Интегрируемые гамильтоновые системы на орбитахгрупп петель и их применение тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ІНСТИТУТ ФІЗИКИ КОНДЕНСОВАНИХ СИСТЕМ НАН УКРАЇНИ

ОД - Н& правах рукопису

' 1995. ■

Ккілсвяч Олександра Василівна

УДК 517.923:519.46:538.114

ШТЕГРОВШ ГАМІЛЬТОНОВІ СИСТЕМИ НА ОРБІТАХ ГРУП ПЕТЕЛЬ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

01.04.02 — теоретична фізика

Автореферат •

дисертації н& здобуття вченого ступеня кандидата фізико-мдтеиатичннх наук

Львів —1995

Дисертацією в рукопис.

Робота виконана, у відділі математичних методів в теоретичній фізиці Інституту теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України.

Науковий керівник — кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник Петро Іванович ГОЛОЛ.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор .

Юрій Кирилович РУЛАВСЬКИЙ,

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Володимир Іванович СКРИПНИК.

Провідна організація — Київський національний університет

ім. Т.Г.Шевченка.

Захист дисертації відбудеться 15 листопада 1995 р. о 15 год. на засіданні спеціалізовано) Ради Л 04.18.01 в Інституті фізики конденсованих систем НАН України (290011, м. Львів, вул. Свєншцько-го, 1). . .

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту фізики конденсованих систем НАН України (290011, м. Львів, вул. Сввн-ціцького, 1).

Відгуки на автореферат у двох примірниках, завірені печаткою, просимо надсилати за адресою: 290011, м. Львів, вул. Сввншць-кого, 1, вченому секретарю спеціалізованої Ради Л 04.18.01.

Автореферат розісланий п г'Ж/>6ґПНЯ' 1995 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради І.М.ІЛЗИК

Л 04.18.01

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Відкриття на прикішхі 60 — на початку 70 років нового методу інтегрування нелінійних рівнянь у двовимірному просторі-часі, відомого під назвою методу оберненої задачі розсіювання (МОЗР) стимулювали глибою і різнобічні дослідження математичних аспектів феномену інтегровності, відкрили нові можливості при описі , нелінійних ефектів в конденсованій матерії, плазмі, оптиці, квантовій теорії поля. Хоча інтегровні моделі або солітоші рівняння, до яких власне застосовується МОЗР, в лише грубим наближенням до реальної фізичної ситуації, вони приваблюють дослідників, оскільки дозволяють спостерегти деякі загальні закономірності поведінки більш складних і реалістичніших нелінійних систем.

В методі оберненої задачі і сьогодні залишається багато неви-яснених питань, пошуки відповідей на які породжують нові наукові напрямки як у математичній так і в теоретичній фізиці. Проблематика, пов’язана з інтегровними нелінійними системами, в рамках якої написана дисертаційна робота залишається актуальною, визначав теми міжнародних конференцій, займав значне місце в журнальних публікаціях.

Найбільш пристосованим формалізмом, в термінах якого МОЗР став особливо прозорим і вмотивованим, в формалізм гамільтонової механіки на орбітах коприеднаного представлення груп і алгебр Лі [1,2,3]. Оскільки нелінійні рівняння, до яких застосовується МОЗР, в несюнченновиміршши гамільтоновими системами і у функціональних фазових просторах мають вигляд

Аи _ па?1[и,и„и,„...] т

т би ' ^'

де гамільтоніан 'Н[и,иІ,иІ,,...] = /#(и,и*,и*„,...)сіх б локальним функціоналом, а Гї — кососиметричним гаігільтоновим оператором, то відповідні групи, орбітами яких в фазовий простір системи (1), теж мають бути несннченновимірними функціональними групами. Такими в групи, елементи яких являються аналітичними функціями на колі зі значеннями в напівпростій класичній (тобто матричній) груш Лі. В математичній літературі такі групи називаються групами петель, а у фЬичній — групами струмів на колі. В дисертації використовується математична термінологія.

