Графы TI-подгрупп, расширения и автоморфизмы графов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Зюляркина, Наталья Дмитриевна
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Екатеринбург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2015
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
ЗЮЛЯРКИНА Наталья Дмитриевна
Графы Т7-подгрупп, расширения и автоморфизмы
графов
01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
1 7 И:0Н 2015
005570132
Екатеринбург - 2015
005570132
Работа выполнена в отделе алгебры и топологии IIMM УрО РАН
Научный консультант:
доктор физ.-мат. наук, член-корр. РАН МАХНЕВ A.A. Официальные оппоненты: Казарин Лев Сергеевич,
доктор физико-математических наук, профессор ФГАОУ ВПО Ярославский государственный университет заведующий кафедрой
Журтов Арчнл Хазешович,
доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой ФГАОУ ВПО Кабардино-Балкарский государственный университет, заведующий кафедрой
Попомарепко Илья Николаевич, доктор физико-математических наук, Санкт-Петербургский филиал Института математики им. В.А. Стеклова РАН, ведущий научный сотрудник
Ведущая организация:
ФГАОУ ВПО Уральский федеральный университет
Защита состоится 2 июля 2015 г. в 14 ч. 00 м. на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 по защите диссертаций па соискание ученой степени доктора наук при ИММ УрО РАН по адресу: 620990, Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, д. 16.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИММ УрО РАН и на сайте ИММ УрО РАН ЬМр://"vvww.imm.uran.ru
Автореферат разослан ¿¿3. О Г" 2015 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук
Белоусов И.Н.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Теория графов и теория групп тссио связаны на протяжении всей истории своего развития.
С одной стороны, различные виды симметричных графов были построены с помощью известных групп. Отметим в качестве примера сильно регулярные графы ранга 3, связанные с действием группы на множестве, граф Гевиртца, построенный с использованием силовских 3-иодгрупп и инволюций из Л6 и т.д.
С другой стороны, информацию о группе можно получить исходя из строения связанного с пей графа. В связи с этим упомянем диаграммы Дынкнна для групп лиева типа, граф Грюнберга - Кегеля, построенный при помощи простых делителей порядка грз'п-пы, графы коммутирования и т. д. Заметим также, что группа может быть описана как группа автоморфизмов заданного графа. При этом свойства группы будут определяться структурой графа и наоборот.
Одним из методов исследования групп является анализ свойств определенным образом подобранных подгрупп данной группы. Аналогичный метод применяется и в теории графов, когда параметры графа определяются на основе изучения специальных подграфов данного графа.
В (¡иду этого особый интерес представляют методы построения и наследования графов, связанных с группами, по характеристикам которых можно судить о строении группы. Кроме того, важно иметь в своем распоряжении способы получения информации о строении группы автоморфизмов заданного графа, в частности о простых делителях порядка этой группы.
Цель работы. Целью работы является изучение графов коммутирования циклических Т/-подгрупп порядка 4 в группах, близких к простым, исследование групп автоморфизмов полутреугольных графов Хигмена и описание графов с заданной локальной структурой.
Методы исследований. Основными методами исследования являются теоретико-групповые и комбинаторные методы.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми:
- определены параметры графа коммутирования циклических Т/-подгрупп порядка 4 в группах вида б = F*(G)Л, где обобщенная подгруппа Фиттинга Р'(С) является квазипростой линейной, унитарной, ортогональной или симметрической группой;
- исследованы группы автоморфизмов пол\'треугольных графов Хигмена с /( = б, 7 или
8;
- описаны реберно симметричные полутреугольные графы Хигмена;
- найдены возможные автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {15, 12,0; 1,2,10};
- исследованы сильно регулярные локально решетчатые графы п получено описание сильно регулярных локально р х д-графоп с 2 < р < <?, р < 6;
- исследованы сильно регулярные графы, в которых окрестность каждой вершины является кликовым /^-расширением р х д-решетки, 2 < р < q, и получено опнсаипе сильно
регулярных графов, в которых окрестность каждой вершины является кликовым ß расширением р х (/-решетки, р < 6;
- доказано, что связный граф, в котором окрестности вершин сильно регулярны с параметрами v = (2s2+5s+3)/3, к = (2s2-4s)/3, А = (2s2-13s+24)/3, р = (2s2-10s+12)/3, и s = — 1 (mod 3) не является вполне регулярным графом.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории групп и теории графов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались п обсуждались на алгебраическом семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН, алгебраических семинарах ЧелГУ и ЮУрГУ, а также были представлены на следующих конференциях: VII-X Международные школы-конференции по теории групп (2010 г. Нальчик, 2012 г. Владикавказ,); 40 Всероссийская молодежная конференция (2009, Екатеринбург); Международная конференция «Группы и геометрии», посвященная 80-летию со дня рождения А.Г1. Старостина (2011 г., Екатеринбург); Международная конференция "Алгебра и комбинаторика посвященная 60-летию A.A. Махнева (2013 г., Екатеринбург).
Публикации. Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 14 статей [43-5G] (все в журналах из списка ВАК) и 5 тезисов докладов. Из 14 статей 4 написаны без соавторов, 1 - тремя авторами (Зюляркина Н. Д., Махнев A.A., Падучих Д.В.), остальные 9 в соавторстве с Махневым A.A. Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы, содержащего 61 название. Общий объем диссертации составляет 177 страниц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении даны основные определения н обозначения, используемые в диссертации, обсуждается общая мотивировка решаемых задач, сформулированы основные результаты.
Первая глава диссертации посвящена исследованию групп, содержащих циклическую TI-подгруппу А порядка 4. Изучаются графы коммутирования, построенные на множестве сопряженных с А подгрупп, и определяются их параметры.
Пусть G — конечная группа, А < G. Будем говорить что А является Т1-подгруппой группы G если пересечение А и любой сопряженной с ней подгруппы тривиально. Если А является Х7-подгруппой конечной группы G и \А\ четен, то будем говорить, что А — подгруппа корневого типа, если для любого элемента g Е G, такого что число |/V<t(j49)| четно, индекс \А : Na(A9)\ нечетен.
Конечные группы, содержащие 2-группу А, являющуюся '/'/-подгруппой, изучались М. Судзуки, Ф. Тиммесфельдом, II. Хоггеймом, A.A. Махневым и И.Д. Зюляркиной (см. [37], [30], [1С], [34],[7], [8], [9]). В настоящий момент наименее псследоваными остались случаи
когда А либо циклическая, либо элементарная абелева группа. Заметим, что если А — циклическая группа, то достаточно изучить ситуацию, когда |Л| = 4.
В дальнейшем будем считать, что А — циклическая 77-подгруппа порядка 4 конечной группы (?, порожденная элементом а и а0 = а2.
Одним нз основных методов исследования групп, содержащих Т/-подгруниу, является индукция. Кроме того существенно различаются случаи, когда О содержит компоненты, а когда нет. Так как А норматнзует каждую компоненту группы, то при исследовании групп, содержащих компоненты, вопрос сводится к изучению групп вида С = Р"(С)А, где обобщенная подгруппа Фнттннга является квазнпростой группой. Поэтому для
построения индукционных предположений полезно иметь информацию о том, для каких известных квазипростых групп возможна такая конструкция, и какими свойствами в таких группах обладает подгруппа А.
