Финальные вероятности марковских процессов эпидемии

Мастихин, Антон Вячеславович

Финальные вероятности марковских процессов эпидемии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Мастихин, Антон Вячеславович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Финальные вероятности марковских процессов эпидемии»

Автореферат диссертации на тему "Финальные вероятности марковских процессов эпидемии"

двоосэI

На правах рукописи

МАСТИХИН Антон Вячеславович

ФИНАЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ ЭПИДЕМИИ

01.01.05 — теория вероятностей

и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 0КТ 2011

Москва — 2011

4858251

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита диссертации состоится 22 ноября 2011 года в 16-30 на заседании диссертационного совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете) по адресу: 109028, г. Москва, Б. Трехсвятительский пер., д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики (технического университета) по адресу: 109028, г. Москва, Б. Трехсвятительский пер., д. 3.

Автореферат разослан «_//'» сл^л^/и 2011 г.

профессор Калинкин А.В.

профессор Шур М.Г.

доктор физико-математических наук,

профессор Рыков В.В.

Ведущая организация: Математический институт

имени В.А. Стеклова РАН

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.07 к.ф.-м.н., доцент

Шнурков П.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертационной работе рассматриваются марковские случайные процессы с дискретным множеством состояний N3,N = {0,1,2,...}, и непрерывным временем t, t £ [0, oo), интерпретируемые как процессы распространения эпидемии.

По точным решениям уравнений различных марковских процесов эпидемии и способам их вывода имеется обширная литература. Первыми детально рассмотренными марковскими процессами эпидемии были процесс эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика ^ и процесс эпидемии Вейсаоба этих марковских процесса определяются как процессы рождения и гибели на множестве состояний N2. В процессе эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика при взаимодействии переносчика инфекции и здоровой особи появляются два переносчика инфекции. Такой марковский процесс сложен для изучения; ряд результатов получен асимптотическими методами A.B. Нагаевым, А.Н. Старцевым, М. Мирзаевым.

В процессе эпидемии Вейса при взаимодействии переносчика инфекции и здоровой особи остается только переносчик инфекции, т. е. здоровая особь после контакта с переносчиком инфекции удаляется из популяции (популяция находится под наблюдением, но первоначальные переносчики инфекции не могут быть выявлены). Марковский процесс эпидемии Вейса более доступен для изучения; имеются многочисленные обобщения процесса Вейса на случай Nn. В диссертационной работе рассматриваются определенный Дж. Гани марковский процесс на Ns, интерпретируемый как дву-стадийный процесс распостранения СПИД, и определенный Н. Беккером процесс на N3, интерпретируемый как двойная эпидемия.

Задача вычисления финального распределения вероятностей для марковского процесса на N2 решалась в специальном случае ветвящегося процесса 3\ когда переходные вероятности связаны нелинейным соотношением и известно нелинейное уравнение для одночастичной производящей функции переходных вероятностей. Процессы, рассмотренные в диссертации,

^Эпидемии процесс /'/ Математическая энциклопедия. Т. 5. М.: Советская энциклопедия, 1985. Кол. 1008.

2> Weiss G. On the spread of epidemics by carries // Biometrics. — 1965. — V. 21, № 2. — P. 481-490. ^Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. — M.: Наука, 1971. — 436 с.

принадлежат определенному Б.А. Севастьяновым специальному классу марковских процессов на Nn. Для процессов класса 4) нахождение финального распределения сводится к решению стационарного первого уравнения Колмогорова для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей.

В диссертации при рассмотрении уравнений Колмогорова для процессов на N3 используется экспоненциальная двойная производящая функция переходных вероятностей. Полученные решения уравнений сведены к интегральному виду, легко используемому для вывода предельных теорем. На основе интегральных представлений для производящей функции финальных вероятностей исследованы асимптотические свойства финальных распределений и установлены предельные теоремы для случая, когда число здоровых особей стремится к бесконечности, а число особей — переносчиков инфекции фиксировано.

Математическая теория эпидемий является областью прикладной математики и моделирование реальных эпидемий проводится численно на ЭВМ. С точки зрения «вычислительной» теории эпидемий марковские процессы Бартлетта—Мак-Кендрика, Вейса, Гани, Беккера и другие являются крайними модельными случаями. Однако они важны, так как дают возможность получить точные аналитические результаты и предельные теоремы. Подобные исследования позволяют объяснить и интерпретировать результаты статистического моделирования процессов эпидемии ^ 6К

Цель работы — получение точных решений уравнений Колмогорова для марковских процессов эпидемии, исследование финальных распределений в процессах эпидемии.

Основные результаты, выносимые на защиту:

Получено точное решение стационарного первого уравнения Колмогорова для процесса эпидемии Гани, исследовано финальное распределение

Севастьянов Б.А., Калинкин A.B. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц ¡1 Доклады АН СССР. - 1982. - Т. 264, № 2. - С. 306-308.

5) Калинкин A.B., Ланге A.M., Мастихин A.B., Шапошников A.A. Численные методы Монте-Карло для моделирования схем взаимодействий при дискретных состояниях // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2005. — -V. 2(17). - С. 5J-T4.

Мастихин A.B. Численное моделирование марковского процесса эпидемии // Третья Всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике»: Тезисы докладов. — М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана. — 2005. — С. 62-63.

процесса, получены предельные теоремы для числа финальных частиц.

Получено точное решение системы из первого и второго уравнений Колмогорова для процесса эпидемии Беккера. Найдено финальное распределение, установлена предельная теорема.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми.

Методы исследования. Использовались методы теории марковских процессов со счетным множеством состояний, метод характеристических функций, методы теории дифференциальных уравнений в частных производных, специальные функции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в математической теории эпидемий.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, заключения и списка литературы из 69 наименований. Текст изложен на 93 страницах и включает 6 рисунков.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3 статьях и 4 тезисов докладов. 5 научных работ опубликованы в журналах, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУ К ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 1-2 декабря 2004 г.), Третьей Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 24-26 января 2005 г.), Четырнадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Адлер, 29 сентября-7 октября 2007 г.), Международной конференции «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры» (Омск, 2-7 августа 2010 г.).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана, Российском университете дружбы народов, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, Московском государственном институте электроники и математики (технический университет).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель, определены научная новизна и практическая ценность. Кратко изложено содержание работы.

В первой главе приведены необходимые сведения о математическом аппарате теории марковских процессов с дискретным множеством состояний. Дано определение марковского ветвящегося процесса с взаимодействием, включающее схему взаимодействий и основные уравнения процесса — первое и второе уравнения Колмогорова для производящих функций переходных вероятностей.

В 1.1 дан обзор используемых далее результатов теории марковских процессов со счетным множеством состояний и непрерывным временем. Пусть £(£) — • ч€п(*))| Ъ е [0, со), — однородный во времени марков-

ский процесс на множестве состояний ЛР1 = {а = (а^аг; • • •, (*п), «г = 0,1,2,..., г = 1,...,гг}. Обозначим переходные вероятности Рар(£) — Р{£(£) — ¡31 £(0) = а}, а.р € ТУ". Марковский процесс задается плотностями переходных вероятностей аа$ = <1Рар(Ь)/¿1^=0+. Выполнены обычные для таких процессов условия, при которых переходные вероятности удовлетворяют первой (обратной) системе дифференциальных уравнений Колмогорова

(здесь и далее суммирование ]Сте№> обозначается ]Г}7), и второй (прямой) системе дифференциальных уравнений Колмогорова

начальные условия Faa(0) = 1, Ра/j(0) = 0 при а ф ß.

В 1.2 даны сведения о многомерных производящих функциях для дискретных вероятностных распределений и их свойствах.

В 1.3 дано описание системы с взаимодействиями частиц типов Т\...., Тп. Состояние системы характеризуется вектором а — (оц. ..., ап) и означает наличие совокупности Sa из qi частиц типа Ti, аг частиц типа Тг, ..., ап

(1)

(2)

частиц типа Тп: = аг^+агТгН-----ЬапТп. Возможные переходы системы

из одного состояния в другое представляются схемой взаимодействий

'е\Тх + £1Т2 + --- + е\Тп - 7 }Тг + 72ХТ2 + • • • + 7Х < е^ + ек2Т2 + ... + екпТп-* + 7|Т2 + • • • + 7Х

+ 4Г2 + ■ • ■ + 4Г„ -> 7^1 + 72^2 + ■ • • + 11пТп, в которой комплексы частиц к — 1,фиксированы, а векторам 1к — (711 Тг I • • • 17п) соответствуют распределения вероятностей {р* ^ О, 12-уРу ~ Р** = 0}, к — I,... ,1. Стохастическая модель такой системы строится в виде марковского ветвящегося процесса £(£), í е [0, оо), на множестве состояний Лгп. Событие {£(£) = а} означает наличие в системе в момент времени I совокупности частиц 5а. Через случайное время тк может произойти взаимодействие комплекса частиц Б ¿к. В этот момент из ах частиц типа 71 выбирается е\ частиц, ..., из ап частиц типа Тп выбирается частиц, и этот комплекс частиц с распределением вероятностей {рк} заменяется совокупностью 5'7 новых частиц. Система из состояния Ба, соответствующего вектору а, переходит в состояние 5а_£ь+7, соответствующее вектору а — ек + 7, и далее аналогичная эволюция системы частиц.

