Интерполяционные формулы для функций с погранслойными составляющими и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Задорин Никита Александрович

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПОГРАНСЛОЙНЫМИ СОСТАВЛЯЮЩИМИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

01.01.07 - Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 и МАП 2015

Омск - 2015

005569213

005569213

Работа выполнена в Омском филиале Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. JI. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Блатов Игорь Анатольевич

Официальные оппоненты: Шишкин Григорий Иванович,

доктор физико-математических наук,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики имени H.H. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, ведущий научный сотрудник, Попов Анатолий Степанович, кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, старший научный сотрудник. Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится 01 июля 2015 года в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 003.061.01 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН) по адресу: проспект Академика Лаврентьева, д. 6., г. Новосибирск, 630090.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВМиМГ СО РАН и на сайте www.sscc.ru

Автореферат разослан ТХ^- мая 2015 г. Ученый секретарь

диссертационного совета д.ф.-м.н.

Рогазинский Сергей Валентинович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. На основе краевых задач для уравнений с малыми параметрами при старших производных моделируются конвективно-диффузионные процессы с преобладающей конвекцией. Решение такой задачи имеет большие градиенты в областях пограничного слоя. Как известно, применение классических разностных схем для решения сингулярно возмущенных задач может приводить к погрешностям порядкаО(1). В 1969 году был поставлен вопрос построения разностных схем, обладающих свойством равномерной сходимости по возмущающему параметру е и сформулированы два основных подхода: Н.С. Бахваловым было предложено использовать разностную схему на сетке, сгущающейся в пограничном слое, A.M. Ильин предложил разностную схему, обладающую свойством равномерной сходимости за счет подгонки схемы к погранслойной составляющей. Разностные схемы для задач с пограничным слоем разрабатывались в работах В.Б. Андреева, Г.И. Шишкина, В.Д. Лисейкина, И.А. Блатова, T. Lins, R. Vulanovic В.В. Шайду-рова, Б.М. Багаева, Л.П. Шишкиной, М.В. Алексеевского, Н.В. Коптевой, К.В. Емельянова, И.П. Боглаева, А.И. Задорина, J.J.H. Miller, H.G. Roos, M. Stynes, L. Tobiska, P.W. Hemker, E. O'Riordan и многих других авторов. Широкое применение получила кусочно-равномерная сетка Г.И. Шишкина.

Вопрос интерполяции функций с большими градиентами в пограничном слое так же представляет интерес. Этот вопрос намного меньше исследован. Применение многочленов Лагранжа, гладких полиномиальных сплайнов для интерполяции функций с большими градиентами в пограничных слоях может приводить к погрешностям порядка 0(1). Известны неполиномиальные интерполяционные формулы, такие как экспоненциальная и тригонометрическая интерполяции.

Применяемая интерполяционная формула должна учитывать особенности интерполируемой функции. В диссертационной работе для интерполяции функций с большими градиентами в пограничном слое предлагается использовать основные подходы, применяемые при построении разностных схем: подгонка интерполяционной формулы к погранслойной составляющей и сгущение сетки в пограничном слое. Построение формул численного дифференцирования и формул Ньютона-Котеса основано на приближении функции многочленом Лагранжа, поэтому эти формулы обладают существенной погрешностью, если функция имеет большие градиенты в области пограничного слоя.

Таким образом, вопрос разработки интерполяционных формул, формул численного дифференцирования, квадратурных формул для функций с большими градиентами в пограничном слое является актуальным.

/ ,,

Представляет интерес применение разрабатываемых интерполяционных формул, учитывающих наличие пограничного слоя, в двухсеточном алгоритме решения сингулярно возмущенной краевой задачи. Многосеточные и двухсе-точные алгоритмы исследовались в работах Р.П. Федоренко, Н.С. Бахвало-ва, В.В. Шайдурова, М.А. Ольшанского, В.Т. Жукова, М.М. Карчевского, А. Brandt, W. Hackbusch, J. Xu и других авторов.

Целью работы является разработка формул сплайн-интерполяции функций одной и двух переменных с погранслойными составляющими и их применение для построения формул численного дифференцирования, квадратурных формул, в двухсеточном алгоритме решения эллиптической краевой задачи с регулярными пограничными слоями.

