Интуиционистские варианты ряда теорем классической алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

г и с А

2 4 НОЯ 1997

российская академия наук

уральское отделение институт математики и механики

На. правах рукописи УДК 510.24-512.67

ГОРЕМЫКИНА Галина Ивановна

ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ВАРИАНТЫ РЯДА ТЕОРЕМ КЛАССИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1997

Работа выполнена в Институте проблем передачи информации Российской Академии наук

Научный руководитель -. доктор физико-математических, наук,

профессор В.А.Любецкий.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Ю.М.Важенин,

доктор физико-математических наук, профессор Е.А.Палюгин.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Петербургское отделение

Математического института РАН.

«

Защита состоится "25" ноября 1997 года в 13 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.07.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620219, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан "25 " октября 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент В.В. Кабанов

и

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тема настоящей работы относится к применению теоретико-модельных методов в теории интуиционистских доказательств на материале некоторых теорем классической алгебры. Исследуется традиционная проблема перехода от выводимости некоторого суждения 5 в классической теории к выводимости самого суждения Я или нового сувдения 5'(близкого по смыслу к Б) в соответствующей интуиционистской теории. В качестве таких теорий рассматриваются классическая и соответственно интуиционистская теории множеств.

Около 1930 г. А.Н.Колмогоров и К.Гедель решили эту проблему для исчисления предикатов. Предложенный ими негативный перевод 5' формул 5 обычного исчисления предикатов в формулы 5' того же исчисления состоит в том, что в определенных местах формулы в нужно добавить связки -п. Тогда, если ь- 5, то 5*, где к- обозначает вывод в классическом исчислении предикатов, а обозначает-вывод в соответствующем интуиционистском исчислении предикатов. Затем аналогичные исследования проводились для теории типов (Д.Майхилл, 1974г.) и теории множеств Цермело-Френкеля (Х.Фридмаа,1973г.; В.Пауэлл,1975г.)

Значение этих результатов общеизвестно. "Но их особенностью является то, что формула 5' существенно отличается от исходной формулы Я. Кроме того, одно из принципиальных достоинств интуиционистской теории состоит в свойстве экзистенциа-льности: если Эт05(г0), то можно предъявить терм индивидуально описывающий соответствующее х0 (так, что Теперь (— и II— обозначают соответственно классическую и интуиционистскую • выводимости в теории множеств или теории типов. Оно "теряется", когда речь идет об интуиционистской доказуемости формулы типа "пЭг05(х0); в этом случае, вообще говоря, нет возможности предъявить соответствующий терм для х0.

Поэтому появились исследования, в рамках которых пытаются не изменять или почти не изменять вид формулы 5 при переходе от классической выводимости к- й к соответствующей интуиционистской выводимости Э', и, во всяком случае, не добавлять в формулу 5 двойные отрицания. Для арифметики такой ггод-

ход реализуется в работе Х.Фридмана ([4]). Для теории множеств Цермело-Френкеля он был реализован сначала только для АЕ-арнфлетических формул Х.Фридааном (141), а затем в методе, предложенном В.А.Любецким ([5,61) и Г.Такеути-С.Титани ([11.121) .

Цель работы. Получен перевод формул языка 1-колец, для которого выводимость исходной формулы 5 в классической теории множеств влечет выводимость ее перевода в' в интуиционистской теории множеств. Этот перевод не связан с добавлением двойных отрицаний или релятивизацией исходной формулы 5 к специальному универсуму. К 5' применима теорема об эффективности дизъюнкции и квантора существования. Получен также класс формул в языке 1-колец,.для которого классическая и интуиционистская выводимости в теории множеств совпадают.

Получены интуиционистские в смысле интуиционистской выводимости (глава 1) или в смысле общезначимости (главы 2,3) варианты ряда хорошо известных в классической алгебре теорем: о свойствах полей разложения, Гильберта и Ритта о нулях систем многочленов, Вейерштрасса о корнях многочлена , о положительном решении 17-ой проблемы Гильберта.

Методика исследований. Все результаты диссертации получены с помощью единого метода, развивающего работы В.А.Любец-кого ([5-9]), Г.Такеути и Г.Титани ([10-12]). Суть этого метода состоит в семантическом оценивании формул элементами специально подбираемых булевых и гейтинговых алгебр.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены подробными доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носиг теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по теории доказательств, по интуиционистской теории множеств, при построении моделей интуиционистской теории множеств.

