Информационный подход в задачах лазерной физики

Симановский, Игорь Валентинович

Информационный подход в задачах лазерной физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

Симановский, Игорь Валентинович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.21 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Информационный подход в задачах лазерной физики»

Автореферат диссертации на тему "Информационный подход в задачах лазерной физики"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В.Скобельцина

На правах рукописи УДК 621.373.8

СИМАНОВСКИЙ Игорь Валентинович >П Г 5 О Л

- 1 ФЕО 2003

ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД В ЗАДАЧАХ ЛАЗЕРНОЙ

ФИЗИКИ

(01.04.21 - лазерная физика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН.

Научные руководители. доктор физ.-маг. наук, профессор Шелепин Л.А.

кандидат физ.-мат. наук Сериков Р.И.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор Осипов А.И.

доктор физ.-мат. наук Бирюков А С.

Ведущая организация: Институт механики МГУ

Защита состоится « » др-еЬралЗ 2000 г. в -/¿г часов

на заседании Специализированного диссертационного совета Д 053.05.80 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы горы, НИИЯФ МГУ, 19 корпус, аудитория 2-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ. Автореферат разослан « 6 » ¿МгбгуЮ_2000 г.

Ученый секретарь Специализированного диссертационного совета Д 053.05.80 в МГУ им. М.В.Ломоносова, доктор физ.-мат наук / А Н.Васильев

Г552.22?с

О!, О + ЬЪЧЬЛаМ.оь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность. В настоящее время проектирование и создание новых лазерных систем в значительной мерс опираются на кинетические модели активных срсд. Построение таких моделей включает в себя разработку математического описания кинетических явлений и определение вероятностей элементарных процессов. Использованные ранее методы вычислений и имеющиеся данные экспериментальных исследований констант скоростей реакций еще недостаточно полно дают, представление о физических аспектах иеупругого взаимодействия молекул. Это, в частности, связано с отсутствием информации о сечениях процессов и межмолскулярных потенциалах в неадиабатической области энергии.

Значительное влияние на эффективность проточных лазерных систем оказывает наличие аэрозольных частиц в активных средах. Сложность и специфика измерения аэрозолей в газах требует разработки комбинированною оптического метода, сочетающего в себе свойства абсорбционного метода и метода диагностики излучения, рассеянного частицами под малыми углами "вперед".

Развитие информационного подхода к решению этих задач лазерной физики посвящена данная работа. В последние годы информационный подход к решеишо обратных задач приобретает все большее значение, благодаря появлению современных компьютеров. Поиск параметров лазерных сред методом решения обратных задач по экспериментально измеренным с определенной степенью точности физическим величинам осуществляется с помощью интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода и относится к классу некорректных задач, в которых небольшие возмущения правой части приводят к значительному снижению точности решения. Проблема точности решения " заключается в совершенствовании методики критериального отбора параметра регуляризации для выбора единственного регуляризованного решения и в получении достаточно надежных экспериментальных данных.

Цель работы. Разработка информационного подхода для решения задач физико-химической кинетики лазерных сред. Расчет на основе экспериментальных данных скоростей процессов релаксационных СО2 -С02, С02 - N2, С02 - Не, СО - Не, 02 - 02 и химических реакций Н2 + О -II + ОН в широком температурном интервале 200 - 2500 К. Определение сечений, потенциалов, энергии порога и активации химических реакций.

Разработка методики определения функции распределения частиц по размерам в газовых средах и се экспериментальная отработка с

использованием панорамного сканирования. обеспечивающего оперативный контроль за обшей концентрацией аэрозольных частиц и их дисперсностью на основании информации об индикатрисе рассеянного излучения

Научная новизна. Разработан критериальный отбор параметра регуляризации при решении интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, который даст возможность получать единственное регуляризованнос решение для задач физико-химической кинетики и лазерной диагностики полидисперсного аэрозоля.

Разработан метод экстраполяции вероятностных характеристик процесса неунругого столкновения молекул. определенных в адиабатической области энергий, в неадиабатическую область.

Решена обратная задача получения полной энергетической зависимости сечений физико-химических реакций для всего диапазона адиабатической и неадиабатической областей энергий.

Для решения обратных задач по светорассеянию предложена норма для определения устойчивого регуляризованного решения с использованием коэффициента корреляции.

Разработана методика панорамного сканирования индикатрисы рассеянного излучения н определение функции распределения частиц по размерам в газовых потоках.

Практическая значимость. Разработанный метод использован для аналитического продолжения констант скоростей реакций СО; - СО?, С02 - N2. СО: - Не, СО - Не. 0: - 0: . Н: + О - Н + ОН в область низких (200 К) и высоких (2500 К) температур, где проведение эксперимента связано с большими трудностями. Представлена оценка ошибки расчета констант скоростей и оптимальная длина задаваемого температурного интервала. На основании полученных сечений определены параметры потенциала межмолскулярного взаимодействия Борна-Майсра и области энергий до 2 эВ.

Полученные в результате расчета константы скоростей реакций, энергии порога и активации химических реакций, параметры потенциала могут быть использованы при разработках и проектировании лазерных систем, использующих в качестве рабочего тела неравновесные газовые среды.

Предложен более точный метод для определения функции распределения частиц но размерам по сравнению с методом Шифрина. который использован в качестве математического обеспечения панорамного анализатора лазерного излучения, измеряющего концентрацию нолиднсперсных аэрозолей. Реализован алгоритм ввода в компьютер результатов сканирования лазерного пучка, прошедшего через

исследуемый аэрозоль, с целью получения в матричной форме индикатрисы рассеянного излучения, что расширяет возможности рассматриваемого метода диагностики. Алгоритм опробован для сканирующего устройства с приемной входной апертурой 20 х 20 мм ирн шаге между ячейками 1 мм и оптическим размером ячейки, соответствующем 0.5 мм. Методика экспериментального исследования индикатрисы рассеяния лазерного излучения на базе решения обратной задачи о .малоугловом рассеянии "вперед" может быть использована при определении параметров аэрозольных потоков в сопловых устройствах, в технологических трактах проточных газовых лазеров, а также при создании приборов экологического контроля запыленности атмосферы.

Достоверность результатов диссертации определяется комплексным подходом, включающим тройной контроль - теорию, эксперимент и диагностику, а также следует из сопоставления с известными результатами других авторов.

Jlii'iiii.iii вклад автора. В большинстве работ автором сформулирована постановка задачи и разработаны пути их решении. Теоретические и экспериментальные исследования проводились либо им самим, либо при его участии.

Апробация работы. Материалы диссертации опубликованы в 8 работах и доложены на семинарах в ЦИАМ, и ФИ АН и па 1-ой Всероссийской научной конференции по молекулярной физике неравновесных систем в г. Иваново в 1999 г. 11 - 81.