Інтегровність систеші (1) з необхідністю вимагав існування нескінченної низки інтегралів руху — локальних функціоналів 7іі[и, и„ и*„ ...], Иа[ц,и*,их*,...],■••, які попарно комутують стосовно дужки Пуассона:

{«,.«,) = /(^,П^)^=0. (2)

Останнє тягне за собою існування у фазовому просторі інтегров-ної системи скінченновимірних підмноговидів, інваріантних стосовно гамідьтонових рівнянь (1). Такі підмноговиди формують функції и(х), шо в розв’язк&мііваріащйного рівняння

яке називають вищим стаціонарним рівнянням або рівнянням Новіко-ва. У схемі інтегрування нелінійних рівнянь, яку запропонував Нові-ков С.П. (4], рівняння (3) грають ключову роль. Суть полягав в току, шо часова еволюція, звужена на множину розв’язків системи (3), розглядається як її симетрія і легко знаходиться після того, як рівняння (3) проінтегровано.

Система (3) мав ієрархічну будову і в канонічно інтегровною. Проте канонічна гамільтонова структура не в природною для неї. В роботах [5,6] було показано, що вино стаціонарні рівняння, які відповідають модифікованому рівнянню Кортевега-де Фріза, рівнянню віпе-Гордона та іншим, еквівалентні рівнянням Ейлера-Арнольда на скінченновимірних орбітах алгебри петель зі(2, Л) ® Т(Х), а природною гамільтоновою структурою для' них в структура Лі-Пуассона на орбітах. Така точка зору дозволяв по іншому будувати теорію нелінійних інтегровних рівнянь. Поклавши в основу теорії інтегров-ні гамі ль тонові системи на орбітах та інтерпретувавши їх як виш стаціонарні рівняння для деяких (спочатку ще невідомих) еволюційних рівнянь, маємо можливість звести задачу класифікації неліній иит інтегровних рівнянь до алгебро-геометричної задачі перерахування орбіт відомих алгебр петель.

В дисертаційній роботі розвивається та узагальшовться схема побудови вищих стаціонарних рівнянь у формі рівнянь Ейлера-Арнольда на орбітах, а відтак і еволюційних рівнянь солітонного

Чи, "'] ~ ®,

(3)

типу. Досліджуються нелінійні системи на орбітах алгебр зі(3,С) ® Т(Х, Л-1), «и(3)®Р(А, А-1) та інших алгебр, ранг яких більший за одиницю. Одержані математичні результати застосовуються до розв’язання деяких задач теорії магнетизму.

Мета роботи полягав в розвитку та застосуванні сучасних методів теорії гаігільтонових систем на орбітах груп та алгебр до проблеми інтегрування нелінійних рівнянь со лі тонного типу — рівнянь в частинних похідних, які мають багато комутуючих інтегралів руху і знаходять різноманітне застосування в багатьох областях фізики.

Методи дослідження. В роботі використало методи теорії груп та алгебр Лі, методи гамільтонової механіки на нетривіальних фазових просторах, якими є орбіти коприеднаного представлення алгебр петель, методи комплексного аналізу на ріманових поверхнях, теорію тета-функцій та інше.

Наукова новизна і практична цінність. В дисертаційній роботі зроблено суттєвий крок*в розширенні теоретико-групового методу дослідження нелінійних рівнянь солітонного типу на новий клас рівнятгь, які пов’язані з напівпростими груп гімн петель вищих рангів. Розширення класу солітонних рівнянь відкрило перспективу нових застосувань до опису нелінійних явищ в конденсованій матерії.

Основні результати, які виносяться на захист.

1. Теорема про комутативність коефіпіентних функцій розкладу в степеневий ряд за комплексними параметрами петлі інваріантних функцій Казиміра напівпростої алгебри Лі. Доведена теорема дає можливість описувати орбіти коприеднаного представлення алгебри петель і конструювати інтегровні гамільтонові системи на них.