Отметим, что в случае групп С = ХА, где X = — кпазипростая группа ли-
ева типа, чаще всего встречается ситуация, когда а индуцирует па А' внутренний или внутренне-диагональный автоморфизм. Через А'* обозначим множество расширений группы X таких, что для группы А' из X" любой элемент из Х—Х индуцирует на А' внутренне-диагональный автоморфизм.
Для изучения групп с заданными свойствами можно исследовать связанные с ними комбинаторные объекты (графы, схемы, геометрии и др.) Одним из таких объектов является граф коммутирования.
Если б — конечная группа, А является Г/-нодгруппой группы (3, то граф) коммутирования Гс(Л) определяется следующим образом:
вершинами графа Г(Л) = ГС(Л) являются подгруппы, сопряженные с Л, и две вершины смежны тогда н только тогда, когда они коммутируют.
Особое внимание в теории графов уделяется графам с различными условиями симметричности.
Пусть и является вершиной графа Г. Через Г,(и) обозначим ¿-окрестность вершины и, то есть, подграф, индуцированный Г па множестве всех вершин, находящихся на расстоянии ¿ от и. Положим [и] = Г^и), и1- = {и} и [и]. Подграф [и] будем называть окрестностью вершины и.
Для смежных (различных не смежных) вершин и и ги графа Г обозначим через А(к, т) число вершин в [и] П [¡с].
Граф Г называется регулярным степени к, если для любой его вершины и выполняется равенство |[и]| = к. Граф Г называется реберно регулярным с параметрами (у, к, А) если он регулярен степени к на V вершинах и для любых смежных вершин и и и< выполняется равенство \(и,и>) = А. Граф Г называется кореберно регулярным с параметрами (ь',к,1г) если он регулярен степени к на V вершинах и для любых двух несмежных вершип и и ги выполняется равенство = ¡1.
Граф Г — вполне регулярный граф с параметрами (у,к,Х,ц), если он реберно регулярен с соответствующими параметрами, и [а] П [6] содержит ц вершин для любых двух вершин а, 6, находящихся на расстоянии 2 в Г. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом. Если вершины и, и> находятся на расстоянии г в Г, то через (ы,и;) (через с,(и,ш)) обозначим число вершин в пересечении Г,+1(к) (Гг_1(и)) с [ш]. Граф Г диаметра (/ называется дистанционно регулярным с массивом пересечений {Ьо| ... ,¿><¡-1; С!,. .., сй}, если значения ¿¿(и,1и) и с,(«,«;) не зависят от выбора вершин
и, w на расстоянии г в Г для любого г = 0,..., (1. Граф Г диаметра d называется дистанционно транзитивным, если для любого г Е {0,..., d} и для любых двух пар вершин (и, w) и (у, z) с d(u, w) = d(y, z) = i найдется автоморфизм g графа Г такой, что (и3, wg) = (у, z).
Граф Г называется графом Деза с параметрами (и, к, Ь, а), где b > а, если он регулярен степени к на v вершинах, и [и] П [ш] содержит а или b вершин для любых двух различных вершин и, w из Г.
Если G — группа автоморфизмов графа Г, а — вершина Г, то через Ga обознается стабилизатор вершины а в группе G.
Кликовым (кокликовым) расширением графа Г называется граф, полученный заменой каждой вершины а на клику (коклику) (о), причем разные клики попарно не пересекаются п вершина пз (а) смежна с вершиной из (6) тогда п только тогда, когда а, Ь смежны в Г. Если |(а)| — ß для любой вершины а, то граф называется кликовым (кокликовым) ß-расшнреннем графа Г.
Граф Г называется вершинно (реберно, кореберно) симметричным, если группа его автоморфизмов действует транзнтивно на множестве вершин (упорядоченных ребер, упорядоченных коребер).
Очевидно, что вершшшо симметричный граф будет регулярным, а реберная (коребер-иая) симметричность влечет равенство значений А(u,w) (p(u,w)) для любых смежных (различных не смежных) вершин и и w из Г.
Основные результаты первой главы приведены в следующих теоремах:
Теорема 1.1. Пусть G = ХА, X — частное группы SLn(q) по ее центральной подгруппе, q нечетно и либо G X", либо а0 соответствует инволюции типа 1 или п — 1 из GLn(q). Тогда верно одно из следующих утверждений:
(1) п = 2 и Г(Д) является кокликой;
(2) п > 3, G 6 X', Г(Л) является реберно симметричным графом диаметра 2, но не является кореберно регулярным графом, причем для двух несмежных вершин с ид графа Г (А) число ц{с,д) равно (qn~2 - l)qn'2/{q - 1) или (qn~2 - l)<j""3/(<? - 1);
(3) п > 3, G X' и r(v4) является кокликой.
Следствие 1.1 .Если G = ХА, X — частное группы SLn(q) по центральной подгруппе, q нечетно, п > 2 и а0 соответствует инволюции типа 1 или п — 1 из GLn(q), то граф Г(Л) будет реберно регулярным графом Деза с параметрами
дп'\дп- 1) g"~2(g"~1 - 1) дп~2(дп~2 - 1) дп~3(дп~2 - 1) ( ' <7-1 ' (9-1) ' q- 1
Теорема 1.2. Пусть G = ХА, X — частное группы SUn(g) по ее центральной подгруппе, g нечетно и либо G ф X", либо а о соответствует инволюции типа 1 или п — 1 из Un(q). Тогда верно одно из следующих утверждений:
(1) п = 2 и Г(Л) является кокликой;
(2) п > 3, G Е X", Г(А) является реберно симметричным графом диаметра 2, но не является кореберно регулярным графом, причем для двух несмежных вершин с ид графа Г(Д) число fi(c,g) при четном п paetto qn~3(qn~2 — 1 )/(q + 1) или qn~2(qn~3 -f 1 )/{g + 1), а при нечетном п равно qn~3(qn~2 + 1 )/(q + 1) или qn~2(qn~3 — 1 )/{q + 1);
(3) п > 3, б £ Л'*, и Г(Л) является кокликой.
Следствие 1.2.Если б = А'Д, А' — частное группы 5(по центральной подгруппе, д нечетно, п > 2 и а0 соответствует инволюции типа 1 или п — 1 ил ип(д), то граф Г(Л) будет реберно регулярным графом Деза с параметрами
дп'Н<1п- 1) дп~2(дп~1 + 1) д"-2(д"-3 + 1) дп~3(дп-2 - 1) 9 + 1 ' 9+1 ' (9 + 1) ' 9 + 1
для четного п или
д"-Ччп + 1) дп~2(дп~1 - 1) д"~3(д"-2 + 1) дп~2(дп~3 - 1) ^ 9+1 ' 9+1 ' 9+1 ' (9+1) ]
для нечетного п.
