в качестве группы G рассмотреть симметрическую группу подстановок Sn на п символах, а в качестве множества X — множество всех транспозиций пз Sn и считать смежными любые две неперестановочные транспозиции, то получим треугольный граф Т{п). Нетрудно видеть, что этот граф является сильно регулярным графом с параметрами ("^''^,2(71— 2), п — 2,4). Кроме того, он не содержит порожденных /¡^¿-подграфов. В работах 1959-60 гг. Л. Чанг [8] и А. Хоффман [11], [12] независимо показали, что треугольный граф Т(п) определяется однозначно своими параметрами для всех п, за исключением п = 8. Для случая п = 8 было показано, что кроме треугольного графа Т(8), такие же параметры имеют только три графа, которые были найдены Л. Чангом в 1949 г. [7].

Класс графов без 3-лап содержит такой важный класс графов, как реберные графы. Реберный граф Ь(Кт-п) полного двудольного графа ifm,„ с долями порядка man является кореберно регулярным графом с параметрами (тп,т + п — 2,2). Граф Ь(А"т,п) называют m х га-решеткой, и при m = п этот граф является сильно регулярным графом с параметрами (п2,2п — 2, п — 2,2). С. Шрикханде |15| и А. Хоффман |13| показали, что граф, имеющий параметры mxn-решетки, является либо шхп-решеткой, либо графом Шрикханде, при п = 4. Все вышеперечисленные графы имеют наименьшее собственное значение —2. Результаты Л. Чанга, С. Шрикханде и А. Хоффмана были объединены Дж. Зейделем [14], который определил все сильно регулярные графы с наименьшим собственным значением —2. В частности, Дж. Зейдель показал, что кроме треугольных графов Т(п) и п х n-решеток, сильно регулярными графами, которые имеют наименьшее собственное значение —2, являются только графы Кпх2, графы Петерсена, Шрикханде, Клебша, Шлефли и три графа Чанга.

Полное описание графов без 3-лап с несвязными д-подграфами было полу-чепо А. Брауэром и М. Нуматой [6]. Они показали, что если граф связный конечный и содержит 3-коклику, то он является тп х n-решеткой. Этот результат был обобщен В.В. Кабановым в [4]. Им было доказано, что связный редуцированный граф без 3-лап содержит 3-коклику, а любой его д-подграф имеет радиус: больше 1, тогда и только тогда, когда он является либо треугольным графом Т(п) с п > б, либо m. х га-решеткой с л > 3 и m > 3, либо графом Шлефли. Граф Шлефли — это единственный сильно регулярный граф с параметрами (27,16,10,8). В работах И.А. Вакулы и В.В. Кабанова [1], [2] описаны

связные графы без 3-лап с некликовыми /i-подграфами.

А. Деза и М. Деза рассматривали химические графы полициклических сопряженных углеводородов и полицикличеких ароматических углеводородов. В связи с этим исследованием возникла необходимость изучения графов, которые впоследствии были названы графами Деза.

В 1994 г. А. Деза и М. Деза [9] привели пример точного графа Деза с параметрами (40,15, б, 4).

М. Эриксон, С. Фернандо, У.Х. Хаймсрс, В. Харди и Дж. Хсмметр [10] описали все точные графы Доза с числом вершин не более 13. A.A. Махневым [5] рассматривались графы Деза, которые являются кликовыми или кокликовыми расширениями сильно регулярных графов.

В диссертации рассматриваются только конечные неориентированные графы без петель и кратных, ребер. Далее всюду подграф графа Г будет означать индуцированный подграф графа Г. Для вершины а графа Г через [а] обозначим подграф на множестве всех вершин, смежных с а. Этот подграф называется окрестностью вершины а в графе Г. Через fc„ обозначим валентность вершины а в Г, т. е. число вершин в [а]. Граф Г называется регулярным валентности к, если ка = к для любой вершины а из Г. Для ребра ас графа Г через Хас обозначим число вершин в подграфе [а]п[с]. Граф Г называется реберно регулярным с параметрами (V, к, А), если Г — регулярный граф на v вершинах валентности к, в котором каждое ребро лежит в А треугольниках, т. е. Хас = А для любого ребра ас графа Г. Подграф [а] П [6] назовем /i-подграфом, если вершины а, Ь находятся на расстоянии 2 друг от друга в графе Г и будем обозначать его через М[а,Ь). Граф Г на v вершинах валентности к называется [i-регулярным с параметрами (v,k,ß), если все его д-подграфы имеют ß вершин. Если такой граф имеет диаметр 2, то он называется кореберно регулярным. Если реберно регулярный граф с параметрами (v,k, А) является /¿-регулярным графом, то он называется вполне регулярным графом с параметрами (v,k,X,ß). Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным.