2. Представлення нелінійного рівняння в частинних похідних, яке описує динаміку багатокомпонентного параметра порядку в магнетиках зі спінами 5 = 1 у вигляді двох комутуючих гамільтонс- их систем звичайних диференціальних рівнянь на орбіті коприеднаного представлення алгебри петель зі значеннями в алгебрі а«і(3).

3. Аягебро-геометрична техніка явного інтегрування нелінійних рівнянь, які описують поведінку векторів намагніченостей двох маг-нітовпорядкованих підграток.

4. Інтегралььа формула для змінних "дая” в задачі про рух векторів намагніченостей двох підграток.

Апробація роботи. Результати досліджень, які викладені в дисертації, доповідалися на

— семінарах відділу математичних методів в теоретичній фізиці ІТФ ім. М.М.Боголюбова НАН України (1990 - 95 p.p.);

— Київському міському семінарі "Геометричні ідеї у фізиці та математиці” в Інституті математики НАН України (1993 p.);

— науковому семінарі при кафедрі вищої математики Державного університету "Львівська політехніка” (1994 p.);

— міжнародній конференції "Математична фізика, теорія струя та гравіташя”, м. Алушта (1993 p.);

— щорічних наукових конференціях професорсько-викладацького складу ЛТЕІ, м. Львів (1993 - 95 p.p.).

— міжнародній нараді з статистичної фізики і теорії конденсованих систем, м. Львів (вересень 11-14, 1995 p.).

Структура і об’єм роботи. Дисертація викладена на 92 сторінках машинописного тексту і складається із вступу, трьох глав основного тексту, висновків та списку літератури (75 найменувань).

Публікації. По темі дисертації опубліковано 8 робіт. У спільній роботі з В.В.Чемерисом постановка проблеми та основна теоремг належать авторові дисертації. У спільних з П.І.Голодом роботах останньому належить постановка задач.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, дається огляд основних наукових досягнень, які визначили проблематику дисертаційної роботи, зроблено короткий опис отриманих результатів.

В першому параграфі глави 1 викладено основні поняття теорії алгебр петель зі значеннями в наоівпростих алгебрах Лі, їх орбіт та

гамільтонових структур — дужок Лі-Пуассона на орбітах.

Другий параграф містить важливий результат про комутатив-пість певного набору функцій на орбіті. Нехай Н*, і/ = 2,3, • • • ,гапд%

— однорідні ступепя V а<і*-інваріантт функції на дуальному до алгебри просторі §" (функції Казиміра) і нехай

— розвинення цих функцій в ряд за степенями параметра петлі А. Коефіцієнти ряду в поліноміальшши функціями від координат орбіти ц\. Стосовно них має місце

Теорема 1. Коефіцієнтні функції перебувають попарно в інволюції (комутують між собою) стосовно двох дужок Лі-Пуассона

того функції Л£ при а > (у — 1)(-ЛГ + 1) є ануляторами першої, а при а Є 0,іУ + 1 — другої дужки Лі-Пуассона.

Пя теорема в основною для побудови інтегровних гамільтонових систем на орбітах.

В третьому параграфі будуються іптегровні гамільтопові системи на орбітах алгебри д = зІ{2,С)®'Р(Х,\~1), та її дійсних підалгебр лІ(2,ІІ) ® ^(Л, А-1), зи(2) ® ^(А.А“1), ли(1,1) ® Р^А-1), які згодом інтерпретуються як виші стаціонарні рівняння для модифікованого рівняння Кортевега-де Фріза, нелінійного рівняння Шредінгера та рівняння К-д Ф. Результати цього параграфу мають на меті проілюструвати на відомих прикладах теорему про інтегровність, доведену в попередньому параграфі. Новим тут в дослідження геометрії фазового простору вищих стаціонарних рівнянь Кортевега-де Фріза.

Друга глава, в основному, присвячена побудові інтегровних га-мільтонових систем на орбітах алгебр рангу 2. Зокрема це системи на орбітах алгебр ли(3) ® 7>(А,А_1), ли(2,1) ® 7>(А,А-1), ¿І(3,Н) ®

к(ЛГ-И)

де

*

к

С,* — структурні константи напівпростої алгебри Лі рангу і/. Окрім

^(А, А-1). Серед побудованих систем виокремлено ті, які відповідають ієрархії вищих стаціонарних рівнянь для двокомпонентного нелінійного рівняння Шредінгера та рівняння Гайзенберга для магнетика зі спіном 1.

