Устойчивость нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1 Нелинейная неустойчивость вращательного стационарного течения Куэтта

1.1 Постановка задачи.

1.2 Аппроксимация уравнений по пространственным переменным .'

1.3 Линейная устойчивость к бесконечно малым возмущениям

1.3.1 Основные уравнения.

1.3.2 Решение возникающей проблемы собственных значений

1.3.3 Результаты анализа устойчивости.

1.4 Метод решения нелинейных уравнений.

1.4.1 Используемые методы интегрирования по времени

1.4.2 Исследованиеустойчивостсхем интегрирования по времени.'Л?

1.4.3 Метод матриц влияния и его применение.

1.4.4 Метод решения матричных уравнений.

1.5 Результаты расчетов нелинейных режимов.

1.5.1 Известные режимы.

1.5.2 Нелинейная неустойчивость - новые нелинейные решения

1.5.3 Обсуждение результатов.

2 Неустойчивость и формирование нелинейных структур в осциллирующем вращательном течении между цилиндрами.

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Основные уравнения и безразмерные переменные

2.1.2 Выражения для основного течения.

2.1.3 Рассматриваемые режимы.

2.2 Устойчивость к бесконечно малым возмущениям.

2.2.1 Основные уравнения и аппроксимация по пространственным переменным.

2.2.2 Теория Флоке.

2.2.3 Метод определения критических параметров

2.2.4 Линейная устойчивость возмущенного течения Ку-этта

2.2.5 Линейная устойчивость течения между осциллирующими цилиндрами.

2.3 Вторичные нелинейные течения

2.3.1 Метод расчета и начальные условия.

2.3.2 Вторичные течения для возмущенного течения Ку-этта

2.3.3 Вторичные течения для течения между осциллирующими цилиндрами.

3 Устойчивость течения пленки по колеблющейся наклонной поверхности под действием силы тяжести

3.1 Постановка задачи и вывод основных уравнений.

3.2 Метод решения.

3.2.1 Дискретизация по оси у.

3.2.2 Анализ устойчивости стационарного течения пленки

3.2.3 Методы интегрирования по времени задачи (3.12)

3.2.4 Сравнение схем и решение получающейся линейной системы.

3.3 Результаты проведенных расчетов.

3.3.1 Пробные расчеты собственных значений.

3.3.2 Задача о стекании пленки по пластине, колеблющейся перпендикулярно поверхности пластины

Настоящая работа посвящена исследованию проблем устойчивости нестационарных периодических течений вязкой жидкости. Большой интерес к таким задачам связан с тем, что существует большое количество течений, вызываемых периодическими внешними воздействиями. С другой стороны, дальнейшее развитие теории гидродинамической устойчивости требует изучения влияния периодических изменений параметров на переход к неустойчивости. В обзорной статье [1] были рассмотрены свойства основных периодических течений: плоскопараллельные слои сдвига, конвекция Релея-Бенара и течение Тейлора-Куэтта. В настоящей работе рассматриваются два течения: течение в зазоре между цилиндрами, скорость которых периодически изменяется со временем, и течение пленки жидкости по колеблющейся наклонной поверхности.

Течение вязкой жидкости в зазоре между двумя вращающимися цилиндрами давно привлекает внимание многих исследователей. Тейлор [2] экспериментально наблюдал образование тороидальных осесиммет-ричных вихрей вследствие гидродинамической неустойчивости при достаточно высокой относительной скорости вращения цилиндров. В [2] были впервые получены критические параметры для рассматриваемого течения с помощью анализа линеаризованных уравнений движения. В работе [3] было установлено, что в случае вращения внутреннего цилиндра при неподвижном внешнем наиболее растущими являются осесиммет-рические возмущения. Нелинейная теория гидродинамической неустойчивости была развита в работах [4], [5] и [6] для расчета амплитуды движений жидкости в вихрях Тейлора. Расчеты проводились для значений параметров, лежащих в области неустойчивости к бесконечно малым возмущениям, вблизи нейтральной кривой. Подробный обзор результатов исследований течения Тейлора-Куэтта можно найти в книге [7] и в

8]. В работе [6] численно исследовались вторичные течения, образующиеся после потери устойчивости основным течением. На основе полных уравнений Навье-Стокса для случая осевой симметрии была выписана приближенная система уравнений, и были рассчитаны нелинейные вторичные течения при различных значениях параметров. Сравнение полученных результатов с экспериментальными подтвердило справедливость сделанных предположений и эффективность метода решения.