Па защиту выносятся научные положения, сформулированные н виде выводов но работе и разделе "Заключение"

Структура и обт.см диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 200 наименований и содержит 73 рисунка и 8 таблиц. Полный объем диссертации составляет 185 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении содержится обоснование актуальности решаемых в диссертации задач, формулируется цель работы и приводится ее краткое содержание, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе изложены основные принципы информационного подхода к задачам лазерной физики, детально рассмотрены математические основы метода регуляризации, связанные с решением интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, и анализируются различные способы определения параметра регуляризации. Предложен критериальный отбор параметра регуляризации, дающий единственное

рсгуляризованное решение. Детально анализируется конечно-разностная схема метода регуляризации. С помощью численного эксперимента данная методика аппробируется на примере аналитического продолжения модельной функции.

Во второй главе рассматривается общая постановка прямой и обратной задач расчета сечений физико-химических реакций, включающая теоретические модели. Представлен краткий обзор квантовомеханических теорий столкновения для предельных случаев адиабатической и неадиабатической областей энергий. Показано, что сечения должны иметь экстремум по энергии, положение которого определяется правилом адиабатического максимума. Объясняется возможность аналитического продолжения в неадиабатическую область энергий характеристик элементарных процессов, определенных в адиабатической области. По экспериментальным значениям констант скоростей, определенных в узком температурном диапазоне, находятся сечения, как функция энергий сталкивающихся молекул, для всего диапазона адиабатической и неадиабатической областей. Представлен численный расчет сечений ряда физико-химических реакций. Обсуждается точность метода решения обратной задачи и представлен анализ полученных результатов.

Получено исходное уравнение для определения сечения по заданным значениям константы скорости реакции, определенной в некотором температурном интервале:

СО <

\е-е"а(е) птйг = 0.3968 ■ К(Т)пт

(1)

К(Т)пт= 1.362- Ю'16-^-

где К(1г)пт —> константа скорости (см3/с), е—> энергия относительного движения частиц (эВ), ц = дгЦ2/(Ц1+ йг) - приведенная масса сталкивающихся частиц с массами , (г), Т —> температура газа (К),

<У{е)пт —> сечение (см2), к — 8.625 ■ 10~5 - постоянная Больцмана (эВ/К), ртпт —> время релаксации (атм.мке).

В методе регуляризации Тихонова уравнение (1) эквивалентно решению уравнения Эйлера для определения неизвестной функции

а\р{ф(е)пт - [q(e)aXe) J}+ ]к{Т,Бу/е = Ь{е)

max

К(е,х)= JK(7\e)K(T,x)dT (2)

Т -

min

i max

b(e)= \K{T,s)f(T)dT

Ttmn

с использованием следующего граничного условия сг'(О) = 0, а'(со) = 0 , где К(Т,е) - ядро интегрального уравнения, f(T) - заданная правая часть уравнения (1), or, р(е), q(e) - параметры регуляризации.

• Для численного решения уравнение Эйлера (2) заменяется конечно-разностной аппроксимацией на ссткс переменных S• = £ + А, £0 = о, £] = £0 4- A, j = 2,3,...,j0 , A - шаг по энергии е,

7] = 7М +h,Tx = 7mm,/ = 2,3,...,/О,/?-шаг по температуре, и сводится

к системе линейных алгебраических уравнений. Первый интеграл в уравнении (2) вычисляется с помощью квадратурной формулы трапеции, последние два интеграла находятся по формуле Ромберга с заданной степенью точности порядка 10"7, первая и вторая производные функции ст(е) аппроксимируются правой и центральной разностью,

соответственно. Эйлеров оператор для аппроксимирующего функционала имеет следующий вид:

^ С, =-а\ЦЛ\ (3)

7 д2 J р Д2 д| J |д2 Aj

1 — 1 — J'°'1 — AjaH+Bjaj +Cjt7jn +A(~AVo + -KJJOaJO +

i=i

(da\ o'u\ i t (dra\ ,

il-V^j; a +0(A)

При проведении численных экспериментов в качестве а-послсдовательности выбирается отрезок убывающей геометрической прогрессии ак1{ = ак ■ у , где у<1. Для каждого значения ак в

результате решения системы (3) определяется сетчатая функция а"1 (£ ■) . Введем среднеквадратичную норму уклонения в следующем виде:

5(a) = ■

РТп

, /0 1/2

Для расчета сечений методом регуляризации требуется решить конечно-разностный аналог интегро-днфференциалыюго уравнения Эйлера (3) с граничными условиями сг'(О) = и определением

параметра регуляризации а из критериального отбора: для определения единственного регуляризованного решения а(s) среди нескольких значений ак, соответствовавших экстремуму (минимум)) нормы, или в отсутствии точек экстремума, следует взять единственное значение ainf, соответствующее наименьшему' значению относительной среднеквадратичной нормы i nfS(ak), при котором решение неотрицательно. В данной работе исследуются следующие реакции:

1)09,(00° 1 ) + С02(00°0) С02( 11' 0,03' 0) 4-СОг(00°0)

2)С02 (00° ]) + N2 (V = 0) С02(111 0,03' 0) + N2 (V = 1)

3) СОг (00° 1) + Не ~> С02 (1110,0310) + Не

4) СО, (00° 1) + С02 (пт10) -> С02 (и,/и,' 0) + С02 (и/я' 0)

5) CO(v = 1) 4- Не ~> CO(v = 0) + Не

6) Ог (v = 1) + 02 (v = 0) -» 02 (v = 0) + Ог (v = 0) 1)Н2 +0~^Н + 0Н

Результаты расчета сечения для реакции (5) в сравнении с результатами квантовомеханических расчетов представлены на рис. 1.

СО- Не (1-0) а •«■= 1.68»1оГ13

1»с 2

Рис. 1. Зависимость сечения дезактивации (см2) колебательной энергии СО от относительной энергии сталкивающихся молекул СО-Не (эВ).

В третьей главе рассмотрены прикладные возможности разработанной методики решения обратных задач для определения параметров газовых сред. Определяются параметры потенциала межмолекулярного взаимодействия Борна-Майсра в области неадиабатических энергий, энергия порога и активации элементарной химической реакции. Исследуется аналитическое продолжение констант скоростей в область низких и высоких температур, оценивается ошибка их расчета.

Полученная форма сечений дает возможность провести полное максвелловское усреднение для всего диапазона энергий, что существенно повышает точность расчета констант скоростей в области высоких и_ низких температур.

Из результатов данной работы следует, что полная энергетическая зависимость сечений имеет важное значение для тех столкновений, где £тах < 1 эВ, и не существенна для изучения динамики столкновения тех молекул, где сечения имеют экстремум при£'тах>1 эВ. Это связано с наличием экспоненциально убывающего члена в уравнении (1), вносящего пренебрежимо малый вклад в константу скорости для энергий, превышающих значение одного электрон-вольта.

На основании этого можно сделать вывод о том, что нет необходимости экспериментально определять значения константы скорости в области температур, где проведение эксперимента представляет

большие трудности. Для этого достаточно в качестве исходных данных взять значения К(Т) на небольшом интервале температур 400 - 800 К, где имеется минимальная систематическая погрешность в определении значений константы скорости, и по рассчитанному сечению получить аналитическое продолжение значений К(Т) в область высоких и низких температур. Результаты аналитического продолжения константы скорости в область температур 200 - 2500 К для ряда столкновений представлены в табл. I в виде коэффициентов полинома Ландау-Геллеровской зависимости вида:

SAjr"3 .