Для достижения поставленной цели ставились следующие задачи.

1. Для функции одной переменной с большими градиентами в пограничном слое разработать интерполяционные формулы, погрешность которых равномерна по погранслойным изменениям интерполируемой функции.

2. На основе построенных формул интерполяции разработать формулы численного дифференцирования функций с погранслойной составляющей.

3. Разработать квадратурные формулы для численного интегрирования функций с быстро растущей погранслойной составляющей.

4. Исследовать возможность применения построенных двумерных интерполяционных формул в двухсеточном алгоритме численного решения линейного эллиптического уравнения с регулярными пограничными слоями.

Методы исследования. В работе использованы фундаментальные положения вычислительной математики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений. Достоверность полученных научных результатов основывается на строгих формулировках и доказательствах, подтверждается результатами проведенных вычислительных экспериментов.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 01.01.07 - вычислительная математика.

1. Предложен новый подход к построению интерполяционных формул для функций с большими градиентами в погранслое. Подход предполагает аддитивное выделение, с точностью до множителя, составляющей, задающей основной погранслойный рост, и построение интерполяционной формулы, точной на этой составляющей. Получены оценки погрешности построенных формул.

2. Построены новые формулы численного дифференцирования, точные на погранслойной составляющей дифференцируемой функции.

3. Предложен подход к построению квадратурных формул для численного интегрирования функций с большими градиентами. Предложено строить формулы, точные на аддитивно выделенной погранслойной составляющей. До-

казано, что оценки погрешности построенных формул равномерны по погранс-лойной составляющей и ее производным.

4. Для функций, соответствующих решению задач с экспонециальным погранслоем, получены равномерные по малому параметру оценки погрешности формул Ныотона-Котеса, Эйлера и Грегори на кусочно-равномерных сетках.

5. Разработаны двумерные формулы интерполяции функций с погранс-лойными составляющими. Показана эффективность применения разработанных формул в двухсеточном алгоритме решения двумерного линейного эллиптического уравнения с регулярными пограничными слоями.

Научная новизна. Предложен новый подход к построению интерполяционных формул для функций с большими градиентами в пограничном слое, основанный на том, чтобы формулы были точными на погранслойной составляющей, отвечающей за погранслойный рост. На основе построенных интерполяционных формул построены новые формулы численного дифференцирования и интегрирования функций с аддитивно выделенной погранслойной составляющей. Обосновано применение формул Ньютона-Котеса и Эйлера на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в пограничном слое. Показана эффективность применения построенной интерполяционной формулы в двухсеточном алгоритме для эллиптической задачи с пограничными слоями.

Достоверность полученных результатов основывается на строгости обоснования приводимых оценок и на подтверждающих вычислительных экспериментах, на публикации основных результатов и их апробации.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанные в диссертации интерполяционные и квадратурные формулы, формулы численного дифференцирования вносят вклад в методы интерполяции, численного интегрирования и дифференцирования функций с большими градиентами. Разработанные интерполяционные формулы могут использоваться в двухсеточных и многосеточных алгоритмах решения сингулярно возмущенных краевых задач, на основе которых моделируются конвективно-диффузионные процессы с преобладающей конвекцией. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе на кафедре математического моделирования в Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского при подготовке специалистов по математическому моделированию.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Вычислительная математика, дифференциальные уравнения, информационные технологии», (Улан-Удэ, 2009), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механи-

ки: теория,эксперимент, практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко, (Новосибирск, 2011), Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», (Казань, 2012), Международной конференции «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений», посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева, (Новосибирск. 2013), Международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики-2014», (Новосибирск, 2014), Международной научной конференции с элементами научной школы для молодежи «Молодежь третьего тысячелетия», (Омск, 2012), Региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике (Омск, 2013, 2014), Российской молодежной научно-практической конференции с элементами научной школы «Прикладная математика и фундаментальная информатика», (Омск, 2012, 2014), совместном семинаре ИВМ и МГ СО РАН и кафедры Вычислительной математики НГУ «Численный анализ»,(Новосибирск, 2015), заседаниях совместного семинара «Математическое моделирование и численные методы» Лаборатории математического моделирования в механике ОФ ИМ СО РАН и Института математики и информационных технологий ОмГУ, (Омск, 2011-2014).

