Исследование активных сред методами теории динамических систем

Жучкова, Екатерина Аркадьевна

Исследование активных сред методами теории динамических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Жучкова, Екатерина Аркадьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Исследование активных сред методами теории динамических систем»

Автореферат диссертации на тему "Исследование активных сред методами теории динамических систем"

На правах рукописи

Жучкова Екатерина Аркадьевна

Исследование активных сред методами теории динамических систем

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Александр Юрьевич Лоскутов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Василий Андреевич Давыдов

доктор физико-математических наук, профессор Галина Юрьевна Ризниченко

Ведущая организация:

Институт космических исследований РАН

Защита состоится «16» ноября 2006 года в 16 часов на заседании Диссертационного Совета К 501.001.17 физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. С;?7/} .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «/£ » ¿^Ж^^ООб года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор физико-математическ

П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящее время активные среды образуют весьма перспективную область исследований, поскольку к ним относятся самые разнообразные физические, химические, биологические и др, объекты: электронные твердотельные системы, ряд химических растворов и гелей (в том числе реакция Белоусова-Жаботинского), нервные и мышечные ткани, колонии микроорганизмов, экологические системы и т.п. Представление активных сред посредством ансамблей сцепленных возбудимых или автоколебательных элементов является достаточно полезным методом анализа, т.к. позволяет глубоко понять основные динамические процессы, протекающие в таких средах. Как известно, данный подход восходит к модели Винера и Розенблюта, согласно которой возбудимая среда состоит из совокупности взаимодействующих элементов, находящихся в одном из трех возможных состояний: возбуждения, рефрактерности или покоя. Позднее такие модели, как осцилляторы с предельным циклом и хаотические отображения, также стали играть важную роль не только в довольно реалистичном описании активных сред, но и в понимании возможного поведения систем, далеких от равновесия. Множество полезных понятий, например, захваты фаз, синхронизация и пространственно-временной хаос стали популярными благодаря детальным изучениям сходных нелинейных моделей.

Анализ систем взаимодействующих элементов позволяет определить ряд закономерностей поведения активных сред, зачастую скрытых и неявных. Например, становится возможным на качественно ином уровне описать сложные (в том числе хаотические) динамические режимы, рассчитать ряд инвариантных характеристик динамики процесса и дать наглядное представление полученного решения.

Развитие теории динамических систем и компьютерных методов позволило по-новому подойти к исследованию такой сложной активной среды, как

сердечная ткань. Совокупное использование этих двух подходов, а также рассмотрение сердечной ткани как состоящей из автоколебательных и возбудимых элементов, дает возможность глубоко понять процессы, лежащие в основе функционирования сердца, и описать различные сердечные патологии (аритмии). Одним из очень актуальных и практически важных направлений здесь является задача стабилизации работы сердечной мышцы при некоторых видах глубоких аритмий.

Под стабилизацией неустойчивого или хаотического поведения динамических систем обычно подразумевается искусственное создание в изучаемой системе устойчивых (как правило, периодических) колебаний посредством внешних мультипликативных или аддитивных воздействий. Иными словами, для стабилизации необходимо найти такие внешние возмущения, которые вывели бы систему из хаотического режима на регулярный. Решение этой задачи, несмотря на простоту формулировки, оказывается достаточно сложной современной научной проблемой.

Актуальность данной проблемы в применении к активным средам очевидна. Например, для сердечной ткани выведение системы на требуемый динамический режим дает возможность управлять ритмом и, таким образом, восстановить требуемую динамику. Такой подход к стабилизации опасных аритмий позволяет надеяться на создание новых эффективных водителей ритма. При этом немаловажной оказывается минимизация энергетических затрат, поскольку приложение импульсов большой амплитуды к биологическим тканям недопустимо.

Цели работы

во Построение математической модели активной среды, состоящей из автоколебательных элементов.

во Исследование динамики системы двух взаимодействующих источников возбуждения в целях прогнозирования некоторых видов сердечных патологий, во Анализ сложного поведения возбудимой среды на примере ионной модели.

so Подавление хаотического режима системы с помощью локализованного периодического воздействия.

Научная новизна результатов

1. Построена и исследована достаточно универсальная математическая модель произвольного числа взаимодействующих источников возбуждения» позволяющая описать активную среду в приближении дискретной системы автоколебательных элементов,

2. На основе теории динамических систем показана возможность управления динамикой представленной модели.

3. Предложены и апробированы различные критерии сложности спирально-волновой турбулентной динамики распределенных возбудимых сред.

4. Впервые применен низкоэнергетический подход к подавлению пространственно-временного хаоса в ионной модели реальной среды.

Практическая значимость

1. На основе модели нелинейного взаимодействия колебательных импульсных систем можно предсказывать некоторые виды сердечных патологий.

2. Найдено соответствие данной модели реальной активной среде (в частности сердечной ткани) с любым количеством источников возбуждения.

3. Новый низкоэнергетический метод подавления пространственно-временного хаоса в распределенных системах является альтернативным к существующим высокоэнергетическим методам дефибрилляции сердечной ткани и в дальнейшем может широко применяться в кардиологии.

Апробация работы

Результаты работы были доложены на многих международных конференциях, основные из которых: 1, Польша, Бендлево: the Int. Con f. on Mathematical Modeling of Population Dynamics, June 24-28, 2002; 2. Франция, Париж: the Int. Conf. on Theoretical Physics, UNESCO, July 22-27, 2002; 3. Россия, Саратов: the Int. Conf. on Synchronization of Chaotic and Stochastic

Oscillations, September 22-28, 2002; 4. Россия, Санкт-Петербург: the Int. Conf. "Physics and Control", IEEE, August 20-22, 2003; 5. Германия, Берлин: XXV Dynamics Days Europe 2005, July 25-28, 2005; 6. Италия, Триест: Summer School on Design and Control of Self-Organization in Physical, Chemical and Biological Systems, ICTP, 25 July-5 August 2005; 7. Германия, Берлин: Workshop "Complex Dynamics and Delay Effects in Coupled Systems", September 11-13, 2006; 8. Греция, Крит: Dynamics Days Europe 2006, September 25-29,2006.

Публикации

По результатам данной диссертационной работы опубликовано 9 статей, 7 из которых в реферируемых журналах, и 10 тезисов докладов.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения и списка цитируемой литературы (Jtty наименования). Диссертация содержит/^^страниц текста, включая рисунков и 1 таблицу.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы исследований, сформулированы цели работы, кратко охарактеризованы научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Дана краткая аннотация каждой главы диссертационной работы.

Первая глава диссертации посвящена обзору литературы по тематике работы и состоит из пяти разделов. В первом разделе приводятся общие свойства и методы описания активных сред. Во втором разделе рассматривается сердечная ткань в качестве жизненно важного примера активных сред: кратко объясняются принципы функционирования сердца и определяются некоторые патологии сердечной деятельности. В третьем разделе приводятся модели активных сред: системы возбудимых и автоколебательных элементов, а также даются необходимые математические понятия. В четвертом разделе вводится понятие спирально-волновой турбулентности, лежащей в основе сложной активности многих реальных возбудимых сред.

Рассматриваются методы исследования сложной активности посредством идентификации фазовых сингулярностей и теории динамических систем. Пятый раздел посвящен стабилизации хаотической динамики.

Во Второй главе проводится анализ дискретной модели осциллирующей активной среды. Эта глава состоит из трех разделов. В первом разделе строится и исследуется оригинальная импульсная модель двух взаимодействующих источников возбуждения, а также излагаются результаты, полученные при аппроксимации экспериментальной кривой фазового отклика различными функциями. Здесь же проводится аналогия с патологическими состояниями сердечной ткани.