Полный граф назовем кликой, а вполне несвязный граф — кокликой. Клика (коклика) порядка п называется п-кликой (п-кокликой).

Пусть п — натуральное число. Под п-расширением графа Г будем понимать граф Г', полученный заменой каждой вершины о из Г на п-клику (а), причем вершины из (а) и (6) смежны в Г' тогда и только тогда, когда а и 6 смежны в Г.

Граф Г на v вершинах назовем графом Деза с параметрами (v, k, Ь, а), если для любых вершин « и ш из Г

I г 1 _ г ,, (а или Ь, если u^w.

МПЬ =< , г

1 к, если и — tu,

где v, к,Ь,а — целые числа такие, что 0 < а <b <к < v.

Очевидно, класс графов Деза содержит класс сильно регулярных графов.

Графы Деза, но являющиеся сильно регулярными и имеющие диаметр 2, называются точными графами Деза.

Рассмотрим графы = (У\,Е\) и Гз = (^,£2), где У\ и Уг — непересекающиеся множества вершин, а и Е2 — множества ребер графов Г1 и Гг соответственно.

Обпгс/иисиисм тяких графов Г! и Гг назовем грас|) ПиГг = (Ци^г.^иВг)-

Суммой графов Г^ и Г2 назовем граф Г[ + Г2 = (Ц и Е1 и Е2 и £3), где Е3 = {{х,у) \хеУиУеУ2].

Дополнение Г графа Г имеет в качестве множества вершин множество вершин графа Г и две вершины в Г смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в Г.

Цель диссертации. Целью данной работы является решение следующих задач.

1) Изучить связные графы без порожденных Л^з-подграфов, содержащих 3-коклику, в которых для любой пары вершин и и I1, находящихся на расстоянии 2 друг от друга, подграф М(и, с) = [и] П [г>] содержит ц вершин, если он не является кликой, н содержит V вершин в противном случае.

2) Исследовать точные графы Деза без 3-коклик с ¡1 = Ь.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы алгебраической теории графов.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Выделим из них следующие.

1. Классифицированы связные графы без порожденных /(¡.з-подграфов, содержащих З-коклнку, в которых для любой пары вершин и и и, находящихся на расстоянии 2 друг от друга, подграф М(и, у) = [и] П [и] содержит ц вершин, если он не является кликой, и содержит и вершин в противном случае.

2. Найдено соотношение для параметров а и Ь точного графа Деза без 3-коклик с 1-1 = Ь.

3. Описаны некоторые свойства и в отдельных случаях получено полное описание точных графов Деза без З-коклнк с /х = Ь.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы для характеризации графов, возникающих из алгебраических структур, в частности, графов Джонсона и Грассмана, а также в химии кристаллических соединений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались па 35-й, 37-40-ой Региональных молодежных конференциях ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2004, 2006-2009 гг.), Международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2007 г.).

Результаты работы докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16]-[21]. Работы [16]-[19] и [21] выполнены в нераздельном соавторстве с В.В. Кабановым.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы, содержащего 24 наименования.

Результаты диссертации. Во введении обсуждается история вопроса, даются определения и формулируются основные результаты.

В главе I рассматриваются связные графы без порожденных А^з-подграфов. В.В. Кабановым, A.A. Махиевым в работе [3] были классифицированы такие графы в предположении, что все /i-подграфы равномощны.

Следующий результат является основным в главе I.

Теорема 1 Пусть Г свя.чиый граф без порожденных К\$-подграфоа, содержащий Ъ-коклику. Пусть т.акже в Г для любой пары вершин и, v на расстоянии 2 друг от друга подграф М(и, v) = [и] П [г;] содержит, /t вершин, если он не является кликой, и содержит и вершин в противном случае. Если и > то все подграфы М(и, v) в Г одного типа, т. е. все кликовые или все неклико-вые.

