Хаотические колебания силовых передач двигателей внутреннего сгорания тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

6 од

5 ДПР |993 ХАРШОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Еа правах рукописи

Аврамов Констаиик Витальевич

ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СИЛОВЫХ ПЕРЕДАЧ ДВИГАТЕЛЕЙ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ"

01.02.06 - динаыика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических ааук

X

г +

I

Харьков - 1993

Работа шполноаа на кафадрэ "Теоретическая механика Харьковского политехнического института.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Карабан В.Н.

Официальные оппоненты: доктор технически.: наук, ведущий научный сотрудник Инютин Б.Г.

кандидат технических наук, доцант Жовдак В.А.

Бодущеа предприятие - Харьковское конструкторское бюро по двигателестроеная ПО "Завод йнаяв Малышева" /С/?гЬ

■ Защита состоится 11 {<9, " ¿¿иг^^ИП года в ' у " часов на ааоодании специализированного совета Д 068.39.Об при Харьковсноы яолитехничвокоы институто (310002, г.' Харьков, ПЗП, ул. Фрунзе, 21).

. С диссертацией иоано ознакомиться в библиотеке Харьковского политехнического института

Л ш

Автореферат разослан ^^ я ^ 1993 г.

Ученый.секретарь, специализированного совета Ш^/'" Вортовой В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ак1уальноеть_п£облвыы. Двигатели внутреннего сгорания (ЛВС) - нотный источник возбуждения круг ильных колебаний, которые являются причиной премдеврэаешшх усталостных поломок элементов силовых передач (СП),'влияют на качество рабочих процессов в цилиндрах двигателя. .-

. В процессе экспериментальных исследований, наряду с периодическими колебаниям», на- некоторых режимах часто наблюдаются нерегулярные установившиеся колебания. Их цомно объяснить особенностями, нелинейной дэтершшированяой издали в отличив от статистического подхода, который предполагает случайность теплового процесса в ДВС. Такое рассмотрение проявления нелинейных свойств динамической системы заано для объяснения причин ' возникновения значительных колебаний м выработки путей их устранения.

. - Нелинейные дегерманировашше дискретные диссипативные си-ствыы в определенных чаомпюс'.иЕхарзалах возбуждения колебаний, преобразуют внесшие периодические нагрузки в нерегулярные келебания .ыасс систеш, .которые называются хаотическими. Их Исследование является новой актуальной задачей.

Цель_работы - изучение особенностей хаотических колебаний в СП ЛВС и условий их"возникновения. Достижение этой цели потребовало решения ряда проблем: .

анализа предхаохичеокйх колебаний; . ... усовершенствования существующих народов расчета периодических режимов; ... . ..

' разработки алгоритмов определения различных, бифуркациод-ных линий установившихся колебаний на параметрической плослоо-. 5и; .... ... . . ..,..:. . .....

.. . - исслздования сценариев раззйтия квазяпериодических и хар-тнчзских колебаний при.аааенйниа.частот возбуадэнип;

. изучения рззонансов хаотических колебаний в динамических*

моделях; ' .' . ., '.'............

уЧага влияния нелинейна* свойств романной передачи на Крутильные колебания.

............... 4

Научная.новизна ¡тботн.

1. Установлено, что хаотические колебания в СП возникают вследствие бифуркаций удвоения периодов и разрушения квазинв-риодичеоких рвкимов, которые появляются в результате бифуркаций периодических движений. .

2. Исследованы различные-бифуркационные линии периодйчо-•сеих колебаний ко параметрической плоскости динамической системы. Предложен алгоритм расчета обдаствй неустойчивых колебаний с особенностью типа "^окус", из которых рождаются кгавиперводв-ческие и хаотические-движения. Разработан адгориш расчета области хвохвча6ких-"олббйяий на параметрической плоскости, появление которых .связывается с бифуркациями удвоения париода.

