Использование дифференциальных инвариантов в классификационных задачах алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 514.763.8+512.745.2

БИБИКОВ Павел Витальевич

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ В КЛАССИФИКАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ

АЛГЕБРЫ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление 01.01.04 — геометрия и топология

2 2 ДЕК 2011

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань — 2011

005005819

Работа выполнена в лаборатории №6 «Проблемы качественного исследования нелинейных динамических систем» учреждения Российской академии наук «Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Лычагин Валентин Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Красильщик Иосиф Семенович

кандидат физико-математических наук,

научный сотрудник

Шурыгин Вадим Вадимович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Тверской государственный

университет»

Защита состоится «19» января 2012 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008 Казань, ул. проф. Нужина, д. 1/37, ауд. 337 НИИММ им. Н. Г. Чеботарева.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, 18.

Автореферат разослан «16» декабря 2011 г. и размещен на официальном сайте Казанского (Приволжского) федерального университета: www. ksu. ru

Ученый секретарь совета Д 212.081.10 к.ф.-м.н., доцент

Липачев Е. К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Бинарной формой степени п называется однородный многочлен от двух переменных х, у степени п

п

/(х, у) =

«=о

коэффициенты а, которого можно считать либо комплексными, либо вещественными.

Бинарные формы степени п образуют векторное пространство размерности п+1. На этом пространстве линейными преобразованиями действует группа ЯЬт.

Проблема описания ЭГ^-орбит бинарных форм данной степени п была поставлена Булем и Кэли в 1841 г. Дальнейшие исследования показали, что эта проблема в том или ином виде возникает в самых разных областях математики.

В связи с этим крупнейшие математики Х1Х-ХХ веков пытались решить проблему классификации орбит бинарных форм. Эти попытки привели к созданию целых теорий, среди которых можно отметить классическую теорию инвариантов, алгебраическую геометрию и теорию (ги-пер)эллиптических кривых.

Тем не менее, несмотря на значительные усилия замечательных математиков (Буля, Кэли, Эйзенштейна, Вейерштрасса, Гордана, Гильберта и др.), проблема классификации ЗЬ2-орбит бинарных форм степени п в общем случае осталась нерешенной.

Наряду с проблемой классификации бинарных форм естественно сформулировать и проблему классификации тернарных форм.

Напомним, что тернарной формой степени п называется однородный многочлен от трех переменных х, у, г степени п

/(х,у,г)= X] <хцкх,у>гк.

i+j+k=n

На пространстве тернарных форм степени п линейными заменами координат действует группа БЬз.

Проблема классификации тернарных форм также была поставлена в середине XIX века. Эта проблема, возможно, даже более интересна, нежели

з

проблема классификации бинарных форм, из-за следующей геометрической интерпретации.

Каждой неприводимой тернарной форме / поставим в соответствие неприводимую алгебраическую проективную кривую {/ = 0} на проективной плоскости. Тогда проблему классификации (правда, с точностью до множителя) неприводимых тернарных форм можно сформулировать в геометрических терминах: классифицировать неприводимые алгебраические проективные кривые с точностью до проективных преобразований.

В 2006 году Лычагин и Кругликов1 предложили новый подход к исследованию проблем описания орбит. Суть этого метода заключается в использовании дифференциальных уравнений и дифференциальных инвариантов, что даст возможность соединить алгебраические и дифференциально-геометрические подходы.

Преимущество такого подхода заключается в существований мощных классификационных теорем, полученных Ли, Трсссе и Картапом.

Степень разработанности проблемы. К настоящему времени получена классификация бинарных форм лишь степени п 10.

Случай п = 3 был решен Булем в 1841 г.

Первый нетривиальный случай п = 4 был решен Булем2, Кэли и Эйзенштейном в 1841-1850 гг. и положил начало классической теории инвариантов. Отметим, что классификация бинарных форм степени 4 тесно связана с двойным отношением четырех точек на проективной прямой, а также с j-инвариантом эллиптической кривой.

Случаи п = 5, 6, 7, 8 были решены Кэли, Эрмитом3, Горданом, Шиодой4, Дикмиером и Лазардом0. Заметим, что самый сложный случай п = 7 был окончательно решен Бедратюком® лишь в 2007 г. с помощью компьютерной системы Maple.

Случаи п = 9 и 10 были решены Брауэром и Поповичев7 8 в 2010 г. также

lKruglikov, В., Lychagin, V.: invariants of pseudogroup actions: homotogicnl methods and finiteness theorem // Int. J. Ceom. Methods Mod. Phys. - 3(5-6). - P. 1131-1165 (2006).

2Boole, G.-. Exposition of a general theory of linear transformations // Cainb. Math. J. - 3.- P. 1-20, 106-119 (1841-18-12).

3Hermite, Ch.: Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. Cambridge and Dublin Math. J, (1854).

'Shioda, T.: On the graded ring of invariante of b inarj oefaote» I ! Amer. J. Math. - 89. - P. 1022-1046 (1967).

3Dixmier, J., Lazard. D.: Le nombre minimum d'invarients fondamentaux pour les formes binaires de degree 7 j j Potrigaliae Math. - 43(3). - Г. 377-392 (1985-1986).

eBedratyuk, L. On rmnplete system of invariants for the binary form of degree 7 // Journal of Symbolic Computation. -42. - P. 935-917 (2007).

7Brouwer, A.E., Popovich, M.: The invariants of the binary nontc // Journal of Symbolic Computation. - 45. - P. 709-720 (2010).

8Brouwer, A.E., Popovich, M-: The invariants of the binary deeimic // Journal of Symbolic Computation. - 45. - P. 837-813 (2010).

с помощью компьютера.

Отмстим, что существующие на сегодняшний день методы в принципе не позволяют получить единой классификации бинарных форм произвольной степени п. Все указанные выше классификации были проведены для конкретного (и весьма небольшого) п, в то время как результаты и методы, используемые для разных тг, принципиально отличаются друг от друга.

Еще один существенный недостаток этих классификаций заключается в невозможности их применения к алгебраически незамкнутому полю R.

Ситуация с классификацией тернарных форм еще более плачевна, нежели в случае форм бинарных.

Случай п = 2 является классическим результатом из курса линейной алгебры и был известен (в том или ином виде) еще древним грекам.

Случай !I, — 3 был исследован Всйсрштрассом. Им было доказано, что каждая пеособая тернарная форма приводится к так называемой нормальной форме Вейсрштрасса

y2z + г3 + pxz2 + qz3.

Оказывается, что две тернарные формы эквивалентны если и только сели коэффициенты их нормальных форм Вейсрштрасса совпадают.