При построении модели взаимодействия двух нелинейных импульсных осцилляторов, которые могут быть пейсмекерами (периодически действующими источниками возбуждения) в активной среде, в частности в сердечной ткани, в диссертации получено следующее отображение окружности:

xn+i = хп + « + /2 -(! + AM ~ хп) ~ AM (modi), (1)

где ЗСп ~ разность фаз осцилляторов, а - отношение их периодов, /\(х)*/г00 - кривые фазового отклика (КФО), определяющие изменение фазы после действия стимула и имеющие вид:

где h(x) -

периодическая функция, Ых + 1) = h(x) ( а У у £ - амплитуды влияния осцилляторов друг на друга. В диссертационной работе было исследовано отображение (1), для которого в качестве КФО рассматривались симметричные кусочно-линейные, синусоидальные и полиномиальные функции.

Выбрав в качестве аппроксимации экспериментальной КФО

полиномиальную

функцию — Сх ^ х (1 х) (нормировочный

множитель С был взят таким образом, чтобы амплитуда Ь(х) равнялась 1, т.е. С = 20-ч/б ) и, приняв во внимание время рефрактерности 8, во время которого

система не реагирует на внешнее воздействие, для одностороннего влияния пейсмекеров, при е = 0, в работе получено следующее отображение:

(2)

Хп+1 —

хп + а + C^h

х —81

11-5

О <хп<6, (modi) 8<хп<\ (modi)

1010 1

1:1

Рис. 1. Фазовые картины полиномиального отображения (2): (а) 3 = 0; (Ь) 5 = 0,1.

1010 1

* 1:1 , 1 2 а 1

Рис. 2. Области захватов фаз отображения (2): (а) 6 = 0,3; (Ь) 6 — 0,5.

Расположение областей захвата фаз в пространстве параметров (0,7), полученное в результате численного исследования системы (2) для различных значений времени рефрактерности, показано на рис. 1-3. Без ограничения общности был выбран интервал изменения параметра а, определяющего отношение периодов, в пределах от 1 до 2. Различные оттенки серого

соответствуют различным областям захвата фаз кратности И:М (на N циклов внешнего стимула приходится Мциклов нелинейного осциллятора).

Введение времени рефрактерности приводит к уширению областей фазовых захватов и значительному расщеплению и перекрытию их "хвостов" (см. рис. 1Ь и рис. 1а). Хорошо видно, что при увеличении рефрактерности мера захвата кратности 2:3 увеличивается в то время как меры основных захватов 1:1 (синхронизация ритмов пейсмекера и внешнего стимула) и 1:2 уменьшаются (рис. 2а). Области захватов фаз в случае д = 0,5 показаны на рис. 2Ь. Эта фазовая картина качественно отличается от диаграмм, представленных на рис. 1 и 2а. Область 2:3 вытягивается и выглядит подобно стреле. Формы областей 3:4 и 3:5 также напоминают стрелы при 5 = 0,7 (рис. За). В случае £ = 0,9 все фазовые захваты вырождаются в вертикальные линии. Эта ситуация отображена на рис. ЗЬ. Заметим, что при б — 1 нет никакой зависимости от амплитуды стимула т.е. система не откликается на внешнее воздействие.

5=0.9

ь)

№

Рис. 3. Фазовые диаграммы отображения (2): (а) Ь = 0,7; (Ь) 6 = 0,9.

В работе показано, что взаимное влияние при достаточно малых значениях £ приводит к деформации, расщеплению резонансных языков и наложению их друг на друга даже для небольших у. При дальнейшем увеличении параметра нелинейности 6 резонансные зоны уменьшаются, занимая все меньше и меньше места. В этом случае также наблюдается очень сложная картина. Таким образом, рост влияния осцилляторов приводит к перемешиванию изначально достаточно упорядоченной структуры в пространстве (а, 7).

В дополнение, в построенной модели были изучены захваты фаз в пространстве амплитуд стимулов (£>7)* На рис. 4а отношение периодов а — 2. Эта величина означает, что для £ = 7 = 0 число вращения рационально, и динамика системы периодическая с захватом 1:2. Хотя при увеличении нелинейности возможно получить области фазовых захватов с другой кратностью, даже при больших значениях £ и у поведение системы периодическое с захватом 1:2.

Гис. 4. Захваты фаз в пространстве амплитуд стимулов (5 — 0,1): (а) о = 2; (Ь) о = 7г/2.

Противоположная ситуация наблюдается при а — , Здесь число

вращения иррационально при нулевых амплитудах стимулов, и система обнаруживает свойство квазипериодичности или хаотичности. Однако с ростом нелинейности существует возможность появления периодического поведения (т.е. осцилляторы могут синхронизоваться, хотя вероятность этого мала) (рис. 4Ь). Здесь, как и в случае достаточно больших £, имеет место уменьшение площади, занимаемой резонансными зонами. Поэтому для иррациональных значений а вероятность сложной динамики системы (1) достаточно велика.

С помощью построенных моделей можно, например, описать взаимодействие пейсмекеров в реальной сердечной ткани и воздействие внешнего возмущения на синусный сердечный ритм. Так, если считать один из импульсных осцилляторов синоатриальным узлом, а другой — атриовентрикулярным, то можно обнаружить, что некоторые устойчивые

захваты фаз соответствуют наблюдаемым в клинической практике патологиям. В этом случае среди различных построенных захватов имеются как нормальный синусный ритм (захват кратности 1x1), так и классические ритмы Венкебаха (захваты кратности N'.(N-1)) и N:1 АВ-блокады,

Полученные результаты позволяют прогнозировать динамику колебательных систем в зависимости от вида и интенсивности их взаимодействия и от начальной разности фаз. Наличие широких областей захватов фаз (см. рисунки) говорит о том, что в таких системах возможны различные виды синхронизации двух осцилляторов, которые качественно соответствуют некоторым видам сердечных аритмий. Фазовая диаграмма позволяет выявить, при каких условиях взаимодействия (т.е. при каких значениях параметров а, /, £ и 6) возможен тот или иной вид синхронизации. Более того, все фазовые картины, представленные в диссертационной работе, свидетельствуют о том, что при увеличении нелинейности (т.е. при росте параметра у) области с различными захватами начинают накладываться друг на друга. Знание таких областей и динамики системы в этих областях позволяет путем внешнего возмущения (к примеру, серией одиночных импульсов) выводить систему из нежелательного режима синхронизации на более благоприятный режим.

Эта последняя задача решается в диссертации аналитически (второй раздел). Показано, что соответствующее отображение при определенных параметрах обладает свойством поли модальности с максимумами, аппроксимируемыми квадратичной функцией. Согласно общей теории динамических систем это, в частности, означает, что такие отображения могут иметь ярко выраженные хаотические свойства. Основной результат второго раздела заключается в том, что полученным отображением легко управлять: существуют достаточно слабые параметрические возмущения общего вида, которые выводят систему на требуемый режим эволюции. Это становится возможным вследствие того, что полимодальное дискретное преобразование имеет критические точки,

В третьем разделе проводится обобщение ранее предложенной модели двух взаимодействующих осцилляторов на случай сильного отличия их периодов (когда импульсы пейсмекеров не чередуются) и строится общая модель, описывающая сеть импульсных осцилляторов, сцепленных глобально.

Предположим, что у нас есть N автономных импульсных осцилляторов, или пейсмекеров, и все они взаимодействуют друг с другом, т.е. реализуется так называемое глобальное сцепление. Предположим, что все пейсмекеры различны. Это означает, что каждый имеет свою внутреннюю длину цикла Т» / = и амплитуду стимула.