Личный вклад соискателя. Все основные результаты получены при активном личном участии соискателя. При подготовке всех публикаций с соавторами Задорин H.A. участвовал в разработке и обсуждении разрабатываемых методов, результаты этих публикаций являются совместными, при этом вклад соискателя и соавторов равнозначен. Разработка квадратурных формул на сгущающихся сетках, двухсеточного алгоритма с учетом погранслоев, подготовка и проведение всех вычислительных экспериментов осуществлялись Задориным H.A. самостоятельно. Конфликт интересов с соавторами отсутствует.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 научной работе, девять из них - в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (86 наименований), содержит 44 таблицы, 3 рисунка и 127 страниц текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования, приводятся основные результаты диссертации и информация об их апробации, кратко излагается содержание работы.

В первой главе строятся сплайн-интерполяционные формулы для функции одной переменной с погранслойной составляющей:

и(х) = р(х) + 7Ф(ж),

(1)

где регулярная составляющая р(х) не задана, имеет равномерно ограниченные производные до некоторого порядка; погранслойная составляющая Ф(х) - известная достаточно гладкая функция общего вида, производные которой не являются равномерно ограниченными; постоянная 7 не задана. Представление (1), в частности, справедливо для решения сингулярно возмущенной краевой задачи в случае обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка.

В п. 1.1 показано, что применение многочлена Лагранжа для интерполяции функции, заданной в узлах сетки с шагом 1г и соответствующей решению краевой задачи с экспоненциальным или степенным пограничным слоем, может приводить к погрешностям порядка 0(1). Таким образом, вопрос разработки сплайн-интерполяционных формул для функций с погранслойной составляющей является актуальным.

В п. 1.2 анализируется погрешность неполиномиальных аналогов линейной и Эрмитовой интерполяции с заданными условиями интерполяции на концах сеточного интервала [хп-х,х„\. Показано, что при заданных условиях интерполяции порядок точности полиномиальной и неполиномиальной интерполяций одинаковый.

В п. 1.3 для интерполяции функции вида (1) построена формула:

Доказано, что если функция Ф(х) монотонна на интервале [хп-\,хп\, то

Полученная оценка равномерна по составляющей Ф(ж) и ее производным.

В п. 1.4 на интервале [хп-1,хп] для интерполяции функции вида (1) построен аналог многочлена Эрмита иф^(х), точный на Ф(х), с условиями интерполяции иФ, з(хп-1) = и„-1,и'фз(1„-1) = и'п_1,ифу3(хп) = и„.

Лемма 1. Пусть Ф"(х) > 0 или Ф"(х) < О при х е (хп_1,хп). Тогда

В п. 1.5 на интервале Хц-н] для интерполяции функции вида (1)

построен интерполянт, точный на Ф{х), с интерполяцией функции и(х) в узлах хп, хп±1. Доказано, что при определенных ограничениях на производные

ип - ип-1

[Ф(х) - Ф„] + ип, х € Д„ = [х„_1,х„].

— м(х)| < 2тах|р'(а;)| Н, х € А,

|и$,з0е) -и(я)| < шах \р"{з)\Ь?, в,X € [хп^ихп].

функции Ф(х) построенный интерполянт имеет погрешность порядка О (к2) равномерно по функции Ф(х) и ее производным.

В п. 1.6 построена интерполяционная формула, точная на погранслой-ной составляющей интерполируемой функции, в случае произвольно заданного числа узлов интерполяции. Предполагается, что функция и(х) задана в узлах сетки с шагом Н и узлами {хп}, п = 0,1,..., N интервала [а, Ь], ип = и(хп). Пусть Ьк(и, хт, хт+г,..., хт+ь-1, х) - многочлен Лагранжа, интерполирующий и(х) на интервале [хт, хт+к-\\ по ее значениям в узлах хт, хт+1,..., хт+к-ъ Построена интерполяционная формула, точная наФ(х):

Ьф<к(и,хт,хт+1,.. .,хт+к_х,х) — Ьк—\(и, хт, хт+1,... ,хт+к_2,х)+ . Хт+1, ■ ■ ■ 1 Хт+к-1}и Г\ г /лч \1

+7——---пг - Ьк-1(Ф,Хт,Хт+и...,Хт+к-2,Х) , (2)

[Хт, Хт+1, . . . , I. А

где [хт, хт+1,..., хт+к-1]и - разделенная разность для функции и(х).

