Ветвящиеся с переменным режимом случайные процессы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Инотиту? математики

На правах рукописи

БОЙКО Роман Владимирович

ВЕТВЯ1ВДЕСЯ С ПЕРЕМЕННЫМ РЕЖИМОМ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССУ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора йязико-математических наук

Киев - 1992

Рабата выполнена в ордена Трудового Красного Знамени Институте математики АН Украины.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ЕАДАЛЕШ И. С., доктор физико-математических наук, профессор

ВАТЛИН В.А., доктор физико-математических наук, процессор ШУРШКОВ В.М.

Ведущая организация: Институт кибернетики АН Украины.

Защита диссертации состоится &/■!/<'¿¿¿Л 199£-г. в

часов на заседании специализированного совета Д 016.50.01 при Институте математики АН Украины, по адресу: 252601 Киев 4, ГСП, ул. Репина, 3.

С диооертацией можно ознакомиться в библиотеке инотитута.

Автореферат разослан "Мй/.пТ? 199 г.

, Ученый секретарь специализированного совета

ГУСАК Д.В.

ОЕЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

_Актуалъиооть_темцг Ветвящиеся пропеосы, возникнув как отдельные математические модели развития популяции частиц, способных размножаться, превращаться и гибнуть по олучайным законам, начали изучаться в конце 40-х годов. Началом создания теории ветвящихся случайных процессов послужили работы А.Н.Колмогорова, Б.А.Севастьянова» Н.А.Дмитриева, А.М.Яглома, Р.Белмана, Т.Харриса.

Интенсивное развитие теории ветвящихся процессов в настоящее время обусловлено широкими возможностями ее приложений в решении большого круга прикладных задач, возникающих в Физике, химии, биологии, технике. Ойщей чертой всех изучаемых в теории случайных процессов схем ветвления является предположение независимости эволюции существующих в популяции частиц друг от друга. Такое предположение является вполне допустимым при использовании ветвящкся процессов в качестве математических моделей многих реальных процессов на ранней стадии их разрития. Вместе с тем, это предположение сужает возможности применения развитой теории ветвяпдхся процессов при изучении реальных процессов ветвления на более поздних стадиях их развития, когда число существующих частиц велико и взаимодействием частиц у»е нельзя пренебречь, когда включаются механизмы^егулируюаиэ интенсивности гибели и размножения частиц. Поэтому актуальной задачей является изучение схем ветвления частиц, в которых меняется режим ветвления вместе с изменением плотности популяции частиц.

В конце 60-х годов появились работы Н.Е.Левино", А.М.Леонтовича, И.И.Иятецкого-Шапиро. (1968), А.В.Васильева (1368), затем В.А.Лабков-ского (1972), Т.Т^ша^ап (1976), где обсуждались и изучались схемы

ветвления частиц, в которых каждая частица кивет единицу времени и в конце своей жизни независимо от других частиц гибнет или превращается в несколько частиц с вероятностями, зависящими от числа существующих частиц в момент деления.

Дальнейшее изучение этоК схемы ветвления продолжалось в работах Б.А.Севастьянова и А.М.Зуйкова (1974), Е.Кпебанера (1383-1385), Р. Хепфнера (1985, 1986).

Следует отметить, что более реальными являются схемы с изменяющимися режимами ветвления частиц, в которых частицы гибнут или размножаются в любой момент времени. Такие схемы ветвления описываются случайными процессами с непрерывный временем.

Цель работы. Исследование нового класса случайных процессов с непрерывным временем - ветвящихся с переменны;.! режимом процессов, описывающих схемы ветвления частиц, в которых интенсивности размножения и гибели частиц меняются вместе с изменением числа частиц, существующих в момент деления. Изучение вероятностей вырождения этих процессов, исследование предельного поведения процессов при различных режимах размножения и регулирования интенсивностеп превращения частиц.

.Методика исследований. В диссертационной работе разработан новый метод исследования предельного поведения случайных процессов,, описывающих схемы Еетвления, в которых интенсивности размножения и гибели частиц произвольна образом зависят от числа частиц, существующих в момент деления. Суть метода состоит в следующем. Вначале изучаются ветвящиеся с переменным режимом процессы, описывающие схему ветвления с конкретной зависимостью интенсивностей превращения частиц от числа частиц, существующих в момент превращения. Затем устанавливается, насколько могут отличаться интенсивности превращения частиц в ветвящемся с переменным ретаглом процессе с

произвольной зависимостью от числа существующих частиц интенсив-ностей превращен!!;!, от интенсивностей превращений в изученных процессах, чтобы асимптотическое поведение згих двух классов процессов совпадало.

Научная новизна. Предложенный метод исследования позволил провести асимптотический анализ поведения новых классов случайных процессов, описываюпих схемы ветвления со стабилизирующимися с ростом численности частиц интенсивностями превращения и схемы со стремящимися к нулю с ростом численности частиц интенсивностями гибели и размножения.

Полностью исследовано асимптотическое поведение случайных процессов, описывающих схему ветвления с обратно пропорциональной численности регулировкой интенсивностей гибели и размножения частиц при докритическом, критическом и надкритическом режимах размножения и докритической, критической и надкритической регулировками.

Проведен полный асимптотический анализ случайных процессов, описывающих схемы ветвления с обратно пропорциональной численности регулировкой интенсивноотей превращения частиц, допускающей возможность иммиграции частиц.

