Экстремальные методы оценки параметров диффузионных процессов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Зотова Мария Владимировна

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

01.04.03 — Радиофизика

15 ЯНВ 2015

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических

наук

005557490

Нижний Новгород — 2014г.

005557490

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования "Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского"

Научный руководитель | Саичев Александр Иванович, |

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики радиофизического факультета ННГУ им. Н.И. Лобачевского

Официальные оппоненты

Силаев Андрей Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической экономики факультета экономики Национального Исследовательского Университета Высшая Школа Экономики (Нижний Новгород)

Панкратова Евгения Валерьевна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математики ФГБОУ ВО "Волжская государственная академия водного I транспорта"

Ведущая организация

АНО «Международный Центр по Ядерной | Безопасности». ,

Защита состоится «14» января 2015г. в15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.07 при федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования "Нижегородский государственный университет им. Н Л. Лобачевского" по адресу Нижний Новгород, пр. Гагарина, д.23, корп._, ауд._).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан «27» ноября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В.В. Черепенников

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Многие явления, для изучения которых казалось вполне достаточным применения классических методов математической физики, при более глубоком рассмотрении потребовали использования вероятностных подходов. Так, например, необходимость описания случайного характера шумов и помех, сопутствующих работе различных приборов, привели к тому, что методы статистической радиофизики проникли буквально во все разделы радиотехники, а детальное рассмотрение вопросов распространения радиоволн и акустических сигналов потребовало применения новых подходов, основанных на применении стохастических моделей.

Среди задач статистической радиофизики выделяется класс вопросов, связанных с построением оптимальных оценок параметров исследуемого процесса, так называемая теория оценивания.

Для того, чтобы получить алгоритмы оценивания в любой физической задаче, на первом этапе необходимо выбрать стохастическое дифференциальное уравнение, которое описывало бы рассматриваемый физический процесс.

В рамках данной работы рассматриваются стохастические модели, описываемые диффузионными процессами или стохастическими дифференциальными уравнениями.

На данный момент имеется уже несколько монографий, полностью или частично посвященных статистике диффузионных процессов [1-4].

Довольно общая модель случайного процесса X(t) такого вида записывается следующим образом:

dX(t) = n(t-X{t))dt + D(t-,X{t))dB{t); 0 < t < Т; Х(0) = Х0. (1)

Здесь fi и D — неизвестные функции, а. В (t) — процесс, соответствующий стандартному броуновскому движению, который является винеровским процессом. Коэффициент fi чаще всего называют сносом, a D — сг2 — коэффициентом диффузии, который описывает изменчивость, нестабильность процесса X(t).

Впервые запись уравнения (1) в интегральном виде была предложена выдающимся японским математиком К. Ито на рубеже 50-х годов прошлого века. С этого момента началось бурное развитие стохастического анализа, которое усилилось в последние десятилетия, когда выяснилось, что диффузионные модели удовлетворительно описывают колебания цен и процентных ставок на финансовых рынках.

Изначально были найдены некоторые решения уравнений диффузионных процессов — исследован их явный вид, установлены условия существования и единственности решения, ограниченность, аппроксимации, предельные теоремы, и другие свойства, также было проведено моделирование траекторий решений и численный расчет их характеристик.

Однако в последнее время, в виду большого количества практических приложений, наибольший интерес представляет следующая постановка задачи: как, наблюдая траекторию процесса Х{Ь) или ее значения в отдельных точках, оценить параметры диффузионного процесса, такие например как дисперсию, коэффициенты сноса и диффузии или как проверить те или иные гипотезы об их виде.

Оценки дисперсии и коэффициента диффузии играют значительную роль в задачах распространение звука в "мелком море" с учетом случайных неоднородностей волновода, которые включают неоднородности водного слоя и шероховатость границ (дна и поверхностных волн). В этом случае уравнения взаимодействия мод и модальных интенсивностей при учете случайных неоднородностей в пределе большого числа распространяющихся мод сводятся к уравнению в диффузионном приближении, и эффективная оценка дисперсии, а также соотношения параметров затухания и коэффициента диффузии, определяет перераспределение энергии по модам и, соответственно, различное поведение поля при распространении [5].

В области медицины интенсивно разрабатывается биотестовая аппаратура, предназначенная для контроля качества сред с помощью измерения интегральной тест-реакции на токсичность у чувствительного к вредным факторам организма — тест-объекта. В последних исследованиях в качестве тест-объекта используются популяции микроорганизмов.

Локомоции - перемещения целостных организмов, отражают нарушения процессов метаболизма и функций сенсорной системы. Создание биотестовой аппаратуры, предназначенной для контроля тест-реакций подвижных организмов, предполагает формализацию локомоций в виде стохастической математической модели. Большинство моделей локомоций основано на описании перемещения организмов броуновским движением, процессом Орнштейна-Уленбека. Движение организмов в этих моделях характеризуется коэффициентами диффузии и зависит от качества применения статистических оценок этого параметра [6].