Теорема 1.3. Пусть X — это П2т+1(д), 9 = 1(4), т > 2 и а0 соответствует инволюции типа 2 ил 02т+\{д). Тогда граф Г(<4) являет.ся реберно симметричным, по не является кореберно регулярным. Число вершин данного графа равно д2т~1(д2т — \)/2(д—\), параметры реберной регулярности к и А равны соответственно д2т_3(д2(т_1' —1)/2(д —1) и д2т*5(д2<т"2) — 1)/2(д — 1). Для различных несмежных вергиин с и д параметр ц.{с,д) притшает одно из следующих значений:
(1) д2т-5((?2(т-2) _ 1)/2(д - 1);
(2) д2(-"-2)(9—1 - 1)(д"-2 + 1)/2(д - 1);
(3) д2(т~2)(дт-1 + 1)(дт~2 - 1 )/2(д - 1);
(4) д2(т-2) ^дТп—2 _ 1)(9т-3 + ^^ _ 1);
(5) + ^(^т-з _ 1)/2(д _ 1);
(0) д2т-3(д2(т-з) _ 1)/2(<7 — 1);
(7) <72т-3(д2'т_2' — \)/2{д — 1).
.Все значения ц{с,д) из пунктов (1)--(7) встречаются в данном граф>е.
Теорема 1.4. Пусть X — это П2т+1(9), 9 = 3(4), т > 2 и а0 соответствует инволюции типа 2 из 02т+1(9). ТогЛг граф Г(Л) является реберно симметричным, но не является кореберно регулярным. Число вершин данного графа равно д2т~х(д2т — 1)/2(д+1), параметры реберной регулярности к и А равны соответственно (/2т_3(д2(т_1) — 1)/2(д + 1) и д2т-ь^2(т-2) _ 1)/2(д + 1). Для различных несмежных вершин с и д параметр р(с,д) принимает одно из следующих значений:
(1) _ \у2(д + 1);
(2) 92<т"- 1)(д"-2 - 1)/2(?+ 1);
(3) <?2("-2)(дт-1 + 1)(9т-2 + 1)/2((? + 1);
(4) д2(-т~2\д™-2 - 1)(дт-3 - 1)/2(9+ 1);
(5) д2(т-2)^,„-2 + 1)(дт—з + 1)/2(д + 1);
(6) 92—3(^—3) _ 1)/2(? + 1);
(7) <72т-3(д2'т~2' — 1)/2(</ + 1).
Все значения ^(с,д) из пунктов (1)--(7) встречаются в данном графе.
Теорема 1.5. Пусть X — это д), д = 1(4), т > 3 и а0 соответствует инволюции типа 2 из 0}т(д). Тогда граф Г(Л) является реберно симметричнглм, по не является кореберно регулярным. Число вершин данного графа равно —1)(дт_1 + 1)/2(д — !)_,
параметры реберной регулярности к и X равны соответственно д2(т_2)(дт_1 — 1)(</т-2 + 1)/2(q — 1) и q2(m~3>(qm-2 — 1 )(qm~3 + 1)/2(q — 1). Для различных несмежных вершин с и g параметр f¿(c,g) принимает одно из следующих значений:
(1) д2(т-3)(9т-2 _ l)(gm-3 + ^(g - 1);
(2) д2(ш-3)(9т-2 + 1)(?т-3 _ l)/2(g - 1);
(3) g2m-5(92(m-2) _ 1)/2(g - 1);
(4) ç2m-5((?2(m-3) _ - 1);
(5) g2(m-2)(9m-3 _ 1)(9">~» + l)/2(q - 1);
(6) g2(m-2)(9m-2 _ !)(gm-3 + 1)/2((? _ ^
Все значения fi(c,g) из пунктов (1)--(6) встречаются в данном графе.
Теорема 1.6. Пусть X — это Пгт(д), Q = Ц4), m > 3 и a<¡ соответствует инволюции типа 2 из 0¿~m(q). Тогда граф Г(Л) является реберно симметричным, но не является кореберно регулярнылг. Число вершин данного графа равно q2<-m~x\qm + \)(qm~l — \) ¡2(q—\), параметры реберной регулярности к и X равны соответственно g2(m_2)(gm-1 + l)(qm~2 — 1)/2(q — 1) и q'2(m-3\qm-2 + 1)(дт_3 — 1)/2(q — 1). Для различных несмежных вершин с и g параметр ц(с,д) принимает одно из следующих значений:
(1) q2(m-3)(9m-2 + 1)(дт-3 _ 1)/2(? - 1);
(2) g2(m-3)(9m-2 _ l)(gm-3 + Xy2{q - 1);
(3) ,2т-5(92(т-2) _ 1 )/2(, - 1);
(4) 92т-5(92(т-3) _ ^(g - 1);
(5) g2(m-2)(gm-3 + 1)(дт-4 _ Ху2(Ч - 1);
(6) q4m-2\qm-2 + 1 ){qm~3 - 1)/2{q - 1).
Все значения ß(c,g) из пунктов (1)--(6) встречаются в данном графе.
Теорема 1.7. Пусть X — это q = 3(4), m > 3 иа0 соответствует инволюции
типа 2 из С>2т(</)- Тогда граф Г(Л) является вершинно и реберно транзитивным, но не является кореберно регулярным. Число вершин данного графа равно g2(m_1'(gm — l)(gm_1 — l)/2(g+l), параметры реберной регулярности к и X равны соответственно <j2'm~2'(qm-1 + 1)(<?т~2 + 1)/2(д + 1) и q2(-m~3\qm~2 - l)(gm~3 - l)/2(q + 1). Для различных несмежных вершин с и g параметр ß{c,g) может принимает одно из следующих значений:
(1) g2<m"3>(im~2 - 1)(<Г"3 - l)/2(q + 1);
(2) g2(m-3)(9m-2 + 1)(дШ-3 + l)/2(g + 1);
(3) 92m-5((J2(m-2) _ 1)/2(g + 1);
(4) q2m_5(q2'm~3) — l)/2(g + 1);
(5) ç2(m-2)((r-3 + 1)((?т-4 + 1)/2((? + 1);
(6) д2(т-2)(9ш-2 + 1)(9т-3 + l)/2(q + 1).
Все значения р{с,д) из (1)-(6) встречаются в данном графе.
Теорема 1.8. Пусть X — это iîjmC*/)» 1 = 3(4), m > 3 и ао соответствует инволюции типа 2 из Ojmfç)- Тогда граф) Г(Л) является вершиною и реберно транзитивным, fio не является кореберно регулярным. Число вершин данного графа равно l)/2(ç+l), параметры реберной регулярности к и X равны соответственно q2(m-2)(qm~1 — 1 ){qm~2 - l)/2(g + 1) « q2(m-3)(qm~2 + l)(gm"3 + l)/2(ç + 1). Для различных несмежных вершин с и g параметр ß{c,g) принимает одно из следующих значений:
(1) ç2(m-3)(9m-2 + 1)((?ш-3 + 1)/2((? + 1);
(2) g2(-"-3)(qm-2 _ !)(gm-3 _ xy2(q + 1);
(3) д2т-5(<?2<т-2>-1)/2(?+1);
(4) дг2т_5(|72(т-3> — 1)/2(д + 1);
(5) д2(™-2)(9—з _ 1)(9"-» - 1)/2(д + 1);
(0) _ Щдт-З _ 1)/2(д + 1).