Вероятность взаимодействия комплекса частиц за время Д;£,

Ш —> 0, пропорциональна числу Са\ сочетаний частиц типа из имел ,

ющихся а\ частиц типа 7\, ..., пропорциональна числу Са"п сочетаний е* частиц типа Тп из имеющихся ап частиц типа Тп и равна + где <Ра — ^к ПГ=1 а^аг — 1) • • • («г — ^ +1) (<Ра = 0, если при некотором г имеет место неравенство аг- < ; А к — коэффициент интенсивности взаимодействия комплекса Плотности переходных вероятностей марковского процесса £(4) полагают равными ааа = - <р%, аа0 = ]Г*=1 РаРр-а+е«'

Время тк имеет экспоненциальное распределение Р{т„ < = 1 — е~ В состоянии Ба система находится случайное время та, до тех пор пока не произойдет какое-либо из I взаимодействий, т. е. та = тт(г^,..., По-

скольку предполагается, что случайные величины т^,...,т1а независимы, то P{tq <t} — 1 — а вероятность, что произошло взаимодей-

ствие комплекса частиц Seh, при условии, что взаимодействие имело место, равна + • • • + <р'а)-

Далее для вектора s = (sj,..., s„) применяется сокращенная запись sa = s"1... Неравенство |s| ^ 1 означает, что |sj| <1,г = 1,...,п. Запись da/dsa обозначает частную производную dai+"'+an / (ds®1 ■ ■ ■ ds*n). Для вектора 2 = (zi,..., zn) приняты аналогичные обозначения; а\ = \... ап\.

Для свертки системы уравнений (1) используется экспоненциальная производящая функция переходных вероятностей Gp{t\z) = Pap(t)za/<xU [3 € Nn, и линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами hk{djdz) — Yl-yPyd^/dz"1, к— I,...,I.

Теорема 1.1.7-1 Экспоненциальная производящая функция переходных вероятностей Gp(t; z) при любом (3 G N" удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных

Для свертки второй системы (2) используются производящие функции ЗД s) = Е/5 PafiWsP, a G N»; hk(s) = k = 1,..., l.

Теорема 1.2.Производящая функция переходных вероятностей Ftt(t;s) при любом a G Nn удовлетворяет при |s| < 1 линейному дифференциальному уравнению в частных производных

dFa{t; s) ^ / £k\ de"Fa{t\s)

—oi— = )—дР—' Fa(°>s> = a-

k=1

Далее в первой главе диссертации дается обзор некоторых процессов эпидемии: эпидемия Вейса Т\ + Т2 —* Т\, Т\ —> 0; эпидемия Бартлетта— Мак-Кендрика Т\ +Т2 —> 2Ti, Т\ -+ 0; повторяющаяся эпидемия Т\ + Т2 —>• 2Ti, Ti —+ 0, 0 —► З2; эпидемия с размножением переносчиков Т1 + Т2 —>■ Ti, Т\ —> 0,2Т\, эпидемия, открытая для переносчиков Т\ + Тг —> Т\, 7\ —» 0, 0 —» 71; эпидемия с приобретением иммунитета 7\ + 7г —> 2Т\,Т\

7^Калинкин А.В. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Усл. матем. наук. — 2002. — Т. 57, № 2. — С. 23-84.

Тг, Тг - Т2.

Во второй главе рассмотрен марковский процесс эпидемии Гани. Найдено явное решение стационарного второго уравнения для двойной производящей функции финальных вероятностей. Исследованы асимптотические свойства финального распределения.

В 2.1 определен марковский процесс £(£) = (£х(г), £2(£),6(£)), t е [0, оо), дана его интерпретация как процесса эпидемии с тремя типами особей и двумя стадиями заболевания. Частицы типа Т\ — зараженные особи (источники инфекции); частицы типа Т2 — здоровые особи (восприимчивые к инфекции, не имевшие контактов с зараженными); частицы типа Т3 — особи, имевшие один контакт с зараженными. Здоровая особь после двух контактов с зараженными удаляется из популяции. Схема взаимодействий в эпидемии

Тх+Тг-Л + Гз, Т\ + Тз~* Тх, Т, - 0.

На множестве состояний Ы3 = {а = (ах, а2, аз). ах, а2, аз = 0,1,2,...} рассматривается однородный во времени марковский процесс £(£), £ е [0, оо), с переходными вероятностями = = (А ,&,/%) | £(0) =

(аь а2. аз)}. Пусть при £ —> 0+ переходные вероятности имеют вид (Ах > 0, Л2 > 0, А3 > 0)

= + = + <>(«),

= 1 - (Л1а1°2 + Л2«1«з + Азах)* + о®.

Вторая система дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей -Р^'д2^)^) после свертки получает вид (|й| ^ 1)

— = Ах(515з - + А2(31 - -1-3)^ + Аз(1 - зх)-^-, (3)

с начальным условием Ра(0; в2, «з) = ¿ч ^г2-5'?-

Экспоненциальная (двойная) производящая функция переходных вероятностей

2и Ъ, в2, вз) = V 12 3 з)

' „ ах!а2!аз!

удовлетворяет первому уравнению

ÜL = л 2 ( d2jr - + A2z 23 (— - ) + \3Zl (f - —)

dt " \dz\dz3 dz\dz2J \dzi dz\dz3) V dz\J'

с начальным условием .Я"(0; Z\, z2, z3] si, s3) = е*1в1+г2,2+гзаз.

В 2.2 ставится задача о финальных вероятностях для поглощающих состояний (0, Т2;7з), 72,7з = 0,1,2,...,

оо

& = ÄS, ^f^ а^е N3; Е =L

72:73=0

Марковский процесс £(f) введен Гани и является обобщением марковского процесса эпидемии Вейса. В работе 8) второе уравнение Колмогорова (3) решено методом преобразования Лапласа, при значениях параметров А) = А2. Однако выражение для решения в состоящее из наборов многократных сумм и произведений, малопригодно для исследования асимптотических свойств рассматриваемого случайного процесса.

В 2.3 применена экспоненциальная (двойная) производящая функция для нахождения финальных вероятностей. Введем производящую функцию финальных вероятностей Ф(а1!а2,а3)(«2, «з) = E~73=o9(o,^3)s22s33. IS2 i ^ 1, |йз| ^ 1, и экспоненциальную производящую функцию

00 z<x-iza-zzU3

Z2, Z3\ S2, S3) = V] 2, 3,Ф(а1,аг,аз)(52;5з).

01,02,0:3=0

Первое стационарное уравнение для экспоненциальной (двойной) производящей функции имеет вид

д _ / дЧ 04 \ | х гдФ д2Ф \ | д / дф\ _0

\dz\dzi dzidz^J Idzj dzidz-J V dz\)

граничные условия Ф(0. z2, z3; s2, s3) — eS2Z2+S3Z3, Ф(гь 0,0; S2, s3) = eZl.

В 2.4 получено интегральное представление для экспоненциальной производящей функции.

Теорема 2.1. Положим р — Аг/Лх и ц = А3/А1; пусть р ф\. Экспоненциальная производящая функция финальных вероятностей равна

8^Gani J. Approaches to the modelling of AIDS // Lecture notes in biomathematics. V. 86. Stochastic processes in epidemic theory. — Heidelberg: Springer. 1980. — P. 145-154.

Г°° р-Р" _ р-ч

- / ехр{-^+г2(1+(52-1)е-',-(5з-1)--—)+л3(1+(53-1)е-^)}х

Л Р -1

(5)

где — функция Бесселя порядка нуль.

Вид уравнения (4) привет к рассмотрению значений параметра р > 1, О < < 1 и р = 1. В 2.4 рассмотрен случай р > 1. При замене переменных х = ги у = ехр{(1 - р)г2Рг3}, С = ехр{(р - \)%ргъ - г\~р},

* = = (- 1пСг/)1/(1-р): = ^(-ЬСу)р/(1-р),

1 -р

уравнение (4) сводится к гиперболическому уравнению д2и{х, у) ц

+ (р-1)уШ(уи{х>у) = 0' (6)

с граничными условиями

и{х, 0) = 0, «(0, у) = Далее определена и решена вспомогательная граничная задача для уравнения (б). Для уо > 0 обозначим и°(х,у) — решение гиперболического уравнения (6) с граничными условиями на характеристиках у = уо и х — 0,

и°(1.1Л)) = Р(аО, и°(0,у)=ф(у): (7)

где функции </з(а:), ф(у) выбраны специальным образом. Задача Гурса (6), (7) решается методом Римана. В полученном решении переходим к пределу при уо —* 0 и получаем (5).

В 2.4 рассмотрен и случай 0 < р < 1. Решение уравнения (4) найдено аналогично описанному выше способу с другой заменой переменных. Получено интегральное представление (5) для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей.

Далее получено интегральное представление для производящей функции финальных вероятностей Ф(о1,аз,аз)(в2,5з)- Раскладывая в ряд (5) по

степеням 21, 22,23, получаем

Следствие 2.1. Для марковского процесса £(£) производящая функция финальных вероятностей равна {рф1,а\ ф 0)

„0.1 /-оо

х (1 + («2 - 1)е~° - (53 - 1) I ) (1 + (53 -

В 2.5 рассматриваются асимптотические свойства финального распределения при р ф- 1. В рассматриваемом специальном случае процесса частицы типов Т<1 и Тз называются финальными Обозначим случайное число частиц типа Тг и случайное число частиц типа Т2, которые останутся после того, как процесс эпидемии остановится, то есть не останется частиц типа Т\. Случайный вектор {ц^"1'02^, т]^а1'а2,а^) имеет определяемое производящей функцией (8) вероятностное распределение

Ьлз) е ЛГ2}.