3. Изучены особенности пароходов нолеб!_дий типа "хаос -. . порядок", ."хаос - хаос'.', а тамга з^акты потери гладкости тора, удвоения его'квазипериода и переходного хаоса, что потребовало-расчета спектра.характеристических показателей Ляпунова, сечений Пуанкаре и спектральных плотностей. . . .

. -4. Опрэделены рэзоааисы хаотических колебаний в областях ■ бифуркаций удвоения периода и в частотных интервалах неустойчивых по Ляпунову., режимов с особенностью типа "фокус".

5. Рассмотраны сценаряи развития хаотических колебаний в СП пяти-, и двухцилиндровых ДВС с-противоположно движущийся поршнями. Коленчатые валы.последних соединяются конической в цилиндрической передачами,

6. Учтено посредством специально изготовленной установки влияние.нелинейных свойств.ременной передачи на крутильные ко-т лежания, что позволило объяснить квазипериодическае и хаотические колебания; наблюдаемые при экспериментальны исслвдовани-ях. 1 - '

. Пракгячаская_Цвнно£ть и £аализацкя_рез^льтатов^ Создан. пакет программ исследования, бифуркационного поведения период«-, часких колебаний, анализа бифуркационных линий установившихся режимов, расчета спектра характеристических показателей, спектральных плотностей и сечений Пуанкаре. С помощью пакета прог- . рамы возможен анализ колебаний любых дискретных диссйПативных динамических систем.

Применение пакета позволило дать рекомендации Пй выбору параметров СП ЛВС. Виедрзние результатов осуществлено на кафед-

ре "Двигатели внутреннего сгорания" Харьковского политехнического института и в Харьковском конструкторском бюро по дизе-лэстроанм ПО "Завод имени Малышева".

Ал£обэг[!!Я работы.. Основные положения и результаты работы докладывались па городской научно-ыотодг.часкоц озмянара по теоретической механике и научно-технических конференциях: "Применение SBSJ для решзЕВп задач механики" (Севастополь, 1991)? ."Динамика конструкций при вибрационных и сейсмических нагрузках" - (Сезаотополь,- 1991); "Исследование вибраций машин, цахз-иизмов и конструкций" (Савастополь, 1992); "Динамика отаночных систем и гибких автоматизированных производств" (Нижний Новгород, 1992). . - . .

. Публикации.;. По теиэ диссертации опубликовано ¿0 научных работ.

- - Ст£укг£ра и обьек диссертации. Работа общим объвиои 198 страниц состоят из введения, 5 разделов, заключения, списка использованных источников, включающего 122 наименования, и 3 приложений на 13 страницах. Сна содержит Г+2 страницы машинописного текста, 5 таблиц и 86 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТН '

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой проблемы, научная новизна и указаны способы рзализации полученных результатов.

В 1-м раздала анализируются механизмы перехода к хаотически« колебаниям, предлогзнные в работах Ю.И. Неймарха, П.О. Ланды, B.C. Анищвнко; Ч. Фейгенбауыа, Г. Шустэра, ф. Му-йа. На основании бифуркационного поведения логического точечного омбрааааия выявляются некоторые универсальные свойства хаотических колебаний, В отдельных случаях диссипагивные точечные отображения переходят к хаотическим решениям через удвоения квазипериодов торов и потери их гладкости. Возможен переход. к хаосу через яерэздаэмость э точэчных отображениях, а также переходной к суперяераходпой хаосы. Появление хаотических решений детерминированных систем связывается с гомоклини-ческой структурой и эффектом "подковы" Смайла,

Хаотические колебания ойсываюгся количественными характеристиками, к которым относятся: спектр характеристических показателей Ляпунова, спектральные плотности, сечения Пуанка-ра, автокорреляционные функцй", инвариантные функции .распределения.

Хаотические колебания исследованы в уравнении Дуф$инга, математическом маятнике с колеблющейся точкой подвеса, автоколебаниях пластик и в ряде других задач. Отмечается вклад . Г.И. Мельникова и А.И. Хибника в исследование бифуркационных линий установившихся колебаний.