Из коэффициентов р и q нормальной формы Вейсрштрасса можно составить ./-инвариант тернарной формы j = p:i/q2. Оказывается, что две кривые {/ = 0} и {/ = 0} проективно эквивалентны если и только если j'-инварианты форм / и / совпадают.

Случай п — 4 был решен совсем недавно усилиями многих математиков. Окончательный ответ был получен усилиями Диксмиера, Шиоды и Брауэра9.

Таким образом, к сегодняшнему дтпо неизвестна даже классификация квантик (то есть тернарных форм пятой степени), не говоря уже об общем случае п.

Цель и задачи диссертационного исследования. В настоящей работе рассматриваются задачи классификации орбит бинарных и тернарных форм относительно действия групп GL2 и GL3 соответственно.

Перечислим основные задачи исследования:

"Brouwer, Л.Е.: Invariants о/ the ternary quartic I/ bttp://«yv.»in.tue.iil/-aeb/i«ath/teri\ary.quartic.ht»l

ü

1) Найти алгебру дифференциальных инвариантов действия групп СЬ^ и ЭЬ'2 на пространстве беско?гсчных джетов 7°° (2).

2) В терминах построенных алгебр найти необходимое и достаточное условие локальной СЬо- и ЗЬг-эквивалснтпости гладких функций на плоскости.

3) Явно найти алгебры дифференциальных инвариантов действия групп СЬ2 и СЬз на пространствах бинарных и тернарных форм соответственно.

4) В терминах найденных алгебр инвариантов найти критерий глобальной йЬг- и СЬз-эквивалснтности бинарных и тернарных форм соответственно.

5) Явно найти алгебру дифференциальных инвариантов действия группы БОз на пространстве тернарных форм и в терминах этой алгебры найти критерий глобальной ЗОз-эквивалентности тернарных форм.

Объектом исследования являются бинарные и тернарные формы, а также дифференциальные уравнения Эйлера и алгебры дифференциальных инвариантов.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют с одной стороны методы современной дифференциальной геометрии и геометрии дифференциальных уравнений, а с другой — методы алгебраической геометрии и классической теории инвариантов.

Научная новизна исследования. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для действия групп и БЬг на пространстве бесконечных джетов .Iх (2) найдены алгебры дифференциальных инвариантов. А именно, указаны базисные дифференциальные инварианты, инвариантные дифференцирования и сизигии.

2) В терминах найденных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия локальной СЬ2 и ЗЬ2-эквивалентности регулярных гладких функций от двух переменных.

3) Для действия групп СЬ2 и ЯЬ2 на двумерном дифференциальном уравнении Эйлера х/х + у/у = п/ найдены алгебры дифференциальных инвариантов.

4) В терминах найденных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия глобальной СЬ2 и БГ^-эквивалентности бинарных форм над полями С и К.

5) Для действия групп СЬ3, БЬд и БОз на трехмерном дифференциальном уравнении Эйлера х/х + у/у + г/2 = п/ найдены поля дифференциальных инвариантов.

6) В терминах найденных полей дифференциальных инвариантов найдены условия глобальной СЬ3-, 8Ь3- и 803-эквивалентности тернарных форм.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы для изучения других действий алгебраических групп па аффинных многообразиях, а также для изучения различных проблем, связанных с классификацией орбит бинарных и тернарных форм. В диссертационной работе приведены примеры применения полученных результатов к классификации алгебраических проективных кривых, однородных функций, а также к нахождению полиномиальных инвариантов бинарных и тернарных форм. На основе этих результатов составлены спецкурсы для студентов и аспирантов, которые читаются в Институте проблем управления РАН. Результаты диссертационного исследования применяются в научных разработках лаборатории №6, что подтверждается актом внедрения.

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях:

— на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством профессора Э. Б. Винберга и профессора А. Л. Онищика (Москва, МГУ им.

М. В. Ломоносова, апрель 2010 г.)

на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора И. С. Красильщика (Москва, Независимый московский университет, май, декабрь 2010 г. и октябрь 2011 г.);

на Международной конференции «Геометрия в Одессе» (Одесса, Украина, 25-28 мая 2010 г.);

на Международной конференции «Метрическая геометрия поверхностей и многогранников», посвященной 100-летию со дня рождения Н. В. Ефимова (Москва, Россия, 18-21 августа 2010 г.);

на Международной конференции «Геометрия в Кисловодске» (Кисловодск, Россия, 13-20 сентября 2010 г.);

на IX Всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, Россия, 1-6 октября 2010 г.);

на Второй Российской школе-конференции для молодых ученых с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, Россия, 8-12 декабря 2010 г.);

на семинаре отдела геометрии и топологии МИАН "Геометрия, топология и математическая физика" под руководством академика РАН С. П. Новикова и член-корреспондента РАН В. М. Бухштабера (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, апрель 2011 г.);

на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, Россия, 11-15 апреля 2011 г.); работа отмечена грамотой за лучший доклад на секции «Математика и механика»;

на семинаре кафедры дифференциальных уравнений под руководством д.ф.-м.н. профессора Ю. В. Обносова (Казань, Казанский государственный университет, май 2011 г.);

на Международной конференции «Геометрия. Управление. Экономика» (Астрахань, Россия, 18-23 августа 2011 г.);

на семинаре отдела кафедры дифференциальной геометрии и приложений "Дифференциальная геометрия и приложения" под руководством

академика РАН А. Т. Фоменко (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, октябрь, ноябрь 2011 г.);

— на семинарах лаборатории №6 ИПУ РАН под руководством д.ф.-м.н. профессоров В. В. Лычагина и А. Г. Кушнера (Москва, ИПУ РАН, 2010-2011 гг.).

Публикации. Результаты, основные положения и выводы диссертационного исследования отражены в 13 публикациях в периодических изданиях и тематических сборниках общим объемом 3,60 п. л. В том числе 5 статей опубликованы в журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. С опубликованных научных работ по теме исследования выполнены без соавторов, 7 работ написаны совместно, при этом вклад автора составляет от 40% до 75%.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 130 страницах, состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 50 наименований. Диссертация содержит 1 таблицу и 5 рисунков.

Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация пунктов и подпунктов — тремя и четырьмя соответственно. Например, номером 3.2 обозначен второй параграф третьей главы, а номером 3.2.1 — первый пункт второго параграфа третьей главы.

Нумерация диаграмм, таблиц и теорем в тексте диссертации сквозная, а нумерация формул и рисунков в каждой главе своя.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается общая характеристика работы, формулируются основные результаты и приводится краткий исторический обзор результатов по классификации бинарных и тернарных форм.