Все значения р{с,д) из пунктов (1)--(б) встречаются в данном графе.
Теорема 1.9. Пусть X — накрывающая группа для Ап, п > 5. Тогда справедливы следующие утверждения:
(a) если п < 8, то Г(Л) является кокликой;
(b) если п = 8, то Г(Л) — это 3-кокликовое. расширение лестничного графа на 70 вершинах (объединение 35 компонент связности, каждая из которых является полным двудольным графом Кз,з);
(c) если п = 9, то Г(Л) является 3-кокликовым расширением дистанционно регулярного графа диаметра 4 с массивом пересечений {5, 4,4, 3; 1, 1, 2, 2};
(в.) если п = 10, то Г(Л) это 3-кокликовое расширение реберпо регулярного графа диаметра 3 на 210 вершхтах, с параметрами к = 15 и А = 0;
(е) если п > 11, то граф Г(Л) является рсберно симметричным, но не является коре-берно регуляр!шм. Число вершин данного графа равно п{п— 1)(п — 2)(п — 3)/8, параметры к и А равны соответственно [п-4)(п — 5)(п — 6)(п — 7)/8 и (п — 8)(п — 9)(и — 10)(п — 11)/8. Для различных несмежных вершин с и д параметр ¡л(с,д) принимает одно из следующих значений:
(1) (п - 4)(п - 5)(п - 6) (га - 7)/8;
(2) (п — 5)(п — 6)(п — 7)(п — 8)/8;
(3) (п - 6)(п - 7)(п -8){п- 9)/8;
(4) (п - 7)(п - 8)(п - 9)(п - 10)/8.
Все значения р(с,д) из пунктов (1) — (4) встречаются в данном графе.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию групп автоморфизмов графов. При этом применялся метод Хигмена, осповаиный на целочисленностн характеров мономиаль-ных представлении указанных групп автоморфизмов. При этом графу Г соответствует симметричная схема отношений (X, {П0, 7?ь Я2}), где В0 ~ отношение равенства на множестве вершин X графа Г, Их — отношение смежности в Г, ¡?2 - отношение смежности в дополнительном графе Г. Для автоморфизма д графа Г через ау(<?) обозначается число вершин и е Г таких, что (и, и9) 6 Данный метод позволяет определить возможные простые делители порядка исследуемой группы, которые в дальнейшем анализируются с помощью комбинаторных и теоретико-групповых способов. Были исследованы автоморфизмы полутреугольных графов Хигмена и дистанционно-регулярного графа с массивом пересечений {15,12,0; 1, 2,10}.
Полутреугольным графом Хигмена назовем сильно регулярный граф Г с V = (™) и к = 2(т — 2). Интерес к таким графам обусловлен результатом Д. Хигмена (¡29]), который, изучая графы ранга 3, показал, что если (7 — группа подстановок ранга 3 степени (™)> ш > 5 с подстепеныо 2(т — 2), то либо С? изоморфна 4-траизнтивноп подгруппе из 5т, действующей на 2-элементных подмножествах, либо С изоморфна подгруппе РГ12(8) из 59, действующей на 2-элементных подмножествах, либо выполняется одно из утверждений:
(1) р. = 6 и т = 9,17, 27 или 57;
(2) ц = 7 и т = 51;
(3) /1 = 8 и т = 28,30,325,903 или 8128.
Позднее, в [32] были классифицированы графы ранга 3 и в случаях (1-3) имеется единственный граф с р = 6, т = 9, реализуемый с помощью группы С2(2)'.
Фактически, в [29] было доказано, что сильно регулярный граф Г с V = и к = 2(т — 2) либо изоморфен треугольному графу Т(т) или одному из графов Чанга, либо выполняется одно из утверждений (1-3), либо р = 6, ш = 7 и Г изоморфен дополнительному графу к Т(7).
Результаты второй главы связанные с условиями (1-3) приведены в следующих теоремах:
Теорема 2.1. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (36,14,4,6), б = АиЦГ), д — элемент простого порядка р из С и Р1х(д) = П. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:
(1) О. — пустой граф, р = 2 или 3 и с*1 (д) = 6г;
(2) П является 1-кликой, р = 7 и 0:1(9) = 14 или 3-кликой, р = 3 и сц(д) = 6г;
(3) П является 1-кокликой, р = 2 и I е {4,6,8};
(4) р = 3, П С а1- для некоторой вершины а, С1(а) является 2 х 4-решеткой (ив этом случае сч(д) = 0) или П является объединением двух или трех изолированных треугольников;
(5) р = 2, |П| < 18, степень вершины в графе четна и меньше 14.
Теорема 2.2. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (136,30,8,6), б = АЩ(Г), д — элемент простого порядка р из и Р1х(д) = П. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:
(1) — пустой граф, р = 2 и а^д) = 20г + 4 или р = 17 и сч(д) = 34;
(2) П является 1-кликой и р = 3,5 или П является 3-кликой, р = 7 и »¡(д) = 707' + 42 или Г2 является 4-кликой, р = '3 и а\(д) = ЗОг- + 12 или П является 7-кликой, р = 3 и сч(д) = ЗОг + 24;
(3) П является Ь-кокликой, р = 3 и Ь € {4, 7,10, 13,16} или р = 2 и Ь е {6, 8,10,16};
(4) не является пустым графом, кликой или кокликой, и р 6 {2,3}.
Теорема 2.3.Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (351,50,13,6), О = Ащ.(Г), д — элемент простого порядка р из б и Р1х(<?) = Г2. Тогда порядок группы не делится на 25 и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) П — пустой граф, и либо р = 3 и сч(д) = 45г + 9, либо р = 13 и ац(д) = 195г + 30;
(2) П является 1-кликой и либо
(г) I = 1, р = 5 и сч(д) = 50я, либо р = 1 и а^(д) = 20в 4- 10, либо
(гг) р = 3, I делится на 3 и »1(3) = 45в — 41 — 6 или р = 2 и 01(3) = ЗОв — 41 — 6;
(3) П является Ь-кокликой, р = 2, £ нечетно, 5 < 3 < 25 и а\{д) = ЗОв — — 6;
(4) р = 7 и — сильно регулярный граф с параметрами (36,15,6,6) и а\(д) = 105г;
(5) р = 5, 26 < |П| < 116, степень вершины в Г2 не меньше 10 и не больше 40, и ох не содержится в Г2 для любой вершины а £Е О;
(6) р = 3, |П| < 102 и в случае равенства имеем аг(д) = 246;
(7) р = 2, Г? не является кликой или кокликой.