Апробация работы. Результаты диссертации излагались автором на 3-ем Всесоюзном семинаре по нестандартному анализу (Саратов-1990), на вторых Математических чтениях памяти М.Я. Суслина (Саратов-1991), на 11-ой Международной конференции по логике, методологии и философии науки (Обнинск-1995), на 3-ей

Суслинской конференции (Саратов-1994). А также подробно излагались автором на научных семинарах Петербургского отделения Математического института РАН (руководитель член-корр. РАН, проф. Ю.В.Матиясевич, 1997), Института проблем передачи информации РАН (руководитель проф. Р.Л.Добрушин, 1995), кафедры математической логики МГУ (руководители проф. Н.К.Верещагин, 1994, проф. В.А.Любецкий, 1996).

Публикации. Результации диссертации опубликованы в работах автора [13 - 21].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации 150 страниц, список литературы содержит 56 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Далее в главе 1 буква ¡1 обозначает переменную, пробега-бегающую класс г-колец, в главах 2,3 - класс полей. Знак х означает "равно по определению" или "эквивалентно по определению".

В Главе 1 получены результаты следующего вида: если ZF I— RCif), то ZPI i— R* (М), где R.R* - формулы в языке ZF и R* - некоторый синтаксический перевод формулы R, явно выписываемый по формуле R.

В §1.1 вводится общее определение оценки для произвольного фиксированного логико-математического языка. В §1.2 указывается синтаксический вид утверждений, рассматриваемых в работе. В §1.3 в рамках интуиционистской логики изучаются I-кольца, связанные с ниш решетки и предпучки на этих решетках.

Алгебраическую систему М х <Jf,+,•,-,<,0> называют Z-коль-цом ([11), если <Jlf,+, • ,-,0> - кольцо, <JSi,o - решетка и М -модель аксиом вида:

1) VaVbVc((КЬ=<ис$Ь+с); 2) VaVbVc(a<t>icO<c=»a. с<Ь-с&с-ска-Ь). Все рассматриваемые Z-кольца имеют единицу.

Пусть К - любое l-кольцо. Обозначим через КМ) множество всех его 1-идеалов. (I-идеалом называют двусторонний идеал I-кольца hi, являющийся выпуклой подрешеткой решетки М.) Положим в 1(Ю, что \/l ; lAjatnj; (О) - нуль в I(Jf), обозначае-

мый 0; .if - .единицаja.KM). обозначаемая Т. Тогда алгебраическая система Х(Я)ж<Г(ДГ) ,\/,л, Ö,T> является полной гейтинго-вой алгеброй (сокращенно сНа).

Элемент Ш(Ы) назовем дополняемым, если существует L-идеал J, такой, что (vJ=T и UJ=U. Определим в сНа 1(H) псевдодополнение I1- как наибольший L-идеал, для которого Ш-М]. Заметим, что у дополняемого элемента I "дополнение" J единственно и совпадает с I-1-. При этом lvt-^l-4-i^.

Обозначим через СотШ) множество всех дополняемых ¿-идеалов l-кольца М. Это множество является булевой подрешеткой решетки 1(М).

Определим отображение • г :Ы*С(Ж(Ы}-'М условием a=ari+v, где arl£l, vetx. При этом элемент аг1 будем называть ограничением а на t.

Применим к булевой алгебре Com(if) конструкцию, предложенную В.А.Любецким ([81). В результате получим следующую цепочку вложений:

Ссм(М) с Т(М) с В(М) с А(М), где Т(if) - сНа всех идеалов в Gom(M); Л (if) - сНа всех /-операторов (то есть отображений J:T№)->T{M), для которых i<J(l), JJ(i)=J(i), JtiAl, )=J(i) л J(t1), VM^TdO); В(Ю - алгебра стабильных в А{Ы) элементов (т.е. таких что (-п)А и -

и). Здесь и далее отрицание -ill понимается как (и—>-0), а импликация u—»-V определяется как Для любой сНа П и для любых ее элементов и,v. При этом ВЦf) с операциями и отношением порядка, индуцируемыми из А(М), является полной булевой алгеброй (сокращенно сВа).