В первой главе «Исторический обзор и необходимые сведения» формулируются основные проблемы, исследуемые в диссертации, приводит-

ся исторический обзор уже известных результатов в этой области, а также описывается новый подход к исследованию этих проблем и приводятся необходимые понятия и сведения, используемые в диссертационной работе.

Остановимся более подробно на содержании первой главы.

В п. 1.1 «Исторический обзор» приводятся формулировки основных проблем, исследуемых в диссертации, описываются известные подходы к исследованию этих проблем и даются результаты, полученные к настоящему времени.

Пусть V* = Б™ (С2)* — пространство бинарных форм степени п от переменных х, у над полем С, т.е.

^ = (1) ¿=о

Рассмотрим следующее действие группы СЬ2(С) на пространстве подгруппа 8Ь2(С) с СЬ2(С) действует стандартными заменами координат, а центр С* С СЬ2(С) действует гомотетиями / >-> А/, где / е У„2 и А 6 С*.

Рассматривается следующая задача: классифицировать СЬ2(С)- и БЬ2(С)-орбиты бинарных форм.

Аналогичным образом ставится вопрос о классификации орбит тернарных форм, т.е. однородных многочленов от трех переменных над полем С: классифицировать СЬ^(С)- и БЬ^С)-орбиты тернарных форм.

Основным методом, применяемым для решения этих задач, до недавних пор оставалось вычисление алгебры (или поля) инвариантов. Однако в рамках этого метода полностью решить эти проблемы не представляется возможным.

А именно, к настоящему времени известны классификация орбит бинарных форм степени п < 10 и тернарных форм степени п < 4.

В п. 1.2 «Необходимые сведения» мы описываем подход к решению проблем классификации орбит бинарных и тернарных форм, связанный с дифференциальными уравнениями в частных производных, а также приводим необходимые сведения, используемые в дальнейшем.

Основной идеей в задачах классификации орбит бинарных и тернарных

форм является рассмотрение дифференциального уравнения Эйлера

р

= га/.

ю

Легко видеть, что при р = 2 (соответственно р = 3) бинарные формы (соответственно тернарные формы) степени п являются решениями дифференциального уравнения Эйлера. Такая интерпретация бинарных и тернар-пых форм даст возможность применить к нашим априори алгебраическим задачам геометрические методы из теории дифференциальных уравнений. Оказывается, что синтез идей из дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и классической теории инвариантов позволяет решить проблемы классификации бинарных и тернарных форм, остававшихся нерешенными более 150 лет.

Во второй главе «Классификация орбит бинарных форм» рассматривается классификация орбит бинарных форм над полем С относительно действия группы GL2(C). По заданной бинарной форме / мы строим многочлен F от трех переменных (называемый многочленом зависимостей), который однозначно определяет GL2(C)-op6nTy бинарной формы /.

Также мы приводим листинг компьютерной программы (см. Приложение 1), которая позволяет быстро вычислять многочлен зависимостей. Приведены примеры вычисления таких многочленов для различных бинарных форм, в том числе и для высокой степени 10 и для произвольной степени п.

В п. 2.1 «Классификация орбит гладких функций» решается более грубая задача: классифицируются СЬ2-орбиты ростков гладких функций на плоскости. Для этого мы используем теорию дифференциальных инвариантов и инвариантных дифференцирований.

Рассмотрим пространство С°°(2) гладких функций от переменных х, у над полем С или R. Рассмотрим пространство £-джстов функций Jk{2) с каноническими координатами (х, у, и, uw, uqi, .. .)• Группа GL2 действует на пространстве ростков гладких функций Сх('2). А именно, группа SL2 С GL2 действует линейными заменами координат, а центр действует гомотетиями / н-> Л/, где / G Сос(2). Это действие поднимается до действия в пространстве к-джетов Jk{2).

Теорема 6. Алгебра дифференциальных инвариантов указанного выше действия группы GL2 на пространстве J°°(2) локально порождается ин-

вариантами

Е хию + уи01 ^ = - 2Щ0И01Ш1 + и210и02 и " из

и инвариантными дифференцированиями

V! и

ах (Iу и йх и йу

она разделяет орбиты и обладает одной сизигией

(Бя - Ъ)Е - ЗЕ$ + ЗЕ^ - 4ЕГ = О (2)

(здесь /, := V,//

Наконец, в терминах найденной алгебры инвариантов можно описать СЬг-орбиты гладких функций.

Назовем функцию / 6 С00 (2) регулярной в окрестности П, если функции Е(/) и F(/) независимы в П, т.е. если

&(/) Л ^ 0 в П. (3)

Для регулярной функции / существуют следующие зависимости, удовлетворяющие уравнению сизигии:

Щ/) = А1(Е(/),р(Г)), ВДНВДАЯЛ),

(Л = в2(Е(/),Р(/)). Заметим, что уравнение сизигии есть не что иное как условие интегрируемости этой системы уравнений.

Теорема 7. Четверка функций (Ль А2, Ви В2), удовлетворяющая уравнению сизигии, локально задает орбиту регулярной функции / е С°°(2).

Эти теоремы легко обобщаются на случай действия группы ЗЬ2. В п. 2.2 «СЬ2(<С)-орбиты бинарных форм» полностью решается проблема классификации СЬ2(С)-орбит бинарных форм. Для этого бинарные формы степени п представляются как решения двумерного дифференциального уравнения Эйлера х/х + у/у = п/, и рассматривается действие группы СЬ2(С) на этом уравнении. В результате удастся применить дифференциально-геометрические методы, аналогичные тем, которые использовались для описания орбит гладких функций.

Уравнению xfx + yfy = nf соответствует алгебраическое многообразие

í := Е{2) = {хи10 + yuoi = пи} С Jl{2). (4)

Как и раньше, первым этапом описания орбит бинарных форм является нахождение алгебры дифференциальных инвариантов действия группы GL2(С) tía многообразии

Теорема 10. Алгебра дифференциальных инвариантов действия GL^C) на многообразии £^ свободно порождается дифференциальным инвариантом

„ U20U02 - ип

Н :=-т,-

u¿

и инвариантным дифференцированием

__ «oí _ "ю d и dx и dy

В терминах этой теоремы удастся полностью описать СЬ2(С)-орбиты бинарных форм.

А именно, положим

д := я, h ■■= Vtf /з := V2tf.

Ограничения этих дифференциальных инвариантов на график Lj С бинарной формы / являются однородными рациональными функциями от переменных х и у.

Значит, между ними существует алгебраическая зависимость:

ПМ/Ш/ШЯН 0.