Пусть множество ожидаемых импульсов пейсмекеров {аЛ находится на

временной оси. Это означает, что в отсутствие сцепления, пейсмекеры производят импульсы в эти моменты времени. Предположим теперь, что некоторый осциллятор воздействует на другой посредством КФО

¡А,у {<р'} ^ ^, где <р'' - фаза у'-о го пейсмекера по отношению к /-му, а £и -

обобщенный параметр, определяющий сцепление междуу-м и /-м элементами.

Пусть /-й пейсмекер возбуждает среду первым. В этом случае он не претерпевает какого-либо воздействия со стороны остальных источников, и его ожидаемый импульс отображается как реальный. Таким образом, данное событие сдвигает моменты импульсов всех остальных осцилляторов в

соответствии с набором КФО • у-й осциллятор переходит в новое

ожидаемое состояние как невозмущенный, т.е. с добавлением его собственной длины цикла 7}.

Для получения следующих ожидаемых значений необходимо выполнить ту же процедуру с новыми полученными ожидаемыми импульсами. Тогда динамика системы может быть легко представлена как следующее итеративное соотношение:

(modl).

Т,

Удобно переписать КФО так, как в первом разделе, нормируя на

внутренние длины циклов пейсмекеров Г/, и определяя

лЛф^НЛКО7;}. ф! е[0,1],

где {Л^«»8*)} ~ безразмерные функции, которые также называются КФО.

Реальные пейсмекеры могут иметь идентичную природу, но отличаться во внутренней длине циклов. Тогда форма безразмерных КФО для них одинакова, т.е. их /(<р,£) совпадают, в то время как отличаются. Более того,

удобно использовать функции в построении уравнений для

безразмерных разностей фаз между парами пейсмекеров.

Учитывая соотношение (3), уравнение для разности фаз хп двух взаимодействующих пейсмекеров А и В записывается следующим образом:

хя+/(х„(то<П),ео)-5, >0,

*. + l-8/|-|4modl),

5 ' (4)

А А

_ ап —Ьп

где хп — Z, , а ctn, Ьп — моменты ожидаемых импульсов от А и В.

J а

В работе проведен глубокий анализ систем (3) и (4). Т.к. в общем случае х е (—co,co)j то преобразование (4) представляет собой одномерное нелинейное отображение реальной оси в себя. Заметим, что это отображение не может быть сведено к отображению окружности, как это обычно делается для двух пейсмекеров, взаимодействующих посредством КФО. Оно существенно ассиметрично по отношению к замене х на ~х (см. рис. 5). Если /(х,£) — немонотонная функция, тогда отображение (4) нелинейно и может проявлять различное поведение: от сложной периодической до хаотической динамики.

Вследствие того, что * е (-со, со) 5 в строгом смысле это не разность фаз пейсмекеров. В данном контексте х можно назвать обобщенной разностью фаз. Анализируя уравнение (4), можно определить, какой из осцилляторов, А или В, производит импульс в данный дискретный момент времени п. Это зависит от знака х. Таким образом, это делает возможным определение степени фазовых захватов пейсмекеров.

(О) — «

(1:11 phase tocking

i О 1» эо

—т tjtr&e^t вш (с) — утиц,«™» quasi- peñodlcUy

т/4лтге1*А1яно

(У)

chaos

Ывн

•1 «i t м i и

Рис. 5. Различные типы поведения двух взаимодействующих пейсмекеров. Светло-серым обозначены импульсы пейсмекера А, темно-серым — пейсмекера В. (а) Синхронизация ритмов. (Ь) Периодическая динамика с захватом фаз 1:4. (с) Квазипериодическое поведение, (ф Хаотическая динамика.

На рис. 5 представлены примеры прямого моделирования системы (3) для двух пейсмекеров при синусоидальных функциях

АаЬ(х^едЬ) —еаЬв\п2тгХ'ТаЬу выбранных в качестве КФО. В левой части рисунка изображены некоторые возможные захваты фаз, полученные на основе уравнения (3). В правой части рис. 5 показаны соответствующее отображение (4), его периодическая орбита и значения показателей Ляпунова. Рис, 5с1 демонстрирует существование хаотического поведения в системе при £д =0,1205, £¿=1,2845 и £=0,6465, где 8- отношение периодов осцилляторов.

В диссертации отдельно рассмотрен специальный случай трех взаимодействующих импульсных осцилляторов, которые могут соответствовать трем известным пейсмекерам сердца или воздействию внешнего стимулятора на два ведущих взаимодействующих пейсмекера. Наряду с захватами ритма было найдено их сложное поведение.

Переходя на следующий уровень (от макроскопического описания к микроскопическому), в работе каждый пейсмекер был представлен как ансамбль взаимодействующих по принципу ближайших соседей автоколебательных элементов. Экстраполяция используемого подхода на одномерные и двумерные решетки, состоящие из пейсмекеров, позволяет построить дискретные распределенные среды активных элементов,

В третьей главе рассматриваются методы исследования динамики распределенных реакционно-диффузионных систем: приводятся критерии определения сложности турбулентной активности и анализ поведения возбудимых сред на примере ионной модели Фентона-Кармы с помощью методов идентификации фазовых сингулярностей, стандартных методов нелинейной динамики и нового алгоритма сжатия, чувствительного к порядку. Обсуждается возможность подавления хаотической динамики системы с помощью слабого внешнего воздействия. Данная глава состоит из 5 разделов.

В первом разделе приведена упрощенная ионная модель (УИМ) распространения потенциала действия в сердечной ткани, предложенная

Фентоном (Fenton) и Кармой (Кагта) в 1998 году. Цель этой модели не в том, чтобы точно копировать микроскопическую ионную сложность сердечных клеток, а в том, чтобы воспроизвести динамику возбуждения на мезоскопическом уровне (на шкалах между внутриклеточным уровнем и целым органом). Модель построена так, чтобы ввести минимальный набор ионных мембранных токов, необходимых для воспроизведения динамики потенциала действия, и, таким образом, состоит из трех независимых ионных токов

J/> ' /я » подчиняющихся следующей системе уравнений:

0(ы-ис)[(1-и)(и-мс)],

Т0 Тг

где 0(.х) - стандартная функция Хевисайда. Остальные параметры представлены в диссертации. Сама же УИМ записывается в виде трехкомпонентной системы:

— = в(иг - и)——~ — $(и — иЛ-^~,

ы Ч"(«) у с)х(6)

- = 6>(ис-и)—-0(и-ис)—, д( т„ т„

где т~(и) — в (и - н„) г", + в(и„ - и) т~2. Здесь £> - диффузионный тензор, который

в диссертации представляет собой диагональную матрицу (случай изотропной среды). В модели присутствуют три переменные состояния: безразмерный мембранный потенциал и, переменные быстрого V и медленного ионного пропускания у.

В двумерии система (5)-(6) демонстрирует такие классические для возбудимых сред структуры, как плоские и кольцевые волны, создаваемые пейсмекером, а также автономные образования в виде спиральных волн (ревербераторов). Распределение мембранного потенциала в виде спиральной волны показано на рис. 6а.

Рис.6. Распад спиральной волны в турбулентную активность в системе (5)-(6).

Поскольку спиральные волны представляют особый интерес с точки зрения приложений (в частности при наличии патологий они экспериментально наблюдаются в сердечной ткани млекопитающих), начальное распределение искусственно задавалось в виде архимедовой спирали. При этом динамика системы неустойчива: с течением времени спираль разрушается (рис. 6Ь), образующиеся обрывки волновых фронтов сами превращаются в новые спиральные волны, и через некоторое время в системе развивается турбулентный режим, соответствующий фибриллятивной активности в сердце (рис. 6с,с1).