В 2.5 для математических ожиданий получено, при а?2 —» оо (р ф 1),

)(М) ( V \а> щ2 =—^—;

Е (аь«2,«з) = ^(аь^.аз)!^1) // М \а> _ / ¡Л

Ъ 953 + \ц + р) У

Вычисление дисперсий приводит к асимптотическим формулам

)(1,1) дФ{а1 }(1,1) /0ф(в1

)(МЬ2

- Щ + дГ2 V аТг ) < м _ (

Получены предельные теоремы. Асимптотические свойства финального распределения рассматриваются при аг —> оо, поскольку для приложений представляет интерес случай, когда при i = 0 число инфициированных осо-

бей мало, а здоровых велико. Предельные теоремы относится к теоремам «порогового» типа, которые применяются для определения пороговой численности инфицированных особей, превышение которой означает начало эпидемии.

Используя явное выражение (8) для производящей функции вероятностного распределения на ./V2, применив стандартным образом метод преобразования Лапласа для вывода предельных теорем3', получаем следующее утверждение.

Теорема 2.2. Пусть х\, х2 Е [0.1]. Тогда (р ф\,а\ф 0)

(01,02,03) {а^аг,аъ) -ч лцр

11шР ---/ 1Ы,У2)Лук1у2,

»2-^00 а2 а2 J J0 у0

причем двумерное преобразование Лапласа для плотности распределения вероятностей /(хх,х2) хилеет вид (А1 ^ О, Х2 ^ 0)

Яоо

СЧ)

,,01 г00 '

(а 1 ~ 1)! Jo

Получено разложение для плотности распределения вероятностей /(х\,х2) в виде ряда по многочленам Лагерра.

Случайные величины и ^(аь«2,оз) имеют распределения, опреде-

ляемые производящими функциями Ф(а1,о2,оз)(в2, 1) И Ф(аьа2]аз)(1, йз). Соответственно, полагая в (9) для параметров преобразования Лапласа Х2 = О или Ах = 0, имеем следствия для одномерных распределений.

Следствие 2.2. Пусть х £ [0,1]. Тогда

( (он,<*2,аз) ч сч /-ОО

Ит р) %-^ Д = /Ц^ / у-^е-^у.

02-00 а2 ) (ах -1)!

Рассмотрим функцию х(у) = —(е~т — е~у)/{р — 1), у €. [О, оо). Функция х(у) возрастает на [0, уо] и убывает на [г/о, оо); уо — точка максимума и хо — х(у0) < 1. На отрезке (0.гг0] определены обратные функции 2/1(2), 2/1 (0) = 0, и у2{х), Нт^о 2/2(1) = оо; причем уг{х0) = у2(х0).

Следствие 2.3. Пусть х € [0, хо]- Тогда

Г Jai,»2,аз) Ч «! / ryi(x) roo \

lim р J Л-* / yai-le-Wdy+ / y^e-^dy .

^ а2 J (öi — 1)! \Jo JyÁx) J

Также рассмотрен случай согласованного стремления а2 и щ к бесконечности. Из (8) следует

Теорема 2.3. Пусть а2 —» оо, аз —+ оо, причем отношение аз/а2 стремится к 9, где 0 < в < оо . Пусть х\. х2 £ [0,1]. Тогда (р ф- 1, ai ф 1)

/■_(оь«»2,оз) (ai, а2,а3) ч ГХ1/-Х2

ÄP1--— / / Í{yuy2)dyidy2,

apS l Q2 "2 J JO Уо

причем преобразование Лапласа для плотности распределения вероятностей имеет вид (Ai ^ О, А2 ^ 0)

Доо

e-^-^f(xux2)dx1dx2 = ,,o¡ i /-оо

(а! - 1)! У0

В 2.6 и 2.7 рассматривается случай р = 1. Решена граничная задача для стационарного первого уравнения Колмогорова специальной заменой переменных и получено интегральное представление для экспоненциальной (двойной) производящей функции методом Римана. С помощью найденной в явном виде производящей функции финальных вероятностей вычислены математические ожидания и дисперсии двумерного финального распределения. Установлены предельные теоремы для случая а2 —► оо и случая согласованного стремления а2 и аз к бесконечности.

В третьей главе рассмотрен марковский процесс эпидемии Беккера. Получено решение в виде ряда Фурье для системы из первого и второго уравнений Колмогорова. Это решение суммировано к интегральному представлению для экспоненциальной (двойной) производящей функции переходных вероятностей. Полученная затем производящая функция финальных вероятностей имеет интегральный вид, используемый для вывода предельной теоремы для числа финальных частиц.

В 3.1 определен марковский процесс £(í) = t € [0,оо),

дана его интерпретация как процесса двойной эпидемии, обобщающего про-

цесс эпидемии Вейса. В популяции имеются три типа частиц (особей), два из которых являются переносчиками. Частицы типа Т\ и Т2 — зараженные особи (источники инфекции двух типов); частицы типа Тз — здоровые особи (восприимчивые к инфекции, не имевшие контактов с зараженными). Схема взаимодействий в эпидемии

Тх +Г3 Ть Т2 + Т3 Г2, 7} -> О, Т2 0.

Взаимодействие между частицами типа Т\ и типа Т2 отсутствует.

На множестве N3 рассматривается процесс Ç(t), t € [0, оо), с переходными вероятностями ^^'(i)- Пусть при t —► 0+ переходные вероятности имеют вид (ni > 0,/¿2 > 0, pi > 0,р2 > 0)

Îi) W = + ^а2оз)< + o(t),

i)w=+«о. ^äw=^+«до,

^'^'(i) = 1 - (Miai«3 + M2Ö2Q3 + Pi<*i + /32a2)i + o(i).

В работе Беккера марковский процесс определен для случая р\ = р2.

В 3.2 рассматривается постановка задачи о финальных вероятностях. Для процесса £(£) определены финальные вероятности для поглощающих состояний (0,0,7з). 7з = 0,1,2,... (то есть исчезли все переносчики),

«ter*(°ь<*,«з) € w3; -

73=0

В 3.3 получено замкнутое решение системы из первого и второго уравнений Колмогорова. Введем экспоненциальную (двойную) производящую функцию (Ы < 1), |s2| ^ 1, |s3| < 1)

Первая (обратная) и вторая (прямая) системы дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей записываются для рас-

9> Becker

N.G. Interacnions between species: some comparisons between deterministic and stochastic models // Rocky Mountain J. Math. — 197a. — V.4, № 1. — P. 53-68.

сматриваемого процесса в виде уравнений в частных производных

- (— - д'1Т \ (Ё* - \ дЬ 123 дггдгз) ^2г^3\дг2 дг2дг3)

дТ д'1Т

ж = - «1«)^ + "г!*2 "

с начальным условием ^"(0; ги г2, г3;$з) = е2151+г252+2зЯз.

Применение к системе линейных уравнений (10), (11) метода разделения переменных приводит к решению

ги г2, г3; ви в2, яз) = V 1 2 3 е ^—' (Т1 !/т« !/>■>!

ад,аг,аз=0 --

2аз

V ша3 + Р1 / V. и2а3 + р2)

(12)

Абсолютная сходимость ряда (12) при любых ги г2, г3, йь вг, «з и 4 € [0, оо) очевидна. Далее потребуется функция (х > 0, у > 0)

Яоо

0^2(1,1; -то)

¿ис1у.

где ,/0(2) = ^ ^т^--функция Бесселя порядка нуль, о^2{1,1; г) =

Х^о фр ~ обобщенная гипергеометрическая функция.

Теорема 3.1. Для марковского процесса £(£) двойная производящая

функция переходных вероятностей равна

Я 00

¿=1 Vм

Яоо _ щ г

__ V ™

х /1(21у'г1а(1 - - е-О^+л)*)) аЫ?;}я(я, у)(1х(1у,

(13)

где /1(2) — модифицированная функция Бесселя.

При суммировании ряда (12) к интегральному представлению (13) используется представление экспоненты через функцию Н(х, у), несколько соотношений, выражающих сумму некоторых рядов через интеграл, изменение порядка суммирования и ряд модифицированной функции Бесселя.

В 3.4 рассматривается задача о финальном распределении. Получено, как следствие формулы (13), интегральное выражение для производящей функции финальных вероятностей Ф(аьС(2,аз)(5) = Е~=о9(о,о,7зГ3)573-

Теорема 3.2. Для марковского процесса эпидемии Беккера производящая функция финальных вероятностей равна (ах > 0, > 0)

1 госгоо

х (1 - е-^/Р!)«-^/«)*' + зе-ЫР1)и-Ы/>г»уЗе-«-«^^. (14)

Раскладывая в ряд по степеням 5 выражение (14), получаем Следствие 3.1. Финальные вероятности для процесса эпидемии Беккера равны

03-73

(о1:о2,аз) _ Гтз V (—'[УС* ( р1 Г' {—£1—\

9(0,0,7з) ^ ^ °«а-7з ^ + М1Тз + ^ + №73 + р2) ■

В частном случае /91 = рг выражения для переходных и финальных вероятностей получены в 9' другими методами.