В последние годы мировое ядерное сообщество столкнулось с новой проблемой: первое поколение серийных атомных станций находится на

грани выработки установленного проектом срока службы 25-30 лет. Так как в процессе длительной эксплуатации все конструкционные материалы оборудования АЭС ухудшают свои свойства, то понятна актуальность проблемы оценки влияния старения на обеспечение надежности и безопасности АЭС.

Ресурс любого технического объекта является случайной величиной, так как на любой элемент оборудования действует комплекс проектных, конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов, большинство из которых имеют случайный характер.

Один из методов расчета остаточного ресурса оборудования основан на применении моделей на базе диффузионных процессов. В этом случае достоверные оценки коэффициентов сноса и диффузии во многом определяют величину выработанного ресурса оборудования. Поскольку при продлении срока службы каждой конкретной АЭС необходимо учитывать влияние всех факторов на безопасность эксплуатации, при расчетах в обоснование безопасности предпочтение отдается наиболее эффективным методам оценки параметров диффузионных процессов [7].

Оценки коэффициента диффузии также во многом определяют характер поведения частиц в двумерных квантовых системах, в иностранной литературе принято рассматривать такие системы, как квантовые бильярды, которые по сути представляет собой потенциальную яму. Полученные в данной работе результаты, могут быть использованы для анализа движения квантовых частиц в потенциальной яме с движущимися стенками [8-11].

Теория оценок параметров диффузионных процессов получила широкое практическое применение и при анализе финансовых показателей. Повышенный интерес к математическому моделированию процесса эволюции финансовых временных рядов активизировал научную деятельность в этом направлении во всем мире. В этом нетрудно убедиться по многочисленным статьям в журналах, посвященным как экономической тематике, так и теории случайных процессов [12-16].

Таким образом, практическая потребность в решении перечисленных выше задач определяет актуальность тематики данной диссертации.

Цель и задачи исследования

Цель настоящей диссертационной работы и задачи настоящего исследования состоят в следующем:

1. Проанализировать существующие методы оценки параметров диффузионных процессов. Выявить "критерии качества", предъявляемые с

точки зрения практических приложений к статистическим оценкам параметров диффузионных процессов, получаемых на основании существующих методов. Сравнить эффективность статистических оценок, получаемых на основании существующих методов, и проанализировать недостатки существующих методов оценки параметров диффузионных процессов.

2. Разработать новые, более эффективные с точки зрения практических приложений, методы оценки параметров диффузионных процессов. Исследовать статистические характеристики оценок, полученных новыми методами, такие как:

-дисперсия оценки параметров диффузионных процессов;

-математическое ожидание оценки параметров диффузионных процессов;

-функция распределения оценки параметров диффузионных процессов.

3. На примере винеровского процесса с равномерным сносом, наглядно показать применимость предлагаемых в работе новых методов оценки параметров диффузионных процессов. Для случая винеровского процесса с равномерным сносом рассчитать совместные плотности вероятности экстремальных значений процесса, необходимые для практического применения, предлагаемых в рамках работы, методов. Оценить дисперсию и смещенность статистических оценок параметров диффузионных процессов, полученных на основании применения новых методов оценки. Провести сравнение статистических характеристик оценок, полученных новыми, предлагаемыми в работе методами с соответствующими характеристиками оценок, получаемых на основании существующих методов оценки. Продемонстрировать "выигрыш" в эффективности, получаемый при применении новых методов оценки параметров диффузионных процессов.

4.Провести численное моделирование для подтверждения полученных в рамках работы аналитических результатов.

Методы исследования и достоверность научных результатов.

При решении поставленных в диссертационной работе задач использовались аналитические и вычислительные методы современного математического аппарата статистической радиофизики, а именно:

- аппарат теории вероятностей и математической статистики;

- аппарат теории диффузионных случайных процессов;

- методы математической физики, в частности, методы решения краевых задач;

- методы математического анализа;

- современные методы моделирования стохастических процессов и алгоритмов их анализа.

Все основные полученные в работе результаты верифицировались по средствам численного и статистического моделирования.

Научная новизна.

Научная новизна работы заключается в полученных оригинальных результатах решения поставленной задачи поиска оптимальных оценок параметров случайных процессов.

Впервые получены методы оценки параметров случайных процессов, эффективность которых значительно выше разработанных ранее методов. Подробно изучены статистические свойства предложенных оценок.

Впервые найдена наименьшая возможная граница дисперсии оценки.

В данной работе продемонстрирован аналитический вывод выражения для совместной плотности вероятности максимального, минимального и конечного значения винеровского процесса со сносом внутри одной рассматриваемой реализации. Данное аналитическое выражение позволяет построить не только новые, предлагаемые в данной работе оценки коэффициента диффузии и дисперсии, но и получить аналитические выражения для ранее предлагаемых оценок другими методами, такими как метод Гармана-Класса и Роджерса-Сатчелла. Ранее данная величина моделировалась численно или заменялась более простыми выражениями.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Получены оригинальные результаты решения поставленной задачи поиска оптимальных оценок параметров случайных процессов.

