Генерация течения и поведение частицы около пузырька в колеблющейся жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

на правах рукописи

005004186

Клименко Людмила Сергеевна

ГЕНЕРАЦИЯ ТЕЧЕНИЯ И ПОВЕДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ОКОЛО ПУЗЫРЬКА В КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

Специальность 01.02.05 - "Механика жидкости, газа и

плазмы

- 1 ДЕК 2011

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь-2011

005004186

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного национального исследовательского университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Любимов Дмитрий Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Братухин Юрий Клавдиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Перминов Анатолий Викторович

Ведущая организация Кубанский государственный университет,

г. Краснодар

Защита состоится 20 декабря 2011 г. в 17°° на заседании диссертационного совета Д212.189.06 в ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Буки-рева, 15, зал заседаний Ученого совета ПГНИУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета; электронная версия доступна на сайте ПГНИУ по адресу: www.psu.ru.

Автореферат разослан 1 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

В.Г. Гилев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование вибрационного воздействия на поведение неоднородных гидродинамических систем, содержащих пузырьки, представляет фундаментальный интерес благодаря разнообразию наблюдаемых эффектов. Одним из таковых является возникновение осредненных течений, мало меняющихся за период вибраций. Генерация таких течений хорошо изучена около твердой поверхности и поверхности раздела, в то время как около свободной поверхности, которой является поверхность пузырька, вопрос исследован не в полном объеме.

Дополнительный интерес к подобным гидродинамическим системам, содержащим пузырьки, обусловлен их широким использованием в различных технологических процессах. Так, при флотационном обогащении руды важную роль играет взаимодействие пузырька с твердыми частицами, однако существующие теории процесса флотации либо носят эмпирический характер, либо не содержат последовательного учета влияния внешних полей.

Названные причины обусловливают актуальность теоретического исследования генерации течений и поведения частиц около пузырьков в вибрационных полях. Решению этих проблем и посвящена данная работа, выполненная в рамках развиваемого Пермской гидродинамической школой направления, связанного с изучением поведения неоднородных систем при воздействии вибраций.

Исследования, представленные в диссертации, выполнялись при поддержке грантов РФФИ (06-01-00693, 07-01-00695) и НОЦ «Неравновесные переходы в сплошных средах» (РЕ-009).

Целью диссертационной работы является построение теории взаимодействия пузырька с частицей во внешнем вибрационном поле и изучение механизмов генерации течений около пузырька.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые: • получены выражения, описывающие среднее течение около газового пузырька в вязкой несжимаемой жидкости под действием малоамплитудных вибраций. Обнаружено существование среднего течения даже в условиях отсутствия деформаций поверхности;

• найдены эффективные граничные условия для касательных напряжений на искривленной свободной поверхности;

• изучен вклад нового механизма в генерацию около искривленной поверхности раздела, получены эффективные граничные условия для скачка касательных скоростей и напряжений на искривленной поверхности раздела;

• исследовано влияние высокочастотных малоамплитудных вибраций на поведение твердой частицы около пузырька, найдена средняя сила, действующая на частицу, и построены траектории ее движения;

• получено сечение захвата оседающих частиц пузырьком в зависимости от типа колебаний пузырька и параметров вибраций.

Автор защищает:

• результаты исследования влияния вибраций на течение жидкости вблизи газового пузырька;

• аналитические выражения для эффективных граничных условий на искривленной свободной поверхности и искривленной поверхности раздела;

• результаты исследования течений около и внутри капли жидкости, помещенной в другую жидкость, под действием малоамплитудных вибраций;

• результаты исследования поведения твердой частицы в окрестности пузырька в вибрационном и гравитационном полях.

Достоверность результатов диссертационной работы обусловлена корректностью физической и математической постановки задач, использованием апробированных аналитических и численных методов, подтверждается сравнением результатов, полученных различными способами, согласием в предельных случаях с результатами работ других авторов.

Научное и практическое значение работы. Полученные результаты расширяют существующие представления о механизмах генерации течений около свободной поверхности и искривленной поверхности раздела. Аналитические выражения для эффективных граничных условий могут быть использованы для решения задач о генерации средних течений около поверхностей раздела любой формы. Результаты исследования поведения частиц в пульсационном поле около пузырька, могут быть использованы для совершенствования технологических процессов, в частности, ультразвуковой флотации.

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 15 работах, из них 1 статья в научном журнале из перечня ВАК.