Порядок точности __

к=5 /

к=4 /

к=3 / к=3 /'

к=2

/ / £ . .

-4 -3 -2 -1 < 10 10 10 10 1

----- Интерполяция Лагранжа

- Построенная интерполяция

Рис. 1. Порядок точности интерполяционных формул в зависимости от числа узлов.

На рис. 1-3 приведены порядки точности формул в зависимости от е при N = 192 для функции и{х) = сой(7гх/2) + ехр(—е_1х),х € [0,1].

Теорема 1. Пусть Ф^-1^) ф 0, х £ (гт,1га+ц). Тогда

где й 6 (хт,а;т+к-\), Мк(Ф, х) - заданная функция.

8

Доказано, что |М*(Ф, < 1, если производные Ф® (я) одного знака

на интервале интерполяции. Тогда оценка погрешности равномерна поФ(а:).

На основе формулы (2) получена формула численного дифференцирования, точная на погранслойной составляющей дифференцируемой функции:

и(})(х) и £^1(и,хт,хт+1,...,хт+к-2,х)+ + Дт+Ь • • •' - ¿^(Ф, хт, хт+1,..., х)]л > 0.

[Хт,Хт+1, ■ ■ . , 1т+к_1]Ф I- -I

Получена оценка погрешности построенных формул для производных.

Во второй главе строятся квадратурные формулы для функций с большими градиентами в пограничном слое. Применение составных формул Ньютона-Котеса на равномерной сетке с шагом к для интегрирования таких функций приводит к погрешностям порядка О (к), несмотря на увеличение числа узлов квадратурной формулы. Квадратурные формулы строятся на основе двух подходов: построение квадратурных формул, точных на погранслойной составляющей интегрируемой функции и применение классических квадратурных формул на сетках, сгущающихся в пограничном слое.

Для построения формул, точных на погранслойной составляющей, предложено использовать представление (1) и приблизить подынтегральную функцию интерполянтом (2), точным на этой составляющей. В параграфах 2.1-2.4 строятся квадратурные формулы для вычисления интеграла

ь

1{и) = I и(х) йх (3)

а

в случае функции и(х), имеющей представление (1).

В п. 2.1 построен аналог формулы трапеций Бф^и), точный на Ф(х).

Лемма 2. Пусть Ф'(х) / 0,1 £ (о, Ь). Тогда справедлива оценка погрешности:

|/(и)-5Ф2(и)| < 2тах|р'(5)|(6-а)2. (4)

Оценка (4) равномерна по составляющей Ф(ж) и ее производным. В п. 2.2 построен аналог формулы Симпсона, точный наФ(х):

£Ф,з(и) = и(с)(Ь - а) + ^¡Щ [] Ф(х) ¿х - Ф(с)(Ь - а)], ({}) с = (о + Ь)/2.а

Лемма 3 . Пусть Ф"(х) ф 0,х £ {а,Ь). Тогда

|/(и) - 5ф,3(«)| < imax |р"(я)|(Ь - а)3, о »

Формула (5) переходит в формулу Симпсона, если Ф(х) = х2.

В п. 2.3 построена квадратурная формула с четырьмя равноот-

стоящими узлами интервала [а, Ь\, точная на Ф(х).

Лемма 4. Пусть Ф'3)(х) / 0,1 € (а,Ь). Тогда ¿ля формулы 5$,4(u) справедлива оценка погрешности:

|/(ti) - S#f4(u)| < ¿max \p^(s)\(b - а)4.

В п. 2.4 построена квадратурная формула 5ф,б(и) с пятью равноотстоящими узлами интервала [а, 6], точная на Ф(ж).

Лемма 5 . Пусть ф(4'(х) ф 0,х 6 (а,Ь). Тогда справедлива оценка: |/(«) < ^тах|р<<>(Я)|(Ь-а)5.

Исследован способ повышения точности составных квадратурных формул, основанный на том, чтобы в пограничном слое применить формулы, точные на погранслойной составляющей, а вне пограничного слоя - формулы Ньютона-Котеса.