2. Предложены три новых метода оценки параметров случайных процессов, эффективность которых значительно выше разработанных ранее методов.

3. Для случая винеровского процесса с равномерным сносом, впервые получены аналитически совместные плотности вероятности экстремальных значений самого исследуемого процесса и его моста, внутри рассматриваемой реализации. Данные плотности вероятности необходимы не только для практического применения предлагаемых в рамках работы методов оценок параметров диффузионных процессов, но и для расчета оценок существующими методами.

4.Для случая винеровского процесса с равномерным сносом впервые получено значение наименьшей возможной границы дисперсии статистических оценок параметров диффузионных процессов.

Теоретическая и практическая значимость .работы.

Полученные в диссертации результаты представляют интерес с точки зрения фундаментальных проблем математической статистики в целом и теории статистических оценок параметров диффузионных процессов в частности. Разработанные модели могут иметь практическое применение для исследования акустических систем, радиофизических и медицинских приложений, квантовых задач и вопросов, связанных с продлением ресурса различного оборудования [АЗ,А24].

Работа выполнена в рамках грантов при государственной поддержке ведущих научных школ НШ-3700.2010.2, НШ-333.2012.2, НШ-339.2014.2 (Научная школа "Теоретические и экспериментальные исследования волновых случайных процессов в природных средах" под руководством доктора физико-математических наук, профессора Гурбатова С.Н. и доктора физико-математических наук, профессора Саичева А.И.).

Личный вклад.

В совместных работах автор принимал непосредственное участие в выборе направлений исследований и постановке основных задач. Все представленные результаты теоретического исследования, а также результаты численного моделирования получены автором.

Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

1.Ежегодная научная конференция по радиофизике, Н.Новгород, 20082011гг.

2.Ежегодная "Нижегородская сессия молодых ученых", Н.Новгород, 2009-2010гг.

3.Ш Всероссийская молодежная научно-инновационная школа "Математика и математическое моделирование", Саров, 2009г.

4. Ежегодная Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2010-2013гг..

5. Ежегодная Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, Екатеринбург, 2010-2013гг..

6.Третья Волжская региональная молодежная научная конференция "Радиофизические исследования природных сред и информационные системы", Зеленодольск, 2011г.

7. Всероссийская молодежная научная школа "Актуальные проблемы физики", Таганрог-Ростов-на-Дону, 2012г.

8.Международная молодежная научно-техническая конференция "Бу-

дущее технической науки", Н.Новгород,- 2013г.

9.Всероссийская конференция по проблемам науки и технологий, Ми-асс, Челябинской обл., 2013г.

Публикации.

Основные материалы диссертации опубликованы в 24 работах. Среди них 9 статей (4 из которых входят в список ВАК и одна направлена в печать в журнал, входящий в список ВАК) и 15 работ, представляющие собой опубликованные материалы докладов на научных конференциях (отдельно вынесены в "Список работ по теме диссертации").

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и списка публикаций по теме диссертации.

В первой главе сделан обзор существующих методов оценки параметров диффузионных процессов и проведено теоретическое рассмотрение "эффективности"существующих методов.

Во второй главе предложены новые методы оценки параметров диффузионных процессов, исследованы их статистические характеристики, проведено сравнение результатов с оценками, полученными существующими методами.

Третья глава посвящена расчету плотностей вероятности, необходимых для практического применения, предлагаемых оценок, в случае ви-неровского процесса с равномерным сносом.

Общий объем диссертации составляет 133 страницы, включая 29 рисунков и список литературы из 92 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснованна актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая и научная значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе рассматриваются основные понятия и выражения, составляющие математический аппарат, используемый в диссертационной работе для описания свойств оценок параметров диффузионных процессов, полученных в работе.

Основные результаты исследований, представленных в первой главе, опубликованы в работах [А2, А10, А13-А14, А17].

В разделе 1.1 приведена необходимая информация из теории математической статистики, определены оцениваемые параметры и "критерии качества" полученных в работе оценок.

В разделе 1.2 приведены описания существующих методов оценки дисперсии, коэффициентов диффузии и сноса диффузионных случайных процессов, продемонстрированы преимущества и недостатки рассмотренных методов, с целью определить место каждого из представленных методов в общей теории однородных оценок параметров диффузионных процессов.

Проведенный анализ показал, что наиболее эффективными методами оценки параметров диффузионных процессов, на сегодняшний день являются методы Паркинсона, Роджера-Сатчелла и Гармана-Класса.

В разделе 1.3 приведены краткие выводы по первой главе.

Во второй главе получены три новых метода оценки параметров диффузионных процессов:

- метод, в котором оценка параметров строится на базе максимального, минимального, а также значения исследуемого процесса на конце рассматриваемого интервала.

- метод, в котором оценка параметров строится на базе максимального, минимального значения неполного моста исследуемого процесса, а также на значении исследуемого процесса на конце рассматриваемого интервала.