Личный вклад автора. Постановка задач, выбор метода решения, обсуждение и интерпретация результатов по первым двум главам проводились совместно с научным руководителем, по третьей главе совместно с научным руководителем и Т.ПЛюбимовой. Аналитические выкладки и численные расчеты проводились автором, за исключением учета монопольной моды колебаний пузырька, который был сделан совместно с научным руководителем и Т.П. Любимовой.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на отчетной научной конференции студентов и аспирантов ПГУ (Пермь, 2004); конференциях НОЦ «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2004-2007, 2010); XIV, XV и XVII Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 2005,2007, 2011); Международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Москва, 2008); конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках научной школы «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2010); V Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2010); семинаре лаборатории минералургии и окружающей среды Национального политехнического института Лотарингии (Нанси, Франция, 2011); на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого (2010,2011).

Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы и общую характеристику работы, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (115 наименований). Общий объем диссертации составляет 174 страницы, включая 53 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение. Во введении обосновывается актуальность темы и дается общая характеристика работы. Представлен обзор экспериментальных и теоретических работ, связанных с темой диссертационной работы. Обзор показывает, что, несмотря на большой объем исследований, остается неизученным влияние кривизны поверхности на генерацию средних течений около поверхности раздела и

влияние внешних вибраций на поведение твердых частиц около поверхности

5

пузырька. Сделан вывод о необходимости создания моделей и теорий, объясняющих и описывающих генерацию течений и поведение включений около пузырьков под действием вибраций.

Первая глава посвящена изучению генерации средних течений вблизи свободной искривленной поверхности.

Одно из интересных проявлений действия вибраций - возникновение осред-ненных эффектов. Так, в динамическом пограничном слое около твердой стенки, обтекаемой неоднородным пульсирующим потоком, происходит генерация средней завихренности. При этом на внешней границе пограничного слоя средняя касательная скорость отлична от нуля и ее значение может быть использовано в качестве граничного условия при нахождении среднего течения в основной области движения. Для плоской поверхности раздела двух жидкостей дополнительно существует механизм генерации Дора, определяющий эффективные касательные напряжения. В случае свободной плоской поверхности оба указанных выше механизма не работают, но при наличии деформаций поверхности появляется механизм генерации Лонге-Хиггинса, заключающийся в том, что средние течения формируются бегущими по свободной поверхности волнами.

В диссертационной работе найден новый механизм генерации, связанный исключительно со средней кривизной поверхности, нечувствительный к пульса-ционным деформациям.

Для этой цели исследовано поведение газового пузырька, взвешенного в заполняющей все пространство жидкости. Предполагалось, что вдали от пузырька жидкость движется поступательно по гармоническому закону с амплитудой Ъ и частотой а. Вязкость и плотность газа в пузырьке считались исчезающе малыми, что позволяет пренебречь движением газа. Предполагалось, что окружающая жидкость и газ в пузырьке несжимаемы.

Задача характеризуется тремя управляющими параметрами: е = Ь/а — безразмерная амплитуда вибраций, 5 = ^'(у/со)112 - безразмерная толщина пограничного слоя Стокса и число Вебера - - ртга'¡у, где р, V - плотность и кинематическая вязкость жидкости, а - радиус пузырька, у - коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Рассматривались вибрации малой амплитуды, что позволяет считать параметр е малым и искать решение в виде разло-

6

жения по этому параметру. Параметры 3 и \Уе предполагались конечными. Анализ проведен для двух вариантов геометрии: цилиндрического и сферического пузырьков.

В главном порядке разложения показано, что пузырек движется без искажения формы, определены скорость пузырька и пульсационное течение жидкости. С увеличением вязкости жидкости от нуля до бесконечности отношение скоростей пузырька и окружающей жидкости убывает от трех до единицы.

Во втором порядке разложения вокруг пузырька возникает стационарное течение, причем пульсационные деформации поверхности не влияют на генерацию этого течения. Таким образом, среднее течение возможно и тогда, когда поверхность недеформируемая.

Среднее течение генерируется в вязком пограничном слое около пузырька и распространяется за его пределы. Картина течения имеет вид двух симметричных тороидальных вихрей (рис.1).