Полностью изучено предельное поведение ветвящихся с переменным режимом процессов, описывающих развитие популяции частиц в лийитирующей среде, которая позволяет развиваться ограниченному числу частиц, без иммиграции и с иммнграцие!и

Предложена методика использования тауберовых теорем для асимптотического анализа поведения функций со степенной скоростьп стремления к нулю.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертационной работе методы исследования и полученные результаты служат осново!: для асимптотического анализа случайных процессов, етп'сырлг»."их сх'рчч ре г прения с :!3"рчяг:з51лся при изУ!чен;ти числен-

ности существующих частиц интенсивностями гибели и- размножения частиц. Эти результаты могут найти непосредственное практическое приложение при анализе конкретных схем с изменяющимся режимом ветвления, которые реализуются во многих физических, химических, микробиологических процессах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семина-. pax Ин-та математики АН Украины, Московского университета, на секции теории вероятностей и математической статистики при ученом совете Ин-та математики АН Украины, на выездном заседании Украинского республиканского семинара по теории вероятностей и математической статистики (Львов,1987), на школе-коллоквиуме по теории случайных процессов в Косове (1990), на II Донецкой конференции "Вероятностные модели процессов в управлении и надежности", на советско-шведсксы симпозиуме по ветвящимся процессам в Киеве( 1990), на ЗУ, У1 советско-японских симпозиумах по теории вероятностей и математической статистике, на Ш, 1У Международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике, на I Всемирном Конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им. Я.Бернулли.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 47 работ, из них 18 работ составили основу диссертации. Список этих работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, раздела некоторых предварительных сведений и 10 параграфов, разбитых на пункты и сосредоточенных в 2 главах, приложения и списка литературы, включающего 65 наименований. Объем работы - 269 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Формулируемые ниже теоремы имеют те не номера, что и в диссертации. Нумерация лег.и, теорем следующая: первая цифра соответствует номеру главы, вторая - нсыеру параграф, третья - t;c;.;epy пункта.

Во введении дается обзор исследований по тематике диссертации, обоснование актуальности работа, перечень основных, результатов.

В § I гл.1 дается определение ветвящегося с переменнш режимом процесса и его физическая интерпретация. Приводится вид инфинитези-мальных характеристик марковских процессов, описывающих рассматриваемые в диссертационной работе схемы ветвления и указываются связи этих схем с изученными в работах других авторов схемами ветвления.

Ветвящимся с переменным режимом случайным процессом называем случайный процесс, описывающий численность популяции частиц, которые размножаются по такой схеме. Если в некоторый момент времени t существует к чаотиц, то каждая частица независимо от других частиц и своей предыстории за малый промежуток времени (t, t *&t) может превратиться в ж- частиц, пь = 0,2,3,..., с вероятностью 3t(k)iit + о(&t) и с вероятностью / At *■ oat),

-У X (к), частица продолжает существовать. Возникшие час-

1 ™ tri

т. И

тицы размножаются по описанной выше схеме.

В § 2 гл. I рассматриваются ветвящиеся с переменным режимом процессы, описывающие схему ветвления с интенсивностями превращения частиц £ (к ), которые следующим образом зависят от числа существующих частиц:

при пь а Ы, л V /,

= 1

где N - некоторое целое положительное число, N>1 ,

п*0 ттЫ ' ' к

Ветвящийся с переменным режимом случайный процесс, описывающий схему ветвления с такими интенсивностями превращения частиц, будем обозначать через

В п.1 5 2 докапана регулярность такого процесса. Для изложения результата ясслелсрзн::ч щ опессз введем аледзтпяе обозначения:

В. (О - , <р (л) - I хт(к)*т,

У т = о г. т

ро (ч и тгй

VI *т'*п . Фа. а) - решение уравнения, т =

Ф(о,л) = .

г^ 7 &г

В дальнейшем будем использовать Такую терминологию. Величины

будем называть интонсивНост'ям!! 'размножения, а ът - интен-сивностями управления.

Процесс будем называть докритическим, если у'а) < 0; критическим, если . й надкритическим, если <$'а) > о.

Управление процессом будем называть докритическим, если f'(^)<0; критическим, если = 0 , и надкритическим, если > 0.

В п.2 5 2 рассматривается докритический процесс 4^). Показано , что вероятности вырождения такого процесса при любом управлении равны единице, Изучена асимптотика Вероятности вырождения процесса и предельное поведение процесса при условии его невырождения.

Теорема 1.2.2. Если |/"т|<°°,

то

1. 1)пь Р. С¿3 =1.

2. При f(A)¿0 ДЛЯ

6 СО, П

1- Р (Ъ =к-е СЛ + оа)) ' нри Ь ю I

ГДе « . . Ф(№ -1

корень уравнения ^

I* /ехр{-5Ь | ^а}{(фао))сИ = О,

причем {)< и < 0 •

3. Существуют пределы ¿¡пи ^—-а » к>0 , и их производящая функция имеет следующий вид:

В п.З § 2 гл.1 изучается поведение критического процесса при надкритическом управлении. В этом случае вероятность вырождения и поведениа процесса при условии нейырогдения существенно зависит от величины параметра ^Г = —„ •

Теорема 1.2.3. Пусть ср'(1) = 0, ср'"({) < со,

Тогда:

1. Если г^ 1 , то {¡т Р. (¿) = í.

0 ^ —со

2. Если р > 1 , »о ( у.