Таблица 1

Коэффициенты As полинома, аппроксимирующего данные рт(Т) (атм.мкс).

рт А А 4 А

со2-со2 11.162 -244.915 1743 -3613

СО,-со, /""«л 10.036 -361.384 3533 -1006

рт■%-»> 13.479 -371.451 3400 -9331

-24.314 451.161 -2399 4058

СО - Не рт 3.704 -114.857 1470 -3584

-13.993 284.912 -1468 4579

КНг+0 (Т) - 9.045• Ю-14 ■ Г° 848 • ехр^ 453?] ^ -0.391 эВ

Экспериментальное значение константы скорости можно определить фазовым методом с ошибкой порядка (10-15)% на интервале 400 - 800 К, поэтому можно ожидать, что ошибка восстановления сечения будет складываться из ошибок эксперимента, аналитического продолжения и ошибки расчета: 15+1.6+^(а) и не будет превышать 17%. ■

Для химических реакций метод регуляризации дает возможность из данных зависимостей констант скоростей от температуры рассчитать

рт(Т) = ехр

сечения элементарных химических реакций, энергию порога е0 и энергию активации £ас1. Расчет сечений проводился для различных значений е0 , изменяющихся в пределах (0-0.5) эВ с шагом 0.01 эВ. Для каждого значения о(е) находилась норма 5(е0) . Из вида данной зависимости определялась энергия порога, при которой среднеквадратичная норма уклонения (^(¿Гд) принимает наименьшее значение. Для реакции (7) было получено значение £0 = 0.365 эВ.

Согласно критерию Месси сечение неупругого взаимодействия максимально на границе адиабатичности, которая определяется равенством времени столкновения молекул и временем передачи энергии. Отсюда можно получить аналитическое выражение для силового параметра а потенциала Борна-Майера: г V2

а = 1.756-10 V

пт

. V. ^^тах У

, где V - частота перехода молекулы из

квантового состояния п в квантовое состояние т, Гц\ Ц - приведенная масса молекул, г; £тах- значение энергии, где сечение имеет максимальное значение, эВ\ а - силовая постоянная, 1/А. Значение потенциала У0 можно определить из закона сохранения энергии У0 = £тах ехр(а • ге),

г. . -1/б

где гс - г0\- + - (1 ь П)ш1 ,1) , /0 ,е0 - силовые

[2 2 ] е0

постоянные потенциала Леннарда-Джонса. Тогда получим:

Усо2-со2И = 3180ехр(-2.823-г)УСОг_Ыг(г) = 135ехр(-1.885-г) УСОг_иМ) = 3 ехр(-0.531 • г),УС0 (/") = 365ехр(-2.724-г) Уо2-о2 (г) = 26446ехр(-3.889 • г)

где г измеряется в А = 10'8 см, а V - эй. Потенциалы определены до энергий £ = 2етт. Межмолекулярные потенциалы, определенные в данной работе, асимптотически переходят в потенциалы, определенные из коэффициентов переноса.

На примере первых трех типов столкновений СОг-Х, соответствовавших одинаковой величине переданной энергии, можно сделать вывод об обратно-пропорциональной зависимости эффективного

радиуса поля сил отталкивания а от приведенной массы ц сталкивающихся молекул.

В четвертой главе исследуется взаимосвязь регистрируемых сигналов рассеянного излучения с функцией распределения частиц по размерам. Развит соответствующий формализм, позволяющий на основании информации об ивдикатрисе рассеянного под малыми углами "вперед" зондирующего лазерного излучения, находить функцию распределения для полидисперсного аэрозоля. Используются прямой метод инверсии Шифрина и обратный метод регуляризации, в рамках которого для решения шггегрального уравнения Фредгольма 1-го рода предложена норма для определения устойчивого регуляризованного решения с использованием коэффициента корреляции. На примере, модулирующем процесс рассеяния зондирующего лазерного излучения на 4-х частицах, детально анализируются два метода. Описывается экспериментальная установка для лазерной диагностики аэрозольных потоков, возникающих в энергоустановках и трактах газодинамических лазеров, с помощью которой подтверждается корректность использования коэффициента корреляции в качестве нормы регуляризованного решения. Разработана методика и оптическая аппаратура для измерения дисперсности газовых потоков. Эксперименты по измерению аэрозолей проводились на двухфазной струе углекислоты, генерируемой с помощью соплового устройства (рис. 2.). Получены распределения аэрозольных частиц в диапазоне 1 - 300 мкм (рис. 3.).

скякср

ж СО,

Рис. 2. Схема работы экспериментального стенда.

Схема испытательного стенда для определения спектра размеров частиц, приведена на рис. 2. Жидкая углекислота (предварительно обезвоженная) подается в сопловое устройство. Она проходит через входной жиклер и попадает в ресивер, где частично испаряясь, образует газожидкостную смесь. Фазовый состав этой смеси определяется временем пребывания углекислоты в ресивере, которое зависит от проходного отверстия слюнного жиклера л размеров камеры ресивера. Жидкая углекислота поступает в коническое сопло и далее выбрасывается в атмосферу в направлении, перпендикулярном осевому положению луча. Излучение от гелий-неонового лазера (20) с длиной волны л - 0.63 мкм и выходной мощностью излучения примерно 5 мВт проходит через аэрозольный поток и рассеянное излучение регистрируется панорамным анализатором излучения - сканером (10).

Рассматривались два характерных режима работы соплового генератора частиц: с малым временем пребывания единицы расхода смеси и большим временем пребывания. При .меньших расходах, соответствующих пониженным давлениям в ресивере, процесс дробления капель из-за нх вскипания шел более интенсивно и на выходе из сопла создавался мелкодисперсный аэрозоль. При повышенных расходах и, следовательно, повышенных давлениях аэрозоль состоял из более крупных частиц. Параметры излучения лазера, его расходимость, поперечные размеры и мощность регулируются, чтобы обеспечить оптимальные условия фотометрирования прямого и рассеянного лазерного излучения. Фотомстрированис излучения производится в дальней зоне, находящейся на расстоянии I. от аэрозольной струи по ходу распространения излучения.

Индикатриса рассеяния 1ф) сферической частицы радиуса а в предположении однократного акта рассеяния и некогерентносгн рассеяния связана в теории дифракции Фраунгофера с функцией распределения /(а) полидисперсного аэрозоля для больших частиц, когда их размеры существенно превышают длину волны Я зондирующего излучения, следующим соотношением:

да 2

о Р

где /о интенсивность падающего света, дифракционный безразмерный параметр р = 2тю!X, р - угол рассеяния (в радианах), (х) - функция Бесселя первого рода первого порядка.

Среднеквадралршая норма уклонения хорошо описывает взаимное расположение дву х статистически независимых массивов, если

порядок изменения величин на всей длине экспериментально определенного массива не превышает единицы. Это характерно для многих задач физико-химической кинетики применительно к расчет)' сечений. Однако для широкого класса оптических задач отношение 1тах/1тт = 10 3"6 и норма ¿ОД хорошо описывает взаимное расположение кривых I и 1° только при небольших углах рассеяния Д

Поэтом)' для данного рода задач необходимо искать сходимость

решения в классе статистической нормы ра — 1 — |р(/,/а)|, где

р(],/") - коэффициент корреляции. Восстановленный спектр частиц на основании измеренной с помощью сканера индикатрисы рассеянного излучения для мелкодисперсной фазы приведен на рис. 3.