Из этой теоремы и результата полученного В.В. Кабановым и A.A. Махневым в [3] имеем

Следствие. Пусть Г — связный граф без порожденных К13-подграфов, содержащий 3-коклику. Пусть также в Г для любой пары вершин и, v на расстоянии 2 друг от друга подграф М(и, v) = [и] П [у] содержит fj. вершин, если он не является кликой, и содержит. i> вершин в противном случае, где v > fi. Тогда

(1) либо граф Г является а-расширением графа икосаэдра, либо в Г - Г1 подграф) на множестве всех вершин с, некликовыми окрестностями является пустым графом, кликой или а-расширением связного графа с ¡.i = 1;

(2) граф Г является а-расширением одного из следующих графов:

(г) т х п-решет.ки. где т>3ип>3: (п) треугольного графа Т(т),т > 6; (ш) грхфа Шлефли.

Во второй главе работы рассматриваются точные графы Деза без 3-коклик с fi = Ь. Описаны точные графы Деза, которые являются суммой сильно регулярных графов или точных графов Деза, и точные графы Деза, которые являются кликовымн расширениями сильно регулярных графов. Пусть Г — точный граф Деза без 3-коклик с ß = Ь и вершина ,т — произвольная вершина графа Г. Будем называть вершину и е [j] графа Г вершиной "типа о" для вершины х, если |[х] П [и]| = а, а вершину w е [,т] — вершиной "типа Ь" для вершины .г, если

IM n HI = 6.

Пусть yaz — несмежные вершины разных типов из [х] и |[х] П [у] П [г]| = се. Обозначим через 5У число всех вершин, не смежных с вершиной г в [г], а через 5г — число всех вершин, не смежных с вершиной у в [.т].

Если 0г = Sy + 1, то будем назвать граф Г графом типа I. Если 5г = 5У + 2, то будем назвать граф Г графом типа II.

Основными результатами второй главы являются следующие теоремы.

Теорема 2 Пусть Г — точный граф Деза с параметрами (и, к, Ь, а) без 3-коклик с ц = Ъ. Тогда (Ь — а) 6 {1,2}.

Теорема 3 Пусть Г — точный граф Деза с параметрами {у, k, Ь, а) без 3-коклик с fi = b и в Г есть eepviuna, окрестность которой содержит две несмежные вершины разных типов. Тогда

(1) если 5У = 1, то либо граф Г типа I с параметрами (8,4, 2,1), либо Г — граф типа II с параметрами (8га,8п — 4,8п — 6,8га — 8), п > 1;

(2) если а = Sy и граф Г — граф типа I, то Г имеет параметры (8,4,2,1) или (12,7,4,3).

Теорема 4 Пусть Г — точный граф Деза с параметрами (i>, k, Ь, а) без 3-киклик с /i = b и для некоторой вершины .г 6 Г любая вершина "типа а" смежна со всеми вершинами " типа Ь", и наоборот. Если все вершины " типа Ь" для х смежим между собой, то граф Г является 2-рашщкятем графа КпХ2-

Теорема 5 Пусть Г — точный граф Деза с параметрами (v,k,b,á) без 3-коклик и b = а + 2. Графi Г является точный графом Деза тогда и только тогда, когда Г является, вполне регулярным графом с параметрами (v, v — k — 1,0,2).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук В.В. Кабанову за постановку задачи, внимание и поддержку, а также всем участникам семинара отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН за критические замечания и плодотворное обсуждение результатов диссертации.

Список литературы

[1] Вакула, И.А. О графах без 3-лап с некликовыми /i-подграфамн, натягиваемых на 3-коклику/ И.А. Вакула, В.В. Кабанов // Изв. Урал. гос. ун-та.-2005.- Т. 36.-Сер. Математика и механика. Вып.7 - С. 81-92.

|2| Вакула, H.A. О графах без 3-лап с некликовыми /t-подграфами/ И.А. Вакула, В.В. Кабанов // Дискрстн. анализ и исслед. опер,- Серия 1,- 2005.Т. 12,- Л'» 4,- С. 3-22.

[3] Кабанов, В.В. Графы без 3-лап е равномощными ji-подграфами/В.В. Кабанов, А.А. Махнев // Изв. Урал. гос. ун-та,- Математика и механика.- 1998.-№ 10,- С. 44-68.

[4] Кабанов, В.В. Графы без З-лап с равномощными /¿-подграфами/ В.В. Кабанов, А.А. Махнев // Изв. Урал. гос. ун-та,- 1998.- № 10-(Математика и механика. Вып.1).- С. 44-68.

[5] Махнев, А.А. О сильной регулярности некоторых реберно регулярных графов/ А.А. Махнев ,// Изв. РАН. Сер. матем,- Т.68,- № 1,- 2004,- С. 159-182.

[6] Bromver, А.Е. A characterization of some graphs which do not contain 3-claws/A.E. Brouwer, M. Numata // Discrete Math.- 1994,- Vol. 124,- P. 49-54.