Случайный процесс

Z(t,k,T) = X(t)-n^X(T) (2)

где к это случайная величина, назовем неполным мостом случайного процесса X(t). В случае к = 1 неполный мост превращается в обычный полный мост.

-метод, в котором оценка параметров строится на базе максимального, минимального значения полного моста исследуемого процесса.

Эффективность предлагаемых методов оценки рассмотрена в рамках наиболее распространенной модели диффузионного процесса — модели броуновского движения.

Основные результаты исследований, представленных во второй главе, опубликованы в работах [Al, А5, All, А16, А18, А20-А23].

В разделе 2.1 предложен новый эффективный метод оценки параметров диффузионных процессов, основанный на максимальном, минимальном, а также значении исследуемого процесса на конце рассматри-

ваемого интервала. Оценки параметров строятся для следующего класса процессов:

X(t) = aA(t, 7), (3)

здесь X(t) — это процесс со стационарными приращениями, для простоты, но не теряя общности предполагается ¿о = О, Х(0) = О, Т = 1.

Статистические характеристики вспомогательного случайного процесса Л(£,7) предполагаются известными для любого значения параметра 7, математическое ожидание и дисперсия случайного процесса конечны:

E[A(t, 7)] < 00, Var[A{t, 7)] = o20{t, 7) < 00,

процесс имеет единичный коэффициент диффузии 00(1,7) = 1.

Общее выражение для оценки коэффициента диффузии процесса X (£) имеет вид:

ат = а(хих2, —,хт),

где

xi = X(ti), x2 = X(t2), хт = Х(Т),

в случае рассмотрения реализации исходного процесса X(t) на некотором временном интервале £ 6 (О, Т) разбитом на m точек (£1; t2,..., tm-i) € (О, Г), tm=T.

В работе рассмотрен частный случай m = 3, однако теория, развитая в работе, может быть обобщена на большее количество точек m > 3.

В качестве величин xi, х2, хз выступают максимальное Я, минимальное L и конечное С значения процесса на заданном промежутке времени

Я = sup X(t), L= inf X{t), C = X{T). (4)

te(o,T) te(o,T)

Искомые в работе оценки дисперсии и коэффициента диффузии записываются в следующем виде:

оЦТ, 7)

R

= (5)

где R, © и Ф заданы выражениями

^(©,Ф), (6)

R = у/Н2 + L2 + С2, © = arctan , Ф = arctan (j^j ,

(7)

а <^(9,Ф) и ф(<Э,Ф) — являются диаграммами однородных оценок дисперсии и коэффициента диффузии соответственно, построенных на базе максимального, минимального, а также значения исследуемого процесса на конце рассматриваемого интервала.

Диаграмма оценки дисперсии имеет следующий вид:

т л л С(0,ФЫ

) = ^2С(в,Ф;70)Ы' (8)

функция (7(0, ф; 70) является неизвестной и определяется в процессе исследования исходя из требований несмещенности и минимизации дисперсии искомой оценки. В процессе разработки данного метода определена наименьшая возможная граница дисперсии оценки для заданного значения

уы=т~1' (9)

здесь

£(7) = /° ёф Г{Ф) сов<Ш ^ функции дп(Р-,Ф\1) заданы выражением:

оо

9п(в,Ф\7) = J р2+пО.{рът.в, рсоэвсозф, рсоз0 8т0;7)йр. (11) о

Данная величина К(7) найдена в работе впервые и имеет важное фундаментальное значение, поскольку является эталоном к которому должна стремиться эффективность всех оценок в классе однородных функций.

Аналогично можно получить выражение для наиболее эффективной оценки коэффициента диффузии.

Свойства построенных оценок изучены в рамках модели винеровского процесса с равномерным сносом (броуновское движение):

Х(г) = цЬ + аВЩ. (12)

Здесь (1 - скорость регулярного сноса, которую мы будем называть для краткости сносом, В{1) -стандартное броуновское движение (винеровский процесс), то есть гауссов случайный процесс ~Л/"(0,4) .

В рамках данной модели изучены основные статистические характеристики исследуемой оценки, в общем случае, когда значение параметра

7 = —л/Т

а

неизвестно.

На рис. 1 представлена зависимость математического ожидания наиболее эффективной оценки, как функция 7, где

7 = -у/т, т = ~е( 0,1). (13)

а 1

Для сравнения приведены математические ожидание канонических оценок Роджера-Сатчелла и Гармана-Класса.

Рис. 1: Зависимость математического ожидания оценок Роджера-Сатчелла (линия пунктир с точкой), Гармана-Класса (пунктирная линия) и наиболее эффективной оценки для 70 = 0; 0.5; 1(сплошная линия сверху вниз)как функция 7

Как видно из рисунка, в то время, как оценка Роджера-Сатчелла является несмещенной для всех значений 7, наиболее эффективная оценка является таковой лишь вблизи 7 = 0 и при 7 = 70. Сравнивая оценки Гарманна-Класса и наиболее эффективную оценку можно заметить, что например при 70 = 1, наиболее эффективная оценка смещена незначительно на отрезке 0 ^ 7 < 1.5 и значительно менее смещена при 0 < 7 < 2, чем оценка Гармана-Класса.