О 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300

Рис. 3. Спектр размеров частиц па выходе аэрозольного генератора, aj -радиус в мкм; /¡т, - метод регуляризации; аф = 39.35 мкм - среднее по функции распределения значение радиуса.

При этом, использование в качестве нормы регуляризованного решения коэффициента корреляции дало возможность получить восстановление исходной индикатрисы рассеяния с точностью до двух процентов. Проведенные экспериментальные исследования генератора аэрозольных частиц методом панорамного сканирования подтвердили эффективность использования данной методики для диагностики аэрозольных образований в лазерных средах.

В пятой главе рассматриваются области физических приложений немарковского подхода и связанных с ним ннтегро-дифференциальных уравнений, которые могут решаться с помощью развитой в работе методики. Обсуждаются пути практического решения задач, учитывающих память о прошлом. Исследована упрощенная немарковская модель системы "хищник - жертва".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В работе получены следующие основные результаты.

1. Для решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода разработана методика определения единственного регуляризованного решения в классе непрерывных функций. Применение предложенного критериального отбора параметра регуляризации дает возможность получать единственное сходящееся решение даже в том случае, если норма уклонения не имеет точек экстремума.

2. Для реакций энергообмена молекул С02 - С02, С02 - N2, С02 - Не, СО -Не, 02 - 02, Н2 + О - Н + ОН решена обратная задача расчета сечений физико-химических реакций из температурных зависимостей констант скоростей реакций и показана возможность их экстраполяции в область низких и высоких температур. Для химических реакций предложена методика определения энергии порога и активации.

3. Методом решения обратной задачи установлен полный вид сечений реакции колебательного энергообмена для всего диапазона адиабатической и неадиабатичсской областей энергий. Расчетное исследование сечений в молекулярных смесях показало, что экстремальные значения сечений для столкновений двухатомных и трехатомных молекул лежат в области энергий 0.22-1.18 эВ. Численно показано, что основной вклад в процесс неупругого взаимодействия молекул вносят высокоэнергетические молекулы.

4. Предложена методика определения параметров экспоненциального потенциала межмолекулярного взаимодействия из решения обратной задачи на основании адиабатического правила Месси в области энергий до 2 эВ. Показано, что межмолекулярный потенциал, определенный исходя из кинетики неупругого удара молекул для неадиабатической области энергий, асимптотически переходит в тепловой потенциал, определенный из коэффициентов переноса.

5. Введена в рассмотрение норма уклонения на основании коэффициента корреляции, которая дает возможность применить метод регуляризации для широкого класса оптических задач по светорассеянию.

6. Проведен анализ математических соотношений, устанавливающих связь между экспериментальными измерениями распределения рассеянного излучения под малыми углами "вперед" и функцией распределения частиц аэрозоля по размерам. Созданы алгоритмы решения интегрального уравнения методом регуляризации и тестирования программного продукта применительно к задаче дистанционной диагностики аэрозольных образований.

7. На основании большого числа параметрических расчетов модельных задач была доказана работоспособность предложенного выше алгоритма расчета для диапазона величин аО. от 2 до 350, что для длины волны гелий-неонового лазера примерно соответствует частицам с размерами от 1 до 300 мкм.

8. Проведенные исследования экспериментального генератора аэрозольных частиц твердой углекислоты методом панорамного сканирования рассеянного Q. ~ 0,63 мкм) излу чения зондирующею лазера показали, что применение разработанного алгоритма и программы определения размеров частиц позволяет устойчиво восстанавливать спектр генерируемых частиц в диапазоне размеров 1-300 мкм с нормой коэффициента корреляции порядка 0.001, что открывает перспективу к практическому использованию данного алгоритма для измерения концентрации частиц в проточных системах.

9. Проведенные исследования численного эксперимента модели "хищник-жертпа" показывают, что учет информации о прошлом существенно влияет на изменение временных зависимостей численности популяций, а также указывают на перспективность использования в рассматриваемом круге задач упрощенною подхода, основанного на конечно-разностных методах.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Сериков Р.И.. Симановский ИВ. Расчет сечений физико-химических реакций из решения обратной задачи// НТО ЦИАМ. гос.per. № У39637. инв.№ 11823. 1992. 120 с.

2. Кулагин Ю.А., Сериков Р.И., Симановский И:В., Шелеиин Л.А. Расчет сечений физико-химических реакций методом обратной задачи// Препринт ФИАН № 25. М.: ФИАН. 1999. 50 с.

3. Кулагин Ю.А., Сериков Р.И., Симановский И.В., Шелепин Л.А. Применение метода регуляризации для задач физико-химической кинетики// Иваново: ИГУ. 17 - 20 мая 1999. Материалы 1-ой Всероссийской научной конференции «Молекулярная физика неравновесных систем». С. 71 - 75.

4. Kulagin Y Л . Scricov R. I.. Simanovskii 1 V.. Scliclcpin L. A. Application of the inverse problem method for the calculation of the probability cliaractcristic of elementary processes// J. of Rus. Laser Res. 1999. V 20. No 6. P. 560 - 590.

5. Кулагин Ю А.. Сериков P.И.. СимановскиН И.В.. Шслепнн Л.А. Применение методов прямой и обратной чадам для расчета функции распределения частиц по размерам// Препринт ФИ АН № 46. М.: ФИАН. 1999. 22 с.

6. Кулагин Ю.А., Сериков Р.И.. Снмановский И.В., Шелспин Л.А. Прикладные аспекты немарковского подхода// Краткие сообщ. по физике. 1999. №8. С. 18-23.

7. Кулагин 10.А., Сериков Р.И.. Снмановский И.В., Шелспин Л.А. Модель хищник - жертва с учетом памяти// Краткие сообщ по физике. 1999. № II . С. 42 - 47.

8. Депгерев Д.Е.. Сериков Р.И.. Снмановский И.В., Хайлов В.М., Хритов Л.М. Разработка методики расчета дисперсности аэрозолей по рассеянию зондирующего излучения// НТО ЦИАМ. № 700 - 2754. 1999.39 с.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Симановский, Игорь Валентинович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Информационный подход в лазерной физике.

1.1. Об основах информационного подхода.

1.2. Некорректные задачи.

1.3. Математическая модель.

Глава 2. Расчет сечений на основе экспериментальных данных.

2.1. Методы прямой и обратной задачи.

2.2. Анализ исходных данных.

2.3. Расчет сечений.

Глава 3. Определение параметров газовых сред.

3.1. Оценка ошибки расчета констант скоростей.

3.2. Исследование длины задаваемого температурного интервала.

3.3. Аналитическое продолжение констант скоростей.

3.4. Энергия порога и энергия активации.

3.5. Потенциал межмолекулярного взаимодействия.

Глава 4. Расчет функции распределения частиц по размерам.

4.1. Краткий анализ методов исследований концентраций аэрозольных частиц.