[7] Chang, L.C. The uniqueness and nonuniqueness of triangular association schcmcs/ L.C. Chang // Sci. Record.- 1949,- Vol. 3,- P. 604-613.

[8] Chang, L.C. Association schemes of partially balanced block designs with parameters v = 28, щ = 12, щ = 15 and p^ = 4/ L.C. Chang // Sci. Record.-1950,- Vol. 4,- P. 12-18.

|9| De/.a, A. The ridge graph of the metric polyt.ope and some relatives/ A. Deza, M. Deza // in T. Bisztriczky. P. McMullen. R. Schneider and A. Ivic Weiss (ctls.), "Polytopcs: Abstract, Convex and Computational "Dordrecht, Kluwer.-1994,- P. 359-372.

[10J Erickson, M. Deza Graphs: A Generalization of Strongly Regular Graphs/ M. Erickson, S. Fernando, W.H. Haemers, D. Hardy, J. Hemmeter // J. Combin. Designs.- 1999.- Vol. 7,- P. 395-405.

[11] Hoffman, A.J. On the uniqueness of the triangular association scheme/ A.J. Hoffman // Ann. Math. Stat.- I960,- Vol. 31.- P. 492-497.

[12] Hoffman, A.J. On the exceptional case in a characterization of the arcs of complete graphs/A. J. Hoffman // IBM J. Res. Develop.- I960,- Vol. 4,- P. 487496.

[13] Hoffman, A. J. On the line-graphs of the complete bipartite graph/ A.J. Hoffman // Ann. Math. Stat.- 1964,- Vol. 35.- P. 883-885.

[14] Seidel, J.J. Strongly regular graphs with (-1,1,0) adjacency matrix having eigenvalue 3/ J.J. Seidel // Linear Algebra and Appl.- 1968,- Vol.1.- P. 281298.

|15| Slirickhande, S.S. The uniqueness of the association scheme/ S.S. Shrickhande ,/./ Ann. Math. Stat-.- 1959,- Vol. 30,- P. 781-798.

Работы автора по теме диссертации

[16] Ермакова, Г.М. Графы Деза, которые являются кликовыми расширениями сильно регулярных графов / Г.М. Ермакова, В.В. Кабанов / Проблемы тео-рет. и прикл. математики: тр. 37-й регион, молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2006.- С. 27-29.

|17] Ермакова, Г.М. Точные графы Деза без 3-коклик с большим ß / Г.М. Ермакова, В.В. Кабанов / Проблемы теорет. и прикл. математики: тр. 38-й молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2007 - С. 31-34.

[18] Ермакова, Г.М. Свойства графов без порожденных подграфов Л*1,з/ Г.М. Ермакова, В.В. Кабанов, Е.Ш. Сабирзянова, Го Вэньбинь // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН.- 2008.Т. 14,- № 4,- С. 43-52.

[19] Ермакова, Г.М. Точные графы Деза, которые являются соединениями сильно регулярных графов или точных графов Деза / Г.М. Ермакова, В.В. Кабанов / Проблемы теорет. и прикл. математики: тр. 39-й всероссийской молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2008.- С. 11-15.

[20] Ермакова, Г.М. Некоторые свойства точных графов Деза без 3-коклик с ß = Ь / Г.М. Ермакова / Проблемы теорет. и прикл. математики: тр. 40-й молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2009,- С. 19-27.

[21] Ермакова, Г.М. Характеризация одного класса графов без порожденных A'i^-подграфов/ Г.М. Ермакова, В.В. Кабанов/ Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН.-2009.- Т. 15.- № 2,- С. 98-112.

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ермакова, Галина Михайловна

Введение

1 Графы без 3-лап

1.1 Предварительные результаты.

1.2 Сильные тройки в графах без 3-ла,п.

1.3 Графы без 3-лап с ограничениями на их /^-подграфы.

1.4 Исключительные тройки в графах без 3-лап с ограничениями на их /¿-подграфы.

1.5 Особые тройки в графах без 3-лап с ограничениями на их /¿-подграфы.

2 Точные графы Деза без 3-коклик с \± = Ь

2.1 Предварительные результаты.

2.2 Некоторые свойства точных графов Деза без 3 - коклик с ¡1 = Ь

2.3 Точные графы Деза, которые являются соединениями сильно

• регулярных графов или точных графов Деза.

2.4 Графы Деза, которые являются кликовыми расширениями сильно регулярных графов.