В конца раздела ставится задача анализа свойств хаотиче-. ских колебаний нелинейных детерминированных дискретных .моделей СП две.

. Во 2-м разделе-рассматриваются методы решения задачи.Коли,- которые применяются при исследовании'хаотических колебаний. Для решения этой задачи используются алгоритмы Рунга-Кут-та и лрипасовызания. Последний учитывает специфику динамических моделей СП. На участках линейности системы получено чис-. ленно-аналигическое решение, ислользующео ¡сочные квадратурные формулы линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты'.ко-.. .торых находятся из чиелынпх процедур. Для "сшивания" многообразия линейное задач в нелинейную решится трансцендентные

уравнения относительно зреиени перехода системы с одного линейного учаотка на другой. ЗтО время" является гладкой функцией частоты возбуждения колебаний,-что используется при численной реализации алгоритма продолжения ранения по параметру.

Механизмы.перехода к хаотическим режимам исследуются в. некоторых дискретных динамических системах. Аяадйзйрусгоя два перехода .« хаотическим колес jhhhu'через бифуркации удвоения периода и разрушение квазипериоДичоских' р'зжиков. Бифуркации удвоения периода исследуются в двух дискретных механических' . системах с одной степенью свободы is различными нелинейным уй-ругима характеристиками под дейстзиэи ¡¿оно- и полйгарщшичэ-ских нагрузок. Б таких систеи-.х проявляются как эффекты гистерезиса субгармонических колебаний 2-го порядка, так и их отсутствие. Обнаружена единичная бк^уркация. удвоения периода колебаний, яа приводящая к образованию хаоса.

Области нэуотойчивых по Ляпунову периодических даиаений,

в которых квазипариодическиа колебания разрушаются и-переходят в хаотические, рассматриваются на примере двухмассовой системы о двумя нелинейными элементами типа "зазор" и кинематическим возбукдением, совершающей крутильные колебания. В области основного резонанса ав наблюдается два.частотных интервала'неустойчивых, по Ляпунозу колебаний с-особенностью типа "фокус"» Такие интервалы занимают значительную 1(до. 70 часть рабочего диапазона частоты вращения коленчатого вала.

.. В 3-м раздела излагаются-методы расчета бифуркационных -линий периодических кблебаиий; исследуются, динамические системы, который описываются дифференциальными уравнениями в форме

*ов" у*Аа)у*й(у)+ма1 и)

где у - вектор состояний-дииамической системы.

Вектор функции й удовлетворяв-! условию

. 6(-у)°-в<у). .. .. .

Анализируются .бифуркационные.линии,- которые имеют мультипликатор р & I и характеризуются касательной бифуркацией, потерей устойчивости по Дяпунову гарионическсго решения-и появлением пары асимптотически устойчивых режимов того же периода. Уравнение .этйх. .бифуркационных линий на параметрической плоскости имеет вид:

. (2)

где , - параметры динамической системы; Ф' - матрица ионодромии периодических колебаний.

Для .анализа уравнения [£.) приценяется специальный.алгоритм продолжения решения по параметру. Численно рассчитываются бифуркационные линии динамической модели СП пятицилиндрового ДВС на параметрической плоскости, по координатным оояы кч-. горой в однои-случае откла^ываится частота вращения колзнчам-го йаяа и параметр специальной муфты, а в другом - часюта вращения вала я ковффициент лянеййого демпфирования. Исследуются бифуркационные линии удвоения периода колебений.

Предлагается алгоритм исследования области неустойчивых по Ляпунову колебаний с особенностью типа "фокус" на параметрической плоскости. Граница области этих двикений характеризуется парой комплексно-сопряженных мультипликаторов, ранних по мо-

дулю единице, и описывается уравнением

2м гл г

где Ф - число вращения Пуанкаре.

йсследуется.область рассматриваемых колебаний механической системы с двумя--стапеням свободы и двумя нелинейными элементами на параметрической плоскости, по координатный осям которой откладываются частоха вращения вала и аиллитуда кинеыатаческо-го возбуждения зад-зляи........'..... .. .