На рис. 2 представлена зависимость дисперсии наиболее эффективной однородной оценки дисперсии, а также для сравнения оценки Гармана-Класса и Роджера-Сатчелла, как функция параметра 7. Из рисунка видно, что однородная оценка дисперсии наиболее эффективна для 70 = 1, при этом она значительно менее смещена. Значительно более эффективен новый метод оценки, чем эстиматор Гарманна-Класса при 0 < 7 < 2.

0.7

0 2-'-'-'-'-'—

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

1

1.5 2

Рис. 2: Зависимость дисперсии оценки Роджера-Сатчелла (линия пунктир с точкой), Гармана-Класса (пунктирная линия) и наиболее эффективной оценки для 7о = 0; 0.5; 1(сплошная линия сверху вниз)как функция 7. Жирная сплошная линия соответствует наименьшему возможному значению дисперсии (9)

Описанный выше метод оценки основанный на максимальном, минимальном, а также значении исследуемого процесса на конце рассматриваемого интервала эффективен в широкой области значений 7, однако будем исходить из предположения, что возможно построить более эффективный метод оценки параметров диффузионных процессов. В рамках раздела 2.2 предложен новый экстремальный метод оценки — наиболее эффективная оценка моста для параметров диффузионных процессов.

Как уже было сказано выше, случайный процесс

где к это случайная константа, назовем неполным мостом случайного процесса Х(Ь). В случае к = 1 неполный мост превращается в обычный мост.

Аналогично методике, описанной в предыдущем разделе найден наиболее эффективный метод оценки, основанный на значениях Нь, Ьь характеризующих экстремальные свойства неполного моста (2)

гц,к,т) = хю-к-х(т)

£

Нь = эир Z(t,k,T), «6(0, т)

ьь= н^ гц,к,т),

<е(о,г)

а определение величины С остается неизменным

С = Х(Т).

На рис. 3 представлено математическое ожидание оценки Гармана-Класса и Паркинсона как функция параметра к в случае нулевого сноса (7 = 0). Заметим, что для к ± 0, оценки Паркинсона и Гармана-Класса обладают значительным смещением. На рисунке математическое ожидание оценки моста равно 1.

1 -

0.65 (',!.: К

0.9 \

0.85

0.8

0.75 ч РА ПК

0.7

0.65 -

о.е Л ГС "-'

Рис. 3: Зависимость математического ожидания оценки Гармана-Класса и Паркинсона как функция параметра к, при (7 = 0)

На рис. 4 представлена полученная путем численного моделирования дисперсия наиболее эффективного метода неполного моста оценки параметров диффузионных процессов при А = 2 и дисперсия оценки Гармана-Класса и Паркинсона как функция параметра к. Для к = 0, т.е. в случае стандартной оценки, на базе максимального, минимального и значения самого исследуемого процесса на конце рассматриваемого интервала, дисперсии наиболее эффективной оценки и оценки Гармана-Класса близки по своим значениям, в то время как дисперсия оценки Паркинсона значительно больше:

Уаг[ё2|/с = 0] = 0.2584, Уаг[ёск,2|к = 0] = 0.2693 , Уаг[ёР,2|к = 0] = 0.4073.

В противоположном случае полного моста к Е (0.9,1), значение дисперсии наиболее эффективной оценки значительно меньше, чем то же значение для оценки Гармана-Класса и Паркинсона:

Уаг[ё2|к = 1] = 0.1794 , Уаг[ёСк.2|к = 1] - Уаг[еР,2|к = 1] - 0.2 .

0,35

о

0.4

к

Рис. 4: Дисперсия наиболее эффективной канонической оценки моста, Гармана-Класса и Паркинсона в случае (А = 2), как функция к (для 7 = 0)

В разделе 2.3 предлагается еще один экстремальный метод оценки параметров диффузионных процессов — оценка полного моста. Данная оценка является более простой разновидностью метода оценки, представленного в предыдущем разделе, т.к. не имеет зависимости от параметра к.И обладает существенным преимуществом, данная оценка не зависит от исходной скорости сноса процесса. Рассмотрена данная оценка на примере оценки дисперсии. В разделе исследованы свойства канонической оценки Гармана-Класса и Роджера-Сатчелла методом статистических испытаний.

С этой целью М 3> 1 раз замоделированны случайные последовательности

где {б„} - независимые гауссовы случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Случайный процесс хп(7) дискретного аргумента п аккуратно аппроксимирует, при большом N 1, реализации броуновского движения х(т,7) (13). По М реализациям последовательностей (х„(7)} находятся выборки значений исследуемых канонических оценок.

На рис. 5 приведены, полученные численным моделированием, зависимость математических ожиданий эстиматоров Гармана-Класса, Пар-

п = 0,1,...,И, 10(7) = 0, (15)

кинсона, и моста, демонстрирующие смещенность, при 7 ф 0, первых двух оценок, и несмещенность последних.