В п. 2.5 построена квадратурная формула в общем случае, с к узлами, точная на погранслойной составляющей Ф(х) . Определим

ь ь

Sk-i(и) = J Lk-i(u,x)dx, Sk(u) = J Lk(u,x)dx,

a a

где Lk(u, x) - многочлен Лагранжа с равноотстоящими узлами интерполяции Xi,X2, ■ ■. ,Хк, х\ = а, Хк = Ь. Многочлен Лагранжа Lk-i{u,x) использует узлы интерполяции Х\, 2:2,..., Xk-i из заданных к узлов.

Построенная квадратурная формула имеет вид:

ь

=+[ J * - ^iw].

a

Теорема 2. Пусть функция и(х) имеет представление (1), производная ограничена на [о,6], причем

или

Тогда

Ф^-^х) >0,хе (а,Ь), Бк-1(Ф) < 1(Ф) < ^(Ф) Ф^'О) < 0,® € (а, Ь), &(Ф) < /(Ф) <

Порядок томности

шах

10 " 10 Формулы Ньютона-Котеса Построенные аналоги этих формул

Рис. 2. Вычисленный порядок точности составных квадратурных формул, к - число узлов.

Теорема 3. Пусть функция и(х) имеет представление (1), производная р(к~1'1(х) ограничена на [а, Ь], причем

Ф^-'^х) > 0, ФИ(х) > 0, х е (а, Ь), 1{Ф) < Ф),

или

Ф^(х) < 0, Фм(®) < 0, х е (а,Ь), 1{Ф) > 5к(Ф).

Тогда справедлива оценка погрешности (6).

В п. 2.6 применен другой подход к построению квадратурных формул для интегрирования функций с большими градиентами, основанный на сгущении сетки в погранслое. Обосновывается применение составных формул Ньютона-Котеса на сетке Шишкина для вычисления интеграла

1

1(и) = J и(х) йх,

где функция и(х) на интервале [0,1] представима в виде:

и(х) = д(х) + Ф(г), < Си |Ф0)(*)| < 0<j<rn, (7)

где функции и Ф(ж) в явном виде не заданы, & > 0, в > О, постоянная С\ не зависит от е. Представление (7) справедливо для решения задами с экспоненциальным погранслоем. Пусть 5к,т(и) - формула Ньютона-Котеса с т узлами на интервале [х^хк+т-г], число сеточных интервалов N кратно тп — 1.

Теорема 4. Пусть для функции и(х) справедливо представление (7). Тогда для составной формулы Ньютона-Котеса Зт(и) на сетке Шишкина для некоторой постоянной С, не зависящей от е, справедливы оценки:

С г . , „1 а

11{и) - Sm(u)| < ^ [l + е lnm+1 N] при е <

JV"L ' J " 2m\nN'

Г>]пт дг л

|/(u)-gm(u)| < „ mini—,\nmN\ прие> п , дг. ivy т\ п _ Nm j 2mlnN

В п. 2.7 сравнивается два способа модификации формулы Симпсона для интегрирования функции, соответствующей решению краевой задачи с экспоненциальным пограничным слоем: модификация формулы, чтобы она стала точной на погранслойной составляющей и применение формулы Симпсона на сетке Шишкина. Обосновано, что применение формулы Симпсона на сетке Шишкина по точности предпочтительнее, что иллюстрируется на рис. 3.

В п. 2.8 исследуется вопрос применения квадратурных формул Эйлера и Грегори для интегрирования функций, соответствующих решению краевых задач с экспоненциальным погранслоем. Составная формула Эйлера повышает точность формулы трапеций до четвертого порядка. Однако при наличии погранслойной составляющей в случае равномерной сетки погрешность формулы Эйлера становится величиной порядка 0(h2/e). Предложено использовать формулу Эйлера на кусочно-равномерной сетке с заданием ширины пограничного слоя порядка 0(|г Inе|). Значение производной интегрируемой функции в составной формуле используется только в трех узлах.

Теорема 5. Для составной формулы Эйлера S(u) на построенной сетке с (N+1) узлами при интегрировании функции вида (7) для некоторой постоянной С, не зависящей от е, справедлива оценка:

\I(u)-S(u)\<C/N4. (8)

Полученная оценка погрешности такая же, как и в регулярном случае, когда

пограничный слой отсутствует. Показано, что переход к формуле Грегори не понижает оценку (8).