 
Введение диссертация по математике, на тему "Две задачи алгебраической теории графов"

Пусть (7 — транзитивная группа подстановок на конечном множестве X. Если порядок группы четен, то стабилизатор в С точки х Е X имеет симметричную орбиту Д(я) на X отличную от {ж}. Тогда по группе С можно построить граф Г с множеством вершин X, и две вершины х,у смежны в Г тогда и только тогда, когда у £ Д(ж).

Изучение графов, полученных .таким образом, является важной задачей алгебраической теории графов. Если в качестве группы С рассмотреть симметрическую группу подстановок 5га на п символах, а в качестве множества X — множество всех транспозиций из 5"п и считать смежными любые две неперестановочные транспозиции, то получим треугольный граф Т{п). Нетрудно видеть, что этот граф является сильно регулярным графом с параметрами (П^1~1\2(п — 2),п — 2,4). Кроме того, он ие содержит порожденных подграфов В работах 1959-60 гг. Л. Чанг [10] и А. Хоффман [13], [14] независимо показали, что треугольный граф Т{п) определяется однозначно своими параметрами для всех п, за исключением п = 8. Для случая п = 8 было показано, что кроме треугольного графа Т(8), такие же параметры имеют только три графа, которые были найдены Л. Чангом в 1949 г. [9].

Класс графов без 3-лап содержит такой важный класс графов, как реберные графы,- Реберный граф Ь(Кт^п) полного двудольного графа Кт<п с долями порядка тип является кореберно регулярным графом с параметрами (тп,т + п — 2,2). Граф Ь{Кт^п) называют т х п-решеткой, п при т — п этот граф является сильно регулярным графом с параметрами (п2,2п — 2,п — 2,2). С. Щрикханде [18] и А. Хоффман [15] показали, что граф, имеющий параметры т х гг-решетки, является либо т х п-решеткой, либо графом Шрикханде, при п — 4. Все вышеперечисленные графы имеют наименьшее собственное значение —2. Результаты Л. Чанга, С. Шрикханде и А. Хоффмана были объединены Дж Зсйделсм [17], который определил все сильно регулярные графы с наименьшим собственным значением —2. В частности, Дж. Зейдель показал, что кроме треугольных графов Т{п) и п х n-решеток, сильно регулярными графами, которые имеют наименьшее собственное значение —2, являются только графы Кпх2, графы Петерсена, Шрикханде, Клебша, Шлефли и три графа Чанга.

Полное описание графов без 3-лап с несвязными /¿-подграфами было получено А. Брауэром и М. Нуматой [8]. Они показали, что если граф связный конечный и содержит 3-коклику, то он является m х n-решеткой Этот результат был обобщен В.В. Кабановым в [5]. Им было доказано, что связный редуцированный граф без 3-лап содержит 3-коклику, а любой его /¿-подграф имеет радиус больше 1, тогда и только тогда, когда он является либо треугольным графом Т(п) с п > 6, либо m х n-решеткой с п > 3 и m > 3, либо графом Шлефли. Граф Шлефли — это единственный сильно регулярный граф с параметрами (27,16,10,8) В работах И.А. Вакулы и В.В. Кабанова [1], [2] описаны связные графы без 3-лап с неклнковыми /¿-подграфами.

А. Деза и М. Деза рассматривали химические графы полициклнческих сопряженных углеводородов и полицикличеких ароматических углеводородов. В связи с этим исследованием возникла необходимость изучения графов, которые впоследствии были названы графами Деза.

В 1994 г. А. Деза и М Деза [11] привели пример точного графа Деза с параметрами (40,15, 6,4).

М. Эриксон, С. Фернандо, У.Х. Хаймерс, В. Харди и Дж. Хемметр [12] описали все точные графы Деза с числом вершин не более 13. A.A. Мах-невым [7] рассматривались графы Деза, которые являются кликовыми или кокликовыми расширениями сильно регулярных графов.