В § 1 розглядаються сюнченновимірш орбіти підалгебри ~

— зІ(3, С) ® ^(А-1), які вкладеш в шдпростір М**+1 С §+. Вкладення здійснюється в той спосіб, що фіксуються фуькщї Ьц+1, 2>' • •>

та /гл'+г, /з^+5, • • /зN+2 — старші коефіцієнти розкладу з ряд інпаріавтних функцій Казиміра. Як відомо, для алгебр рангу 2 (якою є алгебра з/(3,С)) таких функцій дві: це поліноми другого та третього степенів. Згідно теореми 1 перераховані функції є ануля-торами першої дужки Лі-Пуассона.

Іптегровна гамільтонова система на орбіті загального положення алгебри §_, породжена гамільтошаном /ідг-і інтерпритуеться як система вищих стаціонарних рівнянь для трикомпонентного узагальненого нелінійного рівняння типу Шредінгера. Побудовано відповідну систему еволюційних рівнянь, яка при спеціальному виборі констант мав вигляд:

№і т

№ т

* ді де .

а, = -|0,|а-±№|2,

оі3 = —ІДаІ3 _ 2^3І2-

Знак другого доданку правої частини рівняння залежить від вибору алгебри л«(3) чи зи(2,1).

В § 3 розглянуто інтегровні гамільтонові системи на вироджених орбітах алгебри §_ ~ зІ(3) ® Такі орбіти мають структуру

векторного розшарування над виродженою орбітою в алгебрі БІІ(3). Остання в чотиривимірним простором з комплексною структурою і параметризуемся двома комплексними параметрами. На роль цих параметрів можна взяти змінні та Дз, які фігурують в рівняит

=---±&*-а№-Ь9£-\к°£. («

= ± {а1 + + РііЬ~ % дх '

(5). Звуження рівняння (5) на вироджену орбіту в двокомпонентним нелінійним рівнянням Шрєдінгера і має вигляд

Ф=-5т-2(|А|» + |А|»)А,

т дх> (б)

<ТІГ = -|£-ї<іаі’ + іаі,>л-

В § 4 досліджуються інтегровні рівняння на орбітах алгебри g+ ~ eu(3) ® Р(Х_1). Як і в попередньому випадку, ця алгебра має два типи орбіт: орбіти загального положення та вироджені орбіти.

У випадку орбіти загального положення нелінійне рівняння пишуть для восьми функцій /іі, цз,• • •, (it, які задовольняють двом алгебраїчним співвідношенням ’

»

У'/і* = Я® = const,

Г (7)

X) ¿abcPaPWc - const. .

о,Ь,с=1

У випадку виродженої орбіти рівняння мав досить простий вигляд:

/й\

IT “ cfabelib'dx*’

де f&hc — повністю аяхисиметричний тензор структурних констант алгебри Jli S17(3). Функції ра> о Є 1,8, не в незалежними, а ефективно виражаються через чотири дійсних змінних, які можна об’єднати в дві комплексні Z\ та zj:

_ Я^З + zjzî Я^З ні zi - ztzT

2 ' 1 + |*|« ’ 2» ' 1 + |*|» ’

|д?а13 - |*і Iі _ Ял/З «і + Zj*

14 2 ‘ 1 + |*|» • 2 ' 1 + |z|* ’