В первой главе настоящей работы исследуются стационарные нелинейные решения этой системы уравнений при разных значениях параметров и при начальных возмущениях конечной амплитуды. Обнаружены новые стационарные вторичные течения. Они возникают, когда значения волновых чисел лежат вне области линейной неустойчивости. Существование множества качественно различающихся течений между вращающимися цилиндрами при неизменных геометрических параметрах и скоростях вращения цилиндров подтверждается экспериментальными данными работы [9].

Во второй главе настоящей работы рассматриваются течения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя вращающимися цилиндрами, угловые скорости которых периодически изменяются со временем. Впервые влияние периодических синусоидальных колебаний угловой скорости внутреннего цилиндра вида Q = 0°(1 + Acos(oüt)) на стационарное течение Куэтта было экспериментально исследовано в [10]. Был сделан вывод о стабилизации течения, хотя отмечалось образование вихрей в области устойчивости, которые появлялись и исчезали в течение периода возмущения. Результаты последующих теоретических исследований [11] и [12] противоречили выводу о стабилизации течения. В [11] в случае узкого зазора в пределе больших и малых частот а были вычислены критические параметры по линейной теории устойчивости, а также получено амплитудное уравнение в пределе больших частот. Во всех случаях критические параметры для периодического течения были меньше критических параметров для стационарного течения. Величина дестабилизации АТас = (Тасо — Тас)/Тасо, где Тасо, Тас- критические числа Тейлора для стационарного течения Куэтта и для периодического течения, оказалась АТас = 0(А2).

Анализ устойчивости к бесконечно малым возмущениям по линейной теории с помощью метода Галеркина [12] в случае узкого зазора для различных скоростей вращения цилиндров подтвердил вывод о дестабилизации течения. Более поздние эксперименты [13] также свидетельствовали о дестабилизации течения в этом случае. В [14] на основе линейного анализа устойчивости были получены критические параметры в случаях колебаний только внутреннего цилиндра, синхронных колебаниях обоих цилиндров, колебаний внутреннего или внешнего цилиндров на фоне стационарного течения Куэтта. При этом использовалась теория Флоке, спектральная аппроксимация возмущений и прямое интегрирование по времени. При периодических колебаниях внутреннего цилиндра на фоне течения Куэтта в отличие от работ [11], [12] для низких частот наблюдалась сильная дестабилизация, порядка АТас = О (А). В случае колебаний внешнего цилиндра был также сделан вывод о дестабилизации течения, что противоречит экспериментам [15], в которых напротив, наблюдалась стабилизация. Результаты линейного анализа устойчивости возмущенного течения Куэтта в случае колебаний внутреннего или внешнего цилиндра, с использованием теории Флоке и спектрального представления пространственных переменных [16], подтвердили вывод работ [11], [12] о слабой дестабилизации для малых и средних частот и соответствовали экспериментам [15]. Авторы [16] объяснили расхождение своих результатов с работой [14] тем, что в последней был взят слишком большой шаг по времени. Также в [16] численно рассчитывалось вторичное течение в случае колебаний только внутреннего цилиндра на фоне стационарного течения Куэтта.

Подробный линейный анализ устойчивости в случае колебаний внешнего цилиндра на фоне стационарного течения Куэтта во всех случаях показал стабилизацию в соответствии с экспериментом [17]. В работе [18] было проведено экспериментальное и теоретическое исследование устойчивости течения, возникающего при синхронных колебаниях обоих цилиндров. В экспериментах определялись критические параметры для широкого диапазона параметров, получены картины течений для различных амплитуд колебаний. Были получены линейные уравнения для возмущений в случае узкого зазора, из которых с помощью теории Фло-ке и разложения в ряд Фурье по времени были найдены критические параметры.