Нашей задачей являлось исследование спирально-волновой активности в квадратной области и в области тороидальной геометрии при двух различных возбуди мостях, которые вполне соответствуют нормальному (высокая возбудимость) и ишемическому (низкая возбудимость) сердцу. Естественным способом анализа турбулентного поведения в УИМ является измерение степени порядка, или сложности динамики системы.

Во втором разделе для измерения и упрощения сложного пространственно-временного поведения системы использовался подсчет числа и отслеживание траекторий ядер спиральных волн — фазовых сингулярностей (ФС). Анализ ФС

выявляет некоторые топологические ограничения на динамику фибрилляции, обусловленные, например, тем, что ФС образуются и уничтожаются как пары с противоположным топологическим зарядом. При определенных условиях ФС дают начало спиральным волнам, поддерживающим турбулентную активность.

В диссертационной работе сначала детально сравниваются два наиболее часто используемых метода определения фазовых сингулярностей (фазовый и метод пересечения изолиний), а затем, используя наиболее адекватный из них, фазовый, анализируется сложность состояния системы (5)-(6) при различных возбудимостях и граничных условиях.

Было обнаружено, что особых отличий в поведении ФС в средах с различными свойствами не наблюдается: их скорость, притяжение (отталкивание) к близким противоположно-заряженным сингулярностям или к границе практически идентичны. Сингулярности рождаются в положительно-отрицательно заряженных парах или вблизи границы, затем сразу исчезают при столкновениях с сингулярностями, обладающими противоположным топологическим зарядом (или с границей), или быстро удаляются друг от друга. Среднее число фазовых сингулярностей и, следовательно, развитие турбулентной активности, также не сильно отличается при изменении геометрии и возбудимости в УИМ. На рис. 7 представлено количество ФС для четырех случаев: в квадратной области с низкой (граничные условия Неймана,

та = 0,25, рис. 7а) и высокой (граничные условия Неймана, — 0,15, рис. 7с) возбудимостью, а также в области тороидальной формы с низкой (периодические граничные условия, — 0,25, рис, 7Ь) и высокой

(периодические граничные условия, = 0,15 , рис. 7с1) возбудимостью.

Как видно из рис. 7, среднее количество ФС не может быть использовано в качестве надежного критерия сложности турбулентной активности: оно отличается в каждом случае не сильно и, следовательно, не характеризует меру порядка (глубину хаотичности) системы. Интуитивно понятно, что при увеличении возбудимости и использовании более реалистичной геометрии

среды сложность системы должна возрастать, что подтверждается бблыиими максимальными числами ФС на рис. 7с (или с!) по сравнению с рис. 7а (или Ь), и рис. 7Ь (или (1) по сравнению с рис. 7а (или с). Однако определение максимального количества сингулярностей сопряжено с неизбежными ошибками в методе, и поэтому необходимо использовать теорию динамических систем для нахождения более адекватного критерия сложности системы, выяснения возможности предсказания ее динамики и подавления хаоса.

(а)

ум '

. М ,1 М

(Ь)

I-

Ч! л

,.....м

1\1 Ш

Рис. 7. Зависимость числа ФС от времени, (а) та =0,25, граничные условия Неймана. (Ь) тл = 0,25, граничные условия периодические, (с) т4 = 0,15, граничные условия Неймана, ({!) = 0,15, граничные условия периодические.

В третьем разделе используются различные критерии идентификации режимов динамической системы для определения хаотичности возбудимой среды: энтропия Колмогорова-Синая (КС) (пример на рис, 8 показывает хаотическое поведение), корреляционная энтропия и спектральная плотность. Вообще говоря, эти методы далеко не всегда четко показывают наличие хаоса и дают представление лишь о временнбм поведении системы (за исключением

пространственного спектра). Есть также определенные ограничения их использования, так называемые условия теоремы Лесина. Очевидно, к тому же, что построение отображения Пуанкаре для такой сложной системы, как УИМ, также не даст однозначного ответа на вопрос, есть ли в системе хаос, или динамика квазипериодическая, а, тем более, не сможет дать количественную оценку сложности системы.

: 1

То;и9

7Ш »} *Н 1Мй *ЛО ■■>» Ной 1Ш

0-25 0,14

0 М 0 25 0.15

Рис. 8. Зависимость КС энтропии в Рис. 9. Диаграмма сложности УИМ. (а) некоторой точке среды от времени, г, = 0,55, г.у. Неймана. (Ь) тё = 0,25, г.у.

=0,15, граничные условия Неймана, (с) г, = 0,15, г.у. Неймана, (с!) Неймана. = 0,55, г.у. периодические, (е) г, = 0,25, г.у.

периодические. (0 = 0,15, г.у.

периодические.

Поэтому в четвертом разделе для измерения сложной активности возбудимой среды используется оригинальный метод, глубоко связанный с понятием КС энтропии (и, следовательно, с возможностью предсказания динамики). Однако в отличие от методов, рассмотренных в третьем разделе, этот подход, как и подсчет ФС, способен количественно охарактеризовать пространственно-временное поведение системы. Он относится к так называемым алгоритмам сжатия (АС), чувствительным к порядку. Применяя данный алгоритм к системе (5)-(6), в диссертации были записаны несжатые последовательности снимков распределения мембранного потенциала (фильмы) при трех различных возбудимостях и двух граничных условиях в УИМ, В качестве меры сложности системы использовался размер сжатого по АС фильма, отнесенный к размеру первоначального несжатого фильма.

Переведя эту величину в проценты, можно построить сравнительную диаграмму сложности режимов (рис. 9). Чем выше столбцы, тем хуже сжатие фильма и, следовательно, меньше степень порядка (выше сложность). Неожиданным результатом здесь оказывается большая сложность среды с меньшей возбудимостью =0,55 (рис. 9а) по сравнению со средой с большей возбудимостью г,, =0,25 (рис. 9Ь). Следует отметить, что в случае близких значений сложности (глубины хаоса) большее количество ФС для сердца гораздо опаснее. Следовательно, развитость пространственно-временного хаоса с точки зрения приложений является недостаточным критерием идентификации опасных нарушений ритмов.

1= I ОООтз <=>П40тя 18 80 та <=2730т« 1«2770пм

Рис. 10. Временная эволюция возбуждения во время бифазной стимуляции, приложенной в момент 600 мс, с близкими частотами, (а) Эффективное подавление сложной активности при частоте м^„=7,25 Гц. (Ь) Восстановление спирально-волновой активности после ее подавления бифазными стимулами с частотой 7 Гц. (с) Неудачная попытка подавить турбулентность стимуляцией частоты 6,75 Гц.

В пятом разделе диссертационной работы исследуется возможность подавления спирально-волновой активности в среде с достаточно сложной (хаотической) пространственно-временной динамикой (рис. 9е). К малой

центральной области среды О, взятой в виде квадрата малых размеров (2x2 узла), прикладывалось внешнее точечное периодическое воздействие с

частотой win и амплитудой А. Иными словами, для стабилизации пространственно-временной хаотической динамики в среде искусственно создавался внешний пейсмекер (точечный электрод). Таким образом, возникала задача комбинаторной оптимизации с тремя неизвестными: формой, амплитудой и частотой воздействия.