В диссертации рассматриваются только конечные неориентированные графы без петель и кратных ребер. Далее всюду подграф графа Г будет означать индуцированный подграф графа Г. Для вершины а графа Г через а] ([а]') обозначим подграф на множестве всех вершин, смежных(несмежных) с а. Этот подграф называется окрестностью вершины а в графе Г. Через ка обозначим валентность вершины а в Г, т. е. число вершин в [а]. Граф Г называется регулярным валентности к, если ка = к для любой вершины а из Г. Для ребра ас графа Г через Аас обозначим число вершин в подграфе [а] П [с]. Граф Г называется реберно регулярным с параметрами (г>, к, Л), если Г — регулярный граф на V вершинах валентности к, в котором каждое ребро лежит в Л треугольниках, т. е. Хас — А для любого ребра ас графа Г. Подграф [а]П[Ь] назовем ц-подграфом, ссли вершины а, Ъ находятся на расстоянии 2 друг от друга в графе Г и будем обозначать его через М(а, Ь). Граф Г на г> вершинах валентности к называется [1-регулярным с параметрами (у, к, /л), если все его д-подграфы имеют /л вершин. Если такой граф имеет диаметр 2, то он называется кореберно регулярным. Если реберно регулярный граф с параметрами (г;, к, А) является //-регулярным графом, то он называется вполне регулярным графом с параметрами (у, к, А, ¡л). Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным.

Полный граф назовем кликой, а вполне несвязный граф — кокликой. Кли-ка(коклика) порядка п называется п-кликой(кокликой).

Пусть п — натуральное число. Под п-расширением графа Г будем понимать граф Г', полученный заменой каждой вершины а из Г на п-клику (а), причем вершины из (а) и (Ь) смежны в Г' тогда и только тогда, когда а и Ь смежны в Г.

Графом Пэли называется граф, вершинами которого являются элементы конечного поля где д.сравнимо с 1 по модулю 4, и две вершины смежны, если разность соответствующих элементов поля Рц является ненулевым квадратом.

Граф Г на у вершинах назовем графом Деза с параметрами (у, к, Ь, а), если для любых вершин и и ги из Г

N п N1 = { а или 6, если и ^ ги, к, если и — ги, если и — ги где V, к,Ъ,а — целые числа такие, что 0 < а <Ь < к < V.

Очевидно, класс графов Деза содержит класс сильно регулярных графов. Графы Деза, не являющиеся сильно регулярными и имеющие диаметр 2, называются точными графами Деза.

Рассмотрим графы Гх = (У^Ех) и Г2 = (Т^,^), где У\ и У2 — непересекающиеся множества вершин, а Е\ и Е2 — множества ребер графов Гх и Г2 соответственно.

Объединением таких графов Гх и Г2 назовем граф Гх и Г2 = (Ух и Уч, Е\ и Е2).

Суммой графов Гх и Г2 назовем граф Гх + Г2 = {У\ и У2, Е\ и Е2 и Ез), где Е3 = {{х,у} | х е Уъу € У2}.

Дополнение Г графа Г имеет в качестве множества вершин множество вершин графа Г и две вершины в Г смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в Г.

Цель диссертации. Целью данной работы является решение следующих задач.

1) Изучить связные графы без порожденных .К^з-подграфов, содержащих 3-коклпку, в которых для любой пары вершин и, V, находящихся на расстоянии 2 друг от друга, подграф М(и, у) — [и] П [г»] содержит /л вершин, если он не является кликой, и содержит и вершин в противном случае.

2) Исследовать точные графы Деза без'З-коклик с ¡л = Ъ.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы алгебраической теории графов.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Выделим из них следующие.

1. Классифицированы связные графы без порожденных /^-подграфов, содержащих 3-коклику, в которых для любой пары вершин и, v, находящихся щ, расстоянии 2 друг от друга, подграф М(и, v) = [w]n[t>] содержит ß вершин, если он'не является кликой, и содержит v вершин в противном случае.

2. Найдено соотношение для параметров а и 6 точного графа Деза без 3-коклик с il = Ъ.

3. Описаны некоторые свойства и в отдельных случаях получено полное описание точных графов Деза без 3-коклик с ß = b.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы для характеризации графов, возникающих из алгебраических структур, в частности, графов Джонсона и Грассмана, а также в химии кристаллических соединений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 35-й, 37-40-ой Региональных молодежных конференциях ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2004, 2006-2009 гг.), Международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2007 г.).

Результаты работы докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19]—[24]. Работы [19]—[22] и [24] выполнены в нераздельном соавторстве с В.В. Кабановым.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы, содержащего 24 наименования.

Результаты диссертации. Во введении обсуждается история вопроса, даются определения и формулируются основные результаты.

В главе I рассматриваются связные графы без порожденных А^з-подграфов. В.В. Кабановым, A.A. Махневым в работе [4] были классифицированы такие графы в предположении, что все /i-подграфы равномощны.

Следующий результат является основным в главе I.

