Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц.

§ I. Определение процесса.

§ 2. Многомерные производящие функции

§ 3. Прямое и обратное уравнение для производящих функций

§ 4. Интерпретация ветвящихся процессов с взаимодействием частиц.

Глава II. Предельные вероятности случайного процесса с взаимодействием частиц.

§ I. Уравнения для предельных вероятностей

§ 2. Определение модели. Замкнутые классы

§ 3. Нули квазиположительных производящих функций

§ 4. Предельные распределения в замкнутых классах

Глава III. Вероятность вырождения ветвящегося процесса с одним типом частиц и взаимодействием.

§ I. Описание модели и формулировка результатов главы III

§ 2. Нули квазиположительной производящей функции

§ 3. Доказательство теоремы о вероятностях вырождения

Глава 1У. Финальные вероятности ветвящегося процесса с частицами финального типа.

§ I. Описание модели и уравнения для производящих функций

§ 2» Свойства неявных функций. Доказательство теоремы 1.

§ 3. Теорема об асимптотике финальных вероятностей

§ 4. Предельные теоремы для числа финальных частиц.

I. Актуальность проблемы. Задача построения случайных процессов с взаимодействием частиц восходит к совместным работам А.НЛСолмогорова и М;А.Леонтовича по физической статистике начала 30-х гг. Такую задачу подробно обсуждает Б.В.Гнеденко в курсе теории вероятностей [18] • М.А.Леонтович [Х9] дал модель стохастической системы с попарно сталкивающимися частицами в виде однородного во времени марковского процесса в фазовом пространстве N П всех VI -мерных векторов с целочисленными неотрицательными компонентами. Близкие к такой модели марковские процессы на А/ определяются в ряде работ, посвященных конкретным задачам физической кинетики, химической кинетики, экологии (Н.Бейли [20] , К.Баруча-Рид [io] , Г.Николис, И.Пригожин [2l] , D.A. Мс GUflizwfe] и др.)* Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц определяются как специальный класс марковских

А , VV процессов на /V , который обобщает все эти модели (Б.А.Севастьянов [2] ).

Если рассматривать ветвящийся процесс без взаимодействия частиц, то свойством, определяющим возможность построения математической теории ветвящихся процессов, является свойство отдельных частиц размножаться и эволюционировать независимо друг от друга. Такой ветвящийся процесс можно определить как однородный во времени марковский процесс в фазовом пространстве N-{0,{ 2,. j переходные вероятности которого Р-.М, tе удовлетворяют при t I 0 условиям: Oft), (I)

P.£(t) = 1 +£ptt + 0(П

OO

P.*0 (i*i)t pt<0, E рг = 0. F

С помощью производящих функций ( I £ I $ 1)

00 , 00 / СО 0 irO I свертывая прямую и обратную системы дифференциальных уравнений Колмогорова для марковского процесса (I) со счетным числом состояний получаем уравнения:

- прямое, и свертку обратного уравнения -^ t иЪ у

97О;^ = . здесь ^ pt ^с

Из уравнения (3) можно получить, что s) = (F^ft &)) (см., например, Т.Харрис [в] ), т.е. переходные вероятности удовлетворяют условию ветвления:

21 . Ъ <*)>.%(*) (Б)

Если состояние С интерпретировать как наличие L частиц, то свойство (5) означает, что частицы эволюционируют и размножаются независимо друг от друга. £ (t $)

Из (5) следует, что Т (t; Ь, - в 2 1 Подставляя последнее выражение в (4), получаем уравнение ветвящегося процесса I ( Ft ft; .)), F4 C6)

Ветвящийся процесс ju± с взаимодействием К частиц является непосредственным обобщением процесса (I).

Пусть при t I 0 переходные вероятности '^fyt^ оэ)> удовлетворяют условиям

PtV(0 = 4 + ta"-i).„(t-K+iHK!VipKt i-o(t).

CO p- >, 0 , если , pk < 0 и YL pt- = o.

Из прямой и обратной систем Колмогорова, используя производящие функции (2), получаем уравнения: п>± к

При Ю2 переходные вероятности не удовлетворяют свойству ветвления (5). Исследование уравнений (8), (9) не сводится к уравнению типа (6), как в случае к = 1 . Если состояние ^ интерпретировать как наличие I частиц, то частицы зависят друг от друга, или взаимодействуют.