В качестве форм воздействия были выбраны две наиболее часто используемые в клинической практике: монофазная и бифазная. Амплитуда стимуляции выбиралась так, чтобы обеспечить экспериментально наблюдаемые значения мембранного потенциала. Чтобы найти частоты воздействия, в центре среды генерировались пейсмекеры и с помощью преобразования Фурье определялись частоты круговых волн wol)t как функции частот пейсмекеров win. В работе показано, что при выборе частот, соответствующих максимумам этих зависимостей, спирально-волновая турбулентность полностью подавляется.

Рис. II. Число ФС как функция времени для УИМ во время монофазной стимуляции с *>/„= 7 Гц и А = Ю^А/см2, Начало подавления 1=500 мс (сплошная кривая) и £=600 мс (штриховая кривая).

Хотя для обоих сигналов монофазной и бифазной волновых форм эффективность подавления сильно зависит от частоты (рис. 10), амплитуды стимуляции и выбранных начальных условий (начала воздействия, см. рис. 11), в диссертационной работе обнаружено, что для корректных параметров стимуляции спиральные волны могут быть легко уничтожены слабым воздействием, которое на два-три порядка меньше того, что используется в имплантируемых дефибрилляторах.

во

О (ООО 2000 3<Ю0 «ООО 5000 6000

Tim«, ms

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построена модель нелинейного взаимодействия двух колебательных импульсных систем, на основе которой можно предсказывать некоторые виды сердечных аритмий. Данная модель является универсальной в том смысле, что она не зависит от конкретного взаимодействия, т.е. вида функций фазового отклика.

2. С учетом периода рефрактерности исследованы возможные области захвата фаз для модельных отображений, описывающих невозмущенное периодическое воздействие на нелинейный осциллятор, а также проведено детальное изучение фазовых диаграмм системы с взаимным влиянием двух осцилляторов.

3. На основе теории динамических систем найдена возможность управлять поведением системы взаимодействующих пейсмекеров.

4. Предложено обобщение созданной модели для произвольного числа взаимодействующих ведущих центров, позволяющее описать активную распределенную среду посредством сцепленных отображений.

5. Показано, что данная модель соответствует реальной активной среде (в частности сердечной ткани) с любым количеством источников возбуждения.

6. Проведен сравнительный анализ сложной спирально-волновой активности сред различной геометрии и возбудимости с помощью подсчета и построения траекторий фазовых сингулярностей, расчета инвариантных характеристик и использования алгоритма сжатия, чувствительного к порядку.

7. Получено соотношение между набором фазовых сингулярностей и экспоненциальной неустойчивостью сред с различными свойствами. Обнаружено, что для анализа динамики возбудимых сред и, в частности понимания явлений фибрилляции и дефибрилляции в сердечной ткани, необходимо использовать одновременно несколько критериев сложности турбулентной активности.

8. В работе удачно применен низкоэнергетический, реализуемый на практике, подход к подавлению спирально-вол новой сложной динамики в реалистичной модели сердечной ткани, являющийся альтернативным к существующим высокоэнергетическим методам дефибрилляции.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Лоскутов А.Ю., Рыбалко С.Д., Жучкова Е.А. Модель сердечной ткани как возбудимой среды с двумя взаимодействующими пейсмекерами, имеющими период рефрактерности, // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2002, №.5-6, стр.73-81.

2. Лоскутов А.Ю., Рыбалко С.Д., Жучкова Е.А. Динамика возбудимых сред с двумя взаимодействующими пейсмекерами. // Биофизика, 2002, т.47, №.5, стр.892-901.

3. Loskutov A., Rybalko S.D, Zhuchkova Е.А. Modeling and controlling the heart conductive system. // Proc. of the Int. Conference "Physics and Control". Eds. A.L.Fradkov and A.N.Churilov, Saint Petersburg, Russia, IEEE, August 20-22,2003, pp.522-527.

4. Loskutov A., Rybalko S.D., Zhuchkova E.A. A model of cardiac tissue as an excitable medium with two interacting pacemakers having a refractory time. If Banach Center Publications, 2004, v.63, pp.231-241.

5. Loskutov A., Rybalko S., Zhuchkova E. A model of cardiac tissue as a conductive system with interacting pacemakers and refractory time. // Int. J. Bifurcation and Chaos, 2004, v,14, No.7, pp.2457-2466.

6. Zhuchkova E., Clayton R, Methods for identifying and tracking phase singularities in computational models of re-entrant fibrillation. // Lecture Notes for Computer Science Series, 2005, v.3504, pp.246-255,

7. Clayton R.t Zhuchkova E., Panfilov A. Phase singularities and filaments: Simplifying complexity in computational models of ventricular fibrillation. // Progress in Biophysics and Molecular Biology, 2006, v.90, pp.378-398.

8. Rybalko S., Zhuchkova E. A generalized model of active media with a set of interacting pacemakers: Application to the heartbeat analysis. // httD'J/arxiv. ore/abs/nUn. CD/0506032

9. Zhuchkova E.t Radnayev В., Loskutov A. Suppression of complex spiral-wave activity in an ionic model of cardiac tissue by weak local stimulations. //

http://arxiv.org/abs/niin/0610020

10. Жучкова E.A., Лоскутов А.Ю., Рыбалко С.Д. Моделирование сердечных ритмов. И Тез. докл. Первой нац. конф. «Информационно-вычислительные технологии в решении фундаментальных научных проблем», Москва, Россия, 2002, стр.64-65.

11. Loskutov A., Rybalko S.D., Zhuchkova Е.А. System of two nonlinear interacting oscillators as a model of cardiac arrhythmias. // Abstracts of the Conference on Mathematical Modeling of Population Dynamics, Bedlevo, Poland, June 24-28,2002.

12. Zhuchkova E.A., Loskutov A., Rybalko S.D, A model of excitable media describing some types of cardiac arrhythmias. // Book of abstracts Int. Conf. on Theoretical Physics, Paris, UNESCO, July 22-27, 2002, p.309,

13. Zhuchkova E.A. System of two interacting oscillators as a model of cardiac arrhythmias. // Book of abstracts of the Conference on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations, Saratov, Russia, September 22-28, 2002, p.63.

14. Loskutov A., Rybalko S., Zhuchkova E. Modelling and controlling the heart conductive system. // Abstracts of 2003 Int. Conf. "Physics and Control", Saint Petersburg, Russia, IEEE, August 20-22,2003, p.82.

15. Zhuchkova E.A. and Rybalko S.D. General model of interaction between pacemakers. // Book of Abstracts Europhysics Conference Series, v.29 E, XXV Dynamics Days Europe 2005, Berlin, Germany, July 25-28, 2005, pp.232-233.

16. Zhuchkova E.A., Radnayev B.D., Loskutov A. Suppressing fibrillative cardiac activity by weak point periodic excitations. // Book of Abstracts, Dynamics Days Europe 2006, Crete, Greece, September 25-29, 2006, pp.104-105.

Заказ N8 97/10/06 Подписано в печать 11.10.2006 Тираж 100 экз. Уел, п л. 1,5

ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76; (495) 778-22-20 www.cfr.ru ; е-таИ: info@cfr.ru

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Жучкова, Екатерина Аркадьевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ДИНАМИКА АКТИВНЫХ СРЕД.

1.1 Общие свойства активных сред.

1.2 Отношение к серде чной ткани.

1.2.1 Проводящая система сердца.

1.2.2 Потенциал действия.

1.2.3 Аритмии.

1.2.4 Фибрилляция.

1.3 Модели активных сред: приложение к деятельности сердца

1.3.1 Системы взаимодействующих пейсмекеров.

1.3.2 Модели возбуждения.

1.4 Спирально-волновая турбулентность и характеристики хаоса

1.4.1 Спектральная плотность.