Теорема 1 Пусть Г — связный граф без порожденных К\^-подграфов, содержащий 3-коклику. Пусть также в Г для любой пары вершин и, v на расстоянии 2 друг от друга подграф A4 (и, v) — [и] П [г>] содержит ц вершин, если он не является кликой, и codepoicum и вершин в противном случае. Если ь> > [1, то все подграфы М(и, v) в Г одного типа, т. е. все кликовые или все неклико вые.

Из этой теоремы и результата полученного В.В. Кабановым и A.A. Мах-невым в [4] имеем

Следствие 1 Пусть Г — связный граф без порожденных К\^-подграфов, содержащий 3-коклику. Пусть таклсе в Г для любой пары вершин и, v на расстоянии 2 друг от друга подграф М{и, v) = [гг] П [г>] содержит ¡1 вершин, если он не является кликой и содержит v вершин в противном случае, где и > ¡1. Тогда

1) либо граф Г является а-расширением, графа икосаэдра, либо в Г — Гх подграф на множестве всех вершин с некликовыми окрестностями является пустым графом, кликой или а-расширепием связного графа с ß = 1;

2) граф Г является а-расширепием одного из следующих графов: г) т х птрешелпки, где m > 3 и п > 3; (гг) треугольного графа Т(т),т > 6; (ггг) графа Шлефли.

Во второй главе работы рассматриваются точные графы Деза без 3-коклик с ¡1 = Ь. Описаны точные графы Деза, которые являются суммой сильно регулярных графов или точных графов Деза, и точные графы Деза, которые являются кликовыми расширениями сильно регулярных графов. Пусть Г — точный граф Деза без 3-коклик с ц = b и вершина х — произвольная вершина графа Г. Будем называть вершину и € [ж] графа Г вершиной "типа о" для вершины х, если \[х] П |/и]| = а, а вершину ги £ [ж] — вершиной "типа 6" для вершины х, если | [я] П [го] | = Ь.

Пусть у иг — несмежные вершины разных типов из [ж] и | [х] П [у] П [г] | = а. Обозначим через 5У число всех вершин, не смежных с вершиной г; в [ж], а через 62 — число всех вершин, не смежных с вершиной у в [¿с].

Если 52 = 5У + 1, то будем назвать граф Г графом типа I. Если 62 = 5У + 2, то будем назвать граф Г графом типа II.

Основными результатами второй главы являются следующие теоремы

Теорема 2 Пусть Г — точный граф Деза с параметрами ("У, к, Ь, а) без 3-коклик с ¡1 — Ъ. Тогда (6 — а) £ {1, 2}.

Теорема 3 Пусть Г - точный граф Деза с параметрами (1;, /г, 6, а) без 3-коклик с — Ъ и в Т есть вершина, окрестность которой содероюит две песмеэюиые вершины разных типов. Тогда

1) если 5У = 1, то либо граф Г типа I с параметрами (8,4, 2,1); либо Г — граф'типа II с параметрами (8 п, 8 п — 4, 8 п — 6, 8 п — 8). п > 1;

2) если а — 5У и граф Г — граф типа I, то Г имеет параметры (8,4, 2,1) шш (12,7,4,3).

Теорема 4 Пусть Г — точный граф Деза с параметрами (и,к,Ь,а) без 3-коклик с рь = Ъ и для некоторой вершины х £ Г любая вершина "типа а" смежна со всеми вершинами " типа 6", и наоборот. Если все вершины " типа 6" для х смежны между собой, то граф Г является 2-расширением графа Кп

Теорема 5 Пусть Г — точный граф Деза с параметрами (у,к,Ь,а) без 3-коклик и Ь = а + 2. Граф Г является точный графом Деза тогда и только тогда, когда Г является вполне регулярным графом с параметрами — к -1,0, 2).

1 Графы без 3-лап

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ермакова, Галина Михайловна, Екатеринбург

1. Вакула, И.А. О графах без 3-лап с некликовыми /i-подграфами, натягиваемых на 3-коклику/ И.А. Вакула, В.В. Кабанов // Изв. Урал. гос. ун-та.- 2005.- Т. 36.- Сер. Математика и механика. Вып. 7.- С. 81-92.

2. Вакула, И.А. О графах без 3-лап с некликовыми /¿-подграфами/ И.А. Вакула, В.В. Кабанов // Дискретн. анализ и исслед. опер,- Серия 1 2005.Т. 12, № 4,- С. 3-22.

3. Кабанов, В.В. Об отделимых графах с некоторыми условиями регулярности /В.В. Кабанов, A.A. Махнев // Мат.сб,- 1996.- № 10.- С. 73-86.