На основании численных экспериментов доказывается.суща--: ствоваиие мультипликатора насыщения колебаний р* = -1,60119... в области бифуркаций удвоения периода динамических'моделей СП. Граница области.хаотических.колебаний характеризуется мультипликатором р* субгармонического решения порядка = 2к и описывается уравнением

. Так как в СП шестицилиндровогс ДБС предхаотичебкие колебания имеют гистерезис субгармонических режимов 2-го порядка| то область хаотических движений описывается мультипликатором субгармонических решений 4-го порядна на параметрической плоскости, по осям которой откладываются частота вращения коленчатого вала и амплитуда 6-й гармоники ряда Фурье индикаторного момента. ^

В 4-ы раздвле излагается алгоритм.исследоваг-я сценариев развития установившихся колебаний.! СП, который включает в .себя расчет максимального характеристического показателя, сгшт-ра характеристических показателей, спектральных плотностей.и сечений Пуанкаро. Для расчета спектра характеристических показателей .совместно интегрируются-система дифференциальных уравнений, описывающих колебания СП, и уравнения в вариациях. При этом через некоторое промежутки времени осуществляется ортого-налиэация векторов малых нознущенИ по Граму-Шиидту.

. В исследуемой частотном интервале возбуждения колебаний рассчитывается максимальный характеристический показатель. Ее-

.....................9 - .........

ли он положительный,- то определяется совокупность -положительных показателей. В точках хаоти-лских и квазипериодических колебаний исследуются-оечэния Пуанкаре и-спэктральные плотности, которые .показывают тактность ленты аттрактора и степень перевешивания хаоса.- - - - -

-. На оснозании этого алгоритма обнаружены переходы типа •"хаоо - порядок", "хаос - хаос", а гакаэ. эффект потери гладкости тора. Результаты расчета сечений Пуанкаре механической системы с дзуыя стапелями свободы, подверженной действию кинематического возбуждения, приведены на рис. I,. .

- Переход типа "хаос - порядок" характеризуется преобразованием однотактной ленты аттрактора"при СО = 255 с-1 .в су б-. гармонические колебания 5-го порядка яри о) = 235 п"*, что со-провокдается переходом.максимального-характеристического показателя из положительного значения в отрицательное. Субгармоническим колебаниям предшествует переходной хаос, который обладает всеми свойствами хаотических-колебаний и характеризуется пятитактной- лентой аттрактора., что связано с переходом притягивающей гоиоклинической'структуры в отталкивающую.

Переход типа "хаос - хаос™.определяется пятитактной лентой аттрактора при СО » 240 с"*, которая преобразуется в однобайтную при-СО в 250 с-1. Такой эффект можно считать.бифуркацией хаотических колебаний, так как происходит переход 2-го характеристического показателя через нулевое значение. Дальнейшее увеличение частоты возбуждения колебаний характеризуется преобразованием хаотических колебаний в квазипериодичеокие, что сопровождается переходом типа "хаос - порядок" и потерей гладкости тора. Последнее явление наблюдается при со = 25'+,5с""* и .'характеризуется инвариантной кривой кзазилериодичаских.реаи-ш>в сечений Пуанкаре, не имеющей непрерывной производной. Такие режимы Имеют дискретны? спектральные плотности и нулевой максимальный характеристический-показатель. Квазипериодичеокие колебания при 6> = 263 с-1 мягко пероходаг в-гармонические.-

В 5-к. разделе излагаются результаты численных и экспериментальных исследований хаотических колебаний СП ДВС с противоположно, движущимися Поршнями. Динамическая модель СП пятициЛиндрового ДВС включает нелинейную упругую характеристику муфты главной перажачи между коленчатыми валами и зазор в шлицевом

Переход типа "хаос-порядок"

10

Переход типа "хаос - хаос"

Потеря . гладкости тора

Т. • V.',

.«Л.* у.::