л/л / /р; йда Р,(Т) =-¡----

3. Еслй 0< ]"■< ! , то при { — •=<>

Р£осМ = оШ) •

4. Если ^ = I , то при г^ —

5. Если 0< 1 .то

6. Если / , то

В п.4 § 2 исследуется поведение критического процесса <£ (t) в условиях, когда не предполагается нонечность второй производной функции cf(¿) при s = ¡ , В этом случае управление мало влияет на поведение процесса» Будем обозначать через LL W - медленно меняющиеся функции.

', i i Теорема 1.2.4. Пусть у<з) = (1-з) ¿ (i-A), 0<J<i, | f(f)H

Тогдаi

I. lint P¿ í t) — ¿ и при t —oo

1-Pt lt)-(¿*fW>¿ ¿á<t)(i+oCD),

ГЛЭ exp { fj™ dx?fdv- exp-í- {ÍUH. c/ul .

JB f(v) г l J cp(x) J r L J cpca) J

В п.5 § 2 рассмотрено поведение надкритического процесса изучена вероятность вырождения такого процесса и его предельное поведение при t — °° •

Через CJ обозначим наименьший неотрицательный корень уравнения ipca) = 0.

Теорема 1.2.5. Пусть cj>'(i)>0, |f'(l)|<°o .Тогда: I. При f(£p с 0 ? ^

UpIfM^li^L

J Г L , (ftu) ->

1¡*1 R(t;= -V

2. При f(ij) = 0

J сf(u) J f(V)

t — OO

3. При случайная величина 4 (t) exp {- cjj'C <) t }

слабо сходится к случайной эеличине £, с преобразованием Лапласа такого вида:

tfts) х IHS)

где tf(s)- решение уравнения

vis) .

Г г f(x)-<f'(t)(x-i) ■)

г 1 -j ср(х)(Х-0 J

va)

fs) = exp{ ' функция < t) определена своим преобразованием Лапласа:

ФЬп

<f(U)

p(s) =

lo =>0

s I exo i - si + ,

i <P<«>

Заметим, что процесс ¿,(t) при положительных z^ , «î,V , описывает схему размножения частиц с иммиграцией, которая прекращается тогда,когда число частиц в системе равно нули, причем судьбы всех частиц независимы.

Такие схемы ветвления с дискретным временем изучались в работах Иванова В.Г. и. Е.Сенеты (1985) , Е.Сенеты и Г.Та-вары (1983) . Аналогичные схемы ветвления с непрерывным временем в критическом случае изучались в работах А.М.Зубкова ( 1972 ) к В.А.Ватутина (1977) .

Приведенные результаты § 2, касающиеся асимптотического поведения вероятностей вырождения процесса и его предельного поведения при условии невырождения, совпадают с результатами работ перечисленных выше авторов.

Результаты § 2 опубликованы В работах [ 9, 10 ] .

В § 3 рассматривается процесс , описывающий количество

частиц в популяции, в которую возможен приток частиц извне управляемый случайным механизмом. Существующие и иммигрировавшие частицы размножаются по описанной в 5 2 схеме. Иммиграция частиц происходит по такому закону. За малый промежуток времени (£,<: + л £ ) в популяцию иммигрирует /и. частиц с вероятностью £ лt + о(лО , т. = 1,2,..«, и с вероятностью 1 + £-, ¿Л +■ иммиграция

со '

Не происходит, £, = - У £

' , гН

т» I

Будем обозначать 1

Р. (Ь = 15(0)=1} , игш - I ^л п, /Ън) г^«;.

В теореме 1.3.1, п.1, § 3 доказана регулярность процесса у(Ъ и получено представление для производящей функции переходных вероятностей процесса

В соответствии с классификацией § 2 ветвящийся с переменным режимом процесс с иммиграцией будем называть докритическим,

если у'(1)<0 \ критическим, если с, и надкритическим, если ср'Ш = 0 .

В п.2 § 3. изучено поведение докритического процесса-при £ — со •

Теорема 1.3.2. Если ср'с/ХО, у"(0< <х>,иг'а)<ы 1Г(()|<°°, то существуют пределы с/'т Р., (с) = р и и производящая

^ — ОО 1К 'К

фикция имеет следующий вид:

т)= г р Л ехр■[й'4 - р М ехр { /^¿Д ^, кТД ' / ГоХуср) <?(*) J

где ^ ^

а п.З § 3 рассматривается критический процесс . Харак-

тер поведения такого процесса существенно зависит от соотношений между интенсивностями иммиграции и управления.

Теорема 1.3.3. Пусть у>'а)*0 • Тогда:

I. Если 0<4<1, иг'<1)<<=°, |р'(()|<м,

то существуют пределы . - .

(¡т Р., (П = Р

И их производящая функция имеет вид!