Введем порядок на переменных Д, а именно, будем считать, что h ^ h < /3. Будем считать, что многочлен F имеет минимальную степень относительно этого порядка и определен с точностью до умножения на ненулевую константу. В этих предположениях многочлен F определен однозначно. Мы будем называть его многочленом зависимостей для бинарной формы /. Основная теорема этой главы формулируется следующим образом.

Теорема 11. Пусть fi, /2 — бинарные формы степени п и F\, F¿ — соответствующие многочлены зависимостей. Тогда формы fi и /2 являются GL2{C)-DKoueajieHmHbiMU тогда и только тогда, когда F\ = F2.

Приводятся примеры вычисления многочленов зависимостей для конкретных бинарных форм. В Приложении 1 также приведен листинг компьютерной программы на языке символьных вычислений Мар1е-13, с помощью которой и были вычислены эти многочлены зависимостей.

В п. 2.3 «Обобщения» идеи и методы, примененные нами для классификации СЬ2(С)-орбит бинарных форм, обобщаются на различные другие действия.

В п. 2.4 «Приложения» приводятся формулировки различных известных проблем, которые сводятся к уже решенным нами проблемам классификаций бинарных форм.

В третьей главе «Классификация орбит тернарных форм» решается задача описания СЬ3(С)-орбит тернарных форм. Как и в случае бинарных форм, решение этой проблемы состоит из двух частей.

В первой части мы описываем алгебру дифференциальных инвариантов действия группы СЬ3(С) на трехмерном дифференциальном уравнении Эйлера х/х + у ¡у + г/, = п/. Во второй части мы классифицируем тернарные формы, представляя их как решения уравнения Эйлера.

В п. 3.1 «Поле инвариантов» описывается построение поля дифференциальных инвариантов действия группы СЬ3(С) на трехмерном дифференциальном уравнении Эйлера

Теперь можно построить базисные дифференциальные инварианты и инвариантные дифференцирования.

Предложение 5. Функция

£ := £(3) = {хит + г/мою + гит = пи} С ^(З).

Основным объектом в этом построении являются инвариантные к-формы <5*;, определяемые следующим образом:

^ "200 "110 "101 Н — • "110 «020 "011

"101 ион "002

является дифференциальным инвариантом порядка 2.

На поле дифференциальных инвариантов существует тройная скобка Намбу {•,•,•}, определяемая по формуле

dh л dh A dh = {Ii; h-, h}dtt,

где dtt = dx A dy A dz — форма объема.

Полагая I\ = In |и| и /2 = Н, получаем инвариантное дифференцирование V."

-du Л dH Л dl = (Vl)dCl. и

Дифференцирование г := + + zj: является инвариантным и для любой однородной степени s функции I имеем rl = si.

Теперь построим еще одно инвариантное дифференцирование. Для этого рассмотрим бесконечный джст, в котором квадрика Qi невырождена. Касательное пространство в этом джете трехмерно и содержит два инвариантных дифференцирования г и V. Эти дифференцирования ортогональны относительно квадрики Q?, поэтому существует единственное с точностью до множителя векторное поле 5, ортогональное полям г и V относительно Q2. Нормируем его условием

r{x) r(y) r{z) Щх) Щу) V(z) 6(х) 6{у) S{Z)

Ясно, что дифференцирование 6 является инвариантным и независимым с г и V.

Наконец, найдем четыре дифференциальных инварианта порядка 3. Для этого запишем инвариантную 3-форму Q3 в «инвариантном базисе» {г*, V*. (*>*} и рассмотрим ее коэффициенты. Иначе говоря, положим

/ = <?3(V,V,V), J = g3(V,V,i), K = Q3(V,6,6), L = Q3{S,S,S).

Теорема 20. Поле дифференциальны.х инвариантов действия группы СЬз(С) на многообразии £порождается инвариантами Н, I, J, К и L и дифференцированиями V и 6; оно разделяет неособые орбиты. Дифференциальные сизигии этого поля порождаются одним соотношением па инвариантах порядка 3 и тремя соотношениями на инвариантах порядка

4-

= Q2(V,V).

В п. 3.2 «Классификация регулярных тернарных форм» решается основная проблема описания GL3(C)-op6nT тернарных форм с ненулевым гессианом. Для этого применяются теоремы из предыдущего раздела о структуре поля дифференциальных инвариантов.

Рассмотрим дифференциальные инварианты

Н, /, J, К., L, VI, VJ, VK, VL, 6L.

Их ограничения на график Lj С £(3) тернарной формы / являются однородными рациональными функциями от переменных х, у, z и определяют рациональное отображение

*t : С3 -» С10, «f(a) = (Я([/]4), /([/]<),..., sm\))-

Значит, между этими ограничениями существуют алгебраические зависимости. Обозначим множество этих зависимостей через и образ отображения itf через Е/. Основная теорема этой главы формулируется следующим образом.

Теорема 21. 1. Тернарные формы fufe ненулевым гессианом эквивалентны если и только ec.nu £/ = Ej.

2. Тернарные формы fufe ненулевым гессианом эквивалентны если и только если = У у.

В п. 3.3 «Классификация сингулярных тернарных форм» решается проблема описания GL3(C)-opf)HT тернарных форм с нулевым гессианом.

Для построения алгебр дифференциальных инвариантов рассматриваются два случая: гк<5г = 2 и rk<?2 = 1В первом случае рассматривается система дифференциальных уравнений Н = £^П{Н = 0}. Выберем ненулевой вектор у 6 kerQ2 и нормируем его условием <?3(7,7,7) = 1. Т.к. dimkerQ2 = 1, этот вектор является инвариантным дифференцированием.

Используя дифференцирование 7, построим дифференциальный инвариант М = <34(7,7:7,7) порядка 4.

Теорема 22. Алгебра дифференциальных инвариантов действия группы GL3(C) на многообразии Н^ свободно порождается инвариантом М и дифференцированием 7.

Рассмотрим теперь дифференциальные инварианты М, 7М, 72М, у3А/. Их ограничения на график L] С 7i{5) тернарной формы / являются одно-

родными рациональными функциями от переменных х, у, z. Значит, между ними существует алгебраическая зависимость:

Sj(M, 7 А/, 72Af, 73Л/) = 0.

Будем считать, что многочлен Sj неприводим, имеет минимальный порядок и определен с точностью до умножения на ненулевую константу.

Теорема 24. Тернарные формы / и /, для которых rk Q2 = 2, эквивалентны если и только если Sf = Sp

Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы 11.