4.2. Расчет функции распределения методами прямой и обратной задачи.

4.3. Критериальный отбор параметра регуляризации.

4.4. Моделирование процесса рассеяния света на 4-х частицах.

4.5. Сопоставление с экспериментом.

Глава 5. Информационный подход и процессы с памятью.

5.1. Информация в немарковских процессах.

Введение диссертация по физике, на тему "Информационный подход в задачах лазерной физики"

В настоящее время проектирование и создание новых лазерных систем в значительной мере опираются на кинетические модели активных сред. Построение таких моделей включает в себя разработку математического описания кинетических явлений и определение вероятностей элементарных процессов. Использованные ранее методы вычислений и имеющиеся данные экспериментальных исследований констант скоростей реакций еще недостаточно полно дают представление о физических аспектах неупругого взаимодействия молекул. Это, в частности, связано с отсутствием информации о сечениях процессов и межмолекулярных потенциалах в неадиабатической области энергии.

Значительное влияние на эффективность проточных лазерных систем оказывает наличие аэрозольных частиц в активных средах. Сложность и специфика измерения аэрозолей в газах требует разработки комбинированного оптического метода, сочетающего в себе свойства абсорбционного метода и метода диагностики излучения, рассеянного частицами под малыми углами "вперед".

Развитие информационного подхода к решению этих задач лазерной физики посвящена данная работа. В последние годы информационный подход к решению обратных задач приобретает все большее значение, благодаря появлению современных компьютеров. Поиск параметров лазерных сред методом решения обратных задач по экспериментально измеренным с определенной степенью точности физическим величинам осуществляется с помощью интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода и относится к классу некорректных задач, в которых небольшие возмущения правой части приводят к значительному снижению точности решения. Проблема точности решения заключается в совершенствовании методики критериального отбора параметра регуляризации для выбора единственного регуляризованного решения и в получении достаточно надежных экспериментальных данных.

В данной работе предложен критериальный отбор параметра регуляризации и последовательно развивается информационный подход для определения полной энергетической зависимости сечений физико-химических реакций по данным температурных зависимостей констант скоростей реакций и лазерной диагностики полидисперсного аэрозоля.

Определение характеристик элементарных процессов (сечений взаимодействия, констант скоростей, вероятностей переходов) - важнейшая составная часть задач физико-химической кинетики. Зная сечения и их энергетическую зависимость можно вычислить константу скорости процесса в области температур, где практически невозможно осуществить точные экспериментальные измерения.

В настоящее время не существует законченной теории и совершенных методов расчета зависимости сечения а от относительной энергии е сталкивающихся молекул для всего диапазона адиабатической и неадиабатической области энергий.

Расчеты сечений, основанные на известных теориях Ландау-Теллера, Славского-Шварца-Герцфельда, Видома-Шина, дают возможность получить зависимость <j(s) только для предельных случаев больших и малых энергий столкновений двухатомных молекул. Фактически единственным источником надежной информации о сечениях, в частности для многоатомных молекул, является численное решение нестационарного уравнения Шредингера. Пока что на этом пути, используя развитые полуклассические методы расчета, удалось получить зависимость cr(s) только для области адиабатических энергий, что связано с отсутствием информации о межмолекулярном потенциале взаимодействия в области энергий, значительно превышающих средние тепловые энергии молекул. Отсутствие значений сечений в этой области энергий приводит к большой ошибке расчета значений констант скоростей при высоких температурах и потере информации о высокоэнергетических столкновениях молекул, которые вносят основной вклад в процесс передачи энергии между внутренними и поступательными степенями свободы.

Получение информации о вероятностных характеристиках столкновительных процессов молекул из нестационарного уравнения Шредингера, относится к так называемой прямой задаче. Ее решение оказывается возможным лишь в рамках некоторых упрощенных теоретических моделей, аппроксимирующих реальное взаимодействие между молекулами. Это связано, прежде всего, с трудностями вычислительного характера, поскольку реальное число возможных квантовых состояний в системе из двухатомных и трехатомных молекул только для адиабатической области энергий доходит до нескольких тысяч. Кроме того, как правило, не известна поверхность потенциальной энергии для конфигурации всех атомов, участвующих в реакции.

Поэтому возникает альтернативная задача: по экспериментально заданным значениям константы скорости К(Т), определенной в узком температурном диапазоне, определить сечение <r(s) для всей области энергий. Это - предмет так называемой обратной задачи.

Настоящая работа посвящена последовательному развитию методики решения обратной задачи и определению на этой основе сечений во всей области энергий, а также и других характеристик элементарных процессов.

Используя возможности аналитического продолжения значений вероятностных характеристик процесса столкновения, определенных в адиабатической области энергий, в неадиабатическую область, находятся истинные значения констант скоростей реакций в области температур, где невозможно осуществить точный эксперимент, а также определяются значения межмолекулярного потенциала в области расстояний, соответствующих сильному отталкиванию молекул.

В лазерной физике информационный подход имеет большое значение в вопросах диагностики лазерных сред. Это относится к правильности обработки эксперимента и достоверности полученных данных в зависимости от результатов измерений.

Техника измерений концентрации взвешенных частиц в газовых выбросах чрезвычайно сложна и это в первую очередь связано с тем, что аэрозольные частицы имеют разные размеры, формы и плотности. Их концентрации в газовой среде, допустимые на уровне (ПДК), сравнимы с ПДК для основных газообразных загрязняющих веществ СО, N0, БОг и т.д. При этом следует иметь в виду, что пыль может изменять свои свойства во время движения по тракту сжигательной установки, при выбросе в атмосферу и осаждении на поверхности.

Существующие способы контроля за пылевыми выбросами и измерительная аппаратура непрерывно совершенствуется в направлении повышения быстродействия, уменьшения весогабаритных характеристик, использования компьютерной техники в обработке исходных сигналов, а также применения, где это необходимо, бесконтактных методов контроля. Кроме того, большое значение в этих исследованиях придается созданию калибровочных устройств и пылевых эталонов.

Основным направлением проводимого исследования является разработка математического метода и экспериментальной установки, обеспечивающих оперативный контроль за общей концентрацией аэрозольных частиц и их дисперсностью в проточных лазерных системах на основании информации об индикатрисе рассеянного лазерного излучения, сканирующего исследуемый объем.

Предложенная в данной работе математическая модель решения интегральных уравнений является адекватным аппаратом для анализа немарковских процессов, т.е. процессов с памятью и связанных с ними интегро-дифференциальных уравнений. Их решение на основе простейших конечно-разностных схем третьего порядка дает возможность производить прогноз на основе объема памяти о прошлом.

Актуальность. Диссертационная работа посвящена развитию информационного подхода к расчету полной энергетической зависимости сечений по данным температурных зависимостей констант скоростей релаксационных и химических реакций, а также восстановлению функции распределения частиц по размерам различных полидисперсных аэрозолей по данным индикатрисы рассеянного лазерного излучения и разработке на этой основе новых лазерных систем и улучшение характеристик уже созданных лазеров и приборов для определения концентрации аэрозольных образований в трактах газодинамических лазеров.