В пределе высокочастотных вибраций получены формулы, задающие величину вязких напряжений на внешней границе пограничного слоя. Для случая сферического пузырька:

а \а)

где и = Збгузт £/г =

1 ди

адЭ

Для цилиндрического пузырька выражение для эффективных каса-Рис. 1. Картина среднего течения. Штриховкой тельных напряжений отличается выделено сечение пузырька лишь числовым множителем. Эф-

фективные напряжения, независимо от рассматриваемой геометрии, пропорциональны квадрату кривизны поверхности и кубу толщины пограничного слоя Стокса. В отличие от генерации около твердой поверхности вязкость существенно входит в результат: при вязкости, стремящейся к нулю, исчезает и генерация. Таким образом, генерация среднего

течения возможна не только около твердой поверхности, но и около свободной

7

поверхности. Поскольку пограничный слой около свободной поверхности менее выражен, а около плоской свободной поверхности вообще отсутствует, то априори можно было ожидать, что генерация должна быть слабее. Это действительно так, в чем можно убедиться, сделав простые оценки, основываясь на полученных выше результатах. Около твердой поверхности генерация описывается формулой Шлихтинга, задающей величину касательной компоненты скорости на поверхности

3 1

4 со

Для касательной компоненты средней скорости на свободной поверхности из выражения для эффективных касательных напряжений можно получить следующую оценку

ш а

Видно, что отношение средних скоростей для свободной и твердой поверх-

5 „ „

ностеи пропорционально —, что является малой величинои. Принципиально, а

однако, что генерация средней завихренности около свободной искривленной поверхности все же отлична от нуля.

Во второй главе изучено влияние кривизны поверхности на генерацию средних течений около поверхности раздела в ситуации, когда работают и обычные механизмы, не связанные непосредственно с кривизной.

Изучение проводилось на примере конкретной задачи. Рассматривалась капля жидкости, взвешенная в заполняющей все пространство жидкости отличной плотности. Течение жидкости внутри и снаружи капли создавалось внешним вибрационным полем с амплитудой смещения жидких частиц Ь и частотой т. Предполагалось, что как окружающая жидкость, так и жидкость в капле несжимаемы.

Как и в первой главе, рассматривались вибрации малой амплитуды, что позволило применить к нахождению среднего течения метод малого параметра, а для нахождения эффективных граничных условий метод сращиваемых асимптотических разложений.

В результате получено, что внутри и снаружи капли возникает стационарное течение, причем деформация поверхности не влияет на его генерацию. Таким образом, как и для генерации около свободной искривленной поверхности, среднее течение возможно и тогда, когда поверхность недеформируемая. Полученные картины среднего течения для разных наборов параметров показывают, что прослеживается следующая тенденция: чем больше вязкость одной из сред, тем более вероятно появление двухэтажной вихревой структуры в другой среде (рис.2, рис.3).

Рис. 2. Изолинии функции тока окружающей и внутренней жидкости

ПРИ Рг!{Рх + Рг) = °-8> + "2) = а8> 6 = 0Л

Рис. 3. Изолинии функции тока окружающей и внутренней жидкости

При Р2/(Р1 + рг) = 0.2, + и2) = 0.2, 6 = 0.1

Определены эффективные граничные условия для скачков касательных скоростей и касательных напряжений. Показано, что при сравнимых плотностях и вязкостях жидкостей основные механизмы генерации аналогичны механизмам Дора и Шлихтинга, в то время как влияние кривизны является вторичным фактором. Однако численные значения безразмерных коэффициентов в формулах для скачков средних скоростей и напряжений зависят от формы поверхности, поэтому перенос известных граничных условий для плоской поверхности1 на искривленную поверхность ошибочен даже в случае большого радиуса кривизны.

Эффективные граничные условия для искривленной поверхности раздела получены в векторном виде, что позволяет их использовать для поверхностей любой формы:

лами пограничного слоя на поверхности раздела, <Имг - двумерная дивергенция. Чертой сверху обозначена операция осреднения за период вибраций.

В случае, когда отношение плотностей жидкостей является величиной второго порядка малости по сравнению с амплитудой вибраций, вклад механизма генерации, описанного в первой главе и связанного с кривизной поверхности, становится существенным и в случае поверхности раздела. Это было продемонстрировано на задаче о газовом пузырьке. В отличие от случая, рассмотренного в первой главе, теперь учитывается движение газа внутри пузырька.

Методом сращиваемых асимптотических разложений получены выражения для скачка касательных скоростей и напряжений на внешней границе погранич-

Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов A.A., Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М.: Физматлот, 2003, 216 с.

