Движения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами

Романов, Максим Николаевич

Движения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Романов, Максим Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Движения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами»

Автореферат диссертации на тему "Движения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами"

На правах рукописи

РОМАНОВ Максим Николаевич

ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ПРОНИЦАЕМЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 СЕН 2011

Ростов-н а-Дону - 2011

4853504

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных паук Южного федерального университета, г. Ростов-на-Дону.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент В. В. Колесов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Н. В. Никитин

доктор физико-математических наук, Е. А. Демехии

Ведущая организация: Пермский государственный университет

Защита состоится 21 октября 2011 г. в 15 часов па заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, Главное здание МГУ, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан « ¿Р » С£Ш1я1/1& 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.89, доктор физико-математических паук

А.Н. Осипцов

1. Общая характеристика работы

В диссертации исследуются течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными вращающимися проницаемыми концентрическими цилиндрами при наличии радиального потока жидкости, направленного от одного цилиндра к другому. Рассматривается случай, когда внешние массовые силы отсутствуют и количество жидкости, поступающей в полость между цилиндрами через поверхность одного цилиндра, равно количеству жидкости, которая отводится через поверхность другого цилиндра.

Основной режим движения жидкости в рассматриваемой задаче является двумерным: он представляет собой стационарное вращательно-сим-метричное течение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости. Ему соответствует точное решение уравнений Навье-Стокса, которое существует при любых значениях параметров задачи.

В экспериментах, однако, данное течение реализуется далеко не всегда: при изменении параметров задачи (например, при увеличении скорости вращения внутреннего цилиндра) оно может потерять устойчивость и смениться вторичным режимом. При этом возможны два типа потери устойчивости основного стационарного течения. В результате монотонной вращательно-симметричной неустойчивости оно сменяется вторичным стационарным течением, а в результате колебательной трехмерной неустойчивости — автоколебательным режимом с бегущими в азимутальном направлении волнами.

Целью данной работы является исследование режимов, которые возникают вблизи точки пересечения нейтральных кривых, отвечающих этим двум типам потери устойчивости основного режима.

Актуальность работы. Помимо общетеоретического интереса, изучение течений вязкой жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами привлекает внимание исследователей прежде всего в связи с возможностью использования его результатов в технических устройствах, содержащих динамические фильтры. Такие фильтры обычно состоят из вращающегося пористого внутреннего цилиндра и неподвижного или тоже вращающегося пористого внешнего цилиндра. Фильтрат обычно подается через проницаемую стенку внутреннего цилиндра и отводится через внешний цилиндр. Такие устройства используются, например, для отделения примесей в отработанном машинном масле, для расщепления крови и выделения из нее плазмы, для противодействия обрастанию мембран в системах очистки питьевой воды посредством обратного осмоса, в био-

технологиях и т. п.

Необходимо отметить также, что рассматриваемая задача представляет собой особенно удобный объект для численных исследований благодаря тому, что переходы к достаточно сложным режимам движения жидкости возникают здесь при довольно малых числах Рейнольдса.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Объем диссертации — 123 страницы, включая 59 рисунков, 16 таблиц и список литературы из 161 работы. В главе 1 исследована устойчивость основного режима движения жидкости в линейной постановке. Во второй главе исследована устойчивость основного режима в нелинейной постановке. В главе 3 приведены результаты численного анализа режимов, возникающих после потери устойчивости основного стационарного течения. В заключении кратко суммированы результаты проделанной работы. В приложениях приведены таблицы критических значений чисел Рейнольдса, графики нейтральных кривых и рассчитанные коэффициенты амплитудной системы.

Научная новизна. В диссертации впервые подробно исследованы вторичные стационарные, периодические и квазипериодические течения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами, возникающие в результате потери устойчивости основного стационарного течения. Построены бифуркационные диаграммы, показывающие эволюцию и бифуркации этих режимов. Обнаружены хаотические движения жидкости, возникающие в результате каскада удвоений периода квазипериодических течений.

Используемый математический аппарат. Для вывода формул коэффициентов амплитудной системы применялась теория бифуркаций коразмерности два, развитая в работах В. И. Юдовича, Ж. Йосса и П. Шос-са. Вторичные стационарные, периодические и квазипериодические течения жидкости найдены путем аналитического и численного анализа комплексной системы амплитудных уравнений. Для расчета трехчастотных квазипериодических течений жидкости (им соответствуют циклы моторной подсистемы) на начальном этапе применялся метод установления с последующим уточнением периода течения и координат точки на течении методом отыскания неподвижной точки эволюционного оператора или отображения Пуанкаре. Устойчивость трехчастотных квазипериодических течений и их бифуркации исследовались путем вычисления мультипликаторов Флоке.

Научная достоверность результатов обусловлена корректностью

математической постановки задачи, строгостью математических методов, применяемых в работе. Все вычисления, выполненные в работе, проводились с контролируемой точностью.

Научная и практическая значимость работы. Полученные результаты являются частью общего исследования задач о движениях вязкой жидкости для систем с цилиндрическими симметриями. Практическая значимость работы заключается в возможности использования результатов в технических устройствах, в частности, содержащих динамические фильтры.

Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в НИИ механики МГУ, в Институте космических исследований РАН (г. Москва), в Институте гидродинамики и Институте теплофизики СО РАН (г. Новосибирск), в Пермском государственном университете, в Тбилисском математическом институте АН Грузии, в НИИ механики и прикладной математики (г. Ростов-на-Дону), в Южном федеральном университете.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, на семинаре по механике сплошных сред в Институте механики МГУ (2011), на международных конференциях «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Москва, 2008, 2010) и на международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов н/Д, 2009, 2010).

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ [1-9], из них 3 статьи [1-3] в изданиях, входящих в перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, утвержденных ВАК.

В совместных публикациях [1-8] постановка задачи и разработка алгоритмов расчета коэффициентов амплитудной системы и численного исследования устойчивости и бифуркаций решений моторной подсистемы выполнена В. В. Колесовым. Реализация этих алгоритмов, проведение компьютерных вычислений, расчет нейтральных кривых и вывод формул для расчета коэффициентов амплитудной системы выполнены автором диссертации.

Представленные в диссертации исследования поддерживались грантами: Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 1105-01138, и Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., гос. контракт № 14.740.11.0877.

2. Содержание работы

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации и обзор современного состояния проблемы, изложена структура и основные положения диссертации.

В первой главе исследуется устойчивость основного режима движения жидкости в линейной постановке задачи.

В § 1.1 выписаны уравнения движения вязкой жидкости в цилиндрических координатах и краевые условия. Они допускают точное решение, представляющее собой основное стационарное вращательно-симметричное течение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости Уо и давления По

Уо = Ьг, п0 = /(V + $) ^ + С0П8^

Хо

Vor = —, VOlfi = г

ar*+1 + -, хФ~2, г

Ol In г + 1

(1)

. Х= -2,

Ш?2 -1 , 1 у

Здесь А = fliRl/u — число Рейнольдса, и — коэффициент кинематической вязкости, хо — S/£l\R\ — безразмерный коэффициент, характеризующий поток жидкости сквозь цилиндры, 5 — размерный коэффициент, определяющий интенсивность поступления жидкости через поверхность одного цилиндра и вытекания ее через поверхность другого цилиндра, = 0.^/0,1 — отношение угловых скоростей вращения цилиндров, R = Д2/Й1 — отношение радиусов цилиндров (R\ < R2), х = S/u — радиальное число Рейнольдса. При х > 0 радиальный поток жидкости направлен от внутреннего цилиндра к внешнему, а при х < 0 — наоборот.

Далее в § 1.2 приводится уравнение линий тока основного режима (1) и дается описание его траекторий движения частиц жидкости.

Наличие даже небольшого радиального потока жидкости (х Ф 0) приводит к тому, что радиальная компонента вектора скорости становится ненулевой. Поэтому частицы жидкости перемещаются не только в азимутальном, но и в радиальном направлении (рис. 1).

п = о

П = -0.2

Рис. 1. Линии тока основного стационарного течения при Л = 2, х = 0.05, Л = 10.

В § 1.3 сформулирована постановка задачи устойчивости. С ростом числа Рейнольдса А основной режим может потерять устойчивость двумя способами. В результате его монотонной вращателыю-симметричпон неустойчивости возникает вторичное стационарное течение. Колебательная трехмерная неустойчивость порождает автоколебательный режим с бегущими в азимутальном направлении волнами. Соответствующие этим бифуркациям нейтральные кривые при определенных значениях параметров задачи могут пересекаться.

В § 1.4 путем наложения возмущений V и П соответственно на компоненты скорости Уо и давление По основного стационарного течения (1), исходные уравнения сводятся к нелинейной задаче для возмущений

(2)

vr = vlfi = vz = 0 (г =1,11),

д д у а 1

' —а (х + 2) гх, х Ф —2,

Уравнения движения жидкости и основной режим симметричны относительно вращений около оси цилиндров на произвольный угол, сдвигов вдоль этой оси на произвольное расстояние и инверсии 3 (зеркальной симметрии относительно отражений в плоскости поперечного сечения цилиндров). Соответствующие формулы выписаны в § 1.5.