Разработанный информационный подход применим и для решения немарковских уравнений, в которых исследуются конечно-разностные схемы третьего порядка для моделирования поведения экологической системы «хищник-жертва».

Цель работы. Разработка информационного подхода для решения задач физико-химической кинетики лазерных сред. Расчет на основе экспериментальных данных скоростей процессов релаксационных СОг - СО2, С02 - N2, СОг - Не, СО - Не, Ог - О2 и химических реакций Н2 + О - Н + ОН в широком температурном интервале 200 -2500 К. Определение сечений, потенциалов, энергий порога и активации химических реакций.

Разработка методики определения функции распределения частиц по размерам в газовых средах и ее экспериментальная отработка с использованием панорамного сканирования, обеспечивающего оперативный контроль за общей концентрацией аэрозольных частиц и их дисперсностью на основании информации об индикатрисе рассеянного излучения.

Разработка конечно-разностных методов решения уравнений с памятью.

Научная новизна. Разработан критериальный отбор параметра регуляризации при решении интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, который дает возможность получать единственное регуляризованное решение для задач физико-химической кинетики и лазерной диагностики полидисперсного аэрозоля.

Разработан метод экстраполяции вероятностных характеристик процесса неупругого столкновения молекул, определенных в адиабатической области энергий, в неадиабатическую область.

Разработана методика тестирования математической модели, описывающей процесс малоуглового рассеяния "вперед".

Разработана методика панорамного сканирования индикатрисы рассеянного излучения и определение функции распределения частиц по размерам в газовых потоках.

Практическая значимость. Разработанный метод использован для аналитического продолжения констант скоростей реакций СО2 - СО2, СО2 - N2, СОг -Не, СО - Не, 02 - 02 , Н2 + О - Н + ОН в область низких (200 К) и высоких (2500 К) температур, где проведение эксперимента связано с большими трудностями. Представлена оценка ошибки расчета констант скоростей и оптимальная длина задаваемого температурного интервала. На основании полученных сечений определены параметры потенциала межмолекулярного взаимодействия Борна-Майера в области энергий до 2 эВ.

Предложен более точный метод для определения функции распределения частиц по размерам по сравнению с методом Шифрина, который использован в качестве математического обеспечения панорамного анализатора лазерного излучения, измеряющего концентрацию полидисперсных аэрозолей. Реализован алгоритм ввода в компьютер результатов сканирования лазерного пучка, прошедшего через исследуемый аэрозоль, с целью получения в матричной форме индикатрисы рассеянного излучения, что расширяет возможности рассматриваемого метода диагностики. Алгоритм опробован для сканирующего устройства с приемной входной апертурой 20 х 20 мм при шаге между ячейками 1 мм и оптическим размером ячейки, соответствующем 0.5 мм. Методика экспериментального исследования индикатрисы рассеяния лазерного излучения на базе решения обратной задачи о малоугловом рассеянии "вперед" может быть использована при определении параметров аэрозольных потоков в сопловых устройствах, в технологических трактах проточных газовых лазеров, а также при создании приборов экологического контроля запыленности атмосферы.

Личный вклад автора. В большинстве работ автором сформулирована постановка задачи и разработаны пути их решения. Теоретические и экспериментальные исследования проводились либо им самим, либо при его участии.

Апробация работы. Материалы диссертации опубликованы в 8 работах [17-21, 109, 117, 119] и доложены на семинарах в ЦИАМ, в ФИАН и на 1-ой Всероссийской научной конференции по молекулярной физике неравновесных систем в г. Иваново в 1999 г.

На защиту выносятся научные положения, сформулированные в виде выводов по работе в разделе "Заключение".

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 120 наименований и содержит 73 рисунка и 8 таблиц. Полный объем диссертации составляет 185 страниц.

Заключение диссертации по теме "Лазерная физика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации получены следующие основные результаты.

2. Для реакций энергообмена молекул С02 - С02, С02 - N2, С02 - Не, СО - Не, 02 - 02, Н2 + О - Н + ОН решена обратная задача расчета сечений физико-химических реакций из температурных зависимостей констант скоростей реакций и показана возможность их экстраполяции в область низких и высоких температур. Для химических реакций предложена методика определения энергии порога и активации.

3. Методом решения обратной задачи установлен полный вид сечений реакций колебательного энергообмена для всего диапазона адиабатической и неадиабатической областей энергий. Расчетное исследование сечений в молекулярных смесях показало, что экстремальные значения сечений для столкновений двухатомных и трехатомных молекул лежат в области энергий 0.22 - 1.18 эВ. Численно показано, что основной вклад в процесс неупругого взаимодействия молекул вносят высокоэнергетические молекулы.

7. На основании большого числа параметрических расчетов модельных задач была доказана работоспособность предложенного выше алгоритма расчета для диапазона величин а/Х от 2 до 350, что для длины волны гелий-неонового лазера примерно соответствует частицам с размером от 1 до 300 мкм.

8. Проведенные исследования экспериментального генератора аэрозольных частиц твердой углекислоты методом панорамного сканирования рассеянного (Я = 0.63 мкм) излучения зондирующего лазера показали, что применение разработанного алгоритма и программы определения размеров частиц позволяет устойчиво восстанавливать спектр генерируемых частиц в диапазоне размеров 1-300 мкм с нормой коэффициента корреляции порядка 0.001, что открывает перспективу к практическому использованию данного алгоритма для измерения концентрации частиц в проточных системах.

9. Проведенные исследования численного эксперимента модели "хищник-жертва" показывают, что учет информации о прошлом существенно влияет на изменение временных зависимостей численности популяций, а также указывают на

176 перспективность использования в рассматриваемом круге задач упрощенного подхода, основанного на конечно-разностных методах.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Симановский, Игорь Валентинович, Москва

1. Бриллуэн Л. Наука и теория информации// М.: Физматгиз. 1960. 392 с.

2. Нейман Д. фон. Математические основы квантовой механики// М.: Наука. 1964. 368 с.

3. Вайнштейн В.Д., Гельфанд Ю.А. Квантовые измерения и теория макроскопических процессов//Труды ФИАН. 1986. Т. 173. С. 17-93.

4. Холево A.C. Информационные аспекты квантового измерения// Проблемы передачи информации. 1973. Т. 9. № 2. С. 31-42.

5. Дидюков А.И., Кирко В.Ю., Кулагин Ю.А., Шелепин Л.А. Многочастотное лазерное зондирование// Препринт ФИАН № 109. М.: ФИАН. 1989. 37 с.

6. Ачасов О.В., Кудрявцев H.H., Новиков С.С., Солоухин Р.И., Фомин H.A. Диагностика неравновесных состояний в молекулярных лазерах// М.: Наука и техника. 1985. 208 с.

7. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма 1 рода//ЖВМиМФ. 1964. Т. 4. № 3. С. 564 571.

8. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации// ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501 504.

9. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач// ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1.С. 49-52.

10. Ю.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач// М.: Наука. 1974. 224 с.11 .Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации// ЖВМиМФ. 1966. Т. 6. № 1. С. 170 175.

11. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения// М.: МГУ. 1989. 198 с.

12. Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: МГУ. 1989.

13. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа// М.: Наука. 1980.