I . . *

1 / ^ Р0 = ехР'{ (< * Я^ехР { №}<*») •

2. Если к'(1)<0, ¿1к'(1)1(^"({))~' < 1, у'"(1) <<*>, щ-"ах<х>. \ Г"(<)| < , то существуют пределы

¿:>п р., сЬ -р

<х> 'к >к

и их производящая функция Имеет вид

К*)» = 1 ♦ Гехп(

к~о 'к í ní ] Гтуи»

_ > Г е,-р{ /м Л

\ Г«) ^ ^ га)уш> /

3. Если k'(i) = Q, <f"(i)< со, ur'Yl)<«>> |f"(í)l<°°» Т° fu г,(Ъ

t со l n t

4. Если h'(i)>0, Cf"(0<co, ur'Vl)<co, lf"(i)l<

то

DJ Zfíd) \ i f -u 5-t, f zh'ti) hm Pi-^-<£ v(D)=l\=—— le a da, ■

1 cp"(l)t J J Г(&) i <ря(П

В п.4 исследуется предельное поведение надкритического процесса р (-t)

Теорема 1.3.4. Если f\{)>0 , If'(Í) |<«> , и/'<1)<°°, то при t -— со случайная величина tj(t) exp cf'cot} слабо сходится к случайной величине ij , преобразование Лапласа которой имеет вид

M expfsg} - exp{ J^c/u} - J«p{J^ du]

где v(s) - решение уравнения

vts-) .

' j-^-s-expíj m-<r«><*-n\dx ,

1 сf(x)(x-j) J

Преобразование Лапласа функции Р. (i) имеет вид

' t • ^ ' Jexp j-st ♦ J к (Ú?Lu,o))du.J Ф (t, 0)dt

С -st — , ,, o o

e p d)dt

" ín

<-*-' I

о о

Результаты, изложенные в § 3 опубликованы в работах [ 1г> ], Отметим, что при к>3)±0 процесс описывает численность по-

пуляции частиц, размножающейся с интенсивиостями ,/«=0,2,3,...,

не зависящими от числа существующих частиц,а иммиграция частиц происходит лишь тогда, когда н(Ь=0 • Поведение такого процесса изучено в работе Ямазато ( 1975 ). Представление для преобразования Лапласа предельного распределения нормированного процесса в надкритическом случае в цитированной работе отлично от представления в теореме 1.3.4. Б критическом случае доказана предельная теорема, аналогичная утверждению 3 теоремы 1.3.3.

Поведение критического ветвящегося процесса с дискретным вре-мененм с иммиграцией, зависящей от состояния процесса и происходящей в те моменты времени, когда процесс находится в нулевом состо-янии^изучено в работе Фостера ( 1971 ) .¿Пейкс{}'( 1971) , .(1975) изучил поведение такого процесса в докритическом и надкритическом случаях.

В § 4 рассматривается ветвящийся с переменным режимом процесс СЬ) , описывающий схему ветвления с интенснвностямл превращения частиц Ои (к) , которые следующим образом зависят от размера попу-

ляции ;

* >*- 0.1.2,..., Л- /.2,...,

со оа

Я, - Х„ г, - - I , г0Ф о.

т=0, т=0.

т*!

тф/

Процесс ¿.^ (отличается от процесса £ -"ишь тем, что в схеме ветвления, которую описывает процесс , интенсиБностя

гибели частиц ^^ зависят от числа существующих частиц. Введем следующие обозначения:

р'Ло = РЦ^)-/ = <} , у К) =

Ч

1 у'; и

п(х) - ^(г) р = —-

т=о

В п.1 5 4 доказана регулярность процесса и получено

представление для производящей функции переходных вероятностей процесса С О •

В п.2 § 2 рассматривается критический процесс (Ъ с докри-тическим и критическим управлением. Изучается вероятность вырождения такого процесса и его поведение при условии невырождения, когда \ — со .

Теорема 1.4.2. Если у'сО-О, срСЫ*2£/)<°°,

то

\.-1,т P">(t)=i и при

где ^ (уЗЗ - некоторая константа, а^ (0) ~ •

г 4 т

¿-«-СО

В п.З 5 4 исследуется поведение критического процесса с надкритическим управлением. Изучена вероятность вырождения процесса, асимптотика вероятности вырождения и поведение процесса при условии невы'рождения при различных интенсивностях надкритического управления.

Теорема 1.4.3. Пусть = |^'(()|<«>, ср"(0<°о. Тогда:

. (Ц

1. Если , то ¿¡т. Р а) = I и при

в-1 ¿-с**0

а) ¡-Р/'Ь)-С^рЬ* (1 + биу) .когда 0</><{,

Л-/,.

<« « i

6) i-R it) = CM) tat + o(i)) .когда a = i. to > J

2. Если li>i ,io -fim. p'i}(i) = С , гда

J CO 10

Mi fS^W tf

p *

c = —-?-

MI (тъ-Я*)«-«* w

0 0(t,O) 1

3. Если i , to

4. Если /б>-/ , то

Г ¿fi (t) ") i Г -u

tfm. Pi-1—<a; 4it)>0,£ (0) = lV =77-r-J e a da

J. . 1 rn"fl\t I I j I (/J j

f-^OO 1 f"(J)t

. В n.4 § 4 изучается вероятность' вырождения й поведение критического процесса "Р11 условии невыролдения без предположения существования второй производной функции tfcz.) при <? = i .

Теорема 1.4.4. Если f(A)=(i-Jt)'txCLi(f-Ji),0<al<i)liji'(i)l<°o. Тогда»

1. ¿¡т. р(t) = / и при t—co

{-~<=о 10

« /

{ ИХфЪ)"9<и) 1 ¿W м{елр{'3^(1)0-ф(( 0))}U(t)>0,4/0) = i} = i-s{i

¿-—ОО 1 ' I 1 I

В п.5 § 4 исследуется поведение надкритического процесса 4 вероятности его вырождения при различных интенсивностях управления.