и. - *f ~ *1 ■ _ Ду^ z^ + *}

И ~ 2І 1+1*1*’ Йв 2 ’.1 + 1*1*’

w = Р8 = 1'ГТИ^’ М* = М* + М*-

Третя глада, присвячена застосуванню результатів попередніх глав до розв’язання деяких фізичних задач феноменологічної теорії магнетизму. Зокрема в § 1 досліджено інтегровну модель динаміки багатокомпонентного параметра порядку для квазіо.оювимірних магнетиків з іонними спінами Б = 1 на кожному вузлі. Функції /хв, а = Г, Й, які приймають значення аа орбітах групи 5£/(3) задають просторовий розподіл та ч: 'ову еволюцію багатокомпонентного параметра порядку; причому перші три функції описують намагніченість, а решту — середні значення квадрупольного моменту. Якщо намагніченість та середній квадрупольний момент виникають в результаті усереднення по "чистих” сталих спінового ланцюжка, то багатокомпонентний параметр порядку приймає значення на виродженій орбіті групи 81/(3), що є чотиривимірним дійсним або двовимірним комплексним простором СИ2 Би(3)/Би(2) х 11(1).

Перші три компоненти еволюційного рівняння, які власно описують намагніченість, мають вигляд

+ /і*б(МьА*б XX згг)»

~ ” а*1**®« + /мбЫ«А1бхх - ^6^4«)+

+ хх - /*Т/*5Х-),

С~Ш' = + /и*0чр».« “ М5Й4**)-4-

+ /367(М6РТ** “ гг)»

де с = 113.

Як бачимо, на динаміку вектора намагніченості впливають змінні р4, Ці, /і«, /X?, які б компонентами тензора квадрупольного моменту. Фізичний ефект від такої взаємодії полягає в модуляції довжипи вектора намагніченості. Можливість такого ефекту передбачалась в ряді робіт, зокрема в роботі [7].

В §2 - §4 розглянено задачу опису нелінійної однорідної динаміки двох векторів намагніченості, які відповідають двом взаємодіючим між собою магнітовпорядкованим підграткам. Нелінійні рівняним, які відповідають цій моделі, мають вигляд

С-дГ = + /нт(^т„ - /ІТ^4„) +

дці

ді

(Ю

де в, Т — вектори намагніченостей підграток, Н = Ті — га-

мільтошан взаємодії (між константами а; виконуються співвідношення я? - а) = Зі - Зі, 0 < Зі < Зі < Зі). Рівняння (10) розглядаються як гамільтонова система на орбіті груші 50(4). Використано еквівалентність рівнянь (10) гамільтоновій системі задачі Клебша про рух твердого тіла в рідині. Остання формулюється в термінах "змінних Клебша”

рі = «ч(Л - ті), Мі = ї2іНг!2і(¿г, + Ті),

XV і

де константи Ші виражаються через о; формулами

_ - Зі + Зі _ + {Зі - Зг)^\ _ - *”2

2и>іМ]Ю] ’ 2ш1ц)2«!з ’ 2шішаи)з ’

і мав вигляд гамільтонової системи на орбітах групи Е{3):

де

^ = <Ыр X М] - гіо(р х ЗМ], у = ^[рх Зр\ гіо([р х Яр] - [М х .7М]),

З = diag(l7l,^7г,l7з), В = <і\щ(323і,3\3і,3і3і), * = 1 ■

(п)

2шаіі>з’

Рівняння (11) суттєво спрощується у випадку коли |5| = |Т|, що екр-' -алентно умові (М,р) = 0. В цьому випадку (11) в еквівалентне рівнянням задачі Неймана про рух матеріальної точки на поверхні сфери під дією пружної анізотропної сили: Зі, Зі, 3\ грають роль пружних констант.

Система (11) в інтегровпою; додатковий до гамільтоніана.

Ні — - ]Г^(.7ір? + М* - (3\ + Зі + Зі)р\)•

І

інтеграл руху, що забезпечуй іптегровшсть, маэ вигляд

з

Сумісна поверхня, яка виникає при фіксуванні інтегралів руху є еквівалентна торові (тор Ліувілля). Його комплексифікащя описується двома комплексними параметрами і 23, які приймають значення на рімановій поверхні роду 3, шо задається алгебраїчним рів-

ШШНЯМ!

т* - 2ш*Р(г) + Р’ф - 4с*(г - Л)(г - Л)(г - Л) = 0, (12)

Де •

с=(р,М), Р(г) = В?(г-А){г-В), Яа=р?+Рі+РЗ.