В §1.4 вводятся определения 7"- и B-оценок: для любых а.ЬеМ положим:

[a=b]r*{t€Com(Af)|arl=örl} и Ia$ö]r;<{icCom(if)|arl<brl>-

Итак, f-=-Jrr Uz>—Com{M), аналогично для . Эти отобра-

жения продолжим на множество F(if) всех предложений в языке I-колец с параметрами из множества if. А именно, индукцией по длине предложения <р положим: [фуф]гх [ф]гу[ф]г, [V®p]r ж Аг£ф(а)]г и аналогично для всех других связок и квантора Э.

B-оценка определяется аналогично, с той лишь разницей, что

-б-

все операции вычисляются в В. Получаются два отображения: первое из них вида: Т(К)-*Т(М), а второе вида: Р(М)->В(М).

Позитивной называется формула, не содержащая связку =>. Хорновская формула определяется как обычно: атомарная формула есть хорновская; если <р и ф - хорновские формулы, то <р & ф -хорновская; если х - переменная, то , Злр, Улр - хорновские; если ф - позитивная формула, а ф - хорновская формула, то Ф » ф хорновская.

В предложении 1.3 доказано, что для любого 1-кольца М выполняется: 1) если ф - позитивная формула с параметрами, то (ф)м влечет [ф]г=1; 2) если ф - хорновская формула с парамет-трами, то |[ф]]т=1 влечет (<р)и-

Оценку [•] называют (£6]) замкнутой на интуиционистскую (классическую) выводимость, если имеет место следующее:

1) [ф]=1 для всех интуиционистских (классических) аксиом ф;

2) если [ф] =1 и И =1, а 1} получается из ф, ф по одному из правил вывода, то £й]| =1.

В предложении 1.4 показано, что оценка [.]г замкнута относительно интуиционистской выводимости в теории 1-колец, а оценка [.]|в замкнута относительно классической выводимости в теории 1-колец.

1-кольцо М назовем нормальным, если

Примером нормального 1-кольца может служить любое строго регулярное /-кольцо.

Формула называется фи-формулоЙ([8]), если в посылке любой ее импликации: во-первых, нет квантора V, а во-вторых, квантор 3 не входит в область действия какой-либо связки *».

В предложении 1.5 для любого нормального г-кольца Ш доказаны соотношения: 1) [ф]г £ [ф]в для любой фи-формулы с параметрами; 2) если и < [ф]в, то и < £ф]т для любой АЕ-формулы <р с параметрами и любого и(Т(М).

Расширим язык 1-колец до языка {+,-,.,£,0,1,л,V,г). Полученный язык назовем расширенным языком I-колец. Определим перевод формулы ф в формулу ф^ расширенного языка 1-колец для любого фиксированного элемента иСот(М). Пусть <р - любая формула в языке 1-колец с параметрами а из 1-кольца М. Пусть I,

~ свободные переменные, пробегающие Сот(М). Положим {а^=аг)[ * ri)=(a2ri), * (о^ riK(a,ri),

(фаф>; X «ррмфр. «И»; X 3t, ,t2[[l=(i1vt2)J&(9Ji )&(<PJ )].

«р~Ф>; * vi0((t0*i & (ф;ь>) - (ф;о>], (Захр); ж з®(ф;). (Vjxp)^ ж v®«pp.

Обозначим ф'(а) ж ф] (а) и Т' ж Сф*|ф€Т>, где Т - любое множество формул в языке I-колец.

В предложении 1.6 для любого f-кольца М доказывается: (ф|(а))^«{с[ф(а)]г, где ф - произвольная формула в языке I-колец с параметрами а из If, а I - любой элемент из Сат(М).

Если же И - произвольное неразложимое I-кольцо (т.е. любой дополняемый I-идеал этого I-кольца есть 0 или Т), то, со-согласно предложению 1.7, (<р(а))и «=» [ф(а)]г=Т.

