Электронные состояния в неоднородных ограниченных кристаллах с релятивистской зонной структуры тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ6 од

2 Ь ПЮЛ 1393

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ФИЗИЧЕСКИМ ИНСТИТУТ им. П.Н.ЛЕБЕДЕВА

На правах рукописи УЖ 539.21; '530.145.

УСМАНОВ МАРИФДЖОН ШАКИРОВИЧ

ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В НЕОДНОРОДНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ КРИСТАЛЛАХ С РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЗОННОЙ СТРУКТУРОЙ

01.04.02- теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993 г.

Работа выполнена в отделении теоретической физики Физичес кого Института им.П.Н.Лебедева РАН.

Научные руководители: доктор физико-математических наук Б.А.Водков.

доктор физико-математических наук М.М.Мусаханов.

Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук С.Д.Бенеславский.

кандидат физико-математических наук И.М.Суслов.

Ведущая организация: Московский Государственный Университет им. М. В.Ломоносова (г.Москва).

Защита диссертации состоится ССит3.0^9,1993г. на

заседании специализированного совета K0Q2.39.04 ш присуждению ученой степени кандидата физико - математических наук в Физическом институте ш.П.Н.Лебедева РАН по адресу: 117924, ГСП, Москва В-333, Ленинский пр., '53.(^0час. 00 мин.).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического института им.П.Н.Лебедева РАН.

Автореферат разослан 0 б' 1993г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико -математических наук

Скаряинский В.Д.

Общая характеристика работа.

Актуальность темы. Изучение собственных значений и со« ственных функций квантовых гамильтонианов является одной и основных задач физики твердого тела и квантовой механики V гамильтонианор, описыващих реальные физические системы', задача обычно решается с использованием приближенных или вычяг лительных методов.Но для развития адекватных приближенных мето дов расчета /большое значение имеет исследование аналитических модельных систем, для которых можно явно найти энергетический спектр и соответствующие волновые функции. Тем самым становится возможным исследование ряда фундаментальных свойств кристаллических твердых тел, таких как, структурные фазовые переходы, зарядовая активность собственных дефектов и глубоких примесей, свойства электронных состояний на поверхности или гояяипят раздела и т.д., не прибегая к вычислительным методам.

В последнее время была развита аналитическая модель алек тронной структуры веществ с кубической (либо близкой к куби -ческой) координацией химических связей - квазикубических кристаллов. Эта модель /I/ позволила понять практически все Фундаментальные свойства полупроводников А*В°, полупроводшков-халькогенов Те и Бе, полуметаллов группы висмута и ряда сложных тройных и четверных соединений. С выяснением генезиса зонного спектра полупроводников А*В" и сплавов А*_хС*В" становится возможным проанализировать все типы неоднородных структур. Учитывая преимущественную ориентацию современной физики на изучение квантово-рвзмерннх структур на баге многокомпонентных полупроводниковых соединений, представляется актуальным исследо-

ванив влектронного спектра пространственно ограниченных структур на базе этих соединений. Поскольку электронным спектром соединений А4ЕР можно управлять при помощи вариации состава, выяснение зависимости параметров спектре от состава и- других характеристик, структур» является важной практической задачей. Решение этой задачи открывает новые возможности в области фотоэлектроники инфракрасного диапозона.

Отметим твкже существование широкого набора точно решаема модельных систем в одномерной квантовой механике,где приме-ннш методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Одними из наиболее эффективных подходов к построению таких систем в квантовой механике и изучению связей между ними Являются методы факторизации /2/ и суперсиииетрии /3/. Электронный энергетический спектр многих полупроводниковых структур, упомянутых выше, описывается уравнением типа Дирака. Поскольку уравнение Дирака (а также многомерное уравнение Шредингера, уравнение Фоккера-Планка и др.) при определенных условиях сводится к аффективному одномерному уравнению Шредингера,то щюдставляет интерес исследование решений этих уравнений с помощью методов факторизации и суперсимиетрии.