В рассматриваемом случае частицы типа Тз являются финальными. Обозначим т](а1'а2,аз) случайное число частиц типа Тз, которые останутся после того, как процесс эпидемии остановится, то есть не останется частиц типов Т\ иТ2. Случайная величина ьа2.«з) имеет вероятностное распределение {я1^, 7з = 0,..., аз}, определяемое производящей функцией (14).

В 3.4 для математического ожидания получено

щЬг^Ы = ф' /1) = аз( ^ У' ( Г2

Вычисление дисперсии приводит к асимптотической формуле, аз —► оо,

Л\\2/Л + Р1/ \2Ц2 + Р2^ + Р1' >

Установлена предельная теорема. Используя интегральное представление (14) для производящей функции вероятностного распределения на Лг, применив стандартным образом метод характеристических функций для вывода предельных теорем, получаем следующее утверждение.

Теорема 3.3. Пусть х е [0,1]. Тогда (а! > 0,а2 > 0)

-,(<*! ,ОС2,аз)

С ^(оч,а2, аз) 1

Р(сч.с,2)(х) = lim pi-< z } =

Оз—00 [ аз J

1 f-g-lnxr-ffilni-^u

= 1__I_ f n f "2 "1"2 u^-'v^e-^dudv

(а1-1)!(о2-1)!Уо Jo В частности, имеем при Ф Ц2Р1 или = Д2Р1 соответственно

-- или Ffi n(x) = xw/w(l--mi .

P1P2-V2P1 Щ

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Для марковского процесса эпидемии Гани получено точное решение стационарного первого уравнения Колмогорова. Найдено интегральное представление для производящей функции финального распределения. Установлены асимптотики для математического ожидания и дисперсии финального распределения и получены предельные теоремы для числа финальных частиц в эпидемии.

Для марковского процесса эпидемии Беккера получены интегральные представления для производящих функций переходных и финальных ве-

роятностей процесса путем решения системы из первого и второго уравнений Колмогорова. Найдены асимптотики для математического ожидания и дисперсии финального распределения, установлена предельная теорема для числа финальных частиц в эпидемии.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мастихин A.B. Функция Римана для стационарного уравнения марковской эпидемии // Обозрение прикл. промышл. матем. — 2003. — Т. 10, № 2. - С. 502.

2. Мастихин A.B. О финальных вероятностях для марковской модели эпидемии при дискретных состояниях // Сборник трудов научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2004. - С. 40-42.

3. Мастихин A.B. Решение стационарного первого уравнения Колмогорова для марковского процесса эпидемии со схемой Т\ + Т2 —> Т\ + Тз, 7i + 7з Ть Ti —► 0 // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2005. - № 2(17). - С. 75-86.

4. Мастихин A.B. Предельная теорема для финального распределения марковского процесса эпидемии Гани // Обозрение прикл. промышл. матем. - 2007. - Т. 14, № 3. - С. 502.

5. Мастихин A.B. Финальное распределение для марковского процесса эпидемии Гани // Математические заметки. — 2007. — Т. 82, № 6. — С. 873884.

6. Мастихин A.B. Предельные теоремы для числа финальных частиц в марковских процессах эпидемий // Международная конференция «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры»: Труды конференции / Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. Омск: Изд-во Омского государственного университета, 2010. С. 64-65.

7. Мастихин A.B. Финальные вероятности марковского процесса эпидемии Беккера // Теория вероятностей и ее применения. — 2011. — Т. 56, № 3. - С. 606-614.

Подписано к печати 13.10.11. Заказ №708 Объем 1,25 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 (499) 263-62-01

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Мастихин, Антон Вячеславович

Содержание

Введение

Глава 1. Ветвящиеся процессы с взаимодействием и процессы эпидемии

1.1. Однородные марковские процессы на множестве состояний 7УП. Дифференциальные уравнения Колмогорова

1.2. Многомерные производящие функции.

1.3. Ветвящийся процесс с взаимодействиями частиц типов Т\,. ,Тп. Уравнения Колмогорова.

1.3.1. Первое уравнение для экспоненциальной производящей функции переходных вероятностей.

1.3.2. Второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей

1.3.3. Уравнения для двойной производящей функции.

1.4. Марковские процессы эпидемии.

1.4.1. Процесс эпидемии Вейса

1.4.2. Процесс эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика.

1.4.3. Повторяющаяся эпидемия.

1.4.4. Эпидемия Вейса с размножением переносчиков

1.4.5. Эпидемия Вейса с иммиграцией переносчиков.

1.4.6. Эпидемия с приобретением иммунитета.

Глава 2. Финальное распределение для марковского процесса эпидемии Гани

2.1. Определение процесса

2.2. Задача о финальных вероятностях.

2.3. Стационарное первое уравнение Колмогорова.

2.4. Интегральное представление для экспоненциальной производящей функции (р ^ 1).

2.5. Асимптотические свойства финального распределения (р ф 1)

2.6. Интегральное представление для экспоненциальной производящей функции (/?=1).

2.7. Асимптотические свойства финального распределения (р = 1)

2.8. Вычисление функции Римана.

Глава 3. Финальные вероятности марковского процесса эпидемии Беккера

3.1. Процесс двойной эпидемии.

3.2. Задача о финальных вероятностях.

3.3. Интегральное представление решения системы уравнений Колмогорова

3.4. Распределение финальных вероятностей и предельная теорема

3.5. Вычисление числовых характеристик марковского процесса

Результаты и выводы.

Введение диссертация по математике, на тему "Финальные вероятности марковских процессов эпидемии"

1. Актуальность темы. В диссертационной работе рассматриваются марковские случайные процессы с дискретным множеством состояний iV3, N = {0,1,2,.}, и непрерывным временем t, t 6 [0, оо), интерпретируемые как процессы распространения эпидемии.

По точным решениям уравнений различных марковских процесов эпидемии и способам их вывода имеется обширная литература. Первыми детально рассмотренными марковскими процессами эпидемии были процесс эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика [42] и процесс эпидемии Вейса [62]; оба этих марковских процесса определяются как процессы рождения и гибели на множестве состояний N2. В процессе эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика при взаимодействии переносчика инфекции и здоровой особи появляются два переносчика инфекции. Такой марковский процесс сложен для изучения; ряд результатов получен асимптотическими методами A.B. Нагаевым, А.Н. Старцевым и М. Мирзаевым [32], [33], [34], [38], [31].

В процессе эпидемии Вейса при взаимодействии переносчика инфекции и здоровой особи остается только переносчик инфекции, т. е. здоровая особь после контакта с переносчиком инфекции удаляется из популяции (популяция находится под наблюдением, но первоначальные переносчики инфекции не могут быть выявлены). Марковский процесс эпидемии Вейса более доступен для изучения; имеются многочисленные обобщения процесса Вейса на случай Nn. В диссертационной работе рассматриваются определенный Дж. Гани марковский процесс на iV3, интерпретируемый как дву-стадийный процесс распостранения СПИД, и определенный Н. Беккером процесс на /V3, интерпретируемый как двойная эпидемия.

Задача вычисления финального распределения вероятностей для марковского процесса на N2 решалась в специальном случае ветвящегося процесса [21], [36], когда переходные вероятности связаны нелинейным соотношением и известно нелинейное уравнение для одночастичной производящей функции переходных вероятностей. Процессы, рассмотренные в диссертации, принадлежат определенному Б.А. Севастьяновым [37] специальному классу марковских процессов на Для этих процессов нахождение финального распределения сводится к решению стационарного первого уравнения Колмогорова для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей.

В диссертации при рассмотрении уравнений Колмогорова для процессов на ЛГ3 используется экспоненциальная двойная производящая функция переходных вероятностей. Полученные решения уравнений сведены к интегральному виду, легко используемому для вывода предельных теорем. На основе интегральных представлений для производящей функции финальных вероятностей исследованы асимптотические свойства финальных распределений и установлены предельные теоремы для случая, когда число здоровых особей стремится к бесконечности, а число особей — переносчиков инфекции фиксировано.

2. Обзор исследований в этой области. Б.А. Севастьяновым рассмотрена задача о распределении числа финальных частиц типа Тг в ветвящемся марковском процессе с превращениями вида Т\ —» 71 Т\ + 72Тч (процесс на Ы2). Установлено [36], что при большом начальном числе частиц типа Т\ в случаях докритического и надкритического процессов (когда среднее число потомков типа Т\ меньше и, соответственно, больше единицы) финальное распределение асимптотически нормально, а в случае критического процесса отлично от нормального закона.

Б.А. Севастьяновым [37] определены марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием — специальный класс марковских процессов на множестве состояний Ип. В работе [37] получено уравнение для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей — стационарное первое уравнение. A.B. Калинкиным [18] изложен систематический подход к рассмотрению марковских процессов с взаимодействием при дискретных состояниях, в рамках которого модели некоторых физических, химических, биологических, а также технических объектов поставлены с единых позиций, основанных на понятиях дискретного фазового пространства и схемы взаимодействий.

В работе [15] задача о финальных вероятностях исследована для ветвящегося процесса со схемой взаимодействий Е\Т\ —> 71Т1+72Т2, Е\ — 2,3,., получено явное решение первого стационарного уравнения и установлены предельные теоремы в докритическом, критическом и надкритическом случаях, аналогичные данным в [36]. В [17] найдено интегральное представление для вероятностей вырождения в марковском процессе со схемой 2Т —» к2Т, Т к\Т (процесс на N) и приведены, в частных случаях, асимптотические свойства вероятности вырождения. Исследование такого ветвящегося процесса продолжено в [50].