В качестве классической теории множеств ZP рассматривается теория множеств Цермело-Френкеля с е-индукцией вместо аксиомы фундирования и с аксиомой собирания (collection) вместо аксиомы подстановки. В качестве соответствующей интуиционистской теории множеств ZFI рассматривается теория ZF без аксиомы, выражающей закон исключенного третьего (см. [31). Во введении (§0.2) определяются в ZFI гейтинговозначный универсум Vя (где П - любая полная гейтингова алгебра), оценка [F(Vn)-Q (где F(Vn) - множество всех формул языка ZP с параметрами из Va), см. [6]. Там же оцределяется вложение (•)": 7-Уп класса V всех множеств в класс Vn. В главе 1 в качестве П берется алгебра Т(М) или алгебра В(М).

В §1.6 определяется нестандартное представление I-кольца в универсумах VT и Vs; вводятся понятия Т-1- и В-1-колец. А именно, нестандартным представлением l-кольца И в универсуме VT назовем такой элемент KiVT, что для любой формулы ф(5) в языке l-колец и любых параметров аЩ выполняется: [ф(а)]г= 1«?ВХ))Х}Т (где В из Vя определенным образом соответствует а из М (см. следующий абзац), оценка формулы (ф(йз.)х вычисляется в Vr). Заменяя Т на В, получим определение нестандартного представления l-кольца М в универсуме Vе.

Определим положив Р(Яа)~£>(1Г) и Яа(Ь')х[а=Ь]г, где

0(Юх(сГ|а€Ю, а затем определим МТ<УТ, положив 2>(ЛГг )жСЛех} аеЮ и Мг(Да)х(. Заменив 7" на В, получим определение элемента Мв из Ув. Функции, отношение и константы на Ыт определим таким образом: Р(+г) х {<Да,Яь,Яо+ь>|а,Ь€М) и +Г(<Яа,Кь,йа+ь>-1 (аналогично для -г, -г); 2?«г) х {'<Йа,Яь>|а.Ь^М & а^Ь) и

$г(<Йа,Яь>) х [сКЬ]г; 0Г« й0, 1гх Дг Заменяя Г на В, получим определение соответствующих объектов на Мв.

¿-кольцо И назовем 7"-г-кольцом, если выполняется:

Аналогично (с заменой Т на В) определяется В-г-кольцо. Примером В-I-кольца служит любое 1-кольцо, носитель которого есть множество неотрицательных целых чисел ш.

Условия "Ы - нормальное В-г-кольцо" и "М - неразложимое нормальное В-1-кольцо" будем соответственно обозначать и ПИПКИ).

В предложении 1.8 устанавливается связь между Т-1-кольцом

и и выше описанными объектами Мт и Я : если N является Т-1-

г а

кольцом, то И' является нестандартным представлением М в универсуме Ут. Аналогично для В-1-кольца ЛI и объектов Ив и Яа.

В §1.7 доказываются теоремы о возможности перехода от выводимости в 21 формул языка г-колец к выводимости в этих же формул или их переводов.

Теореыа 1.1. Пусть 1(х) ~ произвольное тожество фи-фор-лул в языке 1-колец со свободными переленшт х, а ф(х) - любая АЕ-форлула в этол же языке.

Тогда, если Ъ¥ Т(х) =» ф(х))]ж то

1) т - ¥*(Ш(*) - [Ух(Т'Сг) - ф*(5))] (М>Сота{М))] и

2) ш н- уя(пш(я) => [у5(т (x) =» ф(х))]м].

3) В предыдущих пунктах лото перед связкой » одноврелен-но добавить: в посылке форлулу Ф', а в заключении - форлулу Ф, где, наприлер.

ф Ф'

строго регулярное f-кольцо (линейно) упорядоченное тело

коммутативное строго регулярное f-кольцо упорядоченное поле

Из теоремы 1.1 вытекает

Следствие. Пусть переленная U пробегает класс счетных I-колец, каприлер, носителем U является ш.

Пусть Т и ф - любые соответственно теория и формула, удовлетворяющие условию теоремы. 1.1.

Тогда, если ZF => ф(5))]м, то

ZFI ь- Vif[v5(T<p(5) « ф(х))]я.

Теорема 1.3. Пусть Т(х) - произвольное множество позитивных формул в языке l-нолец со свободными переменными х, а ф(5) - любая хорнавская АЕ-формула в этом же языке.