Целью работы являлось -исследование на основе методов факторизации и суперсимметрии электронного энергетического спектра даухзонных полупроводниковых структур, описываемых уравнением типа Дирака.

Научная новизна и положения выносимые на защиту. В настоящей работе аналитически исследованы свойства электронной система ряда полупроводниковых структур:

- ограниченная структура из инверсных контактов;

- пленка из полупроводника с инвертированными зонами;

- ограниченная структура, содержащая сегнетоэлвктричесгаго домены;

- двух- щ трехмерные квантовые структуры (квантоаче точки>. образованные |узкощелевыми полупроводниками;

- свойства уэкощелевых полупроводников при наличии в них линейных и точечных дефектов.

1. Рассмотрены энергетические электронные спектры вышеупомянутых структур.

2. Рассчитана зависимость спектра ограниченных структур от конкретного вида формирующих ее инверсных контактов и сегнето-электрических доменных стенок.

3. Рассчитана зависимость спектра двух- и трехмерных ограниченных структур от размера квантовой точки и от состава полупроводников, образующих эту структуру.

4. С помощью метода суперсимметрии исследован электронный энергетический спектр узкощелевых полупроводников, при наличии в них линейных и точечных дефектов.

5. С помощью методов факторизации и суперсимметрии найдены точные решения радиального уравнения Иредингера для определенного класса центрально-симметричных потенциалов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты для энергетических электронных спектров ограниченных структур из. узкощелевых полупроводниковых структур могут быть использованы при разработке рааличных композитных материалов с заданными физическими свойствами. Полученные решения, уравнений

Шредангера и Дирака,основанные на методах суперсимметрии и факторизации, могут быть использованы в различных задачах квантовой механики и физики твердого тела.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались, и обсуждались на Всесоюзной школе по узкоцелевым полупроводникам, Свердловск 1991 г; на семинарах отделений теоретической физики и физики твердого тела ФИ им.П.Н.Лебедева РАН , Института атомной энергии им. И.В.Курчатова, кафедры теоретической физики ТашГУ.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех печатных научных работах.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит "из введения, четырех.глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена-на 91 страницах, включая 17 рисунков, список литературы содержит 94 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель, работы, кратко изложено ее содержание, приведены основные положения, выносимые на запрету.

В шрвсй главе, носящей обзорный характер,проведена симме-трийная классификация внешних полей для уравнения типа Дирака, означающая^ по существу, классификацию возможных типов гетеропереходов в двухзонных полупроводниках. Помимо внешних электрического и магнитного шлей в гетеропереходах существуют шля, связанные с пространственным изменением ширины запрещенной зоны е^сгэ и работы выхода дсгэ. Симметрия также допускает существование векторного поля, появляющегося в полупроводнике -сегнето-

электрике, а также псевдовекторного и псевдоскалярного полей в

\

полупроводнике, содержащем, соответственно, ферро- или янтифеГ' ромагнитно упорядоченные подсистема.

Проанализированы различные решения основного уравнение п па Дирака ;

н^с-^^р-ваз + 7°дсгз + {^-исгэ + эсгэ>| - ей (i)

!'

описывавдего|.различные неоднородные полупроводниковые структуры в двухзонном приближении. Здесь йАсгО яг де г :>-зависящие от координат ширина запрещенной зоны и работа выхода, и - величина, прогорцион вльн в я вектору поляризации, р = -IV. у и 7 - матрицы Дирака.В уравнении (I) все энергетические параметры нормированы на величину ыл где и - постоянный матричный элемент меязонного перехода,а волновая функция Ф представляет собой столбец из спи норов ф4 и ф2, относящихся к двум ближайщим термам, формиругащм зону проводимости и валентную зону полупроводниковой структуры.