§ 1.6 посвящен численному исследованию устойчивости основного режима относительно бесконечно малых возмущений. Приводятся результаты расчета нейтральных кривых, соответствующих монотонной вра-щателыю-симметричной и трехмерной колебательной потере устойчивости.

Нейтральная кривая, соответствующая бифуркации возникновения вторичного стационарного течения, находится путем решения линеаризованной задачи устойчивости, отвечающей (2), для случая, когда возмущения являются монотонными и вращателыю-симметричными. После разделения переменных получается вещественная спектральная задача для определения критического значения числа Рейнольдса Л.

Для расчета нейтральной кривой, соответствующей бифуркации возникновения азимутальных волн, предполагаем возмущения колебательными и трехмерными. После разделения переменных получается комплексная спектральная задача для определения критического значения числа Рейнольдса Л и частоты нейтральной азимутальной моды с.

Спектральные задачи решались численно методом пристрелки. Результатом данного расчета являются зависимости критических значений числа Рейнольдса Л и частоты нейтральной колебательной моды с от отношения угловых скоростей вращения цилиндров П.

Особое внимание уделяется отысканию точек пересечения нейтральных кривых, поскольку вблизи таких точек взаимодействие мод, соответствующих вторичному стационарному течению и азимутальным волнам, может приводить к возникновению достаточно сложных режимов движения жидкости.

Расчеты показали, что при определенных значениях параметров задачи нейтральные кривые не имеют точек пересечения, а при других значениях параметров они пересекаются в одной или нескольких точках. Графики нейтральных кривых и таблицы критических значений чисел Рейнольдса Л представлены в приложении 1.

Во второй главе исследуется устойчивость основного режима в нелинейной постановке.

В § 2.1 разыскивается решение нелинейной задачи для возмущений (2)

в точке (fi, Л), лежащей вблизи точки пересечения нейтральных кривых А*), в виде

+ П =у/Ы{р + р*), (3)

Ф = г) + v, z) + Тй(£)ф 2(r, v,z)] + ... ,

Р = Vo(QMr>z) + е,с*'Ы£)Р1(г, г) + т(0Р2(г, <р, Z)] + ... .

Здесь ¿1 = А — А, и ¿2 = П — П» — малые параметры одного порядка, Voj Vh V2 ~ неизвестные комплексные амплитуды — функции «медленного» времени £ = |<$i|f; с* — неизвестная циклическая частота, найденная при А = А* и fi = i2t; Фо, Po — собственное решение линеаризованной задачи устойчивости для монотонных вращателыю-симмегричных возмущений; Фх, pi и Ф2, Р2 — независимые собственные решения линеаризованной задачи устойчивости для колебательных трехмерных возмущений. При этом вектор Фг получается инверсией J (см. § 1.5) из вектора Ф1, так что Ф2 = УФ1. Величины порядка öi, ¿211 выше в (3) опущены.

Амплитуды tjo, 771, т/2 разложений (3) удовлетворяют следующей системе с кубическими ведущими нелинейными членами:

^ = (а + А\щ\2 + В\щ\2 + В*\щ\2)щ + Dr&nlrfi, ^ = (/i + Р\щ\2 + (ЗЫ2 + R\m\2)Vl + Stfm, (4)

^ = iß + РЫ2 + ДЫ2 + Q{r,2\2)m + Srßrn.

Амплитудная система (4) получена путем использования техники теории бифуркаций, связанной с применением теоремы о нейтральном многообразии. Впервые эта система была получена В. И. Юдовичем в России и Ж. Иоссом и П. Шосса во Франции. Она является обобщением известного амплитудного уравнения Ландау.

Система (4) применима в широком классе задач о течениях жидкости между вращающимися цилиндрами, обладающих группой симметрии G (см. § 1.5), но в различных задачах значения ее коэффициентов будут различными.

Коэффициенты системы (4) выражаются явно через решения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными комплексными коэффициентами. Соответствующие формулы приводятся в § 2.6.

В § 2.2 приводится система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, представляющая собой основной объект анализа устойчивости и бифуркаций вторичных режимов в проблеме Куэтта-Тейлора для проницаемых цилиндров — моторная подсистема амплитудной системы.

Представление комплексных амплитуд в форме щ = рое4''0, Щ — V2 = р2е,ф2 позволяет для модулей амплитуд р0, р\, р2 и фа-

зового инварианта (3 = + фг — получить следующую замкнутую систему, которая называется моторной подсистемой амплитудной системы

^ = [а + Api + Br(p¡ + p¡)] р0 + Dp0pip2 cos ¡3, ^ = (цт + Prpl + Qrp\ + Rrp\)pi + (Sr eos 0 + Si sin P)pIp2,

& = (Mr + PrPl + Rrp\ + Qrpí)p2 + {Sr cos/3 - Si sin P)plpu (5)

Щ = C(p¡ -(%)- 2DPlP2 sin /3 - [Si(pl -p¡) cos 13 +

+ Sr(p¡ + p¡) sin/3] РЦР1Р2, С = 2Bi + Qi - i?¿.

Исследование моторной подсистемы (5) позволяет отыскать стационарные, периодические и квазипериодические течения. Причем стационарные, периодические и двухчастотные квазипериодические режимы находятся аналитически. Трехчастотные квазипериодические течения рассчитываются численно.

§ 2.3 содержит формулы для отыскания двух стационарных течений: основного режима и вторичного стационарного вращателыю-симметрич-ного течения. Им соответствуют равновесия моторной подсистемы, которые лежат на инвариантных плоскостях.

В § 2.4 выписаны формулы для отыскания периодических режимов движения жидкости. Это следующие течения: чистые азимутальные волны, пара спиральных волн, смешанные азимутальные волны первого и второго родов. Периодическим течениям, также как и стационарным (§ 2.3), соответствуют равновесия моторной подсистемы, которые лежат на инвариантных плоскостях.

§ 2.5 содержит формулы для отыскания квазипериодических колебательных режимов с двумя независимыми частотами. Всем таким течениям соответствуют равновесия общего положения моторной подсистемы.

§ 2.6 посвящен расчету коэффициентов амплитудной системы. Для реализации этих вычислений потребовалось рассчитать на компьютере решения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными комплексными коэффициентами.

Вычисления проводились для фиксированных значений следующих трех параметров: отношения радиусов цилиндров /?, аксиального и азимутального волновых чисел а и т.

Результаты вычислений для случая, когда радиус внешнего цилиндра в два раза превосходит радиус внутреннего цилиндра Я = 2 и азимутальное волновое число т = 1 при различных значениях радиального числа Рейнольдса х и аксиального волнового числа а представлены в приложении 2.

В третьей главе приводятся результаты численного анализа режимов, возникающих после потери устойчивости основного стационарного течения.

В § 3.1 изучаются стационарные, периодические и двухчастотные квазипериодические режимы движения жидкости, соответствующие равновесиям моторной подсистемы, а также их устойчивость и бифуркации. Установлено, что при определенных значениях параметров задачи от некоторых равновесий ответвляются предельные циклы. Результаты вычислений представлены бифуркационными диаграммами.

Для случая, когда радиальный поток жидкости направлен от внутреннего цилиндра к внешнему (х = 0.25), возмущения являются 27г-пе-риодическими в азимутальном направлении (а = 2), точка пересечения нейтральных кривых расположена выше нейтральной кривой, соответствующей бифуркации возникновения вторичного стационарного течения (о = 10), схема бифуркационных переходов представлена на рис. 2.

На схеме одинарными линиями изображены ./-симметричные течения, двойными линиями — ./-связанные пары течений. Устойчивые течения нарисованы сплошными линиями, неустойчивые — штриховыми. Точками обозначены бифуркации течений, соответствующих равновесиям моторной подсистемы. Кружками отмечены точки, в которых ответвляются трехча-стотные квазипериодические режимы движения жидкости. Им соответствуют циклы моторной подсистемы.

В рассматриваемом случае существуют следующие течения: основное стационарное течение МР, вторичное стационарное течение чистые азимутальные волны пара спиральных волн 8\У, смешанные ази-

мутальные волны первого рода М\¥+, сметанные азимутальные волны

второго рода М\У , а также две ./-связанные пары двухчастотных квази-периодпческнх течений, соответствующих равновесиям общего положения (¿РЕг и

Ш\

MF-'

?/А

Щ M »> «? M ¡a"r fi'r tf p.* fir Рис. 2. Схема переходов при R = 2, х = 0.25, m = 1, а = 2, <т = 10. Бифуркационные значения: = 0, fi = 6.8648, fi = 6.8778, = 7.3809, = 8.4264, fi = 8.5841, /4 = 8.5986, fi = 8.8269, = 9.2312.

: /4, Аг

/х® и Цг = ответвляются трехчастотные квазипе-

При /гг

риодические течения. Им соответствуют ./-симметричные циклы моторной подсистемы (а при цг = пара циклов).

Таким образом, для рассматриваемых значений параметров задачи в диапазоне < < нет ни одного устойчивого равновесия моторной подсистемы. Это означает, что в данном интервале изменения свободного параметра цг в экспериментах могут реализоваться достаточно сложные режимы движения жидкости.