Тогда, если. ZF н- V<Jf{vx(T(i) - mo

ZPI к- ViijNR(tf) fi [vi(T(r) =» Ф(^))]м]-

В §1.7 определяется широкий класс формул ае(.)> называемых абсолютными. Теоремы 1.1 и 1.3 верны, если в них класс всех l-колец заменить на его подкласс, описываемый какой-то абсолютной формулой ае, см. теоремы 1.2 и 1.4.

Структура U допускает разный выбор булевых алгебр для построения оценки, соответствующей структуре М и этой алгебре. Например, вместо Сот(И) можно выбрать булеву алгебру Idc(M) всех центральных идемпотентов I-кольца U. Операции в Idc(M) определяются как е^\ег ^ е,-ег, e^ves * е^ег-е^.ег, -1еж1-е, наибольшим элементом является единица I-кольца U и наименьшим элементом его нуль. Буква е с индексами или без них обозначает произвольный элемент из 1<Зс{Ы). В этом случае необходимо дополнительное ограничение на l-кольцо М: условие е^О, Ve. Теперь для любых а,ЪеЫ оценка определяется следующим образом:

[a=b]r^{eeIdc(Ji)|e.a=e.b} и 1аф}Тх{ее1<Зс(М) ¡е-а^е-Ь).

-Ю-

Для случая Гйс(М) доказаны теоремы, аналогичные выше указанным теоремам для Сот(Ы). Важно, что в этом случае перевод <ру, определяемый как ес[ф!г и аналогичный переводу ср| (определяемому как 1€[ф])г (см. выше)), является формулой в том же языке I-колец, что и формула <р. Во многих случаях формула ф]' выражает содержательное алгебраическое, утверждение об ¿-кольце м.

Доказанные в главе 1 теоремы позволяют получить интуиционистские доказательства хорошо известных теорем классической алгебры. Например, можно указать на теорему Гильберта о нулях (включая границу для показателя степени и степеней многочленов), теорему о положительном решении 17-ой проблемы Гильберта (включая границу для степени многочлена) и т.д. В качестве примера приведем вторую из них.

Многочлен /(Х1.....Хп) будем записывать в виде •Хк,

где к - совокупность всех п-ок .....йп> натуральных чисел

и Хк - сокращение для лф •... Имеем

ги к- .....ьД ^'упорядоченное поле" л

Чх(хф V 3у(уг=х)) л

%.....а2таг(ао+...+агт.22т^+1=0) л УХ,.....Х^.ХЫ))]

=» |^3с1,... ,<^3 рациональные функции .....^(Рл'*4 =

л»}-

Конечно, в этой записи используется, что, если степень многочлена / не превышает некоторого фиксированного числа, то теорема Гильберта может быть записана в языке 1-колец.

Перейдем к содержанию Главы 2. В этой и следующей главах утверждения рассматриваются относительно общезначимости в классе всех гейтинговозначных универсумов, т.е. имеют вид УП[Юп=1п]» где С - само утверждение, п пробегает класс всех полных гейтинговых алгебр, 1п - наибольший элемент в П. А точнее, имеют вид:

ги УП[Ю"=1п].

-и-

Расширим обычный язык колец, добавив бинарный предикатный символ Алгебраическую систему М ж <М,+, .,-,#,О,1> называют отделенным шлем ([2,10]), если <11,+, • ,-,0,1> - коммутативное кольцо и

1) уаУЬЫа&Ь) о (а=Ъ)); 2) ЧаШс(а»Ъ =» а#с V Ь#с); 3) УаУЬ(а#Ь =» Ь#а); 4) УаУЬУс(а#Ь,=> а+с#Ь+с); 5) 0#1; 6) Уа(а#0 •» ЗЬ(Ь#0 & а.Ь=1)); 7) УаУЬУс(а#Ь & с#0 а«с#Ь.с).

Добавляя аксиому (р-1)#0 для какого-то фиксированного простого числа р, получим определение отделенного поля характеристики 0.

Если в поле дедекиндовых действительных чисел К положить: а#Ь » а<Ъ V Ъ<а, то получится пример отделенного поля.

Пусть {Ы,Ю - произвольное поле ¡1, в котором определена норма со значениями в К ("нормированное поле"). Определим в (У,К) бинарное отношение #, положив: а#Ь <=> ||а-Ь||#0, Уа.ЬеА?. Тогда и - отделенное поле.