И.С. Бадалбаев и A.B. Дряхлов [1] рассмотрели задачу об асимптотическом поведении вероятности продолжения в процессе с парными взаимодействиями 2Т —» кТ при частных предположениях о распределении числа потомков к = 0,1,. . (в критическом случае). A.B. Калинкин [18] получил интегральные представления решений второго уравнения Колмогорова для 2Т —> кТ при частных предположениях о распределении числа потомков пары взаимодействующих частиц. Марковский ветвящийся процесс с взаимодействием частиц двух типов Т\ + Т2 —> 71 Т\ + 72 Т2 [19] связан со случайными блужданиями в четверти плоскости, асимптотические задачи для которых рассматривались В.А. Малышевым [28] и другими авторами.

У. Андерсон в монографии [43] дал ряд примеров марковских процессов, принадлежащих классу ветвящихся процессов с взаимодействием. Н. Бек-кер в работе [48] получил некоторые результаты для марковских процессов, описывающих взаимодействие двух популяций, со схемами:

Ti + TW 2T1 + T2,T2-*2T2I Т1+Т2->Т2,Г2-^0,2Г2; Ti +т2 Т2, Тх 2ТЬ 0 -> Т2;

О ТЪТ2) 2\ + Т2Т2, Т2 0;

21 + Т2 Т2] 2\ + Т3 Т3, Т2 0, Т3 0. В [47] введены в рассмотрение марковские процессы, соответствующие открытым системам, со схемами взаимодействий:

Тх +Т2 — Т2, 2\ 0,221, Т2 0,2Т2, 0 ТЬТ2; Т2 Т2, Г1 0,2ТЬ Т2 0, 0 ГЬГ2;

21 +Т2 Т2, 21 Т3, Г2 0, 0 Т2. Для процесса с иммиграцией 0 —> 21, 21 + Т2 —> 2\, 21 —> 0 найдено [49] решение нестационарного второго уравнения Колмогорова.

С.Е. Хичкок [58] для процесса «хищник-жертва» со схемой взаимодействий 21 + Т2 —> 0, 221, Т\ —> 0, Т2 —> 2Т2 предложил метод приближенной оценки вероятности вырождения популяции «хищников» (частицы типа

Тх).

Развитие математической биологии привело к выделению ветви прикладной математики — математическая теория эпидемий. Ограниченность круга рассматриваемых в теории эпидемий задач не избавляет от серьезных математических трудностей. В частности, детерминированная модель так называемой общей эпидемии рассматривалась в начале двадцатого века У. Кермаком и А. Мак-Кендриком. Интерес к ней возобновился с введением соответствующего марковского процесса в работах М. Бартлетта [46], [2], Н. Бейли [44] и др.; этот марковский процесс на множестве состояний ]У2 получил название процесса эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика [42]. По точным решениям уравнений марковских процессов эпидемии и способам их вывода имеется обширная литература. Для производящей функции переходных вероятностей вторая система дифференциальных уравнений Колмогорова записывается как уравнение в частных производных второго порядка. Независимо друг от друга уравнение общей марковской эпидемии решено Дж. Гани [55], В. Сискиндом [61] и С. Сакино [60]. Вид решения позволяет последовательно выписывать финальные вероятности, однако, ввиду громоздкости выражений, носящих рекуррентный характер, возможность исследования асимптотических свойств финальных распределений вероятностей остается нереализованной.

Дж. Вейс [62] исследовал марковский процесс простой эпидемии на множестве состояний N2; уравнение Колмогорова в производящих функциях имеет более простой вид. Выражения для переходных вероятностей эпидемии Вейса также получили К. Дейц [53] и Ф. Доунтон [54]. В [54] получены выражения для финальных вероятностей, применялись комбинаторные методы в задаче о случайном блуждании на N2 с попаданием в поглощающее состояние на границе.

Моделируя синдром приобретенного иммунодефицита, Дж. Гани [56] ввел на множестве состояний N3 марковский процесс, соответствующий двуста-дийному процессу заражения. Для него методами, традиционными для западной школы, Дж. Гани получил решение стационарного второго уравнения при частных значениях параметров, с теми же сложностями и неясностями в исследовании асимптотических свойств процесса. Обобщение этого процесса на случай произвольных значений параметров носит в диссертации название процесса эпидемии Гани. В [57] рассмотрен марковский процесс на Nn, соответствующий многостадийному процессу заражения, и применяется метод преобразования Лапласа. В [52] для рассмотрения второго уравнения в производящих функциях применяется метод разделения переменных.

Другое исследуемое в диссертации обобщение на iV3, двойная эпидемия Вейса, названо процессом эпидемии Беккера, т. к. такой марковский процесс введен Н. Беккером [48].

Обзор некоторых марковских процессов эпидемии и соответствующие уравнения Колмогорова даны в конце первой главы диссертации.

Задачу о финальных вероятностях для эпидемии Вейса рассматривал A.B. Калинкин [16]. Получено явное решение для стационарного первого уравнения Колмогорова в интегральной форме. Как следствия, найдены асимптотики для математического ожидания, дисперсии числа финальных частиц, получена предельная теорема для числа финальных частиц. A.M. Ланге [24], [25] аналогичными методами получил некоторые результаты о финальных вероятностях марковского ветвящегося процесса со схемой взаимодействий 2Ti —> jfTi + 7^2, Т\ —> + ylпри частных предположениях о распределении числа потомков.

3. Цель работы. Получение точных решений уравнений Колмогорова для марковских процессов эпидемии, исследование финальных распределений в процессах эпидемии.

4. Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

5. Основные результаты. Получено точное решение стационарного первого уравнения Колмогорова для процесса эпидемии Гани, исследовано финальное распределение процесса, получены предельные теоремы для числа финальных частиц.

6. Методы исследования. Использовались методы теории марковских процессов со счетным множеством состояний, метод характеристических функций, методы теории дифференциальных уравнений в частных производных, специальные функции.

7. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в математической теории эпидемий.

8. Содержание работы. Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель, определены научная новизна и практическая ценность. Кратко изложено содержание работы.

В 1.1 дан обзор используемых далее результатов теории марковских процессов со счетным множеством состояний и непрерывным временем. Пусть £(£) = (£1 ■ ■ ■ I Ъ ^ [0,оо), — однородный во времени марковский процесс на множестве состояний ЛГП = {а = (сц, а?2, ■ • •, ап), щ = 0,1,2,., г = 1,., п}. Обозначим переходные вероятности Рар{£) = /3|£(0) = (3 € Марковский процесс задается плотностями переходных вероятностей аар — <1Рар(£) / о+. Выполнены обычные для таких процессов условия, при которых переходные вероятности удовлетворяют первой (обратной) системе дифференциальных уравнений Колмогорова аатР7/?(*), оеГ (В.1) 7 здесь и далее суммирование обозначается ), и второй (прямой) системе дифференциальных уравнений Колмогорова Ра7(*)а7/3, /5 б (В.2) 7 начальные условия Раа(0) = 1, Рар(0) = 0 при а ^ (3.

В 1.3 дано описание системы с взаимодействиями частиц типов Тх,., Тп. Состояние системы характеризуется вектором а — (скх,., ап) и означает наличие совокупности из а\ частиц типа а2 частиц типа Т2, ., ап частиц типа Тп: Ба = а-1Т\-{-а2Т2+- • Ч-апТп. Возможные переходы системы из одного состояния в другое представляются схемой взаимодействий е\Тх + е\Т2 + • • • + 4Тп-> 71^1 +72Г2 + • • • + 7п^г, е{Тх + е\Т2 + - ■ • + екпТп -> 7*Тх + <у$Т2 + • • • + (В.З)

Тх + е\Т2 + - • • + е1пТп -> 7[Тх + 7^Т2 + • • • + т1пТп, \ в которой комплексы частиц Зек, к = 1,фиксированы, а векторам 1к — (71) 72! • ■ • ? 1п) соответствуют распределения вероятностей {р* ^ 0, = Рк£к = ^ = 1) ■ ■ • Стохастическая модель такой системы строится в виде марковского ветвящегося процесса £(£), t е [0, со), на множестве состояний ТУ". Событие {£(£) = ск} означает наличие в системе в момент времени £ совокупности частиц 5а. Через случайное время может произойти взаимодействие комплекса частиц Зек. В этот момент из сех частиц типа Т\ выбирается е\ частиц, ., из ап частиц типа Тп выбирается частиц, и этот комплекс частиц Б£к с распределением вероятностей {р7} заменяется совокупностью 57 новых частиц. Система из состояния соответствующего вектору а, переходит в состояние 5а£ь+7, соответствующее вектору а — ек + 7, и далее аналогичная эволюция системы частиц.