§ 3.2 содержит результаты расчета квазипериодических колебательных режимов движения жидкости с тремя независимыми частотами, которым соответствуют предельные циклы — изолированные периодические решения моторной подсистемы. Обнаружены устойчивые и неустойчивые симметричные циклы, а также инверсионно-связанные пары несимметричных циклов. Исследованы бифуркации циклов. Установлено, что при определенных значениях параметров задачи бифуркации циклов приводят к возникновению хаотических аттракторов. Выполнен расчет инверсионно-связанной пары хаотических режимов движения жидкости, соответствующих хаотическим аттракторам моторной подсистемы, возникающей в результате бесконечного каскада удвоений устойчивых инверсионно-связанных пар предельных циклов моторной подсистемы.

Однооборотные циклы. Симметричные циклы. В случае 7? = 2, X = 1, т = 1, а = 2, а = 10 единственный устойчивый ./-симметричный предельный цикл Ад (рис. 3) ответвляется при = 22.3504 от смешанных азимутальных волн второго рода М 1¥~. Он существует для < 22.3504 и устойчив в интервалах 7.4303 < < 7.7875, 8.1833 < < 22.3504. При ¡лг = 8.1833 цикл Ло теряет устойчивость в результате бифуркации потери симметрии: от цикла ответвляется устойчивая ./-связанная пара циклов /41

Л±1.

р Г 1

Рис. 3. Симметричный цикл Ло при fir = 12 в случае Д = 2, X' = 1, тп = 1, а = 2, (7 = 10. Координаты точки на цикле: ро = 0.188204, р\ = 0.135322, р2 = 0.135322, /3 = 3.141593. Период Т = 0.3G7969. Устойчив.

Дальнейшее уменьшение параметра ,цг приводит к тому, что в точках /лг = 7.7875 и = 7.4303 цикл Ло претерпевает еще две бифуркации потери симметрии, в результате которых ответвляются неустойчивые J-связанные пары циклов А±г и A±i.

Инверсионно-связанные пары несимметричных циклов. Устойчивая J-связанная пара циклов А\х (рис. 4) при /лг = 8.1833 ответвляется от J-симметричного цикла Ло- Она существует в интервале 8.1782 < /лг < 8.1833 и устойчива всюду, где существует. В точке цг = 8.1782 пара циклов Л±х одновременно гибнет с неустойчивой J-связанной парой циклов В±i, которая существует для > 8.1782.

4 'о 4 ро

Рис. 4. Один из циклов пары циклов при ¿/т = 8.18 в случае Я = 2, х = 1, т = 1, а = 2, а = 10. Координаты точки на цикле: р0 = 0.172140, ру = 0.128736, р2 = 0.128743, /3 = 3.317110. Период Т = 1.043100. Устойчив. Удвоения циклов. Вычисления показывают, что ./-связанные пары несимметричных циклов моторной подсистемы могут претерпевать бифуркации удвоения периода, в том числе и неограниченные последовательности таких бифуркаций.

Устойчивая /-связанная пара двухоборотных предельных циклов С?±2 (рис. 5) в случае R = 2, * = -1, т = 1, а = 3, а = 10 ответвляется при = 11.9237 от /-связанной пары предельных циклов (?±1. Она устойчива в интервале 11.9237 < цг < 12.0078. В точке цг = 12.0078 претерпевает бифуркацию удвоения периода цикла и от нее ответвляется устойчивая /-связанная пара четырехоборотных предельных циклов Сг±з.

Рис. 5. Один из двухоборотных циклов ./-связанной пары циклов G±2 при цг = 11.9312 в случае R = 2, х = -1> га =* 1, а = 3, а = 10. Координаты точки на цикле: р0 = 0.078606, р± = 0.151073, р2 = 0.175375, 0 = 2.628381.

Период Г = 0.567672. Устойчив.

Сложные режимы. Для значений параметров R = 2, х = 0-25, m = 1, а = 2, сг = 10 в точке цг = 8.608252 от /-симметричного цикла Е0 ответвляется устойчивый двухчастотный квазипериодический режим Е, фазовые траектории которого лежат на инвариантном двумерном торе. Он существует при /ir < 8.608252. Проекции фазовых траекторий в начальной стадии формирования (на небольшом отрезке времени) показаны на рис. 6. Отображение Пуанкаре, соответствующее тору Е, приведено на рис. 7.

Рис. 6. Устойчивый двумерный тор Е с вращением при цТ = 8.603 в случае Я = 2, X = 0.25, то = 1, а = 2, а = 10. Координаты точки на торе: р0 = 0.140548, Рх = 0.037003, р2 = 0.037003, 0 = 138.23.

Рис. 7. Отображение Пуанкаре двумерного тора Е с вращением при ¡лг = 8.603 в случае Я = 2, х = 0-25, то = 1, а = 2, а = 10.

Таким образом, для данных значений параметров задачи в зазоре между двумя цилиндрами могут наблюдаться течения жидкости, имеющие сложную структуру.

Расчеты стохастических решений моторной подсистемы проводились методом установления — путем прямого численного интегрирования системы (5) методом Рунге-Кутта-Фельберга 4-5-го порядка точности с автоматическим выбором шага интегрирования. Результаты вычислений выводились на экран дисплея в виде проекций фазовых траекторий на координатные плоскости н образов отображения Пуанкаре. При построении отображения Пуанкаре секущая плоскость автоматически выбиралась трансвер-сальной к траекториям системы (5) в некоторый фиксированный момент времени.

Для случая Д = 2, X = — 1, m = 1, а = 3, ст = 10 рассчитаны J- связанные пары устойчивых предельных циклов G±„, претерпевающих при увеличении fir бифуркации удвоения периода. Всего удалось проследить 5 таких последовательных бифуркаций. Соответствующие им критические значения /х" параметра fir представлены в таблице.

Критические значения ¡ir для бифуркаций удвоения циклов G±n при R = 2, х = -1, т = 1, а = 3, <х = 10.

п 5п = (д? - АТ1)/^1 - К?)

1 11.923661

2 12.007761 5.0678

3 12.024356 4.6733

4 12.027907 4.6724

5 12.028667

Согласно закону универсальности Фейгенбаума, при неограниченной последовательности бифуркаций удвоения устойчивых циклов, приводящей к возникновению хаотического аттрактора, последовательность отношений

8п = - цп~1)/{цпг+1 - /£) -> » 4.6692, когда п оо.

Значения представленные в таблице, с удовлетворительной точностью соответствуют закону универсальности Фейгенбаума. Это позволяет предположить, что /г" д* « 12.028875, когда п -» оо, и при = /х* в результате каскада бифуркаций удвоения ./-связанных пар циклов

возникает ./-связанная пара хаотических аттракторов которая существует при /лг ^ ц*.

Вычисления данное предположение подтверждают. Проекции фазовой траектории одного из аттракторов ./-связанной пары С?± на координатные плоскости показаны иа рис. 8.

р1 р0 Р1

Рис. 8. Один из аттракторов J-связанной пары хаотических аттракторов G± при цг = 12.05 в случае R = 2, х = -1, m = 1, а = 3, ст = 10. Координаты

точки на аттракторе: р0 = 0.090088, рх = 0.100506, р2 = 0.252663, /3 = 1.729146.

Таким образом, вычисления показали, что при продолжении решений моторной подсистемы по параметру наблюдаются следующие типы бифуркаций:

— ответвление симметричного цикла от симметричного равновесия моторной подсистемы в результате колебательной потери устойчивости равновесия;

— ответвление J-связанной пары несимметричных циклов от J-связанной пары несимметричных равновесий в результате колебательной потери устойчивости пары равновесий;

— ответвление одной J-связанной пары несимметричных циклов от другой в результате бифуркации удвоения пары циклов;

— ответвление J-связанной пары несимметричных циклов от симметричного цикла в результате бифуркации потери симметрии цикла;

— одновременное возникновение (или исчезновение) двух симметричных циклов «из воздуха»;

— одновременное возникновение (или исчезновение) двух J-связанных пар несимметричных циклов «из воздуха»;

— ответвление симметричного двумерного тора от J-симметричного цикла;

— возникновение J-связанной пары несимметричных хаотических аттракторов в результате бесконечного каскада удвоений J-связанной пары несимметричных циклов.

В заключении к диссертации подведены итоги работы и сформулированы основные результаты и выводы.

3. Основные результаты и выводы

В работе исследованы различные режимы движения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя бесконечными концентрическими вращающимися проницаемыми цилиндрами в случае, когда имеется приток жидкости через поверхность одного цилиндра и отток через поверхность другого. Основной режим движения жидкости в рассматриваемой задаче представляет собой стационарное вращательно-симметричное течение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости. Это течение может потерять устойчивость двумя способами. В результате монотонной вращательно-симметричной неустойчивости оно сменяется вторичным стационарным течением, а в случае колебательной трехмерной неустойчивости — вторичным автоколебательным режимом типа бегущих азимутальных волн. Вблизи пересечения этих двух бифуркаций существует множество различных вторичных режимов, возникающих благодаря нелинейному взаимодействию монотонной вращательно-симметричной и колебательных трехмерных мод.