На рис. 6 представлены зависимости от 7 дисперсий исследуемых оценок. Из них видно, что при любом 7 оценка моста эффективнее других исследуемых оценок.

Рис. 5: Полученные статистическим моделированием средние оценок оценок Паркин-сона (■), Гарыана-Класса (♦) и моста (А). Сплошными линиями изображены математические ожидания соответствующих оценок, полученные аналитически. Небольшой регулярный сдвиг теоретических кривых и данных статистических испытаний можно объяснить неполным соответствием, зависящей от дискретного аргумента п, последовательности {¿'„(т)} (15) и моделируемому ей стохастическому процессу х(т. 7), зависящему от непрерывного аргумента т

В третьей главе найдено явное аналитическое выражение для трехмерной плотности вероятности экстремальных значений винеровского процесса с равномерным сносом

й{Н,1,с-,-у)(1М1<1с= Рг{Н е {Н,Н + йЬ),ЬЕ {1,1 +<11),Се {с,с + (1с)},

(16)

которая определяет вероятность того, что величины Н, Ь, С принимают определенные значения в пределах бесконечно малых интервалов ¿Н, <11, ¿.с. Получена совместная плотность вероятности С} (кь, еь, с; к, 7) случайных величин характеризующих экстремальные свойства неполного и полного моста.

Основные результаты исследований, представленных в третьей главе, опубликованы в работах [А4, А6-А9, А13-А15, А17, А19].

Рис. 6: Полученные статистическим моделированием оценки дисперсии D оценок Пар-кинсона (■), Гармана-Класса (♦) и моста (А). Сплошными линиями изображены математические ожидания соответствующих оценок, полученные аналитически. Видно что при любых 7 дисперсия оценки моста существенно меньше дисперсии оценки Гармана-Класса

В разделе 3.1 при помощи метода отражений найдено решение упрощенной задачи диффузионного уравнения с поглощающими граничными условиями, а затем совместная плотность вероятности величин H и С

Q(h, с; 7) = /(с; -у)7г(Л|с), с < h, h > О, (17)

здесь

1 (с--Y)2

/(с;7) = _^ехр(-^-^-)1 (18)

функция плотности вероятности случайной величины С = 1(1,7), а

K{h\c) = 2(2/i - c)e2h{c~h\ h > max{0, с}, (19)

функция плотности вероятности случайной величины H, при условии, что значение процесса на конце временного интервала равно С.

В разделе 3.2 найдена совместная плотность вероятности максимального, минимального и значения на конце временного интервала в случае винеровского случайного процесса с равномерным сносом

Q{h, I, с; 7) = /(с; 7)TZ.(/i, l\c), I < 0, h > 0,1 < с < h, (20)

здесь функция /(с; 7) вновь определена выражением (18), a7£(/i, i|c) функция плотности вероятности случайной величины H и L, при условии, что

значение на конце временного интервала равно С

оо

7г(М|е)=4 ^ т\гпТ>{т{к — /); с) + (1 — т)ТУ(т(к — I) + I; с)],

ТТ1—-00

(21)

Отметим, что совместная плотность вероятности (21) позволяет вычислить, аналитически или численно, статистические характеристики оценок Паркинсона и Гармана-Класса.

Раздел 3.3 содержит описание геометрических свойств процесса неполного моста, а также доказательства ряда вспомогательных утверждений, необходимых для поиска совместной плотности вероятности экстремальных значений моста винеровского процесса с равномерным сносом.

Раздел 3.4 посвящен постановке и решению смешанной краевой задачи, позволяющей получить явное выражение для совместной плотности вероятности случайных величин (#ь, Ьь, С)

€){1гь, еь, с; к, 7) = д0(с - -у)Щкь, к|с), (22)

где

7г(йь,4;к|с) = - 4), (1 - к)с) + (1 - т)2?(т(Ьь - 4) + 4, (1 - к)с)] V(hь, с) := 4[(с - 2кь)2 -

(23)

Входящая в (22) функция Щкь, £ь; >Ф) имеет ясный вероятностный смысл — это условная плотность вероятности экстремальных величин Нъ и Ьь, при условии что случайная величина С равна заданной величине с.

В заключении приводятся основные достигнутые при выполнении работы результаты.

Основные результаты работы

В рамках диссертационной работы проведено теоретическое исследование существующих методов теории оценивания и предложены новые методы оценки параметров диффузионных процессов. На примере винеровского процесса с равномерным сносом продемонстрирована применимость предлагаемых в рамках диссертационного исследования новых методов статистической оценки параметров диффузионных процессов.

Проанализированы существующие методы оценки параметров диффузионных процессов. Определены "критерии качества", предъявляемые с точки зрения практических приложений к статистическим оценкам параметров диффузионных процессов, получаемых на основании существующих методов. Проведено сравнение эффективности статистических оценок, получаемых на основании существующих методов, и выявлены недостатки существующих методов оценки параметров диффузионных процессов.