Фиксируем произвольную сНа П. По С) (как и в главе 1) определяется соответствующая полная булева алгебра (сВа) В, см. [8]. Определяются соответственно гейтинговозначный универсум и булевозначный универсум Ув, а для них - соответствующие оценки.

Пусть И,Р0.....-----,рп'со.....с^ - любые фиксированные элементы из У? Набор <И,Р-,...,Р ,Рп.....Р ,с.,...,сь>

А и ши ни к

назовем алгебраической системой с достоверностью иеП, если [Р.:/0-« .Р :/*Ч| & Рп*Ц3° &.. Р сип & спеМ & ... &

"•о 171 О ПО

с&€М]П = и. Аналогично определяется в универсуме 7° понятие многосортной алгебраической системы с достоверностью иеО (в универсуме V0).

Пусть т)(*) - формула в языке 27, описывающая множество дедекиндовых сечений в В и его порядково-кольцевую структуру. Тогда через обозначим тот объект из V0, для которого [К0 = {я|т)(я)}]|п=1. Индекс П в обозначении к" будем опускать.

Вводится понятие полуабсолютной алгебраической системы с достоверностью исП (обозначение ЕАЪз(М,и)), которая определяется как алгебраическая система с достоверностью и и свойст-

вом < 1+:Мг-*М}в и также для других операций и отно-

шений. Изучаются свойства таких систем.

Обозначим (аМъ) а (||а-Ь||<е), где а,ЪеМ и переменная е пробегает все положительные рациональные числа. Это - хорошо известное в конструктивной математике е-равенство, которое говорит, что "а равно Ь с е-точностью'*. В §2.Т осуществляется переход от равенства элементов в Vе к их е-равенству в 7°.

В §2.8 изучаются интуиционистские свойства полей разложения. Пусть БР1Р(М,М0) -формализация в языке гР того, что нормированное поле (ЛГ.К) есть поле разложения многочлена над подполем ¡¡0, а ЫЕР(й,М0) - формализация в этом же языке того, что (¥,К) - нормальное расширение шля Ы0. Определим формулу е1Ш(Ы,М0). Для этого в формуле КЕР(1М0) все подформулы вида с&Ъ и а=Ъ заменим соответственно на формулы ||а-Ь||#0 и аМъ, а затем все переменные е1.....еп замкнем кванторами всеобщности.

Теорема 2.1 ИЧ ь- УП ШП

[нАЬв(М,и) =* |5Р1Р(М,2Г0) 8МР(М,ЛГ0)]П=1] .

В Главе 3 также доказываются интуиционистские варианты ряда классических теорем. При этом существенно используется техника, разработанная в главе 2.

Пусть и - любое нормированное алгебраически замкнутое поле, а АСР(И) - формула, соответствующая этому понятию. Обозначим через (еОм естественную запись в языке следующего утверждения о поле Ы (соответствующего теореме Гильберта о нулях):

пусть п,1,з - любые фиксированные целые положительные числа, тогда существуют целые положительные числа р,х и для любых многочленов /,/[1],...,/Сз] над М от п переменных степеней

если / обращается в нуль во всех общих нулях системы /С1]. ... ,/[з], то для любого положительного рационального числа е существует целое число р, 0<р<р, существуют многочлены gC1].....gCs] над Ш от п переменных с границей г для их

степеней, что

/» I Д/1*3-«1*1.

Теорема 3.1. 1?! к- УП ШП

[НАЪв(М.и) =» [[АСР(Ю «» (80)м]п=1]].

(причел границы р и% зависят только от п,1,з и не зависж от выбора ¡1).

Замечание. В главном случае, когда и=1, теорема 3.1 означает: 1¥1 кУП У(Ы - алгебраическая система и ||.||: \/п, 1,з Зр, ? ^[[есди М - нормированное алгебраически замкнутое поле и /,

/С1 ],... ,/[в] - многочлены над и от п переменных степени и / обращется в нуль во всех общих нулях системы \... ...,/Св1, то для любого положительного рационального числа е существует целое число р,0<рф, существуют многочлены £С1], ...,£Св] над и от п переменных с границей я; для их степеней,

что I ¿/^ .£СЬ]]П = 1].