Вероятность взаимодействия комплекса частиц Бек за время At! АЬ —» 0, пропорциональна числу СЦ сочетаний частиц типа Т\ из имеющихся «1 частиц типа ., пропорциональна числу С»" сочетаний частиц типа Тп из имеющихся ап частиц типа Тп и равна + о{АЬ), где V3« = ^к ПГ=1 аг{а1 — 1) • •' (^г ~ +1) (<Ра = если при некотором г имеет место неравенство с^ < Хк — коэффициент интенсивности взаимодействия комплекса Бек. Плотности переходных вероятностей марковского процесса £(£) полагают равными-оаа = - аа/3 = РаРр-а+е^ аф /3, а, (3 е

Время имеет экспоненциальное распределение < — 1 — е

В состоянии в а система находится случайное время та, до тех пор пока не произойдет какое-либо из I взаимодействий, т. е. та — шт(г^,. Поскольку предполагается, что случайные величины независимы, то Р{та < = 1 — е-^4""4"1^, а вероятность, что произошло взаимодействие комплекса частиц при условии, что взаимодействие имело место, равна + +

Далее для вектора в = ., зп) применяется сокращенная запись ва = я"1. Неравенство ^ 1 означает, что ^ 1, г = 1,. ,п. Запись да/дБа обозначает частную производную д011*""^0171 /[дэ^1 ■ • • дэ^1). Для вектора г — (^1,., гп) приняты аналогичные обозначения; а\ = а\ \. о;п!.

Для свертки системы уравнений (В.1) используется экспоненциальная производящая функция переходных вероятностей (?/?(£; г) = ^а Рар({)га/а\, /3 £ А7'п, и линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами кк{д/дг) = к = 1,. ,1.

ТЕОРЕМА 1.1 [18]. Экспоненциальная производящая функция переходных вероятностей (?/?(£; г) при любом ¡3 Е -/Vй удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных к—1

Для свертки второй системы (В.2) используются производящие функции

Fa(f, s) = а е Nn- hk(s) = k = l,.,l.

ТЕОРЕМА 1.2 [18]. Производящая функция переходных вероятностей Fa{t\ s) при любом a. G Nn удовлетворяет при |s| ^ 1 линейному дифференциальному уравнению в частных производных dFa(t]s) ^ / £к\ д£"Fa(t-, s) oi— = Afc ~s ) —op—' s) = s k=î

Далее в первой главе диссертации дается обзор некоторых процессов эпидемии: эпидемия Вейса Т\ 4- Т2 —»• Т\, Т\ —> 0; эпидемия Бартлетта—Мак-Ксндрика Т\ + Т2 —> 2Ti, Т\ —» 0; повторяющаяся эпидемия Tî +Т2 —»■ 2Ti, Ti —> 0, 0 —> Т2; эпидемия с размножением переносчиков Ti + Т2 —> Ti, Ti —»• 0,2Т^; эпидемия, открытая для переносчиков Т\ + Т2 —»■ Ti, —> 0, 0 —» Т\\ эпидемия с приобретением иммунитета Т1+Т2 —> 2Ti, Ti —> Т3, Т3 —> Т2. Даются определения соответствующих марковских процессов, уравнения для производящих функций и приводятся некоторые известные результаты.

В 2.1 определен марковский процесс £(£) = (£i(i), £з(£))> t £ [0, 00), дана его интерпретация как процесса эпидемии с тремя типами особей и двумя стадиями заболевания. Частицы типа Т\ — зараженные особи (источники инфекции); частицы типа Т2 — здоровые особи (восприимчивые к инфекции, не имевшие контактов с зараженными); частицы типа Т3 — особи, имевшие один контакт с зараженными. Здоровая особь после двух контактов с зараженными удаляется из популяции. Схема взаимодействий в эпидемии

Т1 + Т2^Т1 + Т3, Тх+Тз-^Гь 0.

На множестве состояний А^3 = {а = (ах, «з), а\, = 0,1,2,. } рассматривается однородный во времени марковский процесс £(£), Ь £ [0, оо), с переходными вероятностями Рф^А)^ = = (А^з^з) | £(0) =

1, Л2, аз)}- Пусть при £ —► 0+ переходные вероятности имеют вид (Ах >

0, Л2 > 0, А3 > 0) 1 - + Л2аха3 + Азах)* + *(*).

Вторая система дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей после свертки получает вид (|зх| ^ 1,

Ы1, Ы < 1)

Ж = А1 (3183-8152)+Лз(51"^-¿¿г + Лз^-'0£' (В'4) с начальным условием /^(О; 5х, 52, яз) = в"1^^3.

Экспоненциальная (двойная) производящая функция переходных вероятностей

21,22,235 51; 52, «з) = У) 1 , 2 , 3 ¿?2, ^з)

1,02,03=0 удовлетворяет первому уравнению дгТ д2Т \ | д ^ ^ /&Г д2Т \ | д ^ \dz1dz3 дг1дг2) \дг\ дг\дг3у V с начальным условием ^"(0; ,г2, £3; вх, 52, яз) = ег151+2;252+г:з53.

В 2.2 ставится задача о финальных вероятностях для поглощающих состояний (0,72,7з), 72,7з = 0,1, 2,., оо & «») е £ =

72,7з=0

Марковский процесс £(£) введен Гани [56] и является обобщением марковского процесса эпидемии Вейса. В работе [56] стационарное второе уравнение Колмогорова решено методом преобразования Лапласа, при значениях параметров А1 = А2. Однако выражение для решения в [56], состоящее из наборов многократных сумм и произведений, малопригодно для исследования асимптотических свойств рассматриваемого случайного процесса.

В 2.3 применена экспоненциальная (двойная) производящая функция для нахождения финальных вероятностей. Введем производящую функцию финальных вероятностей Ф(а1>а2,а3)(«2, вз) = Е^,7з=о ^^' | 1 ^ 1) |5з| ^ 1, и экспоненциальную производящую функцию

Ф(*1, г2) з2, в3) = ^ а^а^^^ 5з)' а1,а2,аз=0

Первое стационарное уравнение для экспоненциальной (двойной) производящей функции имеет вид д / д2Ф д2Ф \ [ д ^ /ЭФ д2Ф \ | д / ЭФ\ 0

1 \dz1dz3 дг\дг2) дг^г^/ ч дг\) ' граничные условия Ф(0, г2, г3; в2; вз) = е52*24"53*3, Ф(^1, 0, 0; ¿2, вз) = еХх.

В 2.4 получено интегральное представление для экспоненциальной производящей функции.

ТЕОРЕМА 2.1. Полоэюим р — Х2/Х\ и рь — X3/Л1; пусть р ф- 1. Экспоненциальная производящая функция финальных вероятностей равна

2, в2,53) = е-ру е-ь ехр{-^+г2(1+(з2-1)е-у-(з3-1)-)+гз(1+(вз1)е-/«')}х р- 1 ое~Ру — е~у

В.6) где ^(г) — функция Бесселя порядка нуль.

Вид уравнения (В.5) привел к рассмотрению значений параметра р > 1, 0<р<1ир = 1.

-I

В 2.4 рассмотрен случай р > 1. При замене переменных ж = 21, у = ехр{(1-р)г2ргз}, С = ехр{(р - 1)г2 рг3 - ^ р}, 22 = (-1пСУ)1/(1^, 23 = ^(-1пС у)р/{1-р\ уравнение (В.5) сводится к гиперболическому уравнению

В.7) с граничными условиями и{х, 0) = 0, и(0, у) =

Далее определена и решена вспомогательная граничная задача для уравнения (В.7). Для уо > 0 обозначим и°(х,у) — решение гиперболического уравнения (В.7) с граничными условиями на характеристиках у = уо я х = 0, где функции <р(х), яр (у) выбраны специальным образом. Задача Гурса (В.7), (В.8) решается методом Римана. В полученном решении переходим к пределу при уо —^ 0 и получаем (В.6).

В 2.4 рассмотрен и случай 0 < р < 1. Решение уравнения (В.5) найдено аналогично описанному выше способу с другой заменой переменных. Получено интегральное представление (В.6) для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей.

Далее получено интегральное представление для производящей функции финальных вероятностей Ф(а1,а2,а3)(52; 5з)- Раскладывая в ряд (В.6) по степеням 22,23, получаем

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Для марковского процесса £(£) производящая функция финальных вероятностей равна (р 0)

Уо) = <р{х), и°(0, у) = ф(у),

В.8) X

1 + (82 - 1)е-" - (53 - 1)

1 + (53 - 1)е-ру)аЧ-и.

В.9)

В 2.5 рассматриваются асимптотические свойства финального распределения при р ф 1. В рассматриваемом специальном случае процесса частицы типов Т2 и Тз называются финальными [36]. Обозначим случайное число частиц типа Т2 и т^"1'"2'"3) случайное число частиц типа Т2, которые останутся после того, как процесс эпидемии остановится, то есть не останется частиц типа Т\. Случайный вектор имеет определяемое производящей функцией (В.9) вероятностное распределение

В 2.5 для математических ожиданий получено, при а2 —» оо (р ф 1),

- эг2— -а2) '

Ет,(«ь«2,а3) = ЭФ(а1,а2,аз)(1»1) ^ / ( ^ \ ^ ("Л /3 дз3 ~ р-1\\(1 + 1) \ц + р) )'

Вычисление дисперсий приводит к асимптотическим формулам ^ (аьаа^з) . д2ф(в1,ва,аз)(М) , ЭФ(аг,а3,а3) (1Л) { дФ(а1,с*2,аз) С1»

0772 " Щ + дГ2 I д^2 ) ~ ~ сАрСШ" -К^пТ - ша> ( у У"1 , 2( У2 (А\2а1\ + \(р, + 1){р + р)) \р, + р) )'

Получены предельные теоремы. Используя явное выражение (В.9) для производящей функции вероятностного распределения на Л'"2, применив стандартным образом метод преобразования Лапласа для вывода предельных теорем [40], получаем следующее утверждение.