Теперь перейдем к случаю rk Q<> = 1. В этом случае рассмотрим уравнение Т — £® П {Д; = 0}, где Д,- — миноры матрицы Гессе размера 2x2. Размерности всех продолжений С JkС3 уравнения Т не превосхо-

дят 9, поэтому у него нет дифференциальных инвариантов и инвариантных дифференцирований. Кроме того, т.к. размерность орбиты графика Lj тернарной формы /, для которой rkQ2 = 1, также не превосходит 9, то эта форма эквивалентна форме хп.

Теорема 24. Тернарные формы / и /, для которых rkQ2 = 1, эквивалентны.

В п. 3.4 «Метрическая классификация тернарных форм» методы, описанные в предыдущих разделах, применяются к проблеме метрической классификации тернарных форм.

В п. 3.5 «Обобщения и приложения» приводятся обобщения рассмотренных выше действий групп GL3(C) и S03(C) и приложения этих действий и обобщений к решению различных проблем.

В Приложении 1 приводятся листинги компьютерных программ, используемых для работы с действием группы GL2 на гладких функциях и бинарных формах, а в Приложении 2 — листинг компьютерной программы для вычисления дифференциальных инвариантов и инвариантных дифференцирований действия группы GL3 на трехмерном дифференциальном уравнении Эйлера. Эти программы написаны на языке системы компьютерной алгебры Maple-13.

Публикации по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК

1. Бибиков, П.В.: GL2{C)-op6umH бинарных форм [Текст] / П.В. Бибиков, В.В. Лычагин // ДАН. - 435(4). - С. 439-440 (2010) - 0,13 п.л.

2. Bibikov, P.V.: GL2(C)-orbits of binary rational forms [Текст] / P.V. Bibikov, V.V. Lychagin // Lobaclievskii Journal of Mathematics. - 32(1). - P. 94-101 (2011) - 0,51 п.л.

3. Бибиков, П.В.: Qh^C)-орбиты рациональных тернарных форм [Текст] / П.В. Бибиков, В.В. Лычагин // ДАН. - 438(4). - С. 295-297 (2011) -0,19 п.л.

4. Бибиков, П.В.: Классификация тернарных форм с нулевым гессианом [Текст] / П.В. Бибиков // Известия ВУЗов. Математика. - № 9. - С. 99-101 (2011) - 0,21 п.л.

5. Бибиков, П.В.: Метрическая классификация алгебраических проективных кривых [Текст] / П.В. Бибиков // Известия ПГПУ им. Белинского. - № 26. - С. 36-42 (2011) - 0,65 п.л.

Публикации в других изданиях

6. Бибиков, П.В.: SL2-орбиты бинарных форм [Текст] / П.В. Бибиков, В.В. Лычагин // Сборник тезисов Международной конференции «Метрическая геометрия поверхностей и многогранников». - С. 11-12 (2010) - 0,13 п.л.

7. Бибиков, П.В.: Классификация SL2(C)-орбит бинарных рациональных форм [Текст] / П.В. Бибиков, В.В. Лычагин // Тезисы докладов Международной конференции «Геометрия в Кисловодске - 2010». - С. 20 (2010) - 0,06 п.л.

8. Бибиков, П.В.: Классификация SL2{С)-орбит бинарных форм [Текст] / П.В. Бибиков, В.В. Лычагин // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. - 40. - С. 72-75 (2010) - 0,31 п.л.

9. Бибиков, П.В.: Классификация GL^C)-орбит тернарных форм [Электронный ресурс] / П.В. Бибиков // Материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2011». - М.: МАКС Пресс. - ISBN 978-5-317-03634-8 (2011) - 0,13 п.л.

10. Bibikov, P.V.: Projective classification of binary and ternary forms P.V. Bibikov, V.V. Lychagin // Journal of Geometry and Physics. -doi:10.1016/j.geomphys.2011.05.001 - 61(10). - P. 1914-1927 (2011) - 0,88 п.л.

11. Бибиков, П.В.: SOz(C)-орбиты тернарных форм [Текст] / П.В. Бибиков // Тезисы докладов Международной конференции «Геометрия. Управление. Экономика». - С. 7 (2011) - 0,06 п.л.

12. Бибиков, П.В.: Автоморфные дифференциальные уравнения и GLi2(C)-орбиты бинарных форм [Текст] / П.В. Бибиков // Тезисы докладов VI Уфимской Международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения». - С. 32-33 (2011) - 0,13 п.л.

13. Бибиков, П.В.: Проективная классификация алгебраических проективных кривых [Текст] / П.В. Бибиков // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. - 44. - С. 92-94 (2011) - 0,21 п.л.

Подписано в печать 07.12.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1175 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д. 1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

0.1. Общая характеристика работы.

0.1.1. Актуальность темы исследования

0.1.2. Цель работы

0.1.3. Основные задачи исследования.

0.1.4. Научная новизна.

0.1.5. Методы исследования.

0.1.6. Теоретическое и прикладное значение.

0.1.7. Апробация работт.т.

0.1.8. Публикации автора по теме диссертации

0.1.9. Структура диссертации.

0.2. Обзор содержания диссертации.

1 Исторический обзор и необходимые сведения

1.1. Исторический обзор.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Классический подход (алгебраическая геометрия + теория инвариантов)

1.1.3. Известные результаты.

1.1.4. Возможные применения.

1.2. Необходимые сведения из геометрии дифференциальных уравнений

1.2.1. Основная идея иного подхода.

1.2.2. Дифференциальные уравнения и их решения.

1.2.3. Распределения.

1.2.4. Теорема Фробениуса.

1.2.5. Симметрии дифференциальных уравнений.

1.2.6. Продолжения дифференциальных уравнений.

1.2.7. Дифференциальные инварианты.

1.2.8. Инвариантные дифференцирования.

1.2.9. Теорема Ли-Треесе.

2 Классификация орбит бинарных форм

2.1. Классификация орбит гладких функций.

2.1.1. Описание алгебры дифференциальных инвариантов

2.1.2. Классификационная теорема.

2.1.3. Орбиты группы ЭЬг.

2.2. ОЬ2(С)-орбитт>г бинарных форм

2.2.1. Уравнение Эйлера.

2.2.2. Алгебра инвариантов

2.2.3. Классификационная теорема.

2.2.4. Примеры

2.3. Обобщения.

2.3.1. Рациональные формы.

2.3.2. Действие ЗЬ2(С).

2.3.3. Случай М.

2.3.4. Однородные функции.

0.1. Общая характеристика работы

0.1.1. Актуальность темы исследования

Бинарной формой степени п называется однородный многочлен от двух переменных х, у степени п п х,у) = ^агХ1уп-\ коэффициенты которого можно считать либо комплексными, либо вещественными.