2. Обзор исследований«в этой области. Необходимость рассмотрения ветвящегося процесса с взаимодействием частиц отмечалась Б.А.Севастьяновым в монографии [i] , Т.Е.Харрисом [в] . В докладе [2] Б.А.Севастьянов дал общее определение ветвящегося случайного процесса с взаимодействием частиц и получил прямое уравнение для производящих функций переходных вероятностей процесса, свернув прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова.

В ряде работ решается прямая система дифференциальных уравнений и даются явные выражения для переходных вероятностей процесса через различные специальные функции (D, A. ftcQuwme [9] f Н.Бейли [20] , Г.Николис, И.Пригожин [2i] ).

3. Цель -работы. Основной целью настоящей диесертации являете; исследование предельных вероятностей ветвящихся процессов с взаимодействием частиц. Для трех моделей ветвящегося процесса получены выражения для предельных вероятностей через инфинитезимальные характеристики процессов; исследованы асимптотические свойства финальных вероятностей ветвящегося процесса с частицами финального типа.

4. Диссертация состоит из введения и четырех глав, подразделенных на пятнадцать параграфов. Нумерация параграфов отдельная для каждой главы. В каждом параграфе имеется нумерация формул, теорем и т.п. При ссылке внутри одного параграфа указывается только этот номер, при ссылке внутри одной главы добавляется номер соответствующего параграфа, и т.д. Например, в главе III ш ссылаемся на теорещ 2 из §1 главы II, как на теорему 2.1.2.

1. Севастьянов Б.А., Ветвящиеся процессы, М., изд-во "Наука", 1971.

2. Севастьянов Б.А., Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц. Тезисы докладов на третьей Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике, т.2, Вильнюс, изд-во В1У, 1981.

3. Чжун Кай Лай, Однородные цепи Маркова, М., изд-во "Мир", 1964.

4. Гельфонд А.О., Исчисление конечных разностей, М., изд-во "Наука", 1967.

5. Meet S цг ut/L mode sepQiahon. des equations et £a Lay гопуе, des> ъсСеиог*. rWk.fl), 57Ш1).

6. Титмарш E., Теория функций, М., изд-во "Наука", 1980.

7. Евграфов М.А., Аналитические функции, М., изд-во "Наука?1968.

8. Сборник задач по теории аналитических функций. Под ред. Евграфова М.А., М., изд-во "Наука", 1972.Хб. Карлин С., Основы теории случайных процессов, М., изд-во "Мир", 1971.

9. Зюков М.Е., Распределение некоторых функционалов для случайного блуждания с ограниченными снизу скачками, Укр. матем. ж., 31, & 5 (1979), 543-547.

10. Гдеденко Б.В., Курс теории вероятностей, М., изд-во "Наука", 1969.

11. Леонтович М.А., Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов, ЖЭТФ, 5, JS 3 (1935), 211-230.

12. Бейли Н., Математика в биологии и медицине, М., изд-во "Мир", 1966.

13. Николис Г., Пригожин., Самоорганизация в неравновесных системах, М., изд-во "Мир", 1979.

14. Шематович В.И., Нестационарное статистическое моделирования столкновительных физико-химических процессов в разреженном газе, кандидатская диссертация, М., ВЦ АН СССР, 1980.

15. Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш., Термодинамика, статистическая физика и кинетика, М., изд-во "Наука", 1977.

16. Филиппов Ю.В., Попович М.П., Физическая химия, М., изд-во МГУ, 1980.

17. Семенов Н.Н., Цепные реакции, М.-Л., изд-во ОНТИ, 1934.

18. Севастьянов Б.А., Калинкин А.В., Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц, ДАН СССР, т. 264, $ 2 (1982), с. 306-308.

19. Калинкин А.В., Вероятность вырождения ветвящегося процесса с взаимодействием частиц, Теория вероятн. и ее примен», ХХУП, I (1982), с. 192-197.

20. Калинкин А.В., Финальные вероятности ветвящегося процесса с взаимодействием частиц комплектами, статья депонирована в ВИНИТИ АН СССР, В 464-82 от 2 февраля 1982 г.

21. Калинкин А.В., Вероятность вырождения одного ветвящегося процесса. В сб.: Тезисы докладов конференции молодых ученых МГУ, изд-во МГУ, 1983.