Теорема 2.2. Пусть х\,х2 € [0,1]. Тогда (р ф1,аг ф 0) (а1,а2,Оз) (аьа2,а3) >> гхх пх2

- < XI, —- ^ Х2 > = / / /(2/1, у2)(1у1(1у2,

У-2 «2 J Jo /о причем двумерное преобразование Лапласа для плотности распределения вероятностей f(x 1,2:2) имеет вид (Ai ^ О, Л2 ^ О)

Яоо e-^-x^f(xux2)dXldx2 =

MQ1 Г° («1 - 1 )!Л ^

В.10)

Получено разложение для плотности распределения вероятностей f(x 1, £2) в виде ряда по многочленам Jlareppa.

Случайные величины щ ящ имеют распределения, определяемые производящими функциями Ф(а1,а2,а3)(«2,1) И Ф(аьа2,а3)(1; ®з)- Соответственно, полагая в (В.10) для параметров преобразования Лапласа Л2 = 0 или Ai = 0, имеем следствия для одномерных распределений.

Следствие 2.2. Пусть х е [0,1]. Тогда

Г Ла 1,"2,«з) а1 гоо lim Р<^ -2--= f * . / y^e-wdy.

Рассмотрим функцию х(у) — — (е~ру — е~у)/(р — 1), у € [0, оо). Функция х(у) возрастает на [0, i/o] и убывает на [?/о,оо); уо — точка максимума и xq = х(уо) ^ 1. На отрезке [0, xq] определены обратные функции у\(х), 2/1(0) = О, и 2/2(я), Ит^оУгОс) = оо; причем yi{x0) = у2(х0). следствие 2.3. Пусть х е [0,жо]. Тогда

С (аиа2,аз) л ai / ryi{x) гоо \ lim Р<^ -^ Ж } = ** / yai-1e-™dy+ / y^e-Wdy . q2—»00 ^ a2 J (ai — 1)! \ Jo Л2(х) /

Также рассмотрен случай согласованного стремления и аз к бесконечности. Из (В.9) следует

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть а2 —> оо, аз —> оо, причем отношение а^/а2 стремится к в, где 0 ^ 9 < оо . Пусть х2 G [0,1]. Тогда (р 1, а\ ф 1) i (ai,a2,aз) (ai,a2,a3) -ч №/-ж2

Л-^ я; -^х2\= / /(ш, tädyidm, а2 а2 J ./о ./о причем преобразование Лапласа для плотности распределения вероятностей имеет вид (Ai ^ О, А2 ^ 0)

Яоо e~x^-x^f(x1,x2)dx1dx2 = а1 гоо

Jo а1 - 1)

Случай р — 1 рассматривается в 2.6 и 2.7. Решена граничная задача для стационарного первого уравнения Колмогорова специальной заменой переменных и получено интегральное представление для экспоненциальной (двойной) производящей функции. С помощью найденной в интегральном виде производящей функции финальных вероятностей вычислены математические ожидания и дисперсии двумерного финального распределения. Установлены предельные теоремы для случая а2 —» оо и случая согласованного стремления а2 и аз к бесконечности.

В 3.1 определен марковский процесс Ç(t) = (£i(i),&{t), ^ е дана его интерпретация как процесса двойной эпидемии, обобщающего процесс эпидемии Вейса. В популяции имеются три типа частиц (особей), два из которых являются переносчиками. Частицы типа Т\ и Т2 — зараженные особи (источники инфекции двух типов); частицы типа Тз — здоровые особи (восприимчивые к инфекции, не имевшие контактов с зараженными). Схема взаимодействий в эпидемии

Тг + Т3 Ти Т2 + Т3 Т2, Тх —> О, Т2 —> 0.

Взаимодействие между частицами типа Т\ и типа Т2 отсутствует.

На множестве N3 рассматривается процесс £(i), t G [0, оо), с переходными вероятностями Пусть при t —> 0+ переходные вероятности имеют вид (yui > 0, fi2 > 0, pi > 0, р2 > 0) А^з)* + o(t), w = +Ö = + = 1 ~a1аз+^^+piai + P2(y2)t +

В работе Беккера [48] марковский процесс определен для случая р\ — р2.

В 3.2 рассматривается постановка задачи о финальных вероятностях. Для процесса £(£) определены финальные вероятности для поглощающих состояний (0,0,73), 73 = 0,1,2,. (то есть исчезли все переносчики), оо аьа2,аз) I- р(аьа2,аз) / / \ дгЗ. (а1,а2,а3)

7з=0

В 3.3 получено замкнутое решение системы из первого и второго уравнений Колмогорова. Введем экспоненциальную (двойную) производящую функцию (|й1| ^ 1, |¿>21 ^ 1, кз| < 1)

00 1 -,012 ~оз

Г, Го Го- Чп Чп Ч,^ — ^ 1 2 3 Р(й1'а/?2„/?3

1,02,0:3 ,Ри /3г/?з=0

Первая (обратная) и вторая (прямая) системы дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей записываются для рассматриваемого процесса в виде уравнений в частных производных дТ (дТ д2Т \ (дТ д2Т \ дЬ дгхдгз) дг2дгз ) дТ д2Т д2Т

- 315з)д-я--Ь - 525З) дЬ двхдв^ дз2дз3

В.12) с начальным условием ^(0; г2, г3; 52, в3) =

Применение к системе линейных уравнений (В.11), (В.12) метода разделения переменных приводит к решению

00 ~01 С*2 ~03 о гъг2, ¿3; 5Ь в3) = У" 2, 3, х

1,02,03=0 х 011 (32Р2 ^ °2 2^0зе-(А'1010з+р2а20з+/Э1а1+Р2а2)^

V ^1а3 + р1/ V М2«3 + Р2'

В.13)

Абсолютная сходимость ряда (В.13) при любых г2, г^, вз и £ б

О, оо) очевидна. Далее потребуется функция (х > 0, у > 0)

Яоо

0-^2(1,1; —гш) ¿иду, где = ^2к*=о ( --функция Бесселя порядка нуль, 0^2(1,1; г) =

Щр — обобщенная гипергеометрическая функция. ТЕОРЕМА 3.1. Для марковского процесса £(£) двойная производящая функция переходных вероятностей равна

Доо

ДОО I у у х. у)с1хс1у, (В.14) где /1(2) — модифицированная функция Бесселя.

При суммировании ряда (В. 13) к интегральному представлению (В.14) используется представление экспоненты через функцию Н{х, у), несколько соотношений, выражающих сумму некоторых рядов через интеграл, изменение порядка суммирования и ряд модифицированной функции Бесселя.

В 3.4 рассматривается задача о финальном распределении. Получено, как следствие формулы (В.14), интегральное выражение для производящей функции финальных вероятностей Ф^с^О) = Е^о^о^з)03^73

ТЕОРЕМА 3.2. Для марковского процесса эпидемии Беккера производящая функция финальных вероятностей равна (ах > 0, а2 > 0)

ГООрОО (,,-!),(«,-г), Д ^-'^-'х

Раскладывая в ряд по степеням я выражение (В.15), получаем следствие 3.1. Финальные вероятности для процесса эпидемии Беккера равны з-7з й1,а2,а3) Г13 V- /ТУГ«' ( Р1 У1 ( Р2 У

0>0,7з) 2-, ^ ^ «з Уз + ^ + ^ {^ + ^ + ■

В частном случае р\ = р2 выражения для переходных и финальных вероятностей получены в [48] другими методами.

В рассматриваемом случае частицы типа Тз являются финальными. Обозначим т/а 1,а2>«з) случайное число частиц типа Тз, которые останутся после того, как процесс эпидемии остановится, то есть не останется частиц типов Т\ иТг. Случайная величина ^("ь^.аз) имеет вероятностное распределение {^(0073)°^' 7з — 0, • • • 5 с^з}; определяемое производящей функцией (В. 15). В 3.4 для математического ожидания получено

Е («ь^з) = ф/ (1) = аз( * Г1Г & Г2

Вычисление дисперсии приводит к асимптотической формуле, аз —> оо,

А\\21И + Р^ \2112 + Р2/ VI +/91У \р,2 + р2У ) Установлена предельная теорема. Используя интегральное представление (В.15) для производящей функции вероятностного распределения на N, применив стандартным образом метод характеристических функций для вывода предельных теорем, получаем следующее утверждение. ТЕОРЕМА 3.3. Пусть X е [0,1]. Тогда (а^ > 0, а2 > 0) аьа2!а з) ^

Р(аиа2)(х) = ШпР

4 У «3—>оо I а3

Р1Д2 1 1 - 7-7\77-ггт / / иа1 уа2 е~и~'ис1ис1у. а, - 1)!(а2 - 1)! Л 70

В частности, имеем при р\р2 ф Р2Р1 или ¡1\р2 = /-¿2Р1 соответственно

1,1) (ж) = - или ^(1Д)(Ж) = --1пж).

Р\Р2 ~ Р2Р1 Р1

9. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и заключения. Каждая из глав диссертации предваряется кратким описанием ее содержания. При ссылке на параграф слева добавляется номер главы. Список литературы содержит 69 наименований. Текст изложен на 93 страницах, включая 6 рисунков.