Бинарные формы степени п образуют векторное пространство размерности 72+1. На этом пространстве линейными преобразованиями действует группа ЭЬг

Проблема описания ЭГ^-орбит бинарных форм данной степени п была поставлена Булем и Кэли в 1841 г. Дальнейшие исследования показали, что эта проблема в том или ином виде возникает в самых разных областях математики (см., например. [16, 30]).

В связи с этим крупттейптие математики Х1Х-ХХ веков пытались решить проблему классификации орбит бинарных форм (см. обзор [33]). Эти попытки привели к созданию целых теорий, среди которых можно отметить классическую теорию инвариантов (см. [16]), алгебраическую геометрию (см. [25, 24]) и теорию (гипер)эллиптических кривых (см. [16, 26]).

Тем не менее, несмотря на значительные усилия замечательных математиков (Буля, Кэли, Эйзеттттттейтта, Вейерттттрасса, Гордаиа, Гильберта.), проблема классификации SL2-op6nT бинарных форм степени п в общем случае осталась нерешенной.

А именно, к настоящему времени получена классификация бинарных форм лишь степени п ^ 10.

Случай п = 3 был ретттетт Булем в 1841 г.

Первый нетривиальный случай п = 4 был ретттетт Булем, Кэли и Эйзенштейном в 1841-1850 гг. и положил начало классической теории иттвариатттов (см. [16, 30]). Отметим, что классификация бинарных форм степени 4 тестто связала с двойным отношением четырех точек па проективной прямой, а также с j-итшариаптом эллиптической кривой.

Случаи п = 5, 6, 7, 8 были решены Кэли, Гордаттом, Шиодой, Дикми-ером и Лазардом (см. [37, 36, 48]). Заметим, что самый сложный случай л — 7 был окончательно ретттетт Бедратюком лишь в 2007 г. с помощью компьютерной системы Maple.

Случаи п = 9 и 10 были решены Брауэром и Поповичев в [32, 34] в 2010 г. также с помощью компьютера.

Отметим, что существующие тта сегодняшний деттт» методы в принципе не позволяют получить единой классификации биттарпых форм произвольной степени п. Все указанные выше классификации были проведены для конкретного (и весьма небольшого) п, в то время как результаты и методт.т, используемые для разных п, принципиально отличаются друг от друга.

Еще один существенный недостаток этих классификаций заключается в ттевозможттости их применения к алгебраически незамкнутому полто R.

Наряду с проблемой классификации бипарттьтх форм естественно сформулировать и проблему классификации тернарных форм.

Напомним, что тернарной формой степени п называется однородный многочлен от трех переменных х, у, г степени п

О ,у,г)= ^ афх1у>хк. г+2+к=п

На пространстве тернарных форм степени п линейными заменами координат действует группа ЭЬз.

Проблема классификации тернарных форм также была поставлена в середине XIX пека. Эта проблема, возможно, даже более интересна, нежели проблема классификации бинарных форм, из-за следующей геометрической интерпретации.

Каждой неприводимой тернарной форме / поставим в соответствие неприводимую алгебраическую проективную кривую {/ = 0} на проективной плоскости. Тогда проблему классификации (правда, с точностью до множителя) неприводимых тернарных форм можно сформулировать в геометрических терминах: классифицировать неприводимые алгебраические проективные кривые с точностью до проективных преобразований.

Ситуация с классификацией тернарных форм еще более плачевна, нежели в случае форм бинарных.

Случай п = 2 является классическим результатом из курса линейной алгебры и был известен (в том или ином виде) етце древним грекам.

Случай п — 3 был исследован Вейерпттрассом. Им было доказано, что каждая ттеособая тернарная форма приводится к так называемой нормальной форме Вейерпттрасса у1 г + х3 4- рхг2 + д^3.

Из коэффициентов р и д нормальной формы Вейерпттрасса можно составить ^'-инвариант тернарной формы ^ — р3/д2. Оказывается, что две кривые {/ = 0} и {/ = 0} проективтто эквивалентны если и только если у иттвариаттты форм / и / совпадают (подробнее см. в [16]).

Случай п = 4 был решен совсем недавно усилиями многих математиков (см. [35, 31]). Окончательный ответ был получетт усилиями Диксмиера,

Шиоды и Брауэра и представлен в [31].

Таким образом, к сегодняшнему дню неизвестна даже классификация кваптик (то есть тернарных форм пятой степени), не говоря уже об общем случае п.

В 2006 году Лычагии и Кругликов предложили новый подход к исследованию проблем описания орбит (см. [42]). Суть этого метода заключается в использовании дифференциальных уравнений и дифференциальных инвариантов, что дает возможность соединить алгебраические и дифференциально-геометрические подходы.

Преимущество такого подхода заключается в существовании мощных классификационных теорем, полученных Ли, Трессе и Картавом (см., например, [43, 44]).

В 2010 году автор данной диссертационной работы, используя эти идеи Лычагитта, реитил проблему классификации орбит бинарных форм для любого п. В том же году им была решена проблема классификации орбит тернарных форм.

0.1.2. Цель работы

В настоящей диссертационной работе рассматриваются классические задачи ОЬ- и БЬ— классификации бинарных и тернарных форм над полями С и М. Также рассматриваются различные вопросы, связанные с этими проблемами. Среди этих вопросов отметим классификацию рациональных форм, ЭОз-классификацито тернарных форм и проективную классификацию неприводимых алгебраических кривых.

0.1.3. Основные задачи исследования

1) Найти алгебры дифференциальных инвариантов действия групп ОЬг и Э!^ на пространстве бесконечных джетов 7°°(2).

2) В терминах построенных алгебр найти необходимое и достаточное условие локальной СЬ2- и ЭГ^-эквивалентпости гладких функций па плоскости.

3) Явно найти алгебры дифференциальных инвариантов действия групп СЬ и ЭЬ па пространствах бинарных и тернарных форм.

4) В терминах найденных алгебр инвариантов найти критерий глобальной СЬ- и ЭЬ-эквивалентпости бинарных и тернарных форм.

5) Явно найти алгебру дифференциальных инвариантов действия группы 80з па пространстве тернарных форм и в терминах этой алгебры ттайти критерий глобальной ЗОз-эквивалептттости тернарных форм.

0.1.4. Научная новизна

Все результаты работы, выносимые па защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для действия групп ОЬ2 и ЭЬ2 па пространстве бесконечных джетов /°°(2) найдены алгебры дифференциальных инвариантов. А именно, указаны базисные дифференциальные инварианты, инвариантные дифференцирования и сизигии.

2) В терминах найденных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия локальной ОЬ2 и ЗЬ2-эквивалептттости регулярных гладких функций от двух переменных.