п, 1 ААлЯУ^ (

Здесь V - скорость пульсационного движения внешней жидкости за преде-

ньгх слоев, эти выражения могут быть использованы в качестве эффективных граничных условий:

5

4 со

ииг,

где использовано обозначение и =ЪЬсо$т9 для амплитуды касательной скорости пульсационного движения внешней жидкости за пределами пограничного

г, 1 ди слоя, С/, =--.

' а д9

Третья глава посвящена теоретическому изучению влияния вибраций на поведение твердой частицы около колеблющегося пузырька. Интерес к данной проблеме вызван не только ее фундаментальным значением, но также возможностью применить результаты для интенсификации процессов флотации с помощью ультразвукового воздействия.

Изучалось поведение одиночной твердой тяжелой частицы вблизи газового пузырька, помещенного в несжимаемую жидкость (рис.4). Рассматриваемая система находилась под действием силы тяжести и внешнего вибрационного поля. Вибрации считались поступательными и гармоническими с амплитудой Ь и частотой со. Частота полагалась высокой, в том смысле, что толщина пограничного слоя, внутри которого происходят диссипативные процессы вязкости и теплопроводности, много меньше как радиуса пузырька, так и частицы. Таким образом, для описания

Рис. 4. Конфигурация задачи. 1 - твердая

частица, 2 - газовый пузырек. Ум =Ьа>]соьт —скорость вибраций, V -скорость вешшвания пузырька, § - ускорение свободного падения

пульсационного течения вокруг пузырька и частицы использовалась модель идеальной жидкости.

На частицу действуют силы тяжести, Стокса, Архимеда и средняя сила, созданная вибрационным потоком2. Полное уравнение движения частицы с учетом ее инертности, осредненное по временам, большим по сравнению с периодом вибраций, имеет вид

где ps - плотность частицы, р, т) - плотность и динамическая вязкость жидкости, Rp - радиус частицы, U - скорость жидкости в отсутствие частицы, V -

скорость пульсационного потока около частицы.

Поле пульсационной скорости включает внешнее поле и рассеянные поля монопольного и трансляционного движения:

Здесь Vw4 = bcoj cos at - скорость пульсационного потока вдали от пузырька,

с Зр

Ь,со - амплитуда и частота вибраций, а>0 -— —- - собственная частота коле-

ль\ Р

баний пузырька, Rb - радиус частицы, pg - плотность газа в пузырьке, с - скорость звука в газе.

Траектории движения частицы в вертикальной плоскости, проходящей через направление вибраций, представлены на рис. 5. В отсутствие вибраций, на расстоянии от пузырька порядка его диаметра, влияние пузырька на движение частицы незначительно, траектории частицы почти вертикальны. Добавление вибрационного воздействия приводит к искажению траекторий, и при некотором значении параметров вибраций частица начинает притягиваться к поверхности пузырька.

2 Любимов Д.В., Заичкин Е.В. Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: №д-е Перм. ун-та, 2001. Вып. 2. С. 97-109.

Рис. 5. Траектории движения частицы. 1 - в отсутствие внешнего течения, 2 — Ьа> = 1.88м/с, 3 — Ьа) = 0.94м/с, 4 -Ыи = 0.62м/с, 5 - Ьа> = 0.47м/с, 6 - в отсутствие вибраций. При этом р5/р = 2. Вибрации направлены вдоль оси абсцисс, тяжесть - вдоль оси ординат тенсивности нарушает осевую симметрию и приводит к значительному росту сечения захвата.

Полную картину влияния вибраций на эффективность соударения можно получить, используя понятие сечения захвата, то есть области, при попадании в которую частицы будут притягиваться к поверхности пузырька (рис. 6). В отсутствие вибраций и без учета инертности частицы сечение обладает осевой симметрией. Вид такого сечения представлен на рис. 6 (область 1). Добавление вибрации, даже небольшой ин-

з / Г" / \ 2 /

/ : *

да X ЯВ-*■

к>(<)

Рис. 6. Сечения захвата: область 1 - в отсутствие вибраций и инерции, область 2 - в отсутствие вибраций и с учетом инерции, область 3-е учетом вибраций и инерции (Ьа> = 0.62м/с). Штриховая линия - проекция поперечного сечения пузырька

ОСНОВНЫЕ "РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

найден новый механизм генерации средних течений в пульсационном потоке около свободной искривленной поверхности, не связанный с деформациями поверхности;