14. Гребенщиков А.И. Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применение// М.: МГУ. 1986.

15. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ// Киев: Наукова думка. 1978. 415 с.

16. Сериков Р.И., Симановский И.В. Расчет сечений физико-химических реакций из решения обратной задачи// НТО ЦИАМ. гос.рег. .№ У39637. инв. № 11823.1992.120 с.

17. Кулагин Ю.А., Сериков Р.И., Симановский И.В., Шелепин Л.А. Расчет сечений физико-химических реакций методом обратной задачи// Препринт ФИАН № 25. М.: ФИАН. 1999. 50 с.

18. Kulagin Y. A., Sericov R. I., Simanovskii I. V., Schelepin L. A. Application of the inverse problem method for the calculation of the probability characteristic of elementary processes// J. of Rus. Laser Res. 1999. V. 20. No 6. P. 560 590.

19. Кулагин Ю.А., Сериков Р.И., Симановский И.В., Шелепин Л.А. Применение методов прямой и обратной задач для расчета функции распределения частиц по размерам// Препринт ФИАН № 46. М.: ФИАН. 1999. 22 с.

20. Рудаков В.П., Стасенко А.Л., Флаксман Я.Ш. Определение массового спектра частиц в газодисперсных потоках методом малоуглового рассеяния// Ученые записки ЦАГИ. 1993. Т. 24. №2. С. 114-122.

21. Сериков Р.И. Исследование релаксации колебательной энергии уровня 001 молекулы двуокиси углерода// М.: МИФИ. 1973. Кандидатская диссертация. 114 с.

22. Губанов A.M., Ерощенков Е.К., Малкин O.A., Полак JI.C. Определения сечения ст(е) и пороговой энергии химической реакции по экспериментальным данным о константе скорости реакции// Кинетика и катализ. 1972. Т. 13. В. 1. С. 33 41.

23. Каханер Д., Моулер К., Неш С. Численные методы и программное обеспечение// М.: Мир. 1998. 575 с.

24. Черный Г.Г., Лосев С.А. Физико-химические процессы в газовой динамике// М.: МГУ. 1995. Т. 1.

25. Хастед Дж. Физика атомных столкновений// М.: Мир. 1965.

26. Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений// М.: Мир. 1969. 756 с.

27. Кларк Дж., Макчесни М. Динамика реальных газов// М.: Мир. 1967. 556 с.

28. Балашов В. В. Квантовая теория столкновений// М.: МГУ. 1985. 198 с.

29. Давыдов А. С. Квантовая механика// М.: Наука. 1973.

30. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах//М.: Наука. 1965. 484 с.

31. Shin H.K. Excitation of Molecular Vibration on Collision. Oriented Nonlinear Encounters// J.Phys.Chemistry. 1969. V. 73. No 12. P. 4321 4328.

32. Флайгер У. Строение и динамика молекул// М.: Мир. 1982. Т. 1 2. 872 с.

33. Ву Т. Ю., Омура Т. Квантовая теория рассеяния// М.: Наука. 1969. 451 с.

34. Гольдбергер М., Ватсон К. Квантовая теория рассеяния// М.: Мир. 1967. 823 с.

35. Давыдов А. С. Теория атомного ядра// М.: Наука. 1958. 611 с.

36. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике//М.: Наука. 1971. 544 с.

37. Смирнов Б.М. Атомные столкновения и элементарные процессы в плазме// М.: Атомиздат. 1968. 363 с.

38. Бэрк Ф. Дж. Потенциальное рассеяние в атомной физике//М.: Атомиздат. 1980. 100 с.

39. Shin H.K. Vibration-to-vibration energy transfer in near-resonant collisions// J.Chem.Physics. 1974. Vol. 60. No 3. P. 1064 1070.

40. Shin H.K. Excitation of Molecular Vibration on Collision: Role of the High-Order Angular Momenta// J.Chem.Physics. 1967. Vol. 46. No 2. P. 744 754.

41. Ландау Л.Д., Теллер Э. Phys.Z.Sowietunion. 1936. Vol. 10. P. 34.

42. Schwartz R.N., Slavsky Z.I., Herzfeld K.F. Calculation of Vibrational Relaxation Times in Gases// J.Chem.Physics. 1952. Vol. 20. No 10. P. 1591 1599.

43. Shin H.K. Dependence of the Probabilities of Vibrational De-Exitation on Interaction Potentials// J.Chem.Physics. 1965. Vol. 42. No 1. P. 59 62.

44. Shin H.K. Excitation of Molecular Vibration on Collision. I. Preferential Orientations for Vibrational Transitions// J.Chem.Physics. 1968. Vol. 49. No 9. P. 3964 3973.

45. Капителлн M. Неравновесная колебательная кинетика// M.: Мир. 1989. 392 с.

46. SharmaR.D., Brau С.А. J.Chem.Phys. 1969. Vol. 50. P. 924.

47. Shin H.K. Deexcitation of Molecular Vibration on Collision: Vibration-to-Rotation Energy Transfer in Hydrogen Halides// J.Phys.Chemistry. 1971. Vol. 75. No 8. P. 1079 1090.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Квантовая механика// M.: Наука. 1972. Т. 2. 367 с.51 .Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика// М.: Наука. 1988. Т. 1. 215 с.

49. Billing G.D. On the applicability of the classical trajectory equations in inelastic scattering theory// J.Chem.Phys.Letters. 1975. Vol. 76. No 3. P. 391 393.

50. Billing G.D., Hunding A. On the fitting of analytical potential energy surfaces by constrained optimization// J.Chem.Phys.Letters. 1976. Vol. 44. No 1. P. 30 35.

51. Billing G.D. Comparison of quantum mechanical and semiclassical cross section for rotational excitation of hydrogen// Chem.Phys.Letters. 1977. Vol. 50. No 2. P. 320 323.

52. Billing G.D. Vibration-vibration energy transfer in CO colliding with l4N2,uNl5N,l5N2// J.Chem.Physics. 1980. Vol. 50. P. 165 173!

53. Y. Shimory, Donald J. Kouri. J.Chem.Physics. 1977. Vol. 66. No 7. P. 124.

54. Billing G.D. J.Chem.Phys.Letters. 1983. Vol. 101. P. 269.

55. Cacciatore M., Capitelli M., Billing G.D. Theoretical semiclassical investigation of the vibrational relaxation of CO colliding with UN2II J.Chem.Physics. 1984. Vol. 89. P. 17 31.

56. Billing G.D. Semiclassical theory for diatom-diatom collisions// J.Chem.Phys.Letters. 1983. Vol. 97. No 2. P. 188- 192.

57. Jolicard G., Billing G.D. Stochastic theory for molecular collisions in the perturbed stationary state formulation// J.Chem.Physics. 1982. Vol. 64. P. 123 138.

58. Billing G.D., Jolicard G. Comparison of quantum mechanical and semiclassical (classical path) probabilities for vibrational transitions in diatom-diatom collisions// J.Chem.Physics. 1982. Vol. 65. P. 323 333.