Запись в фигурных скобках означает, .что - алгебраическая система и || .||:М]П,В=1.

Затем аналогичным образом рассматривается теорема Ритта. Пусть и - любое нормированное дифференциально замкнутое поле характеристики 0, а БСР(И) - формула, соответствующая этому понятию. Обозначим через (еЮм естественную запись следующего утверждения о поле И:

пусть п,1,5,з -любые фиксированные целые положительные числа, тогда существуют р.й.т и для любых дифференциальных многочленов /,/[1... над И от п дифференциальных переменных порядка ^ б и степени < I, если / обращается в нуль во всех общих нулях системы /[1.,/[а1, то для любого положительного рационального числа е существует целое число р>0, 0<р<р,

существуют дифференциальные многочлены £[10].....я', ...

•••,£Св0].,ё1вк3 над и от п дифференциальных переменных с границами к и для порядков и степеней, что

/р « {|и|0вС4Л(/"3)(Л.

п

Теорема 3.2. а?1 н- УП ШП ШУ

[мЬвЩ.и) => [р)ОТ(Щ => (еН)у]п =1))

(причел границы р, % и х не зависят от • выбора Ы). Замечание. В случав, когда и=1, теорема 3.1 означает: ZFI н- vq vCii - алгебраическая система и ||.||: ¿MRKV" с V3

\?n,ï,ô,3 Зр Л Л [[ес/u Ж - нормированное дифференциально закинутое поле характеристики 0 и /,/С13,...,/Св] - дифференциальные лногочленн над M от п дифференциальных переленных порядка и степени <г и / обращается в нуль во всех общих нулях систелы /t1 -1,... ,/[sl, то для любого положительного рационального числа s существует целое число р, 0<рф, существуют.

дифференциальные многочлены gC103,...,gc1&1, ... ,gCe°3,...,

glek) над M от n дифференциальных переленных с граниирли k и

в ъ

х для порядков и степеней, что |0 8liJ] (fli] ) (Л1П=1].

Запись в фигурных скобках означает, что pf - алгебраическая система и ||-||:М]|П,В=1.

В §3.3 доказывается интуиционистский вариант теоремы Ар-тина о 17-ой проблеме Гильберта.

Пусть U - произвольное нормированное упорядоченное вещественное замыкание упорядоченного поля М0, a C(H,MQ) - формула в языке ZF, соответствущая этому понятию. Обозначим через (еА)у естественную запись следующего предиката: пусть n,I - любые фиксированные целые положительные числа, тогда существуют целые положительные числа з.З и для любого

fV

многочлена / над UQ от n переменных степени < I, если f положительно определен в U, то Ve>0 существуют многочлены gC01, g[1...,g[s] над MQ от п переменных с границей d для степеней (причем gE03# 0), существуют положительные элементы с1, ...,с из что

8 ° 9 я ?

[s101]-J* ¿м*™).

Теорема з.з. ZFI >~ VCî Vuefl viiev"

(HAbs(M,u) - (|0(Jf,Mo) - (sA)JÎ]n=l)]>

^ Л1 л»

границы sud зависят от п и I и не зависят от выбора И и UQ. Замечание. В случае, когда u=1, теорема 3.1 означает:

ZPI Ь-

vn V(Jf - алгебраическая система и ||.||: Vn,I 3s,3

(Десми М - нормированное упорядоченное вещественное замыкание упорядоченного поля Ы0 и / - многочлен над MQ от п переменных степени <1 и / положительно определен в М, та Ve>0 .существуют многочлены gt0i,gt1J,... ,gCs:i наЗ MQ от п переменных с границей d для. степеней (причем gC01# О), существуют положительные

элементы с,.....са из К0, что (gco]) ./ I J^-(gtfcl) ]n=l] .

В §3.4 аналогично рассматривается интуиционистский вариант теоремы Вейерштрасса о корнях для многочленов над вещественно замкнутым полем.

Пусть М - любое нормированное упорядоченное вещественно замкнутое поле, a CP((if,lR) - запись этого понятия в языке ZF. Обозначим через (eW)M формализацию следующего утверждения: если I - любое фиксированное целое положительное число; аир - произвольные элементы из if; / - произвольный многочлен степени I над М, /(сх)<0, /((3)>0, то существует элемент 7 (заключенный между а и"(3), являющийся е-корнем многочлена f (т.е. /(7) 1 0).