Исследование линеаризованной задачи устойчивости показало,что когда цилиндры вращаются в разные стороны и модуль отношения угловых скоростей достаточно велик, рост скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего цилиндра дестабилизирует основной режим, причем этот эффект проявляется тем сильнее, чем больше величина отношения угловых скоростей вращения цилиндров. Если же цилиндры вращаются в одинаковых направлениях либо модуль отношения угловых скоростей вращения цилиндров имеет небольшие значения, то ситуация усложняется. В зависимости от значений других параметров задачи изменение скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего или внешнего цилиндров может оказывать как дестабилизирующее, так и стабилизирующее воздействие на основной режим.

Исследование моторной подсистемы позволило найти следующие вторичные течения жидкости: вторичное стационарное течение, пара спиральных волн, чистые азимутальные волны, смешанные азимутальные волны первого и второго родов, а также двухчастотные и трехчастотные квазипериодические движения жидкости. Эти режимы при различных значениях параметров оказываются как устойчивыми, так и не устойчивыми. С помощью численного анализа их бифуркаций удалось отыскать ряд режимов имеющих существенно более сложную природу, в том числе и хаотические движения.

Основные научные результаты, представленные в диссертации:

1. В широком диапазоне изменений параметров задачи рассчитаны нейтральные кривые, соответствующие монотонной вращательно-симмет-ричной и трехмерной колебательной потере устойчивости основного режима, а также точки их пересечения.

2. Исследовано влияние направления и интенсивности радиального потока жидкости на устойчивость основного стационарного движения жидкости.

3. Путем применения теории бифуркаций коразмерности два получены формулы для коэффициентов амплитудной системы трех комплексных дифференциальных уравнений первого порядка с кубическими ведущими нелинейными членами. Данная система описывает различные движения жидкости, существующие вблизи пересечения бифуркаций возникновения вторичного стационарного течения и автоколебаний с бегущими в азимутальном направлении волнами. Коэффициенты этой системы рассчитаны на компьютере путем решения серии линейных краевых задач.

4. Путем аналитического и численного анализа амплитудной системы найдены стационарные, периодические и квазипериодические колебательные течения жидкости с двумя и тремя независимыми частотами. Исследованы их устойчивость и бифуркации.

5. Обнаружено, что при определенных значениях параметров задачи образуются режимы движения жидкости, имеющие достаточно сложную природу. В частности, в результате последовательного удвоения инверсионно-связанной пары несимметричных циклов возникают стохастические аттракторы амплитудной системы, которым соответствуют хаотические режимы движения жидкости.

Публикации по теме диссертации

1. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет стационарных, периодических и квазипериодических движений вязкой жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Изв. РАН, МЖГ. 2010. № 6. С. 53-62.

2. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет бикритических точек в задаче об устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Изве-

стия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. 2009. № 5. С. 28-30.

3. Колесов В. В., Романов М. Н. Пересечение бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн между вращающимися проницаемыми цилиндрами// Известия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. 2009. С. 112114.

4. Колесов В.В., Романов М.Н. Монотонная н колебательная неустойчивость основного режима движения жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Рук. дел. в ВИНИТИ, 2010. № 483-В2010. 27 с.

5. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет вторичных течений вязкой жидкости, возникающих вблизи пересечения бифуркаций рождения вихрей Тейлора и азимутальных волн, между проницаемыми цилиндрами // Совр. проблемы механики сплошной среды. Труды XIV международной конференции. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. Т. 2. С. 150-100.

6. Колесов В. В., Романов М, Н. Расчет коэффициентов амплитудной системы в задаче о движениях вязкой жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Совр. проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. Том II. С. 103-107.

7. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет нейтральных кривых, соответствующих потере устойчивости основного режима движения жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Неделя пауки 2007. Ростов н/Д: Изд-во «ЦВВР», 2007. С. 37-39.

8. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет нейтральных кривых монотонной и колебательной неустойчивости кругового движения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами // Материалы международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность». М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008. С. 74.

9. Романов М. Н. Расчёт коэффициентов амплитудной системы в задаче об устойчивости течений между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами /'/ Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов н/Д: ИПО ПИ ЮФУ, 2009. Том XIV. С. 61-65.

Подписано в печать 25.07.2011 г. Формат 60-<84 Усл. печ. л. 1,0. Уч. -изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1885. Типография Южного федерального университета 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 247-80-51.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Романов, Максим Николаевич

Введение

Глава 1. Нейтральные кривые

§ 1.1. Краевая задача

§ 1.2. Основное стационарное течение

§ 1.3. Постановка задачи

§ 1.4. Нелинейная система для возмущений

§ 1.5. Симметрии

§ 1.6. Расчет нейтральных кривых.

Глава 2. Амплитудная система

§ 2.1. Амплитудные уравнения

§ 2.2. Моторная подсистема

§ 2.3. Стационарные течения

§ 2.4. Периодические течения

§ 2.5. Двухчастотные квазипериодические течения

§ 2.6. Расчет коэффициентов амплитудной системы

Глава 3. Переходы в моторной подсистеме

§ 3.1. Равновесия и их бифуркации

3.1.1. Случай, когда радиальный поток жидкости направлен от внутреннего цилиндра к внешнему

3.1.2. Случай, когда радиальный поток жидкости направлен от внешнего цилиндра к внутреннему

§ 3.2. Циклы и их бифуркации

3.2.1. Случай, когда радиальный поток жидкости направлен от внутреннего цилиндра к внешнему

3.2.2. Случай, когда радиальный поток жидкости направлен от внешнего цилиндра к внутреннему

Введение диссертация по механике, на тему "Движения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами"

В экспериментах, однако, данное течение реализуется далеко не всегда: при изменении параметров задачи (например, при увеличении скоро-. сти вращения внутреннего цилиндра) оно может потерять устойчивость и смениться вторичным режимом. При этом возможны два типа потери устойчивости основного стационарного течения. В результате монотонной вращательно-симметричной неустойчивости оно сменяется вторичным стационарным течением, а в результате колебательной трехмерной неустойчивости — автоколебательным режимом с бегущими в азимутальном направлении волнами.

Обзор состояния проблемы. Классической задаче Куэтта-Тейлора об устойчивости течений между вращающимися непроницаемыми цилиндрами, исследование которой было начато еще в девятнадцатом веке в экспериментах А. Мэллока [141] и М. Куэтта [112], посвящено множество экспериментальных и теоретических работ, ссылки на которые имеются в книгах [27, 29, 56, 63, 64, 106, 110, 132]. С ней связан и первый крупный успех теории гидродинамической устойчивости — отыскание Дж. Тейлором (1923 г.) значений параметров, при которых основной режим теряет устойчивость и возникает вторичное стационарное вращательно-симметричное (не зависящее от азимутальной переменной) течение, названное впоследствии вихрями Тейлора [155].

Помимо стационарных вихрей Тейлора экспериментаторы обнаружили в классической проблеме Куэтта-Тейлора и существенно более сложные течения жидкости: автоколебания с азимутальными и спиральными волнами [27], квазипериодические движения с несколькими независимыми частотами и турбулентные стохастические режимы [29].

Для этой задачи имеется также ряд строгих математических результатов по исследованию устойчивости основного режима относительно вра-щательно-симметричных возмущений, например, доказательство устойчивости течения Куэтта при любых значениях числа Рейнольдса в случае, когда выполняется критерий Рэлея (его называют еще критерием Синга или Сайнджа) [96, 154], получение ряда результатов по глобальной устойчивости [27] и исследование предельных случаев бесконечно малого [74] и бесконечно большого [69] зазора между цилиндрами. Построены разложения вихрей Тейлора [73] и автоколебаний с азимутальными волнами [83] в ряды Ляпунова-Шмидта.

Немало результатов по численному расчету нейтральных кривых, разделяющих области устойчивости и неустойчивости классического течения Куэтта, а также по расчету режимов, сменяющих его при увеличении числа Рейнольдса, получено при помощи вычислений [27, 29].

Рассматриваемая в диссертации задача отличается от классической проблемы Куэтта-Тейлора тем, что цилиндры являются проницаемыми и имеется радиальный поток жидкости от одного цилиндра к другому.

Экспериментальные исследования течений жидкости между двумя проницаемыми вращающимися цилиндрами [104, 135, 137-139, 143, 146, 147, 150, 157], показывают что с ростом числа Рейнольдса основное стационарное течение сменяется сначала вторичным стационарным вращательно-симметричным течением или трехмерным автоколебательным режимом с распространяющимися в азимутальном направлении волнами. Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводит к тому, что структура движений жидкости усложняется, и при достаточно больших значениях числа Рейнольдса возникает турбулентность.

Первые теоретические исследования устойчивости основного режима

88, 124] были направлены на расчет нейтральных кривых для вращатель-но-симметричных возмущений в случае, когда внешний цилиндр покоится. Эти вычисления показали, что зависимость критического значения числа Рейнольдса, соответствующего бифуркации возникновения вторичного стационарного течения, от безразмерного параметра, характеризующего интенсивность радиального потока, не является монотонной.