в высокочастотном случае получены эффективные граничные условия для среднего течения, содержащие в явном виде вязкость жидкости и кривизну поверхности;

показано, что в случае поверхности раздела сред новый механизм генерации сравним по эффективности с механизмами типа Дора и Шлихтинга при большой разнице плотностей сред;

вычислены силы, действующие на тяжелую частицу в жидкости около пузырька в высокочастотном вибрационном и гравитационном полях, и найдены траектории ее движения;

показано, что умеренные вибрации могут приводить к многократному увеличению сечения захвата осаждающихся частиц всплывающим пузырьком.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах и трудах конференций

1. Клименко Л.С., Любимов Д.В. Генерация среднего течения в пульсационном потоке около искривленной поверхности раздела // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, №4, 2011, С. 951-953.

2. Клименко Л.С., Любимов Д.В. Генерация среднего течения пульсацион-ным потоком около цилиндрического газового пузырька // Вестник Пермского государственного Университета, Серия: Физика, Пермь, 2011, Вып. 1,С. 9-13

3. Любимов Д.В., Солдатова Л.С. Генерация среднего течения около свободной искривленной недеформируемой поверхности // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая), Сборник статей, ч. 2, Пермь, 2007, С. 328-331.

4. Любимов Д.В., Солдатова Л.С. Генерация среднего течения около искривленной свободной поверхности, Гидродинамика: Межвуз. Сб. науч. Трудов. Пермь, 2007, Вып. 16, С. 174-186.

5. Любимов Д.В., Клименко Л.С. Генерация среднего течения около искривленной свободной поверхности // Всероссийская конференция молодых

ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах», материалы конференции, 2007, С. 222 - 225.

6. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Клименко Л.С. Конвекция около тела в устойчиво-стратифицированной среде // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», материалы конференции, 2008, С. 155 - 158.

7. Любимов Д.В., Клименко Л.С. Генерация среднего течения около искривленной поверхности раздела // Труды XVII Зимней школы по механике сплошных сред, Пермь, 2011, С. 36-45.

Тезисы конференций

8. Любимов Д.В., Солдатова Л. С. Термокапиллярный дрейф в вибрационном поле // Конференция молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах». Тезисы докладов. Пермь, 2006, С. 70-71.

9. Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р., Soldatova L.S. Vibration effect on thermoca-pillary drift a bubble // ELGRA News. Bulletin of the European Low Gravity Research Association, 2007, № 25, P. 89.

{(¡Любимов Д.В., Клименко Л.С. Генерация среднего течения около свободной искривленной поверхности // Межвузовская научно-практическая конференция «Физика для Пермского края», Тезисы докладов, 2008, С.

11.Любимов Д.В., Клименко Л.С. Генерация среднего течения пульсацион-ным потоком около искривленной поверхности раздела // Научная школа «Нелинейные волны», тезисы докладов, 2010, С.58.

12.Клименко Л. С., Любимов Д.В. Генерация среднего течения около искривленной поверхности раздела газ-жидкость в пульсационном потоке // V Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, 13-17 сентября, п. Дюрсо, тезисы докладов, 2010, С.45-46.

13. Klimenko L.S., Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р. Convection in steady thermal stratified medium // The International Summer School "Advanced Problems in Mechanics", July 1 - 5, 2010, St. Petersburg (Repino), Russia, Book of abstracts, P. 53

\4.Клименко Л.С., Любимов Д.В. Генерация среднего течения в пульсационном потоке около искривленной свободной поверхности и около искривленной поверхности раздела // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тезисы докладов, Пермь, 2010, С. 35.

15.Клименко Л.С., Любимов Д.В. Генерация среднего течения около искривленной поверхности раздела // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь, 2011, С. 157.

Подписано в печать 16.11.2011 г. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ "3 Ь7. Типография Пермского государственного национального исследовательского университета 614990, г.Пермь, ул.Букирева, 15.

17-18.