Теорема 1.4.5. Пусть ср'(П>0 .Тогда:

I. Если ^)<0 , то ^

А« Л) - -Ч ' Г

_ /Л с'

¿0 Г Г г> т(и) ,1 с!г

г' С Р т(Ю , 1 й

ср(»)

2. Если = <7 , то ¿,т. Р^' (Ь) = ^ ' .

3, Если ^(^¿0 , то при ¿■-•-со случайная величина <^СОехр-[-с|/((Ц} слабо сходится к случайной величине 4", » причем

Х , Л ,„ ^

Г1 I-1 г иуаи J /жру г1/ ^ ¿17 '

где ГС5) - решение уравнения

У«)

1< у(Х)(х-1)

(О ' I

функция р^ (г) определена своим преобразованием Лапласа

Р. е Р. (Ы*--1-V-

о -

о <■ уи/

В заключение отметим, что при положительных значениях величин , ш.= 0,2,..., процесс описывает схему ветвления частиц с миграцией и с отключающейся в нуле иммиграцией, прячем судьбы каллой частицы независимы. Такие схемы ветвления ни с дис-

крепшм временем, ни с непрерывным временем не изучались.

Результаты пунктов 1, 2 5 4 опубликованы в работ щ [ g J f результаты пунктов 3, 4 опубликованы в работе [ 7 J .

В § 5 главы I рассматривается ветвящийся с переменным режимом процесс с иммиграцией у (t) , описывающий численность популяции частиц, в которую возможна иммиграция частиц , Существовавшие и иммигрировавшие частицы размножаются по описанной в § 4 схеме. Иммиграция управляется случайным механизмом. За малый промежуток времен^ (t* t + &t) в популяцию иммигрируют ж. частиц с вероятностью ¿т at +■ о (&t) , rua 1,3,... . Иммиграции не происходят с вероятностью i *£ *■ O(At) , • Введем

m = i

обозначения:

p"'(t) = P{yffi>-^5 (O)-lJ , «г<я)-1 гтст , .

J 1 т-0

tfl(2) = tl(3) -ipc*) tjxx) + XUTU) .

В n.I 5 5 доказана регулярность процесса yf(t) и получена представление для Производящей функция переходных вероятностей процесса Jfyft) . Исследовано предельное поведение докритического процесса t]f (i ) ■

Теорема 1.5.2. Если ср'ш<0, if"(l)< <=о, | ip'i/J то существуют пределы -lim. Р , k = 0,1,».., и их проиэ-

t~oo ik к

водящая функция имеет вид

?? i. Г Гт(и) il Г Г Гт(и) , 1 fw /

lf?k ' - Ра J е*Р 11 Т^Г) du\ FfâT)d» '

Ро = 0 " M" •

В п.2 $ 5 рассматривается поведение критического процесса при различных интенсивностях управления. Введем обозначения: а 2 + Уц)) _

Т е о р е м а 1.5.8. Пусть у'Ш =■О . Тогда:

I. Еслй , 1)1<аа • ш-'(П<оа и -1<а < О ,

ю существуют пределы Д^^ = и их производящая функция и^еет вид;

22 1. ^ г С , ■) / _)

«((/-Фам ^'(^ыХФа.од-шЬ)(ф^У м .

г. Если ч>"(1)<ос} , |||»'(/)|<со » и д<о, усо)>о,

то

% ГСХ} £0 Гк \ ршЛ . р1 } иуШ) 1^(1»

3. Если < <=о , | у "(1)|< , IV "(1)< и а=0 , то при 0 * сС £ {

в г £п п,(Ь I !

{¡т. р\ —<о< м(0)-=1^ = оС.

со сп, Ь 1->/ ->

4. Если у"со<:со , иг'а)<°° и а > о , то

£Е

^со 1 1 ' 1 Г(а) I

5. Если = IU-Я), 0<u<i, ur'<i)<°°, lf'n)l<°o,

существуют пределы fi m. p'^tt) = p и их производящая фунн-

f со lk [k

то

ция имеет вид:

со

F«>- Z*kP» -p fexpI ÇmOLdu}d»,

HfT0 lk rl^UCf(u) J loi rl£uf(U) J 0(f(!)J

<0 \ g I L ¿Uf(U) J /

a,

В n.3 § 5 изучается предельное поведение надкритического процесса y

Г е о p е м а 1.5.4. Если <f'(1)>0, <f"(l)<oo, |f|/(0|<°o, urbUc^ m(tj) 0 , то случайная величина ij(i)&xp {- t </>'<!) J слабо сходится при t—°° к случайной величине , причем

W t^Ts) ж tfsj

M ехр{-59)} = expi - U{ i^al^L p'ffluX

где V(S) - решение уравнения

i

r r axxi-cpwa-D , i ■1- з S exp j J ^^ .

преобразование Лапласа функции P^J (t) примет вид :

' " LUî/a-^c/'" jn ?sf_w , ' - Ф^(и) ?

R«)= le P ct)di w J m

¿0 oo ? ^

mcp ff'ff) '

Следует отметить, что при положительных значениях величин т =0,2,3,..., процесс у^Ь) описывает схему независимого размножения частиц с миграцией, т.е. возможна иммиграция частиц в популяцию и единичная амиграция. Под единичной . эмиграцией подразумевается, что если в популяции в момент времени t существует к частиц, то аа время (Ь, с вероятность« гр а{ + о(ь г)

исчезает одна определенная частица из к существующих частиц.