Теорема 2.4. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (1590,110,55,6), (3 = Ат(Г), д — элемент простого порядка р из С и ¥1\(д) = Л. Тогда тг(С) С {2,3,5, 7,11, 19} и выполняется одно из утверждений:
(1) Л - пустой граф, и либо р = 2 и а^д) = ООг + 24, либо р = 3 и а^д) = 90г - 6, либо р = 7 и ац{д) = 210г + 84, либо р = 19 и а^д) = 570г + 114;
(2) Л является 1-кликой, I < 28 и либо
(г) 1 = \,р = Ъ и аг(д) = ЗОг - 10 или р = 11 и а^д) = ЗЗОг + 110, либо (Н) I делится на 3, р = 3 и а^д) + 41 = ЗОг — 0;
(3) Л является I-кокликой, р = 2, f < 50 четно и 4£ + а^д) = ЗОг — 6;
(4) Л — непустой граф, не являющийся кликой или кокликой и р < 11.
Теорема 2.5. Пусть Г - сильно регулярный граф с» = ('"), к = 2(т-2) и /г = 7. Тогда т = 51, Г имеет параметры (1275,98,13,7) и для в = Ат(Г) и элемента д простого порядка р из С? выполняется одно из утверждений:
(1) Л - пустой граф, и либо р = 3 и аг(д) = 00г + 45, либо р = 5 и сч(д) = 20г + 5, либо р = 17 и «1 (д) = 340г + 85;
(2) Л является либо 15-кликой и р = 2,3,7, либо 8-кликой и р = 7, либо Зп-кликой, п = 1,2,3,4 и р = 3;
(3) Л является Ь-кокликой, р = 7, í сравнимо с 1 по модулю 7, 8 < £ < 85 и а^д) = 7т + 140г 4- 105;
(4) Л = К7<7, р = 13 и П1 (д) = 200г - 13;
(5) Л — непустой граф, содержащий геодезический 2-путь Ь,а,с и либо
(г) р = 7, |Г2| = 71 + 1, 2 < I < 25, Л не содержит связных компонент, являющихся сильно регулярными графами, либо
(г'г) р — 5, |Л| = 5г, 4 < г < 51, если Л — сильно регулярный граф, то Л является 5 х 5-решеткой или 10 х Ю-решеткой, либо
(ш) р = 3, (3) |Л| = 3/, 3 < I < 90, ec.ni Л — сильно регулярный граф, то Л является треугольным графом Т(0), либо
(¿г) р = 2, |Л| = 2г + 1, 7 < г < 152.
Теорема 2.6. Пусть Г - сильно регулярный граф с V = к = 2(7«-2) и /г = 8. Если т = 28, б = Ам(Г) и д — элемент простого порядка р из <3, то 7г(С) С {2,3,5, 7,13} и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) Л — пустой граф, и либо р = 3, аг(д) = 45в + 18, либо р = 7, а^д) = 03;
(2) Л является т-кликой, и либо т = 1, р = 13 и а!(д) = 52, либо т = 3, р = 5 и а¡(д) 6 {75,150,225,300,375};
(3) Л является 21-кокликой, р = 2, 3 < / < 24 и (¡.¡(д) + 22/ — 3 делится на 15;
(4) р = 3 и либо
(г) Л является 3 х 3-решеткой или точечным графом обобщенного четырехугольника 2,4), либо
(гг) а^д) ф 0 и 30 < |Л| < 48, либо (ш) сц(д) = 0 и |Л| = 33,48,03;
(5) р = 2 и либо
(г) Л — объединение 21 изолированных треугольников, I < 10 и аг(д) = 30;-— С/+ 18,
либо
(г'г) а!(д) =0 гг |Л| е {18,48}, либо
(ш) снЫ^О И |«| <62.
Следствие 2.1. Сильно регулярный граф с параметрами (378,52,1,8) не является реберно симметричным.
Теорема 2.7. Пусть Г — сильно регулярный граф с » = = — 2) и р = 8.
Если т = ¿6, й = Аи1(Г), д — элемент простого порядка р из й и & = Р1х(д). Тогда т(С?) С {2,3,5, 7,17} и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) П — пустой граф, либо р = 3 и еч(д) = 51г 4- 12, либо р = Ъ и ах(д) = 85в - 5, либо р = 7 и 0,(5) = 119/+ 63;
(2) и является т-кликой, либо т = 1, р = 17 и аг(д) € {34,323,612}, либо т = 3, р = 3 и а^д) = 51г + 27 или р = 11 и 01(5) = 187г + 44;
(3) П является 21-кокликой, р = 2, 2 < / < 33 и Ог(д) = 34г + 10/ + 12;
(4) р = 3, степень любой вершины в П не меньше 8, по не больше 38 и 36 < |Г?| < 78;
(5) р = 2, степень любой вершины в П не меньше 6, но не больше 44 и |П| < 80.
Следствие 2.2. Сильно регулярный граф с параметрами (630,68,1,8) не является реберно симметричным.
Теорема 2.8. Пусть полутреугольный граф Хигмена Г является реберно симметричным. Тогда либо р = 4 и Г является треугольным графом, либо р = 6 и т равно 7 или 9.
Исследование дистанционно-регулярного графа с массивом пересечений {15,12,6; 1,2, 10} представляет интерес ввиду результата из [2], где были найдены массивы пересечений дистанционно регулярных локально циклических графов с числом вершин не большим 1000.
Предложение 2.1. Пусть Г является дистанционно регулярным графом диаметра, большего 2, на V < 1000 вершинах. Если Л = 2 и р > 1, то верно одно из утверждений:
(1) Г — примитивный граф с массивом пересечений {15,12,6; 1, 2,10}, {19,16,8; 1,2,8}, {24,21,3; 1,3,18}, {35,32,8; 1,2,28}, {51,48,8; 1,4,36};
(2) Г — ангпиподальный граф с р = 2 и массивом пересечений {2г+ 1, 2) 2,1; 1,2,2г + 1}, ге {3,4,..., 21} - {10,16} и V = 2г(г + 1);
(3) Г — антиподальный граф с р > 3 и массивом пересечений {15,12,1; 1,4,15}, {18,15,1; 1,5,18}, {27,24,1; 1,8,27}, {35,32,1; 1,4,35}, {45,42,1; 1,6,45}, {42,39,1; 1,3,42}, {75,72,1; 1,12, 75}.
Ввиду данного описания предлагается исследование реберно симметричных графов с такими массивами пересечений.
Теорема 2.9. Пусть Г — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений {15,12,6; 1,2,10}, й = АШ;(Г), д — элемент из С простого порядка р и Я = Р1х(<?). Тогда 7г(б) С {2,3,5} и верно одно из утверждений:
(1) П — пустой граф и либо
(г) р = 5, а3(д) = 60г, а2(д) = 20г + 50/ - 20 и аг{д) = 180 - 80г - 50/; (¿г) р = 2, а3(д) = 24г и а2{д) = 8г + 20/;
(2) П состоит из вершин, попарно находящихся на расстоянии 3 в Г и либо (г) р = 3, |П| = 1, 0:3(9} = 36г + 6 и 0:2(9) = ЗОв + 12г + 9, либо
(ii) P = 5, |fi| = 5, a3(g) = 30 и a2(g) = 95 или |П| = 10, a3(g) = 0 u a2(g) 6 {100,150};
(3) p = 3 и либо
(г) fl является 4-кликой, а3(д) = 361, I < 3 и а2(д) = ЗОг + 12/ — 12, либо
(ii) Q — сильно регулярный граф с параметрами (16,6,2,2), а3(д) = 0 и а2(д) = ЗОг - 18;
(4) р = 2, |П| = 21, а3(д) = 241 - 121, а2(д) = 20г + 8/ - 10Í и либо
(г) для любой вершины а из Г2 подграф Г3(а) не пересекает О. и |П| < 16, либо
(ii) Í2 содержит вершину степени 1 и |П| < 26, либо
(iii) степень любой вершины в Q не меньше 3 и не больше 9, а |П| < 38.