Целью настоящей работы является численный расчет вторичных нелинейных и нестационарных течений, возникающих после потери устойчивости основным состоянием. При исследовании используется приближение узкого зазора, то есть считается, что отношение величины зазора к радиусу внутреннего цилиндра мало и течение имеет осевую симметрию. Уравнения движения при этих предположениях были получены в [6], где аналитическим приближенным методом и численно были рассчитаны стационарные нелинейные вторичные течения в зазоре между цилиндрами в случае, когда внутренний цилиндр вращается с постоянной скоростью, а внешний неподвижен. Для решения уравнений работы [6] применяется спектральный метод по пространственным переменным и полунеявная схема по времени [19]. Проведен также линейный анализ устойчивости основного течения для определения критических параметров. Для этого применялась линеаризованная версия метода решения основных уравнений и теория Флоке.

В третьей главе рассматривается влияние периодических возмущений на устойчивость одномерного периодического течения, подобного стационарному течению пленки жидкости по наклонной пластине. Устойчивость течения пленки жидкости по наклонной поверхности исследовалась в работах [20], [21], [22], [23]. Было показано, что пленка сильно неустойчива по отношению к волнам, вызванным воздействием силы тяжести, а именно к волнам двух типов: длинным поверхностным волнам и более коротким волнам Толмина-Шлихтинга. Поверхностные волны распространяются вниз по потоку со скоростью, превосходящей скорость на поверхности жидкости в два раза. Фазовая скорость волн Толмина-Шлихтинга меньше этой скорости. Для достаточно больших углов наклона пластины преобладают поверхностные волны, критические числа

Рейнольдса для которых значительно меньше, чем для волн Толмина-Шлихтинга. Однако для меньших углов критические числа для обоих мод сравнимы, а для углов порядка 1' преобладают волны Толмина-Шлихтинга.

В работах [24], [25] было обнаружено, что можно воздействовать на устойчивость течения с помощью периодических колебаний пластины, в отдельных случаях для некоторых диапазонов длин волн течение стабилизировалось . В результате колебаний в дополнение к указанным выше двум типам волн добавляется третий, к которому относятся волны, возникающие как резонансные колебания, которые в определенном смысле подобны волнам Фарадея, появляющимся на колеблющейся горизонтальной пластине. Для появления данных волн необходимо, чтобы амплитуда колебаний превосходила некоторое критическое значение, в противном случае наличие колебаний не оказывает заметного влияния на течение. Появление резонансных волн существенно влияет на устойчивость системы. Свойства возбуждаемых волн сложным образом зависят от управляющих параметров исследуемой системы - Не, в, 7, ау и ш (то есть числа Рейнольдса, угла наклона, параметра, связанного с поверхностным натяжением, амплитуды и частоты возмущения). Параметры Яе. 9, 7 характеризуют исходное стационарное течение, а ау и ш определяют внешнее воздействие на нее. В работах [24] и [25] основное внимание было сосредоточено на расчете коэффициентов усиления и изучении вопроса о возможности стабилизации течения. В настоящей работе исследуется характер бифуркаций и несколько расширен диапазон параметров исходных систем: рассмотрены течения жидкости по горизонтальной поверхности, на почти вертикальной поверхности и для промежуточных углов наклона, рассмотрено влияние частоты внешнего возмущения на устойчивость течения.

Заключение

Исследовалась устойчивость двух типов периодических течений жидкости: течения в зазоре между колеблющимися цилиндрами и течения пленки по колеблющейся пластине. На основе спектральных представлений и теории Флоке разработаны методы определения критических параметров линейной теории устойчивости, применимые к широкому классу задач теории устойчивости.