61 12-1/333

пермский государственный национальный исследовательский университет

На правах рукописи

Клименко Людмила Сергеевна

ГЕНЕРАЦИЯ ТЕЧЕНИЯ И ПОВЕДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ОКОЛО ПУЗЫРЬКА В КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор д.в. Любимов

Пермь-2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.........................................................................................................3

Общая характеристика работы..........................................................................3

Обзор литературы...............................................................................................8

Глава 1. Генерация среднего течения около искривленной свободной

поверхности.......................................................................................................26

Постановка задачи............................................................................................26

Сферический пузырек ......................................................................................32

Цилиндрический пузырек................................................................................46

Метод сращиваемых асимптотических разложений ....................................55

Заключение........................................................................................................69

Глава 2. Генерация среднего течения около искривленной поверхности

раздела...............................................................................................................72

Генерация на капле...........................................................................................72

Метод разложения по малому параметру ......................................................77

Метод сращиваемых разложений ...................................................................95

Генерация на газовом пузырьке.................................................................... 103

Заключение......................................................................................................11В

Глава 3. Взаимодействие пузырька и твердой частицы в вибрационном

поле.................................................................................................................. 120

Постановка задачи..........................................................................................120

Траектории движения безинерционной частицы........................................128

Учет инертности частицы..............................................................................132

Учет монопольной моды................................................................................ 139

Заключение...................................................................................................... 151

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................... 153

Приложение к первой главе........................................................................... 154

Приложение ко второй главе............................. ............................................160

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..............................................................................164

ВВЕДЕНИЕ Общая характеристика работы Актуальность работы. Представленная работа выполнена в рамках

развиваемого Пермской гидродинамической школой направления,

связанного с проблемой генерации течений и поведения включений под

действием вибраций. Исследование вибрационного воздействия на

поведение неоднородных гидродинамических систем, содержащих

пузырьки, представляет фундаментальный интерес благодаря

разнообразию наблюдаемых эффектов. Одним из таковых является

возникновение осредненных течений, мало меняющихся за период

вибраций. Генерация таких течений хорошо изучена около твердой

поверхности и поверхности раздела, в то время как около свободной

поверхности, которой является поверхность пузырька, вопрос исследован

не в полном объеме.

Дополнительный интерес к подобным гидродинамическим системам,

содержащим пузырьки, обусловлен их широким использованием в

различных технологических процессах. Так, при флотационном

обогащении руды важную роль играет взаимодействие пузырька с

твердыми частицами, однако существующие теории процесса флотации

либо носят эмпирический характер, либо не содержат последовательного

учета влияния внешних полей.

Названные причины обусловливают актуальность теоретического исследования генерации течений и поведения частиц около пузырьков в вибрационных полях. Решению этих проблем и посвящена данная работа.

Целью работы является построение теории взаимодействия пузырька с частицей во внешнем вибрационном поле и изучение механизмов генерации течений около пузырька. Научная новизна результатов

- получены выражения, описывающие течение около газового пузырька в вязкой несжимаемой жидкости под действием мало амплитудных вибраций. Обнаружено существование среднего течения, даже в условиях отсутствия деформаций поверхности;

- найдены эффективные граничные условия для касательных напряжений на искривленной свободной поверхности;

- изучен вклад нового механизма в генерацию около искривленной поверхности раздела, получены эффективные граничные условия для скачка касательных скоростей и напряжений на искривленной поверхности раздела;

- исследовано влияние высокочастотных малоамплитудных вибраций на поведение твердой частицы около пузырька, найдена средняя сила, действующая на частицу, и построены траектории ее движения;

- получено сечение захвата оседающих частиц пузырьком в зависимости от типа колебаний пузырька и параметров вибраций.

Автор защищает:

- результаты исследования влияния вибраций на течение жидкости вблизи газового пузырька;

- аналитические выражения для эффективных граничных условий на искривленной свободной поверхности и искривленной поверхности раздела;

- результаты исследования течений около и внутри капли жидкости, помещенной в другую жидкость, под действием малоамплитудных вибраций;

- результаты исследования поведения твердой частицы в окрестности пузырька в вибрационном и гравитационном полях.

Практическая ценность. Полученные результаты расширяют существующие представления о механизмах генерации около свободной поверхности и искривленной поверхности раздела. Аналитические выражения для эффективных граничных условий могут быть использованы для решения задач о генерации средних течений около поверхностей раздела любой формы. Результаты, касающиеся поведения частиц в пульсационном поле около пузырька, могут быть применены для совершенствования технологических процессов, в частности, ультразвуковой флотации.