1.4.2 Отображение Пуанкаре.

1.4.3 Показатели Ляпунова и энтропия Колмогорова-Синая.

1.4.4 Корреляционная энтропия.

1.5 Стабилизация хаотической динамики.

ГЛАВА 2. АКТИВНАЯ СРЕДА КАК ПРОВОДЯЩАЯ СИСТЕМА.

2.1 Модель двух взаимодействующих пейсмекеров с учетом времени рефрактерности.

2.1.1 Принцип построения модели.

2.1.2 Непрерывная кусочно-линейная модель.

2.1.3 Синусоидальная модель.

2.1.4 Полиномиальная модель.

2.1.5 Аналогия с патологическими сердечными ритмами.

2.2 Стабилизация сложной динамики и возможность полного контроля.

2.3 Обобщенная модель N пейсмекеров.

2.3.1 Общий случай взаимодействия двух пейсмекеров.

2.3.2 Обобщение на N пейсмекеров.

2.3.3 Анализ модели.

2.3.4 Аппроксимация активной среды как решетки импульсных осцилляторов.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ИОННОЙ МОДЕЛИ ФЕНТОНА-КАРМЫ

3.1. Упрощенная ионная модель (УИМ).

3.2 Фазовые сингулярности.

3.2.1 Методы обнаружения фазовых сингулярностей.

3.2.2 Сравнение фазового метода с методом пересечения изолиний

3.2.3 Траектории фазовых сингулярностей.

3.2.4 Зависимость количества фазовых сингулярностей от времени.

3.3 Методы нелинейной динамики.

3.3.1 Расчет энтропии Колмогорова-Синая.

3.3.2 Оценка корреляционной энтропии из временного ряда.

3.3.3 Анализ спектральной плотности.

3.4 Алгоритм сжа тия, чувствительный к порядку.

3.5 Подавление сложной активности в УИМ.

Введение диссертация по физике, на тему "Исследование активных сред методами теории динамических систем"

Актуальность темы

В настоящее время активные среды образуют весьма перспективную область исследований, поскольку к ним относятся самые разнообразные физические, химические, биологические и др. объекты: электронные твердотельные системы, ряд химических растворов и гелей (в том числе реакция Белоусова-Жаботинского), нервные и мышечные ткани, колонии микроорганизмов, экологические системы и т.п. Представление активных сред посредством ансамблей сцепленных возбудимых или автоколебательных элементов является достаточно полезным методом анализа, т.к. позволяет глубоко понять основные динамические процессы, протекающие в таких средах. Как известно, данный подход восходит к модели Винера и Розенблюта [1], согласно которой возбудимая среда состоит из совокупности взаимодействующих элементов, находящихся в одном из трех возможных состояний: возбуждения, рефрактерности или покоя. Позднее такие модели, как осцилляторы с предельным циклом и хаотические отображения [2-3], также стали играть важную роль не только в довольно реалистичном описании активных сред, но и в понимании возможного поведения систем, далеких от равновесия. Множество полезных понятий, например, захваты фаз, синхронизация и пространственно-временной хаос стали популярными благодаря детальным изучениям сходных нелинейных моделей [4-6].

Развитие теории динамических систем и компьютерных методов позволило по-новому подойти к исследованию такой сложной активной среды, как сердечная ткань. Совокупное использование этих двух подходов, а также рассмотрение сердечной ткани как системы, состоящей из автоколебательных и возбудимых элементов, дает возможность глубоко понять процессы, лежащие в основе функционирования сердца, и описать различные сердечные патологии (аритмии). Одним из очень актуальных и практически важных направлений здесь является задача стабилизации работы сердечной мышцы при некоторых видах глубоких аритмий [7-8].

Актуальность данной проблемы в применении к активным средам очевидна. Например, для сердечной ткани выведение системы на требуемый динамический режим дает возможность управлять ритмом и, таким образом, восстанавливать требуемую динамику. Такой подход к стабилизации опасных аритмий позволяет надеяться на создание новых эффективных водителей ритма. При этом немаловажной оказывается минимизация энергетических затрат, поскольку приложение импульсов большой амплитуды к биологическим тканям недопустимо.

Цели работы

Ю Построение математической модели активной среды, состоящей из автоколебательных элементов. so Исследование динамики системы двух взаимодействующих источников возбуждения в целях прогнозирования некоторых видов сердечных патологий. ю Анализ сложного поведения возбудимой среды на примере ионной модели.

Ю Подавление хаотического режима системы с помощью локализованного периодического воздействия.

Научная новизна результатов

1. Построена и исследована достаточно универсальная математическая модель произвольного числа взаимодействующих источников возбуждения, позволяющая описать активную среду в приближении дискретной системы автоколебательных элементов.

2. На основе теории динамических систем показана возможность управления динамикой представленной модели.

Практическая значимость

2. Найдено соответствие данной модели реальной активной среде (в частности, сердечной ткани) с любым количеством источников возбуждения.

3. Обоснованный в работе новый низкоэнергетический метод подавления пространственно-временного хаоса в распределенных системах является альтернативным к существующим высокоэнергетическим методам дефибрилляции сердечной ткани и в дальнейшем может широко применяться в кардиологии.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе диссертационной работы приводится обзор литературы по данной проблеме и вводятся необходимые математические понятия, во второй главе строится и исследуется оригинальная импульсная модель, а также излагаются результаты, полученные при аппроксимации экспериментальной кривой фазового отклика различными функциями. Здесь же проводится аналогия с патологическими состояниями сердечной ткани, и результаты, касающиеся возможности управления динамикой построенной модели. Модель взаимодействия двух пейсмекеров обобщается на случай любого количества взаимодействующих импульсных осцилляторов. В третьей главе рассматривается распределенная реакционно-диффузионная система Фентона-Кармы, приводятся критерии определения сложности турбулентной активности и анализ поведения этой ионной модели с помощью методов идентификации фазовых сингулярностей, стандартных методов нелинейной динамики и нового алгоритма сжатия, чувствительного к порядку. Приводятся результаты подавления хаотической динамики системы с помощью слабого внешнего точечного воздействия.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Заключение

В диссертационной работе на основе анализа взаимодействия между ведущими центрами с помощью кривых фазового отклика, была предложена достаточно общая дискретная модель осциллирующих сред. Показано, что КФО может быть полезным средством представления взаимодействия между пейсмекерами как на макроуровне, так и на микроуровне. Построенная модель демонстрирует сложное (хаотическое) поведение, захваты ритмов и синхронизацию взаимодействующих импульсных осцилляторов. Она также может способствовать пониманию отклика пейсмекеров на внешнее воздействие различной интенсивности и длительности (см. рис. 2lb), ранее наблюдавшееся в экспериментах [76, 184].

В качестве частного случая данной модели исследовалось взаимодействие двух колебательных импульсных систем. С учетом периода рефрактерности анализировались возможные области захвата фаз для модельных отображений, описывающих невозмущенное периодическое воздействие на нелинейный осциллятор. При этом рефрактерность учитывалась в модели двумя различными способами. В первом случае кривая фазового отклика становилась разрывной. Во втором - оставалась непрерывной. Показано, что в модели с разрывной КФО основные языки расщепляются. Более того, внутри расщепленных областей обнаружены захваты с частотами, кратными основному захвату. Учет рефрактерности, оставляющий КФО непрерывной, при больших значениях параметра связи двух осцилляторов приводит к уширению и существенному размытию границ областей захватов фаз, а также к расщеплению и самопересечению их «хвостов». Кроме того, обнаружено увеличение меры захвата кратности 2:3 и уменьшение мер основных захватов 1:1 и 1:2 с ростом периода рефрактерности. Это означает, что при возрастании времени рефрактерности вероятность появления ритма Венкебаха 3:2 у пациентов увеличивается, а вероятность нормального ритма уменьшается. При стремлении периода рефрактерности к единице формы областей захватов фаз вытягиваются и вырождаются в вертикальные прямые.