......... Формула Симпсона на сетке Шишкина

------Построенный аналог формулы Симпсона

- Формула Симпсона на равномерной сетке

Рис. 3. Вычисленный порядок точности составной формулы Симпсона и ее аналогов.

В третьей главе построены сплайн-интерполяционные формулы для функции двух переменных с погранслойными составляющими и исследовано их применение в двухсеточном методе и при построении кубатурной формулы.

В п. 3.1 в прямоугольной области рассматривается функция вида:

и(х, у) = р(х, у) + ^(у)Ф(х) + <12(х)в{у) + <13Ф(х)е(у). (9)

Предполагается, что функции р, й\, ¿2 не заданы, имеют равномерно ограниченные производные до второго порядка, погранслойные составляющиеФ(г), в(у) известны и их производные не являются равномерно ограниченными, йз не задано. В произвольной сдвоенной ячейке К^ = [х,_1, £¿+1] х [у^-г, У]+\] прямоугольной сетки с шагами по х и /г2 по у построена двумерная интерполяционная формула 1ф,в(и,х,у), точная на функциях Ф(х), 0(у).

Для функции, имеющей представление (9), при определенных ограничениях на Ф(х), 9(2/), обоснована оценка погрешности

\1ф,е(и,х,у) - и(х,у)| < С{Н\+ (х,у) 6 Кц, (10)

где постоянная С не зависит от производных функций Ф(х), 6(у).

В п. 3.2. исследуется вопрос применения построенной двумерной сплайн-интерполяционной формулы в двухсеточном алгоритме решения сингулярно возмущенной задачи:

где функции a,b,c,f,g - достаточно гладкие, а(х) > а > 0, Ь(у) > /? > О, с(Я)У) >0, е > 0. Решение задачи (11) представимо в виде (9) при задании Ф(х) = е~а^х!е, ©(у) = Для решения задачи (И) на равномерной сет-

ке используется двумерная схема A.M. Ильина, сходящаяся равномерно по параметру е. Для нахождения решения схемы исследуется двухсеточный метод, когда предварительно краевая задача на основе итераций решается на грубой сетке. Для пролонгации сеточного решения с грубой сетки на исходную предложено использовать интерполяционную формулу, точную на погранслойных составляющих. Показано, что в таком случае на исходной сетке необходимо сделать намного меньше итераций метода Зейделя, чем в случае односеточного метода. В то же время применение полиномиальной интерполяции в двухсеточном алгоритме не дало существенного выигрыша в арифметических действиях.

В п. 3.3 строится аналог кубатурной формулы Симпсона для вычисления интеграла от функции и(х,у), имеющей представление (9):

В каждой ячейке К^ строится кубатурная формула, точная на Ф(ж) и 6(у). Затем строится составная кубатурная формула Б (и). Показано, что если справедлива оценка (10), то для некоторой постоянной С, не зависящей от производных функций Ф(х), в (у), имеет место оценка погрешности:

В заключении сформулированы основные результаты диссертации. Опубликованные работы по теме диссертации

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК.

[1] Задорин А.И. Сплайн-интерполяция на равномерной сетке функции с по-гранслойной составляющей /А.И. Задорин , H.A. Задорин // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. - 2010. - Т. 50, № 2. - С. 221-233.

еихх + еиуу + а{х)их + Ь(у)иу - с(х, у)и = f(x, у), (х, у) е П; и(х, у) = д(х, у), (х, у) € Г, Г =

(11)

ь d

а с

|J(u) -S(u)| < C[hj + hl],

[2] Задорин А.И. Квадратурные формулы для функций с погранслойной составляющей / А.И. Задорин , H.A. Задорин // Журнал вычисл. матем. и матем. физики,- 2011.- Т. 51, № 11- С. 1952-1962.

[3] Задорин А.И. Интерполяция функций с погранслойными составляющими и ее применение в двухсеточном методе / А.И. Задорин, H.A. Задорин // Сибирские электронные математические известия,- 2011- Т. 8.- С. 247-267.