Следствие 2.3. Пусть Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {15,12,6; 1,2,10}. Тогда Г не является реберно симметричным.
В третьей главе диссертации исследуются графы с заданным локальным строением.
Пусть Т — некоторый класс графов. Граф Г назовем локально Т-графом, если [а] лежит в Т для любой вершины а графа Г.
Система инцидентности, состояния из точек и прямых, называется а-час.тичной геометрией порядка (s,t), если каждая прямая содержит s + 1 точку, каждая точка лежит на í + 1 прямой (прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и для любой точки а, не лежащей на прямой L, найдется точно а прямых, проходящих через а и пересекающих L (обозначение pGa(s,t)). В случае а = 1 геометрия называется обобщенным четырехугольником и обозначается GQ(s,t). Точечным графом (графом прямых) геометрии точек и прямых называется граф, вершинами которого являются точки (прямые) геометрии, п две различные вершины смежны, если они лежат на общей прямой (содержат общую точку). Легко понять, что точечный граф частичной геометрии pGa(s,t) сильно регулярен с параметрами: v = (s + 1)(1 + st/a), k = s(t + 1), А = (s - 1) + (а - 1 )t, /i = a(t + 1). Сильно регулярный граф, имеющий вышеуказанные параметры для некоторых натуральных чисел a, s,t, называется псевдогеометрическим графом для pGQ(s,t).
Граф на множестве пар А' х Y называется рх q-решеткой, если |А'| = р, \У | = q, а пары (x¡,y¡) и (x2,yi) смежны тогда и только тогда, когда хх = х2 или i/i = у2. Треугольным графом Т(т) называется граф с множеством неупорядоченных пар из А' в качестве вершин, |А'| = m и пары {а, 6}, {с, d} смежны только, если они имеют единственный общий элемент.
Графом Джонсона J(n, т) называется граф, вершинами которого являются т-подмно-жества данного 71-миожества А', н вершины а, Ь смежны тогда и только тогда, когда они пересекаются по (т — 1)-множеству (очевидно Т(п) совпадает с J(n,2)). Частным графа Джонсона J(2m,m) назовем граф J(2m,m), полученный отождествлением каждого ш-множества с его дополнением.
Граф Грассмана Jq(n,m), 2 < т < п в качестве вершин имеет m-мерные подпространств заданного n-мерного пространства V над конечным полем порядка q, причем вершины а и Ъ смежны, если размерность а Г\Ь равна т — 1. Диаметр Jq(n,m) равен 2 только в случае т = 2.
Заметим, что в графе Грассмана JQ(n,m) окрестность каждой вершины является кли-ковым д-расширеннем решетки. При изучении графов без корон, о которых /i-подграфы являются регулярными графами заданной положительной степени (см. |10], [11]) нанболь-
шие трудности вызвал случай, когда окрестность каждой вершины является клнковым 0 расширением р х д-решетки.
Через Кт<п будем обозначать полный двудольный граф с долями порядков т, п.
Результаты, касающиеся графов, у которых окрестности вершин являются решеткой или кликовым расширением решетки, приведены в следующих теоремах.
Теорема 3.1. Пусть Г - сильно регулярный локально р х q граф. Тогда либо р = 2р, р ф. 1(4), либо Г = J(10,5), либо Г - лестничный граф (объединение изолированных ребер).
Теорема 3.2. Сильно регулярный локально р х q-граф, 2 < р < q,
р < 6, изоморфен одному из следующих графов:
(1) объединению полных графов,
(2) треугольному графу T(q + 2),
(3) графу, дополнительному к 4 х А-графу,
(4) J(8,4) или J(10,5),
(5) графу с параметрами (112,36,10,12) (р = q = 6).
Теорема 3.3. Пусть Г — сильно регулярный граф с отрицательным собственным значением —т, в котором окрестность каждой вершины является кликовым 0-расшире-нием р х q-решетки, 2 < р < q. Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) число вершин в максимальной клике L графм Г равно 1 + 0q или 1 + 0р, и (Ь,В) является (и, Ь, г, к, А) схемой, где В — множество сингулярных прямых графа Г, лежащих в L, к = 0 + 1, А = 1 и тройка (v,b,r) равна (1 + 0q, (1 + 0q)q/{0 + 1)><?) или (1 + 0р, (1 + {Зр)р/(0 + 1),р) соответственно, в частности, /3+1 делитр(р — 1) uq(q — 1);
(2) для двух несмежных вершин а,Ь любая строка (любой столбец) решетки, отвечающей \а\, содержит 0 или 0 + 1 вершин из [Щ и р = t(/3 + 1), где /3 + 1 < t < р;
(3) если р < q, то число (1 + fiq)-KAUK в графе. Г равно pv/(l + ¡3q) и 1 + (3q делит р{р— 1)(р — р+1), а число (1 + /Зр)-клик равно qi'/( 1 + /Зр) и 1 + /Зр делит q(q— 1)(р — q+ 1), если р = q, то 1 + 0р делит 2(р — t)(p — 1, /3 + 1)(р + 1, /3 — 1);
(4) если t = /3 + 1, то [а] П [Ь] является t х t-решеткой и Г является треугольным графом T(l), I > А, графом J(10,5) или графом Грассма-на J(_i(n,2), п > А;
(5) если m = р — и, mo t < р — и, причем равенство достигается лишь при и = 0, в частности, t ф р — 1 и если t = р — 2, то т — р — 1, (20 + 1 )(р — 2) = /3(q — 1) и /3 + 1 делит 2(р — 1 ,q);
(6) если t = р, то т = р и
(г) Г является псевдогеометрическим графом для pG$+l((3q,p — 1) и (f3q + р — /3 — 1К0 + 1) делит р{р - 1 )0q{/3q + 1),
(гг) если р < q, то Г является геометрическим графом и каждый р-подграф в графе прямых danitoii геометрии является объединением непересекающихся (j3 + 1) х (/3 + 1) решеток, 0+1 делит q — 1 и р0 + 1 делит q(q — l)(0q + 1); (и'г) если р = q, то (0 + I)2 делит р2(р0 + 1).
Теорема 3.4. Пусть Г — сильно регулярный граф, в котором окрест-ность каждой вершины является кликовым 0 расширением р х q-решетки, 2 < р < q. Если р < 6, то выполняется одно из следующих утверждений:
(1) 0 = р — 1 и Г является графом Грассмана Jp-i(n,2);
(2) Р = р — 2 и либо Г имеет параметры второй окрестности вершины в графе Грассмана Jp-г(4,2), либо является точечным графом частичной геометрии pGp_1((p — 2)q,p — 1), р — 1 делит q — 1;
(3) ¡3 = 2 и Г является псевдогеометрическим графом для частичной геометрии pG з(12,5);
(4) /3 = 1 и Г является либо треугольным графом T(q + 2), либо дополнительным графом для 4x4 решетки, графом J(8,4) или J(10,5), либо псевдогеометрическим графом для частичной геометрии pG2(G,5).