Teopeua 3.4. ZFI t— VQ ШП VM<iVn

[н&Ъв(1Г,и) [|GP(Jf) •» (eW)Mln=l]].

Замечание. В главном случае, когда u=1, теорема 3.4 означает: ZFI и-

VQ VUf - алгебраическая система и ||.||: tf-»K}€Vnc7B VI £ Несли И - нормированное упорядоченное вещественно замкнутое поле, аир- произвольные зледенш из М; / - произвольный многочлен степени I над if, /(а)<0, /ф)>0, то существует элемент 7 (а<1<$), являщийся е-корнем многочлена /Зп=1] .

ЛИТЕРАТУРА

[1] Биркгоф Г. Теория решеток.- М.: Наука, 1984.

[21 Рейтинг А. Интуиционизм.- М.: Мир, 1965.

[3] Grayson R.J. Heyting-valued, models for lntultionistic

set theory.- lecture Notes In Mathem.; v. 753. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1979.-p.402-414.

141 Friedman H. Classically and lntultlonlstlcally provable recursive functions. In: Higher Set Theory. Lecture Notes in Mathem., 669, Springer, 1978.-р.21-27.

[5] Любецкий В.А. Оценки и пучки.- Йрепринт ИППИ АН СССР, М., 1988.

[61 Любецкий В.А. Оценки и пучки. О некоторых вопросах нестандартного анализа. - Успехи математических наук, т. 44, вып. 4(268), 1989, с.99-153.

[7] Любецкий В.А. Интуиционистская теория алгебраических систем и нестандартный анализ.- Алгебра и логика, Новосибирск, N3, 1991, с.320-332.

[81 Любецкий В.А. Оценки и пучки: теоремы переноса. - Докторская диссертация.- М., 1991.

[9] Любецкий В.А. Теоремы переноса и алгебра модальных операторов.- Алгебра и логика, Новосибирск, n 3, 1997, с.282-303.

[10] Takeutl G., Tltani S. Global intultlonlstic analysis. -Annals of Pure and Applied Logic.-1986, v.31.-p.307-339.

[11] Tltani S., Takeutl G. Conservative extension oi elementary notions in Heyting-valued universe,I.-Memorls oi College oi Engineering, Chubu Univ., 1988, н 24, p. 123-134.

[12] Tltani S., Takeutl G. Conservative extension of elementary notions in Heyting-valued universe,II.-Memorls of College of Engineering, Chubu Univ., 1988, N24, p.135-145.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[13] Горемыкина Г.И. К вопросу об интуиционистской теории числовых полей.- М.,1988.-Деп. ВИНИТИ, N223-88 деп.,21с.

[14] Горемыкина Г.И. О вариантах классических теорем в Vя.-

.Третий Всесоюзный семинар по нестандартному анализу, Саратов, 1990, с.14.

[151 Горемыкина Г.И. 0 свойствах р-адических чисел в Vn и Vе. - Вторые суслинские математические чтения, Саратов,1991, с.52.

[16] Горемыкина Г.И. Об интуиционистских вариантах классических теорем.- В кн.: Тезисы научных статей преподавателей Балашовского пединститута, Балашов, 1993, с.121-123.

[171 Goremyklna G. Application of semantic evaluation method lntultlonlstlc version of Ritt's theorem about zeros. -Third Souslln Converence, Saratov, 1994, p.35.

[18] Горемыкина Г.И. Применение метода семантического оценивания.- М., 1994.-Деп. ВИНИТИ, ы2307-В94деп.,60с.

[19] Горемыкина Г.И. Метод семантического оценивания: интуиционистские варианты двух классических теорем. - М., 1995. - Деп. ВИНИТИ, к505-В95деп.,21 с.

[20] Горемыкина Г.И. К вопросу о выводимости в ZFI для языка I- колец.- 11 Международная конференция по логике, методологии и философии науки, Обнинск, 1995, -с.6-10.

[21] Горемыкина Г.И. Интуиционистские варианты классически теорем.- Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН, 1996. .- М., 1997, с.102-125.