[4] Zadorin A.I. Interpolation formula for functions with a boundary layer component and its application to derivatives calculation / A.I. Zadorin , N.A. Zadorin // Siberian Electronic Mathematical Reports-2012- V. 9 - P. 445455.

[5] Задорин H.A. Интерполяционные и квадратурные формулы для функций с погранслойной составляющей на сетке Шишкина / H.A. Задорин // Вестник Омского университета - 2012 - № 4 - С. 17-20.

[6] Задорин А.И. Аналог формулы Ньютона-Котеса с четырьмя узлами для функции с погранслойной составляющей / А.И. Задорин, H.A. Задорин // Сиб. журн. вычисл. математики - 2013 - Т. 16, № 4,- С. 313-323.

[7] Задорин А.И. Квадратурная формула Эйлера для функции с погранслойной составляющей на кусочно-равномерной сетке / А.И. Задорин , H.A. Задорин // Сибирские электронные математические известия - 2013 - Т. 10.- С. 491-503.

[8] Zadorin A. Quadrature Formula with Five Nodes for Functions with a Boundary Layer Component / A. Zadorin , N. Zadorin // Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin - 2013.- V. 8236.- P. 540 - 546.

[9] Задорин А.И. Формула Симпсона и ее модификации для функции с погранслойной составляющей / А.И. Задорин , H.A. Задорин //Сибирские электронные математические известия,- 2014.- Т. 11.- С. 258-267.

В других рецензируемых журналах.

[10] Задорин H.A. Анализ формулы Симпсона на сетке Шишкина для функций с погранслойной составляющей / H.A. Задорин // Прикладная математика и фундаментальная информатика.- 2014 - № 1- С. 40-44.

[И] Блатов И.А. Анализ интерполяционной формулы, точной на погранслойной составляющей интерполируемой функции / И.А. Блатов , H.A. Задорин // Наука и мир. - 2015. -№ 2(18), Т. 1. - С. 13-17.

Статьи в трудах конференций.

[12] Задорин А.И. Метод сплайн-интерполяции для функции с погранслойной составляющей и его применение / А.И. Задорин, H.A. Задорин // Труды

Международной конференции "Вычислительная математика, дифференциальные уравнения, информационные технологии",- 2009.- Улан-Удэ, ВСГТУ,- С. 42-49.

[13] Задорин А.И. Двухсеточный метод решения линейного эллиптического уравнения с регулярными пограничными слоями / А.И. Задорин, H.A. Задорин // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: Труды Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко гос. регистр. 0321101160, ФГУП НТЦ "Информрегистр Новосибирск, 2011.- С. 1-6. http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/38172/45731/Zadorin-201 l.pdf

[14] Задорин А.И. Интерполяция функций с учетом пограничного слоя и ее применения / А.И. Задорин , H.A. Задорин // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Девятой Всероссийской конференции.- 2012. Казань: Отечество.- С. 147-151.

[15] Задорин H.A. Интерполяционная формула для функции с погранслойной составляющей / H.A. Задорин // Молодежь третьего тысячелетия: Международная научная конференция с элементами научной школы для молодежи. Сборник статей секции "Физико-математические науки". - Омск: ОмГУ.- 2012 - С. 13-16.

[16] Задорин H.A. Квадратурная формула для функций с погранслойной составляющей / H.A. Задорин // Труды Второй Российской молодежной научно-практической конференции с элементами научной школы "Прикладная математика и фундаментальная информатика".- 2012 - Омск: ОмГТУ,- С. 22-25.

[17] Задорин H.A. Аналог кубатурной формулы Симпсона для функции с большими градиентами / Задорин H.A. // ФМ ОмГУ 2013: сборник статей региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике. - Омск: ОмГУ. - 2013. - С. 7 - 10.

[18] Задорин H.A. Формулы Ньютона-Котеса для функций с погранслойной составляющей на кусочно-равномерной сетке / H.A. Задорин // ФМ ОмГУ 2014: сборник статей второй региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике - 2014 - Омск: ОмГУ. - С. 20 - 23.

Подписано в печать 16.04.2015 Формат 60x84/16. Бумага писчая. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 110 экз. Заказ № 168

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» тел. (3812) 24-70-79, 8-904-585-98-84.

E-mail: pc_kan@mail.ru 644122, г. Омск, ул. Красный Путь, 30 Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97