, і , в_ л а-Еі

А + В- в?, А-В я?.

Загальний розв'язок системи (11) подано в термінах 0-функпій з характеристиками, які будуютьедза рімановою поверхнею (12).

У випадку (р,М) = 0, для гамільтоніанової системи (11) знайдено змінні "дія", які мають вигляд гіпереліптичних інтегралів третього роду:

2тг }

2?-2(А + В) + АВ ,

г ---~-— - - - Д2?,

%/(* - Л)(* - Л)(* - Л)(* - л)(г - В)

де цикли а^,/х = 1,2 на рімановій поверхні вибрані так, як це показано на рис.1

Розглянуто також інші вироджені розв’язки, як виражаються в термінах еліптичних та елементарних функцій.

висновки

В рамках досліджень, які складають основу дисертаційної робота, одержані такі результати:

— доведено комутативність стосовно двох дужок Лі-Пуассона скінченного набору функцій, які в коефіцієнтами розкладу у степеневий ряд інваріантних функцій Казиміра для довільної напівпростої алгебри петель (алгебри функцій на колі зі значеннями у налівпрос-тій алгебрі Лі), що дав основу для побудови інтегровних гамільто-нових систем на орбітах алгебр петель;

— інтерпретовано вищі стаціонарні рівняння, які відповідають рівнянням Кортевега-де Фріза, нелінійному рівнянню Шредінгера, рівнянню Гайзенберга та іншим, як інтегровні гамільтонові системи на орбітах алгебр петель зІ(2, И) ® Р(А, А-1) та лн(2) ® Р(А, А-1);

— побудовано інтегровні гамільтонові системи на орбітах алгебр §_ ~ ли(3) 0 §+ ~ зи(3) ® Р(А) та інтерпретовано їх як

вищі стаціонарні рівняння для двокомпонентного нелінійного рівняння Шредінгера і Би(З)-магнетиха Гайзенберга, побудовано часову еволюцію стаціонарних розв’язків цих систем;

■— запропоновано нові нелінійні інтегровні рівняння, ям можна використати як модельні рівняння для опису просторового розподілу та часової еволюції квадрупольного параметра порядку у випадку магнетиків зі спіиом 5=1;

— досліджено нелінійну динаміку магнетиків з двома підгратка-ми, встановлено зв’язок цієї задачі із задачею про рух твердого тіла в рідині та задачею про рух матеріальної точки на сфері під дією пружної сили.

Результати дисертаційної роботи можуть бути використані для побудови теорії поширення хвиль у різноманітних нелінійних середовищах, для опису просторового розподілу та часової еволюції багатокомпонентних параметрів порядку у магнетиках з великими спіновими моментами у вузлах,кристалічної гратки, для опису явищ нелінійного антиферомагнетного резонансу, а також в багатьох ініііи* задачах теоретичної фізики, де виникають нелінійні інтегровні гамільтонові системи.

Осиоані результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Кісілевич О.В., Чемерис В.В. Інтегровні гамільтонові системи на орбітах коприєднаногс представлення алгебри петель. - Попов. АН України. - 1992. JV412. - С. 51-55.

2. Голод ПЛ., Кісілевич О.В. Інтегровна модель динаміки векторів намагніченостей підграток в однорідному магнетику з двома під-гратками. - УФЖ, 1995, т.40, JVa 1-2. С. 76-83 .

3. Голод П.І., Кісілевич О.В. Нелінійна динаміка намагніченостей підграток в однорідному автиферомагнетику. - Київ, 1991. Препринт ІТФ-91-45У. - 13 с.

4. Голод ПЛ., Кісілевич О.В. Інтегровна динаміка 5£7(3)-магнети-ка. - Київ, 1993. Препринт ІТФ-93-30У. -12 с.

5. Кісілевич О.В. Інтегровні гамільтонові системи на орбітах алгебр петель і виш стаціонарні рівняння солітонного тилу. - Київ, 1994. Препринт ІТФ-94-30У. - 25 с.