Заключение диссертации по теме "Теория вероятностей и математическая статистика"

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Для марковского процесса эпидемии Гаии получено точное решение стационарного первого уравнения Колмогорова. Найдено интегральное представление для производящей функции финального распределения. Установлены асимптотики для математического ожидания и дисперсии финального распределения и получены предельные теоремы для числа финальных частиц в эпидемии.

Для марковского процесса эпидемии Беккера получены интегральные представления для производящих функций переходных и финальных вероятностей процесса путем решения системы из первого и второго уравнений Колмогорова. Найдены асимптотики для математического ожидания и дисперсии финального распределения, установлена предельная теорема для числа финальных частиц в эпидемии.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Мастихин, Антон Вячеславович, Москва

1. Бадалбаев И.С., Дряхлов A.B. Об асимптотическом поведении вероятности продолжения ветвящегося процесса с парными взаимодействиями частиц // Теория вероятностей и ее применения. 1996. Т. 41, № 4. С. 721-737.

2. Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов. М.: ИЛ, 1958. — 384 с.

3. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. — 512 с.

4. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970. — 326 с.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. — 296 с.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. — 296 с.

7. Бицадзе A.B., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1985. — 312 с.

8. Гайдуков В.О. Статистическое моделирование двойной эпидемии Бек-кера. Дипломная работа. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2011. — 94 с.

9. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. 568 с.

10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 320 с.

11. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление по двум пере-меным и его приложения. М.: Физматгиз, 1958. — 180 с.

12. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука. 1974. — 544 с.

13. Зубков A.M., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1989. — 320 с.

14. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982. — 256 с.

15. Калинкин A.B. Финальные вероятности для ветвящегося случайного процесса с взаимодействием частиц // Доклады АН СССР. 1983. Т. 269, № 6. С. 1309-1312.

16. Калинкин A.B. Финальные вероятности ветвящегося процесса с взаимодействием частиц и процесс эпидемии // Теория вероятностей и ее применения. 1998. Т. 43, № 4. С. 773-780.

17. Калинкин A.B. О вероятности вырождения ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Теория вероятностей и ее применения. 2001. Т. 46, № 2. С. 376-381.

18. Калинкин A.B. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Усп. матем. наук. 2002. Т. 57, № 2. С. 23-84.

19. Калинкин A.B. Вероятность остановки на границе случайного блуждания в четверти плоскости и ветвящийся процесс с взаимодействием частиц // Теория вероятностей и ее применения. 2002. Т. 47, № 3. С. 452474.

20. Калинкин A.B., Ланге A.M., Мастихин A.B., Шапошников A.A. Численные методы Монте-Карло для моделирования схем взаимодействий при дискретных состояниях // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2005, № 2(17). С. 53-74.

21. Колмогоров А.Н., Севастьянов Б.А. Вычисление финальных вероятностей для ветвящихся случайных процессов // Доклады АН СССР. 1947. Т. 56. С. 55-61.

22. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. — 832 с.

23. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. — 830 с.

24. Ланге A.M. О распределении числа финальных частиц ветвящегося процесса с превращениями и парными взаимодействиями // Теория вероятностей и ее применения. 2006. Т. 51, № 4. С. 801-809.

25. Ланге A.M. Методы расчета и моделирование дискретных стохастических систем с парными взаимодействиями // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 16 с.

26. Леонтович М.А. Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1935. Т. 5, № 3-4. С. 211-231.

27. Малышев В.А. Случайные блуждания. Уравнения Винера-Хопфа в четверти плоскости. Автоморфизмы Галуа. М.: Изд-во МГУ, 1970. — 202 с.

28. Маслов В.П., Таривердиев С.Э. Асимптотика уравнений Колмогорова-Феллера для системы из большого числа частиц // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятн. Матем. статист. Теоретич. киберн. Т. 19. М.: ВИНИТИ. 1982. С. 85-124.

29. Мастихин A.B. Численное моделирование марковского процесса эпидемии // Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике". 2005. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. С. 62-63.

30. Мирзаев М., Старцев А.Н. Предельные теоремы для одной модели с взаимодействием частиц двух типов, обобщающей процесс эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика // Теория вероятностей и ее применения. 2006. Т. 51, № 2. С. 385-391.

31. Нагаев A.B., Старцев А.Н. Пороговая теорема для одной модели эпидемии // Математические заметки. 1968. Т. 3, № 2. С. 179-185.

32. Нагаев A.B., Старцев А.Н. Асимптотический анализ одной стохастической модели эпидемии // Теория вероятностей и ее применения. 1970. Т. 15, № 1. С. 97-105.

33. Нагаев А.В. Некоторые предельные теоремы для общей стохастической модели эпидемий // Математические заметки. 1973. Т. 13, № 5. С. 709716.

34. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука. 1971. — 436 с.

35. Севастьянов Б.А., Калинкин А.В. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц // Доклады АН СССР. 1982. Т. 264, № 2. С. 306-308.

36. Старцев А.Н. О распределении размера эпидемии в одной немарковской модели // Теория вероятностей и ее применения. 1996. Т. 41, № 4. С. 827-839.

37. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.: Мир. 1984. 528 с.

38. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир. 1984. 752 с.

39. Эмануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. М.: Высшая школа. 1974. — 400 с.

40. Эпидемии процесс // Математическая энциклопедия. Т. 5. М.: Советская энциклопедия. 1985. Кол. 1008.

41. Anderson W.J. Continuous-time markov chains: an application-oriented approach. New York: Springer. 1991. — 340 p.

42. Bailey N.T.J. The total size of a general stochastic epidemic // Biometrika. 1953. V. 41, № 3. P. 177-185.

43. Bailey N.T.J. The mathematical theory of infectious diseases. London: Griffin. 1975. 413 p.

44. Bartlett M.S. Some evolutionary stochastic processes // J. of Royal Statistical Society. Series В (Methodological). 1949. V. 11, № 2. P. 211— 229.

45. Becker N.G. A stochastic model for two interacting populations //J. Appl. Prob. 1970. V. 7, № 3. P. 544-564.

46. Becker N.G. Interactions between species: some comparisons between deterministic and stochastic models // Rocky Mountain J. Math. 1973. V. 4, № 1. P. 53-68.

47. Becker N.G. Carrier-borne epidemics in a community consisting of different groups // J. Appl. Prob. 1973. V. 10, № 3. P. 491-501.

48. Chen A., Li J., Chen Y., Zhou D. Extinction probability of interacting branching collision processes //J. Appl. Prob. 2011. V. 48, № 4. P. 554590.

49. Copson E.T. Partial Differential Equation. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1975. 280 p.

50. Daley D.J., Gani J. A random allocation model for carrier-borne epidemics //J. Appl. Prob. 1993. V. 30, № 4. P. 751-765.

51. Dietz K. On the model of Weiss for the spread of epidemics by carriers // J. Appl. Prob. 1966. V. 3, № 2. P. 375-382.

52. Downton F. Epidemic with carriers: a note on a paper of Dietz // J. Appl. Prob. 1967. V. 4, № 2. P. 262-270.

53. Gani J. On a partial differential equation of epidemic theory. I // Biometrika. 1965. V. 52, № 3. P. 617-622.

54. Gani J. Approaches to the modelling of AIDS // Lecture notes in biomathematics. V. 86. Stochastic processes in epidemic theory. Heidelberg: Springer. 1990. P. 145-154.

55. Gani J., Michaletzky Gy. A carrier-borne epidemic with multiple stages of infection // J. Appl. Prob. 1991. V. 28, № 1. P. 1-8.

56. Hitchcock S.E. Extinction probabilities in predator-prey models //J. Appl. Prob. 1986. V. 23, № 1. P. 1-13.

57. Kendall D.G. Deterministic and stochastic epidemics in closed populations // Proc. Third Berkeley Sympos. Math. Statist, and Probability. Univ. of California Press, Berkeley, Calif. 1956. V. 4. P. 149-165.

58. Sakino S. On the solution of the epidemic equation // Ann. Inst. Statist. Math. 1968, Suppl. V. P. 9-19.

59. Siskind V. The solution of a general stochastic epidemic // Biometrika. 1965. V. 52, № 3-4. P. 613-616.

60. Weiss G. On the spread of epidemics by carries // Biometrics. 1965. V. 21, № 2. P. 481-490.

61. Мастихин A.B. Функция Римана для стационарного уравнения марковской эпидемии // Обозрение прикл. промышл. матем. 2003. Т. 10, № 2. С. 305.

62. Мастихин A.B. О финальных вероятностях для марковской модели эпидемии при дискретных состояниях // Сборник трудов научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. С. 40-42.

63. Мастихин A.B. Решение стационарного первого уравнения Колмогорова для марковского процесса эпидемии со схемой Т\ + Т2 —»• Т\ + Тз, Ti + Т3 Ть Ti —> 0 // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2005. № 2(17). С. 75-86.

64. Мастихин A.B. Предельная теорема для финального распределения марковского процесса эпидемии Гани // Обозрение прикл. промышл. матем. 2007. Т. 14, № 3. С. 502.

65. Мастихин A.B. Финальное распределение для Марковского процесса эпидемии Гани // Математические заметки. 2007. Т. 82, № 6. С. 873884.

66. Мастихин A.B. Финальные вероятности марковского процесса эпидемии Беккера // Теория вероятностей и ее применения. 2011. Т. 56. № 3. С. 606-614.