'»» - «

225 о"1

* •• *

•••Г.* ••••• »

СУ = 240 с"1

/ 1

\

ч /

/

/

/

.А

со= гъч о"1

<Х> = 235 с"1

. -«• • •

в а* а. •

Ч*

СО = 250 с

-I

9,

СО = 263 с

-I

Рис. I. Сечения Пуанкаре установившихся колебаний

/

соедиьлши привода-к-потребителю мощности. В системе имеют меото области бифуркаций удвоения периода колебаний и чвстот-ные интервала неустойчивых по Ляпунову режимов с особенностью типа "фокус". Сравнение-размахов:хаотических колебаний и периодических движений показывает незначительное их отличие. Неустойчивые по Ляпунову колебаний о Особенностью типа "фокус" характеризуется потерей гладкости-тора. Численные результаты -подтверждаются экспериментальными, данными; -. Динамическая модель крутильных колебаний СП двухцилиндро-хэго ДЕ1С приведена на рио. 2. Масон системы моделируют продувочный, и выхлопной колен- чаа.ые -валы ь потребитель-мощности. Валы соединяются конической передачей, зазоры между шестернями ко' торой учитываются нелинейной упругой характеристикой, Возбуждающие моменты, • действующие на выхлопной, и продувочный валы, описываются, двумя наиболее существенными по геличипе гармониками ряда Фурье.

В частотном рабочем . диапазоне вращения коленчатых валов наблюдается десять интервалов существования хао-са, который характеризуется бифуркациями удвоения периода колебаний. Исследуются сценарии развития, и.размахи хаотических режимов. Последние существенно превышают размахи периоди-Рис. 2. Динамическая модель и ческих колебаний, из кото-амплитудйо-частатпая характеристика рых рождается хаос, Размахи СП ЛВС с коничеокой передачей его и периодических колеба-меяду коленчатыми валами ний в области резонанса

М

1б*раЗ

<А

з

f,2

Í.0

SA

JQÓC ■7/1

к1 [\ п \

у \ > 1 !1 t \

ч J V Ч \ \

270 310 ¡SO С"' ¿SO

а —-

ма)

12 ..;■-"■ близки, чю свидетельствуе® о резонанса хаотических колебаний (см. ри?. 2). Сценарии развития периодических и хаотических колебаний подтверждаются йнопериментальныыи данными. '..-..

.Проведано-исследование крутильных колебаний СП двухцилиндрового. ДВС, коленчатые валы-которого, соединяется цилиндрической передачей. Предполагалось, что ь.стерни цилиндрической передачи.*! выхлопной коленчатый вал врадаются равномерно, а продувочный вал соверыает колебания (рис. 3), тан как ыоменты

инерции выхлопного. вала и шестерен цилиндрической передачи, приведенные.к -продувочному валу, . намного больше мо- ' манта инерции продувочного вале. Учигы-^вася восемь гармоник ряда Фурьа индикаторного момента,', действующего на прз-дувочный.вал. Нелинейная упругая ха-. рактврвотика (см. ■ рис. 3) описывает.-упругую муфту продувочного вала. Рабочий диапазон враче-вия колончатых валов характерцзуагс8..»ге-. тырьмя областями удвоения периода коле-' баний, в.которых установившиеся режимы ' являются хаотическими.. Три области имеют неэначителк'.ое . отличие размахов хаи периодических колебаний, из которых он рождается. Один

¥ Ю%3

вг'в,

0,9

0,6

/ Лаос \ / * / * / / А //

х] / / / / V. / У У < у '■7 I ■ / / г

/ / / / ✓ / У"' V

(80

№

200

220 С1

СО

Рис. 3. Динамическая модель.и амплитудно-частотная характеристика СП ДВС с цилиндрической передаче^ ыекду коленчатыми валами

оса

натерся бифуркаций удвоения периода .ииоет резонанс хаотических,. колебаний (си. рис» 3), разяахи которых соизмеримы с периодическими, колебаниями в области их резонанса. Сценарии развития ха-огячесяйх Колебаний характеризуются переходами..типа "хаос' - ■ порядок", что ссшроаождается изменением тактности ленты аттрактора. .. -......