6. Кісілевич О.В. Геометричний метод знаходження швидкості Уокера в анізотропному магнетику. - Київ, 1995. Препринт ITФ-95-14У. -7 с.

7. Кісілевич О.В. Алгебраїчна інтегровність гамільтонових систем на орбітах афінних алгебр Лі. Тези доп. на наук, конфереіщ. ЛТЕІ. - Львів, 1993. С. 209.

8. A.Kisilevich. An integrable models of dynamics of order parameters magnet wiht higher spin. Abstracts of international workshop on statistical physics and condensed matter theory. - Lviv, 1995.

ЛІТЕРАТУР A

L. Adler M. On a trace functional for formal pseudodiiferential operators and the eymplectic structure of the Korteweg-de Vries type equations.

- Invent. Math. 1979, v. 50, JVa2, pp. 219 - 248.

2. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский M.A. Семейство гамильтоновых структур, иерархия гамильтонианов и редукция для матричных дифференциальных операторов первого порядка. -Функц. анализ и его при лож., 1980, т. 251, JV“2, с. 77 - 78.

3. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитоиов. - М.: Наука, 1986.

4. Новиков С.П. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза. - Функц. анализ и его прилож., 1974, 8, ЛГ*3, с. 54 -66.

5. Голод П.И. Интегрируемые гамильтоновы системы на орбитах афинных групп Ли и периодическая периодическая задача для модифицированных уравнений Кортевегагде-Фриза. - Киев, 1982. - 21 с. (Препринт / АН УССР. Ин-т теорет; ИТФ - 82 -144Р).

6. Голод П.И. Гамильтоновы системы на орбитах афинных групп Ли и нелинейные интегрируемые уравнения. - В сб.: Физика многочастичных систем. 7, 1985, с. 30 - 39.

7. Дзюб И.П. Учет сокращения спина в нелинейной динамике лег-коплостностного ферромагнетика. - Сб. Современные проблемы магнетизма. Киев. Наук думка, 1986, с. 130-138.

Kisilevich A.V. Integrable Hamilton systems on orbits of loop-groups and their application.

The thesis for obtaining the degree of Candidate of phisical and mathematical sciences on the spesiality 01.04.02 — theoretical physics. Institute for Condensed Matter Physics of the Nat. Acad. Sci. Ukr. Lviv. 1995.

Theorem about commutativeness according of two the Lie-Poisson brackets of finite collection of functions which are the coefficients of the power series expansion of invariant Casimir’s functions for arbitrary semisimple loop algebra is proved. The nonlinear equation of multicomponent order parameter dynamics in magnets with the spin 5 = 1 is given in terms of two commuting Hamilton systems (according to variables t and x) on the coadded representation orbit. The "action” variables in the problem of magnetization vectors motion in a magnet with two sublattices are given in terms of the third order hyperelliptic integral.

Кисилевич А.В. Интегрируемые гамильтоновые системы на ор-

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-ыэтематических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика, Институт физики конденсированных систем НАН Украины, Львов, 1995.

Доказана теорема о коммутативности относительно двух скобок Ли-Пуассона конечного набора функций, которые являются вффициентами разложения в степенной ряд инвариантных функции Казимира для произвольной полупростой алгебры петель. Представлено нелинейное уравнение динамики многокомпонентного параметра порядка в магнетиках со спином Б = 1 двух коммутирующих гамильтоновых систем (соответственно по переменным 1 и х) на орбите конрисоединенного представления. Переменные "действие в задаче о .движении векторов намагниченности в магнетике с двумя подрешетками представлены в виде гиперэллиптического интеграла

Ключові слова: інтегровш системи, алгебра петель, магнетик, чшгітті "дая-кут”.

Умовн.іррбІ-відб. 'УмоВн.видавТаркі

Тираж прим, Зам. Безплатно ■

ДШІ 290646 Дьвів-ІЗ. Ст.'Бандери.'.ІЙ .

Дільниця оперативного друку ДШІ Львів, вул. Городоцька, 206

битах групп петель и их применение.

третьего рода.