Детальное изучение фазовых диаграмм системы с взаимным влиянием двух осцилляторов в параметрическом пространстве (а, 7) показало, что в такой системе, помимо расщепления центральных языков захвата (в отсутствие или при малой рефрактерности), происходит также наложение друг на друга основных областей синхронизации, соответствующих различным видам сердечных аритмий. Эта бистабильность наблюдается даже при малых значениях параметров взаимодействия. Увеличение времени рефрактерности приводит к искажению формы основных языков и исчезновению областей расщепления. Для достаточно больших величин взаимодействия была получена очень сложная картина, на которой области фазовых захватов переплетены друг с другом.

В дополнение, в построенной модели мы изучили захваты фаз в пространстве амплитуд стимулов. Обнаружено, что взаимодействующие осцилляторы могут синхронизоваться, даже если отношение их периодов иррационально (заметим, что вероятность этого довольно мала). Однако при односторонней связи осцилляторов это соответствовало бы только сложной динамике (квазипериодической или хаотической).

Полученные результаты позволяют прогнозировать динамику колебательных систем в зависимости от вида и интенсивности их взаимодействия и от начальной разности фаз. Знание областей мультистабильности и поведения системы в этих областях позволяет путем внешнего возмущения (к примеру, серией одиночных импульсов) выводить систему из нежелательного режима синхронизации на более благоприятный, в частности восстановить нормальный сердечный ритм.

Эта последняя задача решалась в диссертации аналитически. Показано, что соответствующее отображение при определенных параметрах обладает свойством полимодальности с максимумами, аппроксимируемыми квадратичной функцией. Согласно общей теории динамических систем это, в частности, означает, что такие отображения могут иметь ярко выраженные хаотические свойства. Полученным отображением легко управлять: существуют достаточно слабые параметрические возмущения общего вида, которые выводят систему на требуемый режим эволюции. Это становится возможным вследствие того, что полимодальное дискретное преобразование имеет критические точки.

Мы экстраполировали подход, используемый при рассмотрении общего случая взаимодействия двух пейсмекеров (при любом соотношении их периодов) и оперирующий понятием ожидаемых величин, для исследования взаимного влияния среди произвольно большого ансамбля источников возбуждения, сцепленных глобально. Частные случаи предложенной модели подтверждают, что она может быть очень полезна для анализа взаимодействия сердечных узлов. Полученная общая модель может быть легко применена для построения одномерных и двумерных решеток активных элементов по принципу ближайших соседей.

В диссертационной работе был проведен сравнительный анализ сложной спирально-волновой активности возбудимых сред различной геометрии и возбудимости на примере реакционно-диффузионной модели Фентона-Кармы, используя различные методы: подсчет и построение траекторий фазовых сингулярностей, расчет инвариантных характеристик и применение алгоритма сжатия, чувствительного к порядку.

Мы представили детальное сравнение распространенных методов идентификации фазовых сингулярностей. Обнаружено, что хотя идеального подхода не существует, фазовый метод имеет неоспоримое преимущество по сравнению с методом изолиний, т.к. он немедленно дает знание топологического заряда, что незаменимо при построении траекторий ФС.

Определяя фазовые сингулярности и считая инвариантные характеристики (энтропию Колмогорова-Синая, корреляционную энтропию и спектральную плотность), мы получили соотношение между набором ФС и экспоненциальной неустойчивостью активных сред с различными свойствами. Было обнаружено, что возможность подавления сложной динамики в сердечной ткани (дефибрилляция) не полностью определяется количеством ФС (хотя их число является удобным критерием эффективности подавления), а зависит от возбудимости и геометрии среды. Это означает, что идентификация (и построение траекторий) сингулярностей недостаточна для предсказания дальнейшей динамики среды (для прогноза необходимо установить наличие хаотичности) и определения возможности подавления. В дополнение, необходимо рассматривать инвариантные характеристики хаоса. Однако в связи с тем, что их использование для сложных пространственно-распределенных сред затруднено, алгоритм сжатия, чувствительный к порядку, оказывается хорошей альтернативой. В тоже время, при одной и той же глубине хаоса большее количество ФС для сердца гораздо опаснее. Следовательно, развитость пространственно-временного хаоса с точки зрения приложений является недостаточным критерием идентификации опасных нарушений ритмов. Поэтому для анализа динамики возбудимых сред и, в частности, понимания явлений фибрилляции и дефибрилляции, необходимо использовать одновременно несколько критериев.

Предложенный в диссертационной работе подход к дефибрилляции основан на новом методе подавления хаоса в сердечной мышце. Стандартный способ - дефибрилляция сильными электрическими шоками - не отличает нормальных волн от спиральных или функциональное ре-ентри от анатомического. Альтернативные низкоэнергетические методы являются более «умными» и используют физику в построении принципов управления ре-ентрантной активностью. Рассмотренный метод предложен для низкоэнергетического подавления функционального ре-ентри без обратной связи. Прежде всего, он отличается от ранее рассмотренных подходов формой прикладываемого воздействия (точечное периодическое определенной формы) и мог бы быть использован в дизайне внешних и/или внутренних дефибрилляторов, что позволило бы избежать повреждений ткани и сильнейших болевых ощущений. Более того, меньшие энергетические затраты сделали бы возможным производство приборов уменьшенной массы и размера, с увеличенным сроком годности и безопасностью, которые были бы более комфортными для использования.

Эти исследования при дальнейшем развитии могут повлиять на современную медицинскую практику клинических кардиологов, и физиологи смогут использовать новые методы лечения. Производители приборов также выиграют, т.к. они улучшат технологию производства дефибрилляторов. Улучшение дефибрилляционных стратегий могло бы предотвратить сотни тысяч сердечных смертей.

На защиту выносятся следующие положения:

8. В работе удачно применен низкоэнергетический, реализуемый на практике, подход к подавлению спирально-волновой сложной динамики в реалистичной модели сердечной ткани, являющийся альтернативным к существующим высокоэнергетическим методам дефибрилляции.

Благодарности

В заключение я хочу выразить свою искреннюю благодарность всем тем людям, без которых не было бы данной диссертационной работы. Прежде всего, это мой научный руководитель, профессор, Александр Юрьевич Лоскутов, который не только предложил столь актуальную, практически важную и интересную задачу, но и оказывал неоценимую помощь на каждом этапе исследований.

Также я очень благодарна к.ф.-м.н. Сергею Рыбалко, с которым мы занимались анализом взаимодействия ведущих центров в возбудимых средах.

Нельзя ни упомянуть существенное участие доктора Ричарда Клэйтона (Dr. Richard Clayton) из университета г. Шеффилд, Великобритания. Он, несмотря на свою занятость, находил время для того, чтобы консультировать меня по различным вопросам, возникавшим в процессе исследования динамики фазовых сингулярностей.

Отдельная благодарность профессору Александру Панфилову из университета г. Утрехт, Нидерланды, и профессору Вадиму Бикташеву из университета г. Ливерпуль, Великобритания, без советов которых было бы гораздо сложнее разобраться во всем многообразии литературы, посвященной анализу реакционно-диффузионных систем.

Огромное спасибо всему коллективу нашей дружной лаборатории нелинейной динамики и хаоса за постоянную поддержку и внимание!