Вообще говоря, в рамках двухзонной модели математически эквивалентными пзляются задачи о собственных значениях гамильто нийнов, соответствующих следующим двум системам -однородный акти!)йрромагнетик с изменением ширины запрещенной зоны и однородный полупроводник, в которой имеется антаферромвгнитнвя доменная стенка. Следовательно, решения уравнения (I) могут быть, обобщены и для случая полупроводников, в которых имэется антиферромагнитные домены.

Показано,что для одномерного случая,когда потенциалы Асгэ. дсгэ и и =со.о.ис=ээ зависят от одной координаты, гамильтониан (I) коммутирует с оператором псевдочетности р = ^с^-Ъ. гда = сп х к (п-единичный вектор вдоль оси г). Следовательно,в

качестве волновой функции гамильтониана (I) можно, выбрать собственные функции этого оператора,так что При одина-

ковой пространственной зависимости этих потенциалов

АС 23=!Л1+Л0ГС23 , цС23=и1+иоГС23 , , (2)

решения уравнения (I) являются решениями суперсимметричного уравнения Виттена

+ «л - (3)

с супердатенциалом

+ к.ГСгЭ , (4)

и собственной анергией

Е^.б*« Е*-:Д*- Си-Лкр*+ (б)

где Си-А^Эи^Ед^/к, к=СА*+и*-д*3*/'г И А.= ±1 .

В уравнении (3) 1=з£ где 5=<*хрсац° у-гъ .вхРс ,1Ьсс0=до/Ао

и ьдсрз = и / /.г г. При атом, дополнительная симметрия диктует

ао 9о

наличие локализованных на неоднородностях двумерных электронных состояний, соответствующих нулевой моде гамильтониана (3). Эти состояния существуют только в том случае, если знаки ассимпто-тик суперпотенциала 14) различны. Благодаря суперсимметрш эти состояния универсальны,т.е. существуют независимо от конкретного ввда переходной области. Однако для внешних полей различной природа их дисперсия в плоскости перехода различна, т.е. такие состояния обладают линейным или бездисперсионным спектром.В пер вой главе также рассмотрено применение метода суперсимметрии к исследованию полного спектра гетеропереходов, для которых шюв-

яое изменение параметров полупроводниковой структуры определя ется пространственной зависимостью .

Вторая глава посвящена исследованию электронного спектр одномерных ограниченных структур (с инверсными контактами .-сегнетоэлектрическими доменными стенками) с резким изменением параметров неоднородного полупроводника. Для этого случая пространственная зависимость /сгл имеет вид прямоугольной "ямы" шириной 2а и'барьерами с 1 и си-ц^э:

ссъэ^ш^+^-с!*^^:^*^^!*^^^-*). (6)

где всжз - единичная ступенчатая функция. В результате решения уравнения (3) получается дисперсионное уравнение

ЯСа+о + к- кЭ \ I. и

1ЬС2ча^=-— (7)

Ск+к ЗСк+к ч Ск+к Э-с] Ск+к Э

Ц К 1> К Ь Я К ь

Здесь - с^чо* = ех, ^ ^ к.^в

При отсутствии поляризации си^и^оэ выражения (5) и (7) сводятся к результатам для квантовой ямы, образованной полупроводниками с взаимно инвертированными зонами.В этом случае из простого внализа уравнений (5) и (7) приходим к выводу, что спектр локализованных у границ раздела состояний является щелевым.Причем уровни, соответствующие этим состояниям, находятся внутри запрещенной зоны и существует критическое значение ширины ямы (зависящее от параметров полупроводниковой структуры), меньше которого оба эти уровни переходят в непрерывный спектр. На-ибольгаое значение ^ получается три |А —. в»,что соответствует пленке т инвертированного полупроводника, окруженной диэлектриком. Оценка зтой величины для полупроводников А4В°Дает

гоо X .Также для пленки с помошью уравнений (5) и (7) наглядно продемонстрировано происховдение приграничных состояний.