--..■-Влияние, нелинейных свойств рэменной передачи на крутильные колебания кзучена на специальной.установке, динамическая иэдгхь которой приведена ш рис. А,.где ыаоса I моделирует ротор электродвигателя, а масса 2. - иест?рню со смещением центра ыасс относительно оси ее вращения»

-- .. В приведенной системе исследуются периодические колебания И-нх бифуркации йрй. изменении., частоты вращения ротора электродвигателя. Динамическая модель характеризуется сложным бифурка- ~ ционяыи.поведением и сценариями развития квазипериодических и . хаотических колебаний. Области существования хаотических колебаний подтверждаются экспериибнтальныии данными. Часть неустойчи-

вше по Ляпунову колебаний с особенностью типа-"фокус" определяется бифуркацией удвоения квазипериода тора, что описывается сечениями Пуанкаре (рис. 5). Такая бифуркация не приводит К хаотическим колебаниям.

——г-а -. /ь раЗ

\Л

( )

{

ч 4

-3 -2

сд = 112,9 с

-2 -{ 0 12 ¿Щйд/с£ =215,6 с"1

Рис. 5. Сечения Пуанкаре квазипариодических колебаний

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. .Анализ бифуркаций периодических колебаний позволил исследовать сценарии переходам хаотачзским режимам в динаыи-т ческих моделях С1 ДВС, которые возникают в области неустойчивых по Ляпунову движений с особенностью типа "фокус" и'в об- ' ласти бифуркаций удвоанйя периода колебаний. В последней наблюдается как гистерезис, так и однозначность субгармонических колебаний. Численно исследовано универсальное значение мультипликатора насыщения, колебаний.

2. Эффективность общей схемы анализа бифуркационных линий установившихся колебаний.достигнута в результате исследования устойчивости периодических режимов по Ляпунову. Разработан алгоритм расчета -бифуркационных линий периодических движений, который характеризуется касательной бифуркацией, а также потерей устойчивости по Ляпунову симметричного режима и образованием пары устойчивых решений. Предложен метод расчета области неустойчивых по Ляпунову колебаний й особенностью типа "¿ткус" на. параметрической плоскости динамической системы, где существуют квазипериодическиа и хаотические движения. Исследованы

облает, хаотических колебаний, появление которых связано с би- . фуркафиши удвоения перйода. Граница такой области имеет универсальное значение мультипликатора насыщения.

Расчет бифуркационных линйй позволил подробно исследовать области.хаотических ренинов в.СП ДВС и определить пути их устранений.

3. Сцанариии развития хаотических колебаний в СП ЛВС проанализировали благодаря расчету спектра характеристических по-., каэатйлей Ляпунова, сечений Пуанкаре и. спектральных.плотностей. При этом выявлена переходы типа "хаое - хаос'1, "хаос - порядок1,1 эффекта потери, гладкости тора и переходного хаоса. Изменение тактности ленты аттрактора хаотических колебании происходит ' влеДствйе переходов типа "хаос - порядок" и "хаос - хаос". Последний сопровождается преобразованием характеристического показателя, "из отрицательного значения в Положительное. При переходе кваэипериодических ренинов в хаотические наблюдается потеря гладкости тора.

4. Численно исследованы резонанса хаотических колебаний, которые яаблэдались в области-неустойчивых по Ляпунову движе-. ний с особенностью типа "фокус" и бифуркаций удвоения периода. Размахи хаоса в частотяом интервале их резонанса соизнериыы с раЭЬахаий резонансных периодических колебаний.. Численные эксперименты показали существенное влияние хаотических колебаний на динзмическуйнагру_.шнос1Ь элементов СП ДВС. ..