Предложены три новых метода оценки параметров диффузионных процессов. Данные методы основаны на экстремальных значениях самих диффузионных процессов и их мостов, внутри одной рассматриваемой реализации. Исследованы статистические характеристики оценок, полученных новыми методами, такие как:

-дисперсия оценки параметров диффузионных процессов; -математическое ожидание оценки параметров диффузионных процессов;

-функция распределения оценки параметров диффузионных процессов.

На примере винеровского процесса с равномерным сносом, наглядно показана применимость предлагаемых в работе новых методов оценки параметров диффузионных процессов. Для случая винеровского процесса с равномерным сносом, впервые получены аналитически совместные плотности вероятности экстремальных значений процесса и его моста, внутри рассматриваемой реализации. Данные плотности вероятности необходимы не только для практического применения, предлагаемых в рамках работы методов оценок параметров диффузионных процессов, но и для расчета оценок существующими методами. Ранее данные величины заменялись результатами численного моделирования.

Для случая винеровского процесса с равномерным сносом найдены дисперсия и смещение статистических оценок параметров диффузионных процессов, полученных на основании применения новых методов оценки. Впервые получено значение наименьшей возможной границы дисперсии статистических оценок параметров диффузионных процессов. Проведено сравнение статистических характеристик

оценок, полученных новыми, предлагаемыми в работе методами с соответствующими характеристиками оценок, получаемых на основании существующих методов оценки. Продемонстрирован "выигрыш" в эффективности, получаемый при применении новых методов оценки параметров диффузионных процессов.

Литература

1 Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука. 1979, 528с.

2 Kutoyants Yu.A. Statistical Inference for Ergodic Diffusions. London:Springer - Verlag. 2004, 481p.

3 Bosq D. Nonparametric Statistics for Stochastic Processes: Estimation and Prediction. Lecture Notes in statistics. NY: Springer-Verlag. 1998, 212p.

4 Prakasa Rao, B.L.S. Statistical Inference for Diffusion Type Processes. London: Arnold. 1999, 349p.

5 Кацнельсон Б.Г. Диссертация доктора физико-математических наук "Распространение и рассеяние низкочастотного звука на морском шельфе"специальность 01.04.06 -"Акустика". 2011, 320с.

6 Захаров И.С. Математические модели локомоций микроорганизмов, использемые для создания биотестовой аппаратуры. Известия ЮФУ. Технические науки № 5. 2008, сс.202-205.

7 Острейковский В. А., Саакян С.П.Теоретическое и экспериментально-статистическое исследование методов оценки и продления назначенного ресурса и срока службы ядерных энергетических установок. )// Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук. № 7. Калуга: Изд-во Поли-граф-Информ, 2004. сс. 164-179.

8 Саичев А.И. Квантовые бильярды и динамический хаос //Памяти А.Н. Малахова. Сборник научных трудов. Изд.: ТАЛАМ, Н.Новгород. 2000, сс.25-46.

9 Doron Cohen, Enrico Fermi Chaos, Dissipation and Quantal Brownian Motion // Session CXLII New Directions in Quatum Chaos, Varena Italy. 1999, http//physics.bgu.ac.il/dcohen//vrnarc.pdf

10 J. К. L. da Siiva, D. G. Ladeira, E. D. Leonel, P. V. E. McClintock, and S. O. Kamphorst Scaling properties of the Fermi-Ulam accelerator model. Brazilian Journal of Physics, Vol. 36, №3A. 2006, pp. 700- 707.

11 Doron Cohen Energy absorbation by "sparse"systems: beyound linear response theory, http : //physics.bgu.ac.il/ dcohen/archive/slk.pdf

12 Andersen, T. G., Bollerslev, Т., Diebold, F. X., Labys P. Realized Volatility and Correlation. 1999

http://www.ssc.upenn.edu/ fdiebold/papers/paper29/temp.pdf.

13 Bacry, E., Delattre, S., Hoffmann, M., Muzy, J.-F. Modelling microstructure noise with mutually exciting point processes. Quantitative Finance, V.13. 2013, pp. 65-77.

14 Bandi, F. M., Russel, J. R. Separating microstructure noise from volatility. Journal of Financial Economics, №79. 2006, pp. 655-692

15 Cont, R. Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance №1. 2001, pp. 223-236

16 Kessler M., Soerensen M. Estimating equations based on eigenfunctions for a discretely observed diffusion proccss. Bernoulli, №5. 1999 pp. 299 -314.

Список публикаций по теме диссертации

Al.S. Lapinova, A. Saichev, М. Tarakanova, Efficiency and probabilistic properties of bridge volatility estimator// Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Vol. 392. No. 6, 2013, pp. 1439-1451.

А2.Саичев А.И., Тараканова M.B, Филимонов В.А. Оценка параметров фрактальных случайных процессов// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Радиофизика, №3, 2011, сс. 61-64.