Такие схемы ветвления о миграцией частиц с дискретным временем при конечной дисперсий распределения числа потомков изучались в работах В.А.Ватутина (1977) ,» С.В.Нагаева и Л.В.Хан (1980) I Л.В.Хан (1982) , С.В.Каверина (1985) . •

Изложенные в 5 6 результаты опубликованы в работе автора

С 12 ].

0 } б главы I рассматривается ветвящийся с переменным режимом процесс 4г(М , описываящий схему ветвления, в которой интенсивности Превращения Чав*иц (к) таковы, что существуют пределы Ьт. « X, 0,1,2,..., т.е.

¿ —ОО

аа

йт. y U)-tf(A), tf>kU) = X £т(к)Цт, (f(i)= X Ят.*п ■ it—-оа т=а т=0

Кроме того, зависимость интенсйвностей превращения частиц от числа существующих частиц предполагается таковой, что существует предел

¿im, k(ij> (я)-f (&))•* . к—00

В дальнейшем будем придерживаться терминологии предыдущих параграфов и функцию будем называть производящей функцией ин-тенсивностей размножения, функцию tf>(.z)- производящей функцией интенсйвностей управления.

Процесс £, (t) будем называть критическим, если (p'(j)-O. Управление будет называться докритическим, если l)<0 j критическим, если tp'a) = o , и надкритическим, если if'(i)>0.

3 n.I § 6 доказывается регулярность процесса ^Ci) и находится представление для производящей функции переходных вероятностей процесса.

В п.2 § 6 рассматривается критический процесс при до-

критическом управлении. Изучается асимптотика Вероятности вырождения такого процесса и его предельное Поведение при условии невырождения. Введем обозначения:

R.'^PiytHlyobi},

Теорема 1.6.2. Пусть cf'(l)-О, -«> < if>'(t) < О, <р"(1)<°о, Cf>(0) + ijj(0)>0 ' Тогда, если

il) (3) ~(1*8-р)

а> tin I sup к (ср (S)-Cf(Z) - -Ц;-)а-я) < СО

к>А 1к К

при некотором <5" > ;

б) (-Ок(<рк(£)-у(Ю- > О для k»i прицелом j3 ;

в) | +

ТО при t - оо .

i- Р = e-irfji r(i+oa)),

mo m

где C^JM- некоторая константа, i И при S>max(ojtp)

tin U (Ь>0, 4 = w } = е'* .

1 Cf"(0t 1 2 г J

В п.З § б рассматривается поведение критического процесса A d) при критическом и надкритическом управлении различной интенсивности. Изучена вероятность, вырождения такого процесса, ее асимптотическое поведение, предельное поведение процесса при ус-

ловии его невырокдения, Введем обозначения;

to /J—1—

ntk

i k'i

a "sup I ХЛк)\£~'(к), - yea) + Ф(2.).

1 0 '

T«opeut 1,6,3. Пусть tf>'U) - 0, <°о ,04 у'сОсоо, (j>(0) + y(O) > О

l Феи) , -1-е tint sup Л |ф, (И-С1Ш- —- |Ci-Ä) <С<°о,£>0.

Тогдаj

. (2J

!. Если Oe&zi , то ¿W Pm0 •

y ¿-«-co

2. Если Ji>i ; (q> ¡я)-tfU)-для /с-И , то

hm p(2)(t)~t,

" H t ^^¿и«*-*»»/*

о фа,а) 7

3. ЕйЛИ О <. Jb < i , £ > i-jb , TO при t — <*>

■j-p^ (t)= dcpytf'a + Qd)) .

4. Если уЭ =» i , то при i 00

i - P = oVO Сi f or/)) .

mo

5. Если ü<Jb&i , £ > i-jb , то

t~co l сf>"Ci)i 12 3

6. Если ^a > J , то

Результаты § 6 опубликованы в работах Ё 14,17 ] .

Следует отметить, что аналог процесса в классе про-

цессов с дискретным временем рассмотрен й работах Р.Хепфнера (1985-86) и Ф.Клебанера ( 1984 ). В этих работах приводятся достаточные условия вырождения та:(их процессов с вероятостьв единица и меньше единицы. Отметим, что более сильные результаты такого рода дои этого класса процессов получены в работе А.М.Зубкова (1974)« 0 упомянутых работах Хепфнера и Клебанера изучено асимптьтическое Поведение вероятностей вырождения и поведение процессов при условий невырождения в критическом и надкритическом слу<йе, При более Частном виде зависимости производящей функции вероятностей размножения частиц от размера популяции.

Во второй главе изучаются ветвящиеся с переменным режимом процессы, описывающие схему ветвления, со стремяфшйей к нуля ин-тенсивностями превращения частиц.

В § I глаЕЦ 2 .рассматривается случайный процесс ^(£), описывающий схему ветвления, в которой интенсивности превращения частиц ЗС^Ск) следующим образом зависят от Числа существующих частиц:

к

где N - некоторое фиксированное, целое, положительное число. Введем обозначения:

9

П* 1

т? 1

р - наименьший неотрицательный корень уравнения у (-2)

О.