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Жучкова, Екатерина Аркадьевна, Москва

1. Shibata Т., Капеко К. Collective chaos. // Phys. Rev. Lett. 1998. V.81. Pp.4116-4119.

2. Капеко K. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in a network of chaotic elements. // Physica D. 1990. V.41. Pp.137-172.

3. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. Berlin: Springer-Verlag. 1984.

4. Kuramoto Y. Scaling behavior of turbulent oscillators with nonlocal interaction. // Prog. Theor. Phys. 1995. V.94. Pp.321-330.

5. Winfree A.T. The Geometry of Biological Time. 2nd ed. New York: Springer-Verlag. 2000.

6. Cardiac Electrophysiology and Arrhythmias. / Eds. Zipes D.P., Jalife J. Orlando: Grune and Stratton. 1985.

7. Zipes D.P. and Jalife J. Cardiac Electrophysiology from Cell to BedSide. 4th ed. Philadelphia: W.B. Saunders. 2004.

8. Self-organization. Autowaves and Structures far from Equilibrium. / Ed. Krinsky V.I. Berlin: Springer. 1984.

9. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М.: Наука. 1990.

10. Mikhailov A.S. Distributed Active Systems. Berlin: Springer. 1992.

11. Васильев B.JI., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука. 1987.

12. Елъкин Ю.Е. Автоволновые процессы. // Матем. биология и биоинформатика. 2005. Т.1. Стр.27-40.

13. Кринский В.И., Михайлов А. С. Автоволны. М.: Знание. 1984.

14. Brazhnik Р.К., Davydov V.A. Non-spiral auto wave structures in excitable media. // Phys. Lett. A. 1995. V.199. Pp.40-44.

15. Гелъфанд И.М., Цетлин М.Л. О континуальных моделях управляющих систем. II ДАН СССР. I960. Т. 131. Стр. 1242-1245.

16. Давыдов Н.В. Критические свойства автоволн в возбудимых средах. // Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. М.: Физический факультет МГУ. 2002.

17. Bioelectricity. A Quantitative Approach. 2nd ed. / Eds. Plonsey R., Barr R.C. New York: Kluwer Academic/Plenum Publishers. 2000.

18. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Москва-Ижевск: РХД. 2002.

19. Nonlinear Dynamics in Physiology and Medicine. / Eds. Beuter A., Glass L., Mackey M.C., Titcombe M.S. New York: Springer-Verlag, Inc. 2003.21.22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,

20. Колебания и бегущие волны в химических системах. / Ред. Жаботинский A.M., Филд Р., Бургер М. М.: Мир. 1988.

21. Давыдов В.А., Зыков B.C., Михайлов А.С. Кинематика автоволновых структур в возбудимых средах. // УФК 1991. Т.161. Стр.45-85. Mikhailov A.S., Davydov V.A., Zykov V.S. Complex dynamics of spiral waves and motion of curves. 1/PhysicaD. 1994. V.70. Pp.1-39.

22. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМО. 2005.

23. Кринский В.К, Медвинский А.Б., Панфилов А.В. Эволюция автоволновых вихрей. М.: Знание. 1986.

24. Ардашев В.Н., Ардашев А.В., Стеклов В.И. Лечение нарушений сердечного ритма. М. 2005.

25. Wagner C.D., Persson Р.В. Chaos in the cardiovascular system: An update. // Cardiovasc. Res. 1998. V.40. Pp.257-264.

26. Goldberger A.L. Nonlinear dynamics, fractals and chaos: Applications to cardiacelectrophysiology. II Ann. Biomed. Eng. 1990. V.18. Pp.195-198.

27. Гласс JI., Мэки M. От часов к хаосу: ритмы жизни. М.: Мир. 1991.

28. Clayton R., Zhuchkova Е., Panfllov A. Phase singularities and filaments: Simplifyingcomplexity in computational models of ventricular fibrillation. // Prog. Biophys. Mol.

29. Biol. 2006. V.90. Pp.378-398.

30. Sideris D.A., Moulopoulos S.D. Mechanism of atrioventricular conduction: Study on an analogue. И J. Electrocardiol. 1977. V.10. Pp.51-58.40,41.44,45,46,47.48,49.50,51,52,53,54,55,56,

31. Roberge F.A., Nadeau R.A., James T.N. The nature of the PR interval. // Cardiovasc. Res. 1968. V.2. Pp.19-30.

32. James T.N., Isobe J.H., Urthaler F. Correlative electrophysiological and anatomical studies concerning the site of origin of escape rhythm during complete atrioventricular block in the dog. // Circ. Res. 1979. V.45. Pp. 108-119.

33. West B.J., Goldberger A.L., Rovner J., Bhargava V. Nonlinear dynamics of the heartbeat. I. The AV junction: passive conduit or active oscillator? // Physica D. 1985. V.17. Pp.l98-206.

34. Katholi C.R., Urthaler F., Macy J., James T.N. A mathematical model of automaticity in the sinus node and AV junction based on weakly coupled relaxation oscillators. // Сотр. Biomed. Res. 1977. V.10. Pp.529-543.

35. Keith W.L., Rand R.H. 1:1 and 2:1 phase entrainment in a system of two coupled limit cycle oscillators. II J. Math. Biol. 1984. V.20. Pp. 133-152.

36. Cartwright M.L., Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order. // J. Lond. Math. Soc. 1945. V.20. Pp.180-189.1.vinson N. A second order differential equation with singular solutions. // Ann. of Math. 1949. V.50. Pp.127-153.

37. Smale S. The Mathematics of Time. New York: Springer. 1980. P. 147.1.vi M. Qualitative analysis of the periodically forced relaxation oscillations. //

38. Memoirs Amer. Math. Soc. 1981. V.32. Pp.1-147.

39. G/asvs1 L., Perez R. The fine structure of phase locking. // Phys. Rev. Lett. 1982. V.48. Pp.1772-1775.

40. Perez R., Glass L. Bistability, period doubling bifurcations and chaos in a periodically forced oscillator. // Phys Lett. A. 1982. V.90. Pp.441-443.

41. Arnold V.I. Small denominators. I. Mappings of the circumference onto itself. // Am. Math. Soc. Transl. 1965. Ser.2. Pp.213-284.

42. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and

43. Bifurcations of Vector Fields. New- York: Springer-Verlag. 1983.

44. BakP. The devil's staircase. II Physics Today. 1986. V.39. Pp.38-45.

45. Keener J.P. Chaotic behavior in piecewise continuous difference equations. // Trans.

46. Am. Math. Soc. 1980. V.261. Pp.589-604.1.sota A., Yorke J.A. On the existence of invariant measures for piecewise monotonictransformations. // Trans. Am. Math. Soc. 1973. V.186. Pp.481-488.

47. Bub G., Glass L. Bifurcations in a discontinuous circle map. A theory for chaoticcardiac arrhythmia. II Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. V.5. Pp.359-371.

48. Мое G.K., Jalife J., Mueller W.J., Мое В. A mathematical model for parasistole andits application to clinical arrhythmias. // Circulation. 1977. V.56. Pp.968-979.

49. Honerkamp J. The heart as a system of coupled nonlinear oscillators. // J. Math. Biol. 1983. V.18.Pp.69-88.

50. Glass L., Guevara M.R., Shrier A., Perez R. Bifurcation and chaos in a periodic stimulated oscillator. II Physica D. 1983. V.7. Pp.89-101.

51. Kremmydas G.P., HoldenA.V., Bezerianos A., Bountis T. Representation of sino-atrial node dynamics by circle maps. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1996. V.6. Pp.17991805.76,77,78