3) Для действия групп ОЬ2 и ЗЬ2 па двумерном дифференциальном уравнении Эйлера х/х + у/у — п/ найдены алгебры дифференциальных инвариантов.

4) В терминах найденных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия глобальной ОЬ2 и 8Ь2-эквивалептпости бинарных форм над полями С и М.

5) Для действия групп вЬз, БЬз и ЭОз па трехмерном дифференциальном уравнении Эйлера х/х+у1у+%1г — п/ пайдент.т поля дифференциальных инвариантов.

6) В терминах пайденнт>тх полей дифференциальных инвариантов найдены условия глобальной СЬ3-, ЭЬз- и ЭОз-эквивалептиости тернарных форм ттад полями С и К.

0.1.5. Методы исследования

Для решения поставленных задач мы применяем методы современной дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, алгебраической геометрии и классической теории инвариантов.

0.1.6. Теоретическое и прикладное значение

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы для изучения других действий алгебраических групп па аффинных многообразиях, а также для изучения различит,тх проблем, связаттттт.тх с классификацией орбит бинарных и тернарных форм. В диссертационной работе приведены примеры применения полученных результатов к классификации алгебраических проективных кривых, однородных функций, а также к нахождению полиномиальных инвариантов бинарных и тернарных форм. На основе этих результатов составлены спецкурсы /утя студентов и аспирантов, которые читаются в Институте проблем управления РАН.

0.1.7. Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены тта следующих семинарах и конференциях: тта семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством профессора Э.Б. Виттберга и профессора А. Л. Опитцика (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, апрелт, 2010 г.) тта семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора И. С. Красильщика (Москва, Независимый московский университет, май, декабрь 2010 г. и октябрь 2011 г.); тта Международной конференции «Геометрия в Одессе» (Одесса, Украина, 25-28 мая 2010 г.); па Международной конференции «Метрическая геометрия поверхностей и многогранников», посвященной 100-летию со дня рождения Н.В. Ефимова (Москва, Россия, 18-21 августа 2010 г.); тта Международной конференции «Геометрия в Кисловодске» (Кисловодск, Россия, 13-20 сентября 2010 г.); тта IX Всероссийской молодежттой птколе-коттфереттции «Лобачевские чтения» (Казань, Россия, 1-6 октября 2010 г.); тта Второй Российской тпколе-коифереттции для молодых ученых с международным участием «Математика, иттформатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, Россия, 8-12 декабря 2010 г.); тта семинаре отдела геометрии и топологии МИАН "Геометрия, топология и математическая физика" под руководством академика РАН С. П. Новикова и член-корреспондента РАН В. М. Бухпттабера (Москва, МГУ им. М. В. Ломоттосова, апрель 2011 г.); тта XVIII Междуттародттой конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, Россия, 11-15 апреля 2011 г.); работа отмечена грамотой за лучтттий доклад на секции «Математика и механика»: тта семинаре кафедры дифференциальных уравнений под руководством д.ф.-м.п. профессора Ю.В. Обтюсова (Казань, Казанский государственный университет, май 2011 г.); тта Международной конференции «Геометрия. Управление. Экономика» (Астрахань, Россия, 18-23 августа 2011 г.); тта семинаре отдела кафедры дифференциальной геометрии и приложений "Дифференциальная геометрия и приложения" под руководством академика РАН А. Т. Фометтко (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, октябрь 2011 г.).

0.1.8. Публикации автора по теме диссертации

По теме диссертации автором опубликовано 11 работ:

1. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: SI^-орбиты бинарных форм // Сборник тезисов Международной конференции «Метрическая геометрия поверхностей и многогранников». - С. 11-12 (2010).

2. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: Классификация ЗЪо(С)-орбит бинарных рациональных форм // Тезисы докладов Междуттародттой конференции «Геометрия в Кисловодске - 2010». - С. 20 (2010).

3. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: Классификация SL2(С)-орбит бинарных форм // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. - 40. -С. 72-75 (2010).

4. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: GL2(С)-орбиты бинарных форм, // ДАН. - 435(4). - С. 439-440 (2010).

5. Bibikov, P.V., Lychagin, V.V.: GL2(С)-orbits of binary rational forms // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 32(1). - P. 94-101 (2011).

6. Бибиков, П.В.: Классификация GL^(C)-орбит тернарных фор.м / / Материалы Междуттародттого молодежттого ттаучттого форума

ЛОМОНОСОВ-2011». - М.: МАКС Пресс. - ISBN 978-5-317-03634-8 (2011).

7. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: СЬз(С)-орбиты рациональных тернарных форм // ДАН. - 438(4). - С. 295-297 (2011).

8. Bibikov, P.V., Lychagin, V.V.: Projective classification of binary and ternary forms / / Journal of Geometry and Physics. doi:10.1016/j.geomphys.2011.05.001 - 61(10). - P. 1914-1927 (2011).

9. Бибиков, П.В.: Классификация тернарных форм с нулевым гессианом j/ Известия ВУЗов. Математика. - №9. - С. 99-101 (2011).

10. Бибиков, П.В.: SO3(С)-орбиты, тернарных форм // Тезисы докладов Международной конференции «Геометрия. Управление. Экономика». -С. 7 (2011).

11. Бибиков, П.В.: Лотом,орфные дифференциальные уравнения и GL-2(C)-орбиты бинарных форм // Тезисы докладов VI Уфимской Международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения». - С. 32-33 (2011).

Кроме того, в печати находятся следующие работы.

12. Бибиков, П.В.: Проективная классификация алгебраических проект,иены х кривых j j Труды Математического центра, им. Н. И. Лобачевского. -41. (2011).

13. Бибиков, П.В.: Метрическая классификация алгебраических проективных кривых j j Известия ПГПУ. (2011).

В работах, выполненных в соавторстве, вклад автора составляет от 40% до 75%.

0.1.9. Структура диссертации

Диссертация изложена па 130 страницах, состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 50 наименований. Диссертация содержит 1 таблицу, и 5 рисунков.

1. Алексеевекий, Д.В., Виноградов, A.M., Льтчагитт, В.В.: Основные идеи н понятия дифференциальной геометрии. - М.: "ВИНИТИ". - 28. - 1988.- 289 С.

2. Арполт.д, В.И.: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ''Наука". - 1975.- 240 С.

3. Бибиков, П.В.: Автоморфные дифференциальные уравнения и GL<2(C)-орбиты бинарных форм // Тезисы докладов VI Уфимской Международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения». С. 32-33 (2011).

4. Бибиков, П.В.: Классификация, тернарных форм с нулевым, гессианом // Известия ВУЗов. Математика. №9. - С. 99-101 (2011).