Показано, что наличие псевдочетности приводит к определенным правилам отбора для оптических переходов между локализованными состояниями. Причем, для света, поляризованного вдоль направления I, разрешенными являются переходы с изменением дсевдо-четнос-ти, а для света, поляризованного в плоскости скх.гз .разрешены перехода с сохранением псевдочетности.

Для случая однородного собственного полупроводника,в котором имеется один электрический домен размером га,в (5), (6) и (7) надо положить ¿о=до=и4=о, . Тогда из анализе этих уравне-

ний можно получить качественный вид-спектра, показанный-на рис.1.

Во второй главе текла исследовано влияние магнитного поля на спектр ограниченных структур. Показано,что внешнее магнитное поле приводит к расщеплению спектра ограниченных структур на уровни Ландау.

В третьей главе исследуется спектр многомерных ограниченных структур на примере двухмерных (цилиндрических) и трехмерных (сферических) квантовых ям (квантовые точки), образованных из полупроводников с взаимно инвертированными зонами (т.е. в уравнении (I) и=о).

Показано, что как и в одномерном случае, условием возникновения локализованных у границы раздела состояний является взаимная инверсия зон полупроводников, образующих структуру. При атом в рассматриваемых структурах от верхней и нижней зон объемного спектра отщепляется серия дискретных уровней, отличающихся значениями полного углового момента.

Число уровней внутри щели определяется максимальным значением полного углового момента з. Например, для более простого случая двухмерной симметричной ят (т.е. когда пространственная зависимость параметров полупроводниковой структуры определяется уравнением типа (2), где г надо заменить на р и гсрэ-геср-аэ-1, Д1=э0=о) это число определяется соотношением

4лу ] (8)

Здесь л - проекция полного углового момента на ось г и спектр вырожден двукратно по этому квантовому числу. Уровни с большим значением попадают в непрерывный спектр (рис.2). Очевидно, что существует критическое значение радиуса ас= 1^-Ив»Ао, ниже которого все уровни внутри щели выталкиваются в непрерывный скоктр, и локализованные состояния отсутствуют.

В третьей главе такие показано, что (в отличии от двухмерного случая потенциалов Л и д) в случае трехмерной сферически симметричной квантвой ямы, образованной узкощелевыми полупроводниками, спектр локализованных на границе раздела состояний представляет собой набор дискретных уровней. При этом кратность вырождения уровней равна гы, где н - число различных проекций полного углового момента на ось г.

Четвертая глава посвящена применению методов факторизации и суперсимметрии к исследованию точных решений радиальных уравнений Шредингера и Дирака, найден целый клвсс центрально-симметричных потенциалов, допускающих точное решение уравнения Шредингера. Рассмотрен также спектр локализованных состояний вблизи линейны! и точечных дефектов.

Показано, что электронные состояния вблизи линейных дефектов описываются уравнением суперсимметричной квантовой механики Виттена (3) (в котором надо полонить и =и =о, к«у$21-д2-д2

. . • О 1' О О

заменить г на р и гср=г/р. Условием возникновения локализованных состояний является ■

Ло.Д1 Е.до < О (9)

При'этом, спектр этих состояний, получающийся с помощью метода сушрсимметршг, имеет вид-'

Е* ■ - Г-1± 1.у£д2+Ск*г02Э.СД2+рЪ -А*. А*' 1

" Ск+пЭ +д2 I «¿ада ° 1 .»(10) ' ° >

Спектр локализованных состояний вблизи точечных дефектов получается из (10) при рг=о и к=Усг+д2-д2 , где с=±0+1^23. Причем, если Д0=о, то из (10) получим известное выражение для локализованных состояний вблизи точечного заряженного центра, найденное в работе /4/ для двузонных полупроводников. А условие (9) становится эквивалентным условию захвата одним и тем же центром и электронов и дырок. Качественное отличие спектра (10) {при рх~о) от выражения, полученного в работе /4/, показа-но'на рис.3. Из него видно, что наличие инверсии зон вблизи дефекта приводит к одновременной локализации и электронов и да-рок.