Достоверность результатов диссертационной работы обусловлена корректностью физической и математической постановки задач, использованием апробированных аналитических и численных методов, подтверждается сравнением результатов, полученных различными способами, согласием в предельных случаях с результатами работ других авторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на отчетной научной конференции студентов и аспирантов ПГУ (Пермь, 2004); конференциях НОЦ «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2004-2007, 2010); XIV, XV и XVII Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 2005, 2007, 2011); Международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Москва, 2008); конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках научной школы «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2010); V Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2010); семинаре лаборатории минералургии и окружающей среды Национального политехнического института Лотарингии (Нанси, Франция, 2011); на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого (2010, 2011).

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в работах [115], одна из которых опубликована в издании, входящем в список ВАК. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы и дается общая характеристика работы. Представлен обзор экспериментальных и теоретических работ по теме диссертационной работы. В первой главе обсуждается генерация среднего течения в пульсационном потоке около свободной искривленной поверхности. Описан новый механизм генерации, не связанный с пульсационными деформациями поверхности. В высокочастотном случае получены эффективные граничные условия для среднего течения, содержащие в явном виде вязкость жидкости и кривизну поверхности.

Во второй главе изучалась конкуренция нового механизма с известными механизмами генерации около искривленной поверхности раздела жидкостей со сравнимыми плотностями. Получены картины среднего и пульсационного течения для разных наборов параметров. Определены эффективные граничные условия для скачков касательных скоростей и касательных напряжений. Показано, что при сравнимых плотностях и вязкостях жидкостей основные механизмы генерации аналогичны механизмам Дора и Шлихтинга, в то время как влияние кривизны является

вторичным фактором. Найдены условия, при которых вклады нового механизма генерации и уже известных сравнимы.

В третьей главе исследовано движение тяжелой частицы около газового пузырька под действием высокочастотных малоамплитудных вибраций. Рассматриваемая система находится в несжимаемой жидкости при наличии гравитации. Изучен вклад различных составляющих рассеянного на пузыре пульсационного поля в суммарную силу, действующую на частицу. Обсуждается возможность применения результатов для интенсификации процессов флотации с помощью ультразвукового воздействия.

В заключении приводятся основные результаты и выводы диссертационной работы.

Обзор литературы

Генерация средних течений

Первые две главы диссертации посвящены изучению возникновения среднего течения около искривленной поверхности раздела жидкости под действием вибраций.

Как известно, одним из интересных проявлений действия вибраций является возникновение осредненных эффектов. На этом проявлении построен целый раздел механики и теории колебаний - вибрационная

механика [16], берущая свое начало с классической работы П.Л. Капицы [17] о математическом маятнике. Именно он заметил, что при вибрациях системы наряду с быстрым осциллирующим движением в большинстве случаев появляется и медленное, мало изменяющееся за период колебаний. Причем обычно основной интерес представляет именно такое движение. Аналогичное поведение наблюдается и в жидкости. При вибрациях сосуда, содержащего неоднородные по плотности среды, в вязком пограничном слое при определенных условиях возникают медленные осредненные течения.

Впервые такие течения обнаружены при вибрациях твердого тела, погруженного в жидкость. Шлихтингом и другими [18,19] исследован случай генерации таких течений около твердой поверхности, совершающей линейные поступательные вибрации. Показано, что средние течения возникают в тонком вязком стоксовском слое вблизи поверхности, имеют вихревой характер и за счет вязкой диффузии распространяются за пределы этого слоя. Методом осреднения получены уравнения и эффективные граничные условия для течений такого типа. В [20] задача о генерации средних течений вблизи твердой поверхности обобщена на случай непоступательных вибраций.

Много работ посвящено генерации в звуковом поле. Еще Релеем [21] при объяснении аномального скопления песка у основания вертикально колеблющегося цилиндра и пыли на стенках звуковых труб, наблюдаемых

50 годами ранее Фарадеем [22], была отмечена интересная особенность такой генерации: скорость среднего течения не зависит от вязкости, хотя именно из-за вязкости это течение и образовалось. Это факт связан с двоякой ролью вязкости: с одной стороны, уменьшение вязкости приведет к уменьшению вихреобразования, но, с другой стороны, время жизни вихрей увеличится. Таким образом, в установившемся течении вихри одинаково существенны как при малой вязкости, так и при большой.

Стационарные вихревые течения, образованные в поле стоячей звуковой волны при наличии твердых препятствий или стенок, получили названия акустических течений. Их подробное описание можно найти в [23, 24], а простейший пример акустического течения около плоской твердой стенки в [19]. Основные теоретические исследования в этой области проведены в работе [25], где был использован метод малых возмущений, в работах [26,27] результаты были получены с помощью метода асимптотических разложений, а в работе [28] численно.