Когда цилиндры вращаются в разные стороны и отношение угловых скоростей достаточно велико, увеличение скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего цилиндра дестабилизирует основной режим, причем этот эффект проявляется тем сильнее, чем больше по модулю величина отношение угловых скоростей. Если же абсолютная величина отношения угловых скоростей имеет небольшие значения либо цилиндры вращаются в одну сторону с достаточно большой разницей скоростей, то ситуация усложняется. В зависимости от значений других параметров задачи изменение скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего или внешнего цилиндров может оказывать как дестабилизирующее, так и стабилизирующее воздействие на основной режим. Численный анализ линейной устойчивости основного режима, выполненный другими авторами [102, 107, 125, 129-131, 140], подтвердил этот результат и дал дополнительную информацию о поведении нейтральных кривых.

Численному исследованию нелинейной задачи устойчивости движений жидкости между проницаемыми цилиндрами посвящены работы [148, 149]. В них методом коллокации рассчитаны вторичное стационарное враща-тельио-симметричное течение и приходящий ему на смену при увеличении числа Рейнольдса третичный автоколебательный режим, не обладающий вращательной симметрией. В этом режиме на фоне вторичного стационарного течения в азимутальном направлении бегут волны.

Существенное продвижение в исследовании нелинейной устойчивости классического течения Куэтта и ряда других течений жидкости между вращающимися цилиндрами было достигнуто в 80-х годах двадцатого века, когда В. И. Юдович в России [58, 59, 100, 126], а также Ж. Йосс и П. Шосса во Франции [108, 110] разработали и применили теорию бифуркаций коразмерности два гидродинамических течений с цилиндрической симметрией.

Эта теория позволяет исследовать различные режимы движения жидкости, существующие вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вторичного стационарного течения и азимутальных волн [58, 59, 110, 126], либо бифуркаций возникновения азимутальных волн с различными азимутальными волновыми числами [75, 108-110, 126].

Благодаря свойствам симметрии, которыми обладают уравнения, описывающие движения жидкости между вращающимися цилиндрами (см. формулы (1.7) в § 1.5), монотонной вращательно-симметричной потере устойчивости соответствуют две вещественные моды, а колебательной трехмерной неустойчивости — четыре. В итоге критическое число Рейнольд-са, соответствующее пересечению бифуркаций возникновения вторичного стационарного течения и азимутальных волн, оказывается шестикратно вырожденным [110].

Наличие кратного спектра у линеаризованной задачи устойчивости отнюдь не является в гидродинамике исключительным событием, поскольку многие гидродинамические системы не являются системами общего положения, благодаря тому, что у них имеются различные группы симметрий. Таковой, в частности, является и рассматриваемая в данной дайной диссертации задача.

Нелинейное взаимодействия шести мод (двух вращательно-симметрич-ных и четырех колебательных) описывается амплитудной системой трех комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кубическими ведущими нелинейными членами, которая является обобщением известного амплитудного уравнения Ландау [63].

Заметим, что для задачи о пересечении бифуркаций возникновения азимутальных волн с различными азимутальными волновыми числами критическое число Рейнольдса является восьмикратно вырожденным, что приводит к амплитудной системе четырех комплексных дифференциальных уравнений [75, 76, 81, 110, 144]. Впервые эта система была получена в работе [81].

Наличие у течений между цилиндрами группы симметрий позволяет расщепить амплитудную систему на две подсистемы [59, 110].

Первая из них называется моторной подсистемой амплитудной системы (см. формулы (2.6) в п. 2.2). Она имеет четвертый порядок и определяет эволюцию инвариантов группы симметрий — амплитуд Ръ Р2 трех комплексных мод (вторичного стационарного и колебательного трехмерного течений), а также резонансной линейной комбинация их фаз — фазового инварианта (3. Вторая подсистема выражает производные по времени от трех фаз комплексных мод через инварианты (см. формулы (2.7) в п. 2.2). Для отыскания фаз из нее достаточно выбрать любые два уравнения.

Данная амплитудная система может быть использована в весьма широком классе задач, обладающих симметриями, которые имеются у нелинейной задачи устойчивости для классического течения Куэтта. Так, например, в работах [54-57] она применялась для изучения движений жидкости, возникающих после потери устойчивости неизотермического течения Куэтта. Для исследования движений вязкой жидкости между проницаемыми цилиндрами она использовалась в работах [127, 128].

Главным достоинством применения теории бифуркаций коразмерности два к задачам о течениях жидкости между вращающимися цилиндрами является возможность с ее помощью обнаружить режимы, имеющие достаточно сложную структуру, и во многих случаях проследить последовательность бифуркаций решений уравнений Навье-Стокса, приводящую к их возникновению.

Проблемой исследования возникновения сложных режимов движения жидкости гидродинамики занимаются уже более ста лет. Трудности связаны здесь прежде всего с нелинейностью гидродинамических уравнений, решить которые в явном виде удается лишь в самых простых случаях, весьма далеких от многообразных явлений, которые наблюдаются в природе. В настоящее время теоретическое изучение сложных гидродинамических течений возможно фактически лишь либо путем прямого численного решения уравнений гидродинамики на достаточно мощных компьютерах (см., например, серию работ [158-161], в которых методом Бубнова-Галеркина рассчитываются сложные режимы, возникающие после потери устойчивости классического течения Куэтта), либо с помощью построения различных феноменологических теорий (см., например, [39]), либо путем применения различных асимптотических методов. Именно последний подход в сочетании с компьютерными вычислениями и используется в данной диссертации.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нелинейный анализ устойчивости, выполненный в диссертации, базируется на теории бифуркаций коразмерности два, развитой в работах В. И. Юдовича, Ж. Йосса и П. Шосса. Она применима для широкого класса задач о круговых течениях жидкости с цилиндрическими симметриями. Применение этой теории позволяет свести исходную задачу к асимптотической модели, представляющей собой динамическую систему трех нелинейных комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые являются обобщением известного амплитудного уравнения Ландау. Неизвестными в этой системе являются комплексные амплитуды разыскиваемых вторичных течений. Коэффициенты данной системы находятся численно путем решения серии линейных краевых задач для комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка с переменными комплексными коэффициентами. Данная амплитудная система расщепляется на две вещественные системы. Одна из них имеет четвертый порядок и служит для определения модулей амплитуд и фазового инварианта — линейной комбинации трех неизвестных фаз комплексных амплитуд (одной монотонной вращательно-симметричной и двух колебательных трехмерных). Она называется моторной подсистемой амплитудной системы.

Основные научные результаты, представленные в диссертации:

1. В широком диапазоне изменений параметров задачи рассчитаны нейтральные кривые, соответствующие монотонной вращательно-симмст-ричной и трехмерной колебательной потере устойчивости основного режима, а также точки их пересечения.

5. Обнаружено, что при определенных значениях параметров задачи образуются режимы движения жидкости, имеющие достаточно сложную ■ природу. В частности, в результате последовательного удвоения инверсионно-связанной пары несимметричных циклов возникают стохастические аттракторы амплитудной системы, которым соответствуют хаотические режимы движения жидкости.

120

100

Рис. 3. Нейтральные кривые при Я = 2, х — а —

Рис. 14. Нейтральные кривые при В, = 2, х — — 1? а

V ™ = 0 п т = 1

-0,4 -0,2 0 &

Рис. 15. Нейтральные кривые при /2 = 2, \ = — 1, о;

Критические значения числа Рейнольдса А при Я = 2 , х — 0.5 а = 2 а — 3 т = 0 т - = 1 771 = 0 т = = 1 а А А с А А с

-0.6 171.278 139.120 0.2723 130.364 115.354 0.3110

-0.5 138.698 124.592 0.2596 108.951 101.053 0.2878

-0.4 106.930 112.634 0.2513 88.669 90.159 0.2691

-0.3 85.953 102.249 0.2490 74.103 81.387 0.2588

-0.2 76.396 93.493 0.2583 66.783 74.942 0.2648

-0.1 73.875 89.078 0.2846 64.884 72.449 0.2901

0.0 77.292 92.178 0.3244 68.009 75.588 0.3289

0.1 90.324 109.794 0.3713 79.538 89.310 0.3751

0.2 143.917 219.427 0.4173 126.777 159.417 0.4236 а — 4 а = 5 т = 0 ш = = 1 т = 0 т = = 1

П А А с А А с

-0.6 116.079 110.812 0.3196 113.279 112.602 0.3181

-0.5 100.341 97.641 0.2996 101.025 101.516 0.3048

-0.4 85.907 87.772 0.2816 90.166 93.024 0.2923

-0.3 74.848 80.270 0.2712 81.599 86.811 0.2855

-0.2 68.736 75.136 0.2756 76.575 82.888 0.2898

-0.1 67.271 73.507 0.2982 75.688 82.192 0.3094

0.0 70.724 77.118 0.3347 79.928 86.813 0.3428

0.1 82.825 91.104 0.3796 93.800 102.887 0.3857

0.2 132.102 159.179 0.4281 149.760 180.868 0.4330

Критические значения числа Рейнольдса А при В, — 2 , х — ~ 1 а — 2 а — 3 т = 0 т = 1 т = 0 т = = 1 п Л А с Л Л с