Для течения в зазоре между двумя цилиндрами, вращающимися с периодической по времени скоростью, были исследованы различные случаи: периодическое изменение скорости внешнего цилиндра на фоне вращения внутреннего цилиндра с постоянной скоростью, периодическое изменение скорости внутреннего цилиндра около ненулевого среднего значения и неподвижным внешним цилиндром, синхронные колебания обоих цилиндров около нулевого среднего значения скорости. Разработан эффективный вычислительный метод для изучения нелинейного вторичного течения в пульсирующем течении между двумя цилиндрами. Показано, что с помощью периодических изменений скорости вращения цилиндров можно добиваться стабилизации или дестабилизации по сравнению со стационарным течением Куэтта. Получены с помощью теории Флоке критические параметры линейной теории устойчивости этих нестационарных течений. Подтвержден вывод о слабой дестабилизации в случае колебаний внутреннего цилиндра на фоне стационарного течения Куэтта работ [11], [12], [16]. Результаты исследования линейной устойчивости пульсирующего вращательного течения между цилиндрами полностью совпадают с экспериментальными и численными результатами работы [18].

Впервые проведены нелинейные расчеты вторичных течений для пульсирующего вращательного течения в зазоре между цилиндрами и возмущенного течения Куэтта. Показано, что при гармонических осцил-лядиях угловой скорости образуются негармонические вторичные нелинейные течения. Численно обнаружены перестройки качественной структуры течений в течение одного периода для некоторых значений частоты колебаний угловой скорости цилиндров. Результаты нелинейных расчетов качественно соответствуют экспериментам [18].

Также были проведены расчеты вторичных течений для стационарного вращения внутреннего цилиндра при неподвижном внешнем. Обнаружены новые стационарные вторичные течения для волновых чисел, лежащих вне области линейной неустойчивости. Обсуждено вероятное происхождение подобных течений. Выдвинута гипотеза о том, что наблюдаемое в экспериментах [33] множество качественно различающихся течений между вращающимися цилиндрами при неизменных геометрических параметрах и скоростях вращения цилиндров может быть связано с нелинейной неустойчивостью.

Рассмотрена задача о стекании пленки по колеблющейся поверхности. Получены основные уравнения, разработан численный метод, позволяющий находить собственные значения для периодического течения. Проведено подробное исследование устойчивости и точности данного метода и обоснована его применимость к задачам устойчивости периодических течений.

При колебаниях пластины с достаточной частотой и амплитудой, в дополнение к существующим в стационарном случае поверхностным волнам и волнам Толмина-Шлихтинга, появляются резонансные волны, подобные образующимся при колебаниях горизонтальной пластины. Коэффициенты усиления данных волн растут при увеличении амплитуды или числа Рейнольдса и уменьшаются при увеличении 7, характеризующего поверхностное натяжение. Наиболее растущие резонансные волны имеют фазовые скорости, близкие к ш/2, ш и Зо;/2. Резонансные волны растут значительно интенсивнее поверхностных волн и волн Толмина-Шлихтинга и являются неустойчивыми для параметров, при которых стационарное течение пленки оставалось устойчивым. В то же время, поведение мод неустойчивости стационарного течения, соответствующее волнам Толмина-Шлихтинга и поверхностным волнам, при наличии колебаний пластины меняется незначительно. Существование явно выраженных зон неустойчивости для резонансных волн делает возможным управление развитием неустойчивости и формированием волновых структур в стекающих пленках.

1. S. Н. Davis. The stability of time periodic flows. Ann. Rev. Fluid Mech., 8(57), 1976.

2. G.I. Taylor. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders. Philos. Trans. Roy. Soc. London. A., A233:289-343, 1923.

3. E. R. Krueger, A. G. Cross, and R. C. Di Prima. On the relative importance of taylor-vortex and non-axisymmetric modes in flow between rotating cylinders. J. Fluid Mech24:521-538, 1966.

4. J. T. Stuart. On the non-linear mechanics of hydrodynamic stability. J. Fluid Mech., 4:1-21, 1958.

5. A. Davey. The grouth of taylor vortices in flow between rotating cylinders. J. Fluid Mech., 14:336-368, 1962.

6. В. Я. Шкадов. Стационарные течения вязкой жидкости между коаксиальными вращающимися цилиндрами после потери устойчивости. Изв. АН СССР. МЖГ., (3):81-86, 1969.

7. X. Суинни and Дж. Голлаб. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. Мир, М., 1984.

8. Д. Д. Джозеф. Устойчивость движений жидкости. Мир, М., 1981. 638 с.

9. Т. В. Benjamin and Т. Mullin. Notes on the multiplicity of flows in taylor experiment. J. Fluid Mech., 121:219-230, 1982.