59. Billing G.D. J.Chem.Physics. 1981. Vol. 61. P. 415.63 .Billing G.D. J.Chem.Physics. 1981. Vol. 60. P. 199.

60. Billing G.D. J.Comp.Phys.Commun. 1978. Vol. 30. P. 387.

61. DePristo A.E., J.Chem.Phys. 1981. Vol. 74. P. 5037.

62. Billing G.D., Poulsen L.L. J.Chem.Physics. 1980. Vol. 46. P. 287.

63. Lee Hai-Woong, Scully Marian O. J.Chem.Physics. 1980. Vol. 73. No 5. P. 2238.

64. Manique Jacobs, Reuss J. J.Chem.Physics. 1980. Vol. 51. P. 427.

65. Малкин O.A. Кинетика релаксационных процессов в газах// М.: МИФИ. 1968. 155 с.

66. Бирюков А.С., Конюхов В.К., Луковников А.И., Сериков Р.И. Релаксация колебательной энергии уровня 001 молекулы СОгН ЖЭТФ. 1974. Т. 66. В. 4. С. 1248 -1257.

67. Millican R.G., White O.R. Systematic of vibrational relaxation// J.Chem.Phys. 1963. Vol. 39. No 12. P. 3209-3213.

68. Drozdovski W.S., Yang R.M., Bates R.O., Hancock J.K. Temperature dependent relaxation of CO (v=l) by HD, D2 and He and D2 by D2// J.Chem.Phys. 1976. Vol. 65. No. 4. P. 15421549.

69. Британ А.Б., Старик A.M. ПМТФ. 1980. № 4. С. 41.

70. Boulch D.L. Kinetic data for high temperature Reactions// 1976. Vol. 1-2. Butterworths. London.

71. Camac M. C02 relaxation processes in shock waves// Avco Everett Reseach Laboratory Report 194.1964. 24 P.

72. Seery V.J. J.Chem.Phys. 1971. Vol. 56. P. 4714.

73. Гордиец Б.Ф., Осипов А.И., Шелепин JI.A. Кинетические процессы в газах и молекулярные лазеры//М.: Наука. 1980. 512 с.

74. Гардинер У. Химия горения// М.: Мир. 1988. 624 с.

75. Кондратьев В.Н. Кинетика химических газовых реакций// М.: АН СССР. 1958. 688 с.

76. Генералов H.A., Лосев С.А. К определению сил межмолекулярного взаимодействия из результатов исследования колебательной релаксации в кислороде// ДАН СССР. 1963. Т. 148. N3. С. 552-554.

77. Генералов H.A., Лосев С.А. Известия АН СССР. Серия физическая. 1963. Т. 27. N 8.

78. Massey H.S.W. Rep. Progr. Phys. 1949. Vol. 12. P. 248.

79. БЗ.Малкин O.A. Релаксационные процессы в газе// М.: Атомиздат. 1971.199 с.

80. Rapp D., Kassal Т. Chem.Rev. 1969. Vol. 69. P. 61.

81. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы// М.: Наука. 1977.

82. Гиршфельдер Д., Кертис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей// М.: Иностранная литература. 1961.

83. Термодинамические свойства индивидуальных веществ// М.: АН СССР. Справочник. 1962. Т. 1.

84. Vanderslice J. J.Chem.Physics. 1960. Vol. 33. P. 492.

85. Meador W. The interaction between Nitrogen and Oxygen Molecules// NASA. 1960. Tech.Rep. R-68.

86. Клименко А.П. Методы и приборы для измерения концентрации// М.: Химия. 1978.

87. Клочков В.П., Козлов Л.Ф., Потыкевич И.В., Соскин М.С. Лазерная анемометрия, дистанционная спектроскопия и интерферометрия// Киев: Наукова думка. 1985. Справочник. 760 с.

88. Шифрин К.С. Оптические исследования облачных частиц// М.: Гидрометеоиздат . Сб. Исследование облаков, осадков и грозового электричества. 1957. С. 19-24.

89. Шифрин К.С. Вычисление некоторого класса определенных интегралов, содержащих квадрат бесселевой функции первого рода// М.: Труды ВЗЛТИ. 1956. № 2.

90. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами// М.: Мир. Пер. с англ. яз. под ред. В.И. Татарского. 1986. 660 с.

91. Борн М., Вольф Э. Основы оптики// М.: Наука. 1973. Пер. с англ. яз. под ред. .П. Мотулевич. 719 с.

92. Гудман Дж. Введение в Фурье-оптику// М.: Наука. 1970. 280 с.

93. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье// М.: Гостехиздат. 1948.

94. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции// М.: Наука. 1977. 342 с.

95. Шифрин К.С., Колмаков И.Б. Вычисление спектра размеров частиц по текущим и интегральным значениям индикатрисы в области малых углов// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1967. Т. 3, № 12. С. 1271 1279.

96. ЮО.Маделунг Э. Математический аппарат физики// М.: Наука. 1968.

97. Карпов О.В., Лесников Е.В., Петров Г.Д. Установка высшей точности для воспроизведения счетной концентрации и размеров частиц аэрозоля, суспензий и порошкообразных материалов// Измерительная техника. 1997. № 9. С. 68 70.

98. Азроянц Э.А., Харитонов A.C., Шелепин JI.A. Немарковские процессы как новая парадигма// Вопросы философии. 1999. № 7. С. 94 104.

99. Азроянц Э.А., Шелепин JI.A. Немарковские процессы и их приложения// Препринт ФИАН № 58. М.: ФИАН. 1998. 52 с.

100. Юб.Морозов В. А. Применение теории немарковских процессов при описании броуновского движения//ЖЭТФ. 1996. Т. 109. № 4. С. 1304 1315.

101. Шелепин JI.A. К проблеме «мыслящего» компьютера// Краткие сообщ. по физике. 1998. №4. С. 35-43.

102. Филд Р. В сб.: Колебательные и бегущие волны в химических системах// М.: Мир. 1988. С. 75.

103. Эдельсон Д., Рабиц Г. В сб.: Колебательные и бегущие волны в химических системах// М.: Мир. 1988. С. 217.

104. Эванс Д. Дж., Хэнли Г.Дж., Гесс 3. В сб.: Физика за рубежом. Серия А// М.: Мир. 1986. С. 7.

105. Йорк Дж. А., Йорк Э. Д. В сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности//М.: Мир. 1984. С. 101.

106. Попырин С.Л. Краткие сообщения по физике ФИАН. 1999. .№4. С. 10.185

107. Кулагин Ю.А., Сериков Р.И., Симановский И.В., Шелепин JI.A. Модель хищник -жертва с учетом памяти// Краткие сообщ. по физике. 1999. № 11. С. 42 47.

108. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование// М.: Наука. 1976.

109. Дегтерев Д.Е., Сериков Р.И., Симановский И.В., Хайлов В.М., Хритов J1.M. Разработка методики расчета дисперсности аэрозолей по рассеянию зондирующего излучения// НТО ЦИАМ. инв. № 700 2754. 1999. 39 с.

110. Шмельков A.A. Жидкостная самолетная углекислотная установка для рассеяния переохлажденных облаков (туманов)// М: АН СССР. В сб. Исследования облаков, осадков и грозового электричества. Доклады VI межведомственной конференции. 1961. 322 с.