По аналогии о главой I процесс будем называть докри-

тическим, если (f>'(i)<0 S критическим, если (f'íi) 0 , и надкритическим, если 4>'(i)>0-

В пЛ é I приводятся альтернативные физические интерпретации

процесса áj,, 11) , получено предогагязнио для производящей функции «. i* *

переходных вероятностей процесса и приведены достаточные условия вырождения процесса с вероятностью единица и с вероятностью меньшей единицы«

В п.2 í I рассматривается поведение процесса ¡uN (t) в критическом и надкритическом случаях, изучено поведение процесса при условии невыроадения, когда t со •

Теорема 2,1.2. Пусть ср'(Я<°о . Тогда:

1. Если cj>'U)>0 , to

2. Если (f'ii)-O, <f"(i)<co , то при

lint, P-Í JL-,-<xl/a ,(t)>0,AJ = fue 2 da .

t-co ^bfli) i '(/V o

3. Если NcfU)"Cl-£)1*U¿l(is), 0<d<i, то при

oo

Г Г г rf-i /

= i-s(i*oL)exp[-s }Jexp{-ií }u du ■

s

В п.З § I исследуется докритический процесс u,(t). Изучено поведение процесса при условии невырождения, когда t — •

Теорема 2.1.3. Если гр'«)<0 , Лт* -1-,

. г N £ср(с)

I. /и(Ь>Р,М V - йбя) = -!-

?1<1>

где СМ - корень уравнений л - •= О .

о г | сц'а)

В § 2 главы II рассматривается ве*вЛциЙся с переменгШ релином процесс с иммиграцией • олйсывшящий количество Частиц в популяции, в которую возможен Приток частиц ИавНо. За малый промежуток времени (t, Ь + д к) в популяции иммигрируют гн частиц с вероятностью и ^ д г1 + о сд £,) , «г = й с ёеройтностью

со

1 ю^д I + о Сд£) частицы не иммигрируют в популяцию, <Чтг'

Существовавшие в популяции частицы и иммигриройавмйе частицы размножаются по описанному в § I главы П закону» Введем обозначения:

оо

игш = I й Нср'а)*-иг'(Н.

т=а

В п.1 §'2 дается физическая интерпретация процесса Од, Ш и получено представление для производящей фуйкцйй переходньЬс вероятностей процесса.

В п.2 § 2 изучается поведение Процесса ^(М ^ри различных значениях интенсивности 1&в,шЬраций.

Теорема 2.2.1. Пусть ({>'({>< со ^ иг'(!) < <=в . Тогда: I. Если а>0 , то

со "

11

0 При х. < I (

1 при ос г 1 .

2. Если а-0 , ч>ла)<оо , иг*(1)< са , то

«¡С Ц^"

от

¿ — «3

с = ну'и) * г ш'<ч) + иг" со ■

3. Если а < О I то

у»

к'О

и м{* --- ,

* ГА'^ед (-'¿г игш)

где р , Ь 0,1^2,4.,, N-1 , - решения системы уравнений:

¿-0,1,2..... N-2,

Ы-1

Ну'аии/'а)

Гк

Б § 3 главы II рассматривается бетвящийся с переменным режимом процесс (¿) * Ьписывающий схему бетвления, в которой интенсивности превращении Частйц (к) произвольным образом зависят от числа существующих частиц» Но стремятся к нулю с увеличением численности популяций до бесконечности.

Изучена Вероятность вырождения такого процесса й поведение процесса при условий небырождения, когда £ «> . Обозначим:

%(*>-1*(к), Р- т * Р{?(Ь и(0)=¿}.

т*0 '

Теорема 2»ЗЛ. Пусть - последователь-

° ■ " ОО

ность неотрицательных чисел гаМх, что -со<Х(=-^Г %т, у'(1)<°0'

гдо ср«)

= 1 Ьп

. Тогда'.

т'О т+1

а*»

I. Если Мт I (у>--г) < С < °о, 8>0

где J3 - наименьший неотрицательный корень уравнения fia.) - 0 . то г р (t) = рт .

f—са ПО J

2. Если Cj>'(i) > О и

îitn Sup |'1с<р (3£)-С|>62)|(у>-»г) <0г<°О, 8>0,

^ J^ k > t

iinb^ sup \кук(Ю-уш\а-2)(1 U< C3<°o, et > О ,

tîm. M-[exp[--—| j(u(0)^mj = expf-s^Vijjfi-/>"') +J>n .

3, Если сf'(i) = 0 , cp"(1)<°o H t. i .

сип sup | k(t cs)-cf(3)l(l-s) <£^<oo, £ > о ,

et i U Л 1 k

то при

Ùk р{-L

,11 (t)

¿—со L f(f"(t)t

1 < X

'] * fli(û) = m > = i-exp{- j-J.

и при к —

/ I f J J /foi

4. дели (fU)~(t-A) ¿(i-n\Û<c(<i>s\(^=a-s) ¿к(1-1\Ы,

к1.ка-я)-10а-я)-0(с к 0<Е<а,

Ж, (к)

где

, То при /

i

Um {exp {- ^ rt )Ci - Pmoa» Г(тйг)3 \f(t)>0,(J(O)~m}

0(3

= 1 С1+сС)ехр{-5 }/ехр{-ц .

з

В § 4 главы И рассматривается ветвящийся с переменным режимом процесс с иммиграцией , описывающий изменение количества частиц в популяции, когда ц популяцию возможен приток частиц извне, управляемый случайный механизмом. За малый промежуток времени (t,t+лt) в популяцию иммигрируют т частиц с вероятностью

I *.., И с вероятность«) ^ *■ и)0 лt ^ o(i^t)

иммиграция не происходит, ит . Существовавшие и иммиг-

т*1

рировавшие чаотицы размножается по описанной в § 3 схеме. Изучено предельное поведение Процесса при £со ■

. Введем обозначения!