АЗ.Болнов В.А., Болыпухин М.А., Неевин Д.С., Эзеков А.Г., Гроздов Е.С., Тараканова М.В. О методике оптимизации параметров динамической модели судовой реакторной установки для целей оперативной параметрической диагностики// Вопросы атомной науки и техники, Серия Физика ядерных реакторов №1, 2013, сс. 17-25.

А4.Саичев А.И., Тараканова М.В, Филимонов В.А. Оценка коэффициента диффузии винеровского случайного процесса с равномерным сносом// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Радиофизика, №5, 2010, сс. 61-66.

Аб.Саичев А.И., Лашшова С.А., Тараканова М.В. Экстремумы неполного моста// Известия вузов: Радиофизика(направлена в печать).

Аб.Лапинова С.А., Тараканова М.В., Филимонов В.А. Некоторые вопросы анализа статистики пересечений уровней случайными процессами// Актуальные проблемы статистической радиофизики №6, 2007, сс. 53-64.

А7.Саичев А.И., Тараканова М.В., Филимонов В.А. Об оценке дисперсии винеровского случайного процесса с равномерным сносом// Актуальные проблемы статистической радиофизики №7, 2008, сс. 14-25.

А8.Саичев А.И., Тараканова М.В. Корреляционный подход к анализу статистики пересечений уровней случайными процессами и полями// Труды двенадцатой научной конференции по радиофизике, 2008, сс. 245247.

АЭ.Саичев А.И., Тараканова М.В, Филимонов В.А. Оценка дисперсии винеровского случайного процесса с равномерным сносом//Труды тринадцатой научной конференции по радиофизике, 2009, сс. 205-207.

АЮ.Саичев А.И., Тараканова М.В, Филимонов В.А. К вопросу определения параметров винеровского случайного процесса со сносом//Сборник материалов III Всероссийской молодежной научно-инновационной школы "Математика и математическое моделирование", 2009, сс. 31-33.

АП.Тараканова М.В, Филимонов В А. Наиболее эффективная оценка параметров случайных процессов// Труды XLVIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", 2010, сс. 23-24.

А12.Тараканова М.В, Филимонов В.А. Оценка коэффициента диффузии винеровского случайного процесса с равномерным сносом// Труды 16 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, 2010, сс. 591-592.

А13.Саичев А.И., Тараканова М.В, Филимонов В.А. Различные методы оценивания параметров случайных процессов//Труды четырнадцатой научной конференции по радиофизике- Нижний Новгород, 2010, с. 266.

А14.Саичев А.И., Тараканова М.В, Филимонов В.А. Методы статистической радиофизики для оценки параметров диффузионных случайного процесса// Труды третьей Волжской региональной молодежной научной конференции "Радиофизические исследования природных сред и информационные системы", 2010, с. 34.

А15.Саичев А.И., Тараканова М.В, Филимонов В.А. Оценка коэффициента диффузии винеровского случайного процесса с равномерным сно-

сом// Труды 17 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, 2011, с. 504.

А16.Саичев А.И., Тараканова М.В, Филимонов В.А. Оценка коэффициента диффузии случайного процесса по методу Гармана и Класса, Роджера и Сатчелла// Труды XLIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", 2011, с. 63.

А17.Тараканова М.В. Методы статистической радиофизики для оценки параметров диффузионных случайных процессов// Труды 18 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, 2012, с. 522.

А18.Тараканова М.В. Наиболее эффективные оценки коэффициента диффузии случайного винеровского процесса с равномерным сносом// Труды XLX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", 2012, с. 197

A19.Saichev Alexander I., Lapinova Svetlana A., Tarakanova Maria V. Efficiency and Probabilistic Properties of Bridge Volatility Estimator// Working papers by Social Science Research Network. Series "SSRN Working Paper Series". 2012. No. id2026389 (электронная публикация)

А20.Саичев А.И., Лапинова С.А., Тараканова М.В. Оценка волатиль-ности на основе экстремумов моста// Международный журнал Квантиль №10, декабрь 2012, сс. 73-90.

А21. Тараканова М.В. Экстремальные методы оценки параметров случайных процессов// Труды XLXI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", 2013, с. 253.

А22. Тараканова М.В. Экстремумы неполного моста// Труды 19 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, 2013, с. 402.

А23.Тараканова М.В. Оценка коэффициента диффузии на основе экстремумов моста//Материалы трудов Всероссийской молодежной научной школы "Актуальные проблемы физики", 2012 с. 134.

А24. Зотов И.С., Тараканова М.В. Концепция самообучения математической модели, входящей в состав системы технической диагностики ЯЭУ// Международная молодежная научно-техническая конференция "Будущее технической науки", 2013, сс. 250-251.

Зотова Мария Владимировна Экстремальные методы оценки параметров диффузионных процессов

Подписано в печать 20.11.2014 Формат 60x84/1б. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Усллечл. 1. Уч.вздл. 1 Тираж 100экз. Загаз №112.

Отпечатано в ООО «Печатная Мастерсхая РАДОНЕЖ» г. НЛовгород, ул. Минина, д.16а, офис 23. Тел.:(831)418-53-23