А.А. Махневым была предложена программа изучения вполне регулярных графов, в которых окрестности вершин — сильно регулярные графы с данными параметрами и собственным значением 2.
В работе [12) получено описания класса Q сильно регулярных графов с собственным значением 2, приведенное ниже.
Предложение 3.1. Если Г £ Q, то выполняется одно из следующих утверждений:
(1) Г — объединение изолированных треугольников, четырехугольник или пятиугольник;
(2) Г — псевдогеометрический граф для pG(-2s—б)/з(2з/3, s — 3), s делится на 3, или псевдогеометрический граф для pGs-2(s, s — 2);
(3) Г иммет параметры v = (2s2 + 5s + 3)/3, k = (2s2 - 4s)/3, A = (2s2 - 13s + 24)/3, p = (2s2 - 10s + 12)/3, и s = —1 (mod 3);
(4) Г — псевдогеометрический граф для pG3_2(s,t), где (s,t) принадлежит либо (г) {(3,3), (3,5), (3,9)}, либо
(и) {(4,1), (4, 7), (4,9), (4,12), (4,17), (4,27)}, либо (in) {(5,1), (5, 7), (5, 9), (5,12), (5,17), (5,27)}, либо (iv) {(6,18), (7,25), (8,3), (8,5).(8,15), (8,21), (9,42)}, либо («) {(14,2),(14,4),(14,32),(32,5)};
(5) Г имеет параметры либо
(г) (20,15,8,9), (30,14,4,0), (45,32,22,24), (50,7,0,1), (50,10,0,2), (70,30,8,14), (77,10,0,4), либо
(и) (81,20,1,0), (99,50,28,30), (100,22,0,0), (105,52,21,30), (105,32,4,12), (120,42,8,18), (120,100,80,84), либо
(iii) (120,50,13,24), (154,72,20,40), (102,50,10,24), (102,92,40,00), (176,70,18,34), (225,128,04,84), (232,154,96,114), (243,110,37,60), либо
(iv) (253,112,36,60), (300,182,100.126), (351,210,113,144), (375,272, 190,210), (441,352,270,300), (470,342,230,270), (540,392,274,312), (703, 520,372,420).
В работах [4|,[5|, [0] изучены графы, в которых окрестности вершин являются псевдо-геометрическимн графами для pGs--2(s, t). В третьей главе диссертации были исследованы вполне регулярные графы, у которых окрестности вершин сильно регулярны с параметрами v = (2s2 + 5s + 3)/3, k = (2s2 -4s)/3, A = (2s2 - 13s + 24)/3, // ="(2s2 - 10s + 12)/3, и s = — 1 (mod 3).
Теорема 3.5. Пусть Г — связный граф, в котором окресгтюсти вершин сильно регулярны с параметрами v = (2s2 + 5s + 3)/3, k = (2s2 — 4s)/3, А = (2s2 — 13s + 24)/3,
[i = (2s2 — 10s + 12)/3, и s = — 1 (mod 3). Тогда Г не является вполне регулярным графом.
Отметим, что методы исследования группы автоморфизмов, описанные во втором разделе диссертации будут очень полезны при характеризацпи групп, содержащих циклическую Т/-подгруппу А и имеющих симметричный граф коммутирования. Достижению этой же цели будут служить и способы получения параметров графа на основе его локальной структуры. Это связано с тем, что в графе коммутирования окрестность вершины связана со строением централизатора инволюции из А, что позволяет применить к исследуемой группе методы локального анализа.
Список литературы
[1] Артин А. Геометрическая алгебра.// М., Наука 19С9
[2] Буриченко В.П., Махиев A.A. О вполне регулярных локально циклических графах // Современные проблемы математики. Тезисы 42 Всероссийской молодежной конференции. ИММ УрО РАН, Екатеринбург 2011, 181 - 183.
[3] Гаврилюк А.Л., Махиев A.A. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {5ö,45,1; 1,9,50} // Доклады академии наук 2010, т. 432, N 5, 512-515.
[4] Гутнова А.К., Махиев A.A. О графах, в которых окрестности вершин являются псевдогеометрическими графами для pGs2{s,t) // Доклады академии наук 2010, т. 431, N 3, 301-305.
[5] Гутнова А.К., Махиев A.A. Графы, в которых окрестности вершин — псевдогеомет-рическне графы для GQ(3,3) // Доклады академии наук 2010, т. 433, N G, 727 -730.
[6] Гутнова А.К., Махиев A.A. Графы, в которых окрестности вершин — псевдогеометрические графы для GQ(3,5) // Доклады академии наук 2011, т. 438, N 3, 37G -379.
[7] Зюляркпна Н.Д., Махиев A.A. Плотно вложенные подгруппы с абелевым слиянием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН 1992, т. 2, 19-20.
[8] Зюляркпна Н.Д., Махиев A.A. Циклические Т/-подгруппы порядка 4 в исключительных группах Шевалле // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН 1994, т. 3, 41-49.
[9] Зюляркпна Н.Д. Циклические 37-подгруппы порядка 4 в классических группах Шевалле нечетной характеристики // Вопросы алгебры и логики. Труды ИМ СО РАН 1996, 89-110.
[10] Кабанов В.В. О графах без корон с регулярными /(-подграфами // Матем. заметки 2000, т. 07, 874 - 881.
[11] Кабанов В.В., Махиев A.A., Падучих Д.В. О графах без корон с регулярными подграфамн, II // Матем. заметки 2003, т. 74, 396-406.
[12] . Кабанов В.В., Махиев A.A., Падучих Д.В. О сильно регулярных графах с собственным значением 2 и их расширениях // Труды Института математики и механики 2010, т. 16, N 3, 105 - 116.
[13] Камерон П., Bau Лиит Дж. Теория графов, теория кодирования и блок-схемы // М., Наука 1980
[14] Кондратьев А.С. Граф Грюнберга-Кегеля конечной группы н его приложения // Алгебра и линейная оптимизация. Труды межд. семинара, посвященного 90-летпю со дня рождения С.Н. Черникова. Екатеринбу рг 2002, 141-158.
Лидл Р., Нндеррайтер Г. Конечные поля. // М., Мир, 1988
Махнев А.А. Т7-подгруппы в группах типа характеристики 2 // Мат. сборник 1985, т. 127, 239-244.
Махнев А.А. О псевдогеометрическпх графах некоторых частичных геометрий // Вопросы алгебры, Гомель: Изд-во Томского ун-та, 1997, т. 11, 60-67.
Махнев А.А. Частичные геометрии и их расширения // Успехи матем. наук 1999, т. 54, N 5, 25 - 76.
Aschbacher М. Finite group theory // Cambridge University Press 1986.
Blokhuis A., Brouwer A.E. Locally 4-by-4 grid graphs // J.Graph Theory 1989, v. 13, N 2, 229 - 244.
Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs // Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York, 1989.
Brouwer A.E., Haemers W.H. The Gewirtz graph: an exercize in the theoiy of graph spectra // Europ. J. Comb. 1993, v. 14, 397-407.
Brouwer A.E., Haemers W.H. Spectra of graphs (course notes) // http://www. win.tue.nl/ aeb/
Cameron P.J. Permutation Groups. London Math. Soc. Student Texts №45. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1999.
Cameron P.J., van Lint J. Graphs, Codes and Desidns // London Math. Soc. Student Texts №22. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1991.
Cossidente A., Penttila T. Hemisystems on the Hermitian surface // J. London Math. Soc. 2005, v. 72, 731-741.
Goethals J.M., Seidel J.J. The regular 2-graph on 276 vertices // Discrete Math. 1975, v. 12, 143 -158
Harris M.E. Finite groups containing an intrinsic 2-component of Chevalley type over field of odd order // Transactions of the American math.soc. 1982, v. 272, N. 1, 1-G5.
Higman D.G. Characterization of families of rank 3 permutation groups by the subdegrees, I // Arch. Math. 1970, v. 21, 151-156.
Hochheim Y. and Timmesfeld F. A note on Tl-subgroups // Arch.Math. 1988, v. 51, 97-103.
[31] Jafarzadeh A., Iranmanesh A. On simple A'„-groups for n = 5,6 // London Math. Soc. Lecture Note Ser. 2007. V. 340. P. 517-526.
[32] Liebeck M.W., Saxl J. The finite primitive permutation groups of rank 3 // Bull. London Math. Soc. 198G, v. 18, 165-172.
[33] Macay M., Siran J. Search for properties of the missing Moore graph // Linear Algebra and its Appl. doi:10.1016/j.aa.2009.07.018.
[34] Makhnev A.A. A reduction theorem for Tl-subgroups /',/ English transl. in Math.USSR Sb. v. 38, 299-311.
[35] Makhnev A.A. On the graphs with //-subgraphs isomorphic to Kux2 /,/ Proc. Steklov Inst. Math., Suppl. 2. 2001, 169 - 178.
[36] Spence E. Regular two-graphs on 36 vertices // Linear Algebra and Appl. 1995, v. 226228, 459-497.
[37] Suzuki M. Finite groups of even order in which Sylow 2-groups are independent // Ann. of Math. 1964, v. 80, 58-77.
[38] Wilbrink IL, Brouwer A. (57,14,1) strongly regular graph does not exist // Proc. Кон. Nederl. Akad. A, 1983, v. 45, 117-121.
[39] Zara F. Graphes lies aux expaces polaires // Eur. J. Comb. 1984, v.5, 255 - 290.
[40] Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sibirean electr. Math. Reports 2009. V. 6. P. 1-12.
Работы автора по теме диссертации
[41] Зюляркнна Н.Д., Махиев А.А. О сильно регулярных локально решетчатых графах // Дискрет, матем. 1993, т.5, N 4, 145-150.
[42] Зюляркнна Н.Д., Махнев А.А., Падучих Д.В. О графах, в которых окрестности вершин являются кликовыми расширениями решеток //Доклады Академии наук 2007, т. 416, N 5, 735-739.
[43] Зюляркнна Н.Д., Махнев А.А. Автоморфизмы полутреугольных графов, имеющих ц = 6 // Доклады академии наук 2009, т. 426, N 4, 439-442.
[44] Зюляркнна Н.Д., Махнев А.А. Автоморфизмы полутреугольпых графов, имеющих 11 = 7 // Доклады академии наук 2011, т. 439, N 1, 21-24.
[45] Зюляркнна Н.Д., Махнев А.А. Автоморфизмы полутреугольных графов, имеющих ¡г = 8// Доклады академии наук 2011, т. 440, N 2, 155-158.
[46] Зюляркнна Н.Д., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {15,12,6; 1,2,10} // Доклады академии наук 2011, т. 439, N 4, 443-447.
[47] Зюляркина Н.Д., Махнев A.A. О расширениях сильно регулярных графов с собственным значением 2 // Доклады академии наук 2012, т. 442, N 1, 7-10.
[48] Зюляркина Н.Д. О графе коммутирования циклических TI-иодгрупп в линейных группах // Труды ИММ УрО РАН 2011, т17, N 4, 114-120.
[49] Зюляркина Н.Д. О графе коммутирования Т7-подгрупп в унитарных группах // Труды ИММ УрО РАН Екатеринбург 2012, т. 18, N 3, 119-124.
[50] Зюляркина Н.Д. О графе коммутирования циклических TI-иодгрупп в ортогональных группах // Сибирские электр. матем. известия 2013, т. 10, 180-199.
[51] Зюляркина Н.Д. О графе коммутирования TI-иодгрупп в симметрических группах // Сибирские электр.матем. известия 2013, т. 10, 436-442
[52] Зюляркина Н.Д., Махнев A.A. Автоморфизмы полутреугольных графов Хигмена с ц = 8 // Доклады академии наук 2014, т. 457, N 3, 274-277.
[53] Зюляркниа Н.Д., Махнев A.A. Автоморфизмы графов Хнгмеиа с ß = 6 // Труды ИММ УрО РАН Екатеринбург 2014, т. 20, N 2, 184-209.
[54] Зюляркина Н.Д., Махнев A.A. Реберно симметричные полутреугольные графы Хигмена //Доклады Академии наук 2014, т. 459, N 3, 261-265.
[55] Зюляркина Н.Д., Махнев A.A. Автоморфизмы полутреугольных графов с ц = 6 // Труды 40-й Всеросс. молод, конф. Изд-во ИММ УрО РАН, Екатеринбург 2009, 12-15.
[56] Зюляркина Н.Д., Махнев A.A. Автоморфизмы полутреугольных графов с ц = 7 // Теория групп и ее приложения. Труды восьмой Международной школы-конференции по теории групп. Нальчик 2010, 107-109.
[57] Зюляркина Н.Д., Махнев A.A. Автоморфизмы полутреугольпых графов Хигмена с ß = 8 // Алгебра и геометрия. Тез. докл. Межд. конф. Екатеринбург 2011, 80-82 .
[58] Зюляркина Н.Д. О графе коммутирования TI-подгрупп в линейных группах.// Алгебра и геометрия. Тез. докл. Межд. коиф. Екатеринбург 2011, 78 - 79
[59] Зюляркниа Н.Д. О графе коммутирования TI-подгрупп в ортогональных группах // Тез.доклЛХ Межд. конф. по теорнн групп, посвященной 90-летию со дня рождения проф. З.И. Боревича, Владикавказ 2012, 61-62.
ЗЮЛЯРКННА Наталья Дмитриевна
ГРАФЫ 77-ПОДГРУПП, РАСШИРЕНИЯ И АВТОМОРФИЗМЫ ГРАФОВ
01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Издательский центр Южно-Уральского государственного университета
Подписано в печать 18.05.2015. Формат 60x84 1/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,16. Тираж 120 экз. Заказ 204/354.
Отпечатано в типографии Издательского центра ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.