5« Численно и экспериментально, изучены сценарии развития установившая колебаний в СП лгсгицилиндрогого ДВС с противоположно движущимися поршняшь . _

Исследованы сценарии развития и резояансы.хаотических колебаний в СП двухцилиндрового ДВС.о противоположно движущи--мисп поршняий, коленчатые, валы которого соединяются конической передачей. В частотном рабочем-диапазоне вращения валов наблюдается .десять-облас!еЯ существования хаотических колебаний, которые ваникают. около 70 рабочего диапазона.

йг;'чено влияние хаотических колебаний на динамическую наг- . руаеиноогь элементов СП ДВС, колеачатыэ валы которых соединяются цилиндрической передачей.. В частотном рабочем , диапазоне вращения -валов обнаружен один частотный интервал резонанса хаотических колебаний.

is ;.......

В результате" численного'.исследования установившихся реки-, аов в различных нелинейных моделях СП ДВС выбраны их лараыотры.

6. Учет нелинейных свойств ременной передачи позволил .-. . = объяснить квазипериодичазкие и хаотические колебания, наблюдаемые на экспериментальной установке.-Изучено удвоение квазипори^ ода тора, которое не привело к образованию хаотичеокях режимов.

Основное'содержание диссертационной работы изложено в тв-звоах докладов, статьях и брощаре: .......

- .. I. Авраыов К.В. Исследование-периодических колебаний суще-1 ственно нелинейных дискретных систем // Таз, докл. конф. "Яро--блемы колышаиия прочности машиностроительных конструкций.-Пермь, I9SO.- С. 40 - 41. .. ' -

2. Аврамов К.В. Исследование нелинейных свойств решенной, передачи на. экспериментальной установке // Тез. докл. коаф. . "Проблемы повышения прочности элементов машиностроительных конструкций".- И., 1991,- С.46 - 47.

• • 3. Аврамов К.В. Нелинейные колебания механических систем с ремэнвыми передачами // Тоз. докл. кокф. "Исследование.вибраций калин, механизмов и конструкций".- Севастополь, 1992.-

С. 22. • • .....

: . 4. Аврамов S.B., Беломытцав A.C. Комплекс методов расчета установившихся колебаний конструкций при вибрационных нагрузках // Тез. докл. коа|. "Исследование хибрацай машин, ыоханиз-мов и конструкций".Севастополь, 1992.- С. 16.

5. Аврамов К.В., Белошгцев А.С;, Карабан В.Н. Расчетное исследование сложных колебаний силовых передач // Тоз. дакл. конф. "Применение ЭВМ для решения задач механики",- Севастополь, IS9I.- С. 48 - 49.

6. Aspaaas К.В., Белоиытцев A.C.,-Карабан В.Н. Алгоритм расчета бифуркационных линий квазипериодических колебаний периодически возбуждаонах.дискретных механических систем-// Язв. вузов. Машиносгроенио.- 1992.- te I- Ъ.~ С. 15 -17. ' . .

7. Аврамов К.В., БелСыытцеа A.C., Карабан В.Н. Квазиперио-дичзскиз я хаотические колебания машин.- Киев : Знание,' 1992.24 с.......

8. Авраиов К.В», Карабан В.Н. Вынужденные колебания дискретной крутильной системы с нелинейностью типа "зазор" // Теория механизмов и машин / Респ. межвед. науч.-техн. сб.- Харь-

ков, ^92.- ® 5Ь,- С..4 -.7, .....

...... ...9; .Авраиоа К.В., КараЛн В.Я. Кзазипериодичэские а хаотические "колебания машин //Тез.. докл.-конф. ."Исследование вибраций машин,'иеханизмэз и конструкций.- Севастополь, 1992.-

С. I - 2. ....... ' , , ___________________ ' - - . .

-..... 10. Аврамов К.В.., Караван В.Н. Комплекс алгоритмов раачетг

хаотических колебаний- динамических систем // Таз. доьг.. кс--'с5. •'Динамика отаночикх-оисзо.а гибкие авхонатзировакншс производств".- Иияняй Новгород, 1992.- С. I.