4. Кабанов, В.В. Графы без 3-лап с равномощпыми /¿-подграфами/В.В. Кабанов, A.A. Махнев // Изв. Урал. гос. ун-та,.- Математика и механика-1998.- № 10,- С.44-68.

5. Кабанов, В.В. Графы без 3-лап с равномощпыми /z-подграфами/ В.В. Кабанов, A.A. Махнев // Изв. Урал. гос. ун-та,- 1998.- № 10- (Математика и механика. Вып.1).- С. 44-68.

6. Кабанов, В.В. О графах без корон с регулярными /¿-подграфами, II/ В.В. Кабанов, A.A. Махнев, Д.В. Падучих // Математические заметки,-2003,- Т. 74 С .396-406.

7. Махнев, A.A. О сильной регулярности некоторых реберно регулярных графов/ A.A. Махнев // Изв. РАН. Сер. матем,- Т. 68, № 1.- 2004.- С. 159182.

8. Brouwer, А.Е. A characterization of some graphs which do not contain 3-claws/A.E. Brouwer, M. Numata // Discrete Math.- 1994,- V. 124.- P. 49-54.

9. Chang, L.C. The uniqueness and nonuniqueness of triangular association schemes/ L.C. Chang // Sei. Record.- 1949,- Vol. 3,- P. 604-613.

10. Chang, L.C. Association schemes of partially balanced block designs with parameters v = 28, n\ = 12,no = 15 and — 4/ L.C. Chang // Sci. Record.- 1950,- Vol. 4,- P. 12-18.

11. Deza, A. The ridge graph of the metric polytope and some relatives/ A. Deza, M. Deza // in T. Bisztriczky, P. McMullen, R. Schneider and A. Ivic Weiss (eds.), "Polytopes: Abstract, Convex and Computational11 Dordrecht, Kluwer.- 1994,- P. 359-372.

12. Erickson, M. Deza Graphs: A Generalization of Strongly Regular Graphs/ M. Erickson, S. Fernando, W.H. Haemers, D. Hardy, J. Hemmeter //J. Combin. Designs.- 1999,- Vol. 7,- P. 395-405.

13. Hoffman, A.J. On the uniqueness of the triangular association scheme/ A.J. Hoffman // Ann. Math. Stat,- I960.- Vol. 31.- P. 492-497.

14. Hoffman, A.J. On the exceptional case in a characterization of the arcs of complete graphs/A.J. Hoffman // IBM J. Res. Develop.- I960.- Vol. 4,-P. 487-496.

15. Hoffman, A.J. On the line-graphs of the complete bipartite graph/ A.J.- Hoffman // Ann. Math. Stat.- 1964,- Vol. 35,- P. 883-885.

16. Hubaut Xavier L. Strongly regular graphs / L. Hubaut Xavier // Discret, Mathematics.- 1964.- Vol. 13,- P. 357-381.

17. Seidel, J.J. Strongly regular graphs with (—1,1,0) adjacency matrix having eigenvalue 3/ J.J. Seidel // Linear Algebra and Appl.- 1968.- Vol.1.- P. 281298.

18. Shrickhande, S.S. The uniqueness of the association scheme/ S.S. Shrickhande // Ann. Math. Stat.- 1959,- Vol. 30,- P. 781-798.Работы автора по теме диссертации

19. Ермакова, Г.М. Графы Деза, которые являются кликовыми расширениями сильно регулярных графов /' Г.М. Ермакова, В.В. Кабанов / Проблемы теорет. и прикл. математики: тр. 37-й регион, молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2006,- С. 27-29.

20. Ермакова, Г.М. Точные графы Деза без 3-коклик с большим ц / Г.М. Ермакова, В.В. Кабанов / Проблемы теорет. и прикл. математики: тр. 38-й молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2007.- С. 31-34.

21. Ермакова, Г.М. Свойства графов без порожденных подграфов з/ Г.М. Ермакова, В.В. Кабанов, Е.Ш. Сабирзянова, Го Вэньбинь // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН,- 2008.Т. 14,- № 4.- С. 43-52.

22. Ермакова, Г.М. Некоторые свойства точных графов Деза без 3-коклик с ¡1 = b / Г.М. Ермакова / Проблемы теорет. и прикл. математики: тр. 40-й молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2009.- С. 19-27.

23. Ермакова, Г.М. Характеризация одного класса графов без порожденных .ЙТ^з-подграфов/ Г.М. Ермакова, В.В. Кабанов/ Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН.- 2009.- Т. 15.- № 2.C. 98-112.