10. R. J. Donnelly. Experiments on the stability of viscous flow between rotating cylinders. Proc. Roy. Soc. London. Ser.A., 281 (1384): 130-139, 1964.

11. P. Hall. The stability of unsteady cylinders flows. J. Fluid Mech., 67:29-63, 1976.

12. P. J. Riley and R. L. Lawrence. Linear stability of modulated circular couette flow. J. Fluid Mech., 75:625-646, 1976.

13. T. J. Walsh, W. T. Wagner, and R. J. Donnelly. Stability of modulated couette flow. Phys. Rev. Lett., 58(24):2543-2546, 1987.

14. S. Carmi and J. I. Tustaniwskyj. Stability of modulated finite-gap cylindrical couette flow: linear theory. J.Fluid Mech., 108:19-42, 1981.

15. T. J. Walsh and R. J. Donnelly. Couette flow with peiodically corotated and counterrotated cylinders. Phys. Rev. Lett, 60(8):700-703, 1988.

16. C. F. Barenghi and C. A. Jones. Modulated taylor-couette flow. J.Fluid Mech., 208:127-160, 1989.

17. В. T. Murray, G. B. McFadden, and S. R. Coriell. Stabilization of taylor-couette flow due to time-periodic outer cylinder oscillation. Phys. Fluids A, 2(12):2147-2156, 1990.

18. A. Aouidef, C. Normand, A. Stegner, and J. E. Westfreid. Centrifugal instability of pulsed flow. Phys. Fluids., 6(ll):3665-3690, 1994.

19. А. Г. Буря and В. Я. Шкадов. Неустойчивость иформирование нелинейных структур в осциллирующем вращательном течении между цилиндрами. Изв. РАН. МЖГ., (3):5-15, 1999.

20. Т. В. Benjamin. Wave formation in laminar flow down an inclined plane. J. Fluid Meek, 2:554-574, 1957.

21. G. S. Yih. Stability of liquid flow down an inclined plane. Phys. Fluids, 6(3):321-334, 1963.

22. В. Я. Шкадов. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести. Изв. АН СССР. МЖГ., (1):43-57, 1967.

23. J. M. Floryan, S. H. Davis, and R. E. Kelly. Instabilities of liquid film flowing down an slightly inclined plane. Phys. Fluids, 30(4):983-989, 1987.

24. D. R. Woods and S. P. Lin. Instability of a liquid film flow over the a vibrating inclined plane. J. Fluid Mech., 294:391-407, 1995.

25. S. P. Lin, J. N. Chen, and D. R. Woods. Suppression of instability in a liquid film flow. Phys. Fluids, 8(12):3247-3252, 1996.

26. M. Абрамовиц and И. Стиган. Справочник no специальным функциям. Наука, М., 1979. 832 с.

27. С. Canuto, М. Y. Hussaini, A. Quarteroni, and Т. A. Zang. Spectral methods in fluid dynamic. Springer, N.Y. etc., 2nd edition, 1988. 557 p.

28. Б. JI. Рождественский and И. H. Симакин. Численное исследование устойчивости плоского течения Пуазейля относительно двумерных возмущений конечной амплитуды. Препринт №157 М: ИПМ АН СССР, 1987. 40с.

29. L. Kleiser and U. Schumann. Treatment of incompressibility and boundary conditions in 3-d numerical spectral simulation of plane channel flows. Proc. Ill GAMM Conference on Numerical Methods in Fluid Mechanics, pages 165-173, 1980.

30. S. C. R. Dennis and L. Quartapelle. Direct solution of the vorticity-stream function ordinary differential equations by a chebyshev approximation. J. Comput Phys, 52:448-463, 1983.

31. E. Hairer, S. P. Norsett, and G. Wanner. Solving Ordinary Differential Equations, I-II. Springer-Verlag, Berlin etc., 2nd edition, 1994. 557 p.

32. А. Г. Буря and В. Я. Шкадов. Устойчивость пленки жидкости, стекающей по колеблющейся наклонной поверхности. Изв. РАН. МЖГ., в печати.