Примеры экспериментального наблюдения таких течений внутри твердой сферической полости можно найти в работе в [29], а около твердой сферы в работе [30], результаты которой хорошо согласуются с теоретическими предсказаниями, сделанными в работе [31].

Аналитические решения для среднего течения при вибрациях малой амплитуды и высокой частоты получены в работах [32-34], среднее течение было получено также в экспериментах [32, 35-37].

Брадли [38] было исследовано влияние на генерацию среднего течения около твердой стенки наличия акустических источников. Как указывается в работе [39], главное отличие работ Брадли и Ниборга [19] заключается в том, что Брадли рассмотрел источники, движущиеся преимущественно непрямолинейно.

В работе [40] была сделана успешная попытка применить приближение вязкого пограничного слоя к неньютоновской жидкости. Были получены уравнения осредненного и пульсационного движения дилатантной жидкости в пограничном слое вблизи твердой стенки. Найденное в этой работе эффективное граничное условие для продольной компоненты скорости было применено к модельной задаче для бесконечного цилиндра.

Интерес к проблеме акустических течений возле твердой сферы снова возник из-за его возможного использования в объяснении механизма слуха у рыб. Предыдущие модели слуха [41,42] утверждали, что рыба распознает звук через прямую стимуляцию звуковым потоком волосковых клеток, расположенных во внутреннем ухе. Однако эти модели не объясняют, почему геометрия внутреннего строения уха такая сложная и зачем нужно такое большое количество волосковых клеток. В работах [37, 43] предложено другое объяснение. Авторы считают, что ухо рыбы выполняет функцию так называемой "слуховой сетчатки", т.е. плотно упакованные волосковые клетки распознают картину течения, созданную акустически

индуцированным потоком (средним течением), так же, как на сетчатке глаза происходит визуализация светового пучка.

В попытке понять структуры акустического течения и его значение в моделировании слуха у рыб, была разработана испытательная камера [37]. Результаты, полученные в таком эксперименте, были численно проверены в работе [44].

Другими особенностями обладают средние течения, генерируемые около в среднем плоской свободной поверхности жидкости и поверхности раздела несмешивающихся жидкостей. Для случая малоамплитудных волн такие течения были изучены Лонге-Хиггинсом [45] и Дором [46]. Механизм генерации Лонге-Хиггинса заключается в том, что средние течения формируются бегущими по свободной поверхности волнами. В какой-то мере этот механизм был известен еще Стоксу, проявляясь в его теории волнового увлечения. Для поверхности раздела существуют два механизма: Шлихтинга, фактически такой же, как и для твердого тела, и Дора, определяющий эффективные касательные напряжения. Показано [47], что генерируемые около поверхности раздела средние течения, как и в случае твердой поверхности, имеют вихревой характер и распространяются за пределы скин-слоя. Различие с генерацией около твердой поверхности заключается в следующем. Осреднение пульсационных движений в стоксовском слое вблизи твердой поверхности

приводит к эффективному граничному условию, определяющему касательную к поверхности тела компоненту скорости. В случае свободной поверхности и поверхности раздела такая операция приводит к дисбалансу касательных вязких напряжений. Изучение влияния механизма Шлихтинга (дисбаланс касательных скоростей) на генерацию средних течений вблизи поверхности раздела проведено в [47, 48]. Показано, что хотя это влияние, вообще говоря, мало, в некоторых ситуациях его недоучет может привести к существенным неточностям. В [47] были так же исследованы средние течения, генерируемые вибрациями в изотермической жидкой зоне со свободной поверхностью, при высокочастотных вибрациях одного из торцов. В результате было получено, что структура среднего течения имеет вид одного доминирующего вихря. Этот вихрь индуцируется поверхностными волнами, распространяющимися от колеблющегося торца.

В [49] генерация среднего течения около свободной поверхности изучена для трехмерного случая, под действием вибраций немалой амплитуды. Поверхность жидкости считалась плоской и деформируемой. Задача решалась методом деформации координат. В результате были получены эффективные граничные условия, описывающие такого типа течения. Они хорошо согласуются с результатами, полученными в [45] для завихренности в частном случае двумерного течения.

Позже средние течения были изучены в связи с потоками в кровеносных сосудах [50], улиткообразными звуковыми волнами в ухе