-0.6 361.759 262.401 0.3258 259.919 238.235 0.3761

-0.5 275.082 209.729 0.2939 201.694 172.203 0.3357

-0.4 205.230 170.794 0.2691 154.373 135.337 0.2964

-0.3 140.499 141.940 0.2529 112.487 110.924 0.2659

-0.2 96.865 119.814 0.2471 83.289 93.218 0.2500

-0.1 81.892 103.017 0.2611 71.827 81.616 0.2635

0.0 79.998 97.612 0.3036 70.571 79.213 0.3070

0.1 89.783 110.296 0.3622 79.387 89.538 0.3654

0.2 139.329 219.621 0.4267 123.337 155.966 0.4302 а = 4 а — 5 т = 0 т - = 1 т = 0 т = = 1

Л А с Л Л с

-0.6 215.385 211.547 0.3459 194.361 190.375 0.3352

-0.5 171.444 161.129 0.3363 159.142 155.576 0.3253

-0.4 135.571 127.547 0.3041 130.422 128.406 0.3030

-0.3 105.246 105.690 0.2743 107.081 109.513 0.2813

-0.2 83.586 90.665 0.2592 90.302 96.832 0.2720

-0.1 73.964 81.548 0.2724 82.236 89.654 0.2857

0.0 73.290 80.381 0.3139 82.395 89.783 0.3244

0.1 82.737 91.238 0.3711 93.471 102.623 0.3795

0.2 128.770 155.603 0.4358 145.840 176.201 0.4441

Критические значения числа Рейнольдса А при Я = 2 , ^ = — 2 а = 2 а = 3 т = 0 777 = 1 т = 0 т = = 1

Л Л с А А с

-0.6 672.682 481.108 0.3831 469.068 548.056 0.4565

-0.5 490.949 354.115 0.3376 347.257 300.370 0.3942

-0.4 343.133 264.338 0.2974 248.288 205.731 0.3337

-0.3 230.834 200.023 0.2661 172.453 152.178 0.2841

-0.2 135.003 155.434 0.2486 110.956 117.905 0.2511

-0.1 94.317 123.863 0.2499 82.021 94.817 0.2474

0.0 85.589 107.445 0.2880 75.292 85.483 0.2897

0.1 92.712 115.600 0.3544 81.871 92.895 0.3569

0.2 140.951 230.927 0.4334 124.693 159.298 0.4342 а = 4 а = 5 т = 0 771 = = 1 771 = 0 т = = 1

О А Л с Л Л с

-0.6 373.954 367.912 0.3271 322.661 307.763 0.3400

-0.5 282.071 283.298 0.3571 248.820 243.033 0.3403

-0.4 207.578 189.928 0.3376 189.181 181.992 0.3257

-0.3 150.275 140.973 0.2904 143.424 140.820 0.2903

-0.2 106.137 111.279 0.2571 109.703 115.111 0.2654

-0.1 83.397 92.628 0.2555 91.276 99.742 0.2688

0.0 77.783 85.855 0.2972 86.792 94.907 0.3089

0.1 85.056 94.111 0.3633 95.615 105.140 0.3732

0.2 129.885 157.836 0.4406 146.534 177.367 0.4509

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Романов, Максим Николаевич, Ростов-на-Дону

1. Андрейчиков И. П. Расчет вторичного течения между вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 2. С. 150-152.

2. Андрейчиков И. П. Ветвление вторичных режимов движения жидкости между вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1977. № 1. С. 47-53.

3. Андрейчиков И. П., Овчинникова С. Н. Нелинейная устойчивость течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // Тр. 5-го Всесоюзн. семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Часть 1. Новосибирск: СО АН СССР, 1975. С. 70-78.

4. Андрейчиков И. П., Петровская Н.В., Юдович В. И. Бифуркации и стохастические движения в некоторых гидродинамических системах // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1980. № 3485-80. 7 с.

5. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

6. Арнольд В. И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю. С., Шильников JI. П. Теория бифуркаций // Динамическик системы. Т. 5. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 5-218.

7. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Динамическик системы. Т. 1. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 7-149.

8. Афендиков A. JI. Ветвление при наличии группы симметрий и бифуркация вихрей Тейлора // ИПМ АН СССР, 1983. Препр. № 61.

9. Афендиков А. JL, Бабенко К. И. О вихрях Тейлора // ИПМ АН СССР, 1982. Препр. № 3.

10. Афендиков А. JL, Бабенко К. И. О математическом моделировании турбулентности в течениях вязкой несжимаемой жидкости // Матем. моделирование. 1989. Т. 1. № 18. С. 45-74.

11. Афендиков А. JT., Бабенко К. И. Об устойчивости вихрей Тейлора // ИПМ АН СССР, 1983. Препр. № 32.

12. Бабенко К. И., Афендиков А. «71., Юрьев С. П. Об устойчивости и бифуркации течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // ИПМ АН СССР, 1981. Препр. № 99.

13. Бабенко К. И., Афендиков А. «71., Юрьев С. П. О бифуркации течения Куэтта между вращающимися цилиндрами в случае двукратного собственного значения // ДАН СССР, 1982. Т. 266. № 1. С. 73-78.

14. Барковский Ю.С., Юдович В. И. Рождение вихрей Тейлора в случае разновращающихся цилиндров и спектральные свойства одного класса краевых задач // ДАН СССР, 1978. Т. 242. № 4. С. 784-787.

15. Барковский Ю. С., Юдович В. И. Спектральные свойства одного класса краевых задач // Матем. сборник, 1981. Т. 114(156). № 3. С. 438-450.

16. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Наука, 1971. 350 с.

17. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений // М.: Наука, 1969. 527 с.

18. Вайнбергер Г. Ф. Изменение устойчивости в течении Куэтта // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. С. 228-236.

19. Василенко Ю. Г., Кузнецов Е. А., Львов В. С., Нестерихин Ю. Е., Соболев B.C., Спектор М.Д., Тимохин С. А., Уткин E.H., Шмойлов Н. Ф.

20. О зарождении вихрей Тейлора в течении Куэтта // ПМТФ, 1980. № 2. С. 58-64.

21. Вишик М. И., Люстерник JI. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН, 1957. T. XII. № 5. С. 3-122.

22. Гантмахер Ф. Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. M.-JL: Гостехиздат, 1950. 359 с.

23. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

24. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 318 с.

25. Гетлинг A.B. Конвекция Рэлея-Бенара. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 247 с.

26. Гледзер Е. Б., Должанский Ф. В., Обухов А. М. Системы гидродинамического типа и их применение // М.: Наука, 1981. 366 с.

27. Гольдштик М.А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность // Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

28. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 638 с.

29. Ди Прима. Применение метода Галеркина к задачам устойчивости в гидродинамике // Сб. «Механика». Период, сб. перев. ин. статей. М. 1956. № 3(37). С. 53-61.

30. Ди Прима P.C., Суинни X.JI. Неустойчивости и переход в течении между концентрическими вращающимися цилиндрами // Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984. С. 169-217.

31. Должанский Ф. В. Лекции по геофизической гидродинамике // М.: ИВМ РАН, 2006. 377 с.

32. Должанский Ф. В., Кляцкин В. И., Обухов А. М., Чусов М. А. Нелинейные системы гидродинамического типа // М.: Наука, 1974. 160 с.

33. Доннели Р. Д. Экспериментальное определение пределов устойчивости // Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964. С. 54-67.

34. Дэвис С. Р. О принципе изменения устойчивости // Сб. «Механика». Период, сб. перев. ин. статей. М. 1970. № 4. С. 56-73.

35. Есипов A.A., Юдович В. И. Принцип Рэлея и задача о возникновении конвекции в длинных цилиндрах // Всесоюзн. конф. «Совр. проблемы тепловой гравитационной конвекции». Минск: ИТМО АН БССР, 1971. С. 41-43.

36. Есипов A.A., Юдович В. И. Предельное поведение собственных значений краевых задач в неограниченно расширяющихся областях // Журнал выч. мат. и математич. физики, 1973. Т 13. № 2. С. 421-432.

37. Есипов А. А., Юдович В. И. Асимптотика собственных значений первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения на длинном отрезке // Журнал выч. мат. и математич. физики, 1974. Т. 14. № 2. С. 342-349.

38. Жолондек X. О версальности одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Матем. сборник, 1983. Т. 120. № 4. С. 473499.

39. Журавлев Ф. А., Львов В. С., Нестерихин Ю. Е., Предтеченский А. А., Соболев B.C., Уткин E.H., Черных А.И. Методика и результаты исследования перехода к турбулентности в простых гидродинамических течениях // Автометрия, 1982. № 3. С. 4-15.

40. Зельдович Я. Б. О трении в жидкости между вращающимися цилиндрами // ИПМ АН СССР, 1979. Препр. № 139.

41. Иванилов Ю. П. Вторичные режимы в течении Куэтта // Изв. АН СССР. МЖГ, 1968. № 1. С. 118-121.

42. Иванилов Ю. П., Яковлев Г. Н. О бифуркации течений жидкости между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 768773.

43. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983. 300 с.

44. Ко лесов В. В. Устойчивость неизотермического течения Куэтта / / Изв. АН СССР, МЖГ, 1980. № 1. С. 167-170.

45. Колесов В. В. Колебательная вращательно-симметричная потеря устойчивости неизотермического течения Куэтта // Изв. АН СССР, МЖГ, 1984. № 1. С. 76-80.

46. Колесов В. В., Овчинникова С.Н. Устойчивость течения жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 3. С. 32-36.