Сформулируем основные результаты диссертационной работы:

I. Показано, что спектр приграничных состояний в одномерных ограниченных структурах является щелевым. Электронная и /урочная ветви спектра приграничных состояний двукратно вырождены и отщепляются, соответственно, от верхней и низшей зон

объемных состояний.

2. Получены правила отбора для оптических переходов мввду локализованными состояниями как при отсутствии, так и при наличии внешнего магнитного толя.

3. Показано, что при наличии сегнетоэлектрического домена в узкоцелевых полупроводниках-сегнетозлектриках от объемного спектра отщепляются состояния, локализованные как на границах домена, так и внутри него. Эти состояния невыродквны и обладают дисперсией в отличие от состояний "тяжелых фермшнов" на отдельной доменной стенке.

4. Показано наличие приграничных состояний в двух- и трехмерных ограниченных квантовых структурах (квантовых точках), образованных узкощелевыми полупроводниками с ЕЗЕкгхо инвертированными зонами. При этом от верхней и нижней зон объемного спектра отщепляются серия дискретных уровней, отличапцихся значениями полного углового момента. Число уровней внутри щели определяются размерами тентовых точек.

5. Показана возможность возникновения локализованных состояний вблизи линейных и точечных дефектов, причем при наличии инверсии зон вблизи дефекта возникают одновременно и донорные и акцепторные уровни.

6.' С помощью методов факторизации и суперсишетрия найден целый класс центрально-симметричных потенциалов, доцускащих точное решение уравнения Шредингера.

Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих публикациях:

1. Б.Г.Нддис, М.Ш.Усманов Приграничные состояния в ограниченных полупроводниковых структурах с инвертированными зонами. ФТП, т.26, Я г, с. 329-338.

2. В.Г.йдашс, М.Ш.Усманов. Влияние доменной структуры на энергетический спектр узкощелевых шлупроводаиков-сегнетоэлек-триков.- Письма в НЭТФ, 1992, т.56. * 5, с.268-271.

3. Б.Г.Иддис, М.Ш.Усмонов. Локализованные состояния в многомерных ограниченных полупроводниковых структурах.- Препринт ФИ РАН, 1993, Я I.

4. Б.Г.Идлис, М.Ш.Усманов. Использование методов факторизации и суперсимметрии для решения радиального уравнения Шредин-гэрэ.- Препринт Я 18, ФИ РАН, M. 1993 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. O.A.Pankratoy, B.A.Volkov. Electron structure of cubic-llKe crys tals. -Sov. Sc.1. Rev. A .Phys., 1987, v. 9 ,pp.355-459.

2. L.Inield, Т.Е.Hull. The factorization method.-Rev.Mod. Phys., 1951.V.23.JS 1, pp.21-58.

3. Л.Э.Генденштейн, И.В.Криве. Сугорсшьтрия в квантовой . механике - УФН, 1985,т.146, JE 4, с. 553-590.

4. Л.В.Келдыш. Глубокие уровни в полупроводниках. -НЭТФ, 1963, Т.45, JÉ 2(8), с.364-375.

Подписи к рисункам Рис.1.Электронный энергетический спектр узкощелевого полупровод кики при наличии в ном одного сегнетоэлектрического домвва. Сплошные линии соответствуют границам объемного спектра, линии I и ?, - уровням локализованным не границах домена, а штриховые и штрихпунктирнне линии - "размерно квантованным" состояниям внутри домена.

Рис.2. Электронный спектр цилиндрической квантовой ямы, образованной узкощелевыш полупроводниками с инвертированными зонами . Сплошные линии - границы объемного спектра, штриховые и штрих-пунктирные линии - локализованные у границы цилиндра состояния при н=«> и конечных а, соответственно.

Рис.3. Качественный спектр локализованных состояний: а) вблизи заряженного центра,б) вблизи точечного дефекта.Сплошные линии-границы объмного спектра, штрих-пунктирные линии - локализованные состояния.

Рис. 2.

Рис. 3.

IB