оа

У т-0

Т е о р е м а 2i4.il, Пусть Ха,Х>,Х,,..г последователь-

сх} '

иость чисел т&кая* что -оо<$* £ , ср'({) <гм , где

оо т'0

ЧЫ-1Хплп . Тогда!

1. Если иг'(1)<°о , 1- иг'П) = ¿7 и

А* гир Ы й)-и«)|(1-г) <<?<ед, £ > О, £ — 1 к»1 тк 7 2 то . ^ 2

с - ^"(1) ♦ г и/'а) +

2. Если ш'(1)< (о, = 0(аы)1и), ■*->-{ , ы>0 и

Оп^ вир 1куки)-уи)1(1-4) Сг<°о, р >0 ,

то

Результаты §§ I, 2 главы П опубликованы в работах [I - 5], результаты § 3 глайй П опубликованы в работе [lö|, § 4 - в работах Сб. 15] .

В Приложении приведены конкретные примера физических и микробиологических процессов, в которых реализуются Изученные в диссертационной работе схема ветвления.

Основные положения диссертаций опубликованы в следующих работах:

1. Бойко Р.В. Предельные теоремы для одного ветвящегося процесса с переменным режимом // Вероятностные методы бесконечномерного анализа. - Киев: Ин-т математики АН УССР, • 1980. - С. 13-24..

2. Бойко Р.В. Ветвящиеся процессы о иммиграцией в стимулирующей среде // 1У ооветско-японский симпозиум по теории вероятностей.-Тбилиси, 23-29 авг. 1982 г.: Тез.докл. - Тбилиси: Мецняереба, ■ 1982. - С. 232-233 (англ.).

3. Бойко Р.В. Предельные теорема для одного ветвящегося процесса с переменным режимом с иммиграцией // Укр.мат. журя. - 1982.-№ 4. - С. 488-492.

4. Бойко Р.В. Предельные теоремы дня ветвящзгося процесса о переменным режимом, описывающего развитие популяции в лимитирующей среде // Там же. - 1982.-й 6. - С. 681-687.

5. БоРко Р.В. Периоды жизни ветвящегося процесса с иммиграцией в стимулирующей среде // Там же. - I983.-Ji 3. - С. 283-289.

6. Га'.':ко Р.В. О предельном поведений одного ветвящегося с переменным режимом процесса // Проблемы теории вероятностных распределений. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. - С. 3-II.

7. Бойко P.B. Поведение ветвящихся процессов со стабилизирующимся режимом ватрления // Некоторые вопросы теории случайных процессов. - Киев: Ин-т математики АН УССР, IS84. - С. 16-27.

8. Бойко Р.В. О поведении ветвящихся процессов в стимулирующей среде // Случайные процессы. Теория и практика. - Киев: Ин-т математики АН УССР, IS85. - С. 14-22.

9. Бойко Р.В. Предельное поведение ветвящегося процесса в лимитирующей среда // Аналитические Методы в теории надежности. - Киев: Ин-т математики АН УССР> 1685. - С. 3-14.

10. Бойко Р.В. Поведение Ьетвящегося процесса с бесконечной дисперсией в лимитирующей среде // Укр.мат. журн.-19Э5. - 37, Jfä,-С. 280-285.

JI. Бойко Р.В. Предельные ?еорема Дня ветвящегося процесса со стабилизирующимся режимом ветвления // IУ Международная конф. по теории вероят. и Mat. статистике. - Вильнюс, IS65: Тез.докл.-Вильнюс: Ий-т математики и кибернетики АН ЛитССР, 1985. -С. 90-91.

Í2. Бойко Р.В. Поведение ветвящихся процессов о идаиграцией в стимулирующей среДэ // Укр.мат. журй. - 1985. - 37, №4. - С. 424429.

13. Бойко Р.В. Предельное доведение ветвящихся процессов со стабилизирующимися режимами ветвления // I Всемирный Конгресс Общества математической статистики и теории вероятностей им. Вернули. -СССР, Ташкент, 1986! Тез.докп. -М.: Наука, 1986. - T.I. -

С. 431.

14. Бойко Р.В, Дв1 грайичн! теореми для гЬшястого процесу 1э зм!н-ним режимом // Доп. АН УРСР. Сер.А. - 1986 7. - С. 3-6.

Í5. Бойко Р.В. Предельные теореми для ветвящегося о переменным режимом процесса // Теория вероят. и мат . статистика. - Киев: КГУ. - 1986.-* 35. - С. 6-ДЗ.

16. Бойко Р.В. О предельном распределении ветвящегося процесса со стабилизирующимися с роотом численности интенсивностями больших превращений частиц // Избранные задачи современной теории случайных процессов. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1988. -С. 13-17.

37. Бойко Р.В. Ветвящиеся процессы со стабилизирующимся режимом ветвления // Теория вераят. и юг. статистика. - Киев: КГУ, 3988.-й 38. - С. 9-36.

38. Бойко Р.В. Асимптотическая эквивалентное«, ветвящихся с переменным ре км ом процессов // УЗ еойетсяо-япойокиЙ симпозиум по теории вероятностей и математической статистика. - Киев, 5-10 авг. 1993 г.: Тез.докл. - Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. - С. 23.