47. Колесов В.В., Романов М.Н. Монотонная и колебательная неустойчивость основного режима движения жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Рук. деп. в ВИНИТИ, 2010. № 483-В2010. 27 с.

48. Колесов В. В., Романов М. Н. Пересечение бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн между вращающимися проницаемыми цилиндрами// Известия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2009. С. 112-114.

49. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет бикритических точек в задаче об устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Известия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. 2009. № 5. С. 28-30.

50. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет нейтральных кривых, соответствующих потере устойчивости основного режима движения жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Неделя науки 2007. Ростов-на-Дону: Изд-во «ЦВВР», 2007. С. 37-39.

51. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет стационарных, периодических и квазипериодических движений вязкой жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Изв. РАН, МЖГ. 2010. № 6. С. 53-62.

52. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Бикритические точки, отвечающие пересечению бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн // Рук. деп. в ВИНИТИ, 2001. № 769-В2001. 29 с.

53. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Бикритические точки в неизотермической проблеме Куэтта-Тейлора // Изв. Высших учебных заведений. Сев.-Кав. Регион. 2002. № 2. С. 43-45.

54. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Неизотермическая проблема Куэтта-Тейлора. Ростов н/Д Изд-во ЮФУ, 2009. 192 с.

55. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Простейшие режимы движения жидкости вблизи пересечения бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных воли // Изв. РАН, МЖГ. 2002. № 2. С. 97-109.

56. Колесов В. В., Юдович В. И. Переходы в малой окрестности точек пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1995. № 3020-В95.

57. Колесов В. В., Юдович В. И. Расчет колебательных режимов в течении Куэтта вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн // Изв. РАН, МЖГ, 1998. № 4. С. 81-93.

58. Коулз Д. К вопросу о тейлоровской неустойчивости циркуляционного течения Куэтта // Тр. амер. общества инж. мех. Сер. Е. Прикладная механика, 1967. Т. 34. № 3. С. 78-84.

59. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Часть II. М.: Физматгиз, 1963. 727 с.

60. Кузнецов Е.А., Львов B.C., Предтеченский A.A., Соболев B.C., Уткин Е. Н. О проблеме перехода к турбулентности в течении Куэтта // Письма в ЖЭТФ, 1979. Т. 30. № 4. С. 226-229.

61. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с.

62. Линь Цзя Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Изд. иностр. литературы, 1958. 194 с.

63. Львов B.C., Нестерихин Ю.Е. Переход к турбулентности в простых гидродинамических течениях // Вести АН СССР, 1980. № 10. С. 2535.

64. Львов B.C., Предтеченский A.A., Черных А.И. Бифуркации и хаос в системе вихрей Тейлора: натурный и численный эксперимент // ЖЭТФ, 1981. Т. 80. № 3. С. 1099-1121.

65. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 368 с.

66. Монин А. С. О природе турбулентности // Успехи физ. наук, 1978. Т. 125. Вып.1. С. 97-122.

67. Овчинникова С. Н. Устойчивость течения Куэтта в случае широкого зазора между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1970. Т. 34. Вып.2. С. 302-307.

68. Овчинникова С. Н. Расчет бикритических точек в задаче Куэтта-Тейлора // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1997. № 895-В97. 11 с.

69. Овчинникова С. Н. Алгоритм расчета точек пересечения бифуркаций и коэффициентов амплитудных уравнений для задачи Куэтта-Тейлора // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1998. № 464-В98. 19 с.

70. Овчинникова С. Н. Нейтральные кривые и пересечения бифуркаций в задаче Куэтта-Тейлора // Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики. SCDS-III. Лоо, 2002. С. 113-118.

71. Овчинникова С.Н., Юдович В. И. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1968. Т. 32. Вып.5. С. 858-868.

72. Овчинникова С. Н., Юдович В. И. Устойчивость и бифуркация течения Куэтта в случае узкого зазора между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1974. Т. 38. Вып.6. С. 1025-1030.

73. Овчинникова С. Н., Юдович В. И. Пересечение бифуркаций в проблеме Куэтта-Тейлора. I. Нерезонансный случай // Рук. деп. в ВИНИТИ, 2005. № 458-В2005. 33 с.

74. Рабинович М. И. Стохастические автоколебания в радиофизике и гидродинамике. Эксперименты и модели. // Нелинейные волны. Стоха-стичность и турбулентность. Горький, 1980. С. 5-23.

75. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.

76. Странные аттракторы. Сб. статей под ред. Я. Г. Синая и Л. П. Шиль-никова. М.: Мир, 1981. 253 с.

77. Стюарт Дж. Т. О нелинейной механике в теории гидродинамической устойчивости // Механика, 1959. № 3(55). С. 19-38.

78. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977.

79. Уринцев А. Л. Расчет автоколебаний типа азимутальных волн, возникающих при потере устойчивости течения вязкой жидкости между концентрическими цилиндрами, вращающимися в разные стороны // ПМТФ, 1976. № 2. С. 68-75.

80. Шапакидзе Л. Д. Влияние вращения на устойчивость течения между двумя проницаемыми цилиндрами // Краевые задачи математической физики. 1. Тр. Тбил. матем. института, 1991. Т. 96. С. 123-138.

81. Шапакидзе Л. Д. Влияние проницаемости стенок на устойчивость течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами // Сообщ. АН Груз. ССР, 1982. Т. 108. № 3. С. 501-504.

82. Шапакидзе Л. Д. О бифуркации течений жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Сообщ. АН Груз. ССР, 1980. Т. 99. № 2. С. 325-328.

83. Шапакидзе Л. Д. Об устойчивости течения Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 3. С. 146148.

84. Шапакидзе Л. Д. Устойчивость вязкого течения между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Сообщ. АН Груз. ССР, 1968. Т. 49. № 1. С. 19-24.

85. Шкадов В. Я. Стационарные течения вязкой жидкости между коаксиальными вращающимися цилиндрами после потери устойчивости // Изв. АН СССР, МЖГ, 1969. № 3. С. 81-86.

86. Шкадов В. Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости // Научн. тр. НИИ механики МГУ, 1973. № 25. С. 1-192.

87. Шкадов В. Я. Численное исследование устойчивости гидродинамических течений и нелинейного взаимодействия возмущений // Числ. мет. механики сплошной среды. Новосибирск, 1981. Т. 12. № 4. С. 148-155.

88. Шкадов В. Я., Запрянов 3. Д. Течения вязкой жидкости. Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1984. 200 с.

89. Юдович В. И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР, 1965. Т. 161. № 5. С. 1037-1040.

90. Юдович В. И. Пример рождения вторичного стационарного или периодического течения при потере устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости // ПММ, 1965. Т. 29. Вып.З. С. 453-467.

91. Юдович В. И. О бифуркации вращательных течений жидкости // ДАН СССР, 1966. Т. 169. № 2. С. 306-309.

92. Юдович В. И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 688-698.

93. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // ПММ, 1971. Т. 35. Вып. 4. С. 638-655.

94. Юдович В. И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима // ПММ, 1972. Т. 36. Вып. 3. С. 450-459.

95. Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дону, Изд. РГУ, 1984. 191 с.

96. Юдович В. И. Переходы и возникновение хаоса в течениях жидкости // Аннот. докладов 6-го Всесоюзн. съезда по теорет. и прикл. механике. Ташкент: Фан, 1986. С. 661.

97. Якобсон М.В. Эргодическая теория одномерных отображений // Динамические системы. Т. 2. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 204232.

98. Ali М.А., Soundalgekar V.M. Effects of radial temperature gradient on the stability of a viscous flow between two rotating porous cylinders with a narrow gap // ZAMM, J. of Appl. Math, and Mech. 2001. V. 81. № 7. P. 457-464.

99. Andereck C. D., Dickman R., Swinney H. L. New flows in a circular Couette system with co-rotating cylinders // Phys. Fluids, 1983. V. 26. № 6. P. 1395-1401.

100. Beaudoin G., Jaffrin M.Y. Plasma filtration in Couette flow membrane devices // Artif. Organs, 1989. V. 13. № 1. P. 43-51.

101. Burkhalter J.E., Koschmieder E. L. Steady supercritical Taylor vortices after sudden starts // Phys. Fluids, 1974. V. 17. № 11. P. 1929-1935.

102. Chandrasekhak S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford. Clarendon Press, 1961. 852 p.

103. Chang M.-H. Hydrodynamic stability of Taylor-Dean flow between rotating porous cylinders with radial flow // Phys. of fluids, 2003. V. 15. № 5. P. 1178-1188

104. Chossat P., Demay Y., Iooss G. Interaction de modes azimutaux dans le Probleme de Couette-Taylor // Arch. Rational Mech. Anal. 1987. V. 99. № 3. P. 213-248.

105. Chossat P., Iooss G. Primary and secondary bifurcations in the Couette-Taylor problem // Jap. J. App. Math. 1985. V. 2. № 1. P. 37-68.

106. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor problem. New York: SpringerVerlag, 1994. 233 p.

107. Coles D. Transition in circular Couette flow // J. Fluid Mech. 1965. V. 21. № 3. P. 385-425.

108. Couette M. Études sur le frottement des liquides // Ann. Chim. Phys. 1890. V. 6. Ser. 21. P. 433-510.

109. Davey A. The growth of Taylor vortices in flow between rotating cylinders // J. Fluid Mech. 1962. V. 14. № 3. P. 336-368.