5. Бибиков, П.В.: Классификация GL ¿(С)-орбит тернарных фюрм // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011». М.: МАКС Пресс. - ISBN 978-5-317-036348 (2011).

6. Бибиков, П.В.: Метрическая классификация алгебраических проективных кривых II Известия ПГПУ. (2011), в печати.

7. Бибиков, П.В.: Проективная классификация алгебраических проект,и в-ных кривых II Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского.- 41. (2011), в печати.

8. Бибиков, П.В.: SO3(С)-орбиты тернарных форм // Тезисы докладов, Международной конференции «Геометрия. Управление. Экономика,». -С. 7 (2011).

9. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: Классификация SLo(С)-орбит бинарных рациональных форм // Тезисы докладов Международной конференции «Геометрия в Кисловодске 2010». - С. 20 (2010).

10. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: Классификация SL->(С)-орбит бинарных форм // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. 40.- С. 72-75 (2010).

11. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: G\j2(C)-орбиты бинарных форм // ДАН.- 435(4). С. 439-440 (2010).

12. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: GL3С)-орбиты рациональных т,ерна,рны,х форм // ДАН. 438(4). - С. 295-297 (2011).

13. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: ОЪч-орбиты бинарных форм //' Сборник тезисов Международной конференции «Метрическая геометрия поверхностей и многогранников». С. 11-12 (2010).

14. Вииберг, Э.В.: Курс алгебры,. М.: "Факториал". 2002 - 544 С.

15. Вииберг, Э.Б., Оттитцик, А.Л.: Семинар по группам Ли и алгебраическим группам,. М.: "УРССГ. 1995 - 344 С.

16. Вииберг, Э.Б., Попов, В.Л.: Теория, инвариантов. "ВИНИТИ". 55. -1989 - 314 С.

17. Годбийоп, К.: Дифференциальная геометрия, и аналитическая, механика. М.: Мир. - 1973. ~ 188 С.

18. Гудков, Д.А.: Топология вещественные; проективных алгебраических многообразий /'/ Успехи мат. паук. 178(4). - С. 3-79 (1974).

19. Митцеттко, А.С., Фоменко. А.Т.: Курс дифференциальной геометрии и топологии,. М.: Факториал Пресс. - 2000. - 450 С.

20. Попов, В.Л.: Конструктивная теория инвариантов // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 45(5). - С. 1100-1120 (1981).

21. Попов, B.JL: Критерий стабильности действия полупростой группы на факториальном многообразии // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 34(3). -С. 523-531 (1970).

22. Попов, B.JI.: Сизигии в теории инвариантов /'/ Изв. АН СССР. Сер. мат. - 47(3). - С. 310-334 (1983).

23. Спрингер, Т.: Теория инвариантов. М.: "Мир". 1981. - 191 С.

24. Хартсхортт, Р.: Алгебраическая геом.ет/рия. М.: "Мир". 1981. - 599 С.

25. ПГафаревич, И.Р.: Основы алгебраической геометрии. М.: "МЦНМО". -2007 588 С.

26. Bedratyuk L. A note about invariants of algebraic curves j j arXiv:1105.0810vl .

27. Bedratyuk, L. On complete system of invariants for the binary form of degree 7 // Journal of Symbolic Computation. 42. - P. 935-947 (2007).

28. Bibikov, P.V., Lychagin, V.V.: Projective classification of binary and ternary forms // Journal of Geometry and Physics. doi:10.1016/j.geomphys.2011.05.001 61(10). - P. 1914-1927 (2011).

29. Bibikov, P.V., Lychagin, V.V.: GL2(C)-orbits of binary rational forms // Lobachevskii Journal of Mathematics. 32(1). - P. 94-101 (2011).

30. Boole, G.: Exposition of a general theory of linear transformations // Camb. Math. J. 3. - P. 1-20, 106-119 (1841-1842).

31. Brouwer, A.E.: Invariants of the ternary quartic j jhttp: / / www. win. tue. nl/~aeb/math/ternaryquart ic. html

32. Brouwer, A.E., Popovich, M.: The invariants of the binary nonie //' Journal of Symbolic Computation. 45. - P. 709-720 (2010).

33. Brouwer, A.E., Popovich, M.: SL^-modules of small homologieal dimension // doi: 10.1007/s00031-011-9138-5

34. Brouwer, A.E., Popovich, M.: The invariants of the binary decimdc // Journal of Symbolic Computation. 45. - P. 837-843 (2010).

35. Hermit,e, Ch.: Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. Cambridge and Dublin Math. J. (1854).

36. Hilbert, D.: Uber dei Theorie des algebraische Formen j j Math. Ann. 36.- P. 473-534 (1890).

37. Igusa, J.-i: Geometry of absolutely admissible representations j j Number Theory, Algebraic Geometry and Commutative Algebra. In honour of Y. Akizuki. Tokio: Kinokuniya. - 1973. - P. 373-552.

38. Kushner, A.G., Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N.: Contact geometry and nonlinear differential equations. N. York: Cambridge University Press. - 2007.- xxi+497 P.

39. Krasil'shchik, I.S., Lychagin, V.V. Vinogradov, A.M.: Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. Advanced Studies in Contemporary Mathematics. 1. - New York: Gordon and Breach Science Publishers. - 1986. - xx+441 P.

40. Kruglikov, B., Lychagin, V.: Invariants of pseudogroup actions: homological methods and finiteness theorem // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3(5 6). - P. 1131-1165 (2006).

41. Lie, S.: Begründung einer Invarianten-Theorie der Beruhrungs-Trunsformationen // Math. Ann. 8. - P. 215-303 (1874).

42. Lie, S.: Classification und integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten /7 Ann. Math. 32. - P. 213-281 (1888).

43. Lychagin, V.V.: Feedback differential invariants // Acta Applicandao Mathematical 109(1). - P. 211-222 (2010).

44. Rosenlicht, M.: Some basic theorems on algebraic groups // Amer. J. Math. 78. - P. 401-443 (1956).

45. Seshadri, C.S.: Some results on the quotient space by an algebraic group of automorphism,s // Math. Ann. 149. - P. 286-301 (1963).

46. Shioda, T.: On the graded ring of invariants of binary octavics j/ Amer. J. Math. 89. - P. 1022-1046 (1967).

47. Sylvester, J.J.: Tables of the generating functions and groundforms for the binary quantics of the first ten orders // Amer. J. Math. 2. - P. 223-251

48. Sylvester, J.J.: Tables of the generating functions and groundforms for the. binary duadecimics, with some general remarks and tables of the irreducible syzygies of certain quantics // Amer. J. Math. 4. - P. 41-61 (1881).1879).