110. Davey A., Di Prima R. C., Stuart J. T. On the instability of Taylor vortices // J. Fluid Mech. 1968. V. 31. № 1. P. 17-52.

111. Di Prima R. C. Stability of nonrotating symmetric disturbances for viscous flow between rotating cylinders // Phys. Fluids, 1961. V. 4. P. 751-755.

112. Feigenbaum M. I. Universal behaviour in nonlinear systems // Los Alamos Sei. 1980. V. 1. P. 4-27.

113. Fenstermacher P. R., Swinney H. L., Benson S. V., Gollub J. P. Bifurcations to periodic, quasiperiodic, and chaotic regimes in rotating and convecting fluids // Ann. N. Y. Acad. Sei. 1979. V. 316. P. 652-666.

114. Fenstermacher P. R., Swinney H.L., Gollub J. P. Dynamical instabilities and the transition to chaotic Taylor vortex flow //J. Fluid Mech. 1979. V. 94. № 1. P. 103-128.

115. Frank G., Meyer-Spasche R. Computation of transitions in Taylor vortex flows // Z. Angev. Math. und. Phys. 1981. V. 32. № 6. P. 710-720.

116. Goharzadeh A., Mutabazi I. Experimental characterization of intermittency regimes in the Couette-Taylor System // The European Physical J. B. 2001. V. 19. P. 157-162.

117. Gorman M., Swinney H.L. Visual observation of the second characteristic mode in a quasiperiodic flow // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 43. № 25. P. 1871-1875.

118. Gorman M., Swinney H. L. Spatial and temporal characteristics of modulated waves in the circular Couette system // J. Fluid Mech. 1982. V. 117. P. 123-142.

119. Gorman M., Swinney H.L. Doubly periodic circular Couette flow: experiments compared with predictions from dynamics and symmetry // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. № 15. P. 992-995.

120. Jain N.C., Bansal J.L. On the flow of a viscous incompressible fluid between two coaxial rotating porous cylinders // Proc. Indian. Acad. Sei. Math. Sei. 1973. V. 78. № 5. P. 187-201.

121. Johnson C., Lueptow R. M. Hydrodynamic stability of flow between rotating porous cylinders with radial and axial flow // Phys. of Fluids,1997. V. 9. № 12. P. 3687-3696.

122. Kolesov V., Ovchinnikova S., Petrovskaya N., Yudovich V. Onset of chaos through intersections of bifurcations in Couette Taylor flow // ZAMM, 1996. V. 2. P. 548-551.

123. Kolesov V., Shapakidze L. On oscillatory modes in viscous incompressible liquid flows between two counter-rotating permeable cylinders // Trends App. Math. Mech. Boca Raton: Chapman and Hall, CRC. 2000. V. 106. P. 221-227.

124. Kolesov V., Shapakidze L. On transitions near the intersection point of bifurcations in the flow between two rotating permeable cylinders // Proc. A. Razmadze Math. Inst. 2000. V. 122. P. 79-91.

125. Kolyshkin A.A., Vaillancourt R. Convective instability boundary of Couette flow between rotating porous cylinders with axial and radial flows // Phys. Fluids, 1997. V. 9. № 4. P. 910-918.

126. Kolyshkin A.A., Vaillancourt R. Linear stability of Couette flow between rotating permeable cylinders // C. R. Math. Rep., Acad. Sei. Canada, 1996. V. 18. № 6. P. 263-268.

127. Kong C.-H., Lee C.-K. Instability of Taylor vortex and nonaxisymmetric modes in flow between rotating porous cylinders // J. of fluids engineering,1998. V. 120. № 4, P. 745-749.

128. Koschmieder E. L. Turbulent Taylor vortex flow //J. Fluid Mech. 1979. V. 93. № 3. P. 515-527.

129. Koschmieder E. L. Transition from laminar to turbulent Taylor vortex flow // Laminar-Turbulent Transition Symp. Stuttgart, 1979. Berlin e. a. 1980. P. 396-404.

130. Koschmieder E. L. Benard cells and Taylor vortices. Cambridge University Press, 1993. 337 p.

131. Kroner K. H., Nissinen V. Dynamic filtration of microbial suspensions using an axially rotating filter // J. Membrane Sei. 1988. V. 36. P. 85100.

132. Krueger E. R., Gross A., Di Prima R. C. On the relative importance of Taylor-vortex and non-axisymmetric modes in flow between rotating cylinders // J. Fluid Mech. 1966. V. 24. № 3. P. 521-538.

133. Lee S., Lueptow R. M. Rotating membrane filtration and rotating reverse osmosis //J. Chem. Eng. Japan, 2004. V. 37. № 4. P. 471-482.

134. Lueptow R. M., Hajiloo A. Flow in a rotating membrane plasma separator // Trans. Am. Soc. Artif. Intern. Organs, 1995. V. 41. P. 182-188.

135. Lueptow R. M., Min K. Circular Couette flow with pressufe-driven axial flow and a porous inner cylinder // Experiments in Fluids, 1994. V. 17. P. 190-197.

136. Lueptow R. M., Min K. Hydrodynamic stability of viscous flow between rotating porous cylinders with radial flow // Phys. of Fluids, 1994. V. 6. P. 144-151.

137. Mallock A. Determination of the viscosity of water // Proc. Roy. Soc. 1888. A 45. P. 126-132.

138. Meyer-Spasche R., Keller H. B. Computation of the axisymmetric flow between rotating cylinders //J. Comput. Phys. 1980. V. 35. № 1. P. 100109.

139. Ohashi K., Tashiro K., Kushiya F., Matsumoto T., Yoshida S., Endo M., Horio T., Ozawa K., Sakai K. Rotation-induced Taylor vortex enhances filtrate flux in plasma separation // ASAIO Trans. 1988 Jul-Sep. V. 34(3). P. 300-307.

140. Ovchinnikova S. N., Yudovich V. I. Resonances in the intersections of bifurcation in the Couette-Taylor problem // Patterns and Waves, A. Abramian, S. Vakulenko, V. Volpert (Eds.), Saint Petersburg, 2003. P. 55-77.

141. Rayleigh. On convention currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is on the under side // Sci. Papers. Cambridge Univ. Press, 1916. V. 6. P. 529-546.

142. Schwille J. A., Mitra D., Lueptow R. M. Design parameters for rotating filtration // J. Membrane Sci. 2002. V. 204. № 1. P. 53-65.

143. Schwille J. A., Mitra D., Lueptow R. M. Anti-fouling mechanism in rotating filtration // 12th International Couette-Taylor Workshop, September 6-8, 2001. Evanston, IL, USA. Session 2D.

144. Serre E., Sprague M., Bontoux P, Lueptow R. M. The effect of radial through-flow on the stability of Taylor-Couette flow // Proc. of the 15th Intern. Couette-Taylor Workshop, Le Havre, France, July 9-12, 2007.

145. Serre E., Sprague M.A., Lueptow R. M. Stability of Taylor-Couette flow in a finite-length cavity with radial throughflow // Phys. Fluids. 2008. V. 20. № 3. P. 034106-1-034106-10.

146. Shah T. N., Yoon Y., Pederson C. L., Lueptow R. M. Rotating reverse osmosis and spiral wound reverse osmosis filtration: A comparison // J. Membrane Sci. 2006. V. 285. № 1-2. P. 353-361.

147. Shapakidze L. On the bifurcation of flows of a heat-conducting fluid between two rotating permeable cylinders // Georgian Math. J. 1997. V. 4. № 6. P. 567-578.

148. Shapakidze L. On the stability of flows between two rotating permeable cylinders // Proc. Int. Conf. Appl. Mech. 1. Beijing, China, 1989. P. 450454.

149. Swinney H. L., Gollub J. P. Transition to turbulence // Physics Today, 1978. V. 31(8). P. 41-49.

150. Synge J.L. On the stability of a viscous liquid between rotating coaxial cylinders // Proc. Roy. Soc. 1938. A 167. P. 250-256.

151. Taylor G. I. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A, 1923. V. 223. P. 289-343.

152. Veite W. Stabilität und Verzweigung stationärer lösungen der Navier-Stokesschen gleichungen beim Taylor problem // Arch. Rat. Mech. Anal. 1966. V. 22. № 1. P. 1-14.

153. Wronski S., Molga E., Rudniak L. Dynamic filtration in biotechnology // Bioprocess Eng. 1989. V. 4. № 5. P. 99-104.

154. Yahata H. Dynamics of the Taylor vortices above higher instability points // Progr. Theor. Phys. 1978. V. 59. № 5. P. 1755-1756.

155. Yahata H. Temporal development of the Taylor vortices in a rotating fluid.

156. I // Progr. Theor. Phys. 1980. V. 64. № 3. P. 782-793.

157. Yahata H. Temporal development of the Taylor vortices in a rotating fluid.1. // Progr. Theor. Phys. 1981. V. 66. № 3. P. 879-891.

158. Yahata H. Temporal development of the Taylor vortices in a rotating fluid.

159. V // Progr. Theor. Phys. 1983. V. 69. № 22. P. 396-402.